개념원리수학 익힘책 [알피엠]
다양한 유형의 우수한 문제를 통하여 수학의 문제해결력을 높일 수 있는
이홍섭 지음
정답과 풀이
01
대푯값과 산포도 02/02
피타고라스 정리 14/03
피타고라스 정리의 활용 26/04
삼각비 42/05
삼각비의 활용 55/06
원과 직선 66/07
원주각 79/08
원주각의 활용 92/내신만점 테스트 104
수학 3 -2
중
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01 대푯값과산포도
(평균)=
= =6 6
(평균)=
= =86 86
(평균)=
= =22 22
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 80, 80, 90, 100, 130
이므로 중앙값은 =3번째 자료의 값인 90이다. 90
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 4, 5, 7, 8, 9
이므로 중앙값은 =3번째와 +1=4번째 자료의 값인 5 와 7의 평균인
=6 6
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10
이므로 중앙값은 =4번째와 +1=5번째 자료의 값인 5 와 6의 평균인
=5.5 5.5
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 68, 69, 76, 83, 87, 95, 97
이므로 중앙값은 =4번째 자료의 값인 83이다. 83
3 없다.
2 9, 10
0011 0010 0009 0008
7+1 2
0007
5+6 2
8 2 8
2
0006
5+7 2
6 2 6
2
0005
5+1 2
0004
176 8
18+20+21+22+24+26+24+21
0003
8516 6
80+85+95+93+77+86
0002
636 6
8+5+4+10+7+2
0001
6주어진 자료는 크기순으로 나열되어 있고, 전체 자료 의 중앙에 있는 값은 19이므로 중앙값은 19시간이다.
또, 가장 많이 나타난 값이 22이므로 최빈값은 22시간이다.
중앙값:19시간, 최빈값:22시간
(평균)= = =7이므로 편차는 차
례로 -2, -1, 0, 1, 2이다. -2, -1, 0, 1, 2
(평균)= = =14이므로 편
차는 차례로 -4, 2, 3, -1, 0이다. -4, 2, 3, -1, 0
(평균)= = =85이므로
편차는 차례로 0, -8, 9, -13, 12이다.
0, -8, 9, -13, 12
(평균)= = =26이
므로 편차는 차례로 -7, -3, 8, 1, 5, -4이다.
-7, -3, 8, 1, 5, -4
(평균)= = =6이므로
(분산)= = =8
(표준편차)='8=2'2 분산:8, 표준편차:2'2
(평균)= = =5이므로
(분산)= = =4.4
(표준편차)='∂4.4 분산:4.4, 표준편차:'∂4.4
(평균)= = =10이므로
(분산)= = =10
(표준편차)='ß10 분산:10, 표준편차:'ß10
(평균)= = =10이므로
(분산)=
= =
(표준편차)=Ƭ =2'ß15 3 20
3 20
3 40
6
(-3)¤ +0¤ +1¤ +5¤ +(-2)¤ +(-1)¤
6
60 6 7+10+11+15+8+9
0020
650 5 (-2)¤ +(-1)¤ +(-4)¤ +5¤ +2¤
5
50 5 8+9+6+15+12
0019
522 5 (-4)¤ +0¤ +1¤ +1¤ +2¤
5
25 5 1+5+6+6+7
0018
540 5 (-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤
5
30 5 2+4+6+8+10
0017
5156 6 19+23+34+27+31+22
0016
6425 5 85+77+94+72+97
0015
570 5 10+16+17+13+14
0014
535 5 5+6+7+8+9
0013
50012
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분산: , 표준편차:
(평균)= = =5이므로
(분산)
=
= =5.5
(표준편차)='∂5.5 분산:5.5, 표준편차:'∂5.5
(평균)=
= =82
이므로 (분산)
=
= =62
(표준편차)='ß62 분산:62, 표준편차:'ß62
도수분포표를 완성하면 다음과 같다.
∴ (평균)= =28(초) 28초
A=5, B=32, C=1720
(분산)= =86
(표준편차)='ß86초 분산:86, 표준편차:'ß86초
A조의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10, 23, 25, 32, 47
이므로 중앙값은 3번째 자료의 값인 25시간이다.
∴ a=25(시간)
B조의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 8, 9, 11, 15, 20, 24
이므로 중앙값은 3번째와 4번째 자료의 값인 11과 15의 평 균인
0026
1720
0025
200024
560 20
0023
496 8
(-4)¤ +2¤ +14¤ +(-6)¤ +8¤ +4¤ +(-8)¤ +(-10)¤
8 656
8
78+84+96+76+90+86+74+72
0022
8 448
(-1)¤ +(-3)¤ +2¤ +0¤ +2¤ +(-1)¤ +4¤ +(-3)¤
8
40 8 4+2+7+5+7+4+9+2
0021
82'ß15 3 20
3 =13(시간)
∴ b=13(시간)
∴ a+b=25+13=38 38
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 1, 1, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8
∴ a=
= =5(회)
또한 중앙값은 6번째와 7번째 자료의 값인 5와 5의 평균이므로 b= =5(회)
∴ a+b=5+5=10 10
평균이 25회이므로
=25
=25, 240+2a=250
∴ a=5
이때 경기 출전 횟수는 크기순으로 나열되어 있으므로 중앙값 은 5번째와 6번째 자료의 값인 25와 29의 평균인
=27(회) 27회
나머지 세 수를 p, q, r(단, p…q…r)라고 할 때, 중 앙값이 가장 큰 경우 9개의 정수를 작은 수부터 크기순으로 나 열하면 다음과 같다.
2, 4, 4, 7, 8, 9, p, q, r
따라서 중앙값은 5번째 수이므로 중앙값이 될 수 있는 가장 큰
수는 8이다. 8
볼링공에 적힌 수를 작은 수부터 크기순으로 나열하면 7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 11, 12, 13
이므로 m=
= =10(파운드)
또한 중앙값은 5번째와 6번째의 자료의 값인 10과 11의 평균 이므로
a= =10.5(파운드)
한편 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 b=11(파운드)
∴ m+a+b=10+10.5+11=31.5 31.5 10+11
2 100 10
7+8_2+9+10+11_3+12+13 10
0030 0029
25+29 2 240+2a
10
12+14+21+(20+a)+(20+a)+29+30+31+31+32 10
0028
5+5 2
60 12
1_2+3+4_2+5_2+6+7+8_3 12
0027
11+15 2
기록(초) 5이상~15미만 15이상~25미만 25이상~35미만 35이상~45미만
합계
도수(명) 2 5 8 5 20
(계급값)_(도수) 10_2=20 20_5=100 30_8=240 40_5=200
560
(편차)¤ _(도수) (-18)¤ _2=648
(-8)¤ _5=320 2¤ _8=32 12¤ _5=720
1720
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바둑 급수를 나타내는 수를 작은 수부터 크기순으로 나열하면
3, 4, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
따라서 최빈값은 가장 많이 나타난 8급이므로 최빈값에 해당 하는 학생은 창훈, 진수, 태연이다. 창훈, 진수, 태연
줄기와 잎 그림에서 주어진 자료는 다음과 같다.
5, 7, 10, 11, 16, 16, 20, 23, 25, 34 a=
= =16.7(시간)
중앙값은 5번째와 6번째의 자료의 값인 16과 16의 평균이므로
b= =16(시간)
한편 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 c=16(시간)
∴ a+b+c=16.7+16+16=48.7 48.7
평균이 6이므로
=6
=6, 55+a=60 ∴ a=5 yy`
이때 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9
이므로 중앙값은 5번째와 6번째 자료의 값인 5와 7의 평균이 므로
=6 yy`
또한 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 5이다.
yy`
따라서 중앙값과 최빈값의 합은
6+5=11 yy`
11
도수의 총합이 20이므로 2+6+5+x+3=20 ∴ x=4 a=
=160=8 20
6_2+7_6+8_5+9_4+10_3 20
0034
5+7 2 55+a
10
3_2+5_2+7_2+8_2+9+a 10
0033
16+16 2 167
10
5+7+10+11+16+16+20+23+25+34 10
0032
0031
또한 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 8과 8의 평균이므로
b= =8
한편 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 c=7
∴ a=b>c ①
전체 학생 수는 3+5+12+6+4=30(명) (평균)=
= =7.2(권)
또한 중앙값은 15번째, 16번째 값이 속해 있는 6권 이상 8권 미만인 계급의 계급값이므로 =7(권)이다.
한편 최빈값은 도수가 가장 큰 계급인 6권 이상 8권 미만의 계 급값이므로 =7(권)
평균:7.2권, 중앙값:7권, 최빈값:7권
도수의 총합이 20이므로
2+a+b+4+3=20 ∴ a+b=11 yy㉠ 또한 평균이 4시간이므로
=4
=4, 3a+4b+42=80
∴ 3a+4b=38 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=6, b=5 yy`
이때 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 4와 4의 평균인
=4(시간) yy`
또한 최빈값은 도수가 가장 큰 변량이므로 3시간이다. yy`
따라서 중앙값과 최빈값의 합은
4+3=7(시간) yy`
7시간
중앙값이 14이므로 13…a…27 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 9, 13, a, 27
0037
4+4 2
3a+4b+42 20
2_2+3_a+4_b+5_4+6_3 20
0036
6+8 2
6+8 2 216
30
3_3+5_5+7_12+9_6+11_4 30
0035
8+8 2
단계 채점요소 배점
a의 값 구하기 40%
중앙값 구하기 20%
최빈값 구하기 20%
중앙값과 최빈값의 합 구하기 20%
단계 채점요소 배점
a, b의 값 구하기 40%
중앙값 구하기 20%
최빈값 구하기 20%
중앙값과 최빈값의 합 구하기 20%
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이고 중앙값은 2번째와 3번째의 자료의 값인 13과 a의 평균이 므로
=14, 13+a=28
∴ a=15
∴ (평균)= = =16 16
최빈값이 28이므로 b=28
중앙값이 26이므로 6번째와 7번째의 자료의 값의 평균이 26이다.
=26, a+28=52
∴ a=24
∴ b-a=28-24=4 4
자료의 개수가 7개이므로 자료를 작은 값부터 크기순 으로 나열할 때 4번째 자료의 값이 중앙값이 되고 a<b이므로 a=9
또한 평균이 11분이므로
=11, 50+a+b=77
∴ a+b=27
따라서 a=9, b=18이므로
b-a=18-9=9 ⑤
평균이 10, 중앙값이 12이므로
=10, a+12+b=30
∴ a+b=18 yy㉠
한편 1…a<12, 12<b<18 yy㉡
㉠, ㉡을 모두 만족하는 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (1, 17), (2, 16), (3, 15), (4, 14), (5, 13)
이므로 b-a의 최댓값은 17-1=16이고 최솟값은 13-5=8 이다.
따라서 b-a의 최댓값과 최솟값의 합은
16+8=24 ④
(분산)=
= =2
∴ (표준편차)='2점 ②
⑤ 편차의 절댓값이 작을수록 변량은 평균에 가깝다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤
0042
10 5
2¤ +1¤ +(-1)¤ +0¤ +(-2)¤
0041
5 a+12+b3
0040
4+8+22+13+3+a+b 7
0039
a+28 2
0038
64 4 27+9+13+15
4 13+a
2
편차의 합은 항상 0이므로 -3-4+3+6+x=0 ∴ x=-2 E의 수학 성적은 평균보다 2점이 낮으므로
76-2=74(점) ③
편차의 합은 항상 0이므로 -2-5+x+2+1=0 ∴ x=4 따라서 영어 성적의 분산은
= =10 10
ㄱ. 평균을 m점이라고 하면
(B의 점수)=(m-1)점, (C의 점수)=(m+2)점 따라서 B와 C의 점수의 차는 3점이다.
ㄴ. D의 편차가 0이므로 D의 점수는 평균과 같다.
ㄷ. (분산)= = =2
∴ (표준편차)='2점
ㄹ. 점수가 가장 낮은 학생은 편차가 가장 작은 A이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. ⑤
평균이 9이므로
=9 yy`
=9, 18+3x=45 ∴ x=9
따라서 각 변량은 7, 8, 9, 10, 11이므로 yy`
(분산)= = =2
∴ (표준편차)='2 yy`
'2
중앙값과 최빈값이 5이므로 a…b…c라고 하면 a=5, b=5
또한 평균이 4이므로
=4 14+c=20 ∴ c=6
∴ (분산)= = =3.2 ④
(전체 학생의 총점)=(250+200)_76=34200(점),
0048
16 5 (-3)¤ +(-1)¤ +1¤ +1¤ +2¤
5 1+3+5+5+c
5
0047
10 5 (-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +2¤
5 18+3x
5
7+8+x+(x+1)+(x+2) 5
0046
10 5 (-2)¤ +(-1)¤ +2¤ +0¤ +1¤
5
0045
50 5 (-2)¤ +(-5)¤ +4¤ +2¤ +1¤
5
0044 0043
단계 채점요소 배점
평균을 이용하여 식 세우기 30%
각 변량 구하기 30%
표준편차 구하기 40%
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(남학생의 총점)=250_72=18000(점)이므로 (여학생의 총점)=34200-18000=16200(점)
∴ (여학생의 평균)= =81(점) ③
B분단의 평균이 80점이므로
=80 405+x=480 ∴ x=75
또한 A, B 두 분단 전체의 평균이 76점이므로
=76 850+y=912 ∴ y=62
∴ x-y=75-62=13 13
남학생과 여학생의 평균이 같고 분산이 각각 5¤ , 7¤ 이 므로 (편차)¤ 의 총합은 각각
5¤ _20=500, 7¤ _20=980
따라서 전체 학생 40명의 (편차)¤ 의 총합은 500+980=1480이므로
(분산)= =37
∴ (표준편차)='ß37점 'ß37점
A, B 두 조의 평균이 같고 분산이 각각 ('6)¤ , a¤ 이 므로 (편차)¤ 의 총합은 각각
6_8=48, a¤ _12=12a¤
따라서 전체 20명의 (편차)¤ 의 총합은 48+12a¤
이때 분산은 3¤ =9이므로
=9
48+12a¤ =180, a¤ =11
∴ a='ß11 (∵ a>0) 'ß11
평균이 5이므로
=5 18+x+y=25
∴ x+y=7 또한 분산이 2이므로
=2
5+(x-5)¤ +(y-5)¤ =10, x¤ +y¤ -10(x+y)=-45
∴ x¤ +y¤ =10(x+y)-45=10_7-45=25 그런데 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy이므로
25=7¤ -2xy ∴ xy=12 ④
2¤ +1¤ +0¤ +(x-5)¤ +(y-5)¤
5 7+6+5+x+y
5
0052
48+12a¤
20
0051
1480 40
0050
80+70+85+70+65+y+80_6 6+6
70+85+x+90+95+65 6
0049
16200 200
변량 a, b, c, d의 평균이 6이고 표준편차가 5, 즉 분 산이 25이므로
=25
∴ (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ =100 ③
평균이 2이므로
=2 ∴ x+y=4 또한 분산이 2이므로
=2 x¤ +y¤ -4(x+y)+8=4
∴ x¤ +y¤ =4(x+y)-4=4_4-4=12 ②
편차의 합은 항상 0이므로 a-2+b+4-1=0
∴ a+b=-1 yy㉠ yy`
또한 분산이 6.8이므로
=6.8
a¤ +b¤ +21=34, a¤ +b¤ =13 yy`
∴ (a+b)¤ -2ab=13 yy㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 (-1)¤ -2ab=13
∴ 2ab=-12 yy`
-12
변량 x, y, z의 평균이 8이므로
=8 ∴ x+y+z=24 또한 변량 x, y, z의 분산이 4이므로
=4
∴ (x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ =12 따라서 변량 x+4, y+4, z+4, 12에 대하여
(평균)= =
= = =12
∴ (분산)= {(x+4-12)¤ +(y+4-12)¤
+(z+4-12)¤ +(12-12)¤ } 1
4
48 4 24+24
4
x+y+z+24 4 (x+4)+(y+4)+(z+4)+12
4 (x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤
3 x+y+z
3
0056
a¤ +(-2)¤ +b¤ +4¤ +(-1)¤
5
0055
(x-2)¤ +(y-2)¤
2 x+y
2
0054
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤
4
0053
단계 채점요소 배점
편차의 합이 0임을 이용하여 a+b의 값 구하기 30%
분산의 정의를 이용하여 a¤ +b¤ 의 값 구하기 30%
2ab의 값 구하기 40%
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∴ (분산)= {(x-8)¤ +(y-8)¤ +(z-8)¤ }
= _12=3 3
⑴ 변량 a, b, c, d, e의 평균이 5이므로
=5
∴ a+b+c+d+e=25
또한 변량 a, b, c, d, e의 표준편차가 2, 즉 분산이 4이므로
=4
∴ (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ =20 따라서 변량 3a, 3b, 3c, 3d, 3e에 대하여
(평균)= =
= =15
(분산)= {(3a-15)¤ +(3b-15)¤ +(3c-15)¤
=+(3d-15)¤ +(3e-15)¤ }
= {(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤
=+(d-5)¤ +(e-5)¤ }
= _20=36
∴ (표준편차)='3å6=6
⑵ 변량 a, b, c의 평균이 6이므로
=6 ∴ a+b+c=18 또한 변량 a, b, c의 분산이 8이므로
=8 따라서 변량 a-2, b-2, c-2에 대하여
(평균)= =
= = =4
∴ (분산)=
=
=8
⑴ 평균:15, 표준편차:6 ⑵ 8
변량 a, b, c, d의 평균이 10이므로
=10 ∴ a+b+c+d=40 또한 변량 a, b, c, d의 분산이 3이므로
a+b+c+d 4
0058
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤
3
{(a-2)-4}¤ +{(b-2)-4}¤ +{(c-2)-4}¤
3 12
3 18-6
3
a+b+c-6 3 (a-2)+(b-2)+(c-2)
3 (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤
3 a+b+c
3 9 5 9 5 1 5 3_25
5
3(a+b+c+d+e) 5
3a+3b+3c+3d+3e 5
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤
5 a+b+c+d+e
5
0057
1 4 1
4 =3
∴ (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ =12 따라서 변량 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3에 대하여 (평균)=
=
= = =17
∴ (분산)= [{(2a-3)-17}¤ +{(2b-3)-17}¤
+{(2c-3)-17}¤ +{(2d-3)-17}¤ ]
= {4(a-10)¤ +4(b-10)¤ +4(c-10)¤
+4(d-10)¤ }
=(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤
=12 12
변량 x¡, x™, x£, x¢, x∞의 평균이 6이므로
=6
∴ x¡+x™+x£+x¢+x∞=30
또한 변량 x¡, x™, x£, x¢, x∞의 분산이 12이고
(분산)= -(평균)¤ 이므로
12= -6¤
∴ x¡¤ +x™¤ +x£¤ +x¢¤ +x∞¤ =240
따라서 변량 x¡, x™, x£, x¢, x∞, 15, 18에 대하여 (평균)=
= = =9
(분산)= -9¤
= -81= -81
= 평균:9, 분산:
다음과 같이 표를 만들어 구한다.
0060
222 7 222
7
789 7 240+225+324
7
x¡¤ +x™¤ +x£¤ +x¢¤ +x∞¤ +15¤ +18¤
7 63
7 30+15+18
7
x¡+x™+x£+x¢+x∞+15+18 7
x¡¤ +x™¤ +x£¤ +x¢¤ +x∞¤
5 (변량)¤ 의 총합
(변량의 개수) x¡+x™+x£+x¢+x∞
5
0059
1 4 1 4
68 4 2_40-12
4
2(a+b+c+d)-12 4
(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3) 4
(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤
4
국어 성적(점) 50이상~60미만 60이상~70미만 70이상~80미만 80이상~90미만
합계
도수(명) 1 3 4 2 10
(계급값)_(도수) 55_1=55 65_3=195 75_4=300 85_2=170
720
(편차)¤ _(도수) (-17)¤ _1=289
(-7)¤ _3=147 3¤ _4=36 13¤ _2=338
810
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∴ m= =72(점) s¤ = =81
∴ m-s¤ =72-81=-9 ①
{(편차)_(도수)}의 합은 항상 0이므로 (-4)_2+(-2)_1+0_3+2_x+4_1=0 2x=6 ∴ x=3
∴ (분산)=
= =6.4 ⑤
도수의 총합이 20명이므로 2+a+b+6+3=20
∴ a+b=9 yy㉠ yy`
이때 평균이 62점이므로
=62 50a+60b+740=1240
∴ 5a+6b=50 yy㉡ yy`
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=4, b=5 yy`
∴ s¤ = {(40-62)¤ _2+(50-62)¤ _4+(60-62)¤ _5 +(70-62)¤ _6+(80-62)¤ _3}
= _2920=146 yy`
∴ a+b+s¤ =4+5+146=155 yy`
155
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
0063
1 20
1 20
40_2+50_a+60_b+70_6+80_3 20
0062
64 10
(-4)¤ _2+(-2)¤ _1+0¤ _3+2¤ _3+4¤ _1 2+1+3+3+1
0061
810 10 720
10 m= =77(점)
(분산)= =81 s='ß81=9(점)
∴ m+s=77+9=86 ③
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
(평균)= =7(회)
∴ (분산)= =4.8 4.8
도수의 총합이 10일이므로 3회 이상 5회 미만인 계급 의 도수는
10-(2+1+2)=5(일)
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
(평균)= =6(회)
∴ (분산)= =5.6 5.6
도수의 총합이 12명이므로 6편 이상 8편 미만인 계급 의 도수는
12-(1+3+2+2)=4(명) yy`
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
0066
56 10 60 10
0065
48 10 70 10
0064
810 10 770
10
단계 채점요소 배점
도수의 총합을 이용하여 식 세우기 20%
평균을 이용하여 식 세우기 20%
a, b의 값 구하기 20%
s¤의 값 구하기 20%
a+b+s¤의 값 구하기 20%
과학 성적(점) 55이상~65미만 65이상~75미만 75이상~85미만 85이상~95미만
합계
도수(명) 1 3 4 2 10
(계급값)_(도수) 60_1=60 70_3=210 80_4=320 90_2=180
770
(편차)¤ _(도수) (-17)¤ _1=289
(-7)¤ _3=147 3¤ _4=36 13¤ _2=338
810
횟수(회) 2이상~ 4미만 4이상~ 6미만 6이상~ 8미만 8이상~10미만 10이상~12미만
합계
도수(명) 1 2 4 2 1 10
(계급값)_(도수) 3_1=3 5_2=10 7_4=28 9_2=18 11_1=11
70
(편차)¤ _(도수) (-4)¤ _1=16
(-2)¤ _2=8 0¤ _4=0 2¤ _2=8 4¤ _1=16
48
횟수(회) 3이상~ 5미만 5이상~ 7미만 7이상~ 9미만 9이상~11미만
합계
도수(일) 5 2 1 2 10
(계급값)_(도수) 4_5=20 6_2=12 8_1=8 10_2=20
60
(편차)¤ _(도수) (-2)¤ _5=20
0¤ _2=0 2¤ _1=4 4¤ _2=32
56
편수(편) 4이상~ 6미만 6이상~ 8미만 8이상~10미만 10이상~12미만 12이상~14미만
합계
도수(명) 1 4 3 2 2 12
(계급값)_(도수) 5_1=5 7_4=28 9_3=27 11_2=22 13_2=26
108
(편차)¤ _(도수) (-4)¤ _1=16 (-2)¤ _4=16
0¤ _3=0 2¤ _2=8 4¤ _2=32
72
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(평균)= =9(편) yy`
(분산)= =6
∴ (표준편차)='6편 yy`
'6편
①, ② 평균이 같으므로 어느 과목의 성적이 더 우수하 다고 할 수 없다.
③, ④, ⑤ 2'3<4이므로 음악 성적의 표준편차가 더 작다.
따라서 음악 성적이 미술 성적보다 고르다. ③
평균을 중심으로 밀집되어 있다는 것은 표준편차가 작 은 것을 말하고 표준편차가 작으면 분산이 작다.
따라서 평균을 중심으로 성적이 가장 밀집되어 있는 반은 1반
이다. 1반
ㄱ. 두 팀 모두 안타 수의 평균이 10개이므로
=10에서 44+a=50 ∴ a=6
=10에서 44+b=50 ∴ b=6 ㄴ. A팀의 분산은
= =7.6
이므로 A팀의 표준편차는 '∂7.6개이다.
B팀의 분산은
= =22
이므로 B팀의 표준편차는'ß22개이다.
따라서 A팀과 B팀의 표준편차는 같지 않다.
ㄷ. B팀의 표준편차가 A팀의 표준편차보다 크므로 최근 다섯 경기에서 B팀의 타격력이 A팀의 타격력보다 기복이 심 하다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ
⑤ 도수분포표에서 도수가 가장 큰 계급의 계급값은 최빈값이다.
0070
110 5
(9-10)¤ +(5-10)¤ +(6-10)¤ +(18-10)¤ +(12-10)¤
5 38
5
(13-10)¤ +(13-10)¤ +(8-10)¤ +(6-10)¤ +(10-10)¤
5 9+5+b+18+12
5
13+13+8+a+10 5
0069 0068 0067
72 12 108
12
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤
산포도는 변량들이 평균 주위에 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타내는 값이므로 표준편차가 클수록 산포도는 커지고 자료가 평균을 중심으로 멀리 흩어져 있음을 뜻한다.
따라서 두 학급의 산포도를 비교하면 성적이 더 고르게 분포한
학급을 알 수 있다. ⑤
주어진 자료의 중앙값과 최빈값을 차례로 구하면 다음 과 같다.
① 4.5, 없다.
② 5, 없다.
③ 4, 5
④ 5, 5
⑤ 6, 없다.
따라서 중앙값과 최빈값이 서로 같은 것은 ④이다. ④
윗몸일으키기 횟수는 크기순으로 나열되어 있으므로 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 14와 15의 평균인
=14.5(회) ∴ a=14.5(회)
또한 최빈값은 자료의 값 중 가장 많이 나타난 값이므로 b=15(회)
∴ a+b=14.5+15=29.5 29.5
도수의 총합이 20명이므로 2+3+5+a+3+1=20 ∴ a=6
이때 중앙값은 10번째와 11번째 자료의 값인 3과 4의 평균인
=3.5(권)
또한 4권을 읽은 학생이 가장 많으므로 최빈값은 4권이다.
따라서 중앙값과 최빈값의 합은
3.5+4=7.5(권) ④
최빈값이 5이므로 나머지 4개의 변량 중 5가 3개 이 상이어야 한다.
5가 4개일 때, 평균은
= +5
이므로 5가 3개, 나머지 1개가 a(a+5)일 때 평균은 5이다.
= =5
25+a=35 ∴ a=10
따라서 7개의 변량 중 가장 큰 값은 10이다. 10
자료 A의 중앙값이 40이므로 자료 A를 작은 값부터 크기순으로 나열했을 때, 3번째 자료의 값이 40이다.
0076
25+a 7 2+4_2+5_3+a
7
30 7 2+4_2+5_4
7
0075
3+4 2
0074
14+15 2
0073 0072 0071
단계 채점요소 배점
6편 이상 8편 미만인 계급의 도수 구하기 20%
평균 구하기 40%
표준편차 구하기 40%
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∴ a=40
자료 B의 중앙값이 50이므로 자료 B를 작은 값부터 크기순으 로 나열했을 때, 3번째와 4번째 자료의 값의 평균이 50이다.
이때 a=40이므로 =50 ∴ b=60
∴ b-a=60-40=20 20
편차의 합은 항상 0이므로 2-4+x-2+(1-2x)=0 -3-x=0 ∴ x=-3 이때 C와 E의 성적은 각각 72+x=72-3=69(점), 72+(1-2x)=72+7=79(점) 이므로 C와 E의 수학 성적의 평균은
= =74(점) ④
(분산)= 이므로
(분산)=
= =4.8
∴ (표준편차)='∂4.8점 '∂4.8점
변량 6, 7, 8, 9, 10은 변량 1, 2, 3, 4, 5에 각각 5를 더한 것이다.
따라서 각 변량에 일정한 수를 더해도 표준편차는 변하지 않으 므로 변량 6, 7, 8, 9, 10의 표준편차는'2이다. ① 다른풀이
변량 6, 7, 8, 9, 10에 대하여
(평균)= = =8
(분산)=
= =2
∴ (표준편차)='2
세 학생의 평균을 구해 보면 7점으로 모두 같지만 영 철, 유준, 주완의 순으로 변량이 평균 주위에 밀집되어 있다.
이때 표준편차가 작을수록 변량이 평균 주위에 밀집되어 있으 므로 s¡, s™, s£의 대소 관계는
s¡<s£<s™ ②
학생 D의 편차를 x회라고 하면 편차의 합은 항상 0이 므로
0081 0080
10 5
(6-8)¤ +(7-8)¤ +(8-8)¤ +(9-8)¤ +(10-8)¤
5 40 5 6+7+8+9+10
5
0079
96 20
(-3)¤ _5+(-2)¤ _1+(-1)¤ _3+1¤ _5+2¤ _3+3¤ _3 20
{(편차)¤ _(도수)}의 총합 (도수)의 총합
0078
148 2 69+79
2
0077
40+b 2
2+4+0+x-2=0 ∴ x=-4
∴ (분산)=
= =8 8
변량 3x¡-1, 3x™-2, 3x£-3, 3x¢-4의 평균이 8이 므로
=8
=8
∴ x¡+x™+x£+x¢=14
따라서 변량 x¡, x™, x£, x¢의 평균은
= =3.5 ③
6점이 1개, 7점이 2개, 8점이 4개, 9점이 2개, 10점 이 1개이므로
(평균)= = =8(점)
∴ (분산)=
= =1.2 1.2
중앙값이 20이므로 17…a…26 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 14, 17, a, 26
이고 중앙값은 2번째와 3번째 자료의 값인 17과 a의 평균이므로
=20, 17+a=40 ∴ a=23
(평균)= = =20
∴ m=20
∴ a-m=23-20=3 ⑤
도수의 총합이 10명이므로 70점 이상 80점 미만인 계 급의 도수는
10-(1+2+2)=5(명)
주어진 히스토그램을 도수분포표로 나타내면 다음과 같다.
0085
80 4 14+17+23+26
4 17+a
2
0084
12 10
(6-8)¤ _1+(7-8)¤ _2+(8-8)¤ _4+(9-8)¤ _2+(10-8)¤ _1 10
80 10 6_1+7_2+8_4+9_2+10_1
10
0083
14 4 x¡+x™+x£+x¢
4
3(x¡+x™+x£+x¢)-10 4
(3x¡-1)+(3x™-2)+(3x£-3)+(3x¢-4) 4
0082
40 5
2¤ +4¤ +0¤ +(-4)¤ +(-2)¤
5
과학 성적(점) 50이상~60미만 60이상~70미만 70이상~80미만 80이상~90미만
합계
도수(명) 1 2 5 2 10
(계급값)_(도수) 55_1=55 65_2=130 75_5=375 85_2=170
730
(편차)¤ _(도수) (-18)¤ _1=324
(-8)¤ _2=128 2¤ _5=20 12¤ _2=288
760
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(평균)= =73(점)
∴ (분산)= =76 76
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때, 5번째 자 료의 값이 중앙값 2이고 a>b이므로 b=2
이때 평균이 2이므로
=2 11+a=18 ∴ a=7
(분산)
= {(8-2)¤ +(-5-2)¤ +(8-2)¤ +(7-2)¤ +(4-2)¤
+(-2-2)¤ +(-3-2)¤ +(2-2)¤ +(-1-2)¤ }
=
∴ (표준편차)=Æ… =
평균이 10이므로
=10
x+y+21=50 ∴ x+y=29 또한 표준편차가'3, 즉 분산이 3이므로
=3 x¤ +y¤ -20(x+y)+235=15
∴ x¤ +y¤ =20(x+y)-220=20_29-220=360
∴ 2xy=(x+y)¤ -(x¤ +y¤ )
=29¤ -360=481 ②
남학생과 여학생의 평균이 같고 분산이 각각 20, 4이 므로 (편차)¤ 의 총합은 각각
20_20=400, 4_20=80
따라서 전체 학생 40명의 (편차)¤ 의 총합은 400+80=480
(분산)= =12
∴ (표준편차)='ß12=2'3(점) 2'3점
변량 a, b, c, d, e, f의 평균이 8이므로
=8
∴ a+b+c+d+e+f=48
또, 표준편차가 2, 즉 분산이 4이므로
=4
∴ (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ +( f-8)¤ =24 (a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ +( f-8)¤
6 a+b+c+d+e+f
6
0089
480 40
0088
(5-10)¤ +(x-10)¤ +(7-10)¤ +(y-10)¤ +(9-10)¤
5 5+x+7+y+9
5
0087
10'2 3 10'2
3 200
9 200
9 1 9
8-5+8+a+4-2-3+2-1 9
0086
760 10 730
10
따라서 변량 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3, 2e+3, 2f+3에 대하여
(평균)
=
=
= = =19
(분산)
= [{(2a+3)-19}¤ +{(2b+3)-19}¤ +{(2c+3)-19}¤
+{(2d+3)-19}¤ +{(2e+3)-19}¤ +{(2f+3)-19}¤
= {(2a-16)¤ +(2b-16)¤ +(2c-16)¤ +(2d-16)¤
+(2e-16)¤ +(2f-16)¤ }
=
= = =16
∴ (표준편차)='1å6=4 따라서 평균과 표준편차의 합은
19+4=23 23
세 수 a, b, c의 평균이 6이므로
=6 ∴ a+b+c=18
또한 세 수 a, b, c의 표준편차가'2, 즉 분산이 2이므로
=2 (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ =6에서 a¤ +b¤ +c¤ -12(a+b+c)+108=6 a¤ +b¤ +c¤ =12(a+b+c)-102
=12_18-102=114
한편 (a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)이므로 18¤ =114+2(ab+bc+ca)
∴ ab+bc+ca=105
따라서 세 수 ab, bc, ca의 평균은
= =35 35
주어진 꺾은선그래프를 도수분포표로 나타내면 다음 과 같다.
ㄱ. 1반 학생의 최빈값은 110 g, 120 g의 2개이다.
0091
105 3 ab+bc+ca
3
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤
3 a+b+c
3
0090
96 6 4_24
6
4{(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ +(e-8)¤ +( f-8)¤ } 6
1 6 1 6
114 6 2_48+18
6
2(a+b+c+d+e+f)+18 6
(2a+3)+(2b+3)+(2c+3)+(2d+3)+(2e+3)+(2f+3) 6
무게(g) 1반(명) 2반(명)
90 2 1
100 5 4
110 8 9
120 8 7
130 2 4
140 1 3
합계 26 28
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ㄴ. 2반 학생 중에서 도수가 가장 큰 값은 110 g이므로 최빈값 은 110 g이다.
ㄷ. 1반 학생의 평균은
= = (g)
2반 학생의 평균은
= = (g)
ㄹ. 2반 학생은 28명이므로 중앙값은 14번째와 15번째 자료 의 값인 110 g과 120 g의 평균인 =115(g)이 므로 최빈값 110 g과 다르다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ
자료 A의 평균과 분산을 각각 mÅ, vÅ라고 하면
mÅ= =2a
vÅ= = a¤
또한 자료 B의 평균과 분산을 각각 mı, vı라고 하면
mı= =2b
vı= = b¤
이때 vÅ=vı이므로 a¤ = b¤
∴ a=b (∵ a>0, b>0)
∴ k=1 1
(국어의 평균)=
= =75(점)
(영어의 평균)= = =75(점)
(수학의 평균)= = =75(점)
(국어의 분산)=
= =40
(영어의 분산)=
= =280
(수학의 분산)= =50=10
5 (-5)¤ +0¤ +0¤ +0¤ +5¤
5 1400
5
(-15)¤ +(-15)¤ +(-10)¤ +25¤ +15¤
5 200
5
(-5)¤ +5¤ +(-5)¤ +10¤ +(-5)¤
5
375 5 70+75+75+75+80
5
375 5 60+60+65+100+90
5 375
5
70+80+70+85+70
0093
54 5 4 5
4 5 (b-2b)¤ _4+(2b-2b)¤ _2+(3b-2b)¤ _4
10 b_4+2b_2+3b_4
10
4 5 (a-2a)¤ _2+(2a-2a)¤ _1+(3a-2a)¤ _2
5 a_2+2a_1+3a_2
5
0092
110+120 2 815
7 3260
28
90_1+100_4+110_9+120_7+130_4+140_3 28
1460 13 2920
26
90_2+100_5+110_8+120_8+130_2+140_1 26
① 평균은 세 과목이 모두 같다.
② (수학의 분산)<(국어의 분산)<(영어의 분산)이므로 국어 의 산포도가 수학의 산포도보다 크다.
③ 산포도가 가장 작은 과목은 수학이다.
④ 영어의 분산이 가장 크므로 표준편차가 가장 큰 과목은 영 어이다.
⑤ 수학의 분산이 가장 작으므로 수학 점수의 분포가 평균 주 위에 가장 밀집되어 있다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
편차의 합은 항상 0이므로
x+1+0+(-1)+2=0 ∴ x=-2 yy`
(평균)=(변량)-(편차)이므로
(평균)=10-(-2)=12(편) yy`
(분산)= = =2이므로
표준편차는'2편이다. yy`
평균:12편, 표준편차:'2편
추가한 두 변량을 각각 x, y라고 하면 변량 8, 10, 12, x, y의 평균이 9이므로
=9
30+x+y=45 ∴ x+y=15 yy`
또한 변량 8, 10, 12, x, y의 분산이 4이므로
=4 11+(x-9)¤ +(y-9)¤ =20
x¤ +y¤ -18(x+y)+173=20 x¤ +y¤ =18(x+y)-173+20
=18_15-173+20=117 yy`
따라서 (x+y)¤ -2xy=x¤ +y¤ 이므로
15¤ -2xy=117 ∴ xy=54 yy`
54
도수의 총합이 20명이므로 4+a+b+5+2=20
∴ a+b=9 yy㉠ yy`
0096
(-1)¤ +1¤ +3¤ +(x-9)¤ +(y-9)¤
5 8+10+12+x+y
5
0095
10 5 (-2)¤ +1¤ +0¤ +(-1)¤ +2¤
5
0094
단계 채점요소 배점
x의 값 구하기 30%
평균 구하기 30%
표준편차 구하기 40%
단계 채점요소 배점
x+y의 값 구하기 30%
x¤ +y¤의 값 구하기 30%
xy의 값 구하기 40%
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또한 평균이 59점이므로
=59 50a+60b+670=1180
∴ 5a+6b=51 yy㉡ yy`
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=3, b=6 yy`
따라서 분산은
{(40-59)¤ _4+(50-59)¤ _3+(60-59)¤ _6 +(70-59)¤ _5+(80-59)¤ _2}
=
= =159 yy`
159
반지름의 길이의 평균이 4이므로
=4 ∴ a+b+c=12 yy`
반지름의 길이의 표준편차가'3, 즉 분산이 3이므로
=3 (a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤ =9에서 a¤ +b¤ +c¤ -8(a+b+c)+48=9 a¤ +b¤ +c¤ =8(a+b+c)-39
=8_12-39=57 yy`
따라서 세 원의 넓이는 각각 a¤ p, b¤ p, c¤ p이므로 세 원의 넓이의 평균은
=
= =19p yy`
19p
a, b, c를 제외한 자료에서 5의 도수가 2로 가장 크고 10의 도수가 1이므로 최빈값이 10점이 되려면 a, b, c 중 적
0098
57p 3
(a¤ +b¤ +c¤ )p 3 a¤ p+b¤ p+c¤ p
3
(a-4)¤ +(b-4)¤ +(c-4)¤
3 a+b+c
3
0097
3180 20
1444+243+6+605+882 20
1 20
40_4+50_a+60_b+70_5+80_2 20
어도 2개는 10이 되어야 한다.
즉, a, b, c의 값을 10, 10, x라 하면 4, 5, 5, 7, 10, 10, 10, x
이때 중앙값이 8점이므로 위의 자료를 작은 값부터 크기순으 로 나열하면 4번째와 5번째 값의 평균이 8이다.
즉, 7…x…10이어야 하므로 (중앙값)= =8
∴ x=9
∴ a+b+c=10+10+9=29 29
학생 6명의 수학 성적의 총합은 70_6=420(점)
이때 나머지 5명의 평균은
= =70(점)
학생 6명의 (편차)¤ 의 총합은 20_6=120이고 빠진 학생의 편 차는 0이므로 나머지 5명의 분산은
[{6명의 (편차)¤ 의 총합}-{빠진 한 학생 점수의 (편차)¤ }]
= (120-0)
=24 24
잘못 계산된 한 학생을 제외한 나머지 9명의 몸무게를 x¡, x™, y, xª kg이라고 하면 잘못 계산된 몸무게의 평균이 50 kg이므로
=50
∴ x¡+x™+y+xª=445
따라서 실제 10명의 몸무게의 평균은
= = =49(kg)
또한 잘못 계산된 몸무게의 표준편차가 4 kg, 즉 분산이 16이 므로
(분산)= -(평균)¤ 에서
-50¤ =16 따라서 실제 10명의 몸무게의 분산은
-49¤
= -(50-1)¤
= -50¤ +(-100)+100-1
=16-100+100-1
=15 15
x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +55¤
10
x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +(55-10)¤
10 x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +45¤
10
x¡¤ +x™¤ +y+xª¤ +55¤
10
(변량)¤ 의 총합 (변량의 개수)
490 10 445+45
10 x¡+x™+y+xª+45
10
x¡+x™+y+xª+55 10
0100
1 5 1 5
350 5 420-70
5
0099
7+x 2
단계 채점요소 배점
a+b+c의 값 구하기 30%
a¤ +b¤ +c¤의 값 구하기 30%
세 원의 넓이의 평균 구하기 40%
단계 채점요소 배점
도수의 총합을 이용하여 식 세우기 20%
평균을 이용하여 식 세우기 20%
a, b의 값 구하기 20%
분산 구하기 40%
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A 학교의 남학생 수와 여학생 수를 각각 a명, b명이 라 하고 B 학교의 남학생 수와 여학생 수를 각각 c명, d명이 라고 하자.
A, B 두 학교의 전체 평균이 각각 74점, 84점이므로
=74 ∴ a= b
=84 ∴ c=2d yy㉠ 또한 A, B 두 학교의 여학생 전체의 평균이 84점이므로
=84 ∴ d= b yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 c=2_ b= b
따라서 A, B 두 학교의 남학생 전체의 평균은
x= =
= =79(점) 79점
123`b7903 112313`b103
71_`;3@;`b+81_`;3*;`b
;3@;`b+`;3*;`b 71a+81c
a+c 8 3 4 3
4 3 76b+90d
b+d 81c+90d
c+d
2 3 71a+76b
a+b
0101 02 피타고라스정리
x¤ =1¤ +('3)¤ , x¤ =4
∴ x=2 (∵ x>0) 2
10¤ =x¤ +6¤, x¤ =64
∴ x=8 (∵ x>0) 8
8¤ =4¤ +x¤, x¤ =48
∴ x=4'3 (∵ x>0) 4'3
x¤ =2¤ +(3'2)¤ , x¤ =22
∴ x='ß22 (∵ x>0) 'ß22
x="√13¤ -5¤ ='∂144=12
y="√9¤ +12¤ ='∂225=15 x=12, y=15
x="√2¤ +2¤ ='8=2'2
y="√(2'2)¤ +(2'2)¤ ='ß16=4 x=2'2, y=4
㈎ SAS ㈏ △BFL ㈐ BFML
㈑ LMGC ㈒ BC” ¤
(색칠한 부분의 넓이)=36+64=100(cm¤ )
100 cm¤
(색칠한 부분의 넓이)=22-15=7(cm¤ ) 7 cm¤
⑴ △BFE에서 BF”=9-6=3(cm)이므로 EF”="√6¤ +3¤ ='ß45=3'5(cm)
이때 EFGH는 정사각형이므로
( EFGH의 둘레의 길이)=4_3'5=12'5(cm)
⑵ EFGH=(3'5)¤ =45(cm¤ )
⑴ 12'5 cm ⑵ 45 cm¤
⑴ △ABE에서 BE”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm) BF”=AE”=5 cm이므로
EF”=12-5=7(cm)
⑵ EFGH는 정사각형이므로 EFGH=7¤ =49(cm¤ )
⑴ 7 cm ⑵ 49 cm¤
ㄱ. ('3 )¤ =1¤ +('2 )¤ (직각삼각형) ㄴ. ('5 )¤ =1¤ +2¤ (직각삼각형)
ㄷ. 7¤ +3¤ +(4'3 )¤
ㄹ. 6¤ +4¤ +5¤
ㅁ. 10¤ =6¤ +8¤ (직각삼각형)
0113 0112 0111 0110 0109 0108 0107 0106 0105 0104 0103 0102
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ㅂ. 14¤ +5¤ +12¤
따라서 직각삼각형인 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다. ㄱ, ㄴ, ㅁ
3¤ >2¤ +2¤ ∴ 둔각삼각형 둔각삼각형
('7)¤ =('3)¤ +2¤ ∴ 직각삼각형 직각삼각형
9¤ <6¤ +8¤ ∴ 예각삼각형 예각삼각형
('ß10)¤ >('5)¤ +2¤ ∴ 둔각삼각형 둔각삼각형
7¤ <4¤ +6¤ ∴ 예각삼각형 예각삼각형
('ß10)¤ =1¤ +3¤ ∴ 직각삼각형 직각삼각형
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 4-3<x<4+3 ∴ 1<x<7 yy㉠
∠A가 예각이므로 x¤ <3¤ +4¤, x¤ <25
∴ 0<x<5 yy㉡
㉠, ㉡에서 1<x<5 1<x<5
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 6-3<x<6+3 ∴ 3<x<9 yy㉠
∠A가 예각이므로 x¤ <6¤ +3¤, x¤ <45
∴ 0<x<3'5 yy㉡
㉠, ㉡에서 3<x<3'5 3<x<3'5
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 2-1<x<2+1 ∴ 1<x<3
그런데 x가 가장 긴 변의 길이이므로 x>2
∴ 2<x<3 yy㉠ 또한 ∠A가 둔각이므로 x¤ >1¤ +2¤, x¤ >5
∴ x>'5 yy㉡
㉠, ㉡에서'5<x<3 '5<x<3
삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의해 6-4<x<6+4 ∴ 2<x<10
그런데 x가 가장 긴 변의 길이이므로 x>6
∴ 6<x<10 yy㉠ 또한 ∠A가 둔각이므로 x¤ >4¤ +6¤, x¤ >52
∴ x>2'ß13 yy㉡
㉠, ㉡에서 2'ß13<x<10 2'ß13<x<10
0123 0122 0121 0120 0119 0118 0117 0116 0115 0114
AB” ¤ =BC”_BH”이므로
x¤ =(16+9)_16=400 ∴ x=20 (∵ x>0) A’H” ¤ =BH”_CH”이므로
y¤ =16_9=144 ∴ y=12 (∵ y>0)
x=20, y=12
A’H” ¤ =BH”_CH”이므로 6¤ =4x ∴ x=9
△AHC에서 y="√6¤ +9¤ ='∂117=3'ß13
x=9, y=3'ß13
x=øπ6¤ -(2'5 )¤ ='1å6=4 AB”_CH”=BC”_AC”이므로 6_y=4_2'5
∴ y= x=4, y=
AB” ¤ =BC”_BH”이므로 8¤ =10_(10-x)
64=100-10x, 10x=36
∴ x=
BH”=10- = 이므로
y=æ≠8¤ -{ }¤ =æ≠ = x= , y=
6¤ +5¤ =7¤ +x¤, x¤ =12
∴ x=2'3 (∵ x>0) 2'3
6¤ +8¤ =5¤ +x¤, x¤ =75
∴ x=5'3 (∵ x>0) 5'3
5¤ +('5)¤ =x¤ +3¤ , x¤ =21
∴ x='ß21 (∵ x>0) 'ß21
(2'5)¤ +x¤ =4¤ +8¤ , x¤ =60
∴ x=2'ß15 (∵ x>0) 2'ß15
5¤ +6¤ =4¤ +x¤, x¤ =45
∴ x=3'5 (∵ x>0) 3'5
x¤ +4¤ =('5)¤ +5¤ , x¤ =14
∴ x='ß14 (∵ x>0) 'ß14
4¤ +8¤ =x¤ +6¤, x¤ =44
∴ x=2'ß11 (∵ x>0) 2'ß11
0134 0133 0132 0131 0130 0129 0128
24 5 18
5 24
5 576
25 32
5 32
5 18
5 18
5
0127
4'53 4'53
0126 0125 0124
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(x+2)¤ =x¤ +8¤ , 4x=60
∴ x=15 ③
0138
지면에서 나무가 부러진 부분까 지의 높이를 x m라고 하면 나무가 부 러진 부분에서 쓰러진 지점까지의 거리 는 (10-x) m이다.
(10-x)¤ =4¤ +x¤ , 20x=84
∴ x=4.2(m)
따라서 지면에서 나무가 부러진 부분까지의 높이는 4.2 m이
다. 4.2 m
A
B 4 m C
(10-x) m
x m
0139
직각삼각형 ABC의 넓이가 4'5 cm¤ 이므로 _4_AC”=4'5 ∴ AC”=2'5(cm)
∴ AB”=øπ4¤ +(2'5 )¤ ='3å6=6(cm) 6 cm 1
2
0140
△ABC에서
AB”="√8¤ +6¤ ='∂100=10(cm) yy`
이때 직각삼각형에서 빗변의 중점은 외심과 일치하므로 CD”=AD”=BD”= AB”= _10=5(cm) yy`
∴ CG”= CD”= _5= (cm) yy`
10 cm 3 10
3 2
3 2
3
1 2 1
2
0141
단계 채점요소 배점
AB”의 길이 구하기 20%
CD”의 길이 구하기 40%
CG”의 길이 구하기 40%
△AHC에서 A’H”="√5¤ -3¤ ='ß16=4(cm) 따라서 △ABH에서
AB”="√6¤ +4¤ ='ß52=2'ß13(cm) 2'ß13 cm
0142
△ABD에서 AD”="√3¤ +4¤ ='ß25=5(cm) CD”=AD”=5 cm이므로 BC”=4+5=9(cm) 따라서 △ABC에서
AC”="√3¤ +9¤ ='ß90=3'ß10(cm) 3'ß10 cm
0143
CD”=x cm라고 하면 △ADC에서 AC”="√3¤ -x¤ (cm) 따라서 △ABC에서
(2'5)¤ =('5+x)¤ +("√3¤ -x¤ )¤
20=5+2'5x+x¤ +9-x¤
2'5x=6 ∴ x= = (cm) 3'5 cm
5 3'5
5 3 '5
0144
삼각형의 각의 이등분선의 성질에 의하여
AB”:AC”=BD”:CD”=12:6=2:1 yy`
△ABC에서
BC”="√12¤ -6¤ ='∂108=6'3(cm) yy`
이므로 CD”= BC”= _6'3=2'3(cm) yy`
따라서 △ADC에서
AD”=øπ(2'3)¤ +6¤ ='4å8=4'3(cm) yy`
4'3 cm 1
3 1 3
참고 삼각형의 각의 이등분선의 성질
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”와 만나는 점을 D라고 하면
AB”:AC”=BD”:CD”
A
B C
D
0145
단계 채점요소 배점
BD”:DC”=2:1임을 이해하기 30%
BC”의 길이 구하기 20%
CD”의 길이 구하기 20%
AD”의 길이 구하기 30%
AC”="√x¤ +x¤ ='2x AD”="√('2x)¤ +x¤ ='3x AE”="√('3x)¤ +x¤ =2x AF”="√(2x)¤ +x¤ ='5x AG”="√('5x)¤ +x¤ ='6x 그런데 AG”=3'6이므로 '6x=3'6 ∴ x=3
△AGF에서 AF”=3'5, FG”=3이므로
△AGF= _3'5_3= 9'5
9'5 2 2 1
2
0146
⑴ AB”=a라고 하면 AB”=BC”=CD”=DE”=EF”=a
0147
('7)¤ +2¤ =3¤ +x¤ , x¤ =2
∴ x='2 (∵ x>0) '2
0135
(색칠한 부분의 넓이)=26+13
=39(cm¤ ) 39 cm¤
0136
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
= _6_4
=12(cm¤ ) 12 cm¤
1 2
0137
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AC”="√a¤ +a¤ ='2a AD”=øπ('2a)¤ +a¤ ='3a AE”=øπ('3a)¤ +a¤ =2a AF”=øπ(2a)¤ +a¤ ='5a
그런데 AF”=2'5이므로 '5a=2'5 ∴ a=2
∴ x=2'2
⑵ AC”=øπ('2 )¤ +('3 )¤ ='5 AD”=øπ('5)¤ +('3)¤ ='8=2'2 AE”=øπ(2'2)¤ +('3)¤ ='1å1
∴ x=AF”=øπ('1å1)¤ +('3 )¤ ='1å4
⑴ 2'2 ⑵ '1å4
OB”=O’A'”="√2¤ +2¤ ='8=2'2(cm)
∴ OC”=O’B'”="√(2'2)¤ +2¤ ='ß12=2'3(cm)
2'3 cm
0148
O’O'”=x라고 하면 OB”=O’A'”="√x¤ +x¤ ='2x OC”=O’B'”="√('2x)¤ +x¤ ='3x OD”=O’C'”="√('3x)¤ +x¤ =2x 그런데 OD”=6'3이므로
2x=6'3 ∴ x=3'3 3'3
0149
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면
HC”=AD”=12 cm
∴ BH”=17-12=5(cm)
△ABH에서
A’H”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
∴ ABCD= _(12+17)_12=174(cm¤ )
174 cm¤
1 2
A
B H C
12 cm D 13 cm
17 cm
0150
대각선 AC를 그으면
△ABC에서
AC”="√4¤ +3¤ ='ß25=5(cm)
△ACD에서
AD”="√5¤ -(2'3)¤ ='ß13(cm)
∴ ABCD= _3_4+ _2'3_'ß13
=6+'ß39(cm¤ ) (6+'ß39) cm¤
1 2 1
2
A
B C
D 4 cm
3 cm
2'3 cm
0151
꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면
BH”=AD”=4 cm
∴ HC”=12-4=8(cm)
△DHC에서
D’H”="√10¤ -8¤ ='ß36=6(cm) 따라서 △DBH에서
BD”="√4¤ +6¤ ='ß52=2'ß13(cm) ③ A
B H C
D
12 cm 10 cm
0152
4 cm두 꼭짓점 A, D에서 BC”
에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 고 하면
EF”=AD”=4 cm yy`
ABCD가 등변사다리꼴이므로
BE”=FC”= _(10-4)=3(cm) yy`
△ABE에서 AE”="√5¤ -3¤ ='ß16=4(cm) yy`
∴ ABCD= _(4+10)_4=28(cm¤ ) yy`
28 cm¤
1 2 1 2
A
B E F C
D
10 cm 5 cm 5 cm
0153
4 cm단계 채점요소 배점
EF”의 길이 구하기 20%
BE”의 길이 구하기 20%
AE”의 길이 구하기 30%
ABCD의 넓이 구하기 30%
DC”∥EB”이므로
△EBA=△EBC 또한 △EBC=△ABF (SAS 합동)이므로
△ABF=△EBA 이때 △ABC에서
AB”=øπ4¤ -('7)¤ ='9=3(cm)이므로
△ABF=△EBA= ADEB
= _3_3= (cm¤ ) 9 cm¤
2 9
2 1
2
1 2
E H
I A
F G
L C
M B
D
'7 cm 4 cm
0154
DC”∥EB”이므로 △EBA=△EBC
△ABF™△EBC(SAS 합동)이므로 △ABF=△EBC BF”∥A’M”이므로 △ABF=△BFL
∴ △EBA=△EBC=△ABF=△BFL
따라서 넓이가 다른 것은 ② △BCH이다. ②
0155
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단계 채점요소 배점
AB”의 길이 구하기 30%
△FDG의 넓이 구하기 70%
EFGH는 정사각형이므로
EF” ¤ =225 ∴ EF”=15(cm) (∵ EF”>0)
△AFE에서 AF”="√15¤ -12¤ ='ß81=9(cm) BF”=AE”=12 cm이므로 AB”=9+12=21(cm)
∴ ABCD=AB” ¤ =21¤ =441(cm¤ ) 441 cm¤
0158
D’H”=AE”=8 cm이므로 A’H”=14-8=6(cm)
△AEH에서 EH”="√8¤ +6¤ ='∂100=10(cm) 따라서 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=EH” ¤ =10¤ =100(cm¤ ) 100 cm¤
0159
△AEH에서 EH”="√x¤ +y¤ ='ß15 따라서 EFGH는 정사각형이므로
EFGH=EH” ¤ =('ß15)¤ =15 15
0160
AE”=x cm라고 하면 △AEH에서 EH”="√x¤ +x¤ ='2x(cm)
그런데 EFGH는 정사각형이고, 둘레의 길이가 8'2 cm이 므로
4_'2x=8'2 ∴ x=2(cm)
따라서 AB”=2AE”=2_2=4(cm)이므로
( ABCD의 둘레의 길이)=4AB”=4_4=16(cm)
16 cm
0161
BQ”=AP”=2이므로 △BCQ에서 CQ”="√4¤ -2¤ ='ß12=2'3
CR”=AP”=2이므로 QR”=2'3-2
따라서 PQRS는 정사각형이므로
PQRS=QR” ¤ =(2'3-2)¤ =16-8'3 16-8'3
0162
① BQ”=AP”=5 cm이므로 △ABQ에서 AQ”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm)
② △ABQ= _12_5=30(cm¤ )
③ AQ”=AP”+PQ”에서 12=5+PQ”
∴ PQ”=7(cm)
④ PQRS=PQ” ¤ =7¤ =49(cm¤ )
⑤ ABCD=AB” ¤ =13¤ =169(cm¤ )
∴ PQRS+ ABCD
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤
1 4 1 2
0163
AE”=CG”=3 cm이므로 △ABE에서 BE”="√6¤ -3¤ ='ß27=3'3(cm)
BF”=CG”=3 cm이므로 EF”=(3'3-3) cm
따라서 EFGH는 한 변의 길이가 (3'3-3) cm인 정사각형 이므로 둘레의 길이는
4(3'3-3)=12('3-1)(cm) 12('3-1) cm
0164
PQRS는 정사각형이고, 넓이는 9이므로 PQ” ¤ =9 ∴ PQ”=3 (∵ PQ”>0)
BQ”=AP”=3이므로 BP”=3+3=6
△ABP에서 AB”="√3¤ +6¤ ='ß45=3'5
∴ ABCD=AB” ¤ =(3'5)¤ =45 45
0165
△ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이므로 AC” ¤ =40, AC” ¤ =80
∴ AC”='8å0=4'5(cm) (∵ AC”>0)
△ABC에서 BC”=øπ(4'5 )¤ -4¤ ='6å4=8(cm)이고 CD”=AB”=4 cm이므로
BD”=8+4=12(cm) DE”=BC”=8 cm이므로
ABDE=1_(4+8)_12=72(cm¤ ) ④ 2
1 2
0166
△ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이고 AB”=CD”=3 cm이므로
AC”=øπ('3)¤ +3¤ ='1å2=2'3(cm)
∴ △ACE=1_2'3_2'3=6(cm¤ ) ① 2
0167
△ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이므로
0168
BC” ¤ =AB” ¤ +AC” ¤
= GBAF+ ACDE
=120+49=169
∴ BC”=13(cm) (∵ BC”>0) 13 cm
0156
△ABC에서
AB”="√12¤ -6¤ ='∂108=6'3(cm) yy`
∴ △FDG= BDGF= AB” ¤
= _(6'3)¤ =54(cm¤ ) yy`
54 cm¤
1 2
1 2 1
2