360˘ 6
10
x©
12`cm
9`cm h`cm
C O
B
D 7
3'2
3'2 A
H
AH” : 6'3=1 : 2 ∴ AH”=3'3 cm AH” : OH”=1 : '3이므로
3'3 : OH”=1 : '3 ∴ OH”=9 cm 따라서 원뿔의 부피는
;3!; _p_(3'3)¤ _9=81p(cm‹ )
유형
10
오른쪽 그림의 전개도에서 최 단 거리는 AG”의 길이이므로 AG”="√(8+4)¤ +5¤ =13
10
-1다음 그림의 전개도에서 최단 거리는 EA'”의 길이이 므로EA'”=
"√
E’E'”¤ +A'E'” ¤ ="√8¤ +2¤ =2'∂1710
-2밑면인 원의 둘레의 길이는 2p_4=8p원기둥의 높이를 h라고 하면 오른쪽 전개도에서 h="√(10p)¤ -(8p)¤ =6p
A
B B'
10p h
8p A'
B
A C D A'
F
E G H E'
2 2
2 2 2
D
A
C G
8 B 4
5 F
112~115쪽
실력 EXERCISES
0116'3 cm¤ 02 cm 034'5 cm 042'3 cm 052'6 06'3 cm¤ 078'5 cm¤
08 cm 0912 cm
10(3'3-3) cm 11 cm 12 -10
13 ④ 14 ⑤ 156 cm 162'5
172'6 cm 1850'6 cm¤ 19④ 20 4'2 cm¤
21 72'5 cm‹2212'∂11 cm¤ 239p cm‹ 2427p cm¤
252'∂58 cm268'2 cm
16 3 8'2
3
14 5
개념BOOK
따라서 △GEC는 한 변의 길이가 2 cm인 정삼각형이 므로
△GEC= _2¤ ='3(cm¤ )
07
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 BH”=4 cm이므로△ABH에서
AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)
∴ △ABC=;2!;_8_2'5=8'5(cm¤ )
08
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)∴ △ABC=;2!;_4_4'2
∴ △ABC=8'2(cm¤ ) 또, AP”를 그으면
△ABC=△ABP+△APC이므로 8'2=;2!;_6_PQ”+;2!;_6_PR”
8'2=;2!;_6_(PQ”+PR”)
∴ PQ”+PR”= cm
09
BH”=x cm라고 하면 CH”=(14-x)cm△ABH와 △ACH에서 AH”¤ =15¤ -x¤ =13¤ -(14-x)¤
28x=252 ∴ x=9
따라서 △ABH에서 A’H”="√15¤ -9¤ =12(cm)
10
△ABC에서 BC”=AB”=3'3 cm△ABD에서 AB” : BD”='3 :1이므로 3'3 : BD”='3 : 1 ∴ BD”=3 cm
∴ CD”=BC”-BD”=3'3-3(cm)
11
△ABC에서 AB” : AC”='3 : 2이므로 3 : AC”='3 : 2 ∴ AC”=2'3 cm△ACD에서 AC” : AD”='3 : 2이므로 2'3 : AD”='3 : 2 ∴ AD”=4 cm
8'2 3
A
B C
Q R
6`cm 6`cm
2`cmP H A
B H C
6`cm 6`cm
4`cm
'3 4
01
△ABC에서AB”="√8¤ -4¤ =4'3(cm)
∴ ABCD=4_4'3=16'3(cm¤ )
02
△ABC에서 AC”="√6¤ +8¤ =10(cm) AB”¤ =AQ”_AC”이므로6¤ =AQ”_10 ∴ AQ”=:¡5•: cm CD”¤ =CP”_CA”이므로
6¤ =CP”_10 ∴ CP”=:¡5•: cm
∴ PQ”=AC”-(AQ”+CP”)
∴ PQ”=10-{:¡5•:+:¡5•:}=:¡5¢:(cm)
03
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 AO”=10 cm, BO”=;2{; cm이므로 직각삼각형 ABO에서 10¤ =x¤ +{;2{;}2 , ;4%;x¤ =100 x¤ =80 ∴ x=4'5 (∵ x>0)따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 4'5 cm 이다.
04
정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라고 하면 a¤ =4'3, a¤ =16 ∴ a=4(∵ a>0) 따라서 정삼각형의 높이는_4=2'3(cm)
05
AE”를 그으면 ∠DEA=45˘, 즉 ∠AEB=90˘이므 로 AE”는 정삼각형 ABC의 높이이다.∴ AE”= _8=4'3
정사각형 ADEF의 대각선의 길이가 4'3이므로 '2x=4'3 ∴ x=2'6
06
BE”=EC”=CF”=;2!;_4=2(cm)∠GEC=∠GCE=60˘
'3 2 '3
2 '3
4
B A
O C 10`cm
D
xcm 2 x`cm
FI”= _4'2=2'6(cm)
18
FN”=ND”=D’M”=MF”="√10¤ +5¤ =5'5(cm)이 므로 FNDM은 마름모이다.MN”=AC”=10'2 cm이고 FD”=10'3 cm이므로 FNDM=;2!;_MN”_FD”
FNDM=;2!;_10'2_10'3=50'6(cm¤ )
19
정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 a¤ =9'3, a¤ =36 ∴ a=6(∵ a>0) 따라서 정사면체의 부피는 _6‹ =18'220
A’M”, D’M”은 각각 한 변의 길이가 4 cm인 정삼각형 의 높이이므로A’M”=D’M”= _4=2'3(cm) 꼭짓점 M에서 AD”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면
△MAH에서
MH”="√(2'3)¤ -2¤ =2'2(cm)
∴ △MAD=;2!;_4_2'2=4'2(cm¤ )
21
주어진 전개도로 정사각뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같으므로 AC”="√(6'2)¤ +(6'2)¤AC”=12(cm) AH”=;2!;AC”=6(cm)
△OAH에서 OH”="√9¤ -6¤ =3'5(cm) 따라서 정사각뿔의 부피는
;3!;_(6'2)¤ _3'5=72'5(cm‹ )
22
MA”, NB”는 각각 한 변의 길이가 8 cm인 정삼각형의 높이이므로MA”=NB”= _8=4'3(cm)
△ODC에서 삼각형의 중점연결정리에 의해 '3
2
O
A D
B H
C
6'2`cm
6'2`cm 9`cm
'3 2
'2 12 '3
4 '3
2
M
A D
H 2'3`cm 2'3`cm
2`cm 2`cm
△ADE에서 AD” : AE”='3 : 2이므로 4 : AE”='3 : 2 ∴ AE”= cm
△AEF에서 AE” : AF”='3 : 2이므로 : AF”='3 : 2 ∴ AF”=:¡3§: cm
12
AB”="√(-√3-3√)¤ +√(-2√-a)¤ =10이므로 36+a¤ +4a+4=100, a¤ +4a-60=0 (a+10)(a-6)=0 ∴ a=-10 (∵ a<0)13
y=x¤ -2x+4=(x-1)¤ +3이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 3)이고,y=-3x¤ -6x+4=-3(x+1)¤ +7이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 7)이다.
따라서 두 꼭짓점 사이의 거리는
"√{1-(-1)}¤ +(3-7≈)¤ =2'5
14
① AC”="√{0-(-4)}¤ +√(3-0)¤ =5② AB”="√{3-(-4)}¤ +√(-1-0)¤ =5'2
③ BC”="√(0-3)¤ +{3-√(-1)}¤ =5이므로 AC”=BC”
④ AC”=5, AB”=5'2, BC”=5이므로 AC”=BC”, AB”¤ =AC”¤ +BC”¤
즉, △ABC는 ∠C=90˘인 직각이등변삼각형이다.
⑤ △ABC=;2!;_5¤ =:™2∞:
15
직육면체의 높이를 x cm라고 하면 AG”="√3¤ +3¤ +x¤ =3'6(cm)18+x¤ =54, x¤ =36 ∴ x=6(∵ x>0) 따라서 직육면체의 높이는 6 cm이다.
16
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 AG”='3a=4'3 ∴ a=4∴ C’M”=;2!;_4=2 따라서 △MGC에서 MG”="√4¤ +2¤ =2'5
17
AC”=AF”=FC”=4'2 cm이므로 △AFC는 정삼각 형이다.FI”는 정삼각형 AFC의 높이이므로 8'3
3
8'3 3
개념BOOK
2p_8_ =2p_2
∴ x˘=90˘
따라서 구하는 최단 거리는 A’A'”의 길이이므로 A’A'”="√8¤ +8¤ =8'2(cm)
x˘
MN”=;2!;DC”=;2!;_8=4(cm) 360˘
즉, ABNM은 등변사다리꼴이다.
두 점 M, N에서 AB”에 내린 수선의 발을 각각 M', N'이라 하면
M'N'”=MN”=4 cm이므로 A’M'”=B’N'”
A’M'”=;2!;_(8-4)=2(cm) 따라서 △MAM'에서
MM'”="√(4'3)¤ -2¤ =2'∂11(cm)
∴ ABNM=;2!;_(4+8)_2'∂11=12'∂11(cm¤ )
23
주어진 도형으로 만들어지는 입체도형은오른쪽그림과같다.△ABD에서
AD”="√5¤ -3¤ =4(cm) 따라서 구하는 입체도형의 HP”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)
따라서 단면인 원의 넓이는 p_(3'3)¤ =27p(cm¤ )
25
전개도를 그리면 오른쪽 그림과 같다.이때, 구하는 최단 거리는 A’H”의 길 이이므로
AH”="√6¤ +(5+4+5)¤
=2'∂58(cm)