Answer Key
정답과 풀이
`✽✽✽ 빠른 정답 2
Ⅰ-1 제곱근과 실수 6
Ⅰ-2 근호를 포함한 식의 계산 13
Ⅱ-1 다항식의 인수분해 22
Ⅲ-1 이차방정식의 풀이 31
Ⅲ-2 이차방정식의 활용 38
Ⅳ-1 이차함수와 그 그래프 47
Ⅳ-2 이차함수의 활용 57
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제곱근과 실수
1
P8~12
01④ 02②, ③ 038 043개 05'∂130 m 05-14 cm 06⑤ 078
087 090 10풀이 참조
10-1 2a-;a@; 1114 126개 1360
14풀이 참조 15④ 161 17'6 m
17-1 3개 184 19p, '∂3.6 20①, ④
21④ 22③ 23⑤
24P : 1-'∂13, Q : 1+'∂13 25a-b, 예나, 태진 26A<C<B 27'5 -2
최/ 고/ 수/ 준완성하기 P13~15
01;2&; 02'5 cm 039 04-2a+5b 0542 0638 07⑴ 19 ⑵ 27
08750 09;9&; 10'∂10 117+'2 12'ƒa+b<'ßa+'b
최/ 고/ 수/ 준뛰어넘기 P16~17
0115 02-1…x…1
03⑴ 1, 2, 3, 4, 5 ⑵ 12개 04172개 055 06A<B<C
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근호를 포함한 식의 계산
2
P20~25
01④ 02'∂15 03;3¡0; 04① 05⑴ '2, '8(=2'2) ⑵ 4 05-112 cm¤ 063
072 08 094 10
1111-5'5 124'2 1318'3 m
13-1(10'5+2'∂10) cm 146'2-2'3 15-9'2 163+2'3 172 187'5 18-12'3 19⑤ 2012 2113 224 23-4 24-6 25④ 261개 2729.46 283.606 298.944 m 29-156.13 cm 30 3'∂10 3114 329개
10
5'2 8 2'∂15
5
최/ 고/ 수/ 준완성하기 P26~29
01② 023 03⑴ y=4x ⑵
0425'2 0515'2 06 07
08-5+3'3 09(2+'2)p 105 1110+4'6 122 131.096 1427 154a-2 16 '33
'∂15 5 '2
2
'6 2
최/ 고/ 수/ 준뛰어넘기 P30~31
01a='2, b='6, c=3'6 028+5'2 03'3 04-8+8'2 0586.6 % 060
Ⅰ. 실수와 그 계산
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교과서 속 창의 서술형 P32~34
018개 026개 03 043.4 050.7 m
13-5'5 2
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다항식의 인수분해
1
P38~43
01②, ④ 02④ 03a(a+1)(a-1) 042x-4 05③ 061 072 08(2x-3)(3x+1) 08-1(3x+1)(5x-2) 0911 1036 114
12(x+4)(x+13) 13(x-y-1)(x-y-3) 13-1(a+3b-2)(a+3b+8) 145 156 16(x¤ +x-7)¤ 17(x+y)(x-1) 18(x-1)(a+1)(a-1) 19a-1
20(a-2b+4c)(a-2b-4c) 20-1(x+y-z)(x-y+z) 214 22(x-3)(x+y+1)
23(x+2)(3x-y+2) 24(x+2y-1)¤
2510030 262502 27-960 284'2 2920 3012 313x+1 324a+10 33150p cm¤
최/ 고/ 수/ 준완성하기 P44~47
01(x-7)(2x+1) 02(a-c)(a+4b-5c) 0315 048 0536 062 07a-c 083x-y 09(a-b)(a¤ +b¤ +c¤ ) 10;2!0)0!; 1123 1264 134 14⑴ '∂10-3 ⑵ 2 ⑶ '∂10+3
15a=6'3, b='3 16⑴ 16 ⑵ 16pa
Ⅱ. 다항식의 인수분해
최/ 고/ 수/ 준뛰어넘기 P48~49
01a=5, b=4 022
03(a+b)(b+c)(c+a) 04;2@0!;
05⑴ ;2!; {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ } ⑵ -2 ⑶ 5 0680
교과서 속 창의 서술형 P50~52
01;9!; 02461
03서쪽으로 200 cm, 남쪽으로 220 cm
04풀이 참조 054020개
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이차방정식의 풀이
1
P56~60
01①, ④ 02① 033
04노란색 상자 또는 초록색 상자 05-4
06-7 07-1 08④, ⑤ 093 10x=-5또는 x=-1 1115 12⑴ 2 ⑵ 3 13풀이 참조
13-1⑴ x=-1 또는 x=3 ⑵ x=-1 또는 x=3 148 15kæ2 16;1$6%; 1724
18풀이 참조 19x= 2026
21-6 22④ 237개
24x=7—2'∂10 2572 262-'∂10 27x=1또는 x=;5(; 284 2912
3—'∂69 2
Ⅲ. 이차방정식
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교과서 속 창의 서술형 P80~82
01x=2 02 03250보 04(30-4'∂37) cm
1+'5 2
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이차방정식의 활용
2
P68~73
01③ 02k>1 0321 043개
05x= 06준수, 은미 07;3%;
0828 09명수 10-8
11x= 122 134
14-;2!; 154 168 171
18⑴ 2 ⑵ 2 195 20x¤ -2x-4=0 21③ 222x¤ -24x+70=0
23x=1또는 x=5 23-1x=-1또는 x=2 245세 2514명 266월 10일 2721 2824 29⑴ 2초 후 ⑵ 5초 후 ⑶ 3초
3012자, 18자 30-17 cm 313 3217 cm 334 cm 3412초 후
1—'∂17 4 5—'∂41
2
최/ 고/ 수/ 준완성하기 P74~77
01-7<k<2또는 k>2
02m=1일 때 x=-1, m=5일 때 x=-3
03⑴ k>:™8∞: ⑵ k<2 ⑶ k<2 또는 k>:™8∞: 04x=—'7 054개 06-3'∂17 07-;5*; 08-4 09p=-13, q=42 103x¤ -3x-4=0 1124단계 126분 1320 %
14(5+5'5) cm 15(4, 2) 16⑴ (2x-6) cm ⑵ 10 ⑶ 140 cm¤
최/ 고/ 수/ 준뛰어넘기 P78~79
012개
02⑴ a+b=;aB;, ab=;:@a%:%; ⑵ 3, 5, 17 02⑶ 66, 100, 136 ⑷ 302
03a=4, b=1 0413개
056('2-1) cm 06 5(1+'5)2
최/ 고/ 수/ 준완성하기 P61~63
01k+1 0228 03;4%; 04;1¡8;
054 068개 07;4%;
08a=-6, b=-11 0911
10⑴ a=1, b=2-'2 ⑵ x¤ +4x-2=0 ⑶ x=-2—'6 11x=1, y=1
12x= 또는 x=1—'∂37 2 1—'∂21
2
최/ 고/ 수/ 준뛰어넘기 P64~65
012 02-10 03-1 04⑴ 2 ⑵ 4 ⑶ 3 ⑷ 9
05⑴ x=1+'5 또는 x=-1-'5
⑵ x='2 또는 x='2-1 06-2, 6
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교과서 속 창의 서술형 P110~112
01;8!;<a<;4%; 0220 03576 cm¤ 044500원 05(4, -2)
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이차함수와 그 그래프
1
P86~91
01②, ③ 028 03ㄷ, ㅁ 04④ 05형진, 준혁 063 075 08;4!;
095 10{0, -;3$;} 11제2 사분면 11-1 ⑤ 1260 13-:¡4∞: 14x<-2 15-1 16-;2#; 17제`3, 4 사분면 188 19ㄴ, ㄹ 20a<0, p<0, q>0 21풀이 참조 21-1꼭짓점의 좌표:{;2#;, -6}, 축의 방정식:x=;2#;
223 2316 24k<-2 25(-2, 1) 265 27풀이 참조 27-1(-1, 5)
28a<0, b>0, c>0 29③ 30미선, 민찬 3124 32:¡4∞:
33⑴ A(-3, 0), B(3, 0), C(-3, 4), D(3, 4) ⑵ 풀이 참조
최/ 고/ 수/ 준완성하기 P92~95
01①, ④ 02-;2!; 03{;3@;, ;9!;}
04⑴ 2:1 ⑵ {;3!;k, ;9!;k¤ } ⑶ 6 053, 12, 27 0610 0714 080<a<;9&; 0919 10-3 1114
12⑴ f(x)=(x-1)¤ +1, g(x)=(x+1)¤ +1
⑵ g(x)=f(x+2) ⑶ 9802 13ㄷ, ㄹ 1410 156 16⑴ 27 ⑵ {;2&;, ;2(;} ⑶ y=x+1
최/ 고/ 수/ 준뛰어넘기 P96~97
01⑴ (2'2, 4) ⑵ 2'2-2 02;3!; 03:¡4ª:
04⑴ (4, 4) ⑵ 135˘ ⑶ 12p 054 06-;2#;
Ⅳ. 이차함수
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이차함수의 활용
2
P100~104
0118 024 03(0, 2) 04:¢4¶:
05(-1, -5) 05-1 {4, :¡3§:} 0613 07-4 08y=-x¤ +6x-5 0924
10최솟값:-7 11-8 12최댓값:1
13최댓값:7, 최솟값:-1
14⑴ m=-k¤ -8k-19 ⑵ -3 155 164 173 180 18-1 22 19-49 209 m 20-1 ⑴ 125 m ⑵ 9초 후 21:™3∞: 2236 m¤ 2398 m¤ 23-1 :™2∞: m¤
2410 cm 256 2672 cm¤
최/ 고/ 수/ 준완성하기 P105~107
0127 022'6 03y=2x¤ +8x-10 04최솟값:-:™4¡: 055
06⑴ 1, 4 ⑵ a>;8(; ⑶ 4 07—'3 080<a<1 0916 m 10⑴ A(a, a¤ +1), B(-a¤ -2, a¤ +1) ⑵ ;4&;
115초 후 1210
최/ 고/ 수/ 준뛰어넘기 P108~109
01;2(; 02244
03⑴ (1-x)¤ ⑵ f(x)=-x¤ +;3$;x+;3@; ⑶ -;9@;
042 05최대 매출액:320000원, 단가:400원 06-3
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최/ 고/ 수/ 준
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제곱근과 실수
1
01
양수 a의 제곱근은 —'ßa임을 이용한다.x가 양수 a의 제곱근이므로 x=—'ßa 또는 x¤ =a
02
양수 a의 제곱근은 —'ßa, 0의 제곱근은 0, 음수의 제곱근은 없음을 이용한다.① 제곱근 3은 '3이다.
④ -64의 제곱근은 없다.
⑤ 5의 제곱근은 —'5이고 제곱근 5는 '5이므로 5의 제곱근과 제곱근 5는 같지 않다.
03
먼저 주어진 수를 간단히 한 후 제곱근을 구한다.'∂16 =4의 양의 제곱근은 2이므로 a=2
(-6)¤ =36의 음의 제곱근은 -6이므로 b=-6
∴ a-b=2-(-6)=8
04
먼저 주어진 수를 간단히 한 후 제곱근을 구하여 근호가 사 용되었는지 확인한다.'ƒ0.01=0.1의 제곱근은 —'∂0.1이다.
169의 제곱근은 —13이다.
Ƭ;8¡1; =;9!; 의 제곱근은 —;3!; 이다.
0.H4=;9$;의 제곱근은 —;3@;이다.
따라서 제곱근을 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 것은 169, Ƭ;8¡1; , 0.H4의 3개이다.
Action Action Action Action
01④ 02②, ③ 038 043개 05'∂130 m 05-14 cm 06⑤ 078
087 090 10풀이 참조
10-12a-;a@; 1114 126개 1360
14풀이 참조 15④ 161 17'6 m
17-13개 184 19p, '∂3.6 20①, ④
21④ 22③ 23⑤
24P : 1-'∂13, Q : 1+'∂13 25a-b, 예나, 태진 26A<C<B 27'5 -2
Ⅰ. 실수와 그 계산
P8~12
05
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 'ßa임을 이용한다.직사각형 모양의 집터의 넓이는
13_10=130(m¤ ) …… 50%
따라서 넓이가` 130 m¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는
'∂130 m이다. …… 50%
05-1
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 'ßa임을 이용한다.정사각형 A의 넓이는 ('∂11)¤ =11(cm¤ ) 정사각형 B의 넓이는 ('5)¤ =5(cm¤ ) 이때 새로 그릴 정사각형의 넓이는 11+5=16(cm¤ )
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다.
06
a>0일 때, (-'ßa )¤ =a, "√(-a)¤ =a임을 이용한다.a>0이므로
① (-'ßa )¤ =('ßa )¤ =a
② -"√(-a)¤ =-"≈a¤ =-a
③ -"ç4a¤ =-"√(2a)¤ =-2a
④ "√(-9a)¤ ="√(9a)¤ =9a
⑤ -"√(-6a)¤ =-"√(6a)¤ =-6a
07
제곱근의 성질을 이용하여 근호를 푼다.'∂36 ÷(-'2 )¤ +æ–;;™9∞;; _"√(-3)¤
=6÷2+;3%;_3
=3+5=8
08
-3<x<4임을 이용하여 x+3, x-4의 부호를 각각 알아 본다.-3<x<4이므로 x+3>0, x-4<0
∴ "√(x+3)¤ +"√(x-4)¤ =(x+3)-(x-4)
=x+3-x+4
=7
Action Action Action
Action Action
변의 길이는 항상 양수이므로 문제에 양수라는 조건이 없더라도 항상 양수에만 한정시켜 답해야 한다.
Lecture 변의 길이는 항상 양수
단순히 "√(-a)¤ =-a로 생각하지 않도록 주의한다. a의 부호에 따라 "√(-a)¤ 을 간단히 한 결과는 달라지기 때문이다.
즉, "√(-a)¤ ="ça¤ =|a|=ga (aæ0)이다.
-a (a<0)
Lecture 제곱근의 성질
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09
a-b>0, ab<0임을 이용하여 a, b, b-a의 부호를 차례 로 알아본다.a-b>0이므로 a>b 또, ab<0이므로 a>0, b<0 이때 b-a<0이므로
"ça¤ +"çb¤ -"√(b-a)¤ =a+(-b)+(b-a)
=a-b+b-a=0
10
0<a<1이므로 a<;a!;, 즉 a-;a!;<0임을 이용한다.0<a<1이므로 a도 양수이고, ;a!;도 양수이다.
이때 a+;a!;도 양수이다.
그런데 0<a<1이면 ;a!;>1이므로 a<;a!;, 즉
a-;a!;<0이다. …… 40%
∴ æ≠{a+;a!;}¤ -æ≠{a-;a!;}¤ =a+;a!;+{a-;a!;}
∴ æ≠{a+;a!;}¤ -æ≠{a-;a!;}¤=a+;a!;+a-;a!;
∴ æ≠{a+;a!;}¤ -æ≠{a-;a!;}¤=2a …… 40%
따라서 처음으로 잘못된 곳은 ㉢`이고, 바르게 풀면 위와
같다. …… 20%
10-1
-1<a<0이므로 a>;a!;, 즉 a-;a!;>0임을 이용한다.-1<a<0이면 ;a!;<-1이므로 a>;a!;, 즉 a-;a!;>0,
;a!;-a<0이다.
∴ æ≠{a-;a!;}¤ +æ≠{;a!;-a}¤ ={a-;a!;}-{;a!;-a}
∴ æ≠{a-;a!;}¤ -æ≠{;a!;-a}¤=a-;a!;-;a!;+a
∴ æ≠{a-;a!;}¤ -æ≠{;a!;-a}¤=2a-;a@;
11
자연수 x에 대하여 "√Ax가 자연수가 되려면 Ax가 제곱수 이어야 한다.'ƒ126x ="√2_3¤ _7_x 가 자연수가 되려면 x=2_7_k¤ (k는 자연수)의 꼴이어야 한다.
따라서 가장 작은 자연수 x의 값은 2_7=14
Action Action Action
Action
12
자연수 x에 대하여 æ≠ 가 자연수가 되려면 가 제곱수이어야 한다.
æ≠ =æ≠ 가 자연수가 되게 하는 자연수 x의 값은 5, 2¤ _5, 3¤ _5, 2› _5, 2¤ _3¤ _5, 2› _3¤ _5 의 6개이다.
13
자연수 x에 대하여 "√A-x가 정수가 되려면 A-x가 0 또 는 A보다 작은 제곱수이어야 한다.'ƒ18-x 가 정수가 되려면 18-x가` 0 또는 18보다 작은 제곱수이어야 하므로 18-x=0, 1, 4, 9, 16
∴ x=2, 9, 14, 17, 18
따라서 구하는 합은 2+9+14+17+18=60
14
a와 'b의 대소를 비교할 때에는 a를 "ça¤ 으로 바꾸어 "ça¤ 과 'b 의 대소를 비교한다.여학생:0.2="ç0.2¤ ='∂0.04이고 '∂0.04<'∂0.2이므로
0.2<'∂0.2이다. …… 40%
양수는 양수끼리, 음수는 음수끼리 대소를 비교한다.
2='4이므로 '3<2<'5 …… 20%
-3=-'9이고 '8<'9이므로
-'8>-3 …… 20%
따라서 큰 수부터 차례로 나열하면
'5, 2, '3, -'8, -3 …… 20%
15
0<a<1을 만족하는 a의 값을 정한 후 각각의 식의 값을 계산하여 대소를 비교한다.0<a<1이므로 a=;2!;이라고 하면
① 'ßa=Ƭ;2!;
② a=;2!;=Ƭ;4!;
③ a¤ ={;2!;}¤ =;4!;=Ƭ;1¡6;
④ ;a!;=1÷a=1÷;2!;=1_2=2='4
⑤ Ƭ;a!; ='ƒ1÷a=Æ…1÷;2!; ='ƒ1_2='2 따라서 그 값이 가장 큰 것은 ④ ;a!;이다.
Action Action Action
2› _3¤ _5 x 720
x
A x A
Action x
자연수 A, x에 대하여
⑴ "√A+x 가 자연수가 되려면 A+x는 A보다 큰 제곱수이어야 한다.
⑵ "√A-x 가 자연수가 되려면 A-x는 A보다 작은 제곱수이어 야 한다. 이때 "√A-x 가 정수가 되려면 A-x는 0이 될 수도 있음에 주의한다.
Lecture "√A+x , "√A-x 가 자연수가 될 조건
자연수 A, x에 대하여 "çAx, æ≠ 가 각각 자연수가 되려면 Ax, 가 각각 제곱수이어야 한다. 이때 제곱수가 되려면 소인수분해 하였을 때, 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 한다.
A x
A x
Lecture "√Ax , æ–A가 자연수가 될 조건 x
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16
먼저 제곱되어 있는 수의 부호를 각각 파악한 후 근호를 푼다.3='9, 4='∂16이므로 3<'∂15<4
∴ 4-'∂15>0, 3-'∂15<0
∴ øπ(4-'∂15)¤ +øπ(3-'∂15)¤
∴=(4-'∂15)-(3-'∂15)
∴=4-'∂15-3+'∂15=1
17
조건에 알맞은 부등식을 세워 푼다.넓이가 2x m¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는 '∂2x m이 므로 2<'∂2x<2.6 …… 20%
각 변을 제곱하면 4<2x<6.76
∴ 2<x<3.38 …… 30%
이때 x는 자연수이므로 x=3 …… 20%
따라서 식탁보의 한 변의 길이는
'ƒ2_3 ='6 (m) …… 30%
17-1
주어진 부등식의 각 변을 제곱하여 부등식을 푼다.4<'∂3x<5의 각 변을 제곱하면 16<3x<25 ∴ ;;¡3§;;<x<;;™3∞;;
이때 x는 자연수이므로 x=6, 7, 8
따라서 구하는 자연수 x의 값의 개수는 3개이다.
18
주어진 부등식의 각 변에 -1을 곱한 후 각 변을 제곱하여 부등식을 푼다.-6<-'ƒ5x+2<-3의 각 변에 -1을 곱하면 3<'ƒ5x+2<6
각 변을 제곱하면 9<5x+2<36 7<5x<34 ∴ ;5&;<x<;;£5¢;;
이때 x는 자연수이므로 x=2, 3, 4, 5, 6 따라서 M=6, m=2이므로
M-m=6-2=4
19
근호 안을 간단히 하여 유리수인지 무리수인지를 판단해 본다.-øπ0.H1=-Ƭ;9!;=-;3!;이므로유리수이다.
"√(-5)¤ =5이므로 유리수이다.
æ ≠;10(0; =;1£0; 이므로 유리수이다.
따라서 무리수인 것은 p, '∂3.6이다.
Action Action
Action Action
Action
20
각각의 경우의 참, 거짓을 판단해 본다.② 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
③ 순환소수는 무한소수이다.
⑤ '2와 -'2는 모두 무리수이지만 그 합은 0이므로 유리수이다.
21
먼저 안에 알맞은 것이 무엇인지를 생각한다.안에 알맞은 것은 무리수이므로 제곱근이 무리수인 것을 찾는다.
① 0의 제곱근은 0이므로 유리수이다.
② 16의 제곱근은 —4이므로 유리수이다.
③ 49의 제곱근은 —7이므로 유리수이다.
④ 0.9의 제곱근은 —'∂0.9이므로 무리수이다.
⑤ ;1ª6;의 제곱근은 —;4#;이므로 유리수이다.
따라서 제곱근이 무리수인 것은 ④ 0.9이다.
22
실수와 수직선의 관계를 이해한다.③ 서로 다른 두 정수` 0과 1 사이에는 정수가 없다.
23
기준점 a로부터 오른쪽으로 'b만큼 이동한 점의 좌표는 a+'b이고, 왼쪽으로 'b만큼 이동한 점의 좌표는 a-'b이다.① A(-2-'2)
② B(-2+'2)
③ C(2-'2)
④ D(1+'2)
24
먼저 ABCD의 넓이를 구한 후 ABCD가 정사각형임 을 이용하여 AB”의 길이를 구한다.ABCD=5_5-4_{;2!;_2_3}
ABCD=25-12=13
ABCD는 정사각형이므로 AB”='∂13
∴ AP”=A’Q”=AB”='∂13
따라서 두 점 P, Q에 대응하는 수는 각각` 1-'∂13, 1+'∂13이다.
Action Action Action Action Action
근호가 있다고 하여 모두 무리수인 것은 아니다. 즉, 근호 안의 수가 (유리수)¤ 의 꼴이면 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있으므로 유리 수이다. 즉, a=k¤ (k는 양의 유리수)이면 'ßa="çk¤ =k이므로 유 리수이다.
Lecture 'ßa 는 무리수일까?
오른쪽 그림에서 색칠한 정사각형의 넓이는
;2!;_(2_2)=2이므로 이 정사각형의 한 변 의 길이는 '2이다.
이때 동그라미 표시한 부분은 한 변의 길이가 1인 정사각형이고, 이 정사각형의 대각선의 길이는 '2이다.
마찬가지로 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 '2a 임을 알 수 있다.
Lecture 정사각형의 대각선의 길이
2 2
1 1 2
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25
두 실수 a, b의 대소 관계를 비교할 때에는 a-b의 부호를 이용한다.두 실수 a, b에 대하여 다음이 성립한다.
⑴ a-b>0이면 a>b
⑵ a-b=0이면 a=b
⑶ a-b<0이면 a<b
따라서` 안에 공통으로 알맞은 식은 a-b이다.
…… 15%
선우:('2-1)-('3-1)='2-1-'3+1
='2-'3<0
예나:∴ '2-1<'3-1 …… 15%
예나:3-('3+1)=3-'3-1=2-'3
='4-'3>0
예나:∴ 3>'3+1 …… 15%
태진:('∂10-4)-1='∂10-5
='∂10-'∂25<0
예나:∴ '∂10-4<1 …… 15%
아민:(2-'∂0.5)-(2-'∂0.6)=2-'∂0.5-2+'∂0.6
=-'∂0.5+'∂0.6>0 예나:∴ 2-'∂0.5>2-'∂0.6 …… 15%
지호:('∂20+'8)-(3+'∂20)='∂20+'8-3-'∂20
='8-3
='8-'9<0 예나:∴ '∂20+'8<3+'∂20 …… 15%
따라서 두 실수의 대소 관계를 바르게 적은 학생은 예나,
태진이다. …… 10%
26
세 실수 a, b, c에 대하여 a<b이고 b<c이면 a<b<c임 을 이용한다.A-C=('∂11-3)-2='∂11-3-2
='∂11-5='∂11-'∂25<0
∴ A<C
B-C=(1+'2)-2=1+'2-2
='2-1='2-'1>0
∴ B>C
따라서 A<C이고 B>C이므로 A<C<B
27
수직선 위에서 오른쪽에서 두 번째에 위치하는 수는 주어진 수 중에서 두 번째로 큰 수이다.주어진 수들의 부호를 각각 구해 보면
'5 -2='5 -'4 >0, 1-'5 ='1 -'5 <0, '5 -3='5 -'9 <0, '2 +'5 >0
이때 양수는 '5-2, '2+'5의 2개이므로 구하는 수는 이 두 수 중 작은 수이다.
Action Action
Action 두 수 '5-2, '2+'5의 대소를 비교하면
('5-2)-('2+'5)='5-2-'2-'5
=-2-'2<0
∴ '5-2<'2+'5
따라서 구하는 수는 '5-2이다.
01
제곱근 a는 'ßa이고, a의 제곱근은 —'ßa임을 이용한다.제곱근 ;1*6!;은 Ƭ;1*6!;=;4(;이므로 a=;4(;
{-;4%;}¤ =;1@6%; 의 제곱근은 —;4%; 이므로 b=—;4%;
⁄a=;4(;, b=;4%;일 때,
¤a-b=;4(;-;4%;=;4$;=1
¤a=;4(;, b=-;4%;일 때,
¤a-b=;4(;-{-;4%;}=;;¡4¢;;=;2&;
⁄, ¤에 의하여 a-b의 최댓값은 ;2&;이다.
02
각 단계의 정사각형의 넓이는 이전 단계의 정사각형의 넓이의;2!; 임을 이해한다.
처음 정사각형의 넓이는 ('∂80)¤ =80(cm¤ ) [`1단계]의 정사각형의 넓이는 80_;2!;=40(cm¤ ) [`2단계]의 정사각형의 넓이는 40_;2!;=20(cm¤ ) [`3단계]의 정사각형의 넓이는 20_;2!;=10(cm¤ ) [`4단계]의 정사각형의 넓이는 10_;2!;=5(cm¤ ) 따라서 [`4단계]에서 생기는 정사각형의 한 변의 길이는 '5 cm이다.
Action Action
최/ 고/ 수/ 준
완성하기
P13~1501;2&; 02'5 cm 039 04-2a+5b 0542 0638 07⑴ 19 ⑵ 27
08750 09;9&; 10'∂10 117+'2 12'ƒa+b<'ßa+'b
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또한 'ƒ100+b가 최소이려면 100+b가 100보다 큰 제 곱수 중에서 가장 작은 수이어야 하므로
100+b=121 ∴ b=21
따라서 a=19, b=21일 때, c의 값이 최대가 되므로 (c의 최댓값)='ƒ100-a-'ƒ100+b
='ƒ100-19-'ƒ100+21
='∂81-'∂121
=9-11=-2
∴ a+b+c=19+21+(-2)=38
07
'1 =1, '4 =2, '9 =3, '∂16 =4, '∂25 =5, y 임을 이용 한다.'1 =1, '4 =2, '9 =3, '∂16 =4, '∂25 =5, y이므로
⑴ f(1)=f(2)=f(3)=1
⑴f(4)= f(5)= f(6)= f(7)= f(8)=2
⑴f(9)= f(10)=3
⑴∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)
⑴ ∴=1_3+2_5+3_2=19
⑵ f(15)=3
⑴f(16)= f(17)= f(18)=y= f(24)=4
⑴f(25)= f(26)= f(27)=y= f(35)=5
⑴∴ f(15)+f(16)+f(17)+y+f(n)
⑴ ∴=3+4_9+5_3=54
⑴따라서 f(x)=5를 만족하는 세 번째 자연수가 n이 므로 주어진 식을 만족하는 자연수 n의 값은 27이다.
08
먼저 조건을 만족하는 x, y의 값을 각각 구한 후 Æ… 가 자 연수가 되게 하는 z의 조건을 구한다.3<'ßn<3.5의 각 변을 제곱하면 9<n<12.25
∴ x=12, y=10
이때 æ≠ =æ≠ =æ≠ =æ≠ 가 자연수 가 되려면 z=5_2_3_k¤ (k는 자연수)의 꼴이어야 한다.
따라서 자연수 z의 값 중에서 가장 큰 세 자리의 수는 5_2_3_5¤ =750
09
‘`~일 확률`’이 p일 때,‘`~이 아닐 확률`’은 1-p임을 이용 한다.모든 경우의 수는 6_6=36
'ßa -'b 가 유리수인 경우는 'ßa , 'b 가 모두 유리수이거 나 'ßa='b인 경우이다.
이를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 8개이다.
이때 'ßa-'b가 유리수일 확률은 ;3•6;=;9@;
Action
2_3_z 5 6z
5 12z
10 xz
y
xz Action y
Action
03
먼저 주어진 부등식을 풀어 x의 값의 범위를 구한다.0.2(x-4)<;3!;x-2에서
;5!;(x-4)<;3!; x-2
양변에 분모의 최소공배수인 15를 곱하면 3(x-4)<5x-30, 3x-12<5x-30 -2x<-18 ∴ x>9
이때 x>0, x-9>0이므로
|x|-"√(x-9)¤ =x-(x-9)
=x-x+9=9
04
주어진 조건을 이용하여 a+b, 2a-b의 부호를 각각 알아 본다.a<0<b이고 |a|>|b|이므로 a<0, 3b>0, a+b<0, 2a-b<0
∴ "ça¤ +|3b|-"√(a+b)¤ +"√(2a-b)¤
=-a+3b+(a+b)-(2a-b)
=-a+3b+a+b-2a+b=-2a+5b
05
'ƒ102+x 와 'ƒ168x 가 모두 자연수가 되게 하는 자연수 x 의 값을 각각 구하여 공통인 수 중에서 가장 작은 수를 찾는다.⁄ 'ƒ102+x가 자연수가 되려면 102+x는 102보다 큰 제곱수이어야 하므로
⁄102+x=121, 144, 169, y
⁄∴ x=19, 42, 67, y
¤ 'ƒ168x="√2‹ _3_7_x가 자연수가 되려면 x=2_3_7_k¤ (k는 자연수)의 꼴이어야 하므로
⁄x=(2_3_7)_1¤, (2_3_7)_2¤ , (2_3_7)_3¤, y
⁄∴ x=42, 168, 378, y
⁄, ¤에 의하여 'ƒ102+x와` 'ƒ168x가 모두 자연수가 되게 하는 가장 작은 자연수 x의 값은 42이다.
06
A-B가 최대가 되려면 A는 최대, B는 최소이어야 한다.조건을 만족하는 c의 값이 최대가 되려면 'ƒ100-a는 최대, 'ƒ100+b는 최소이어야 한다.
'ƒ100-a 가 최대이려면 100-a가 0 또는 100보다 작 은 제곱수 중에서 가장 큰 수이어야 하므로
100-a=81 ∴ a=19
Action Action Action Action
원점으로부터 멀리 떨어질수록 절댓값이 크므로 a<0<b이고
|a|>|b|이면 a<-b<0<b<-a이다.
a -b 0 b -a
Lecture 절댓값의 성질
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∴ ('ßa-'b가 무리수일 확률)
∴=1-('ßa-'b가 유리수일 확률)
∴=1-;9@;
∴=;9&;
10
OBDE의 넓이가 20임을 이용하여 작은 정사각형 하나 의 넓이를 구한다.OBDE의 넓이가 20이고 이것은 작은 정사각형 10 개에 해당하는 넓이이므로 작은 정사각형 하나의 넓이는 20÷10=2
이때 OABC의 넓이는 작은 정사각형 5개에 해당하 는 넓이이므로
2_5=10
따라서 OABC의 한 변의 길이는 '∂10이므로 OP”='∂10
11
직각이등변삼각형 ABC를 수직선 위에서 오른쪽으로 1회전 시킬 때, 점 A가 움직인 경로를 그림으로 나타내어 본다.AC”는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이와 같으므로
AC”='2
직각이등변삼각형 ABC를 수직선 위에서 오른쪽으로 1 회전시킬 때, 점 A는 다음 그림과 같이 움직인다.
따라서 점 A'에 대응하는 수는 7+'2이다.
12
a>0, b>0일 때, a¤ <b¤ 이면 a<b임을 이용한다.a>0, b>0이므로 'ƒa+b >0, 'ßa +'b >0
∴ ('ƒa+b )¤ -('ßa+'b )¤
=(a+b)-(a+2'ßa'b+b)
=a+b-a-2'ßa'b-b
=-2'ßa'b<0
이때 ('ƒa+b )¤ <('ßa+'b )¤ 이므로 'ƒa+b <'ßa +'b
Action
A B
A(5) B(6) C(7) A' B'
C C'
Action Action
부호가 같은 두 실수의 대소 관계를 비교할 때, 두 수를 각각 제곱 하여 비교할 수 있다.
⑴ a>0, b>0이고 a¤ <b¤ 이면 a<b
⑵ a<0, b<0이고 a¤ <b¤ 이면 a>b
Lecture 두 실수의 대소 관계
01
f(n)에 n=4, 5, 6, y을 차례로 대입하여 규칙성을 찾는다.f(n)에 n=4, 5, 6, y을 차례로 대입하면 f(4)="√(4-1)(4-3)√(4+2)(4+√4)+25-4¤
f(4)='ƒ144+25-16=13-16=-3
f(5)="√(5-1)(5-3)√(5+2)(5+√4)+25-5¤
f(4)='ƒ504+25-25=23-25=-2
f(6)="√(6-1)(6-3)√(6+2)(6+√4)+25-6¤
f(4)='ƒ1200+25-36=35-36=-1
⋮
이때 f(n)=n-7이므로 f(232)=232-7=225
따라서 f(232)의 양의 제곱근은 15이다.
02
x의 값의 범위를 x<-1, -1…x<1, xæ1로 나누어 x-1, x+1의 부호를 각각 알아본다.⁄x<-1일 때, x-1<0, x+1<0이므로
⁄"√(x-1)¤ +"√(x+1)¤ =-(x-1)-(x+1)
=-x+1-x-1
=-2x=2
⁄∴ x=-1
⁄그런데 x<-1이므로 조건을 만족하지 않는다.
¤-1…x<1일 때, x-1<0, x+1æ0이므로
⁄"√(x-1)¤ +"√(x+1)¤ =-(x-1)+(x+1)
=-x+1+x+1=2
⁄즉, -1…x<1인 모든 실수 x에 대하여 등식이 성 립한다.
‹xæ1일 때, x-1æ0, x+1>0이므로
⁄"√(x-1)¤ +"√(x+1)¤ =(x-1)+(x+1)
=2x=2
⁄∴ x=1
⁄~‹에 의하여 구하는 x의 값의 범위는 -1…x…1
03
근호 안의 수는 항상 양수이어야 하므로 >0이 고, b가 자연수이므로 150-25a>0이어야 한다.⑴ 근호 안의 수는 항상 양수이어야 하므로
⑴ >0
⑴이때 b는 자연수이므로 150-25a>0
⑴-25a>-150 ∴ a<6
⑴그런데 a는 자연수이므로 a=1, 2, 3, 4, 5 150-25a
b
150-25a Action b
Action Action
최/ 고/ 수/ 준
뛰어넘기
P16~170115 02-1…x…1
03⑴ 1, 2, 3, 4, 5 ⑵ 12개 04172개 055 06A<B<C
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⑵ ⁄ a=1일 때,
⑴ ⁄æ≠ =æ≠
⑴ ⁄ æ≠ =æ≠ =æ≠
⑴ ⁄이것이 자연수가 되어야 하므로
⑴ ⁄b=5, 5‹
⑴¤a=2일 때,
⑴ ⁄æ≠ =æ≠
⑴ ⁄ æ≠ =æ≠ =æ≠
⑴ ⁄이것이 자연수가 되어야 하므로
⑴ ⁄b=1, 2¤ , 5¤ , 2¤ _5¤
⑴‹a=3일 때,
⑴ ⁄æ≠ =æ≠
⑴ ⁄ æ≠ =æ≠ =æ≠
⑴ ⁄이것이 자연수가 되어야 하므로
⑴ ⁄b=3, 3_5¤
⑴›a=4일 때,
⑴ ⁄æ≠ =æ≠
⑴ ⁄ æ≠ =æ≠ =æ≠
⑴ ⁄이것이 자연수가 되어야 하므로
⑴ ⁄b=2, 2_5¤
⑴fia=5일 때,
⑴ ⁄æ≠ =æ≠
⑴ ⁄ æ≠ =æ≠ =æ≠
⑴ ⁄이것이 자연수가 되어야 하므로
⑴ ⁄b=1, 5¤
⑴⁄~fi에 의하여 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는
⑴2+4+2+2+2=12(개)
04
먼저 'ßn, '∂3n, '∂5n이 모두 유리수가 되도록 하는 n의 값 을 각각 구한다.200이하의 자연수 n에 대하여
⁄ 'ßn이 유리수가 되려면 n=p¤ (p는 자연수)의 꼴이 어야 하므로
⁄n=1¤, 2¤ , 3¤ , 4¤ , y, 14¤
¤ '∂3n이 유리수가 되려면 n=3q¤ (q는 자연수)의 꼴 이어야 하므로
⁄n=3_1¤, 3_2¤ , 3_3¤ , y, 3_8¤
Action
5¤
b 25
b
150-25_5 b 150-25a
b
2_5¤
b 50
b
150-25_4 b 150-25a
b
3_5¤
b 75
b
150-25_3 b 150-25a
b
2¤ _5¤
b 100
b
150-25_2 b 150-25a
b
5‹
b 125
b
150-25_1 b 150-25a
b
‹ '∂5n이 유리수가 되려면 n=5r¤ (r는 자연수)의 꼴 이어야 하므로
⁄n=5_1¤, 5_2¤ , 5_3¤ , y, 5_6¤
⁄~‹에서 중복되는 수가 없으므로 'ßn, '∂3n, '∂5n이 모두 무리수가 되게 하는 n의 값의 개수는
200-(14+8+6)=172(개)
05
한 눈금의 길이가 1인 모눈을 그려 AC”, BE”의 길이를 각각 구한다.오른쪽 그림과 같이 한 눈금의 길이가 1인 모 눈을 그리고 AC”, BE”
를 각각 한 변으로 하는 두 정사각형을 그린다.
정사각형 ACEG의 넓 이는` ;2!;_(2_2)=2
∴ AC”='2
이때 점 P에 대응하는 수가 3-'2이므로 점 C에 대응 하는 수는 (3-'2)+'2=3이고, 점 B에 대응하는 수 는 3-1=2이다.
또, 정사각형 BEHI의 넓이는 3_3-4_{;2!;_2_1}=9-4=5
∴ BE”='5
따라서 점 Q에 대응하는 수는 2+'5이므로 a=2+'5
∴ (a-2)¤ =(2+'5-2)¤ =('5)¤ =5
06
a>0, b>0일 때, a¤ <b¤ 이면 a<b임을 이용한다.0<a<1이므로
A=1-a>0, B='ƒ1-a>0, C=1-;2A;>0 A¤ -B¤ =(1-a)¤ -('ƒ1-a)¤
A¤ -B¤=1-2a+a¤ -(1-a) A¤ -B¤=1-2a+a¤ -1+a A¤ -B¤=a¤ -a<0
이때 A¤ <B¤ 이므로 A<B B¤ -C¤ =('ƒ1-a)¤ -{1-;2A;}¤
B¤ -C¤=1-a-{1-a+ } B¤ -C¤=1-a-1+a- B¤ -C¤=- <0 이때 B¤ <C¤ 이므로 B<C
따라서 A<B이고 B<C이므로 A<B<C a¤
4
a¤
4 a¤
4
Action
P(3- )2 B
Q
C D
A F E
H
I G
Action
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최/ 고/ 수/ 준
입문하기
근호를 포함한 식의 계산
2
01
제곱근의 나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꾸어 계산한다.④ ÷ = _ ='4=2
02
m>0, n>0일 때, "çm¤ n=m'ßn임을 이용한다.'∂20=2'5=2'ßa ∴ a=5 5'3='∂75='b ∴ b=75
∴ = ='∂15
03
m>0, n>0일 때, æ– = 임을 이용한다.'ƒ0.12=æ≠;1¡0™0; =æ≠;2£5; = =a'3 ∴ a=;5!;
æ≠;3∞6; = =b'5 ∴ b=;6!;
∴ a-b=;5!;-;6!;=;3§0;-;3∞0;=;3¡0;
04
189를 소인수분해하여 m>0, n>0일 때, "çm¤ n=m'ßn 임을 이용한다.'∂189="√3¤ _3_7=3'3 '7=3ab
05
직사각형 C의 두 변의 길이는 각각 두 정사각형 A, B의 한 변의 길이와 같다.⑴ 정사각형 A의 넓이는` ;2!;_(2_2)=2 …… 20%
정사각형 B의 넓이는` ;2!;_(4_4)=8 …… 20%
이때 두 정사각형 A, B의 한 변의 길이는 각각 '2,
'8(=2'2 )이다. …… 20%
Action Action
'5 6
'3 5
'ßn m n Action m¤
'∂75 '5 'b 'ßa
Action
'7 '3 '∂12
'7 '3 '7 '∂12
'7
Action
P20~25
따라서 직사각형 C의 두 변의 길이는 각각 두 정사각 형 A, B의 한 변의 길이와 같으므로 '2, '8(=2'2)
이다. …… 20%
⑵ '2_2'2=4 …… 20%
05-1
직사각형 C의 두 변의 길이는 각각 두 정사각형 A, B의 한 변의 길이와 같다.두 정사각형 A, B의 넓이가 각각` 48 cm¤ , 3 cm¤ 이므로 한 변의 길이는 각각` 4'3 cm, '3 cm이다.
이때 직사각형 C의 두 변의 길이는 각각 두 정사각형 A, B의 한 변의 길이와 같으므로 4'3 cm, '3 cm이다.
따라서 직사각형 C의 넓이는 4'3_'3=12(cm¤ )
06
분모를 각각 유리화한다.= = =a'6 ∴ a=;2%;
= = = =b'7 ∴ b=;2!;
∴ a+b=;2%;+;2!;=3
07
의 분모를 유리화하면 임을 이용하여 a에 대한 방정식을 세운다.
= =
= =
따라서 '∂5a='∂10이므로 a=2
08
△ABC=;2!;_BC”_AC”=;2!;_AB”_CD”임을 이용한다.△ABC=;2!;_BC”_AC”=;2!;_AB”_CD”이므로
;2!;_'6_2=;2!;_'∂10_CD”
CD”='6
∴ CD”='6_ =
∴ CD”= =2'∂15 5 2'6_'∂10 '∂10_'∂10
2'6 '∂10`
2 '∂10`
'∂10 2
Action
2'∂10 3 2'∂5a
3
10'ßa_'5 3'5_'5 10'ßa
3'5 10'ßa
'∂45
2'∂10 3 10'ßa
'∂45 Action
'7`
2 7_'7 2'7_'7`
7 2'7`
7 '∂28`
5'6`
2 15_'6`
'6 _'6`
15 '6`
Action Action
01④ 02'∂15 03;3¡0; 04① 05⑴ '2, '8(=2'2) ⑵ 4 05-112 cm¤ 063
072 08 094 10
1111-5'5 124'2 1318'3 m
13-1(10'5+2'∂10) cm 146'2-2'3 15-9'2 163+2'3 172 187'5 18-12'3 19⑤ 2012 2113 224 23-4 24-6 25④ 261개 2729.46 283.606 298.944 m
29-156.13 cm 30 3114
329개
3'∂10 10
5'2 8 2'∂15
5
오른쪽 그림과 같이 정사각형의 각 변의 중점을 꼭짓점으로 하는 작은 정사각형을 그릴 때, 작은 정사각형의 넓이는 처음 정사각형의 넓이의 ;2!;
이다.
Lecture 색칠한 정사각형의 넓이
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09
m>0, n>0일 때, "çm¤ n=m'ßn임을 이용하여 근호 안의 수를 가장 작은 자연수로 만든 후 제곱근의 덧셈과 뺄셈을 한다.'∂24 +7'2 +4'6 -'∂50=2'6 +7'2 +4'6 -5'2 '∂45 +7'2 +4'5 -'∂50=2'2+6'6=a'2+b'6 따라서 a=2, b=6이므로
b-a=6-2=4
10
먼저 분모를 유리화한 후 근호 안의 수가 같은 것끼리 모아 서 계산한다.+ -
= + -
= + -
= + -
= + -
= + - =
11
"ça¤ =g 임을 이용하여 근호를 푼다.2'5-5='∂20-'∂25<0이므로
2'5-5<0 …… 30%
6-3'5='∂36-'∂45<0이므로
6-3'5<0 …… 30%
∴ øπ(2'5-5)¤ -øπ(6-3'5)¤
=-(2'5-5)+(6-3'5) =-2'5+5+6-3'5
=11-5'5 …… 40%
12
x, y를 각각 간단히 한 후 x+y에 대입한다.x='2+ ='2+
x='2+ = y=3'2- =3'2- y=3'2- =
∴ x+y= + =4'2
13
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 'ßa임을 이용한다.넓이가 3 m¤ , 12 m¤ , 27 m¤ 인 정사각형 모양의 세 밭의 한 변의 길이는 차례로 '3 m, 2'3 m, 3'3 m이다.
…… 30%
Action
5'2 2 3'2
2 5'2
2 '2
2
1_'2 '2_'2 1
'2 3'2
2 '2
2
1_'2 '2_'2 1
'2
Action
a (aæ0) -a (a<0) Action
5'2 8 '2
8 4'2
8 2'2
8
'2 8 '2
2 '2
4
1_'2 4'2_'2 1_'2
'2_'2 1_'2
2'2_'2 1 4'2 1
'2 1 2'2
1 4'2 3
3'2 1
2'2
234241 '∂32 234243
'1å8 1
'8
Action
Action ∴ (세 밭 전체의 둘레의 길이)
∴=('3+2'3+3'3)_2+3'3_2
∴=6'3_2+6'3
∴=12'3+6'3=18'3(m) …… 70%
13-1
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 'ßa임을 이용한다.정사각형 A의 넓이가 5 cm¤ 이므로 정사각형 B의 넓이는 2_5=10(cm¤ ) 정사각형 C의 넓이는 2_10=20(cm¤ )
따라서 세 정사각형 A, B, C의 한 변의 길이는 차례로 '5 cm, '∂10 cm, 2'5 cm이므로
(도형의 둘레의 길이)
=('5+'∂10+2'5)_2+2'5_2
=(3'5+'∂10)_2+4'5
=6'5+2'∂10+4'5
=10'5+2'∂10(cm)
14
A=2'6-3'2, B=3'3-'6을 '3A+'2B에 대입한 후 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.'3A+'2B='3 (2'6 -3'2 )+'2 (3'3 -'6 ) '3A+'2B=6'2-3'6+3'6-2'3
=6'2-2'3
15
곱셈, 나눗셈을 먼저 한 후 덧셈, 뺄셈을 한다.2'2÷"√(-2)¤ +'∂25_(-'2)‹
=2'2÷2+5_(-2'2)
='2-10'2=-9'2
16
주어진 식을 에 관하여 푼다.'2('8-'6 )+ =6-'3에서 4-2'3+ =6-'3
=2+'3
∴ =3+2'3 '3
'3 '3
Action Action Action
Action
오른쪽 그림에서 세 정사각형 A, B, C의 한 변의 길이를 차례로 a, b, c라고 하면 전체 도형에서
⑴ 윗변의 길이의 합은 a+b+c
⑵ 아랫변의 길이는 a+b+c
⑶ 왼쪽 변의 길이의 합은 a+(b-a)+(c-b)=c
⑷ 오른쪽 변의 길이는 c
A B C
c-b c
c a c
a a b-a b
b
Lecture 도형의 둘레의 길이
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17
(x+y)¤ -(x-y)¤을 간단히 한 후 x, y의 값을 대입한다.(x+y)¤ -(x-y)¤ =(x¤ +2xy+y¤ )-(x¤ -2xy+y¤ ) (x+y)¤ -(x-y)¤=4xy
(x+y)¤ -(x-y)¤=4_ _ (x+y)¤ -(x-y)¤=('5-'3)('5+'3) (x+y)¤ -(x-y)¤=('5)¤ -('3)¤
(x+y)¤ -(x-y)¤=5-3=2
x+y= + ='5
x-y= - =-'3
∴ (x+y)¤ -(x-y)¤ =('5)¤ -(-'3)¤
=5-3=2
18
(사각뿔의 부피)=;3!;_(밑넓이)_(높이)임을 이용한다.(전체 사각뿔의 부피)=;3!;_(2'3_2'3)_2'5 (전체 사각뿔의 부피)=8'5 …… 40%
(작은 사각뿔의 부피)=;3!;_('3_'3)_'5
(작은 사각뿔의 부피)='5 …… 40%
따라서 구하는 바구니의 부피는
8'5-'5=7'5 …… 20%
18-1
밑면의 가로와 세로의 길이, 높이가 차례로 a, b, c인 직육 면체의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)임을 이용한다.(겉넓이)=2(2'2_x+2'2_3'2+x_3'2) (겉넓이)=2(2'2x+12+3'2x)
(겉넓이)=2(12+5'2x)
(겉넓이)=24+10'2x=24+20'6 따라서 10'2x=20'6이므로 x=2'3
19
주어진 분수의 분모를 각각 유리화한다.① = =
② = = '∂15`
10 '3_'5`
2'5_'5`
'3`
2'5`
'6`
3 '2_'3`
'3_'3`
'2`
'3`
Action Action Action
'5+'3 2 '5-'3
2
'5+'3 2 '5-'3
2
다른 풀이
'5+'3 2 '5-'3
2
Action ③ = ='7+'2
④ = =7-4'3
20
곱셈 공식 (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 을 이용하여 x의 분모를 유리화한 후 x¤ -10x+17을 변형한 식에 대입한다.x= = =5-2'5
∴ x¤ -10x+17=(x-5)¤ -8
∴ x¤ -10x+17={(5-2'5)-5}¤ -8
∴ x¤ -10x+17=(-2'5)¤ -8
∴ x¤ -10x+17=20-8=12
21
곱셈 공식 (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 을 이용하여 각 분수의 분모를 유리화한 후 간단히 한다.-
=
=3(3-2'2)-2(3+2'2)
=9-6'2-6-4'2
=3-10'2=a+b'2 따라서 a=3, b=-10이므로 a-b=3-(-10)=13
22
주어진 식을 m+n'3 (m, n은 유리수)의 꼴로 정리한 후 n=0이어야 유리수가 됨을 이용한다.(2-'3)(2'3+a)=4'3+2a-6-a'3
=(2a-6)+(4-a)'3 이것이 유리수가 되려면 4-a=0이어야 하므로 a=4
23
먼저 분모를 유리화한 후 주어진 식을 m+n'2 (m, n은 유 리수)의 꼴로 정리하여 n=0이어야 유리수가 됨을 이용한다.(5-'2)¤ -
=(27-10'2)-
=27-10'2- +4a
=(27+4a)-{10+ }'2
이것이 유리수가 되려면 10+ =0이어야 하므로
=-10 ∴ a=-4 5a
2
5a 2 5a
2 5a'2
2
a(5-4'2)_'2 '2 _'2 a(5-'∂32)
'2
Action Action
3(3-2'2)-2(3+2'2) (3+2'2)(3-2'2)
2 3-2'2 3
3+2'2
Action
'5 ('5-2) ('5+2)('5-2) '5
'5+2
Action
(2-'3)¤
(2+'3)(2-'3) 2-'3`
2+'3`
5('7+'2) ('7-'2)('7+'2) 5
'7-'2`
Lecture 곱셈 공식
⑴ (a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤ , (a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤
⑵ (a+b)(a-b)=a¤ -b¤
⑶ (x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab, (ax+b)(cx+d)=acx¤ +(ad+bc)x+bd
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24
두 무리수가 서로 같을 조건을 이용하여 a, b에 대한 두 방 정식을 세운다.a-1+3'5=2b+2+'ƒ18-9b에서
a-1=2b+2 yy㉠
3'5='ƒ18-9b yy㉡
이어야 한다.
㉡`의 양변을 제곱하면 45=18-9b 9b=-27 ∴ b=-3
b=-3을 ㉠`에 대입하면 a-1=-4 ∴ a=-3
∴ a+b=-3+(-3)=-6
25
주어진 제곱근표를 이용하여 제곱근의 값을 각각 구한다.① '∂3.2=1.789
② 'ƒ3.33=1.825
③ 주어진 제곱근표에서 '∂31의 값은 알 수 없다.
④ '∂322='ƒ3.22_100=10'ƒ3.22
④ '∂322=10_1.794=17.94
⑤ 'ƒ0.3331=æ≠ = 이고 주어진 제곱근 표에서 'ƒ33.31의 값은 알 수 없으므로 'ƒ0.3331의 값 은 구할 수 없다.
26
주어진 수를 a'2 (a는 유리수)의 꼴로 나타내어 본다.a'2(a는 유리수)의 꼴로 나타낼 수 있으면 '2=1.414 임을 이용하여 그 값을 구할 수 있다.
'∂0.5=æ;2!; = = '∂20 =2'5
'ƒ0.02=æ≠;10@0; = '∂18=3'2
따라서 '2=1.414임을 이용하여 그 값을 구할 수 없는 것은 '∂20의 1개이다.
27
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b임을 이용하여 근호 안의 수 를 제곱근표에 있는 수로 변형한다.'∂868="√2¤ _217=2'∂217 …… 40%
'∂868=2"√2.17_100=20'ƒ2.17 …… 40%
'∂868=20_1.473=29.46 …… 20%
28
분모를 유리화한 후 '3=1.732, '5=2.236을 대입한다.- = - =2'5-
- =2_2.236- =4.472-0.866 - =3.606
1.732 2
'3`
2 3_'3
2'3_'3`
10_'5 '5_'5`
3`
2'3`
10 '5`
Action Action
'2 10
'2 2 1_'2 '2 _'2`
Action
'ƒ33.31 10 33.31
100
Action
Action
29
빈 땅의 한 변의 길이를 '5를 이용하여 나타내어 본다.넓이가`` 80 m¤ 인 정사각형 모양의 빈 땅의 한 변의 길이는 '∂80="√4¤ _5=4'5 …… 50%
'∂80=4_2.236=8.944(m) …… 50%
29-1
정사각형의 한 변의 길이를 '∂3.5를 이용하여 나타내어 본다.넓이가 3150 cm¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는 'ƒ3150 ="√3¤ _350=3'∂350
=3'ƒ3.5_100=30'∂3.5
=30_1.871=56.13(cm)
30
3<'∂10<4임을 이용하여 먼저 '∂10의 정수 부분을 구한다.3<'∂10<4이므로 '∂10의 정수 부분은 3, 소수 부분은 '∂10 -3이다.
따라서 a=3, b='∂10-3이므로
= =
= =
31
먼저 a의 값을 구한 후 그 값을 9-'ßa에 대입하여 b의 값을 구한다.3<'∂13<4이므로 8<5+'∂13<9 이때 5+'∂13의 정수 부분은 8이므로 a=8 따라서 9-'8에서 2<'8<3이므로 -3<-'8<-2 ∴ 6<9-'8<7 이때 9-'8의 정수 부분은 6이므로 b=6
∴ a+b=8+6=14
32
조건에 알맞은 부등식을 세운다.'ßx 의 정수 부분이 4이므로 4…'ßx<5
각 변을 제곱하면 16…x<25
따라서 조건을 만족하는 자연수 x의 값은 16, 17, 18, y, 24의 9개이다.
Action Action
3'∂10`
10 3_'∂10
'∂10 _'∂10`
3 '∂10`
3 ('∂10-3)+3 a
b+3
Action Action Action
⑴ a<b이면 a+c<b+c, a-c<b-c
⑵ a<b, c>0이면 ac<bc, <
⑶ a<b, c<0이면 ac>bc, >b c a c
b c a c
Lecture 부등식의 성질
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따라서 직사각형의 둘레의 길이는 2(2k+3k)=2_5k=10k 2(2k+3k)=10_ =25'2
05
m>0, n>0일 때, "çm¤ n=m'ßn임을 이용하여 근호 안의 수를 가장 작은 자연수로 만든 후 근호 안의 수가 같은 것끼리 계산한다.aæ≠ +bæ≠ =æ≠a¤ _ +æ≠b¤ _ aæ≠ +bæ≠ ='ƒ8ab+'ƒ2ab aæ≠ +bæ≠ =2'ƒ2ab+'ƒ2ab aæ≠ +bæ≠ =3'ƒ2ab
aæ≠ +bæ≠ =3'ƒ2_25=15'2
06
주어진 약속에 따라 식을 세워 간단히 한다.('2-1)≠ =('2-1)_ -'2('2-1)+1 ('2-1)≠ =1- -2+'2+1
('2-1)≠ =- +'2
('2-1)≠ =- +'2
('2-1)≠ =- +'2=
07
먼저 연립방정식을 풀어서 a, b의 값을 구한다.g 에서
㉠_'5-㉡_'3을 하면 8y='5-'3 ∴ y=
y= 을 ㉠`에 대입하면
'3x+ =1, '3x=
∴ x= =
∴ x=
따라서 a= , b= 이므로
a+b= , a-b=
∴ = ÷ = _
∴ = = = '∂15
5 '3_'5 '5_'5 '3
'5
4 '5 '3
4 '5
4 '3
4 a-b a+b
'3 4 '5
4
'5-'3 8 '3+'5
8 '3+'5
8
(3+'∂15)_'3 8'3_'3 3+'∂15
8'3
3+'∂15 8 '5('5-'3 )
8 '5-'3
8
'5-'3 8 yy㉠ yy㉡ '3x+'5y=1
'5x-'3y=1
Action
'2 2 '2
2 1_'2 '2_'2
1 '2
1 '2
1 '2 1
'2
Action
2a b 8b
a 2a
b 8b
a
Action
5'2
`2
01
m>0, n>0일 때, "çm¤ n=m'ßn임을 이용하여 근호 안의 수가 2 또는 5만 남도록 변형한다.'ƒ0.02+'ƒ50000=Æ…;10@0; +'ƒ5_10000 'ƒ0.02+'ƒ50000= +100'5=;1Å0;+100b
02
곱셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 주어진 방정식의 좌 변을 간단히 한다.'2 _'3_'ßa _'8 _'∂3a =36에서 '2 _'3_'ßa _2'2_'3_'ßa =36 12a=36 ∴ a=3
03
주어진 등식을 한 문자에 관하여 푼 후æ≠- 에 대 입한다.⑴ =2에서 2x+5y=2(3x+2y)
⑴2x+5y=6x+4y ∴ y=4x
⑵ y=4x를æ≠- 에 대입하면
⑴æ≠- =æ≠-
⑴æ≠- =æ≠- =æ≠
⑴æ≠- =æ–;2#; = =
04
직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 2k, 3k로 놓고 정사 각형의 넓이가 50임을 이용하여 k에 대한 식을 세운다.직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 2k, 3k라고 하 면 정사각형의 한 변의 길이는 2k이므로
(2k)¤ =50, 4k¤ =50, k¤ =;;™2∞;;
∴ k= = =5'2
`2 5_'2
`'2_'2`
5 '2`
Action
'6`
2 '3_'2`
'2_'2`
33x¤
22x¤
x¤ +32x¤
6x¤ -28x¤
x¤ +2_(4x)¤
6x¤ -7x_4x x¤ +2y¤
6x¤ -7xy x¤ +2y¤
6x¤ -7xy 2x+5y
3x+2y
x¤ +2y¤
6x¤ -7xy Action
Action
'2 10
Action
최/ 고/ 수/ 준
완성하기
P26~2901② 023 03⑴ y=4x ⑵
0425'2 0515'2 06 07
08-5+3'3 09(2+'2)p 105 1110+4'6 122 131.096 1427 154a-2 16 '33
'∂15 5 '2
2
'6 2
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