3 2 중학수학

(1)

중학수학 3 -2

정답과 해설

풍산자-도비라(해설) 2016.2.23 11:31 AM 페이지3 mac02 T

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(2)

진도북

01

대푯값

Ⅰ-1 ^{｜대푯값과 산포도} 1

^대푯값

개념다지기 본문 8쪽

Ⅰ ^통계

1 ²⁰

=16, x+60=80 ∴ x=20 2 평균：44 kg, 중앙값：43 kg, 최빈값：40 kg

변량은 총 6개이므로 평균은

= =44(kg) 또, 점수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면

38, 40, 40, 46, 48, 52

중앙값은 세 번째와 네 번째 점수의 평균이므로

=43(kg)

최빈값은 가장 많이 나타나는 값이므로 40 kg이다.

40+46 11122

112646 40+46+38+52+40+48 1111111111136 15+x+13+18+14

1111111115

따라서 4, a, b, c, 13의 평균은

= = =7

16.5

학생 22명의 턱걸이 횟수의 중앙값은 11{=:™2™:}번째와 12 {=:™2™:+1}번째 학생의 턱걸이 횟수의 평균이므로

a= =8.5

최빈값은 도수가 가장 클 때의 횟수이므로 b=8

∴ a+b=8.5+8=16.5 15

쪽지 시험 점수의 중앙값은 7{= }번째 오는 값이므로 a=8

최빈값은 도수가 가장 클 때의 점수이므로 b=7

∴ a+b=8+7=15 7

x를 제외한 7개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 6, 6, 9, 9, 10, 12

이때 중앙값이 8이므로 x는 6과 9 사이에 위치한다. 즉 3, 6, 6, x, 9, 9, 10, 12

x를 포함한 전체 변량의 개수가 8이고, 중앙값은 4번째 변량 x와 5번째 변량 9의 평균이므로

=8, x+9=16 ∴ x=7

평균：8.1, 중앙값：7.5

x를 제외한 9개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 11, 13

최빈값이 7이므로 x=7

10개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 11, 13

따라서 평균은

= =8.1

또, 중앙값은 5{=:¡2º:}번째와 6{=:¡2º:+1}번째 변량의 평균이 므로

7+8=7.5 1132

138110 5+6+7+7+7+8+8+9+11+13 113111111111111110

유제 3 113x+92

핵심 3

11113+12

유제 2 15518+92

핵심 2

12355 4+18+13 111115 4+a+b+c+13

1112121125

⑤

x, y, z의 평균이 5이므로

=5 ∴ x+y+z=15 따라서 3x-2, 3y-2, 3z-2의 평균은

= = =:£3ª:=13

--11 ②

2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1의 평균이 7이므로

= =7

∴ a+b+c+d=12 따라서 a, b, c, d의 평균은

= =3

--22 ③

a, b, c의 평균이 6이므로

=6 ∴ a+b+c=18 a+b+c

111243

유제 1

12124 a+b+c+d 111212554

2(a+b+c+d)+4 111212511144

(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1) 1111111111111111124

유제 1

3_15-6 111133 3(x+y+z)-6

11111113

(3x-2)+(3y-2)+(3z-2) 11111111111113

x+y+z 111223

핵심 1

핵심문제익히기 본문 9쪽

11번째 횟수 턱걸이 횟수(회)

학생 수(명) 6 2

7 3

8 6

9 5

10 3

11 2

12 1

12번째 횟수 11명

7번째 점수 6명

점수(점) 학생 수(명)

6 1

7 5

8 2

9 3

10 2 (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지2 mac02 T

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(3)

Ⅰ.통계 3 진도 북

06

변량은 총 10개이므로

a= =;1&0);=7

변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10

이므로 b= =7, c=7

∴ a-b+c=7-7+7=7

07

8개의 변량의 평균이 4이므로

=4

=4, x+26=32

∴ x=6

따라서 주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6

이므로 중앙값은

=4

08

(평균)= =

(중앙값)=

평균과 중앙값이 같으므로

= , x+50=3(x+12) x+50=3x+36, 2x=14

∴ x=7

09

9개의 변량의 평균이 5이므로

=5

=5, a+b+31=45

∴ a+b=14 yy㉠

b-a=6 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=10 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면

1, 2, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 10

따라서 중앙값은 4, 최빈값도 4이므로 구하는 곱은 4_4=16

10

x를 제외한 변량이 모두 다르므로 최빈값이 존재하려면 x의 값이 나머지 변량 중 하나와 같아야 하고, 이때 최빈값은 x가 되어야 한다. 평균과 최빈값이 같으므로

=x

=x, x+225=6x, 5x=225

∴ x=45 x+225 1251256

52+x+38+40+50+45 12511111111126

a+b+31 12555525159

1+2+4+a+6+8+3+b+7 12555525115111111119

12555525x+122 12555525x+506

12555525x+122

12555525x+506 3+7+x+12+13+15

125555111111116 1255553+52

1252255x+268

2+6+3+5+6+3+1+x 125211111111128

12527+72

7+6+8+3+7+9+8+5+7+10 1252111111111111110

본문 10~11쪽

실력굳히기

01③ 02③ 03① 045m+1 05②

06③ 07② 087 09① 10③ 110.5점 1290점 13c<b<a

01

(평균)=

(평균)=;1^0);=6(시간)

02

a, b, c의 평균이 11이므로

=11

∴ a+b+c=33 따라서 9, a, b, c, 18의 평균은

=

= =;;§5º;;=12

03

a, b, c, d, e의 평균이 8이므로

=8

∴ a+b+c+d+e=40

따라서 a+2, b+2, c+2, d+2, e+2의 평균은

= =

= =10

| 다른 풀이 |a, b, c, d, e의 평균이 8이므로 a+2, b+2, c+2, d+2, e+2의 평균은

8+2=10

04

a, b, c, d, e, f의 평균이 m이므로

=m

∴ a+b+c+d+e+f=6m

5a+1, 5b+1, 5c-1, 5d-1, 5e+2, 5f+4의 평균은

=

=5m+1

05

A반의 과학 시험 성적의 총합은 64_30=1920(점) B반의 과학 시험 성적의 총합은 64_25=1600(점) 따라서 A반과 B반 학생 전체의 과학 시험 성적의 평균은

=3520=64(점) 115555 1920+1600

1112125530+25 5_6m+6 1251116

5(a+b+c+d+e+f )+6 12511111111125556

(5a+1)+(5b+1)+(5c-1)+(5d-1)+(5e+2)+(5f+4) 125111111111111111111111246

a+b+c+d+e+f 12511111116

12505

40+10 11155 (a+b+c+d+e)+10

111255111211345

(a+2)+(b+2)+(c+2)+(d+2)+(e+2) 11125511121111111111115

a+b+c+d+e 11125511125

27+33 111555

27+a+b+c 111255115 9+a+b+c+18

11125511125 a+b+c

1112553

1+8+5+6+9+14+3+2+5+7 11111111111111110

(01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지3 mac02 T

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(4)

11

전체 학생이 20명이므로 1+x+7+y+4=20

∴ x+y=8 yy㉠ 평균이 8.5점이므로

=8.5

=8.5, 7x+9y+102=170

∴ 7x+9y=68 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=6 주어진 표를 다시 쓰면

위의 표에서 변량이 모두 20개이므로 중앙값은 점수를 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, 10번째 점수인 8점과 11 번째 점수인 9점의 평균이다. 따라서 중앙값은

=8.5(점)

또, 도수가 가장 큰 변량은 8점이므로 최빈값은 8점이다.

따라서 중앙값과 최빈값의 차는 8.5-8=0.5(점)

12

1회부터 4회까지의 영어 점수를 각각 x¡점, x™점, x£점, x¢점 이라고 하면

=80 x¡+x™+x£+x¢+75=400

∴ x¡+x™+x£+x¢=325 ❶

5회의 실제 영어 점수를 x∞점이라고 하면

=80+3

=83, x∞+325=415 ∴ x∞=90 따라서 5회의 시험에서 받은 실제 영어 점수는 90점이다.

❷

13

주어진 막대그래프의 자료를 표로 정리하면

a=

a=;2&0#;=3.65 ^❶

중앙값은 전체 학생 20명의 점수를 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, 10번째 점수인 3점과 11번째 점수인 4점의 평균이므로

b=3+4=3.5 ❷

12522

1_1+2_3+3_6+4_4+5_4+6_2 125111111111111111120 x∞+325

125115

x¡+x™+x£+x¢+x∞

125111111555555 x¡+x™+x£+x¢+75 1251111115555255 125258+92

7x+9y+102 12511125220

6_1+7x+8_7+9y+10_4 12511111111121120

산포도와 표준편차

02

2

^산포도

1 ^73점

편차의 총합은 0이므로

-3+5+x+(-1)+2=0 x+3=0 ∴ x=-3 이때 (편차)=(변량)-(평균)에서

-3=(사회 점수)-76 따라서 사회 점수는

-3+76=73(점)

2 점

(평균)= =;;ª6§;;=16(점)이므로

(분산)= =;;¢6º;;=;;™3º;;

∴ (표준편차)=Æ…;;™3º;;= =11252'∂153 (점) 112'5

'3

(-1)¤ +(-5)¤ +2¤ +0¤ +3¤ +1¤

11111111111551116 15+11+18+16+19+17

11111111111556 2'∂15

1 12255225555553

분산：7, 표준편차：'7^회

(평균)= =;;§6º;;=10(회)

분산은 편차의 제곱의 평균이므로

(분산)= =;;¢6™;;=7

(표준편차)='7(회)

분산: , 표준편차: 개

평균이 6개이므로

= =6 ∴ x=4

분산은 편차의 제곱의 평균이므로

(분산)= =;;¡7™;;

(표준편차)=Æ…;;¡7™;;=1152'3=1152'∂217 (개) '7

1¤ +2¤ +(-1)¤ +0¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +1¤

1155551111111111111117 11555538+x7

7+8+5+6+x+5+7 111112211155557

2'∂21 1 122552255557 112

1227 유제 1

4¤ +(-4)¤ +(-2)¤ +2¤ +1¤ +(-1)¤

11111221115555111111556 14+6+8+12+11+9

111112211155556

핵심 1

점수`(점) 학생 수`(명)

1 1

2 3

3 6

4 4

5 4

6 2

합계 20 채점 기준

단계 비율

1회부터 4회까지의 영어 점수의 총합 구하기 50`%

5회의 실제 영어 점수 구하기 50`%

❶

❷ 점수(점) 학생 수(명)

6 1

7 2

8 7

9 6

10 4

합계 20

10번째 점수 11번째 점수 1+2+7=10(명)

도수가 가장 큰 변량은 3점이므로 최빈값은

c=3 ❸

∴ c<b<a ❹

채점 기준

단계 비율

a의 값 구하기 b의 값 구하기 c의 값 구하기 a, b, c의 대소 비교하기

30`%

10`%

❶

❷

❸

❹ (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지4 mac02 T

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(5)

도수분포표에서의 평균과 분산, 표준편차

03

1 ⑴ 풀이 참조　⑵ 53 kg ⑶ 86 ⑷ '∂86 kg

⑴

⑵ (평균)= = =53(kg)

⑶ (분산)= = =86

⑶ (표준편차)='∂86(kg) 2 ^분산：^5.6^{, 표준편차：}'∂5.6^회

(평균)= = =7(회)

(분산)= = =5.6

(표준편차)='∂5.6(회)

1116830 64+24+0+32+48

111111111530 1121030 12+30+63+72+33 11111111155530

112172020 648+320+32+720

1121111115520

112106020 70+225+440+325

1111551111220 평균: 9, 분산: 400

a, b, c, d의 평균이 5이므로

=5

∴ a+b+c+d=20 a, b, c, d의 표준편차가 10이므로

(분산)=

(분산)=10¤ =100 yy㉠

따라서 2a-1, 2b-1, 2c-1, 2d-1의 평균은

= = =9

또한 2a-1, 2b-1, 2c-1, 2d-1의 분산은

=

=4_100 (∵ ㉠)

=400

4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ } 11111111521111111114

(2a-1-9)¤ +(2b-1-9)¤ +(2c-1-9)¤ +(2d-1-9)¤

111111115211111111111111554 2_20-4

1111554 2(a+b+c+d)-4

11111111524

(2a-1)+(2b-1)+(2c-1)+(2d-1) 111111115111111112555554

(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤

11111111511111111254 a+b+c+d

1111555555554

유제 3 317

8, x, 12, 10, y의 평균이 11이므로

=11

x+y+30=55 ∴ x+y=25 yy㉠ 표준편차가 2이므로 분산은

=2¤

9+(x-11)¤ +1+1+(y-11)¤ =20 (x-11)¤ +(y-11)¤ =9

x¤ +y¤ -22(x+y)+242=9 x¤ +y¤ -22(x+y)=-233

㉠에서 x+y=25이므로

x¤ +y¤ -22_25=-233 ∴ x¤ +y¤ =317

①

편차의 총합이 0이므로

x+3+(-5)+y+(-3)=0

∴ x+y=5 yy㉠ 분산이 28이므로

=28, x¤ +y¤ +43=140

∴ x¤ +y¤ =97 yy㉡ (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy이므로 5¤ =97+2xy (∵ ㉠, ㉡)

∴ xy=-36

평균: 3m+2, 표준편차: 3s

a, b, c, d, e의 평균이 m이므로 =m

∴ a+b+c+d+e=5m

a, b, c, d, e의 표준편차가 s이므로 분산은

=s¤

3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2의 평균은

= = =3m+2

3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2의 분산은

;5!; {(3a+2-3m-2)¤ +(3b+2-3m-2)¤

+(3c+2-3m-2)¤ +(3d+2-3m-2)¤

+(3e+2-3m-2)¤ }

=;5!;{(3a-3m)¤ +(3b-3m)¤ +(3c-3m)¤

+(3d-3m)¤ +(3e-3m)¤ }

=;5(;{(a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤ +(e-m)¤ }

=;5(;_5s¤ =9s¤

따라서 3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2의 표준편차는

"ç9s¤ =3s

3_5m+10 11111555 3(a+b+c+d+e)+10

1111111111555

(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)+(3d+2)+(3e+2) 111111111111111111125115 (a-m)¤ +(b-m)¤ +(c-m)¤ +(d-m)¤ +(e-m)¤

111111111111111111125115 a+b+c+d+e

11111115

핵심 3

x¤ +3¤ +(-5)¤ +y¤ +(-3)¤

111111151111155

유제 2

(8-11)¤ +(x-11)¤ +(12-11)¤ +(10-11)¤ +(y-11)¤

111111111111111125111115 8+x+12+10+y

1111111155

핵심 2

몸무게(kg) 30^이상~40^미만 40^이상~50^이상 50^이상~60^이상 60^이상~70^이상

계급값 35 45 55 65

도수 2 5 8 5

편차 -18 -8

2 12

(편차)¤ _(도수) 648 320 32 720 (계급값)_(도수)

70 225 440 325

횟수`(회) 2^이상~ 4^미만 4^이상~ 6^이상 6^이상~ 8^이상 8^이상~10^이상 10^이상~12^이상

계급값 3 5 7 9 11

도수 4 6 9 8 3

편차 -4 -2 0 2 4

(편차)¤ _(도수) 64 24 0 32 48 (계급값)_(도수)

12 30 63 72 33 (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지5 mac02 T

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(6)

120

(평균)= =35(개)

∴ (분산)= =120

2'∂19점

(평균)= =73(점)

(분산)= =76

∴ (표준편차)='∂76=2'∂19(점)

'∂3.4시간

주어진 히스토그램을 이용하여 도수분포표를 만들면

(평균)=;1$0);=4(시간) (분산)=;1#0$;=3.4

∴ (표준편차)='∂3.4(시간)

11시간

유제 2 핵심 2

1176010 1173010

유제 1

1551240020 1170020

핵심 1

개수`(개) 10^이상~20^미만 20^이상~30^이상 30^이상~40^이상 40^이상~50^이상 50^이상~60^이상

합계

계급값 15 25 35 45 55

도수 1 6 8 2 3 20

편차 -20 -10 0 10 20

(편차)¤ _(도수) 400 600 0 200 1200 2400 (계급값)_(도수)

15 150 280 90 165 700

성적(점) 50^이상~60^미만 60^이상~70^이상 70^이상~80^이상 80^이상~90^이상

합계

계급값 55 65 75 85

도수 1 2 5 2 10

편차 -18 -8

2 12

(편차)¤ _(도수) 324 128 20 288 760 (계급값)_(도수)

55 130 375 170 730

독서 시간`(시간) 0^이상~2^미만 2^이상~4^이상 4^이상~6^이상 6^이상~8^이상 합계

계급값 1 3 5 7

도수 2 2 5 1 10

편차 -3 -1 1 3

(편차)¤ _(도수) 18

2 5 9 34 (계급값)_(도수)

2 6 25 7 40

봉사 시간``(시간) 0^이상~10^미만 10^이상~20^이상 20^이상~30^이상 30^이상~40^이상 40^이상~50^이상

합계

계급값 5 15 25 35 45

도수 3 6 6 4 1 20

편차 -17 -7

3 13 23

(편차)¤ _(도수) 867 294 54 676 529 2420 (계급값)_(도수)

15 90 150 140 45 440

(평균)=;;¢2¢0º;;=22(시간)

(분산)=;:@2$0@:);=121

∴ (표준편차)='∂121=11(시간)

①

표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타낸다.

이때 자료들이 흩어진 정도가 클수록 표준편차가 크다.

① 자료의 흩어진 정도가 가장 크다. 즉, 자료의 분포 상태가 가장 고르지 않으므로 표준편차가 가장 크다.

| 다른 풀이 |자료의 평균을 구하면 각각

① 14 ② 14 ③ 7.5

④ 111 ⑤ 0.5

이므로 자료의 편차는 각각 다음과 같다.

① -12, -5, 36, -4, -12, -3

② -1, 1, -1, 1, -1, 1

③ -0.5, 1.5, 0.5, 2.5, -1.5, -2.5

④ 0, 0, 0, 0, 0, 0

⑤ 0.5, -0.5, 0.5, -0.5, 0.5, -0.5

D반, A반

성적이 가장 좋은 반은 평균이 가장 높은 반이고 성적이 가장 고 른 반은 표준편차가 가장 작은 반이다. 평균이 가장 높은 반은 91 점인 D반이고 표준편차가 가장 작은 반은

A반: 2.5='∂6.25 B반: 3'2='∂18 C반: 2'3='∂12 D반: 4='∂16 이므로 A반이다.

유제 3 핵심 3

본문 16~17쪽

실력굳히기

01③ 02② 03① 04④ 058 06③ 07④ 08② 09D 10③ 11영어, 국어 12⁶ 132'2 æ

01

ㄴ. (편차)=(변량)-(평균)

ㄹ. 편차의 제곱의 평균은 분산이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.

02

재민이의 수학 성적의 편차를 x점이라고 하면 편차의 총합은 0이므로

-4+x+(-3)+5+4=0, x+2=0

∴ x=-2

(편차)=(변량)-(평균)이므로 -2=(재민이의 수학 성적)-73 따라서 재민이의 수학 성적은

-2+73=71(점) (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지6 mac02 T

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(7)

03

모든 변량에 대한 편차의 총합이 0이므로 표에서

(편차)_(도수)의 총합이 0이어야 한다.

편차가 -2인 변량의 도수를 x라고 하면

(-6)_1+(-4)_2+(-2)_x+0_4+2_10=0 -2x+6=0 ∴ x=3

04

편차의 총합은 0이므로

-5+6+(-1)+x+2=0, x+2=0

∴ x=-2

∴ (분산)=

∴ (분산)=;;¶5º;;=14

05

a, b, c, d, e의 평균이 5이므로

=5

∴ a+b+c+d+e=25

2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1, 2e+1의 평균은

= = =11

a, b, c, d, e의 분산이 2이므로

=2 yy㉠ 따라서 2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1, 2e+1의 분산은

=

=4_2 (∵ ㉠)

=8

06

a, b, c의 평균이 4이므로 =4

∴ a+b+c=12 a, b, c의 표준편차가 2이므로

=2¤

(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ =12 a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+48=12 a¤ +b¤ +c¤ -8_12+48=12

∴ a¤ +b¤ +c¤ =60

07

연속하는 네 자연수를 n, n+1, n+2, n+3이라고 하면 (평균)=

(평균)=4n+6=n+;2#;

1114

n+(n+1)+(n+2)+(n+3) 111111111111124 (a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤

1551211111111123 a+b+c 1551213

4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ } 15511111111111111111111555 (2a-10)¤ +(2b-10)¤ +(2c-10)¤ +(2d-10)¤ +(2e-10)¤

155111111111111111111115525 (2a+1-11)¤ +(2b+1-11)¤ +(2c+1-11)¤ +(2d+1-11)¤ +(2e+1-11)¤

1551111111111111111111112555 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤

155111111111111111111125 2_25+5 1551115 2(a+b+c+d+e)+5

12511111551115

(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)+(2e+1) 125111115511111111111111555

a+b+c+d+e 12511111555

(-5)¤ +6¤ +(-1)¤ +(-2)¤ +2¤

1111111111111155

따라서 편차가 -;2#;, -;2!;, ;2!;, ;2#;이므로 (분산)=;4!;[{-;2#;}¤ +{-;2!;}¤ +{;2!;}¤ +{;2#;}¤

]=;4%;

∴ (표준편차)=Æ;4%;=

08

(평균)=;;™3¢0º;;=8(점)

∴ (분산)=;3#0^;=;5^;=1.2

09

수면 시간이 가장 규칙적인 학생은 수면 시간의 표준편차가 가장 작은 학생이므로 D이다.

10

1부터 10까지의 자연수들의 평균과 101부터 110까지의 자 연수들의 평균은 다르지만 두 자료의 수들이 흩어져 있는 정 도는 같으므로 표준편차는 같다.

∴ a=c

또, 1부터 20까지의 짝수들은 위의 두 자료의 수들보다 더 넓 게 흩어져 있으므로 표준편차가 더 크다.

∴ a=c<b

11

국어 성적의 히스토그램을 이용하여 도수분포표를 만들면

국어 성적의 평균과 분산은

(평균)=;;§1™0º;;=62(점), (분산)=;;•1¡0º;;=81

또, 영어 성적의 히스토그램을 이용하여 도수분포표를 만들면

영어 성적의 평균과 분산은

(평균)=;;¶1º0º;;=70(점), (분산)=;:!1)0%:);=105

따라서 성적이 더 좋은 과목은 평균이 더 높은 영어이고, 성 적이 더 고른 과목은 분산이 더 작은 국어이다.

125'52

점수`(점) 40^이상~50^미만 50^이상~60^이상 60^이상~70^이상 70^이상~80^이상

합계

계급값 45 55 65 75

도수 1 3 4 2 10

편차 -17 -7

3 13

(편차)¤ _(도수) 289 147 36 338 810 (계급값)_(도수)

45 165 260 150 620

점수`(점) 50^이상~60^미만 60^이상~70^이상 70^이상~80^이상 80^이상~90^이상

합계

계급값 55 65 75 85

도수 2 3 3 2 10

편차 -15 -5

5 15

(편차)¤ _(도수) 450

75 75 450 1050 (계급값)_(도수)

110 195 225 170 700 점수`(점)

6 7 8 9 10 합계

도수 3 6 12 6 3 30

편차 -2 -1 0 1 2

(편차)¤ _(도수) 12

6 0 6 12 36 (점수)_(도수)

18 42 96 54 30 240 (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지7 mac02 T

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답지 블로그

(8)

12

^(평균)= ⁼²

x+y+3=10

∴ x+y=7 yy㉠

❶

(분산)=

(분산)=9.2

25+(x-2)¤ +4+(y-2)¤ =46 x¤ +y¤ -4(x+y)=9

x¤ +y¤ -4_7=9 (∵ ㉠)

∴ x¤ +y¤ =37 yy㉡

❷ 이때 (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy이므로

7¤ =37+2xy (∵ ㉠, ㉡)

∴ xy=6 ❸

13

a+4+3+7+11+3=30이므로

a=2 ❶

각 계급의 계급값은 각각 21 æ, 23 æ, 25 æ, 27 æ, 29 æ, 31 æ이고, 평균이 27 æ이므로

(분산)=;3¡0;{(21-27)¤ _2+(23-27)¤ _4+(25-27)¤ _3 (분산)=+(27-27)¤ _7+(29-27)¤ _11+(31-27)¤ _3}

(분산)=;3¡0;{(-6)¤ _2+(-4)¤ _4+(-2)¤ _3

+0¤ _7+2¤ _11+4¤ _3}

(분산)=8 ❷

∴ (표준편차)='8=2'2 (æ) ^❸

(-3-2)¤ +(x-2)¤ +(2-2)¤ +(4-2)¤ +(y-2)¤

1251111111111111115511235 -3+x+2+4+y

12511111125

채점 기준

단계 비율

평균을 이용하여 x, y에 관한 식 세우기 30`%

분산을 이용하여 x¤ +y¤ 에 관한 식 세우기 40`%

xy의 값 구하기 30`%

❶

❷

❸

본문 18~20쪽

학교 시험미리보기

01④ 02평균: 29회, 중앙값: 29회, 최빈값: 29회 03⑤ 04④ 05④ 06⑤ 07③ 08② 09

10^⑤ 11^① 121권 13^③ 14^5.6 15^② 16평균：14개, 중앙값：14.5개, 최빈값：15개 17남학생 18'∂1.2 kg 19'∂14

2'ƒ119 115537

01

④ 편차의 절댓값이 작을수록 변량은 평균에 가깝다.

채점 기준

단계 비율

a의 값 구하기 20`%

분산 구하기 50`%

표준편차 구하기 30`%

❶

❷

❸

02

주어진 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 12, 16, 22, 26, 29, 29, 35, 38, 40, 43이므로 (평균)=

(평균)=;;™1ª0º;;=29(회)

(중앙값)= =29(회)

최빈값은 29가 2번 있으므로 29회이다.

03

주어진 7개의 변량의 평균이 1이므로

=1

∴ x+y=7

최빈값이 1이므로 x, y 중 적어도 하나의 값은 1이고 x<y, x+y=7이므로

x=1, y=6

∴ y-x=6-1=5

04

4개의 변량 a, b, c, d의 평균이 m이므로

=m ∴ a+b+c+d=4m 따라서 변량 a-4, b+7, c+5, d+8의 평균은

= =

=m+4

05

2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3의 평균이 9이므로

=9

-3=9 a+b+c+d-6=18

∴ a+b+c+d=24 따라서 a, b, c, d의 평균은

=;;™4¢;;=6

06

먼저 4개의 사과상자의 평균을 구하면 (편차)=(변량)-(평균)이므로 B상자에서

-0.2=7.6-(평균)

∴ (평균)=7.6+0.2=7.8(kg) 4개의 사과상자의 평균이 7.8 kg이므로 C상자에서 z=8.1-7.8=0.3

또, 편차의 총합은 0이므로

y+(-0.2)+0.3+(-1.0)=0 ∴ y=0.9 A상자에서 0.9=x-7.8 ∴ x=8.7

∴ x-y-z=8.7-0.9-0.3=7.5 a+b+c+d

11211224 a+b+c+d 11211222

2(a+b+c+d)-12 11211121114

(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3) 112111211111111111254

4m+16 12511554 a+b+c+d+16

125111255114

(a-4)+(b+7)+(c+5)+(d+8) 111111111115251112554

a+b+c+d 1251112554

1+(-4)+x+3+y+7+(-7) 111111112125111257

29+29 11212

12+16+22+26+29+29+35+38+40+43 11111125111111121251112510 (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지8 mac02 T

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(9)

07

^(평균)= ⁼ ^=50(kg)

따라서 분산은

=;;¢5º;;=8

이므로 (표준편차)='8=2'2(kg)

08

주어진 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 9, 10이므로

① 중앙값은 =4.5

② 최빈값이 없는 경우는 모든 변량의 도수가 모두 같은 경우 이다. 주어진 자료의 최빈값은 각각 2개씩 있는 4, 5이다.

③ (평균)= =5

④ 크기순으로 나열한 각 변량의 편차는 -4, -3, -2, -1, -1, 0, 0, 2, 4, 5이므로

(분산)=;1¡0;{(-4)¤ +(-3)¤ +(-2)¤ +(-1)¤

+(-1)¤ +0¤ +0¤ +2¤ +4¤ +5ﬁ } (분산)=;1&0^;=7.6

④따라서 표준편차는 '∂7.6이다.

⑤ ④에서 평균에 대한 각 변량들의 편차의 제곱의 합은 76 이다.

09

평균이 3이므로

= =3

∴ a+b=4 yy㉠

a, b를 제외한 나머지 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열 하면

-2, 1, 5, 6, 7

7개의 변량의 중앙값이 4이므로 a, b를 포함한 모든 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때 4번째 변량이 4가 되 어야 한다.

즉, a, b 중 한 수는 4 이하이고 다른 한 수는 4이어야 하며, a>b이므로 a=4

a=4이므로 ㉠에서 4+b=4 ∴ b=0 따라서 1, 4, -2, 0, 7, 6, 5의 분산은

=;;§7•;;

∴ (표준편차)=Æ…;;§7•;;=

10

(평균)=

(평균)=6a=a 1556

(a-4)+(a+2)+(a+1)+(a-2)+(a+4)+(a-1) 111111111111111111125556

2'∂119 1125557

(1-3)¤ +(4-3)¤ +(-2-3)¤ +(0-3)¤ +(7-3)¤ +(6-3)¤ +(5-3)¤

11212551111111111111111112557 a+b+17

11212557 1+a+(-2)+b+7+6+5

112111111111557

1+2+3+4+4+5+5+7+9+10 112111111111111210

1124+52

(54-50)¤ +(52-50)¤ +(48-50)¤ +(46-50)¤ +(50-50)¤

111111111111111111111552355 112505

54+52+48+46+50 112112211115

(편차)=(변량)-(평균)에서 주어진 변량의 편차는 차례대로 -4, 2, 1, -2, 4, -1이므로

(분산)=

(분산)=;;¢6™;;=7

11

x¡, x™, x£, x¢, x∞의 평균이 4이므로

=4 yy㉠

x¡, x™, x£, x¢, x∞의 표준편차가 2, 즉 분산이 2¤ =4이므로

=4 yy㉡ 2x¡-1, 2x™-1, 2x£-1, 2x¢-1, 2x∞-1의 평균은

=

=2_ -1

=2_4-1 (∵ ㉠)

=7

따라서 2x¡-1, 2x™-1, 2x£-1, 2x¢-1, 2x∞-1의 분산은

=

=4_

=4_4 (∵ ㉡)

=16

따라서 구하는 표준편차는 '∂16=4

12

(평균)= =;2$0);=2(권)

주어진 변량의 편차는 차례대로 -2, -1, 0, 1, 2이므로 (분산)=

(분산)=;2@0);=1

따라서 구하는 표준편차는 '1=1(권)이다.

13

도수의 총합이 10명이므로

2+x+4+2+1=10 ∴ x=1

∴ (평균)=

∴ (평균)= =34(분)

(분산)=

(분산)= =149

∴ (표준편차)='∂149 (분) 113149010

(-19)¤ _2+(-9)¤ _1+1¤ _4+11¤ _2+21¤ _1 1111112511111112125511123510

1134010

15_2+25_1+35_4+45_2+55_1 111111251111111212552510 (-2)¤ _1+(-1)¤ _5+0¤ _9+1¤ _3+2¤ _2 112111111111115555511111520

0_1+1_5+2_9+3_3+4_2 112111111111115555520 {(x¡-4)¤ +(x™-4)¤ +y+(x∞-4)¤ } 11111111111111115 4(x¡-4)¤ +4(x™-4)¤ +y+4(x∞-4)¤

111111111111111115 (2x¡-1-7)¤ +(2x™-1-7)¤ +y+(2x∞-1-7)¤

111111111111111111111255 x¡+x™+x£+x¢+x∞

1111111115 2(x¡+x™+x£+x¢+x∞)-5 111111111112555

(2x¡-1)+(2x™-1)+(2x£-1)+(2x¢-1)+(2x∞-1) 111111112551111111111111555

(x¡-4)¤ +(x™-4)¤ +(x£-4)¤ +(x¢-4)¤ +(x∞-4)¤

111111112551111111111155125 x¡+x™+x£+x¢+x∞

111111112555

(-4)¤ +2¤ +1¤ +(-2)¤ +4¤ +(-1)¤

15511111111111111256 (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지9 mac02 T

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답지 블로그

(10)

14

도수의 총합이 20이므로 2+5+a+3+b=20

∴ a+b=10 yy㉠

=6

∴ 3a+5b=36 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=3

∴ (분산)=

∴ (분산)=5.6

15

각 자료의 평균을 구하면

① 4 ② 4 ③ 4 ④ 4 ⑤ 3

이고 표준편차가 가장 큰 것은 변량들이 평균으로부터 흩어 진 정도가 가장 심한 것이므로 ②이다.

16

1단계 주어진 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 11, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16이므로 (평균)=

(평균)= =14(개)

2단계 도수의 총합이 10명이므로 중앙값은 5번째의 값인 14와 6번째의 값인 15의 평균이다.

∴ (중앙값)= =14.5(개)

3단계 기록이 15개일 때의 도수가 4로 가장 높으므로 최빈 값은 15개이다.

17

1단계 남학생 점수의 평균은

=;;¡2™0º;;=6(점) 남학생의 각 계급의 편차는 -3, -1, 1, 3이므로 남 학생 점수의 분산은

=;2^0);=3

2단계 여학생 점수의 평균은

=;;¡2™0º;;=6(점) 여학생의 각 계급의 편차는 -3, -1, 1, 3이므로 여 학생 점수의 분산은

=;;¡2º0•;;=5.4

3단계 분산이 작을수록 분포가 더 고르므로 남학생의 점수 분포가 더 고르다.

(-3)¤ _5+(-1)¤ _6+1¤ _3+3¤ _6 152551111111155555551111120

3_5+5_6+7_3+9_6 1525511111111555555520

(-3)¤ _3+(-1)¤ _6+1¤ _9+3¤ _2 152551111111155555551111120

3_3+5_6+7_9+9_2 1525511111111555555520

14+15 152555555552 1555514010

11_1+12_1+13_1+14_2+15_4+16_1 11255511111111111211310 (-4)¤ _2+(-2)¤ _5+0¤ _7+2¤ _3+4¤ _3 1121111111111111111420 2_2+4_5+6_a+8_3+10_b

1121111111111112520

18

(평균)=;1#0%;=3.5(kg) ^❶

(분산)=;1!0@;=1.2 ^❷

따라서 구하는 표준편차는 '∂1.2 kg이다. ^❸

19

a, 3, b, 6, c, 6의 평균이 4이므로

=4 a+b+c+15=24

∴ a+b+c=9 ❶

a, 3, b, 6, c, 6의 표준편차가 3, 즉 분산이 3¤ =9이므로

=9

=9 a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+57=54 a+b+c=9이므로

a¤ +b¤ +c¤ -8_9+57=54

∴ a¤ +b¤ +c¤ =69 ❷

따라서 a, b, c의 평균이

=;3(;=3 이므로 a, b, c의 분산은

(분산)=

(분산)=

(분산)=14

따라서 구하는 표준편차는 '∂14이다. ^❸

69-6_9+27 111111553

a¤ +b¤ +c¤ -6(a+b+c)+27 11111111215511253

(a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤

11111111215511253 a+b+c

111555553

(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ +9 11111111215511255156

(a-4)¤ +(3-4)¤ +(b-4)¤ +(6-4)¤ +(c-4)¤ +(6-4)¤

11111111211111111111126 a+3+b+6+c+6

1111111126

무게(kg) 1^이상~2^미만 2^이상~3^이상 3^이상~4^이상 4^이상~5^이상 5^이상~6^이상 합계

계급값 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5

도수 1 2 4 2 1 10

편차 -2 -1 0 1 2

(편차)¤ _(도수) 4 2 0 2 4 12 (계급값)_(도수)

1.5 5 14 9 5.5 35

채점 기준

단계 비율

평균 구하기 40`%

분산 구하기 40`%

표준편차 구하기 20`%

❶

❷

❸

채점 기준

단계 비율

a+b+c의 값 구하기 20`%

a¤ +b¤ +c¤ 의 값 구하기 30`%

a, b, c의 표준편차 구하기 50`%

❶

❷

❸ (01~10)627(진도)해설1 2015.4.24 8:28 AM 페이지10 mac02 T

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(11)

Ⅱ.피타고라스 정리 11 진도 북

피타고라스 정리

04 Ⅱ-1 ^{｜피타고라스 정리} 1

^{피타고라스 정리}

Ⅱ ^{피타고라스 정리}

1 ^{⑴ 5} ^{⑵ 8} ^{⑶ 12} ^{⑷ 1}

⑴ x="√4¤ +3¤ ='∂25=5

⑵ x="√10¤ -6¤ ='∂64=8

⑶ x="√13¤ -5¤ ='∂144=12

⑷ x=øπ('5)¤ -2¤ ='1=1 2 ^{⑴ x=4, y=3} ⑵ x=3'2, y=7

⑴ △ADC에서 x="√5¤ -3¤ ='∂16=4

⑴△ABC에서 y+3=øπ(2'∂13)¤ -4¤ ='∂36=6 ∴ y=3

⑵ △ADC에서 x="√3¤ +3¤ ='∂18=3'2

⑴△ABD에서 y-3="√5¤ -3¤ ='∂16=4 ∴ y=7

피타고라스 정리의 설명

05

개념다지기 본문 24~25쪽

1 ^{6 cm¤}

BFGC= ADEB+ ACHI이므로

25= ADEB+9 ∴ ADEB=16(cm¤ ) 따라서 AB”=4 cm, AC”=3 cm이므로

△ABC=;2!;_4_3=6(cm¤ ) 2 ^{⑴ 144 cm¤} ^{⑵ 80 cm¤}

⑴ △GAD™△ABC이므로 AD”=BC”=4 cm 따라서 CD”=8+4=12(cm)이므로

CDEF=12_12=144(cm¤ )

⑵ △ABC에서 AB”="√8¤ +4¤ =4'5(cm)

AGHB는 한 변의 길이가 4'5 cm인 정사각형이므로 AGHB=4'5_4'5=80(cm¤ )

3 ^{⑴ 2 cm} ^{⑵ 4 cm¤}

⑴ EA”=AB”=2'5 cm

△EAH에서 EH”=øπ(2'5)¤ -2¤ =4(cm)

△AHE™△EGD이므로 EG”=AH”=2 cm

∴ GH”=EH”-EG”=4-2=2(cm)

⑵ CFGH는 한 변의 길이가 2 cm인 정사각형이므로 CFGH=2_2=4(cm¤ )

4 ;;§2∞;; cm¤

△ABE™△ECD이므로

BE”=CD”=7 cm, EC”=AB”=4 cm

∴ AE”=ED”="√7¤ +4¤ ='∂65(cm)

△AED는 ∠AED=90˘인 직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;_'∂65_'∂65=;;§2∞;;(cm¤ )

⑴ '∂66 ⑵ 8

⑴ △ACD에서 AC”="√3¤ +5¤ ='∂34

△ABC에서 x=øπ10¤ -('ß34)¤ ='∂66

⑵ (x+2)¤ =x¤ +(x-2)¤

x¤ +4x+4=x¤ +x¤ -4x+4 x¤ -8x=0, x(x-8)=0

∴ x=0 또는 x=8 x-2>0에서 x>2이므로 x=8

⑴ 3 ⑵ ;;¢8¡;;

⑴ △ABC에서 BC”="√13¤ -12¤ =5

△BCD에서 x="√5¤ -4¤ =3

⑵ (x+3)¤ =7¤ +(x-1)¤

x¤ +6x+9=x¤ -2x+50, 8x=41 ∴ x=;;¢8¡;;

⑤ AC”="√3¤ +3¤ =3'2 AD”=øπ(3'2)¤ +3¤ =3'3 AE”=øπ(3'3)¤ +3¤ =6 AF”="√6¤ +3¤ =3'5

∴ AG”=øπ(3'5)¤ +3¤ =3'6

④ AB”=x cm라고 하면

AC”='2x cm, AD”='3x cm, AE”=2x cm, AF”='5x cm 따라서 AF”=20 cm이므로 '5x=20에서

x=4'5

유제 2 핵심 2 유제 1 핵심 1

⑴ 2'2 ⑵ 17

⑴ 오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면

△ABD에서 BD”="√2¤ +3¤ ='1å3

△BCD에서

x=øπ('1å3)¤ -('5)¤

='8=2'2

⑵ 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서

AH”="√10¤ -6¤ =8

△BCD에서 DC”=AH”=8이므로 x="√(6+9)¤ +8¤ =17

13

오른쪽 그림과 같이 BD”를 그으면

△ABD에서 BD”="√12¤ +9¤ =15 이므로 △BCD에서

B’C’=øπ15¤ -(2'1å4)¤ =13

15 2Â14°

13 12

A 9

B C

D 유제 3

A

B C

H

D 10

6 9 x

Â13°

Â5 2 x

3 A

B C

D 핵심 3

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지11 mac02 T

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답지 블로그

(12)

직각삼각형의 판별

06

1 ㄱ, ㄹ

ㄱ. ('3 )¤ =1¤ +('2 )¤ 이므로 직각삼각형이다.

ㄴ. ('ß14)¤ +2¤ +3¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

ㄷ. 4¤ +('6 )¤ +('ß11)¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

ㄹ. ('ß34)¤ =3¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이다.

ㅁ. 8¤ +5¤ +6¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

ㅂ. 9¤ +6¤ +7¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

③

EA”∥DB”이므로 △ABE=△ACE ( ① )

△EAB와 △CAF에서

EA”=CA”, AB”=AF”, ∠EAB=∠CAF

∴ △EAB™△CAF (SAS 합동) ( ② ) AF”∥CM”이므로

△CAF=△LAF=;2!; AFML=△LFM ( ④, ⑤ ) 따라서 △ABE와 넓이가 같지 않은 것은 ③이다.

②

① △ABH와 △GBC에서

AB”=GB”, BH”=BC”, ∠ABH=∠GBC

∴ △ABH™△GBC (SAS 합동)

∴ AH”=GC”

② △ABE™△AFC (SAS 합동)

③ IA”∥HB”이므로 △BHC=△ABH

△ABH™△GBC이므로 △BHC=△GBC

⑤ CM”∥BG”이므로

△GBC=△LGB=;2!; LMGB

∴ △ABH=△GBC=;2!; LMGB 32 cm¤

△BFL=;2!; BFML=;2!; ADEB

△BFL=;2!;_8¤ =32(cm¤ ) 18 cm¤

△AGC=△LGC=;2!; LMGC=;2!; ACHI

=;2!;_36=18(cm¤ ) 289 cm¤

CG”=CD”-GD”=23-8=15(cm)이므로 △GFC에서 GF”="√8¤ +15¤ =17(cm)

따라서 EFGH는 한 변의 길이가 17 cm인 정사각형이므로 EFGH=17¤ =289(cm¤ )

81

GBAE는 정사각형이고 넓이가 45이므로 EG”=GB”=BA”=AE”='∂45=3'5

△ABC에서

BC”=øπ(3'5)¤ -3¤ =6

∴ HC”=3+6=9

따라서 FHCD는 한 변의 길이가 9인 정사각형이므로 FHCD=9¤ =81

16 cm¤

AE”=B’F’=CG”=DH”=4 cm이므로 △AHD에서 AH”=øπ(4'5)¤ -4¤ =8(cm)

∴ EH”=AH”-AE”=8-4=4(cm)

따라서 EFGH는 한 변의 길이가 4 cm인 정사각형이므로 EFGH=4¤ =16(cm¤ )

핵심 4 유제 3 핵심 3 유제 2 핵심 2 유제 1 핵심 1

169 cm¤

CFGH는 정사각형이고 넓이가 49 cm¤ 이므로 CF”=7 cm

∴ BC”=BF”+CF”=5+7=12(cm)

△ABC에서

AC”=BF”=5 cm이므로 AB”="√5¤ +12¤ =13(cm)

∴ ABDE=13¤ =169(cm¤ ) (8'5-16)cm

AE”=BF”=CG”=DH”=4 cm이므로 △ABE에서 BE”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

∴ EF”=BE”-BF”=2'5-4(cm)

따라서 EFGH는 한 변의 길이가 (2'5-4)cm인 정사각형이 므로 구하는 둘레의 길이는

4_(2'5-4)=8'5-16(cm) 4 cm

ABCD는 정사각형이고 넓이가 5 cm¤ 이므로 AB”='5 cm

△ABE에서

BE”=øπ('5)¤ -1¤ =2(cm) BF”=AE”=1 cm이므로

EF”=BE”-BF”=2-1=1(cm)

따라서 EFGH는 한 변의 길이가 1 cm인 정사각형이므로 구 하는 둘레의 길이는

4_1=4(cm) 40 cm¤

AB”=EC”=4 cm, BE”=CD”=8 cm

∴ EA”=DE”="√4¤ +8¤ =4'5(cm)

따라서 △AED는 ∠AED=90˘인 직각이등변삼각형이므로

△AED=;2!;_4'5_4'5=40(cm¤ )

'∂178 cm

△ABD™△CEB이므로

BC”=DA”=5 cm, AB”=CE”=8 cm

∴ BD”=EB”="√5¤ +8¤ ='∂89(cm)

따라서 △DBE는 ∠DBE=90˘인 직각이등변삼각형이므로 DE”=øπ('∂89)¤ +('∂89)¤ ='∂178(cm)

유제 6 핵심 6 유제 5 핵심 5 유제 4

핵심문제익히기 본문 26~27쪽

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지12 mac02 T

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(13)

Ⅱ.피타고라스 정리 13 진도 북 2 3'ß13

9¤ +6¤ =x¤ , 즉 x¤ =117이어야 하므로 x='∂117=3'ß13

3 ¹²

가장 긴 변의 길이는 x+3이므로 (x+3)¤ =x¤ +(x-3)¤

x¤ +6x+9=x¤ +x¤ -6x+9 x¤ -12x=0, x(x-12)=0

∴ x=0 또는 x=12 x-3>0에서 x>3이므로 x=12

①, ⑤

① ('ß41)¤ =4¤ +5¤

② ('ß10)¤ +2¤ +3¤

③ 14¤ +5¤ +12¤

④ ('ß15)¤ +('6)¤ +(2'2)¤

⑤ 15¤ =9¤ +12¤

따라서 직각삼각형인 것은 ①, ⑤이다.

④ ㄱ. 4¤ +2¤ +3¤

ㄴ. ('ß10)¤ =3¤ +1¤

ㄷ. 9¤ +6¤ +8¤

ㄹ. 25¤ =7¤ +24¤

따라서 직각삼각형인 것은 ㄴ, ㄹ이다.

9

∠B=90˘가 되어야 하므로 (x+8)¤ =(x-1)¤ +(x+6)¤

x¤ +16x+64=x¤ -2x+1+x¤ +12x+36 x¤ -6x-27=0, (x+3)(x-9)=0

∴ x=-3 또는 x=9 x-1>0에서 x>1이므로 x=9

①

가장 긴 변의 길이가 x+8이므로 (x+8)¤ =x¤ +(x+7)¤

x¤ +16x+64=x¤ +x¤ +14x+49 x¤ -2x-15=0, (x+3)(x-5)=0

∴ x=-3 또는 x=5 x>0이므로 x=5

'ß10, 2'2

⁄가장 긴 변의 길이가 x cm일 때 x¤ =1¤ +3¤ =10

∴ x='∂10 (∵ x>0)

¤가장 긴 변의 길이가 3 cm일 때 3¤ =1¤ +x¤ , x¤ =8

∴ x=2'2 (∵ x>0)

⁄, ¤에서 x='∂10, x=2'2

핵심 3 유제 2 핵심 2 유제 1 핵심 1

13, '∂119

⁄가장 긴 변의 길이가 x cm일 때

x¤ =5¤ +12¤ =169 ∴ x=13 (∵ x>0)

¤가장 긴 변의 길이가 12 cm일 때

12¤ =5¤ +x¤ , x¤ =119 ∴ x='∂119 (∵ x>0)

⁄, ¤에서 x=13, x='∂119

유제 3

본문 30~31쪽

실력굳히기

01'∂41 02③ 032'∂14 cm 04④ 05③ 06⑤ 077 08③ 09④ 10(6+3'3 ) cm¤

112'5, 2'∂17, 4'3 123'∂10 cm 132'∂41, 6

01

△ADC가 직각삼각형이므로 DC”="√5¤ -4¤ =3

BD”+DC”=8이므로 BD”=8-3=5

△ABD가 직각삼각형이므로 x="√5¤ +4¤ ='ß41

02

가장 긴 변의 길이가 x+2이므로 (x+2)¤ =x¤ +(x-7)¤

x¤ +4x+4=x¤ +x¤ -14x+49 x¤ -18x+45=0, (x-3)(x-15)=0

∴ x=3 또는 x=15 x-7>0에서 x>7이므로 x=15 따라서 구하는 빗변의 길이는

x+2=15+2=17

03

점 G가 직각삼각형 ABC의 무게중심이므로 AG” : GD”=2 : 1

∴ AD”=3GD”=3_1.5=4.5(cm)

점 D는 직각삼각형 ABC의 빗변의 중점이므로 직각삼각형 ABC의 외심이다.

즉, AD”=BD”=DC”이므로 BC”=2BD”=2_4.5=9(cm) 따라서 △ABC에서

AB”="√9¤ -5¤ =2'∂14(cm)

04

오른쪽 그림과 같이 선분 BD를 그 으면 △ABD에서

BD”="√6¤ +8¤ =10(cm) 따라서 △BCD에서

x=øπ10¤ -5¤ =5'3

05

BE”=BD”="√2¤ +2¤ =2'2 (cm) BG”=BF”=øπ(2'2 )¤ +2¤ =2'3 (cm) BI”=BH”=øπ(2'3 )¤ +2¤ =4 (cm) BK”=BJ”="√4¤ +2¤ =2'5 (cm)

∴ EK”=BK”-BE”=2'5-2'2 (cm) A

B

C

D 5`cm x`cm

8`cm 6`cm

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지13 mac02 T

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답지 블로그

(14)

06

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 변 BC에 내린 수선의 발을 E 라 하고 AD”=EC”=x cm라고 하면 △ABE에서

10¤ =(10-x)¤ +8¤

100=100-20x+x¤ +64 x¤ -20x+64=0 (x-4)(x-16)=0

∴ x=4 또는 x=16

x>0, 10-x>0에서 0<x<10이므로 x=4 따라서 사다리꼴 ABCD의 넓이는

;2!;_(4+10)_8=56(cm¤ )

07

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그으면

AB”=13-7=6 (cm)

△ABC에서

BC”="√10¤ -6¤ =8 (cm)

∴ x=15-BC”=15-8=7

08

ADEB에서 △ABE=△ADE ( ② ) 또, △EBC와 △ABF에서

BE”=BA”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF 이므로

△EBC™△ABF (SAS 합동)

∴ △ABE=△EBC=△ABF=△BFL( ①, ④, ⑤ )

09

△ABE™△BCF™△CDG™△DAH (SAS 합동)

① BF”=AE”=2 cm

② CF”=AH”="√3¤ -2¤ ='5 (cm)

③ △BCF=;2!;_'5_2='5 (cm¤ )

④ FG”=CF”-CG”='5-2(cm)

⑤ EFGH=FG”¤ =('5-2)¤ =9-4'5 (cm¤ )

10

△ABC™△DEB이므로 BC”=EB”, CA”=BD”=3 cm

△CBE는 ∠CBE=90˘인 직각이등변삼각형이므로

△CBE=;2!;_BC”¤ =6

∴ BC”='∂12=2'3 (cm) 따라서 △ABC와 △DEB에서

AB”=DE”=øπ(2'3)¤ -3¤ ='3(cm)이므로 ADEC=;2!;_(3+'3 )_(3+'3 )

=6+3'3 (cm¤ )

11

2'5='2å0, 2'∂13='∂52, 2'∂17='∂68, 3'2='∂18, 4'3='∂48 이때 (2'5 )¤ +(4'3 )¤ =(2'∂17)¤ 이므로 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 세 수는 2'5, 2'∂17, 4'3이다.

15`cm 7`cm x`cm

10`cm 13`cm

A

B C

A

B E C

D

8`cm

{10-x}`cm 10`cm

x`cm

12

△AEH™△BFE™△CGF™△DHG (SAS 합동)이므로 HE”=EF”=FG”=GH”

또, ∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90˘이므로

EFGH는 정사각형이다. ❶

△AEH에서 AH”=9-6=3(cm)이므로

EH”="√6¤ +3¤ =3'5(cm) ^❷

△HEF는 직각이등변삼각형이므로

HF”=øπ(3'5)¤ +(3'5 )¤ =3'∂10(cm) ❸

13

^⁄가장 긴 변의 길이가 x cm일 때 x¤ =8¤ +10¤ =164이고, x>0이므로

x='∂164=2'∂41 ^❶

¤가장 긴 변의 길이가 10 cm일 때

10¤ =x¤ +8¤ 에서 x¤ =36이고, x>0이므로

x='∂36=6 ^❷

따라서 직각삼각형이 되도록 하는 x의 값은 2'4å1 또는 6이

다. ❸

채점 기준

단계 비율

가장 긴 변의 길이가 x cm일 때 x의 값 구하기 40`%

가장 긴 변의 길이가 10 cm일 때 x의 값 구하기 40`%

직각삼각형이 되도록 하는 x의 값 구하기 20`%

❶

❷

❸

삼각형의 변과 각 사이의 관계

07

2

피타고라스 정리와 도형

1 10, 2, 18, 10¤ , 2'∂41, 18

2 ⑴ 예각삼각형 ⑵ 둔각삼각형 ⑶ 직각삼각형

⑴ 6¤ <5¤ +5¤ 예각삼각형

⑵ 5¤ >('5 )¤ +(2'3 )¤ 둔각삼각형

⑶ 13¤ =5¤ +12¤ 직각삼각형

3<x<15

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에서

12-9<x<12+9 ∴ 3<x<21 yy㉠

∠C<90˘이므로 x¤ <9¤ +12¤ , x¤ <225

x>0이므로 0<x<15 yy㉡

㉠, ㉡에 의하여 3<x<15

핵심 1

채점 기준

단계 비율

EFGH가 정사각형임을 보이기 40`%

EH”의 길이 구하기 30`%

HF”의 길이 구하기 30`%

❶

❷

❸ (11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지14 mac02 T

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(15)

Ⅱ.피타고라스 정리 15 진도 북

7<x<17

15-8<x<15+8 ∴ 7<x<23 yy㉠

∠A<90˘이므로 x¤ <15¤ +8¤ , x¤ <289

x>0이므로 0<x<17 yy㉡

㉠, ㉡에 의하여 7<x<17 17<a<23

15-8<a<15+8 ∴ 7<a<23 yy㉠ a가 가장 긴 변의 길이이므로 a>15 yy㉡ 주어진 삼각형이 둔각삼각형이므로

a¤ >8¤ +15¤ , a¤ >289

∴ a>17 (∵ a>0) yy㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 17<a<23 3개

8-5<x<8+5 ∴ 3<x<13 yy㉠ 가장 긴 변의 길이가 8이므로 0<x<8 yy㉡ 주어진 삼각형이 둔각삼각형이므로

8¤ >5¤ +x¤ , x¤ <39

∴ 0<x<'∂39 (∵ x>0) yy㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 3<x<'∂39

이때 6<'∂39<7이므로 구하는 자연수 x의 개수는 4, 5, 6의 3개 이다.

④

① 4¤ >2¤ +3¤ 둔각삼각형

② 11¤ >6¤ +9¤ 둔각삼각형

③ 6¤ =(3'3)¤ +3¤ 직각삼각형

④ ('∂21)¤ <('∂10)¤ +(2'3)¤ 예각삼각형

⑤ 4¤ =('∂15)¤ +1¤ 직각삼각형 따라서 예각삼각형인 것은 ④이다.

ㄴ, ㄷ, ㅁ ㄱ. 7¤ <4¤ +6¤ 예각삼각형 ㄴ. 15¤ >9¤ +10¤ 둔각삼각형 ㄷ. 13¤ >4¤ +12¤ 둔각삼각형

ㄹ. ('∂15)¤ <('6)¤ +(2'3)¤ 예각삼각형 ㅁ. 3¤ >('2)¤ +2¤ 둔각삼각형

ㅂ. ('3)¤ =1¤ +('2)¤ 직각삼각형 따라서 둔각삼각형인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.

유제 3 핵심 3 유제 2 핵심 2 유제 1

피타고라스 정리와 직각삼각형의 성질

08

1 ^{⑴ 8} ⑵ 4'5

⑴ BD”_CD”=AD”¤ 이므로 2_CD”=4¤

∴ CD”=8

⑵ AC”¤ =DC”_BC”이므로 AC”¤ =8(8+2)=80

∴ AC”='∂80=4'5 (∵ AC”>0)

2 ^4.8

△ABC에서 BC”="√6¤ +8¤ =10 AB”_AC”=BC”_AD”이므로

8_6=10_AD” ∴ AD”=4.8 3 ⁶⁵

DE”¤ +BC”¤ =BE”¤ +CD”¤ =4¤ +7¤ =65

피타고라스 정리와 사각형의 성질

09

1 ⁶¹

AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로

6¤ +5¤ =AD”¤ +B’C”¤ ∴ AD”¤ +BC”¤ =61 2'3

AB”¤ =BD”_BC”이므로 x¤ =1_4=4

∴ x=2 (∵ x>0)

AD”¤ =BD”_CD”이므로 y¤ =1_3=3

∴ y='3 (∵ y>0)

∴ xy=2_'3=2'3

AB”¤ =BD”_BC”이므로 x¤ =2_5=10

∴ x='∂10 (∵ x>0)

AC”¤ =CD”_CB”이므로 y¤ =3_5=15

∴ y='∂15 (∵ y>0)

∴ ;]{;= = =

:£5§: cm

△ABC에서 AB”="√15¤ -12¤ =9(cm) AB”_AC”=AH”_BC”이므로

9_12=AH”_15 ∴ AH”=;;£5§;;(cm)

;;¡1™7º;; cm

△ABC에서 AB”="‘17¤ -8¤ =15(cm) AB”_AC”=AD”_BC”이므로

15_8=AD”_17 ∴ AD”=;;¡1™7º;;(cm)

7

BE”¤ +CD”¤ =DE”¤ +BC”¤ 이므로 5¤ +6¤ =(2'3)¤ +BC”¤ , BC”¤ =49

∴ BC”=7 (∵ BC”>0) '∂19 cm

B’E’¤ +CD”¤ =DE”¤ +B’C’¤ 이므로 6¤ +8¤ =DE”¤ +9¤ , DE”¤ =19

∴ DE”='∂19(cm) (∵ DE”>0)

유제 3 핵심 3 유제 2 핵심 2

12'63 12'2

'3 11'∂10

'∂15 1'6 122553 유제 1 핵심 1

(11~29)627(진도)해설2 2015.4.24 8:29 AM 페이지15 mac02 T

3 2 중학수학

중학수학 3 -2

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