정답과 풀이

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정답과 풀이

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 1 19. 2. 27. 오후 5:07

002

수열의 극한

01 ^Ⅰ.

본문 7쪽, 9쪽

교과서 문제

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=1

n

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로

이 수열은 0에 수렴한다. 답 0

0001 B‰

0 O



   

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=n+1

n

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 1에 한없이 가까워지므로

이 수열은 1에 수렴한다. 답 1

0002

0 O B‰





   

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=2

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 2이므로 이 수열은 2에 수

렴한다. 답 2

0003

0 O B‰



   

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=2n

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ 의 값이 한없이 커지므로 이 수열은 양의 무한 대로 발산한다.

답

발산

0004

O B‰









0    

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=4-1

n

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 4에 한없이 가까워지므로

이 수열은 4에 수렴한다. ^답

수렴

0005

0 O B‰

   





주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ={;5!;}^n-1

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로 이 수열은 0에 수렴한다. 답

수렴

0006

Å

0 O



   B‰

 

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=1-{-;2!;}n``

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 1에 한없이 가까워지므로

이 수열은 1에 수렴한다. 답

수렴

0012

0

B‰



O



Å

  

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=-2n+10

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한 없이 커지므로 이 수열은 음의 무한대로 발산한다.

답

발산

0007

0

B‰

O









 



   

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ= 1

3n-2

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로 이 수열은 0에 수렴한다. ^답

수렴

0009

0

O



  

B‰

Å

Å

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 수열 {aÇ}은 수렴하지도 않고 양 의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도

않으므로 진동한다. 즉, 발산한다. 답

발산

0008 ^B‰

0 O





   

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=5+3Ç`

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 한없이 커지므로 이 수열은 양의 무한대로

발산한다. 답

발산

0010

0    O





 B‰

주어진 수열의 일반항을 aÇ이라 하면 aÇ=- 1

nÛ`

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 aÇ의 값이 0에 한없이 가까워지므로 이 수

열은 0에 수렴한다. ^답

수렴

0011 O

0



   B‰

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 2 19. 2. 27. 오후 5:07

01. 수열의 극한

003

하면 aÇ=cos np

오른쪽 그림에서 n의 값이 한없이 커질 때 수열 {aÇ}은 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않

으므로 진동한다. 즉, 발산한다. 답

발산

0013

0 

 







B‰

O

lim_{n`Ú¦</sub> {2+ 1n }=lim<sub>n`Ú¦}2+lim_n`Ú¦1

n=2+0=2 ^답 2

0015

lim_n`Ú¦ {- 2n+ 1

nÜ` }=-2lim<sub>n`Ú¦</sub>1

n+lim_n`Ú¦ 1

nÜ`

=-2_0+0=0 답 0

0016

lim_n`Ú¦ {3- 1n }{2+5

n }=lim_{n`Ú¦</sub> {3- 1n }_lim<sub>n`Ú¦} {2+ 5n }

=3_2=6 답 6

0017

lim_n`Ú¦ ;n!;

2+;n!;= lim_n`Ú¦;n!;

limn`Ú¦ {2+;n!;}=;2);=0 ^답 0

0018

lim_n`Ú¦ n-1

2n+3=lim_n`Ú¦1-;n!;

2+;n#;= 1-02+0=;2!;

^답

^수렴

;2!;

0019

⑴ lim_{n`Ú¦</sub>(2-aÇ)=lim<sub>n`Ú¦}2-lim_n`Ú¦aÇ=2-2=0

⑵ lim_{n`Ú¦</sub>(aÇ+bÇ) =lim<sub>n`Ú¦}aÇ+lim_n`Ú¦bÇ=2+(-1)=1

⑶ lim

n`Ú¦(3aÇ+4bÇ) =3lim<sub>n`Ú¦</sub>aÇ+4lim_n`Ú¦bÇ 

=3_2+4_(-1)=2

⑷ lim_{n`Ú¦</sub>3aÇbÇ=3lim<sub>n`Ú¦}aÇ_lim_n`Ú¦bÇ=3_2_(-1)=-6

⑸ lim_n`Ú¦2aÇ

5bÇ=2lim_n`Ú¦aÇ

5lim_n`Ú¦bÇ= 2_2

5_(-1)=-;5$;

⑹ lim_n`Ú¦aÇ-3

6bÇ =lim_{n`Ú¦</sub>aÇ-lim<sub>n`Ú¦}3

6lim_n`Ú¦bÇ = 2-3 6_(-1)=;6!;

답 ⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 2 ⑷ -6 ⑸ -;5$; ⑹ ;6!;

0014

lim_{n`Ú¦</sub>3nÛ`-3n+1 nÛ`+5n+1 =lim<sub>n`Ú¦}

3-3 n+ 1 111114nÛ`

1+5 n+ 1

nÛ`

= 3-0+01+0+0=3  답

수렴

0020

lim<sub>n`Ú¦</sub> 3n+1 nÛ`+2n =lim_n`Ú¦

3 n+ 1 11133nÛ`

1+2 n

=0+0

1+0=0  ^답

수렴

0021

lim

n`Ú¦

2nÛ`+n-5

6n-1 =lim_n`Ú¦2n+1-5 11111n

6-1 n

=¦  ^답

^발산 0022

lim

n`Ú¦(1+2n-nÛ`)=lim<sub>n`Ú¦</sub>nÛ`{ 1 nÛ`+2

n-1}=-¦ 

답

발산

0023

lim<sub>n`Ú¦</sub>(5nÛ`-4n)=lim<sub>n`Ú¦</sub>nÛ`{5-4

n }=¦ 답

발산

0024

lim_n`Ú¦('Än+1-'§n)

=lim_n`Ú¦('Än+1-'§n)('Än+1+'§n) 'Än+1+'§n

=lim_n`Ú¦ 1

'Än+1+'§n=0 ^답 0

0025

lim_n`Ú¦ 1

"ÃnÛ`+3n-n

=lim<sub>n`Ú¦</sub> "ÃnÛ`+3n+n

("ÃnÛ`+3n-n)("ÃnÛ`+3n+n)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>"ÃnÛ`+3n+n 3n

=lim_n`Ú¦®É1+ 3n+1

111113 =;3@;  ^답

;3@;

0026

n

4n+5<aÇ< n+6 4n+3에서 limn`Ú¦

n

4n+5=lim_n`Ú¦11231 4+5

n

=;4!;,

limn`Ú¦

n+6

4n+3=lim_n`Ú¦1+6 1123n

4+3 n

=;4!;

이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

limn`Ú¦aÇ=;4!; ^답 ;4!;

0027

주어진 등비수열의 공비는 ;2#;이고, ;2#;>1이므로 발산

한다. 답

발산

0028

주어진 등비수열의 공비는 -0.5이고, -1<-0.5<1

이므로 0에 수렴한다. 답

수렴

0029

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 3 19. 2. 27. 오후 5:07

004

ㄱ. n의 값이 한없이 커지면 '¶3n

3 의 값도 한없이 커지 므로 수열 [ '¶3n

3 ]은 양의 무한대로 발산한다.

0041

-1<2r-1É1, 0<2rÉ2

∴ 0<rÉ1 답 0<rÉ1

0038

주어진 등비수열의 공비는 -;3$;이고, -;3$;<-1이므로

발산한다. 답

발산

0030

3Ç`

4Ç`={;4#;}n`에서 주어진 등비수열의 공비는 ;4#;이고, -1<;4#;<1이므로 0에 수렴한다. ^답

^수렴 0031

4Ç`

3ⁿ⁺¹=;3!;_{;3$;}n`에서 공비는 ;3$;이고, ;3$;>1이므로 limn`Ú¦

4Ç`

3ⁿ⁺¹=¦ (발산) 답

발산

0032

{;5#;}^1-n=;5#;_{;3%;}n`에서 공비는 ;3%;이고, ;3%;>1이므로 limn`Ú¦ {;5#;}^1-n=¦ (발산) ^답

발산

0033

3^-n={;3!;}ⁿ에서 공비는 ;3!;이고, -1<;3!;<1이므로 limn`Ú¦3^-n=0

4^-n={;4!;}ⁿ에서 공비는 ;4!;이고, -1<;4!;<1이므로 limn`Ú¦4^-n=0

∴ lim_n`Ú¦(3^-n+4^-n)=0+0=0 (수렴) 답

수렴, 0

0034

수열 [{-;3!;}ⁿ]의 공비는 -;3!;이고, -1<-;3!;<1이 므로 lim

n`Ú¦ {-;3!;}ⁿ=0

∴ lim

n`Ú¦[4+{-;3!;}<sup>n</sup>]=lim<sub>n`Ú¦</sub>4+lim_n`Ú¦ {-;3!;}ⁿ

=4+0=4 (수렴) ^답

수렴, 4

0035

공비가 3r이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<3rÉ1 ∴ -;3!;<rÉ;3!; ^답 -

;3!;<rÉ;3!;

0036

공비가 -;2R;이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<-;2R;É1 ∴ -2Ér<2 ^답 -2Ér<2

0037

본문 10~18 쪽

유형

① 홀수 번째 항은 -;2!;, -;4#;, -;6%;, y에서 -1에 수 렴하고, 짝수 번째 항은 ;3@;, ;5$;, ;7^;, y에서 1에 수렴하므로 주어진 수열은 발산한다.

② n의 값이 한없이 커지면 4

2n-1 의 값은 0에 한없이 가까워지 므로 주어진 수열은 0에 수렴한다.

③ 주어진 수열은 진동한다. 즉, 발산한다.

④ 수열 2, ;2%;, ;;Á3¼;;, ;;Á4¦;;, y, nÛ`+1n , y에서 1+;1!;, 2+;2!;, 3+;3!;, 4+;4!;, y, n+1

n, y 

n의 값이 한없이 커지면 n+1

n의 값도 한없이 커지므로 주어 진 수열은 양의 무한대로 발산한다.

⑤ n의 값이 한없이 커지면 n1000 의 값도 한없이 커지므로 주어 진 수열은 양의 무한대로 발산한다.

따라서 수렴하는 것은 ②이다. 답 ②

0039

① n=1, 2, 3, 4, y를 nÛ`-3

n+1 에 차례로 대입하면 -1, ;3!;, ;2#;, ;;Á5£;;, y

이므로 수열 [ nÛ`-3n+1 ]은 양의 무한대로 발산한다.

② n의 값이 한없이 커지면 2n-3의 값도 한없이 커지므로 수열 {2n-3}은 양의 무한대로 발산한다.

③ n=1, 2, 3, 4, y를 (-1)Ç`

n 에 차례로 대입하면 -1, ;2!;, -;3!;, ;4!;, y

이므로 수열 [(-1)Ç`

n ]은 0에 수렴한다.

④ n의 값이 한없이 커지면 1-nÛ`의 값은 음수이면서 그 절댓값 이 한없이 커지므로 수열 {1-nÛ`}은 음의 무한대로 발산한다.

⑤ n=1, 2, 3, 4, 5, y를 sin np2 에 차례로 대입하면 1, 0, -1, 0, 1, y

이므로 수열 [sin np2 ]는 진동한다. 즉, 발산한다.

따라서 수렴하는 것은 ③이다. 답 ③

0040

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 4 19. 2. 27. 오후 5:07

01. 수열의 극한

005

limn`Ú¦aÇ=a, lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ=b (a, b는 실수)라 하면

limn`Ú¦(aÇ-bÇ)=3에서 a-b=3 yy ㉠ limn`Ú¦(4aÇ+3bÇ)=5에서 4a+3b=5 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

∴ lim_n`Ú¦bÇ

aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ limn`Ú¦aÇ=b

a =-;2!; ^답 -

;2!;

0045

수열 {aÇ}이 수렴하므로 lim<sub>n`Ú¦</sub>aÇ=a`(a는 실수)라 하면 limn`Ú¦ aÇ*ª=a

limn`Ú¦

aÇ*ª+5

3aÇ-1 =3에서 a+53a-1=3 9a-3=a+5, 8a=8 ∴ a=1

∴ lim_n`Ú¦ aÇ=1 ^답 ③

0046

수열 {aÇ}이 0이 아닌 실수에 수렴하므로 limn`Ú¦aÇ=a`(a+0)라 하면 lim_n`Ú¦aÇ*Á=a

aÇ*Á4 =4-aÇ에서 lim_n`Ú¦ 4

aÇ*Á=lim<sub>n`Ú¦</sub>(4-aÇ)이므로 4a =4-a, aÛ`-4a+4=0

(a-2)Û`=0 ∴ a=2

∴ lim

n`Ú¦an=2 답 2

0047

① lim_{n`Ú¦</sub>2nÛ`+3n+5 2nÛ`+1 =lim<sub>n`Ú¦}

2+3 n+ 5 111115nÛ`

2+ 1 nÛ`

=1

② lim_n`Ú¦ '§n

'Ä9n+5=lim_n`Ú¦111251

®É9+ 5n

=;3!;

③ lim_n`Ú¦ n

"ÃnÛ`+1+n=lim<sub>n`Ú¦</sub>1111141

®É1+ 1nÛ`+1

= 11+1=;2!;

④ lim

n`Ú¦

(n+1)(2n+1)

nÛ` =lim<sub>n`Ú¦</sub>2nÛ`+3n+1

nÛ`

=lim_n`Ú¦

2+3 n+ 1 1111141 nÛ` =2

⑤ lim_n`Ú¦ '§n

'Än+1+'§n=lim_n`Ú¦1111151

®É1+ 1n+1

= 11+1=;2!;

따라서 옳은 것은 ②이다. 답 ②

0048

lim<sub>n`Ú¦</sub>{logª(nÛ`-2n+3)-logª(2n+1)Û`}

=lim<sub>n`Ú¦</sub>logªnÛ`-2n+3

(2n+1)Û` =lim<sub>n`Ú¦</sub>logªnÛ`-2n+3 4nÛ`+4n+1

=lim<sub>n`Ú¦</sub>logª1-2 n+ 3 111115nÛ`

4+4 n+ 1

nÛ`

=logª`;4!;=logª`2^-2=-2  ^답 -2

참고

로그의 성질

a>0, a+1, M>0, N>0일 때

① log

② log

③ log

④ log

0049

limn`Ú¦aÇ=a, lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ=b (a, b는 실수)라 하면 limn`Ú¦(aÇ+bÇ)=6에서 a+b=6

limn`Ú¦aÇbÇ=3에서 ab=3

∴ lim

n`Ú¦(aÇÛ`+bÇÛ`) =lim<sub>n`Ú¦</sub>aÇÛ`+lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇÛ`

=aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab

=6Û`-2_3=30 ^답

³⁰

0042

lim_n`Ú¦3aÇ-bÇ

aÇbÇ+6 =lim_n`Ú¦(3aÇ-bÇ)

limn`Ú¦(aÇbÇ+6)

= 3lim_{n`Ú¦</sub>aÇ-lim<sub>n`Ú¦}bÇ

limn`Ú¦aÇ_lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ+6

= 3_(-3)-3

(-3)_3+6 =4 ^답

⁴ 0043

lim_{n`Ú¦</sub>aÇ=lim<sub>n`Ú¦}{;n!;-2}=-2 limn`Ú¦bÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>[3- 2

n(n+1) ]=3

∴ lim_{n`Ú¦</sub>aÇ(2aÇ-3bÇ) =lim<sub>n`Ú¦}aÇ_lim_n`Ú¦(2aÇ-3bÇ)

=lim_{n`Ú¦</sub>aÇ_(2lim<sub>n`Ú¦}aÇ-3lim_n`Ú¦bÇ)

=-2{2_(-2)-3_3}

=26 답

26

0044

ㄴ. n의 값이 한없이 커지면 1

'§n의 값은 0에 한없이 가까워지므 로 수열 [ 1'§n ]은 0에 수렴한다.

ㄷ. n=1, 2, 3, 4, y를 tan { np2 +p

4 }에 차례로 대입하면 -1, 1, -1, 1, y   

이므로 수열 [tan { np2 +p

4 }]는 진동한다. 즉, 발산한다.

ㄹ. n=1, 2, 3, 4, y를 {-;2#;}ⁿ에 차례로 대입하면 -;2#;, ;4(;, -;;ª8¦;;, ;1*6!;, y

이므로 수열 [{-;2#;}ⁿ]은 진동한다. 즉, 발산한다.

이상에서 발산하는 수열은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 답

ㄱ, ㄷ, ㄹ

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 5 19. 2. 27. 오후 5:07

006

naÇ =lim_n`Ú¦-2n+1

n _lim_n`Ú¦ 1

aÇ

=lim_n`Ú¦ {-2+ 1n }_ 1

limn`Ú¦ aÇ`

=(-2)_7

=-14 답 -

14

0050

aÇ={1- 1

2Û` }{1- 1

3Û` }{1- 1

4Û` }`y`{1- 1nÛ` } 

=2Û`-1

2Û` _3Û`-1

3Û` _4Û`-1

4Û` _`y`_nÛ`-1

nÛ`

=1_3 2_2_2_4

3_3_3_5

4_4_`y`_(n-1)(n+1)

n_n

=n+1 2n

∴ lim_{n`Ú¦</sub>aÇ=lim<sub>n`Ú¦}n+1

2n =lim<sub>n`Ú¦</sub>`1+1 n`

112332 =;2!; ^답

;2!;

0054

aÇ=log`n+1 n 이므로 aÁ+aª+a£+`y`+aÇ

=log`;1@;+log`;2#;+log`;3$;+`y`+log`n+1 n

=log {;1@;_;2#;_;3$;_`y`_n+1

n }=log (n+1)

∴ 10aÁ+aª+a£+`y`+aÇ=10^log`(n+1)=n+1

∴ lim

n`Ú¦

2n+4

10aÁ+aª+a£+`y`+aÇ=lim_n`Ú¦2n+4

n+1 =lim_n`Ú¦ 2+4 11145n

1+1 n

=2

답 ②

0055

a+0이면 lim<sub>n`Ú¦</sub>anÛ`+bn+7

2n-3 =¦`(또는 -¦)이므로 a=0

limn`Ú¦

anÛ`+bn+7

2n-3 =lim_n`Ú¦bn+7

2n-3=lim_n`Ú¦ b+7 11145n

2-3 n

=;2B;

따라서 ;2B;=3이므로 b=6

∴ a+b=6 답 ④

0056

lim_{n`Ú¦</sub>anÛ`-3n-1 4nÛ`+n =lim<sub>n`Ú¦}

a-3 n- 1 111114nÛ`

4+1 n

=;4A;

따라서 ;4A;=2이므로 a=8 ^답 ④

0057

aÇ+bÇ=-2n, aÇbÇ=1



∴ aÇÛ`+bÇÛ`=(aÇ+bÇ)Û`-2aÇbÇ=4nÛ`-2





aÇÛ`+bÇÛ`

f(n) =lim<sub>n`Ú¦</sub>4nÛ`-2

3nÛ`+1

=lim_n`Ú¦

4- 2 1123nÛ`

3+ 1 nÛ`

=;3$;



답 ;3$;

단계 채점요소 배점



30 %



20 %

 f(n) 구하기 20 %



f(n)

30 %

0051

aÇ=SÇ-Sn-1

=(2nÛ`-3n)-{2(n-1)Û`-3(n-1)}

=4n-5 (n¾2)

∴ lim<sub>n`Ú¦</sub>aÇÛ`

SÇ =lim<sub>n`Ú¦</sub>(4n-5)Û`

2nÛ`-3n

=lim<sub>n`Ú¦</sub>16nÛ`-40n+25

2nÛ`-3n

=lim_n`Ú¦

16-40 n+25 1111115nÛ`

2-3 n

=;;Á2¤;;=8  ^답 ③

참고

수열의 합 S

과 일반항 a

사이의 관계

수열 {a

이라 하면

(n¾2)

0052

1+2+3+`y`+n=n(n+1)

2 이므로

limn`Ú¦

8nÛ`-3n

1+2+3+`y`+n =lim<sub>n`Ú¦</sub>111141111n(n+1)8nÛ`-3n2

=lim<sub>n`Ú¦</sub>16nÛ`-6n nÛ`+n

=lim_n`Ú¦16-6 11145n

1+1 n

=16 답

16

0053

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 6 19. 2. 27. 오후 5:07

01. 수열의 극한

007

bnÜ`-nÛ`+6=0이므로 b=0 limn`Ú¦

anÛ`-4n-1

bnÜ`-nÛ`+6 =lim<sub>n`Ú¦</sub>anÛ`-4n-1

-nÛ`+6

=lim_n`Ú¦

a-4 n- 1 111114nÛ`

-1+ 6 nÛ`

=-a 따라서 -a=5이므로 a=-5

∴ lim<sub>n`Ú¦</sub> (an+b)Û`

nÛ`-2n+7 =lim<sub>n`Ú¦</sub> (-5n)Û`

nÛ`-2n+7

=lim<sub>n`Ú¦</sub> 25nÛ`

nÛ`-2n+7

=lim_n`Ú¦ 25 111114

1-2 n+ 7

nÛ`

=25 답 25

0058

lim_n`Ú¦ n-6

"ÃnÛ`+3n-2+an

=lim_n`Ú¦ 1-6 111111135n

®É1+ 3n- 2 nÛ`+a

= 1 1+a

따라서 1

1+a=;5!;이므로 a=4 ^답 ②

0059

lim<sub>n`Ú¦</sub>("Ã4nÛ`+3n+1-2n)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>("Ã4nÛ`+3n+1-2n)("Ã4nÛ`+3n+1+2n)

"Ã4nÛ`+3n+1+2n

=lim_n`Ú¦ 3n+1

"Ã4nÛ`+3n+1+2n

=lim_n`Ú¦ 3+1 111111135n

®É4+ 3n+ 1 nÛ`+2

= 3

2+2=;4#; ^답 ②

0060

lim_n`Ú¦'§n('Än+2-'§n)

=lim_n`Ú¦'§n('Än+2-'§n)('Än+2+'§n)

'Än+2+'§n

=lim_n`Ú¦ 2'§n 'Än+2+'§n

=lim_n`Ú¦1111152

®É1+ 2n+1

= 2

1+1=1 답 1

0061

SÇ=1+2+3+`y`+n=n(n+1)

2 이므로

limn`Ú¦('¶SÇ-'ÄSÇÐÁ) =lim<sub>n`Ú¦</sub>('¶SÇ-'ÄSÇÐÁ)('¶SÇ+'ÄSÇÐÁ) '¶SÇ+'ÄSÇÐÁ

=lim_n`Ú¦ SÇ-SÇÐÁ

'¶SÇ+'ÄSÇÐÁ=lim_n`Ú¦ aÇ

'¶SÇ+'ÄSÇÐÁ

=lim_n`Ú¦111111111114n

¾¨ n(n+1)2 +¾¨ (n-1)n2

=lim_n`Ú¦11111111111151

¾¨ 12 {1+1

n }+¾¨ 12 {1-1 n }

=1111551 1 '2+ 1

'2

= '2

2 답 '

2 2 0062

(3n)Û`<9nÛ`+5n+1<(3n+1)Û`이므로 3n<"Ã9nÛ`+5n+1<3n+1

따라서 "Ã9nÛ`+5n+1의 정수 부분이 3n이므로 aÇ="Ã9nÛ`+5n+1-3n



∴ lim_{n`Ú¦</sub>aÇ=lim<sub>n`Ú¦}("Ã9nÛ`+5n+1-3n)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>("Ã9nÛ`+5n+1-3n)("Ã9nÛ`+5n+1+3n)

"Ã9nÛ`+5n+1+3n

=lim_n`Ú¦ 5n+1

"Ã9nÛ`+5n+1+3n=lim<sub>n`Ú¦</sub> 5+1 111111135n

®É9+ 5n+ 1 nÛ`+3

= 5 3+3=;6%;



답

;6%;

단계 채점요소 배점

 aÇ 구하기 50 %



aÇ의 값 구하기 50 %

0063

lim<sub>n`Ú¦</sub>{'Ä1+2+3+`y`+n-'Ä1+2+3+`y`+(n-1)}

=lim_n`Ú¦[®É n(n+1)2 -®É(n-1)n 2 ]

= 1

'2lim<sub>n`Ú¦</sub>("ÃnÛ`+n-"ÃnÛ`-n)

= 1 '2lim

n`Ú¦

("ÃnÛ`+n-"ÃnÛ`-n)("ÃnÛ`+n+"ÃnÛ`-n)

"ÃnÛ`+n+"ÃnÛ`-n

= 1

'2lim_n`Ú¦ 2n

"ÃnÛ`+n+"ÃnÛ`-n

= 1

'2lim_n`Ú¦1111111152

®É1+ 1n+®É1- 1n

= 1 '2_ 2

1+1= '2

2 답 '

2

2 0064

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 7 19. 2. 27. 오후 5:07

008

"ÃnÛ`+2n-n

=lim<sub>n`Ú¦</sub> "ÃnÛ`+2n+n

("ÃnÛ`+2n-n)("ÃnÛ`+2n+n)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>"ÃnÛ`+2n+n 2n

=lim_n`Ú¦

®É1+ 2n +1 1111152

=1+1

2 =1 ^답 ⑤

0065

lim_n`Ú¦ 'Än+3-'§n 'Än+2-'Än+1

=lim_n`Ú¦ ('Än+3-'§n)('Än+3+'§n)('Än+2+'Än+1) ('Än+2-'Än+1)('Än+2+'Än+1)('Än+3+'§n)

=lim_n`Ú¦3('Än+2+'Än+1) 'Än+3+'§n

=lim_n`Ú¦3{®É1+ 2n+®É1+ 1n } 11111111144

®É1+ 3n+1

=3(1+1)

1+1 =3 답 3

0066

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 aÇ+bÇ=1, aÇbÇ=n-"ÃnÛ`+2n

∴ lim_n`Ú¦ { 1aÇ + 1

bÇ }=lim_n`Ú¦aÇ+bÇ aÇbÇ

=lim_n`Ú¦ 1

n-"ÃnÛ`+2n

=lim<sub>n`Ú¦</sub> n+"ÃnÛ`+2n

(n-"ÃnÛ`+2n)(n+"ÃnÛ`+2n)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>n+"ÃnÛ`+2n

-2n

=lim_n`Ú¦

1+®É1+ 2n

111115-2    

=1+1

-2 =-1 답

-1

0067

aÉ0이면 lim<sub>n`Ú¦</sub>{"ÃnÛ`+4n-2-(an+b)}=¦이므로 a>0

∴ lim

n`Ú¦{"ÃnÛ`+4n-2-(an+b)}

=lim<sub>n`Ú¦</sub>{"ÃnÛ`+4n-2-(an+b)}{"ÃnÛ`+4n-2+(an+b)}

"ÃnÛ`+4n-2+(an+b)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>(1-aÛ`)nÛ`+2(2-ab)n-(2+bÛ`)

"ÃnÛ`+4n-2+(an+b)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>(1-aÛ`)n+2(2-ab)-2+bÛ`

111111111111444n

®É1+ 4n- 2

nÛ`+a+b n

yy ㉠ 

0068

이때 1-aÛ`+0이면 발산하므로 1-aÛ`=0 ∴ a=1 (∵ a>0) a=1을 ㉠에 대입하면

limn`Ú¦

2(2-b)-2+bÛ`

11111111134n

®É1+ 4n- 2

nÛ`+1+b n

=2(2-b) 2 =2-b 따라서 2-b=2이므로 b=0

∴ aÛ`+bÛ`=1+0=1 답 ①

lim<sub>n`Ú¦</sub>("ÃnÛ`+an-"ÃnÛ`+bn )

=lim<sub>n`Ú¦</sub>("ÃnÛ`+an-"ÃnÛ`+bn)("ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+bn)

"ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+bn

=lim_n`Ú¦ (a-b)n

"ÃnÛ`+an+"ÃnÛ`+bn

=lim_n`Ú¦111111115a-b

®É1+ an+®É1+b n

=a-b 2

따라서 a-b

2 =10이므로

a-b=20 ^답 20

0069

lim_n`Ú¦ 1

"Ã9nÛ`+an-3n+a

=lim<sub>n`Ú¦</sub> "Ã9nÛ`+an+3n-a

{"Ã9nÛ`+an-(3n-a)}{"Ã9nÛ`+an+(3n-a)}

=lim<sub>n`Ú¦</sub>"Ã9nÛ`+an+3n-a 7an-aÛ`

=limn`Ú¦

®É9+ an+3-a 11111113n

7a-aÛ`

n

= 6 7a

따라서 6

7a=;7@;이므로 a=3 ^답 3

0070

k¾0이면 lim_n`Ú¦aÇ=¦이므로 k<0

∴ lim_n`Ú¦aÇ

=lim_n`Ú¦{'Ä(n-1)(n-2)+kn}

=lim_n`Ú¦{'Ä(n-1)(n-2)+kn}{'Ä(n-1)(n-2)-kn}

'Ä(n-1)(n-2)-kn

=lim<sub>n`Ú¦</sub>(1-kÛ`)nÛ`-3n+2

"ÃnÛ`-3n+2-kn

=limn`Ú¦

(1-kÛ`)n-3+2 111111123n

®É1- 3n+ 2 nÛ`-k

yy ㉠

이때 1-kÛ`+0이면 수열 {aÇ}이 발산하므로 1-kÛ`=0 ∴ k=-1 (∵ k<0) k=-1을 ㉠에 대입하면

0071

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 8 19. 2. 27. 오후 5:07

01. 수열의 극한

009

111111123n

®É1- 3n+ 2 nÛ`+1

=-;2#; ^답 -

;2#;

3aÇ-2

aÇ+1 =bÇ으로 놓으면 3aÇ-2=aÇbÇ+bÇ, (3-bÇ)aÇ=bÇ+2

∴ aÇ=bÇ+2 3-bÇ 이때 lim

n`Ú¦bÇ=2이므로 limn`Ú¦aÇ=lim_n`Ú¦bÇ+2

3-bÇ=2+2

3-2=4 답 ⑤

0072

nÛ`+n<(10nÛ`+3)aÇ<nÛ`+2n에서 nÛ`+n

10nÛ`+3<aÇ< nÛ`+2n 10nÛ`+3 이때 lim

n`Ú¦

nÛ`+n 10nÛ`+3= 1

10, lim

n`Ú¦

nÛ`+2n 10nÛ`+3= 1

10이므로 수열의 극 한의 대소 관계에 의하여

limn`Ú¦aÇ= 1

10 답 ;1Á0;

0076

lim

n`Ú¦

3nÛ`-n

nÛ`+1 =3, lim<sub>n`Ú¦</sub>3nÛ`+n

nÛ`+1 =3이므로 수열의 극한 의 대소 관계에 의하여

limn`Ú¦aÇ=3 ^답 ⑤

0077

3n-3<naÇ<"Ã9nÛ`+5n에서 3n-3

n <aÇ< "Ã9nÛ`+5n n 이때 lim<sub>n`Ú¦</sub>3n-3

n =3, lim<sub>n`Ú¦</sub>"Ã9nÛ`+5n

n =3이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여

limn`Ú¦aÇ=3

∴ lim<sub>n`Ú¦</sub>(nÛ`+3n)aÇ

4nÛ`-2 =lim<sub>n`Ú¦</sub>nÛ`+3n

4nÛ`-2_lim<sub>n`Ú¦</sub>aÇ

=1 4_3=3

4 답 ③

0078

2n<aÇ<2n+1에서 Án

k=12k<Áⁿ

k=1aû<Áⁿ

k=1(2k+1) n(n+1)<Áⁿ

k=1aû<n(n+1)+n nÛ`+n<Áⁿ

k=1aû<nÛ`+2n

∴ nÛ`+n

7nÛ`+10<aÁ+aª+a£+`y`+aÇ

7nÛ`+10 < nÛ`+2n 7nÛ`+10



n`Ú¦

nÛ`+n 7nÛ`+10=1

7, lim

n`Ú¦

nÛ`+2n 7nÛ`+10=1

7이므로 수열의 극한 의 대소 관계에 의하여

limn`Ú¦

aÁ+aª+a£+`y`+aÇ 7nÛ`+10 =1

7



답 ;7!;

단계 채점요소 배점

 aÁ+aª+a£+`y`+aÇ

7nÛ`+10

50 %



aÁ+aª+a£+`y`+aÇ

7nÛ`+10

50 %

0079

aÇ= bÇ

2nÛ`-3n이고 lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ=4

∴ lim<sub>n`Ú¦</sub>nÛ`aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>{nÛ`_ bÇ

2nÛ`-3n }

=lim<sub>n`Ú¦</sub> nÛ`

2nÛ`-3n_lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ 

=;2!;_4=2 ^답 ④

0073

(nÛ`+2n)aÇ=cÇ으로 놓으면 aÇ= cÇ nÛ`+2n (3n-2)bÇ=dÇ으로 놓으면 bÇ= dÇ

3n-2 이때 lim

n`Ú¦cÇ=2, lim<sub>n`Ú¦</sub>dÇ=6이므로 limn`Ú¦

(4n+2)aÇ bÇ =lim_n`Ú¦

(4n+2)cÇ nÛ`+2n 111114dÇ

3n-2

=lim_n`Ú¦(4n+2)(3n-2)

nÛ`+2n _lim<sub>n`Ú¦</sub>cÇ

dÇ

=12_;6@;=4 ^답 4

0074

aÇ-3bÇ=cÇ으로 놓으면 aÇ=3bÇ+cÇ이고 lim_n`Ú¦cÇ=2 또, lim

n`Ú¦bÇ=¦이므로 lim<sub>n`Ú¦</sub> 1 bÇ=0

∴ lim

n`Ú¦

bÇ-5aÇ+5=lim_n`Ú¦ bÇ-5 3bÇ+cÇ+5

=lim_n`Ú¦ 1- 5 1111154bÇ

3+cÇ bÇ+ 5

bÇ

=;3!; ^답

;3!;

0075

Û lim_{n`Ú¦</sub>cÇ=2, lim<sub>n`Ú¦}bÇ=¦이므로 limn`Ú¦

cÇbÇ=0

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 9 19. 2. 27. 오후 5:07

010

-1Ésin nhÉ1이므로

- 1

2n+1É sin nh2n+1É 12n+1 이때 lim

n`Ú¦{- 1

2n+1 }=0, lim_n`Ú¦ 1

2n+1=0이므로 수열의 극한 의 대소 관계에 의하여

limn`Ú¦

sin nh 2n+1=0

∴ lim_n`Ú¦3n-sin nh

2n+1 =lim_n`Ú¦ { 3n2n+1-sin nh

2n+1 } 

=3 2-0=3

2 답 ④

0080

ㄱ. [반례] aÇ=n, bÇ=nÛ`이면 limn`Ú¦aÇ=¦, lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ=¦이지만 limn`Ú¦

aÇbÇ=lim_n`Ú¦n

nÛ`=lim<sub>n`Ú¦</sub>1 n=0 ㄴ. lim

n`Ú¦aÇ=¦, lim<sub>n`Ú¦</sub>(aÇ-bÇ)=a이므로 limn`Ú¦

aÇ-bÇ

aÇ =lim_n`Ú¦ {1-bÇ

aÇ }=0 ∴ lim_n`Ú¦bÇ aÇ=1 ㄷ. [반례] aÇ=1

n, bÇ=2 n이면

모든 자연수 n에 대하여 aÇ<bÇ이지만 limn`Ú¦aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ=0

이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. 답 ②

0081

ㄱ. -|aÇ|ÉaÇÉ|aÇ|에서

limn`Ú¦(-|aÇ|)=lim<sub>n`Ú¦</sub>|aÇ|=0이므로 수열의 극한의 대소 관계 에 의하여 lim

n`Ú¦aÇ=0

ㄴ. lim_{n`Ú¦</sub>bÇ=lim<sub>n`Ú¦}{(3aÇ+bÇ)-3aÇ}

=lim_{n`Ú¦</sub>(3aÇ+bÇ)-3 lim<sub>n`Ú¦}aÇ=0-3_1=-3 ㄷ. [반례] aÇ=1

n, bÇ=n이면 limn`Ú¦aÇ=0, lim<sub>n`Ú¦</sub>aÇbÇ=lim_n`Ú¦n

n=1이지만 limn`Ú¦bÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>`n=¦

ㄹ. [반례] aÇ=n-1

n, bÇ=n+1

n, cÇ=n이면 모든 자연수 n에 대하여 aÇ<cÇ<bÇ이고 limn`Ú¦(bÇ-aÇ)=lim<sub>n`Ú¦</sub>2

n=0이지만 lim_{n`Ú¦</sub> cÇ=lim<sub>n`Ú¦} n=¦

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ①

0082

① [반례] aÇ=n, bÇ=1 n이면 limn`Ú¦aÇ=¦, lim<sub>n`Ú¦</sub>bÇ=0이지만 limn`Ú¦aÇbÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> {n_ 1n }=lim_n`Ú¦1=1

0083

② [반례] {aÇ}: 0, 1, 0, 1, y {bÇ}: 1, 0, 1, 0, y 이면 lim

n`Ú¦aÇbÇ=0이지만 lim<sub>n`Ú¦</sub>aÇ+0, lim_n`Ú¦bÇ+0

③ lim_n`Ú¦bÇ+¦라 가정하자.

Ú lim_{n`Ú¦</sub>bÇ=a (a는 실수)이면 lim<sub>n`Ú¦}(aÇ-bÇ)=¦가 되어 모 순이다.

Û lim_{n`Ú¦</sub>bÇ=-¦이면 lim<sub>n`Ú¦}(aÇ-bÇ)=¦가 되어 모순이다.

Ü 수열 {bÇ}이 진동하면 수열 {aÇ-bÇ}은 양의 무한대로 발 산하거나 진동하므로 모순이다.

Ú, Û, Ü에 의하여 lim_n`Ú¦bÇ=¦이다.

④ [반례] aÇ=(-1)Ç` , bÇ=(-1)ⁿ⁺¹이면 두 수열 {aÇ}, {bÇ}

은 모두 발산(진동)하지만

aÇbÇ=(-1)Ç` _(-1)ⁿ⁺¹=(-1)²ⁿ⁺¹=-1 이므로 수열 {aÇbÇ}은 -1에 수렴한다.

⑤ [반례] aÇ=(-1)Ç` 이면

a2n=(-1)²ⁿ=1, a2n-1=(-1)^2n-1=-1이므로 limn`Ú¦a2n=1, lim<sub>n`Ú¦</sub>a2n-1=-1 즉, 두 수열 {a2n}, {a2n-1}이 모두 수렴하지만 수열 {aÇ}은 발산(진동)한다.

따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③

lim_n`Ú¦3ⁿ-2^2n-1

3^n-1+2²ⁿ =lim<sub>n`Ú¦</sub>3Ç`-1 2_4Ç`

111111 3_3Ç`+4Ç`

=lim<sub>n`Ú¦</sub>11111151{ 34 }Ç`- 12 3_{ 34 }Ç`+1=-;2!;

답 ②

0084

lim<sub>n`Ú¦</sub>('Ä9Ç`-3Ç`-3Ç` )

=lim<sub>n`Ú¦</sub>('Ä9Ç`-3Ç`-3Ç` )('Ä9Ç`-3Ç`+3Ç` ) 'Ä9Ç`-3Ç`+3Ç` 

=lim<sub>n`Ú¦</sub> -3Ç` 

'Ä9Ç`-3Ç`+3Ç` 

=lim_n`Ú¦11111134-1

®É1-{;3!;}ⁿ+1

=-1

2 답 -

;2!;

0085

수열 {an}이 수렴하므로 lim_n`Ú¦aÇ=a (a는 실수)라 하면

limn`Ú¦

5ⁿ⁺¹+3ⁿan

3ⁿ⁺¹-5ⁿan

=lim_n`Ú¦5+{ 35 }

n_an

11111253 3_{ 35 }

n-an

=-5 a

따라서 -5

a =6이므로 a=-5 6

∴ lim_n`Ú¦aÇ=-5

6 답 -

;6%;

0086

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 10 19. 2. 27. 오후 5:07

01. 수열의 극한

011

∴ a=1+'2, b=1-'2 (∵ a>b) 이때 -1<b

a <0이므로 lim<sup>n`Ú¦</sup>{b a }Ç`=0

∴ lim

n`Ú¦

aⁿ⁺²+bⁿ⁺³

aÇ`+b<sup>n+1</sup> =lim<sub>n`Ú¦</sub>aÛ`+bÜ`_{b a }

n

1111112 1+b_{b

a }

n

=aÛ` 답 ①

0087

첫째항은 x+2, 공비는 ;2{;이므로 주어진 등비수열이 수 렴하려면

x+2=0 또는 -1<;2{;É1 즉, x=-2 또는 -2<xÉ2이므로

-2ÉxÉ2 ^답 -2ÉxÉ2

0091

공비가 '2 cos x이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<'2 cos xÉ1 ∴ - 1

'2<cos xÉ 1 '2 0Éx<p에서 y=cos`x의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 x의 값의 범위는

p

4Éx< 34p

^답

;4Ò;Éx<;4#;p

0092

w

w ÄL L 0





Y Z

ZDPT Y

  

  

공비가 log£ x-2이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<log£ x-2É1, 1<log£ xÉ3, log£ 3<log£ xÉlog£ 3Ü`

밑이 1보다 크므로 3<xÉ27 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 4+5+6+`y`+27=24(4+27)

2 =372 답 ②

참고

등차수열의 합

등차수열의 첫째항부터 제n 항까지의 합을 S

이라 하면

① 첫째항이 a, 제n 항이 c일 때 S

② 첫째항이 a, 공차가 d일 때 S

2

0093

Ú 등비수열 [{ 3x+12 }ⁿ]의 공비가 3x+12 이므로 수 렴하려면

-1<3x+1

2 É1, -2<3x+1É2 -3<3xÉ1 ∴ -1<xÉ;3!;



공비는 2x+1이므로 수렴하려면

(x-3)(2x+1)=0 또는 -1<2x+1É1 (x-3)(2x+1)=0에서

x=-;2!; 또는 x=3 yy ㉠

-1<2x+1É1에서 -1<xÉ0 yy ㉡

0094

aÇ=SÇ-Sn-1

=n_3ⁿ-(n-1)_3^n-1

=3^n-1{3n-(n-1)}

=(2n+1)3^n-1 (n¾2)

∴ lim

n`Ú¦

SÇaÇ =lim_n`Ú¦ n_3ⁿ

(2n+1)3^n-1

=lim_n`Ú¦ 3n 2n+1=3

2 답 ④

0088

aÁ='3=3^;2!;

aª="3'3=3^;2!;_3^;4!;=3^;2!;+;4!;

a£=¿¹3"3'3=3^;2!;_3^;4!;_3^;8!;=3;2!;+;4!;+;8!;

⋮

aÇ=3;2!;+;4!;+;8!;+ y +{;2!;}n`

;2!;+;4!;+;8!;+ y +{;2!;}n`=;2!;[1-{;2!;}n` ] 11111234

1-;2!; =1-{;2!;}n`이므로 limn`Ú¦aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>3<sup>1-{;2!;}n`</sup>=3Ú`=3 답 3

참고

등비수열의 합

첫째항이

이라 하면

① r+1일 때 S

a(rⁿ-1) r-1

② r=1일 때 S

0089

공비가 x-xÛ`

2 이므로 주어진 등비수열이 수렴하려면 -1<x-xÛ`

2 É1 ∴ -2<x-xÛ`É2 Ú -2<x-xÛ`, 즉 xÛ`-x-2<0에서

(x+1)(x-2)<0 ∴ -1<x<2 Û x-xÛ`É2, 즉 xÛ`-x+2¾0에서

xÛ`-x+2={x- 12 }2`+;4&;>0 이므로 항상 성립한다.

0090

Ú, Û에서 -1<x<2

따라서 정수 x는 0, 1의 2개이다. 답 2

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012

등비수열 {rÇ` }이 수렴하므로 -1<rÉ1 yy ㉠ ㄱ. 공비가 -r이고 ㉠에서 -1É-r<1

이때 -r=-1, 즉 r=1이면 수렴하지 않는다.

ㄴ. 공비가 1-r

2 이고 ㉠에서 0É1-r

2 <1이므로 수렴한다.

ㄷ. 공비가 rÛ`이고 ㉠에서 0ÉrÛ`É1이므로 수렴한다.

이상에서 항상 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ

0095

Ú |r|>1일 때, lim_{n`Ú¦</sub>r<sup>2n</sup>=¦이므로 a=lim<sub>n`Ú¦} r²ⁿ

1+r²ⁿ=lim_n`Ú¦111211 r²ⁿ+1=1

Û |r|=1일 때, lim_{n`Ú¦</sub>r<sup>2n</sup>=1이므로    b=lim<sub>n`Ú¦} r²ⁿ

1+r²ⁿ= 1 1+1=;2!;

Ü |r|<1일 때, lim_{n`Ú¦</sub>r<sup>2n</sup>=0이므로    c=lim<sub>n`Ú¦} r²ⁿ

1+r²ⁿ= 0 1+0=0

∴ a+b-c=1+;2!;-0=;2#; ^답

;2#;

0096

Ú 0<|r|<1일 때, lim_{n`Ú¦</sub>r<sup>2n</sup>=lim<sub>n`Ú¦}r²ⁿ⁺¹=0이므로 limn`Ú¦

r²ⁿ⁺¹-1 r²ⁿ+rÛ` =-1

rÛ`

Û r=1일 때, lim_n`Ú¦r²ⁿ⁺¹-1

r²ⁿ+rÛ` =1-1 1+1=0 Ü |r|>1일 때, lim<sub>n`Ú¦</sub>r²ⁿ=¦이므로

limn`Ú¦

r²ⁿ⁺¹-1 r²ⁿ+rÛ` =lim<sub>n`Ú¦</sub>

r- 1 r²ⁿ 11112

1+ 1 r^2n-2

=r

Ý r=-1일 때, lim_n`Ú¦r²ⁿ⁺¹-1

r²ⁿ+rÛ` =-1-1 1+1 =-1

∴ lim<sub>n`Ú¦</sub>r<sup>2n+1</sup>-1 r<sup>2n</sup>+rÛ` =

-1

rÛ` (0<|r|<1) 0 (r=1) r (|r|>1) -1 (r=-1) (È

{È 9

그런데 0<|r|<1이면 0<rÛ`<1 1

rÛ`>1 ∴ -1 rÛ`<-1 즉, lim_n`Ú¦r²ⁿ⁺¹-1

r²ⁿ+rÛ` =a (a는 실수)라 하면

|a|>1 또는 a=0 또는 a=-1

따라서 극한값이 될 수 없는 것은 ②이다. 답 ②

0099

f {;3!;}=lim_n`Ú¦{;3!;}²ⁿ-2_;3!;

1111113 {;3!;}²ⁿ⁺²+2

=-2 11323 =-;3!;

f(1)=lim_n`Ú¦1²ⁿ-2_1 1²ⁿ⁺²+2 =1-2

1+2=-;3!;

0100

limn`Ú¦

2-rÇ`

2+rÇ`=lim<sub>n`Ú¦</sub>

2 rÇ`-1 112342

rÇ`+1

=-1

ㄴ. r=1일 때, lim<sub>n`Ú¦</sub>rÇ` =1이므로 limn`Ú¦

2-rÇ`

2+rÇ`=2-1 2+1=1

3

ㄷ. -1<r<1일 때, lim<sub>n`Ú¦</sub>rÇ` =0이므로 limn`Ú¦

2-rÇ`

2+rÇ`=2-0 2+0=1

이상에서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. 답 ㄷ

0097

Ú 0<r<1일 때, lim<sub>n`Ú¦</sub>rÇ` =lim<sub>n`Ú¦</sub>r<sup>n+1</sup>=0이므로 limn`Ú¦

rⁿ⁺¹+r+2 rⁿ+1 =r+2 따라서 r+2=;3*;이므로 r=;3@;

Û r=1일 때, lim_{n`Ú¦</sub>r<sup>n</sup>=lim<sub>n`Ú¦}rⁿ⁺¹=1이므로 limn`Ú¦

rⁿ⁺¹+r+2

rⁿ+1 =1+1+2 1+1 =2 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Ü r>1일 때, lim_{n`Ú¦</sub>r<sup>n</sup>=lim<sub>n`Ú¦}rⁿ⁺¹=¦이므로

limn`Ú¦

rⁿ⁺¹+r+2 rⁿ+1 =lim_n`Ú¦

r+ 1 r^n-1+ 2

rⁿ 1111112-

1+ 1 rⁿ

=r

∴ r=;3*;

Ú, Û, Ü에서 구하는 합은

;3@;+;3*;=;;Á3¼;; ^답 ;;Á3¼;;

0098

㉠, ㉡에서 x=3 또는 -1<xÉ0





답 -1<xÉ0

단계 채점요소 배점



3x+1

2

40 %



범위 구하기

40 %



20 %

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01. 수열의 극한

013

 f(x)=lim_n`Ú¦x²ⁿ⁺⁴+ax²+b

x²ⁿ+1 =axÛ`+b



 f(x)=lim_n`Ú¦x²ⁿ⁺⁴+ax²+b

x²ⁿ+1 =1+a+b 2



 f(x) =lim_n`Ú¦x²ⁿ⁺⁴+ax²+b x²ⁿ+1

=lim_n`Ú¦

xÝ`+ a x^2n-2+ b

x²ⁿ 11111112

1+ 1 x²ⁿ

=xÝ`



 f(x)=lim_n`Ú¦x²ⁿ⁺⁴+ax²+b

x²ⁿ+1 =1+a+b 2



답

풀이 참조

단계 채점요소 배점

 |x|<1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기 25 %

 x=1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기 25 %

 |x|>1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기 25 %

 x=-1일 때, f(x)를 다항함수로 나타내기 25 %

0102

f(x)=3xÛ`이므로 P(n, 3nÛ`), Q(n+1, 3(n+1)Û`)

∴ aÇ=PQÓ="Ã1Û`+{3(n+1)Û`-3nÛ`}Û`

="Ã1+(6n+3)Û`

="Ã36nÛ`+36n+10

∴ lim_n`Ú¦aÇ

n =lim<sub>n`Ú¦</sub>"Ã36nÛ`+36n+10

n

=lim_n`Ú¦®É36+ 36n +10

nÛ`

='¶36=6 ^답 6

0104

y= n

3n+1x에서 x=3n+1

n y yy ㉠

점 PÇ의 y좌표를 구하기 위해 ㉠을 2x+3y=8에 대입하면 2_3n+1

n y+3y=8, 9n+2 n y=8

∴ y= 8n 9n+2



SÇ=1

2_OAÓ_|(점 PÇ의 y좌표)|

=1

2_4_ 8n

9n+2= 16n 9n+2



∴ lim

n`Ú¦SÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub> 16n 9n+2=16

9



답 ;;Á9¤;;

단계 채점요소 배점



Ç의 y좌표 구하기 40 %

 SÇ 구하기 40 %



SÇ의 값 구하기 20 %

0105

 f(x)=lim<sub>n`Ú¦</sub>1-xÇ`

1+xÇ`=1 Û x=1일 때, lim<sub>n`Ú¦</sub>xÇ` =1이므로

 f(x)=lim<sub>n`Ú¦</sub>1-xÇ`

1+xÇ`=1-1 1+1=0 Ü x>1일 때, lim<sub>n`Ú¦</sub>xÇ` =¦이므로

 f(x)=lim<sub>n`Ú¦</sub>1-xÇ`

1+xÇ`=lim<sub>n`Ú¦</sub>

1 xⁿ-1 11131

xⁿ+1

=-1

Ú, Û, Ü에서 함수 y=f(x)의 그래프는 ①이다. ^답 ①

0101

PÇ(2n, '¶2n), QÇ(2n, 0)이므로 OPÇÓ="Ã(2n)Û`+('¶2n)Û`="Ã4nÛ`+2n OQÇÓ=2n

∴ lim_n`Ú¦(OPÇÓ-OQÇÓ)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>("Ã4nÛ`+2n-2n)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>("Ã4nÛ`+2n-2n)("Ã4nÛ`+2n+2n)

"Ã4nÛ`+2n+2n

=lim_n`Ú¦ 2n

"Ã4nÛ`+2n+2n

=lim_n`Ú¦1111142

®É4+ 2n+2

= 2

2+2=;2!; ^답 ;2!;

0103

본문 19쪽

f(2)=lim_n`Ú¦2²ⁿ-2_2

유형

2²ⁿ⁺²+2 =lim_n`Ú¦

1-4 4Ç`` 11144+ 2

4ⁿ`=;4!;

∴ f { 13 }+f(1)+f(2) =-;3!;+{-;3!;}+;4!;

=-;1°2; ^답 -

;1°2;

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014

n=1, 2, 3, y일 때, 한 변의 길이가 1인 정사각형의 개수는 1, 4, 9, y이므로

aÇ=nÛ`

또, 한 변의 길이가 1인 모든 정사각형의 꼭짓점의 개수는 전체 꼭짓점의 개수와 같으므로

bÇ=(n+1)Û`=nÛ`+2n+1

∴ lim_n`Ú¦bÇ-aÇ

n =lim_n`Ú¦2n+1

n =2 답 2

0107

∴ aÇ=3Ç` +1

5Ç` bÇ, an+1=3ⁿ⁺¹+1 5ⁿ⁺¹ bn+1

이때 lim_{n`Ú¦</sub>bÇ=a (a+0인 상수)라 하면 lim<sub>n`Ú¦}bn+1=a

∴ lim

n`Ú¦

aaÇn+1 =lim_n`Ú¦

3ⁿ+1 5ⁿ bÇ 11111243ⁿ⁺¹+1

5ⁿ⁺¹ bn+1

=lim_n`Ú¦ 5(3ⁿ+1)bÇ (3ⁿ⁺¹+1)bn+1

=lim_n`Ú¦ 5[1+{;3!;}ⁿ]bÇ 11111112

[3+{;3!;}ⁿ]bn+1

=5a 3a=5

3 답 ③

0111

① lim

n`Ú¦

n+1

2n-3=lim_n`Ú¦1+1 111n

2-3 n

=;2!;

② lim

n`Ú¦

1 nÜ`-1=0

③ lim

n`Ú¦

nÛ`(n-4) nÜ`+1 =lim

n`Ú¦

nÜ`-4nÛ`

nÜ`+1 =lim

n`Ú¦

1-4 1114n

1+ 1 nÜ`

=1

④ lim

n`Ú¦

n(n+1) 3nÛ`-5n=lim

n`Ú¦

nÛ`+n 3nÛ`-5n=lim

n`Ú¦

1+1 1114n

3-5 n

=;3!;

0112

ACÇÓ=¿¹OAÓÛ`+OCÇÓÛ`="Ã30Û`+nÛ`="Ã900+nÛ`

또,

△

△

n

∴ lim_n`Ú¦ACÇÓ-OCÇÓ

BÁDÇÓ =lim<sub>n`Ú¦</sub>1111122"Ã900+nÛ`-n30 n

=lim<sub>n`Ú¦</sub>n("Ã900+nÛ`-n)("Ã900+nÛ`+n) 30("Ã900+nÛ`+n)

=lim_n`Ú¦ 30n

"Ã900+nÛ`+n

=lim_n`Ú¦111111530

®É 900nÛ` +1+1

=15 ^답 15

참고

AB

Ó=n이므로

ABÁÓ=1, ABªÓ=2, AB£Ó=3, y

0108

lim_{n`Ú¦</sub>(aÇ-3)=1에서 lim<sub>n`Ú¦}aÇ=4

∴ lim

n`Ú¦(aÇÛ`-2aÇ+2) =lim_{n`Ú¦</sub>aÇ_lim<sub>n`Ú¦}aÇ-2 lim_{n`Ú¦</sub>aÇ+lim<sub>n`Ú¦}2

=4Û`-2_4+2=10 ^답 10

0110

ㄱ. n의 값이 한없이 커지면 1

7Ç`의 값은 0에 한없이 가까 워지므로 주어진 수열은 0에 수렴한다.

ㄴ. n의 값이 한없이 커지면 2n-1

n+3 의 값은 2에 한없이 가까워 지므로 주어진 수열은 2에 수렴한다.

ㄷ. 홀수 번째 항은 1, 짝수 번째 항은 0이므로 주어진 수열은 진 동한다. 즉, 발산한다.

ㄹ. n의 값이 한없이 커지면 nÛ`+3

2n+1의 값은 한없이 커지므로 주 어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.

이상에서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ①

0109

본문 20~23쪽

꼭

시험에 {;2!;}^n-1(x-1)=3x(x-1)에서

(x-1)[3x-{;2!;}^n-1]=0

∴ x=1 또는 x=;3!;_{;2!;}^n-1 따라서 점 PÇ의 좌표는

{;3!;_{;2!;}^n-1,  {;2!;}^n-1[;3!;_{;2!;}^n-1-1]}

즉, HÇ{;3!;_{;2!;}^n-1, 0}이므로 PÇHÇÓ=-{;2!;}^n-1[;3!;_{;2!;}^n-1-1] OHÇÓ=;3!;_{;2!;}^n-1

∴ lim

n`Ú¦

PÇHÇÓ

OHÇÓ =lim_n`Ú¦-{;2!;}^n-1[;3!;_{;2!;}^n-1-1] 111111111111

;3!;_{;2!;}^n-1

=lim_n`Ú¦-[;3!;_{;2!;}^n-1-1] 111111111

;3!; =3 답 3

0106

RPM미적분_해설_01(001~018)오.indd 14 19. 2. 27. 오후 5:07

01. 수열의 극한

015

cnÜ`+3n-2에서 c+0이면 0에 수렴하므로 c=0 또, lim<sub>n`Ú¦</sub>anÛ`+bn+2

3n-2 에서 a+0이면 발산하므로 a=0 즉, lim_n`Ú¦bn+2

3n-2=b

3=3이므로 b=9

∴ a+b+c=9 ^답 ⑤

0114

lim<sub>n`Ú¦</sub>("ÃnÛ`+an+1-"ÃbnÛ`-3n+2)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>("ÃnÛ`+an+1-"ÃbnÛ`-3n+2)("ÃnÛ`+an+1+"ÃbnÛ`-3n+2)

"ÃnÛ`+an+1+"ÃbnÛ`-3n+2

=lim<sub>n`Ú¦</sub> (1-b)nÛ`+(a+3)n-1

"ÃnÛ`+an+1+"ÃbnÛ`-3n+2

=lim_n`Ú¦ (1-b)n+(a+3)-1 11111111111124n

®É1+ an+ 1

nÛ`+®Éb- 3n+ 2 nÛ`

극한값이 10이므로 1-b=0, a+3

1+'b=10 ∴ a=17, b=1

∴ a+b=18 답 ⑤

0118

-2aÇ+1

5aÇ-3 =bÇ으로 놓으면 aÇ=3bÇ+1

2+5bÇ이고 lim

n`Ú¦bÇ=-1

∴ lim

n`Ú¦aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>3bÇ+1

2+5bÇ=3_(-1)+1 2+5_(-1)=;3@;

∴ lim

n`Ú¦

aÇ+1aÇ-1=;3@;+1

1123;3@;-1=-5 ^답 ②

0119

2n<"Ã4nÛ`+3n+1<2n+1

∴ aÇ=2n, bÇ="Ã4nÛ`+3n+1-2n

∴ lim_n`Ú¦aÇbÇ n

=lim<sub>n`Ú¦</sub>2n("Ã4nÛ`+3n+1-2n) n

=lim<sub>n`Ú¦</sub>2("Ã4nÛ`+3n+1-2n)("Ã4nÛ`+3n+1+2n)

"Ã4nÛ`+3n+1+2n

=lim_n`Ú¦ 2(3n+1)

"Ã4nÛ`+3n+1+2n

=lim_n`Ú¦ 2{3+;n!;}

111111144

®É4+ 3n+ 1 nÛ`+2

=2_3

2+2=;2#; ^답

;2#;

0115

이차방정식 xÛ`+2nx-6n=0에서 x=-nÑ"nÛ`+6n

이때 aÇ이 양의 실근이므로 aÇ="ÃnÛ`+6n-n

0116

lim<sub>n`Ú¦</sub>2n-"Ã4nÛ`+1 n-"ÃnÛ`+2

=lim<sub>n`Ú¦</sub>(2n-"Ã4nÛ`+1)(2n+"Ã4nÛ`+1)(n+"ÃnÛ`+2) (n-"ÃnÛ`+2)(n+"ÃnÛ`+2)(2n+"Ã4nÛ`+1)

=lim<sub>n`Ú¦</sub> n+"ÃnÛ`+2 2(2n+"Ã4nÛ`+1)

=lim_n`Ú¦

1+®É1+ 2nÛ`

1111111 2{2+®É4+ 1nÛ` }

= 1+1

2(2+2)=;4!; ^답 ①

0117

=lim<sub>n`Ú¦</sub>{logª`(2n-1)(8n+1)-logª`(n+1)Û`}

=lim<sub>n`Ú¦</sub> logª` (2n-1)(8n+1) (n+1)Û`

=lim<sub>n`Ú¦</sub> logª` 16nÛ`-6n-1 nÛ`+2n+1

=lim<sub>n`Ú¦</sub> logª`16-6 n- 1 1111124nÛ`

1+2 n+ 1

nÛ`

=logª 16

=logª 2Ý`=4 답 ③

0113

⑤ lim

n`Ú¦

(n-1)(3n-1)

4nÛ`-5n =lim<sub>n`Ú¦</sub>3nÛ`-4n+1 4nÛ`-5n

=lim_n`Ú¦

3-4 n+ 1 111113nÛ`

4-5 n

=;4#;

따라서 극한값이 가장 큰 것은 ③이다. 답 ③

∴ lim

n`Ú¦aÇ=lim<sub>n`Ú¦</sub>("ÃnÛ`+6n-n)

=lim<sub>n`Ú¦</sub>("ÃnÛ`+6n-n)("ÃnÛ`+6n+n)

"ÃnÛ`+6n+n

=lim_n`Ú¦ 6n

"ÃnÛ`+6n+n

=lim_n`Ú¦1111156

®É1+ 6n+1

= 6

1+1=3 _답

3

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