31199 :)1 (x'§x-a)dx=0이므로

:)1 (x^;2#;-a)dx =[;5@;x^;2%;-ax]1)=;5@;-a=0

∴ a=;5@; ^답 ③

1201

:)^;2Ò;`(sin`x-k)dx=0이므로

:)^;2Ò;`(sin`x-k)dx =[-cos`x-kx])^;2Ò;

=-;2Ò;k+1=0

∴ k=;@; ^답

;@;

1198

y=e^x에서 y'=e^x이므로 곡선 위의 점 (t, e^t)에서의 접 선의 방정식은

y-e^t=e^t(x-t)

이 직선이 점 (1, 0)을 지나므로

-e^t=e^t(1-t), e^t(2-t)=0 ∴ t=2

즉, 곡선 y=e^x 위의 점 (2, eÛ`)에서의 접선의 방정식은 y-eÛ`=eÛ`(x-2) ∴ y=eÛ`x-eÛ`

따라서 구하는 넓이는 :)2 {e^x-(eÛ`x-eÛ`)}dx

=[e^x- eÛ`

2 xÛ`+eÛ`x]2)

=eÛ`-1

답 eÛ`-1

O 1 2 x

1 y

y=eÛ x-eÛ eÛ y=eÅ

-eÛ

1197

y=3'Äx-1에서 y'= 3

2'Äx-1이므로 곡선 위의 점 (10, 9)에서의 접선의 기울기는 3

2'Ä10-1=;2!;이고 접선의 방 정식은

y-9=;2!;(x-10) ∴ y=;2!;x+4

따라서 구하는 넓이는

;2!;_18_9-:!1`0 3'Äx-1`dx

=81-3[;3@;(x-1)'Äx-1]1!0

=81-3_18=27

답 ③

y=;2!;x+4

-8 1

10 x y

y=315x-1

1202

곡선 y=;[!;과 x축 및 두 직 선 x=1, x=9로 둘러싸인 도형의 넓이를 SÁ이라 하면

SÁ =:!9 ;[!; dx

=[ln`x]9!=ln`9

곡선 y=;[!;과 x축 및 두 직선 x=1, x=a로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sª라 하면

Sª=:!a ;[!;`dx=[ln`x]a!=ln`a 이때 Sª=;2!;SÁ이므로

ln`a=;2!;`ln`9, ln`a=ln`3

∴ a=3 ^답 ①

1 a 9 x

O y=;[!;

1203

곡선 y=;[@;와 x축 및 두 직선 x=1, x=eÛ`으로 둘러싸인 도형의 넓이가 직선 x=k에 의하여 이등분되므로 :!k `;[@;`dx=;2!;:!^eÛ` ;[@;`dx 2[ln`x]k!=[ln`x]!^eÛ`

2`ln`k=2, ln`k=1 ∴ k=e 답 e

y=;[@;

O 1 k x

eÛ

1204

곡선 y='§x와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 y='¶kx에 의하여 이등분되므로 :)2 '¶kx`dx=;2!;:)2 '§x`dx



'k`:)2 '§x`dx=;2!;:)2 '§x`dx

'k=;2!; ∴ k=;4!;



답

;4!;

단계 채점요소 배점



도형의 넓이를 이용하여 식 세우기

50 %

 k의 값 구하기 50 %

O 2

y=14kx y=1x

x y

1205

곡선 y=e^x과 두 직선 x=0, x=ln`3 및 x축으로 둘러싸인 도형의 넓 이가 곡선 y=aeÛ`^x에 의하여 이등분되

므로 _O

3 1

ln 3 x

y y=eÅ y=aeÛ Å

RPM미적분_해설_10(152~168)사.indd 159 19. 2. 27. 오후 5:02

160

^{정답과 풀이}

1207

높이가 x일 때 단면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)='¶3x

따라서 구하는 부피는

:)3 '¶3x`dx ='3:)3 '§x`dx='3`[;3@;x'§x ]3)

='3_2'3=6 ^답 6

1208

깊이가 x`cm일 때 수면은 한 변의 길이가 e^-;2{;`cm인 정 사각형이므로 수면의 넓이를 S(x)`cmÛ`라 하면

S(x)=(e^-;2{;)Û`=e^-x 따라서 구하는 부피는

:)8 e^-x`dx =[-e^-x]8)=1- 1e¡` (cmÜ`)

^답 {1- 1

e¡` } `cmÜ`

1209

높이가 x일 때 단면은 반지름의 길이가 "Ã16-xÛ` 인 원이 므로 단면의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)=p(16-xÛ`) 따라서 입체도형의 부피는

:)4 p(16-xÛ`)dx =p[16x-;3!;xÜ`]4)= 1283 p

∴ k=128 답 128

1210

PHÓ="Ã4-xÛ`이므로 직각이등변삼각형 PRH의 넓이를 S(x)라 하면

S(x)=;2!;_"Ã4-xÛ`_"Ã4-xÛ`=;2!;(4-xÛ`) 따라서 구하는 부피는

:)2 ;2!;(4-xÛ`) dx =;2!; [4x-;3!;xÜ`]2)

=;2!;_;;Á3¤;;=;3*; ^답

**;3*;**

1211

곡선 y=2'Äsin`x 위의 점 P(x, 2'Äsin`x )에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 PHÓ=2'Äsin`x이므로 x축에 수 직인 평면으로 자른 단면의 넓 이를 S(x)라 하면

S(x) = '3

4 (2'Äsin`x )Û`='3`sin`x 따라서 구하는 부피는

:)È `'3`sin`x`dx = [-'3`cos`x]È)

=2'3 ^답 2'3

참고 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이는 '3 4 aÛ`이다.

H p x

P(x, 215sin x) y=215sin x

1212

곡선 y=e^-x 위의 점 P(x, e^-x)에서 x축에 수직인 평면 으로 자른 단면을 PQRS라 하면 Q(x, -2e^-x)이므로

PQÓ=3e^-x

∴ PQRS=(3e^-x)Û`=9e^-2x 따라서 구하는 부피는

:_1! 9e^-2xdx =[-;2(;e^-2x]1_!

=;2(;{eÛ`- 1eÛ`} ^답

;2(; {eÛ`- 1 eÛ` }

P(x, eÑÅ ) O

S R

Q 1 -1

x y=eÑÅ

y=-2eÑÅ y

1213

곡선 y=e^'¶x+1 위의 점 P(x, e^'¶x+1)에서 x축에 수직인 평면 으로 자른 단면을 PQRS라 하면 PQÓ=e^'¶x+1이므로

PQRS =(e^'¶x+1)Û`=e^2'¶x+1 따라서 구하는 부피는 :)3 e^2'¶x+1`dx

이때 'Äx+1=t로 놓으면 x=tÛ`-1이므로 1=2t dtdx 이고 x=0일 때 t=1, x=3일 때 t=2이므로

P(x, e^15x+1) R

Q O

3 x y=e^15x+1 y

:)^ln`3`aeÛ`^x`dx=;2!;`:)^ln`3`e^x`dx [;2!; aeÛ`^x])^ln`3=;2!; [e^x])^ln`3 [aeÛ`^x])^ln`3=[e^x])^ln`3

8a=2 ∴ a=;4!; ^답

;4!;

1206

깊이가 x일 때 수면의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)=ln (x+1)

따라서 구하는 부피는 :)5 ln (x+1)dx

이때 x+1=t로 놓으면 1= dtdx 이고 x=0일 때 t=1, x=5일 때 t=6이므로

:)5 ln (x+1) dx =:!6 ln`t`dt

=[t`ln`t-t]6!

=6`ln`6-5 답 6`ln`6-5

RPM미적분_해설_10(152~168)사.indd 160 19. 2. 27. 오후 5:02

10. 정적분의 활용

161 1215

0ÉtÉ1일 때 v(t)É0이고, t¾1일 때 v(t)¾0이므로

시각 t=0에서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는

:)3 |e^t-e| dt =:)1 (e-e^t) dt+:!3 (e^t-e) dt

=[et-e^t]1)+[e^t-et]3!

=1+(eÜ`-3e)=eÜ`-3e+1

답 eÜ`-3e+1

1216

0ÉtÉp, 2pÉtÉ3p, 4pÉtÉ5p, y일 때 v(t)¾0, pÉtÉ2p, 3pÉtÉ4p, 5pÉtÉ6p, y일 때 v(t)É0이고, 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리는

:)a |sin`t| dt =6

1217

t=k (0<k<10)일 때, 점 P의 위치는 0+:)k sin`pt`dt =[-;!;`cos`pt]k)=;!; (1-cos`kp) 점 P가 원점을 지날 때

;!; (1-cos`kp)=0, cos`kp=1

∴ k=2, 4, 6, 8 (∵ 0<k<10)

따라서 0<t<10에서 점 P는 원점을 4번 지난다. ^답 ④

1218

운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 0이므로 v(t)=0에서

cos`2t-cos`t=0

(2`cosÛ``t-1)-cos`t=0, (2`cos`t+1)(cos`t-1)=0

∴ cos`t=-;2!; 또는 cos`t=1

∴ t=;3@;p, ;3$;p, 2p, ;3*;p, y

따라서 처음으로 운동 방향을 바꾸는 시각은 t=;3@;p이므로 구하 는 거리는

:)^;3@;p`|cos`2t-cos`t|dt =:)^;3@;p`(cos`t-cos`2t)dt

=[sin`t-;2!;`sin`2t])^;3@;p

=3'3

4 ^답 ③

1214

오른쪽 그림과 같이 밑면의 중 심을 원점으로 잡고 좌표축을 정한다.

점 P(x, 0)에서 x축에 수직인 평면으 로 자른 단면을

△

PQR라 하면

∠

Q=90ù이고 PQÓ="Ã4-xÛ`이므로 RQÓ=PQÓ`tan`60ù="Ã4-xÛ` _'3

∴

△

PQR =;2!;_"Ã4-xÛ` _"Ã4-xÛ` _'3

= '3

2 (4-xÛ`)



따라서 구하는 부피는 :_2@ '3

2 (4-xÛ`) dx = '3

2 [4x-;3!;xÜ`]2_@

=16'3 3



^답

16 '3

3

단계 채점요소 배점



주어진 입체도형의 밑면을 좌표평면 위에 나타내고, 단면의

넓이를 x에 대한 식으로 나타내기

50%



입체도형의 부피 구하기

50%

P Q R

x xO

-2 2

60ù

:)3 e^2'¶x+1`dx =:!2 2te^2t`dt

=[te^2t]2!-:!2 e^2t`dt

=2eÝ`-eÛ`-[;2!;e^2t]2!

=2eÝ`-eÛ`-{;2!;eÝ`-;2!;eÛ`}

=;2#;eÝ`-;2!;eÛ` ^답

;2#; eÝ`-;2!; eÛ`

이때

:)È |sin`t| dt =:)È sin`t`dt=[-cos`t]È)=2 이고 6=2_3이므로

:)a |sin`t| dt =:)È sin`t`dt+:ù2`È (-sin`t)dt+:@3ùÈ sin`t`dt

=2+2+2=6

∴ a=3p ^답 ③

1219

dt =cos`t-2`sin`t, dydt =-sin`t-2`cos`t 따라서 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는 :)2 "Ã(cos`t-2`sin`t)Û`+(-sin`t-2`cos`t)Û``dt

=:)2 "Ã5(sinÛ``t+cosÛ``t)`dt=:)2 '5`dt

=['5t]2)=2'5 ^답 ③

1220

dt =2, dy

dt =e^t-e^-t

따라서 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는

RPM미적분_해설_10(152~168)사.indd 161 19. 2. 27. 오후 5:02

162

^{정답과 풀이}

1223

dt =;2!; {1-1 tÛ` }, dy

dt =;t!;

문서에서 정답과 풀이 (페이지 159-162)

31199 :)1 (x'§x-a)dx=0이므로

1201

;@;

1198

1197

1202

1203

1204





;4!;



50 %

 k의 값 구하기 50 %

1205

160

1207

1208

e¡` } `cmÜ`

1209

1210

;3*;

1211

1212

;2(; {eÛ`- 1 eÛ` }

1213

;4!;

1206

161 1215

1216

1217

1218

1214

△

∠

△





16 '3

3



50%



50%

;2#; eÝ`-;2!; eÛ`

1219

1220

162

1223

;@;

**;3*;**