`f '(p)=g'(p)에서
2ap=;p!; ∴ apÛ`=;2!; yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= 12e , p='e, q=;2!;
∴ apq= 'e 4e
답 '
e
4e
단계 채점요소 배점
f(x)=axÛ`, g(x)=ln`x라 할 때, f '(x), g '(x) 구하기 20 %
f(p)=g(p)=q임을 알고 식 세우기 25 %
f '(p)=g '(p)임을 알고 식 세우기 25 %
apq의 값 구하기 30 %
0692
f(x)=xex이라 하면`f '(x)=ex+xex=ex(x+1)
접점의 좌표를 (t, tet)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
`f '(t)=et(t+1)이므로 접선의 방정식은 y-tet=et(t+1)(x-t)
이 직선이 점 (k, 0)을 지나므로 -tet=et(t+1)(k-t) et(tÛ`-kt-k)=0
∴ tÛ`-kt-k=0 (∵ et>0) yy`㉠
점 (k, 0)에서 곡선 y=xex에 그을 수 있는 접선이 2개이려면 접점이 2개이어야 하므로 방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 가져 야 한다.
즉, 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D=(-k)Û`+4k>0, k(k+4)>0
∴ k<-4 또는 k>0
따라서 k의 값이 될 수 없는 것은 ③이다. 답 ③
0693
f(x)=ln`x, g(x)=ax+;[B; 라 하면`f '(x)=;[!;, g'(x)=a- bxÛ`
두 곡선이 x=eÛ`인 점에서 공통인 접선을 가지므로
`f(eÛ`)=g(eÛ`)에서 aeÛ`+ b
eÛ`=2 yy`㉠
`f '(eÛ`)=g'(eÛ`)에서 1
eÛ`=a- beÝ` ∴ a= 1eÛ`+ beÝ` yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 { 1eÛ`+ beÝ` }eÛ`+ beÛ`=2
0694
f(x)=;[K;, g(x)=ex이라 하면`f '(x)=- k
xÛ`, g '(x)=ex 두 곡선의 접점의 x좌표를 t라 하면
`f(t)=g(t)에서 ;tK;=et yy ㉠
`f '(t)=g '(t)에서 -k
tÛ`=et yy ㉡
㉠, ㉡에서 ;tK;=- ktÛ`
∴ t=-1 (∵ k+0, t+0)
∴ k=-e-1=-;e!; 답 ①
2b
eÛ` =1 ∴ b= eÛ`
2 b= eÛ`2 을 ㉡에 대입하면 a= 1eÛ`+ eÛ`
2eÝ`= 3 2eÛ`
∴ ab= 32eÛ`_ eÛ`
2 =;4#; 답 ;4#;
접점의 좌표를 {t, t-1t }이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
`f '(t)= 1tÛ`이므로 접선의 방정식은 y- t-1t =1
tÛ`(x-t)
∴ y= 1tÛ`x+ t-2t
이 직선이 점 (3, 2)를 지나므로 2= 3tÛ`+ t-2t
2tÛ`=3+t(t-2), tÛ`+2t-3=0
(t+3)(t-1)=0 ∴ t=-3 또는 t=1
따라서 접점의 좌표가 {-3, ;3$;}, (1, 0)의 2개이므로 점 (3, 2)
에서 그을 수 있는 접선의 개수는 2이다. 답 2
RPM미적분_해설_06(078~098)사.indd 85 19. 2. 27. 오후 4:58
086
정답과 풀이0700
dxdt =1-2 tÜ`, dy
dt =2t+2 tÜ`이므로 dydx=
14dydt 1555155dxdt
= 2t+2 11124tÜ`
1-2 tÜ`
= 2tÝ`+2
tÜ`-2 (tÜ`+2)
t=1일 때, x=2, y=0, dydx =2+2
1-2 =-4이므로 접선의 방 정식은
y-0=-4(x-2) ∴ y=-4x+8 이 직선이 점 (a, -4)를 지나므로
-4=-4a+8 ∴ a=3 답 3
0701
dxdt =3`sec`t`tan`t, dydt =2`secÛ` t이므로 dydx=
14dydt 1555155dxdt
= 2`secÛ``t 3`sec`t`tan`t
= 2`sec`t 3`tan`t = 2
3`sin`t (sin`t+0) t= p3 일 때
x=3_2=6, y=2'3, dydx =11122 3_ '3
2
=4'3 9
이므로 접선의 방정식은 y-2'3=4'3
9 (x-6) ∴ y=4'3
9 x-2'3 3 따라서 a=4'3
9 , b=-2'3 3 이므로
ab=-;9*; 답 ①
0698
g(2)=k라 하면 f(k)=2이므로 k-2k+1 =2, k-2=2k+2 ∴ k=-4∴ g '(2)= 1 f '(-4)
이때 f '(x)=x+1-(x-2) (x+1)Û` = 3
(x+1)Û`이므로 f '(-4)= 3
(-4+1)Û`=;3!;
∴ g '(2)=3
따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (2, -4)에서의 접선의 방정식은 y+4=3(x-2) ∴ y=3x-10 답 y=3x-10
다른풀이 y= x-2
x+1 라 하면 yx+y=x-2 x(y-1)=-(y+2) ∴ x=-y+2
y-1 x와 y를 서로 바꾸면 y=- x+2
x-1 즉, g(x)=-x+2
x-1 이므로 g '(x)= 3 (x-1)Û`
0699
dxdh =1-cos`h, dydh =sin`h이므로 dydx=
14dydh 1555155dxdh
= sin`h1-cos`h (cos`h+1)
h= p2 일 때
x= p2 -1, y=1, dy dx = 1
1-0 =1 이므로 접선의 방정식은
y-1=x-{ p2 -1} ∴ y=x-p 2 +2
따라서 접선의 y절편은 - p2 +2이다. 답 -
p 2 +2 0696
f(x)=a-2`sinÛ``x, g(x)=2`cos`x라 하면`f '(x)=-4`sin`x`cos`x, g '(x)=-2`sin`x 두 곡선이 x=t인 점에서 공통인 접선을 가지므로
`f(t)=g(t)에서
a-2`sinÛ``t=2`cos`t yy ㉠
`f '(t)=g '(t)에서
-4`sin`t`cos`t=-2`sin`t yy ㉡
㉡에서 cos`t=;2!; (∵ sin`t>0)
∴ t= p3 (∵ 0<t<p)
t= p3 를 ㉠에 대입하면 a-2`sinÛ``p
3 =2`cos` p3 a-2_{ '3
2 }Û`=2_;2!; ∴ a=;2%; 답
;2%;
0697
g(e)=k라 하면 f(k)=e이므로 e2k+3=e, 2k+3=1 ∴ k=-1∴ g '(e)= 1 f '(-1)
이때 f '(x)=2e2x+3이므로 f '(-1)=2e
∴ g '(e)=;2Áe;
따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (e, -1)에서의 접선의 방정식은 y+1=;2Áe; (x-e) ∴ y=;2Áe; x-;2#;
즉, 구하는 y절편은 -;2#;이다. 답 -
;2#;
따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (2, -4)를 지나고 기울기가 g '(2)=3인 접선의 방정식은
y+4=3(x-2) ∴ y=3x-10
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06. 도함수의 활용 ⑴
087 0705
xÛ`+3xyÛ`-yÛ`=-15의 각 항을 x에 대하여 미분하면2x+3yÛ`+6xy dydx -2ydy dx =0
0706
yÛ`+y`ln (xÛ`-3)-2x=0의 각 항을 x에 대하여 미분 하면2y dydx +ln (xÛ`-3) dydx + 2xy
xÛ`-3-2=0 {2y+ln (xÛ`-3)} dydx =2- 2xy
xÛ`-3
∴ dy
dx = 2
2y+ln(xÛ`-3) {1- xyxÛ`-3 }
(2y+ln(xÛ`-3)+0) 점 (2, -2)에서의 접선의 기울기는
dx =dy 2
-4{1-(-4)}=-;2%;
이므로 접선의 방정식은
y+2=-;2%;(x-2) ∴ y=-;2%; x+3
따라서 x절편은 ;5^;, y절편은 3이므로 접선과 x축, y축으로 둘러 싸인 도형의 넓이는
;2!;_;5^;_3=;5(; 답 ;5(;
0707
점 (0, 1)이 곡선 xÛ`+ayex+yÜ`=b 위에 있으므로b=a+1 …… ㉠
xÛ`+ayex+yÜ`=b의 각 항을 x에 대하여 미분하면 2x+aexdy
dx +ayex+3yÛ` dydx =0 (aex+3yÛ`) dydx =-(2x+ayex)
∴ dy
dx =-2x+ayex aex+3yÛ`
점 (0, 1)에서의 접선의 기울기가 -;5@;이므로 - aa+3 =-;5@; ∴ a=2
㉠에 a=2를 대입하면 b=3
∴ ab=6 답 6
0702
dx dt =-atÛ`, dy
dt =2t이므로 dxdy=
14dydt 1555155dxdt
= 2t -` atÛ`
=-;a@; tÜ`
t=2일 때 dydx =-8이므로 - 16a =-8 ∴ a=2
t=2일 때, x=;2@;=1, y=2Û`-1=3이므로 접선의 방정식은 y-3=-8(x-1) ∴ y=-8x+11
답 y=-8x+11
0703
dxdt =-3`cosÛ``t`sin`t, dydt =3`sinÛ` t`cos`t이므로 dxdy =
14dydt 1555155dxdt
= 3`sinÛ``t`cos`t
-3`cosÛ``t`sin`t=- sin`tcos`t (cos`t`sin`t+0) 곡선 위의 임의의 점 (cosÜ``a, sinÜ``a)에서의 접선의 방정식은 y-sinÜ``a=- sin`a
cos`a (x-cosÜ``a) y=- sin`acos`a x+sin`a(cosÛ``a+sinÛ``a)
∴ y=-sin`a
cos`a x+sin`a
따라서 접선의 x절편은 cos a, y절편은 sin`a이므로 접선이 x축, y축에 의하여 잘려지는 부분의 길이는 두 점 (cos`a, 0), (0, sin`a) 사이의 거리와 같으므로
"ÃcosÛ``Ãa+ÃsinÛ``a=1 답 1
0704
2'x+'y=7의 각 항을 x에 대하여 미분하면 22'x+ 12'y_ dydx =0
∴ dy
dx =-2'y
'x (xy+0) 점 (4, 9)에서의 접선의 기울기는
dx =-dy 2_'9 '4 =-3 이므로 접선의 방정식은
y-9=-3(x-4) ∴ y=-3x+21 이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로
0=-3a+21 ∴ a=7 답 ④
2y(3x-1) dydx =-(2x+3yÛ`)
∴ dy
dx =- 2x+3yÛ`
2y(3x-1) (y(3x-1)+0) 점 (-1, 2)에서의 접선의 기울기는
dx =-dy -2+3_4 2_2_(-4)=;8%;
이므로 접선의 방정식은
y-2=;8%;(x+1) ∴ y=;8%;x+;;ª8Á;;
따라서 a=;8%;, b=;;ª8Á;;이므로
;aB;=;;ª5Á;; 답
;;ª5Á;;
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088
정답과 풀이0709
f(x)=esin`x+sin`x에서f '(x)=cos`x`esin`x+cos`x=cos`x(esin`x+1)
esin`x>0이므로 f '(x)의 값의 부호는 cos`x의 값의 부호와 같다.
① f '(0)>0 ② f '{ p4 }>0 ③ f '(p)<0
④ f '{;4&; p}>0 ⑤ f '(2p)>0
따라서 증가하는 구간에 속하는 x의 값이 아닌 것은 ③이다.
답 ③
0710
f(x)=ln`x-xÛ`에서 x>0이고 f '(x)=;[!;-2x= 1-2xÛ`xf '(x)=0에서 1-2xÛ`=0 ∴ x= '2
2 (∵ x>0)
x 0 …
'22
…
f '(x) + 0
-f(x) ↗ ↘
즉, 함수 f(x)는 구간 [ '2
2 , ¦}에서 감소하므로 a¾ '22
따라서 실수 a의 최솟값은 '2
2 이다. 답 '
2
2 0711
f(x)=2x+"Ã15-xÛ` 에서15-xÛ`¾0, 즉 0<xÉ'¶15 (∵ x>0) f '(x)=2- x
"Ã15-xÛ`=2"Ã15-xÛ`-x
"Ã15-xÛ`
f '(x)=0에서 2"Ã15-xÛ` =x 양변을 제곱하여 정리하면 xÛ`=12
∴ x=2'3 (∵ 0<xÉ'¶15 )
x 0 … 2'3 … '¶15
f '(x) + 0
-f(x) ↗ ↘
즉, 함수 f(x)가 증가하는 구간은 (0, 2'3 ]이므로 이 구간에 속 하는 모든 정수 x의 값의 합은
1+2+3=6 답 6
0712
f(x)=kx+ln (xÛ`+4)에서 f '(x)=k+ 2xxÛ`+4= kxÛ`+2x+4kxÛ`+4함수 f(x)가 실수 전체의 구간에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)¾0이어야 한다.
이때 xÛ`+4>0이므로 kxÛ`+2x+4k¾0이어야 한다.
즉, k>0이고, 이차방정식 kxÛ`+2x+4k=0의 판별식을 D라 하면
D4 =1-4kÛ`É0, (2k-1)(2k+1)¾0
∴ k¾;2!; (∵ k>0)
따라서 k의 최솟값은 ;2!;이다. 답 ④
참고
이차부등식이 항상 성립할 조건
모든 실수 x에 대하여 이차부등식이 항상 성립할 조건은 다음과 같다.
(단, D=bÛ`-4ac)
① axÛ`+bx+c>0 ⇨ a>0, D<0
② axÛ`+bx+c¾0 ⇨ a>0, DÉ0
③ axÛ`+bx+c<0 ⇨ a<0, D<0
④ axÛ`+bx+cÉ0 ⇨ a<0, DÉ0
0713
f(x)=kx-cos`3x에서 f '(x)=k+3`sin`3x 함수 f(x)가 열린구간 (-¦, ¦)에서 감소하려면 모든 실수 x 에 대하여 f '(x)É0이어야 한다.이때 -1Ésin`3xÉ1이므로 -3É3`sin`3xÉ3
∴ k-3Ék+3`sin`3xÉk+3 따라서 k+3É0이어야 하므로
kÉ-3 답 kÉ-3
0714
f(x)=(xÛ`+kx+1)e-x에서f '(x) =(2x+k)e-x-(xÛ`+kx+1)e-x
={-xÛ`-(k-2)x+k-1}e-x
함수 f(x)가 열린구간 (-¦, ¦)에서 감소하려면 모든 실수 x 에 대하여 f '(x)É0이어야 한다.
이때 e-x>0이므로 -xÛ`-(k-2)x+k-1É0 즉, xÛ`+(k-2)x-k+1¾0이어야 한다.
이차방정식 xÛ`+(k-2)x-k+1=0의 판별식을 D라 하면 D=(k-2)Û`+4k-4É0
kÛ`É0 ∴ k=0
답 0
단계 채점요소 배점
f '(x) 구하기 30 %
f '(x)É0임을 이용하여 식 세우기 40 %
k의 값 구하기 30 %
0708
f(x)= 2xxÛ`+1에서f '(x)= 2(xÛ`+1)-2x_2x(xÛ`+1)Û` =- 2(xÛ`-1)(xÛ`+1)Û`
(xÛ`+1)Û`>0이므로 f '(x)¾0에서 -2(xÛ`-1)¾0, (xÛ`-1)É0 (x+1)(x-1)É0 ∴ -1ÉxÉ1
따라서 함수 f(x)는 닫힌구간 [-1, 1]에서 증가하므로
a=-1, b=1 ∴ b-a=2 답 ②
RPM미적분_해설_06(078~098)사.indd 88 19. 2. 27. 오후 4:58
06. 도함수의 활용 ⑴
089 0715
f(x)=2x+ln(3xÛ`+a)에서f '(x)=2+ 6x3xÛ`+a= 6xÛ`+6x+2a 3xÛ`+a
f(x)의 역함수가 존재하려면 f(x)는 일대일대응이어야 하므로 실수 전체의 구간에서 증가하거나 감소한다. 즉, 모든 실수 x에 대하여 f '(x)¾0 또는 f '(x)É0이다.
Ú f '(x)¾0일 때
3xÛ`+a>0이므로 6xÛ`+6x+2a¾0이어야 한다.
즉, 이차방정식 6xÛ`+6x+2a=0의 판별식을 D라 하면 D4 =9-6_2aÉ0, 9-12aÉ0
∴ a¾;4#;
Û f '(x)É0일 때
3xÛ`+a>0이므로 6xÛ`+6x+2aÉ0이어야 한다.
이때 모든 실수 x에 대하여 이를 만족시키는 a의 값은 존재 하지 않는다.
Ú, Û에서 a¾;4#;이므로 a의 최솟값은 ;4#;이다. 답 ;4#;
0716
f(x)=4x-a`ln`x에서 f '(x)=4-;[A;함수 f(x)가 열린구간 (3, ¦)에서 증가하려면 x>3일 때 f '(x)¾0이어야 한다.
오른쪽 그림에서 f '(3)=4-;3A;¾0
∴ aÉ12
따라서 실수 a의 최댓값은 12이다.
답 ⑤
0
Y
Z Z G Y
0717
f(x)=ax-sin`x에서 f '(x)=a-cos`x
함수 f(x)가 열린구간 {0, p4 }에서 증가하려면 0<x<p 4 에서 f '(x)¾0이어야 한다.
0<x< p4 에서 '2
2 <cos`x<1이므로 a-1<a-cos`x<a- '2
2
∴ a-1<f '(x)<a- '2 2
따라서 a-1¾0이어야 하므로 a¾1
답 a¾1
단계 채점요소 배점
f '(x) 구하기 20 %
f '(x)의 값의 범위 구하기 50 %
a의 값의 범위 구하기 30 %
0718
f(x)=(xÛ`+ax)ex에서f '(x) =(2x+a)ex+(xÛ`+ax)ex={xÛ`+(a+2)x+a}ex 함수 f(x)가 열린구간 (1, 2)에서 감소하려면 1<x<2에서 f '(x)É0이어야 하고 ex>0이므로
xÛ`+(a+2)x+aÉ0
이때 g(x)=xÛ`+(a+2)x+a라 하면 오른쪽 그림에서
g(1)=2a+3É0
∴ aÉ-;2#; yy`㉠
g(2)=3a+8É0
∴ aÉ-;3*; yy`㉡
㉠, ㉡에서 aÉ-;3*;이므로 정수 a의 최댓값은 -3이다.
답 ②
Y Z H Y
0719
f(x) =x-1 xÛ`+3에서 f '(x) =xÛ`+3-(x-1)_2x(xÛ`+3)Û` = -xÛ`+2x+3
(xÛ`+3)Û`
= -(x+1)(x-3) (xÛ`+3)Û`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=3
x … -1 … 3 …
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극대이고, x=-1에서 극소이므
로 a=3, b=-1 ∴ a-b=4 답 ④
0720
f(x)= xÛ`+2x+1 xÛ`+2 에서f '(x) = (2x+2)(xÛ`+2)-(xÛ`+2x+1)_2x
(xÛ`+2)Û`
= -2xÛ`+2x+4
(xÛ`+2)Û` = -2(x+1)(x-2)(xÛ`+2)Û`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=2
x … -1 … 2 …
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 0 ↗ ;2#; ↘
따라서 함수 f(x)의 극댓값은 M=f(2)=;2#;, 극솟값은 m=f(-1)=0이므로
M+m=;2#; 답 ;2#;
0721
f(x) =ax-b xÛ`+1 에서 f '(x) = a(xÛ`+1)-(ax-b)_2x(xÛ`+1)Û` = -axÛ`+2bx+a (xÛ`+1)Û`
RPM미적분_해설_06(078~098)사.indd 89 19. 2. 27. 오후 4:58
090
정답과 풀이? 답 ?
0724
ㄱ. f(x)=x"Ã8-xÛ` 에서 8-xÛ`¾0이므로 xÛ`-8É0 ∴ -2'2ÉxÉ2'2즉, 함수 f(x)의 정의역은 {x|-2'2ÉxÉ2'2 }이다.
ㄴ. f '(x)="Ã8-xÛ`- 2xÛ`2"Ã8-xÛ`= 8-2xÛ`
"Ã8-xÛ`
f '(x)=0에서 8-2xÛ`=0, xÛ`=4 ∴ x=Ñ2
x -2'2 … -2 … 2 … 2'2
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ -4 ↗ 4 ↘
따라서 함수 f(x)의 극솟값은 f(-2)=-4이다.
0728
f(x)=e2x-aex에서 f '(x)=2e2x-aex=ex(2ex-a)0725
f(x)=(xÛ`-2x)ex에서f '(x) =(2x-2)ex+(xÛ`-2x)ex=(xÛ`-2)ex f '(x)=0에서 xÛ`=2
∴ x=-'2 또는 x='2
x … - '2 … '2 …
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
따라서 함수 f(x)는
x=-'2에서 극댓값 f(-'2 )=(2+2'2 )e-'2, x='2에서 극솟값 f('2 )=(2-2'2 )e'2 을 가지므로 구하는 곱은
(2+2'2 )e-'2_(2-2'2 )e'2=4-8=-4 답 ②
0722
f(x)= x+3'Äx+1에서 x>-1이고f '(x)='Äx+1-(x+3)_ 1 2'Äx+1 x+1
= 2(x+1)-(x+3)2(x+1)'Äx+1 = x-1 2(x+1)'Äx+1 f '(x)=0에서 x=1
x -1 … 1 …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 2'2 ↗
따라서 함수 f(x)의 극솟값은 f(1)=2'2 답 ⑤
0726
f(x)= 2x+1 exÛ` 에서 f '(x)= 2exÛ`-(2x+1)_2xexÛ`(exÛ`)Û` = -4xÛ`-2x+2 exÛ`
= -2(x+1)(2x-1) exÛ`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=;2!;
x … -1 … ;2!; …
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
따라서 함수 f(x)가 x=-1에서 극소, x=;2!;에서 극대이므로
극값을 갖는 x의 값의 개수는 2이다. 답 2
0723
f(x)='x+'Ä6-x 에서 0ÉxÉ6이고 f '(x)= 12'§x- 12'Ä6-x f '(x)=0에서 1
2'§x- 1 2'Ä6-x=0 'x='Ä6-x, x=6-x ∴ x=3
x 0 … 3 … 6
f '(x) + 0
-f(x) ↗ 2 '3 ↘
따라서 함수 f(x)의 극댓값은 f(3)=2'3이므로 a=3, b=2'3
∴ ab=6'3 답 6'3
0727
f(x)=ex+4e-x에서 f '(x)=ex-4e-x= e2x-4ex
= (ex+2)(ex-2) ex
f '(x)=0에서 ex=2 (∵ ex>0)
∴ x=ln`2
따라서 함수 f(x)는 x=ln`2 에서 극솟값 4를 가지므로 a=ln`2, b=4
∴ eab=e4`ln`2=2Ý`=16
답 16
x … ln`2 …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 4 ↗
함수 f(x)가 x=-2에서 극값 -1을 가지므로 f(-2)=-1에서
-2a-b
5 =-1 ∴ 2a+b=5 yy`㉠
또, f '(-2)=0에서 -3a-4b
25 =0 ∴ 3a+4b=0 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, b=-3
∴ a-b=7 답 ⑤
ㄷ. ㄴ의 증감표에 의하여 닫힌구간 [-2, 2]에서 f(x)는 증가한 다.
이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ④
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06. 도함수의 활용 ⑴
091 0732
f(x)=x+ln (xÛ`+ax+b)에서f '(x)=1+ 2x+a
xÛ`+ax+b= xÛ`+(a+2)x+a+b xÛ`+ax+b 함수 f(x)가 x=-1에서 극솟값 -1을 가지므로 f(-1)=-1에서 -1+ln(1-a+b)=-1
ln(1-a+b)=0, 1-a+b=1 ∴ a=b yy`㉠
또, f '(-1)=0에서 1-(a+2)+a+b1-a+b =0 ∴ b=1 b=1을 ㉠에 대입하면 a=1
즉, f(x)=x+ln(xÛ`+x+1)이므로 f '(x)= xÛ`+3x+2
xÛ`+x+1 = (x+2)(x+1)xÛ`+x+1 f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=-1
x … -2 … -1 …
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ -2+ln`3 ↘ -1 ↗
따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극댓값 -2+ln`3을 갖는다.
답 -2+ln`3
0729
f(x)=x`ln`x-2x에서 x>0이고 f '(x)=ln`x+x_;[!;-2=ln`x-1 f '(x)=0에서 ln`x=1 ∴ x=ex 0 … e …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ -e ↗
따라서 함수 f(x)의 극솟값은 f(e)=-e이다. 답 ②
0730
f(x)=;2!;xÛ`-ln`xÛ`에서 f '(x)=x- 2xxÛ` =x-;[@;f '(x)=0에서 x-;[@;=0, xÛ`-2x =0 xÛ`-2=0 ∴ x=-'2 (∵ x<0)
x … -'2 … 0
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗
따라서 함수 f(x)는 x=-'2에서 극솟값을 가지므로
a=-'2 답 -'2
다른풀이 f '(x)=x-;[@;에서 f "(x)=1+ 2xÛ`
f '(x)=0에서 x-;[@;=0, xÛ`-2x =0 xÛ`-2=0 ∴ x=-'2 (∵ x<0)
0733
f(x)=2+4`sin`x-4`sinÛ``x에서f '(x) =4`cos`x-8`sin`x`cos`x=4(1-2`sin`x)cos`x f '(x)=0에서 sin`x=;2!; 또는 cos`x=0
0<x<p이므로 x= p6 또는 x=;6%;p 또는 x=p 2
0731
f(x)=xÛ`(ln`x)Ü`에서 x>0이고f '(x) =2x(ln`x)Ü`+xÛ`_3(ln`x)Û`_;[!;
=x(ln`x)Û`(2`ln`x+3)
f '(x)=0에서 ln`x=0 또는 ln`x=-;2#; (∵ x>0)
∴ x=1 또는 x=e-;2#;= 1e'e
x 0 … 1
e 'e … 1 …
f '(x) - 0 + 0 +
f(x) ↘ - 27
8eÜ` ↗ ↗
따라서 함수 f(x)는 x= 1
e'e에서 극솟값 - 27
8eÜ`을 가지므로 a= 1e'e, b=- 278eÜ`
∴ aÛ`
b =-;2¥7; 답 -
;2¥7;
f '(x)=0에서 2ex=a (∵ ex>0) ex=;2A; ∴ x=ln`;2A;
따라서 함수 f(x)는 x=ln`;2A;
에서 극솟값 -1을 가지므로 f {ln`;2A;}=-1
{;2A;}Û`-a_;2A;=-1 - aÛ`
4 =-1, aÛ`=4 ∴ a=2 (∵ a>0) 답 2
다른풀이 f(x)=e2x-aex에서 f '(x)=2e2x-aex=ex(2ex-a)
f "(x)=ex(2ex-a)+ex_2ex=ex(4ex-a) f '(x)=0에서 2ex=a (∵ ex>0)
ex=;2A; ∴ x=ln`;2A;
이때 f "{ln`;2A;}= aÛ`2 >0이므로 f(x)의 극솟값은 f {ln`;2A;}이다.
f {ln`;2A;}=-1에서 {;2A;}Û`-a_;2A;=-1 - aÛ`
4 =-1, aÛ`=4 ∴ a=2 (∵ a>0)
x … ln`;2A; …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗
이때 f "(-'2 )=2>0이므로 함수 f(x)는 x=-'2에서 극솟 값을 갖는다.
∴ a=-'2
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092
정답과 풀이0738
f(x)=e-x(xÛ`+6x+a)에서f '(x) =-e-x(xÛ`+6x+a)+e-x(2x+6)
=-e-x(xÛ`+4x+a-6)
e-x>0이므로 함수 f(x)가 극값을 가지려면 이차방정식 xÛ`+4x+a-6=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
이차방정식 xÛ`+4x+a-6=0의 판별식을 D라 하면 D4 =4-(a-6)>0 ∴ a<10
따라서 자연수 a의 최댓값은 9이다. 답 ③
0739
f(x)=ln`3x+;[A;-2x에서 x>0이고 f '(x)= 33x - axÛ`-2= -2xÛ`+x-a xÛ`
함수 f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식 -2xÛ`+x-a=0이 x>0에서 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
Ú 이차방정식 -2xÛ`+x-a=0의 판별식을 D라 하면 D=1-8a>0 ∴ a<;8!;
Û (두 근의 합)=;2!;>0
Ü (두 근의 곱)=;2A;>0 ∴ a>0
0735
dxdh =1-cos`h, dydh =-sin`h이므로 dxdy=
14dy 1555155dhdxdh
=- sin`h1-cos`h
dx =0에서 sin`h=0 ∴ h=p (∵ 0<h<2p)dy
또, 0<h<p일 때 dydx <0, p<h<2p일 때 dy
dx >0이므로 주 어진 함수는 h=p에서 극솟값을 갖는다.
따라서 구하는 극솟값은 cos`p=-1 답 ①
0736
f(x)=a`sin`2x+b`cos`x에서 f '(x)=2a`cos`2x-b`sin`x함수 f(x)가 x=;6&;p에서 극댓값 3'3
2 을 가지므로
0737
f(x)=x-2a`ln`x- 3ax 에서 x>0이고 f '(x)=1- 2ax +3axÛ`= xÛ`-2ax+3a xÛ`
함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식
xÛ`-2ax+3a=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 이차방정 식 xÛ`-2ax+3a=0의 판별식을 D라 하면
D4 =aÛ`-3aÉ0, a(a-3)É0
∴ 0ÉaÉ3 답 0ÉaÉ3
본문 103쪽
유형
0734
f(x)=(1+sin`x)cos`x에서 f '(x) =cosÛ` x-(1+sin`x)sin`x=(1-sinÛ` x)-sin`x-sinÛ``x
=-2`sinÛ` x-sin`x+1
=-(sin`x+1)(2`sin`x-1) f '(x)=0에서 sin`x+1>0이므로 sin`x=;2!;
∴ x= p6 또는 x=;6%;p (∵ 0<x<p)
x 0 … p
6 … ;6%;p … p
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 3 '3
4 ↘ - 3 '3
4 ↗
따라서 함수 f(x)의 극댓값은 M=f { p6 }=3'3
4 , 극솟값은 m=f {;6%;p}=-3'3
4 이므로 M-m=3'3
2 답
3 '3
2
x 0 … p
6 … p
2 … ;6%;p … p
f '(x) + 0 - 0 + 0
-f(x) ↗ 3 ↘ 2 ↗ 3 ↘
따라서 함수 f(x)는 x= p2 에서 극솟값 2를 가지므로 a= p2 , b=2
∴ ab=p 답 p
f {;6&;p}=3'3
2 에서 '3 2 a-'3
2 b=3'3 2
∴ a-b=3 yy`㉠
또, f '{;6&;p}=0에서 a+;2!;b=0 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-2
∴ ab=-2 답 -2
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06. 도함수의 활용 ⑴
093 0742
f(x)=ex(xÜ`-9x+a)에서f '(x) =ex(xÜ`-9x+a)+ex(3xÛ`-9)
=ex(xÜ`+3xÛ`-9x-9+a)
f(x)가 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 x에 대한 삼차방정식 xÜ`+3xÛ`-9x-9+a=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.
g(x)=xÜ`+3xÛ`-9x-9+a라 하면g '(x)=3xÛ`+6x-9=3(x+3)(x-1) g '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1
g(x)는 x=-3, x=1에서 극값을 가지므로 g(-3)g(1)<0, (a+18)(a-14)<0
∴ -18<a<14
0745
f(x)=ln`(x-7)이라 하면 f '(x)= 1x-7접점의 좌표를 (a, ln(a-7))이라 하면 접선의 기울기가 1이므로 f '(a)= 1a-7 =1
a-7=1 ∴ a=8
즉, 접점의 좌표는 (8, 0)이므로 접선의 방정식은 y=x-8
따라서 A(8, 0), B(0, -8)이므로 삼각형 AOB의 넓이는
;2!;_8_8=32 답 32
0740
f(x)=kx+3`sin`x에서 f '(x)=k+3`cos`x 함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 모든 실수 x에 대하여 f '(x)É0 또는 f '(x)¾0즉, k+3`cos`xÉ0 또는 k+3`cos`x¾0
∴ cos`xÉ-;3K; 또는 cos`x¾-;3K;
이때 -1Écos`xÉ1이므로
-;3K;¾1 또는 -;3K;É-1 ∴ kÉ-3 또는 k¾3 따라서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 k의 최솟값은 3이다.
답 ③
0744
f(x)=sin`2x라 하면 f '(x)=2`cos`2x 점 { p2 , 0}에서의 접선의 기울기는 f '{p2 }=2`cos`p=-2이 고 이 점에서의 접선과 수직인 직선의 기울기는 ;2!;이므로 직선의 방정식은
y-0=;2!;{x- p2 } ∴ y=;2!;x-p 4
따라서 구하는 y절편은 - p4 이다. 답 -
p 4
따라서 정수 a의 최솟값은 -17이다.
답 -17
단계 채점요소 배점
f(x)가 극댓값과 극솟값을 가질 조건 알기 40%
a의 값의 범위 구하기 50%
정수 a의 최솟값 구하기10%
Ú, Û, Ü에서 a의 값의 범위는 0<a<;8!;이므로 a=0, b=;8!;
∴ 8(b-a)=8_;8!;=1 답 1
0741
f(x)=xÜ`+2axÛ`-4aÛ`x에서 f '(x) =3xÛ`+4ax-4aÛ`방정식 f '(x)=0의 두 실근을 a, b (a<b)라 하면
-1<a<1, b>1 이어야 하므로
Ú f '(-1)=3-4a-4aÛ`>0, 4aÛ`+4a-3<0
(2a-1)(2a+3)<0
∴ -;2#;<a<;2!;
Û f '(1)=3+4a-4aÛ`<0, 4aÛ`-4a-3>0
(2a+1)(2a-3)>0
∴ a<-;2!; 또는 a>;2#;
Ú, Û에서 실수 a의 값의 범위는 -;2#;<a<-;2!;
답 -
;2#;<a<-;2!;
Y Z G Y
= >
0743
f(x)="Ã2xÛ`+3 이라 하면 f '(x)= 4x2"Ã2xÛ`+3= 2x
"Ã2xÛ`+3 f('3)=3, f '('3)=2'3
3 이므로 x좌표가 '3인 점에서의 접선 의 방정식은
y-3=2'3
3 (x-'3) ∴ y=2'3 3 x+1 따라서 a=2'3
3 , b=1이므로
aÛ`+b=;3@;+1=;3%; 답 ⑤
본문 104~107쪽
꼭
나오는 문제시험에
RPM미적분_해설_06(078~098)사.indd 93 19. 2. 27. 오후 4:58
094
정답과 풀이0750
f(x)=(x-a)e-x이라 하면f '(x) =e-x-(x-a)e-x
=e-x(1+a-x)
접점의 좌표를 (t, (t-a)e-t)이라 하면 이 점에서의 접선의 기 울기는 f '(t)=e-t(1+a-t)이므로 접선의 방정식은
y-(t-a)e-t=e-t(1+a-t)(x-t) 이 직선이 원점을 지나므로
-(t-a)e-t=-t(1+a-t)e-t
∴ tÛ`-at-a=0 (∵ e-t>0) yy ㉠ 원점에서 곡선에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있으려면 방정 식 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식을 D라 할 때 D=aÛ`+4a>0, a(a+4)>0
∴ a<-4 또는 a>0
따라서 자연수 a의 최솟값은 1이다. 답 1
0749
limx`Ú1 `f(x)-;6Ò;x-1 =k에서 x`Ú 1일 때, (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`Ú 0이다.
limx`Ú1 [ f(x)-;6Ò;]=0이므로 f(1)=;6Ò;
∴ lim
x`Ú1 `f(x)-;6Ò;
x-1 =limx`Ú1 `f(x)-f(1)x-1 =f '(1)=k g(x)=sin`x, g '(x)=cos`x이므로
(gçf)(1)=g(f(1))=g {p
6 }=sin` p6 =;2!;
(gçf)'(1) =g '(f(1))f '(1)=g '{p
6 }_k=k`cos` p6
= '3 2 k
따라서 합성함수 y=(gçf)(x)의 그래프 위의 점 (1, (gçf)(1))에서의 접선의 방정식은
y-(gçf)(1)=(gçf)'(1)(x-1)
∴ y-;2!;= '3
2 k(x-1) 이 직선이 원점을 지나므로 -;2!;=- '3
2 k ∴ k= 1 '3
∴ 30kÛ`=30_;3!;=10 답 10
0748
f(x)=e2x, g(x)=ln`'§x 라 하면 f '(x)=2e2x, g '(x)= 12x
곡선 y=f(x) 위의 접점의 좌표를 (a, e2a)이라 하면 이 점에서 의 접선의 기울기는 f '(a)=2e2a이므로 접선의 방정식은 y-e2a=2e2a(x-a)
이 직선이 원점을 지나므로
-e2a=2e2a(0-a) ∴ a=;2!; (∵ e2a>0)
∴ f '(a)=2e
곡선 y=g(x) 위의 접점의 좌표를 (b, ln`'b )라 하면 이 점에 서의 접선의 기울기는 g '(b)= 1
2b 이므로 접선의 방정식은 y-ln`'b= 12b (x-b)
이 직선이 원점을 지나므로 -ln`'b=-;2!; ∴ b=e
∴ g '(b)= 1 2e
두 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b`(a>b)라 하면
tan`a=f '(a)=2e, tan`b=g '(b)= 12e h=a-b이므로
tan`h=tan`(a-b) = tan`a-tan`b1+tan`a`tan`b
= 2e- 12e ` 1+2e_ 12e `
=e-;4Áe; 답 e-
1 4e
0747
f(x)=ex-k이라 하면 f '(x)=ex-k접점의 좌표를 (a, ea-k)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 f '(a)=ea-k이므로 접선의 방정식은
y-ea-k=ea-k(x-a) yy ㉠
이 직선이 점 (2, 0)을 지나므로
-ea-k=ea-k(2-a) ∴ a=3 (∵ ea-k>0) a=3을 ㉠에 대입하면
y-e3-k=e3-k(x-3)
이 직선이 점 (5, 6)을 지나므로 6-e3-k=2e3-k
e3-k=2, 3-k=ln`2
∴ k=3-ln`2 답 ①
0746
곡선 y=ex-1-1이 x축과 만나는 점의 좌표는 P(1, 0)이고 y축과 만나는 점의 좌표는 Q{0, ;e!;-1}이므로 직선 PQ의 기울기는0-{;e!;-1}
1-0 =1-;e!;
직선 PQ에 평행한 접선의 접점의 x좌표를 t라 하면 y'=ex-1이므로
et-1=1-;e!;, et=e-1
∴ t=ln(e-1) 답 ln(e-1)
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