따라서 함수 f(x)는 x=-;3@;에서 최댓값 49eÛ` , x=0에서 최 솟값 0을 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은
4
9eÛ`+0= 49eÛ` 답
4
9eÛ`
0836
`f(x)=x`ln`;[!; =-x`ln`x에서 x>0이고`f '(x)=-ln`x-1
`f '(x)=0에서 ln`x=-1 ∴ x=;e!;
x 0 … ;e!; …
f '(x) + 0
-f(x) ↗ ;e!; ↘
따라서 함수 f(x)는 x=;e!;에서 최댓값 ;e!; 을 갖는다.
답
;e!;
0833
f(x)=kxÛ`e-x이므로f '(x)=2kxe-x-kxÛ`e-x=kx(2-x)e-x f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2
x 0 … 2 … 4
f '(x) 0 + 0
-f(x) 0 ↗ 4k
eÛ` ↘ 16k
eÝ`
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최댓값 4keÛ` 를 가지므로 4k
eÛ` =8 ∴ k=2eÛ` 답 2eÛ`
0835
f '(x)= 2x-1xÛ`-x+4`f '(x)=0에서 x=;2!;
x 0 … ;2!; … 2
f '(x) - 0 +
f(x) ln`4 ↘ ln`;;Á4°;; ↗ ln`6
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최댓값 ln`6, x=;2!;에서 최솟값 ln`;;Á4°;; 를 가지므로 a=2, b=;2!;
∴ a-b=;2#; 답
;2#;
0834
`f(x)=a"Ã2-xÛ`ex에서 2-xÛ`¾0이므로 -'2ÉxÉ'2이고`f '(x) = -2ax
2"Ã2-xÛ`ex+a"Ã2-xÛ`ex
=-ax+a(2-xÛ`)
"Ã2-xÛ` ex
=-a(x+2)(x-1)
"Ã2-xÛ` ex
`f '(x)=0에서 x=1 (∵ -'2ÉxÉ'2 )
x - '2 … 1 … '2
f '(x) + 0
-f(x) 0 ↗ ae ↘ 0
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 최댓값 ae를 가지므로
ae=e ∴ a=1 답 1
0837
`f(x)=log£ (3-x)+2`log£ (x+3)에서 3-x>0, x+3>0이므로 -3<x<3이고`f '(x) = -1
(3-x)ln`3+ 2
(x+3)ln`3
= (x+3)+2(x-3)
(x-3)(x+3)ln`3
= 3(x-1) (x-3)(x+3)ln`3
`f '(x)=0에서 x=1
x -3 … 1 … 3
f '(x) + 0
-f(x) ↗ 5`log£`2 ↘
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 최댓값 5`log£`2를 갖는다.
답 ④
0838
`f(x)=x`ln`x-2x+k에서 x>0이고`f '(x)=ln`x+x_;[!;-2=ln`x-1
`f '(x)=0에서 ln`x=1 ∴ x=e 따라서 함수 f(x)는 x=3에서 최댓값 eÜ`, x=2에서 최솟값 -eÛ`
을 가지므로 M=eÜ`, m=-eÛ`
∴ M
m =-e 답 -e
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07. 도함수의 활용 ⑵
109 0843
`f(x) =cos`x sinÛ``x+3=cos`x(1-cosÛ``x)+3
=cos`x-cosÜ``x+3
cos`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고, 주어진 함수 f(x)를 t에 대한 함수 g(t)로 나타내면
g(t)=-tÜ`+t+3
∴ g '(t)=-3tÛ`+1=(1+'3 t)(1-'3 t) g '(t)=0에서 t=-'3
3 또는 t='3 3
t -1 … - ' 3
3 … '3
3 … 1
g '(t) - 0 + 0
-g(t) 3 ↘ 3- 2'3
9 ↗ 3+ 2'3
9 ↘ 3
따라서 함수 g(t)는 t='3
3 에서 최댓값 3+2'3
9 , t=-'3 3 에서 최솟값 3-2'3
9 을 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은 {3+2'3
9 }+{3-2'3
9 }=6 답 ④
0841
`f '(x) =sin`x`cos`x+(2-cos`x)(-sin`x)=2`sin`x(cos`x-1)
`f '(x)=0에서 sin`x=0 또는 cos`x=1
∴ x=0 또는 x=p 또는 x=2p (∵ 0ÉxÉ2p)
x 0 … p … 2p
f '(x) 0 - 0 + 0
f(x) 1 ↘ -3 ↗ 1
따라서 함수 f(x)는 x=0 또는 x=2p에서 최댓값 1, x=p에 서 최솟값 -3을 가지므로 M=1, m=-3
∴ M-m=4 답 4
0844
`f(x) =27x-2_3x+1+4=(3x)Ü`-6_3x+4
3x=t로 놓으면 t>0이고, 주어진 함수 f(x)를 t에 대한 함수 g(t)로 나타내면
0842
`f '(x)=a(1-2`cos`2x)
`f '(x)=0에서 cos`2x=;2!; ∴ x= p6 {∵ 0ÉxÉp 2 }
x 0 … p
6 … p
2
f '(x) - 0 +
f(x) 0 ↘ { p6 - '3
2 }a ↗ p
2 a
이때 a는 양수이므로 ;2Ò;a>0
따라서 함수 f(x)는 x=;2Ò; 에서 최댓값 ;2Ò;a를 가지므로
;2Ò;a=p ∴ a=2
답 2
단계 채점요소 배점
f '(x) 구하기 20 %
f '(x)=0을 만족시키는 x의 값 구하기 20 %
a의 값 구하기 60 %
0839
`f '(x)=sin`x+x`cos`x-sin`x=x`cos`x`f '(x)=0에서 x=0 또는 cos`x=0
∴ x=0 또는 x= p2 또는 x=;2#;p (∵ 0ÉxÉ2p)
x 0 … p
2 … ;2#;p … 2p
f '(x) 0 + 0 - 0 +
f(x) 1 ↗ p
2 ↘ -;2#;p ↗ 1
따라서 함수 f(x)는 x= p2 에서 최댓값 p
2 , x=;2#;p에서 최솟 값 -;2#;p를 가지므로 최댓값과 최솟값의 합은
p2 +{-;2#;p}=-p 답 ①
0840
`f '(x) =sin`x`sin`x-(2-cos`x)cos`xsinÛ``x
= 1-2`cos`x sinÛ``x
`f '(x)=0에서 1-2`cos`x=0, cos`x=;2!;
∴ x= p3 (∵ 0<x<p)
x 0 … p
3 … p
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ '3 ↗
따라서 함수 f(x)는 x= p3 에서 최솟값 '3을 갖는다. 답 ③
x 0 … e …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ -e+k ↗
따라서 함수 f(x)는 x=e에서 최솟값 -e+k를 가지므로
-e+k=0 ∴ k=e 답 ⑤
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110
정답과 풀이0845
f(x) =(logª`x)Ü`-6`log¢`x-5=(logª`x)Ü`-3 logª`x-5
logª`x=t로 놓으면 ;4!;ÉxÉ2에서 -2ÉtÉ1이고, 주어진 함수 f(x)를 t에 대한 함수 g(t)로 나타내면
g(t)=tÜ`-3t-5
∴ g '(t)=3tÛ`-3=3(t+1)(t-1) g '(t)=0에서 t=-1 또는 t=1
t -2 … -1 … 1
g '(t) + 0 - 0
g(t) -7 ↗ -3 ↘ -7
따라서 함수 g(t)는 t=-1에서 최댓값 -3, t=-2 또는 t=1 에서 최솟값 -7을 가지므로
M=-3, m=-7
∴ M-m=4 답 4
0848
ex=3x+k에서 ex-3x=k위의 방정식이 실근을 가지려면 곡선 y=ex-3x와 직선 y=k가 만나야 한다.
`f(x)=ex-3x라 하면 f '(x)=ex-3
`f '(x)=0에서 ex=3 ∴ x=ln`3
x … ln`3 …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 3-3`ln`3 ↗
이때 lim
x`Ú¦`f(x)=¦,
x`Ú-¦lim`f(x)=¦이므로 함수
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다.
따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=k가 만나도록 하는 k의 값의 범위는
k¾3-3`ln`3 답 k¾3-3`ln`3
Y Z
0
AMOA
Z L Z G Y
MOA
0849
;[#;=-xÜ`+k에서 xÜ`+;[#;=k f(x)=xÜ`+;[#; 이라 하면 x+0이고 f '(x)=3xÛ`- 3xÛ`= 3xÝ`-3xÛ` =3(xÛ`+1)(x+1)(x-1) xÛ`
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
한편 f(-x)=-f(x)이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 원점 에 대하여 대칭이다.
0846
ln`x-x-a=0에서 ln`x-x=a위의 방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 y=ln`x-x 와 직선 y=a가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.
`f(x)=ln`x-x라 하면 x>0이고
`f '(x)=;[!;-1= 1-xx
`f '(x)=0에서 x=1
x 0 … 1 …
f '(x) + 0
-f(x) ↗ -1 ↘
이때 lim
x`Ú¦`f(x)=-¦,
x`Ú0+lim`f(x)=-¦이므로 함수 y=f(x)
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 곡선 y=f(x)와 직선 y=a가 서 로 다른 두 점에서 만나도록 하는 a의 값 의 범위는
a<-1 답 ③
Z G Y Z B
0
Y
Z
0847
ae2x-ex+1=0에서 a= ex-1e2x f(x)= ex-1
e2x 이라 하면
`f '(x)= ex_e2x-(ex-1)_2e2x
e4x =- ex-2 e2x
`f '(x)=0에서 ex=2 ∴ x=ln`2
x … ln`2 …
f '(x) + 0
-f(x) ↗ ;4!; ↘
이때 limx`Ú¦`f(x)=0, limx`Ú-¦`f(x)=-¦
이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 주어진 방정식이 한 개의 실근을 가지려면 곡선 y=f(x)와 직선 y=a가
한 점에서 만나야 하므로 구하는 양수 a의 값은 ;4!;이다. 답
;4!;
Z G Y
Å Z B
0 Y
Z
MO
g(t)=tÜ`-6t+4
∴ g '(t)=3tÛ`-6=3(t+'2)(t-'2) g '(t)=0에서 t='2 (∵ t>0)
t 0 … '2 …
g '(t) - 0 +
g(t) ↘ 4(1-'2) ↗
따라서 함수 g(t)는 t='2에서 최솟값 4(1-'2)를 갖는다.
답 ④
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07. 도함수의 활용 ⑵
111 0855
sin`2x<2x+k에서 sin`2x-2x-k<0`f(x)=sin`2x-2x-k라 하면
`f '(x)=2`cos`2x-2=2(cos`2x-1)
0853
e2x-2x¾k에서 e2x-2x-k¾0 f(x)=e2x-2x-k라 하면f '(x)=2e2x-2=2(e2x-1) f '(x)=0에서 e2x=1 ∴ x=0
x … 0 …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ 1-k ↗
즉, 함수 f(x)의 최솟값은 1-k이므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이 성립하려면
1-k¾0 ∴ kÉ1
따라서 k의 최댓값은 1이다. 답 ③
0854
3x+k¾ln (x+1)에서 3x+k-ln`(x+1)¾0`f(x)=3x+k-ln (x+1)이라 하면
`f '(x)=3- 1x+1 =3x+2 x+1
`f '(x)=0에서 x=-;3@;
x -1 … -;3@; …
f '(x) - 0 +
f(x) ↘ -2+k+ln`3 ↗
즉, 함수 f(x)의 최솟값은 -2+k+ln`3이므로 x>-1인 모 든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이 성립하려면
-2+k+ln`3¾0 ∴ k¾2-ln`3
따라서 k의 최솟값은 2-ln`3이다. 답 2-ln`3
0851
방정식 ex=ax가 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선y=ex과 직선 y=ax가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.
`f(x)=ex, g(x)=ax라 하면
`f '(x)=ex, g '(x)=a
곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 접할 때의 접점의 x좌표를 t라 하면
`f(t)=g(t)에서
et=at yy`㉠
`f '(t)=g '(t)에서
et=a yy`㉡
㉠, ㉡에서 t=1, a=e
따라서 곡선 y=ex과 직선 y=ax가 서로 다른 두 점에서 만나도 록 하는 a의 값의 범위는 a>e 답 a>e
Z F
Y Z BY Z
0
0852
방정식 sin`2x=kx가 닫힌구 간 [- p2 , p2 ]에서 서로 다른 세 실근 을 가지려면 오른쪽 그림과 같이 - p2 ÉxÉp
2 에서 곡선 y=sin`2x와 직선 y=kx가 서로 다른 세 점에서 만나야 한다.
y=sin`2x에서 y '=2`cos`2x이므로 곡선 위의 점 (0, 0)에서의 접선의 방정식은
y-0=2`cos`0_(x-0) ∴ y=2x
따라서 곡선 y=sin`2x와 직선 y=kx가 서로 다른 세 점에서 만 나려면
0Ék<2
이어야 하므로 k의 값이 될 수 없는 것은 ⑤ 2이다. 답 ⑤