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3 -2

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(1)

개념원리수학 익힘책 [알피엠]

다양한 유형의 우수한 문제를 통하여 수학의 문제해결력을 높일 수 있는

이홍섭 지음

정답과 풀이

01

대푯값과 산포도 02/

02

피타고라스 정리 14/

03

피타고라스 정리의 활용 26/

04

삼각비 42/

05

삼각비의 활용 55/

06

원과 직선 66/

07

원주각 79/

08

원주각의 활용 92/

내신만점 테스트 104

수학 3 -2

http://zuaki.tistory.com

(2)

01 대푯값과산포도

(평균)=

= =6 6

(평균)=

= =86 86

(평균)=

= =22 22

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 80, 80, 90, 100, 130

이므로 중앙값은 =3번째 자료의 값인 90이다. 90

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 4, 5, 7, 8, 9

이므로 중앙값은 =3번째와 +1=4번째 자료의 값인 5 와 7의 평균인

=6 6

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10

이므로 중앙값은 =4번째와 +1=5번째 자료의 값인 5 와 6의 평균인

=5.5 5.5

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 68, 69, 76, 83, 87, 95, 97

이므로 중앙값은 =4번째 자료의 값인 83이다. 83

3 없다.

2 9, 10

0011 0010 0009 0008

7+1 2

0007

5+6 2

8 2 8

2

0006

5+7 2

6 2 6

2

0005

5+1 2

0004

176 8

18+20+21+22+24+26+24+21

0003

8

516 6

80+85+95+93+77+86

0002

6

36 6

8+5+4+10+7+2

0001

6

주어진 자료는 크기순으로 나열되어 있고, 전체 자료 의 중앙에 있는 값은 19이므로 중앙값은 19시간이다.

또, 가장 많이 나타난 값이 22이므로 최빈값은 22시간이다.

중앙값:19시간, 최빈값:22시간

(평균)= = =7이므로 편차는 차

례로 -2, -1, 0, 1, 2이다. -2, -1, 0, 1, 2

(평균)= = =14이므로 편

차는 차례로 -4, 2, 3, -1, 0이다. -4, 2, 3, -1, 0

(평균)= = =85이므로

편차는 차례로 0, -8, 9, -13, 12이다.

0, -8, 9, -13, 12

(평균)= = =26이

므로 편차는 차례로 -7, -3, 8, 1, 5, -4이다.

-7, -3, 8, 1, 5, -4

(평균)= = =6이므로

(분산)= = =8

(표준편차)='8=2'2 분산:8, 표준편차:2'2

(평균)= = =5이므로

(분산)= = =4.4

(표준편차)='∂4.4 분산:4.4, 표준편차:'∂4.4

(평균)= = =10이므로

(분산)= = =10

(표준편차)='ß10 분산:10, 표준편차:'ß10

(평균)= = =10이므로

(분산)=

= =

(표준편차)=Ƭ =2'ß15 3 20

3 20

3 40

6

(-3)¤ +0¤ +1¤ +5¤ +(-2)¤ +(-1)¤

6

60 6 7+10+11+15+8+9

0020

6

50 5 (-2)¤ +(-1)¤ +(-4)¤ +5¤ +2¤

5

50 5 8+9+6+15+12

0019

5

22 5 (-4)¤ +0¤ +1¤ +1¤ +2¤

5

25 5 1+5+6+6+7

0018

5

40 5 (-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤

5

30 5 2+4+6+8+10

0017

5

156 6 19+23+34+27+31+22

0016

6

425 5 85+77+94+72+97

0015

5

70 5 10+16+17+13+14

0014

5

35 5 5+6+7+8+9

0013

5

0012

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(3)

분산: , 표준편차:

(평균)= = =5이므로

(분산)

=

= =5.5

(표준편차)='∂5.5 분산:5.5, 표준편차:'∂5.5

(평균)=

= =82

이므로 (분산)

=

= =62

(표준편차)='ß62 분산:62, 표준편차:'ß62

도수분포표를 완성하면 다음과 같다.

∴ (평균)= =28(초) 28초

A=5, B=32, C=1720

(분산)= =86

(표준편차)='ß86초 분산:86, 표준편차:'ß86초

A조의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10, 23, 25, 32, 47

이므로 중앙값은 3번째 자료의 값인 25시간이다.

∴ a=25(시간)

B조의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 8, 9, 11, 15, 20, 24

이므로 중앙값은 3번째와 4번째 자료의 값인 11과 15의 평 균인

0026

1720

0025

20

0024

560 20

0023

496 8

(-4)¤ +2¤ +14¤ +(-6)¤ +8¤ +4¤ +(-8)¤ +(-10)¤

8 656

8

78+84+96+76+90+86+74+72

0022

8 44

8

(-1)¤ +(-3)¤ +2¤ +0¤ +2¤ +(-1)¤ +4¤ +(-3)¤

8

40 8 4+2+7+5+7+4+9+2

0021

8

2'ß15 3 20

3 =13(시간)

∴ b=13(시간)

∴ a+b=25+13=38 38

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8

∴ a=

= =5(회)

또한 중앙값은 6번째와 7번째 자료의 값인 5와 5의 평균이므로 b= =5(회)

∴ a+b=5+5=10 10

평균이 25회이므로

=25

=25, 240+2a=250

∴ a=5

이때 경기 출전 횟수는 크기순으로 나열되어 있으므로 중앙값 은 5번째와 6번째 자료의 값인 25와 29의 평균인

=27(회) 27회

나머지 세 수를 p, q, r(단, p…q…r)라고 할 때, 중 앙값이 가장 큰 경우 9개의 정수를 작은 수부터 크기순으로 나 열하면 다음과 같다.

2, 4, 4, 7, 8, 9, p, q, r

따라서 중앙값은 5번째 수이므로 중앙값이 될 수 있는 가장 큰

수는 8이다. 8

볼링공에 적힌 수를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 13

이므로 m=

= =10(파운드)

또한 중앙값은 5번째와 6번째의 자료의 값인 10과 11의 평균 이므로

a= =10.5(파운드)

한편 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 b=11(파운드)

∴ m+a+b=10+10.5+11=31.5 31.5 10+11

2 100 10

7+8_2+9+10+11_3+12+13 10

0030 0029

25+29 2 240+2a

10

12+14+21+(20+a)+(20+a)+29+30+31+31+32 10

0028

5+5 2

60 12

1_2+3+4_2+5_2+6+7+8_3 12

0027

11+15 2

기록(초) 5이상~15미만 15이상~25미만 25이상~35미만 35이상~45미만

합계

도수(명) 2 5 8 5 20

(계급값)_(도수) 10_2=20 20_5=100 30_8=240 40_5=200

560

(편차)¤ _(도수) (-18)¤ _2=648

(-8)¤ _5=320 2¤ _8=32 12¤ _5=720

1720

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(4)

바둑 급수를 나타내는 수를 작은 수부터 크기순으로 나열하면

3, 4, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9

따라서 최빈값은 가장 많이 나타난 8급이므로 최빈값에 해당 하는 학생은 창훈, 진수, 태연이다. 창훈, 진수, 태연

줄기와 잎 그림에서 주어진 자료는 다음과 같다.

5, 7, 10, 11, 16, 16, 20, 23, 25, 34 a=

= =16.7(시간)

중앙값은 5번째와 6번째의 자료의 값인 16과 16의 평균이므로

b= =16(시간)

한편 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 c=16(시간)

∴ a+b+c=16.7+16+16=48.7 48.7

평균이 6이므로

=6

=6, 55+a=60 ∴ a=5 yy`

이때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9

이므로 중앙값은 5번째와 6번째 자료의 값인 5와 7의 평균이 므로

=6 yy`

또한 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 5이다.

yy`

따라서 중앙값과 최빈값의 합은

6+5=11 yy`

11

도수의 총합이 20이므로 2+6+5+x+3=20 ∴ x=4 a=

=160=8 20

6_2+7_6+8_5+9_4+10_3 20

0034

5+7 2 55+a

10

3_2+5_2+7_2+8_2+9+a 10

0033

16+16 2 167

10

5+7+10+11+16+16+20+23+25+34 10

0032

0031

또한 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 8과 8의 평균이

므로

b= =8

한편 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 c=7

∴ a=b>c

전체 학생 수는 3+5+12+6+4=30(명) (평균)=

= =7.2(권)

또한 중앙값은 15번째, 16번째 값이 속해 있는 6권 이상 8권 미만인 계급의 계급값이므로 =7(권)이다.

한편 최빈값은 도수가 가장 큰 계급인 6권 이상 8권 미만의 계 급값이므로 =7(권)

평균:7.2권, 중앙값:7권, 최빈값:7권

도수의 총합이 20이므로

2+a+b+4+3=20 ∴ a+b=11 yy㉠ 또한 평균이 4시간이므로

=4

=4, 3a+4b+42=80

∴ 3a+4b=38 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=6, b=5 yy`

이때 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 4와 4의 평균인

=4(시간) yy`

또한 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 3시간이다. yy`

따라서 중앙값과 최빈값의 합은

4+3=7(시간) yy`

7시간

중앙값이 14이므로 13…a…27 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 9, 13, a, 27

0037

4+4 2

3a+4b+42 20

2_2+3_a+4_b+5_4+6_3 20

0036

6+8 2

6+8 2 216

30

3_3+5_5+7_12+9_6+11_4 30

0035

8+8 2

단계 채점요소 배점

a의 값 구하기 40%

중앙값 구하기 20%

최빈값 구하기 20%

중앙값과 최빈값의 합 구하기 20%

단계 채점요소 배점

a, b의 값 구하기 40%

중앙값 구하기 20%

최빈값 구하기 20%

중앙값과 최빈값의 합 구하기 20%

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(5)

이고 중앙값은 2번째와 3번째의 자료의 값인 13과 a의 평균이 므로

=14, 13+a=28

∴ a=15

∴ (평균)= = =16 16

최빈값이 28이므로 b=28

중앙값이 26이므로 6번째와 7번째의 자료의 값의 평균이 26이다.

=26, a+28=52

∴ a=24

∴ b-a=28-24=4 4

자료의 개수가 7개이므로 자료를 작은 값부터 크기순 으로 나열할 때 4번째 자료의 값이 중앙값이 되고 a<b이므로 a=9

또한 평균이 11분이므로

=11, 50+a+b=77

∴ a+b=27

따라서 a=9, b=18이므로

b-a=18-9=9

평균이 10, 중앙값이 12이므로

=10, a+12+b=30

∴ a+b=18 yy㉠

한편 1…a<12, 12<b<18 yy㉡

㉠, ㉡을 모두 만족하는 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (1, 17), (2, 16), (3, 15), (4, 14), (5, 13)

이므로 b-a의 최댓값은 17-1=16이고 최솟값은 13-5=8 이다.

따라서 b-a의 최댓값과 최솟값의 합은

16+8=24

(분산)=

= =2

∴ (표준편차)='2점

⑤ 편차의 절댓값이 작을수록 변량은 평균에 가깝다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

0042

10 5

2¤ +1¤ +(-1)¤ +0¤ +(-2)¤

0041

5 a+12+b

3

0040

4+8+22+13+3+a+b 7

0039

a+28 2

0038

64 4 27+9+13+15

4 13+a

2

편차의 합은 항상 0이므로 -3-4+3+6+x=0 ∴ x=-2 E의 수학 성적은 평균보다 2점이 낮으므로

76-2=74(점)

편차의 합은 항상 0이므로 -2-5+x+2+1=0 ∴ x=4 따라서 영어 성적의 분산은

= =10 10

ㄱ. 평균을 m점이라고 하면

(B의 점수)=(m-1)점, (C의 점수)=(m+2)점 따라서 B와 C의 점수의 차는 3점이다.

ㄴ. D의 편차가 0이므로 D의 점수는 평균과 같다.

ㄷ. (분산)= = =2

∴ (표준편차)='2점

ㄹ. 점수가 가장 낮은 학생은 편차가 가장 작은 A이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. ⑤

평균이 9이므로

=9 yy`

=9, 18+3x=45 ∴ x=9

따라서 각 변량은 7, 8, 9, 10, 11이므로 yy`

(분산)= = =2

∴ (표준편차)='2 yy`

'2

중앙값과 최빈값이 5이므로 a…b…c라고 하면 a=5, b=5

또한 평균이 4이므로

=4 14+c=20 ∴ c=6

∴ (분산)= = =3.2 ④

(전체 학생의 총점)=(250+200)_76=34200(점),

0048

16 5 (-3)¤ +(-1)¤ +1¤ +1¤ +2¤

5 1+3+5+5+c

5

0047

10 5 (-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +2¤

5 18+3x

5

7+8+x+(x+1)+(x+2) 5

0046

10 5 (-2)¤ +(-1)¤ +2¤ +0¤ +1¤

5

0045

50 5 (-2)¤ +(-5)¤ +4¤ +2¤ +1¤

5

0044 0043

단계 채점요소 배점

평균을 이용하여 식 세우기 30%

각 변량 구하기 30%

표준편차 구하기 40%

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(6)

(남학생의 총점)=250_72=18000(점)이므로 (여학생의 총점)=34200-18000=16200(점)

∴ (여학생의 평균)= =81(점)

B분단의 평균이 80점이므로

=80 405+x=480 ∴ x=75

또한 A, B 두 분단 전체의 평균이 76점이므로

=76 850+y=912 ∴ y=62

∴ x-y=75-62=13 13

남학생과 여학생의 평균이 같고 분산이 각각 5¤ , 7¤ 이 므로 (편차)¤ 의 총합은 각각

5¤ _20=500, 7¤ _20=980

따라서 전체 학생 40명의 (편차)¤ 의 총합은 500+980=1480이므로

(분산)= =37

∴ (표준편차)='ß37점 'ß37점

A, B 두 조의 평균이 같고 분산이 각각 ('6)¤ , a¤ 이 므로 (편차)¤ 의 총합은 각각

6_8=48, a¤ _12=12a¤

따라서 전체 20명의 (편차)¤ 의 총합은 48+12a¤

이때 분산은 3¤ =9이므로

=9

48+12a¤ =180, a¤ =11

∴ a='ß11 (∵ a>0) 'ß11

평균이 5이므로

=5 18+x+y=25

∴ x+y=7 또한 분산이 2이므로

=2

5+(x-5)¤ +(y-5)¤ =10, x¤ +y¤ -10(x+y)=-45

∴ x¤ +y¤ =10(x+y)-45=10_7-45=25 그런데 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로

25=7¤ -2xy ∴ xy=12

2¤ +1¤ +0¤ +(x-5)¤ +(y-5)¤

5 7+6+5+x+y

5

0052

48+12a¤

20

0051

1480 40

0050

80+70+85+70+65+y+80_6 6+6

70+85+x+90+95+65 6

0049

16200 200

변량 a, b, c, d의 평균이 6이고 표준편차가 5, 즉 분 산이 25이므로

=25

∴ (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ =100

평균이 2이므로

=2 ∴ x+y=4 또한 분산이 2이므로

=2 x¤ +y¤ -4(x+y)+8=4

∴ x¤ +y¤ =4(x+y)-4=4_4-4=12

편차의 합은 항상 0이므로 a-2+b+4-1=0

∴ a+b=-1 yy㉠ yy`

또한 분산이 6.8이므로

=6.8

a¤ +b¤ +21=34, a¤ +b¤ =13 yy`

∴ (a+b)¤ -2ab=13 yy㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 (-1)¤ -2ab=13

∴ 2ab=-12 yy`

-12

변량 x, y, z의 평균이 8이므로

=8 ∴ x+y+z=24 또한 변량 x, y, z의 분산이 4이므로

=4

∴ (x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ =12 따라서 변량 x+4, y+4, z+4, 12에 대하여

(평균)= =

= = =12

∴ (분산)= {(x+4-12)¤ +(y+4-12)¤

+(z+4-12)¤ +(12-12)¤ } 1

4

48 4 24+24

4

x+y+z+24 4 (x+4)+(y+4)+(z+4)+12

4 (x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤

3 x+y+z

3

0056

a¤ +(-2)¤ +b¤ +4¤ +(-1)¤

5

0055

(x-2)¤ +(y-2)¤

2 x+y

2

0054

(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤

4

0053

단계 채점요소 배점

편차의 합이 0임을 이용하여 a+b의 값 구하기 30%

분산의 정의를 이용하여 a¤ +b¤ 의 값 구하기 30%

2ab의 값 구하기 40%

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(7)

∴ (분산)= {(x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ }

= _12=3 3

⑴ 변량 a, b, c, d, e의 평균이 5이므로

=5

∴ a+b+c+d+e=25

또한 변량 a, b, c, d, e의 표준편차가 2, 즉 분산이 4이므로

=4

∴ (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ =20 따라서 변량 3a, 3b, 3c, 3d, 3e에 대하여

(평균)= =

= =15

(분산)= {(3a-15)¤ +(3b-15)¤ +(3c-15)¤

=+(3d-15)¤ +(3e-15)¤ }

= {(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤

=+(d-5)¤ +(e-5)¤ }

= _20=36

∴ (표준편차)='3å6=6

⑵ 변량 a, b, c의 평균이 6이므로

=6 ∴ a+b+c=18 또한 변량 a, b, c의 분산이 8이므로

=8 따라서 변량 a-2, b-2, c-2에 대하여

(평균)= =

= = =4

∴ (분산)=

=

=8

⑴ 평균:15, 표준편차:6 ⑵ 8

변량 a, b, c, d의 평균이 10이므로

=10 ∴ a+b+c+d=40 또한 변량 a, b, c, d의 분산이 3이므로

a+b+c+d 4

0058

(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤

3

{(a-2)-4}¤ +{(b-2)-4}¤ +{(c-2)-4}¤

3 12

3 18-6

3

a+b+c-6 3 (a-2)+(b-2)+(c-2)

3 (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤

3 a+b+c

3 9 5 9 5 1 5 3_25

5

3(a+b+c+d+e) 5

3a+3b+3c+3d+3e 5

(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤

5 a+b+c+d+e

5

0057

1 4 1

4 =3

∴ (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ =12 따라서 변량 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3에 대하여 (평균)=

=

= = =17

∴ (분산)= [{(2a-3)-17}¤ +{(2b-3)-17}¤

+{(2c-3)-17}¤ +{(2d-3)-17}¤ ]

= {4(a-10)¤ +4(b-10)¤ +4(c-10)¤

+4(d-10)¤ }

=(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤

=12 12

변량 x¡, x™, x£, x¢, x∞의 평균이 6이므로

=6

∴ x¡+x™+x£+x¢+x∞=30

또한 변량 x¡, x™, x£, x¢, x∞의 분산이 12이고

(분산)= -(평균)¤ 이므로

12= -6¤

∴ x¡¤ +x™¤ +x£¤ +x¢¤ +x∞¤ =240

따라서 변량 x¡, x™, x£, x¢, x∞, 15, 18에 대하여 (평균)=

= = =9

(분산)= -9¤

= -81= -81

= 평균:9, 분산:

다음과 같이 표를 만들어 구한다.

0060

222 7 222

7

789 7 240+225+324

7

x¡¤ +x™¤ +x£¤ +x¢¤ +x∞¤ +15¤ +18¤

7 63

7 30+15+18

7

x¡+x™+x£+x¢+x∞+15+18 7

x¡¤ +x™¤ +x£¤ +x¢¤ +x∞¤

5 (변량)¤ 의 총합

(변량의 개수) x¡+x™+x£+x¢+x∞

5

0059

1 4 1 4

68 4 2_40-12

4

2(a+b+c+d)-12 4

(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3) 4

(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤

4

국어 성적(점) 50이상~60미만 60이상~70미만 70이상~80미만 80이상~90미만

합계

도수(명) 1 3 4 2 10

(계급값)_(도수) 55_1=55 65_3=195 75_4=300 85_2=170

720

(편차)¤ _(도수) (-17)¤ _1=289

(-7)¤ _3=147 3¤ _4=36 13¤ _2=338

810

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(8)

∴ m= =72(점) s¤ = =81

∴ m-s¤ =72-81=-9

{(편차)_(도수)}의 합은 항상 0이므로 (-4)_2+(-2)_1+0_3+2_x+4_1=0 2x=6 ∴ x=3

∴ (분산)=

= =6.4

도수의 총합이 20명이므로 2+a+b+6+3=20

∴ a+b=9 yy㉠ yy`

이때 평균이 62점이므로

=62 50a+60b+740=1240

∴ 5a+6b=50 yy㉡ yy`

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=4, b=5 yy`

∴ s¤ = {(40-62)¤ _2+(50-62)¤ _4+(60-62)¤ _5 +(70-62)¤ _6+(80-62)¤ _3}

= _2920=146 yy`

∴ a+b+s¤ =4+5+146=155 yy`

155

주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.

0063

1 20

1 20

40_2+50_a+60_b+70_6+80_3 20

0062

64 10

(-4)¤ _2+(-2)¤ _1+0¤ _3+2¤ _3+4¤ _1 2+1+3+3+1

0061

810 10 720

10 m= =77(점)

(분산)= =81 s='ß81=9(점)

∴ m+s=77+9=86

주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.

(평균)= =7(회)

∴ (분산)= =4.8 4.8

도수의 총합이 10일이므로 3회 이상 5회 미만인 계급 의 도수는

10-(2+1+2)=5(일)

주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.

(평균)= =6(회)

∴ (분산)= =5.6 5.6

도수의 총합이 12명이므로 6편 이상 8편 미만인 계급 의 도수는

12-(1+3+2+2)=4(명) yy`

주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.

0066

56 10 60 10

0065

48 10 70 10

0064

810 10 770

10

단계 채점요소 배점

도수의 총합을 이용하여 식 세우기 20%

평균을 이용하여 식 세우기 20%

a, b의 값 구하기 20%

의 값 구하기 20%

a+b+s¤의 값 구하기 20%

과학 성적(점) 55이상~65미만 65이상~75미만 75이상~85미만 85이상~95미만

합계

도수(명) 1 3 4 2 10

(계급값)_(도수) 60_1=60 70_3=210 80_4=320 90_2=180

770

(편차)¤ _(도수) (-17)¤ _1=289

(-7)¤ _3=147 3¤ _4=36 13¤ _2=338

810

횟수(회) 2이상~ 4미만 4이상~ 6미만 6이상~ 8미만 8이상~10미만 10이상~12미만

합계

도수(명) 1 2 4 2 1 10

(계급값)_(도수) 3_1=3 5_2=10 7_4=28 9_2=18 11_1=11

70

(편차)¤ _(도수) (-4)¤ _1=16

(-2)¤ _2=8 0¤ _4=0 2¤ _2=8 4¤ _1=16

48

횟수(회) 3이상~ 5미만 5이상~ 7미만 7이상~ 9미만 9이상~11미만

합계

도수(일) 5 2 1 2 10

(계급값)_(도수) 4_5=20 6_2=12 8_1=8 10_2=20

60

(편차)¤ _(도수) (-2)¤ _5=20

0¤ _2=0 2¤ _1=4 4¤ _2=32

56

편수(편) 4이상~ 6미만 6이상~ 8미만 8이상~10미만 10이상~12미만 12이상~14미만

합계

도수(명) 1 4 3 2 2 12

(계급값)_(도수) 5_1=5 7_4=28 9_3=27 11_2=22 13_2=26

108

(편차)¤ _(도수) (-4)¤ _1=16 (-2)¤ _4=16

0¤ _3=0 2¤ _2=8 4¤ _2=32

72

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(9)

(평균)= =9(편) yy`

(분산)= =6

∴ (표준편차)='6편 yy`

'6편

①, ② 평균이 같으므로 어느 과목의 성적이 더 우수하 다고 할 수 없다.

③, ④, ⑤ 2'3<4이므로 음악 성적의 표준편차가 더 작다.

따라서 음악 성적이 미술 성적보다 고르다. ③

평균을 중심으로 밀집되어 있다는 것은 표준편차가 작 은 것을 말하고 표준편차가 작으면 분산이 작다.

따라서 평균을 중심으로 성적이 가장 밀집되어 있는 반은 1반

이다. 1반

ㄱ. 두 팀 모두 안타 수의 평균이 10개이므로

=10에서 44+a=50 ∴ a=6

=10에서 44+b=50 ∴ b=6 ㄴ. A팀의 분산은

= =7.6

이므로 A팀의 표준편차는 '∂7.6개이다.

B팀의 분산은

= =22

이므로 B팀의 표준편차는'ß22개이다.

따라서 A팀과 B팀의 표준편차는 같지 않다.

ㄷ. B팀의 표준편차가 A팀의 표준편차보다 크므로 최근 다섯 경기에서 B팀의 타격력이 A팀의 타격력보다 기복이 심 하다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ

⑤ 도수분포표에서 도수가 가장 큰 계급의 계급값은 최빈값이다.

0070

110 5

(9-10)¤ +(5-10)¤ +(6-10)¤ +(18-10)¤ +(12-10)¤

5 38

5

(13-10)¤ +(13-10)¤ +(8-10)¤ +(6-10)¤ +(10-10)¤

5 9+5+b+18+12

5

13+13+8+a+10 5

0069 0068 0067

72 12 108

12

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

산포도는 변량들이 평균 주위에 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타내는 값이므로 표준편차가 클수록 산포도는 커지고 자료가 평균을 중심으로 멀리 흩어져 있음을 뜻한다.

따라서 두 학급의 산포도를 비교하면 성적이 더 고르게 분포한

학급을 알 수 있다. ⑤

주어진 자료의 중앙값과 최빈값을 차례로 구하면 다음 과 같다.

① 4.5, 없다.

② 5, 없다.

③ 4, 5

④ 5, 5

⑤ 6, 없다.

따라서 중앙값과 최빈값이 서로 같은 것은 ④이다. ④

윗몸일으키기 횟수는 크기순으로 나열되어 있으므로 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 14와 15의 평균인

=14.5(회) ∴ a=14.5(회)

또한 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 b=15(회)

∴ a+b=14.5+15=29.5 29.5

도수의 총합이 20명이므로 2+3+5+a+3+1=20 ∴ a=6

이때 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 3과 4의 평균인

=3.5(권)

또한 4권을 읽은 학생이 가장 많으므로 최빈값은 4권이다.

따라서 중앙값과 최빈값의 합은

3.5+4=7.5(권) ④

최빈값이 5이므로 나머지 4개의 변량 중 5가 3개 이 상이어야 한다.

5가 4개일 때, 평균은

= +5

이므로 5가 3개, 나머지 1개가 a(a+5)일 때 평균은 5이다.

= =5

25+a=35 ∴ a=10

따라서 7개의 변량 중 가장 큰 값은 10이다. 10

자료 A의 중앙값이 40이므로 자료 A를 작은 값부터 크기순으로 나열했을 때, 3번째 자료의 값이 40이다.

0076

25+a 7 2+4_2+5_3+a

7

30 7 2+4_2+5_4

7

0075

3+4 2

0074

14+15 2

0073 0072 0071

단계 채점요소 배점

6편 이상 8편 미만인 계급의 도수 구하기 20%

평균 구하기 40%

표준편차 구하기 40%

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(10)

∴ a=40

자료 B의 중앙값이 50이므로 자료 B를 작은 값부터 크기순으 로 나열했을 때, 3번째와 4번째 자료의 값의 평균이 50이다.

이때 a=40이므로 =50 ∴ b=60

∴ b-a=60-40=20 20

편차의 합은 항상 0이므로 2-4+x-2+(1-2x)=0 -3-x=0 ∴ x=-3 이때 C와 E의 성적은 각각 72+x=72-3=69(점), 72+(1-2x)=72+7=79(점) 이므로 C와 E의 수학 성적의 평균은

= =74(점) ④

(분산)= 이므로

(분산)=

= =4.8

∴ (표준편차)='∂4.8점 '∂4.8점

변량 6, 7, 8, 9, 10은 변량 1, 2, 3, 4, 5에 각각 5를 더한 것이다.

따라서 각 변량에 일정한 수를 더해도 표준편차는 변하지 않으 므로 변량 6, 7, 8, 9, 10의 표준편차는'2이다. ① 다른풀이

변량 6, 7, 8, 9, 10에 대하여

(평균)= = =8

(분산)=

= =2

∴ (표준편차)='2

세 학생의 평균을 구해 보면 7점으로 모두 같지만 영 철, 유준, 주완의 순으로 변량이 평균 주위에 밀집되어 있다.

이때 표준편차가 작을수록 변량이 평균 주위에 밀집되어 있으 므로 s¡, s™, s£의 대소 관계는

s¡<s£<s™

학생 D의 편차를 x회라고 하면 편차의 합은 항상 0이 므로

0081 0080

10 5

(6-8)¤ +(7-8)¤ +(8-8)¤ +(9-8)¤ +(10-8)¤

5 40 5 6+7+8+9+10

5

0079

96 20

(-3)¤ _5+(-2)¤ _1+(-1)¤ _3+1¤ _5+2¤ _3+3¤ _3 20

{(편차)¤ _(도수)}의 총합 (도수)의 총합

0078

148 2 69+79

2

0077

40+b 2

2+4+0+x-2=0 ∴ x=-4

∴ (분산)=

= =8 8

변량 3x¡-1, 3x™-2, 3x£-3, 3x¢-4의 평균이 8이 므로

=8

=8

∴ x¡+x™+x£+x¢=14

따라서 변량 x¡, x™, x£, x¢의 평균은

= =3.5

6점이 1개, 7점이 2개, 8점이 4개, 9점이 2개, 10점 이 1개이므로

(평균)= = =8(점)

∴ (분산)=

= =1.2 1.2

중앙값이 20이므로 17…a…26 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 14, 17, a, 26

이고 중앙값은 2번째와 3번째 자료의 값인 17과 a의 평균이므로

=20, 17+a=40 ∴ a=23

(평균)= = =20

∴ m=20

∴ a-m=23-20=3

도수의 총합이 10명이므로 70점 이상 80점 미만인 계 급의 도수는

10-(1+2+2)=5(명)

주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.

0085

80 4 14+17+23+26

4 17+a

2

0084

12 10

(6-8)¤ _1+(7-8)¤ _2+(8-8)¤ _4+(9-8)¤ _2+(10-8)¤ _1 10

80 10 6_1+7_2+8_4+9_2+10_1

10

0083

14 4 x¡+x™+x£+x¢

4

3(x¡+x™+x£+x¢)-10 4

(3x¡-1)+(3x™-2)+(3x£-3)+(3x¢-4) 4

0082

40 5

2¤ +4¤ +0¤ +(-4)¤ +(-2)¤

5

과학 성적(점) 50이상~60미만 60이상~70미만 70이상~80미만 80이상~90미만

합계

도수(명) 1 2 5 2 10

(계급값)_(도수) 55_1=55 65_2=130 75_5=375 85_2=170

730

(편차)¤ _(도수) (-18)¤ _1=324

(-8)¤ _2=128 2¤ _5=20 12¤ _2=288

760

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(11)

(평균)= =73(점)

∴ (분산)= =76 76

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때, 5번째 자 료의 값이 중앙값 2이고 a>b이므로 b=2

이때 평균이 2이므로

=2 11+a=18 ∴ a=7

(분산)

= {(8-2)¤ +(-5-2)¤ +(8-2)¤ +(7-2)¤ +(4-2)¤

+(-2-2)¤ +(-3-2)¤ +(2-2)¤ +(-1-2)¤ }

=

∴ (표준편차)=Æ… =

평균이 10이므로

=10

x+y+21=50 ∴ x+y=29 또한 표준편차가'3, 즉 분산이 3이므로

=3 x¤ +y¤ -20(x+y)+235=15

∴ x¤ +y¤ =20(x+y)-220=20_29-220=360

∴ 2xy=(x+y)¤ -(x¤ +y¤ )

=29¤ -360=481

남학생과 여학생의 평균이 같고 분산이 각각 20, 4이 므로 (편차)¤ 의 총합은 각각

20_20=400, 4_20=80

따라서 전체 학생 40명의 (편차)¤ 의 총합은 400+80=480

(분산)= =12

∴ (표준편차)='ß12=2'3(점) 2'3점

변량 a, b, c, d, e, f의 평균이 8이므로

=8

∴ a+b+c+d+e+f=48

또, 표준편차가 2, 즉 분산이 4이므로

=4

∴ (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ +( f-8)¤ =24 (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ +( f-8)¤

6 a+b+c+d+e+f

6

0089

480 40

0088

(5-10)¤ +(x-10)¤ +(7-10)¤ +(y-10)¤ +(9-10)¤

5 5+x+7+y+9

5

0087

10'2 3 10'2

3 200

9 200

9 1 9

8-5+8+a+4-2-3+2-1 9

0086

760 10 730

10

따라서 변량 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3, 2e+3, 2f+3에 대하여

(평균)

=

=

= = =19

(분산)

= [{(2a+3)-19}¤ +{(2b+3)-19}¤ +{(2c+3)-19}¤

+{(2d+3)-19}¤ +{(2e+3)-19}¤ +{(2f+3)-19}¤

= {(2a-16)¤ +(2b-16)¤ +(2c-16)¤ +(2d-16)¤

+(2e-16)¤ +(2f-16)¤ }

=

= = =16

∴ (표준편차)='1å6=4 따라서 평균과 표준편차의 합은

19+4=23 23

세 수 a, b, c의 평균이 6이므로

=6 ∴ a+b+c=18

또한 세 수 a, b, c의 표준편차가'2, 즉 분산이 2이므로

=2 (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ =6에서 a¤ +b¤ +c¤ -12(a+b+c)+108=6 a¤ +b¤ +c¤ =12(a+b+c)-102

=12_18-102=114

한편 (a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)이므로 18¤ =114+2(ab+bc+ca)

∴ ab+bc+ca=105

따라서 세 수 ab, bc, ca의 평균은

= =35 35

주어진 꺾은선그래프를 도수분포표로 나타내면 다음 과 같다.

ㄱ. 1반 학생의 최빈값은 110 g, 120 g의 2개이다.

0091

105 3 ab+bc+ca

3

(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤

3 a+b+c

3

0090

96 6 4_24

6

4{(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ +( f-8)¤ } 6

1 6 1 6

114 6 2_48+18

6

2(a+b+c+d+e+f)+18 6

(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3)+(2e+3)+(2f+3) 6

무게(g) 1반(명) 2반(명)

90 2 1

100 5 4

110 8 9

120 8 7

130 2 4

140 1 3

합계 26 28

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(12)

ㄴ. 2반 학생 중에서 도수가 가장 큰 값은 110 g이므로 최빈값 은 110 g이다.

ㄷ. 1반 학생의 평균은

= = (g)

2반 학생의 평균은

= = (g)

ㄹ. 2반 학생은 28명이므로 중앙값은 14번째와 15번째 자료 의 값인 110 g과 120 g의 평균인 =115(g)이 므로 최빈값 110 g과 다르다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ

자료 A의 평균과 분산을 각각 mÅ, vÅ라고 하면

mÅ= =2a

vÅ= =

또한 자료 B의 평균과 분산을 각각 mı, vı라고 하면

mı= =2b

vı= =

이때 vÅ=vı이므로 a¤ =

∴ a=b (∵ a>0, b>0)

∴ k=1 1

(국어의 평균)=

= =75(점)

(영어의 평균)= = =75(점)

(수학의 평균)= = =75(점)

(국어의 분산)=

= =40

(영어의 분산)=

= =280

(수학의 분산)= =50=10

5 (-5)¤ +0¤ +0¤ +0¤ +5¤

5 1400

5

(-15)¤ +(-15)¤ +(-10)¤ +25¤ +15¤

5 200

5

(-5)¤ +5¤ +(-5)¤ +10¤ +(-5)¤

5

375 5 70+75+75+75+80

5

375 5 60+60+65+100+90

5 375

5

70+80+70+85+70

0093

5

4 5 4 5

4 5 (b-2b)¤ _4+(2b-2b)¤ _2+(3b-2b)¤ _4

10 b_4+2b_2+3b_4

10

4 5 (a-2a)¤ _2+(2a-2a)¤ _1+(3a-2a)¤ _2

5 a_2+2a_1+3a_2

5

0092

110+120 2 815

7 3260

28

90_1+100_4+110_9+120_7+130_4+140_3 28

1460 13 2920

26

90_2+100_5+110_8+120_8+130_2+140_1 26

① 평균은 세 과목이 모두 같다.

② (수학의 분산)<(국어의 분산)<(영어의 분산)이므로 국어 의 산포도가 수학의 산포도보다 크다.

③ 산포도가 가장 작은 과목은 수학이다.

④ 영어의 분산이 가장 크므로 표준편차가 가장 큰 과목은 영 어이다.

⑤ 수학의 분산이 가장 작으므로 수학 점수의 분포가 평균 주 위에 가장 밀집되어 있다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④

편차의 합은 항상 0이므로

x+1+0+(-1)+2=0 ∴ x=-2 yy`

(평균)=(변량)-(편차)이므로

(평균)=10-(-2)=12(편) yy`

(분산)= = =2이므로

표준편차는'2편이다. yy`

평균:12편, 표준편차:'2편

추가한 두 변량을 각각 x, y라고 하면 변량 8, 10, 12, x, y의 평균이 9이므로

=9

30+x+y=45 ∴ x+y=15 yy`

또한 변량 8, 10, 12, x, y의 분산이 4이므로

=4 11+(x-9)¤ +(y-9)¤ =20

x¤ +y¤ -18(x+y)+173=20 x¤ +y¤ =18(x+y)-173+20

=18_15-173+20=117 yy`

따라서 (x+y)¤ -2xy=x¤ +y¤ 이므로

15¤ -2xy=117 ∴ xy=54 yy`

54

도수의 총합이 20명이므로 4+a+b+5+2=20

∴ a+b=9 yy㉠ yy`

0096

(-1)¤ +1¤ +3¤ +(x-9)¤ +(y-9)¤

5 8+10+12+x+y

5

0095

10 5 (-2)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +2¤

5

0094

단계 채점요소 배점

x의 값 구하기 30%

평균 구하기 30%

표준편차 구하기 40%

단계 채점요소 배점

x+y의 값 구하기 30%

x¤ +y¤의 값 구하기 30%

xy의 값 구하기 40%

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(13)

또한 평균이 59점이므로

=59 50a+60b+670=1180

∴ 5a+6b=51 yy㉡ yy`

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=3, b=6 yy`

따라서 분산은

{(40-59)¤ _4+(50-59)¤ _3+(60-59)¤ _6 +(70-59)¤ _5+(80-59)¤ _2}

=

= =159 yy`

159

반지름의 길이의 평균이 4이므로

=4 ∴ a+b+c=12 yy`

반지름의 길이의 표준편차가'3, 즉 분산이 3이므로

=3 (a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ =9에서 a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+48=9 a¤ +b¤ +c¤ =8(a+b+c)-39

=8_12-39=57 yy`

따라서 세 원의 넓이는 각각 a¤ p, b¤ p, c¤ p이므로 세 원의 넓이의 평균은

=

= =19p yy`

19p

a, b, c를 제외한 자료에서 5의 도수가 2로 가장 크고 10의 도수가 1이므로 최빈값이 10점이 되려면 a, b, c 중 적

0098

57p 3

(a¤ +b¤ +c¤ )p 3 a¤ p+b¤ p+c¤ p

3

(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤

3 a+b+c

3

0097

3180 20

1444+243+6+605+882 20

1 20

40_4+50_a+60_b+70_5+80_2 20

어도 2개는 10이 되어야 한다.

즉, a, b, c의 값을 10, 10, x라 하면 4, 5, 5, 7, 10, 10, 10, x

이때 중앙값이 8점이므로 위의 자료를 작은 값부터 크기순으 로 나열하면 4번째와 5번째 값의 평균이 8이다.

즉, 7…x…10이어야 하므로 (중앙값)= =8

∴ x=9

∴ a+b+c=10+10+9=29 29

학생 6명의 수학 성적의 총합은 70_6=420(점)

이때 나머지 5명의 평균은

= =70(점)

학생 6명의 (편차)¤ 의 총합은 20_6=120이고 빠진 학생의 편 차는 0이므로 나머지 5명의 분산은

[{6명의 (편차)¤ 의 총합}-{빠진 한 학생 점수의 (편차)¤ }]

= (120-0)

=24 24

잘못 계산된 한 학생을 제외한 나머지 9명의 몸무게를 x¡, x™, y, xª kg이라고 하면 잘못 계산된 몸무게의 평균이 50 kg이므로

=50

∴ x¡+x™+y+xª=445

따라서 실제 10명의 몸무게의 평균은

= = =49(kg)

또한 잘못 계산된 몸무게의 표준편차가 4 kg, 즉 분산이 16이 므로

(분산)= -(평균)¤ 에서

-50¤ =16 따라서 실제 10명의 몸무게의 분산은

-49¤

= -(50-1)¤

= -50¤ +(-100)+100-1

=16-100+100-1

=15 15

x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +55¤

10

x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +(55-10)¤

10 x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +45¤

10

x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +55¤

10

(변량)¤ 의 총합 (변량의 개수)

490 10 445+45

10 x¡+x™+y+xª+45

10

x¡+x™+y+xª+55 10

0100

1 5 1 5

350 5 420-70

5

0099

7+x 2

단계 채점요소 배점

a+b+c의 값 구하기 30%

a¤ +b¤ +c¤의 값 구하기 30%

세 원의 넓이의 평균 구하기 40%

단계 채점요소 배점

도수의 총합을 이용하여 식 세우기 20%

평균을 이용하여 식 세우기 20%

a, b의 값 구하기 20%

분산 구하기 40%

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(14)

A 학교의 남학생 수와 여학생 수를 각각 a명, b명이 라 하고 B 학교의 남학생 수와 여학생 수를 각각 c명, d명이 라고 하자.

A, B 두 학교의 전체 평균이 각각 74점, 84점이므로

=74 ∴ a= b

=84 ∴ c=2d yy㉠ 또한 A, B 두 학교의 여학생 전체의 평균이 84점이므로

=84 ∴ d= b yy㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 c=2_ b= b

따라서 A, B 두 학교의 남학생 전체의 평균은

x= =

= =79(점) 79점

123`b7903 112313`b103

71_`;3@;`b+81_`;3*;`b

;3@;`b+`;3*;`b 71a+81c

a+c 8 3 4 3

4 3 76b+90d

b+d 81c+90d

c+d

2 3 71a+76b

a+b

0101 02 피타고라스정리

x¤ =1¤ +('3)¤ , x¤ =4

∴ x=2 (∵ x>0) 2

10¤ =x¤ +6¤, x¤ =64

∴ x=8 (∵ x>0) 8

8¤ =4¤ +x¤, x¤ =48

∴ x=4'3 (∵ x>0) 4'3

x¤ =2¤ +(3'2)¤ , x¤ =22

∴ x='ß22 (∵ x>0) 'ß22

x="√13¤ -5¤ ='∂144=12

y="√9¤ +12¤ ='∂225=15 x=12, y=15

x="√2¤ +2¤ ='8=2'2

y="√(2'2)¤ +(2'2)¤ ='ß16=4 x=2'2, y=4

㈎ SAS ㈏ △BFL ㈐ BFML

㈑ LMGC ㈒ BC” ¤

(색칠한 부분의 넓이)=36+64=100(cm¤ )

100 cm¤

(색칠한 부분의 넓이)=22-15=7(cm¤ ) 7 cm¤

⑴ △BFE에서 BF”=9-6=3(cm)이므로 EF”="√6¤ +3¤ ='ß45=3'5(cm)

이때 EFGH는 정사각형이므로

( EFGH의 둘레의 길이)=4_3'5=12'5(cm)

⑵ EFGH=(3'5)¤ =45(cm¤ )

⑴ 12'5 cm ⑵ 45 cm¤

⑴ △ABE에서 BE”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm) BF”=AE”=5 cm이므로

EF”=12-5=7(cm)

⑵ EFGH는 정사각형이므로 EFGH=7¤ =49(cm¤ )

⑴ 7 cm ⑵ 49 cm¤

ㄱ. ('3 )¤ =1¤ +('2 )¤ (직각삼각형) ㄴ. ('5 )¤ =1¤ +2¤ (직각삼각형)

ㄷ. 7¤ +3¤ +(4'3 )¤

ㄹ. 6¤ +4¤ +5¤

ㅁ. 10¤ =6¤ +8¤ (직각삼각형)

0113 0112 0111 0110 0109 0108 0107 0106 0105 0104 0103 0102

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(15)

ㅂ. 14¤ +5¤ +12¤

따라서 직각삼각형인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다. ㄱ, ㄴ, ㅁ

3¤ >2¤ +2¤ ∴ 둔각삼각형 둔각삼각형

('7)¤ =('3)¤ +2¤ ∴ 직각삼각형 직각삼각형

9¤ <6¤ +8¤ ∴ 예각삼각형 예각삼각형

('ß10)¤ >('5)¤ +2¤ ∴ 둔각삼각형 둔각삼각형

7¤ <4¤ +6¤ ∴ 예각삼각형 예각삼각형

('ß10)¤ =1¤ +3¤ ∴ 직각삼각형 직각삼각형

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 4-3<x<4+3 ∴ 1<x<7 yy㉠

∠A가 예각이므로 x¤ <3¤ +4¤, x¤ <25

∴ 0<x<5 yy㉡

㉠, ㉡에서 1<x<5 1<x<5

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 6-3<x<6+3 ∴ 3<x<9 yy㉠

∠A가 예각이므로 x¤ <6¤ +3¤, x¤ <45

∴ 0<x<3'5 yy㉡

㉠, ㉡에서 3<x<3'5 3<x<3'5

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 2-1<x<2+1 ∴ 1<x<3

그런데 x가 가장 긴 변의 길이이므로 x>2

∴ 2<x<3 yy㉠ 또한 ∠A가 둔각이므로 x¤ >1¤ +2¤, x¤ >5

∴ x>'5 yy㉡

㉠, ㉡에서'5<x<3 '5<x<3

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 6-4<x<6+4 ∴ 2<x<10

그런데 x가 가장 긴 변의 길이이므로 x>6

∴ 6<x<10 yy㉠ 또한 ∠A가 둔각이므로 x¤ >4¤ +6¤, x¤ >52

∴ x>2'ß13 yy㉡

㉠, ㉡에서 2'ß13<x<10 2'ß13<x<10

0123 0122 0121 0120 0119 0118 0117 0116 0115 0114

AB” ¤ =BC”_BH”이므로

x¤ =(16+9)_16=400 ∴ x=20 (∵ x>0) A’H” ¤ =BH”_CH”이므로

y¤ =16_9=144 ∴ y=12 (∵ y>0)

x=20, y=12

A’H” ¤ =BH”_CH”이므로 6¤ =4x ∴ x=9

△AHC에서 y="√6¤ +9¤ ='∂117=3'ß13

x=9, y=3'ß13

x=øπ6¤ -(2'5 )¤ ='1å6=4 AB”_CH”=BC”_AC”이므로 6_y=4_2'5

∴ y= x=4, y=

AB” ¤ =BC”_BH”이므로 8¤ =10_(10-x)

64=100-10x, 10x=36

∴ x=

BH”=10- = 이므로

y=æ≠8¤ -{ }¤ =æ≠ = x= , y=

6¤ +5¤ =7¤ +x¤, x¤ =12

∴ x=2'3 (∵ x>0) 2'3

6¤ +8¤ =5¤ +x¤, x¤ =75

∴ x=5'3 (∵ x>0) 5'3

5¤ +('5)¤ =x¤ +3¤ , x¤ =21

∴ x='ß21 (∵ x>0) 'ß21

(2'5)¤ +x¤ =4¤ +8¤ , x¤ =60

∴ x=2'ß15 (∵ x>0) 2'ß15

5¤ +6¤ =4¤ +x¤, x¤ =45

∴ x=3'5 (∵ x>0) 3'5

x¤ +4¤ =('5)¤ +5¤ , x¤ =14

∴ x='ß14 (∵ x>0) 'ß14

4¤ +8¤ =x¤ +6¤, x¤ =44

∴ x=2'ß11 (∵ x>0) 2'ß11

0134 0133 0132 0131 0130 0129 0128

24 5 18

5 24

5 576

25 32

5 32

5 18

5 18

5

0127

4'53 4'53

0126 0125 0124

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(16)

(x+2)¤ =x¤ +8¤ , 4x=60

∴ x=15

0138

지면에서 나무가 부러진 부분까 지의 높이를 x m라고 하면 나무가 부 러진 부분에서 쓰러진 지점까지의 거리 는 (10-x) m이다.

(10-x)¤ =4¤ +x¤ , 20x=84

∴ x=4.2(m)

따라서 지면에서 나무가 부러진 부분까지의 높이는 4.2 m이

다. 4.2 m

A

B 4 m C

(10-x) m

x m

0139

직각삼각형 ABC의 넓이가 4'5 cm¤ 이므로 _4_AC”=4'5 ∴ AC”=2'5(cm)

∴ AB”=øπ4¤ +(2'5 )¤ ='3å6=6(cm) 6 cm 1

2

0140

△ABC에서

AB”="√8¤ +6¤ ='∂100=10(cm) yy`

이때 직각삼각형에서 빗변의 중점은 외심과 일치하므로 CD”=AD”=BD”= AB”= _10=5(cm) yy`

∴ CG”= CD”= _5= (cm) yy`

10 cm 3 10

3 2

3 2

3

1 2 1

2

0141

단계 채점요소 배점

AB”의 길이 구하기 20%

CD”의 길이 구하기 40%

CG”의 길이 구하기 40%

△AHC에서 A’H”="√5¤ -3¤ ='ß16=4(cm) 따라서 △ABH에서

AB”="√6¤ +4¤ ='ß52=2'ß13(cm) 2'ß13 cm

0142

△ABD에서 AD”="√3¤ +4¤ ='ß25=5(cm) CD”=AD”=5 cm이므로 BC”=4+5=9(cm) 따라서 △ABC에서

AC”="√3¤ +9¤ ='ß90=3'ß10(cm) 3'ß10 cm

0143

CD”=x cm라고 하면 △ADC에서 AC”="√3¤ -x¤ (cm) 따라서 △ABC에서

(2'5)¤ =('5+x)¤ +("√3¤ -x¤ )¤

20=5+2'5x+x¤ +9-x¤

2'5x=6 ∴ x= = (cm) 3'5 cm

5 3'5

5 3 '5

0144

삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의하여

AB”:AC”=BD”:CD”=12:6=2:1 yy`

△ABC에서

BC”="√12¤ -6¤ ='∂108=6'3(cm) yy`

이므로 CD”= BC”= _6'3=2'3(cm) yy`

따라서 △ADC에서

AD”=øπ(2'3)¤ +6¤ ='4å8=4'3(cm) yy`

4'3 cm 1

3 1 3

참고 삼각형의 각의 이등분선의 성질

△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”와 만나는 점을 D라고 하면

AB”:AC”=BD”:CD”

A

B C

D

0145

단계 채점요소 배점

BD”:DC”=2:1임을 이해하기 30%

BC”의 길이 구하기 20%

CD”의 길이 구하기 20%

AD”의 길이 구하기 30%

AC”="√x¤ +x¤ ='2x AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x AE”="√('3x)¤ +x¤ =2x AF”="√(2x)¤ +x¤ ='5x AG”="√('5x)¤ +x¤ ='6x 그런데 AG”=3'6이므로 '6x=3'6 ∴ x=3

△AGF에서 AF”=3'5, FG”=3이므로

△AGF= _3'5_3= 9'5

9'5 2 2 1

2

0146

⑴ AB”=a라고 하면 AB”=BC”=CD”=DE”=EF”=a

0147

('7)¤ +2¤ =3¤ +x¤ , x¤ =2

∴ x='2 (∵ x>0) '2

0135

(색칠한 부분의 넓이)=26+13

=39(cm¤ ) 39 cm¤

0136

(색칠한 부분의 넓이)=△ABC

= _6_4

=12(cm¤ ) 12 cm¤

1 2

0137

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(17)

AC”="√a¤ +a¤ ='2a AD”=øπ('2a)¤ +a¤ ='3a AE”=øπ('3a)¤ +a¤ =2a AF”=øπ(2a)¤ +a¤ ='5a

그런데 AF”=2'5이므로 '5a=2'5 ∴ a=2

∴ x=2'2

⑵ AC”=øπ('2 )¤ +('3 )¤ ='5 AD”=øπ('5)¤ +('3)¤ ='8=2'2 AE”=øπ(2'2)¤ +('3)¤ ='1å1

∴ x=AF”=øπ('1å1)¤ +('3 )¤ ='1å4

⑴ 2'2 ⑵ '1å4

OB”=O’A'”="√2¤ +2¤ ='8=2'2(cm)

∴ OC”=O’B'”="√(2'2)¤ +2¤ ='ß12=2'3(cm)

2'3 cm

0148

O’O'”=x라고 하면 OB”=O’A'”="√x¤ +x¤ ='2x OC”=O’B'”="√('2x)¤ +x¤ ='3x OD”=O’C'”="√('3x)¤ +x¤ =2x 그런데 OD”=6'3이므로

2x=6'3 ∴ x=3'3 3'3

0149

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

HC”=AD”=12 cm

∴ BH”=17-12=5(cm)

△ABH에서

A’H”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)

∴ ABCD= _(12+17)_12=174(cm¤ )

174 cm¤

1 2

A

B H C

12 cm D 13 cm

17 cm

0150

대각선 AC를 그으면

△ABC에서

AC”="√4¤ +3¤ ='ß25=5(cm)

△ACD에서

AD”="√5¤ -(2'3)¤ ='ß13(cm)

∴ ABCD= _3_4+ _2'3_'ß13

=6+'ß39(cm¤ ) (6+'ß39) cm¤

1 2 1

2

A

B C

D 4 cm

3 cm

2'3 cm

0151

꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면

BH”=AD”=4 cm

∴ HC”=12-4=8(cm)

△DHC에서

D’H”="√10¤ -8¤ ='ß36=6(cm) 따라서 △DBH에서

BD”="√4¤ +6¤ ='ß52=2'ß13(cm) ③ A

B H C

D

12 cm 10 cm

0152

4 cm

두 꼭짓점 A, D에서 BC”

에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 고 하면

EF”=AD”=4 cm yy`

ABCD가 등변사다리꼴이므로

BE”=FC”= _(10-4)=3(cm) yy`

△ABE에서 AE”="√5¤ -3¤ ='ß16=4(cm) yy`

∴ ABCD= _(4+10)_4=28(cm¤ ) yy`

28 cm¤

1 2 1 2

A

B E F C

D

10 cm 5 cm 5 cm

0153

4 cm

단계 채점요소 배점

EF”의 길이 구하기 20%

BE”의 길이 구하기 20%

AE”의 길이 구하기 30%

ABCD의 넓이 구하기 30%

DC”∥EB”이므로

△EBA=△EBC 또한 △EBC=△ABF (SAS 합동)이므로

△ABF=△EBA 이때 △ABC에서

AB”=øπ4¤ -('7)¤ ='9=3(cm)이므로

△ABF=△EBA= ADEB

= _3_3= (cm¤ ) 9 cm¤

2 9

2 1

2

1 2

E H

I A

F G

L C

M B

D

'7 cm 4 cm

0154

DC”∥EB”이므로 △EBA=△EBC

△ABF™△EBC(SAS 합동)이므로 △ABF=△EBC BF”∥A’M”이므로 △ABF=△BFL

∴ △EBA=△EBC=△ABF=△BFL

따라서 넓이가 다른 것은 ② △BCH이다. ②

0155

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(18)

단계 채점요소 배점

AB”의 길이 구하기 30%

△FDG의 넓이 구하기 70%

EFGH는 정사각형이므로

EF” ¤ =225 ∴ EF”=15(cm) (∵ EF”>0)

△AFE에서 AF”="√15¤ -12¤ ='ß81=9(cm) BF”=AE”=12 cm이므로 AB”=9+12=21(cm)

∴ ABCD=AB” ¤ =21¤ =441(cm¤ ) 441 cm¤

0158

D’H”=AE”=8 cm이므로 A’H”=14-8=6(cm)

△AEH에서 EH”="√8¤ +6¤ ='∂100=10(cm) 따라서 EFGH는 정사각형이므로

EFGH=EH” ¤ =10¤ =100(cm¤ ) 100 cm¤

0159

△AEH에서 EH”="√x¤ +y¤ ='ß15 따라서 EFGH는 정사각형이므로

EFGH=EH” ¤ =('ß15)¤ =15 15

0160

AE”=x cm라고 하면 △AEH에서 EH”="√x¤ +x¤ ='2x(cm)

그런데 EFGH는 정사각형이고, 둘레의 길이가 8'2 cm이 므로

4_'2x=8'2 ∴ x=2(cm)

따라서 AB”=2AE”=2_2=4(cm)이므로

( ABCD의 둘레의 길이)=4AB”=4_4=16(cm)

16 cm

0161

BQ”=AP”=2이므로 △BCQ에서 CQ”="√4¤ -2¤ ='ß12=2'3

CR”=AP”=2이므로 QR”=2'3-2

따라서 PQRS는 정사각형이므로

PQRS=QR” ¤ =(2'3-2)¤ =16-8'3 16-8'3

0162

① BQ”=AP”=5 cm이므로 △ABQ에서 AQ”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)

② △ABQ= _12_5=30(cm¤ )

③ AQ”=AP”+PQ”에서 12=5+PQ”

∴ PQ”=7(cm)

④ PQRS=PQ” ¤ =7¤ =49(cm¤ )

⑤ ABCD=AB” ¤ =13¤ =169(cm¤ )

∴ PQRS+ ABCD

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

1 4 1 2

0163

AE”=CG”=3 cm이므로 △ABE에서 BE”="√6¤ -3¤ ='ß27=3'3(cm)

BF”=CG”=3 cm이므로 EF”=(3'3-3) cm

따라서 EFGH는 한 변의 길이가 (3'3-3) cm인 정사각형 이므로 둘레의 길이는

4(3'3-3)=12('3-1)(cm) 12('3-1) cm

0164

PQRS는 정사각형이고, 넓이는 9이므로 PQ” ¤ =9 ∴ PQ”=3 (∵ PQ”>0)

BQ”=AP”=3이므로 BP”=3+3=6

△ABP에서 AB”="√3¤ +6¤ ='ß45=3'5

∴ ABCD=AB” ¤ =(3'5)¤ =45 45

0165

△ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이므로 AC” ¤ =40, AC” ¤ =80

∴ AC”='8å0=4'5(cm) (∵ AC”>0)

△ABC에서 BC”=øπ(4'5 )¤ -4¤ ='6å4=8(cm)이고 CD”=AB”=4 cm이므로

BD”=8+4=12(cm) DE”=BC”=8 cm이므로

ABDE=1_(4+8)_12=72(cm¤ ) ④ 2

1 2

0166

△ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이고 AB”=CD”=3 cm이므로

AC”=øπ('3)¤ +3¤ ='1å2=2'3(cm)

∴ △ACE=1_2'3_2'3=6(cm¤ ) ① 2

0167

△ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이므로

0168

BC” ¤ =AB” ¤ +AC” ¤

= GBAF+ ACDE

=120+49=169

∴ BC”=13(cm) (∵ BC”>0) 13 cm

0156

△ABC에서

AB”="√12¤ -6¤ ='∂108=6'3(cm) yy`

∴ △FDG= BDGF= AB” ¤

= _(6'3)¤ =54(cm¤ ) yy`

54 cm¤

1 2

1 2 1

2

0157

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참조

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