08. 여러 가지 적분법
125 0948
2x+5=t로 놓으면 2= dtdx 이므로:`(2x+5)Ý``dx =:`tÝ`_;2!;dt=;2!;:`tÝ``dt
=;1Á0;tÞ`+C
=;1Á0;(2x+5)Þ`+C
따라서 a=10, b=5이므로 ab=50 답 50
0951
4-3xÛ`=t로 놓으면 -6x= dtdx 이므로:` 2x"Ã4-3xÛ`dx =:` 1't _{-;3!;}dt=-;3!;:`t-;2!;`dt
=-;3@;'t+C=-;3@;"Ã4-3xÛ`+C
∴ a=-;3@; 답 ①
0946
`f(x) =:` cosÜ``x-2`sinÜ``x+2`sin`x-1cosÛ``x dx=:`cosÜ``x-2`sin`x(sinÛ``x-1)-1
cosÛ``x dx
=:`(cos`x+2`sin`x-secÛ``x)dx
=sin`x-2`cos`x-tan`x+C f(0)=2이므로 -2+C=2 ∴ C=4
따라서f(x)=sin`x-2`cos`x-tan`x+4이므로
f(p)=2+4=6 답 ④
← sinÛ``x-1
=-cosÛ``x
0952
xÛ`-x+1=t로 놓으면 2x-1= dtdx 이므로:`(2x-1)Ü`"ÃxÛ`-x+1`dx =:`Ü`'t`dt=:`t;3!;`dt
=;4#;t;3$;+C
=;4#;Ü"Ã(xÛ`-x+1)Ý`+C
답 ④
0949
xÛ`+2x-1=t로 놓으면 2x+2= dtdx 이므로f(x) =: (x+1)(xÛ`+2x-1)Ü`dx
=:`tÜ`_;2!;dt=;8!;tÝ`+C
=;8!;(xÛ`+2x-1)Ý`+C
f(0)=1이므로 ;8!;+C=1 ∴ C=;8&;
따라서f(x)=;8!;(xÛ`+2x-1)Ý`+;8&;이므로
`f(1)=;;Á8¤;;+;8&;=;;ª8£;; 답
;;ª8£;;
0953
'Äx+2=t로 놓으면 x+2=tÛ`즉, x=tÛ`-2에서 dxdt =2t이므로
f(x) =:` x'Äx+2dx=:` tÛ`-2t _2t`dt
=2:`(tÛ`-2)dt=;3@;tÜ`-4t+C
=;3@;(x+2)'Äx+2-4'Äx+2+C
=;3@;(x-4)'Äx+2+C
0950
ax-2=t로 놓으면 a= dtdx 이므로f(x) =:`(ax-2)¡``dx=:`t¡`_;a!;dt
=;9Áa;tá`+C=;9Áa;(ax-2)á`+C
126
정답과 풀이0955
xÛ`+3=t로 놓으면 2x= dtdx 이므로:`x_4xÛ`+3`dx =:`4t_;2!;dt=;2!;_ 4ln`4 +C t
= 44`ln`2 +CxÛ`+3 따라서 a=2, b=3이므로
a+b=5 답 5
0956
`ex+1=t로 놓으면 ex= dtdx 이므로f(x) =:f'(x)dx=: 4ex(ex+1)Ü``dx
=4: tÜ``dt=tÝ`+C=(ex+1)Ý`+C f(0)=16이므로 16+C=16 ∴ C=0 따라서f(x)=(ex+1)Ý`이므로
f(ln`2)=(eln`2+1)Ý`=3Ý`=81 답 81
0954
ex+3=t로 놓으면 ex= dtdx 이므로f(x) =:` ex
"Ãex+3dx=:` 1't`dt=2't+C
=2"Ãex+3+C
`f(0)=1이므로 4+C=1 ∴ C=-3 따라서f(x)=2"Ãex+3-3이므로
`f(ln`6)=2"Ãeln`6+3-3=6-3=3 답 ③
0957
조건 ㈎에서 limh`Ú0`f(x+h)-f(x-h) h
=limh`Ú0 `f(x+h)-f(x)-{f(x-h)-f(x)}
h
=limh`Ú0 `f(x+h)-f(x)
h +limh`Ú0 `f(x-h)-f(x) -h
=2f'(x)
즉, 2f'(x)=4xexÛ`이므로f'(x)=2xexÛ`
∴ `f(x)=:`f'(x)dx=:`2xexÛ``dx xÛ`=t로 놓으면 2x= dtdx 이므로
f(x)=:`2xexÛ``dx=:`et`dt=et+C=exÛ`+C 곡선 y=f(x)가 점 (4, 0)을 지나므로 f(4)=C=0
따라서f(x)=;3@;(x-4)'Äx+2이므로
f(2)=;3@;_(-2)_2=-;3*; 답 ②
함수f(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로f(x)는 실 수 전체의 집합에서 연속이다. 즉, 함수f(x)는 x=1에서 연속 이므로
`f(1)=lim
x`Ú1`f(x) 조건 ㈏에서 lim
x`Ú1`f(x)=2e이므로f(1)=2e e+C=2e ∴ C=e
따라서f(x)=exÛ`+e이므로
`f(-1)=e+e=2e 답 ①
0958
ln`x=t로 놓으면 ;[!;= dtdx 이므로f(x) =:f'(x)dx=:`(ln`x)Û``
x dx=:`tÛ``dt
=;3!;tÜ`+C=;3!;(ln`x)Ü`+C f(e)=;3$;이므로 ;3!;+C=;3$; ∴ C=1
∴f(x)=;3!;(ln`x)Ü`+1 답 ②
0959
ln`x+7=t로 놓으면 ;[!;= dtdx 이므로 f(x) =:` 1x'Äln`x+7dx=:` 1't`dt
=2't+C=2'Äln`x+7+C
`f(eÛ`)=4이므로 6+C=4 ∴ C=-2
따라서f(x)=2'Äln`x+7-2이므로
`f{ 1eÜ` }=2®Éln` 1eÜ`+7-2=4-2=2
답 2
단계 채점요소 배점
ln`x+7=t로 놓고 f(x)를 적분상수를 사용하여 나타내기50 %
적분상수 구하기20 %
f
{1
eÜ` }
의 값 구하기30 %
0960
log`x=t로 놓으면 1x`ln`10 = dt dx 이므로 F(x) =:`F'(x)`dx=:`log`x
x `dx=:`t`ln`10`dt
=ln`10
2 tÛ`+C= ln`102 (log`x)Û`+C F(1)=0이므로 C=0
따라서 F(x)=ln`10
2 (log`x)Û`이므로 F(10)=ln`10
2 답
ln`10 2
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 126 19. 2. 27. 오후 5:00
08. 여러 가지 적분법
127 0962
:`(sin`x-1)Û``dx=:`(sinÛ``x-2`sin`x+1)dx
=:`{ 1-cos`2x2 -2`sin`x+1}dx
=:`{-;2!;`cos`2x-2`sin`x+;2#;}dx
=-;4!;`sin`2x+2`cos`x+;2#;x+C 따라서 a=-;4!;, b=2이므로
ab=-;2!; 답 -
;2!;
참고
:`cos`2x`dx에서 2x=t로 놓으면 2= dt
dx이므로 :`cos`2x`dx=:`cos`t_;2!;dt=;2!;`sin`t+C=;2!;`sin`2x+C
0966
1-cos`x=t로 놓으면 sin`x= dtdx 이므로f(x) =:`(1-cos`x)Ü``sin`x`dx
=:`tÜ``dt=;4!;tÝ`+C
=;4!;(1-cos`x)Ý`+C
0963
f(x) =:`(sinÛ``x+sin`3x)dx=:`{ 1-cos`2x2 +sin`3x}dx
=;2!;x-;4!;`sin`2x-;3!;`cos`3x+C
`f(0)=1이므로 -;3!;+C=1 ∴ C=;3$;
따라서f(x)=;2!;x-;4!;`sin`2x-;3!;`cos`3x+;3$;이므로
`f(2p)=p-;3!;+;3$;=p+1 답 p+1
0964
f'(x)=0에서 sin`2x-cos`2x=0 sin`2x=cos`2x, tan`2x=1∴ 2x= p4 또는 2x=;4%;p (∵ 0<2x<2p)
0965
조건 ㈏에서 x Ú` p6 일 때 (분모) Ú`0이고 극한값이 존 재하므로 (분자) Ú`0이다.즉, lim
x`Ú p6
`f(x)=0이므로f{ p6 }=0
∴ lim
x`Ú p6
`f(x) x- p6 =lim
x`Ú p6
`f(x)-f { p6 }
x- p6 =f'{ p6 }=a-1 조건 ㈎에서f'{ p6 }=a`cos`;3Ò;=;2!;a이므로
;2!;a=a-1 ∴ a=2 즉,f'(x)=2`cos`2x이므로
`f(x)=:`f'(x)dx=:`2`cos`2x`dx=sin`2x+C
`f{ p6 }=0이므로 '3
2 +C=0 ∴ C=-'3 2 따라서f(x)=sin`2x- '3
2 이므로 af{ p2 }=2_{-'3
2 }=-'3 답 -
'3
0961
F(x)=xf(x)-x`ln`x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)-ln`x-1xf'(x)=ln`x+1 ∴f'(x)=ln`x+1 x ln`x+1=t로 놓으면 ;[!;= dtdx 이므로
f(x) =:f'(x)dx=:` ln`x+1x dx=:`t`dt
=;2!;tÛ`+C=;2!;(ln`x+1)Û`+C f(e)=2이므로 2+C=2 ∴ C=0 따라서f(x)=;2!;(ln`x+1)Û`이므로
f(1)=;2!; 답 ;2!;
∴ x= p8 또는 x=;8%;p
x 0 … p
8 … ;8%; p … p
f'(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
따라서 함수 f(x)는 x= p8 에서 극솟값을 갖고, x=;8%;p에서 극댓값을 갖는다.
`f(x) =:`f'(x)dx=:`(sin`2x-cos`2x)dx
=-;2!;`cos`2x-;2!;`sin`2x+C 이고 극솟값이 '2
2 이므로f{p 8 }='2
2 - '2
4 -'2
4 +C='2
2 ∴ C='2
따라서f(x)=-;2!;`cos`2x-;2!;`sin`2x+'2이므로 극댓값은
`f{;8%;p}= '2 4 +'2
4 +'2=
3'2
2 답
3 '2 2
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 127 19. 2. 27. 오후 5:00
128
정답과 풀이0967
cos`x=t로 놓으면 -sin`x= dtdx 이므로:`sin`x`cosÛ``x`dx =:`tÛ`_(-1)dt=-;3!;tÜ`+C
=-;3!;`cosÜ``x+C 답 ⑤
0968
tan`x=t로 놓으면 secÛ``x= dtdx이므로f(x) =:`f'(x)dx=:`secÛ``x`tan`x`dx=:`t`dt
=;2!;tÛ`+C=;2!;`tanÛ``x+C
`f{ p4 }=-;2!;이므로 ;2!;+C=-;2!; ∴ C=-1 따라서f(x)=;2!;`tanÛ``x-1이므로
`f{ p6 }=;2!;_{ 1
'3}2-1=-;6%; 답 -
;6%;
`f(0)=0이므로 C=0
따라서f(x)=;4!;(1-cos`x)Ý`이고 0ÉxÉ2p에서 -1Écos`xÉ1이므로 함수f(x)의 최댓값은
;4!;{1-(-1)}Ý`=4 답 4
0969
f(x) =:`sinÜ``x`dx=:`sinÛ``x_sin`x`dx=:`(1-cosÛ``x)sin`x`dx cos`x=t로 놓으면 -sin`x= dtdx 이므로
f(x) =:`(1-cosÛ``x)sin`x`dx=:`(1-tÛ`)_(-1)dt
=:`(tÛ`-1)dt=;3!;tÜ`-t+C
=;3!;`cosÜ``x-cos`x+C
`f(0)=0이므로 -;3@;+C=0 ∴ C=;3@;
따라서f(x)=;3!;`cosÜ``x-cos`x+;3@;이므로
`f{ p3 } =;3!;_{;2!;}3-;2!;+;3@;=;2°4; 답
;2°4;
0970
(xÜ`+1)'=3xÛ`이므로 f(x) =:` 3xÛ``xÜ`+1dx=:`(xÜ`+1)'xÜ`+1 dx
=ln|xÜ`+1|+C
`f(0)=1이므로 C=1
따라서f(x)=ln|xÜ`+1|+1이므로
`f(1)=ln`2+1 답 ②
0974
f'(x)=3f(x)에서 f'(x)f(x) =3 (∵f(x)>0) 즉, :`f'(x)
f(x) dx =:`3`dx이므로
ln`f(x)=3x+C (∵f(x)>0) ∴f(x)=e3x+C f'(x)=3e3x+C에서f'(0)=3이므로
3eC=3 ∴ C=0
따라서f(x)=e3x이므로f(1)=eÜ` 답 ④
0972
(3ex+1)'=3ex이므로F(x) =:`f(x)dx=:` e3ex+1x dx
=;3!;:`(3ex+1)'
3ex+1 dx=;3!;`ln|3ex+1|+C
=;3!;`ln(3ex+1)+C (∵ 3ex+1>0)
∴ F(ln`5)-F(0) ={;3!;`ln`16+C}-{;3!;`ln`4+C}
=;3$;`ln`2-;3@;`ln`2=;3@;`ln`2
답 ②
0973
(x+cos`x)'=1-sin`x이므로`f(x) =:` 1-sin`x x+cos`x dx=:`
(x+cos`x)'
x+cos`x dx
=ln|x+cos`x|+C
`f(0)=0이므로 C=0
따라서f(x)=ln|x+cos`x|이므로
`f{ p2 }=ln`;2Ò; 답 ln`;2Ò;
0971
(xÛ`+4x+5)'=2x+4이므로`f(x) =: f'(x)dx=:` x+2 xÛ`+4x+5dx
=;2!;:`(xÛ`+4x+5)'
xÛ`+4x+5 dx
=;2!;`ln|xÛ`+4x+5|+C=;2!;`ln(xÛ`+4x+5)+C
(∵ xÛ`+4x+5=(x+2)Û`+1>0)
`f(-2)=0이므로 C=0
∴f(x)=;2!;`ln(xÛ`+4x+5)
답f(x)=
;2!;`ln(xÛ`+4x+5)
0975
f(x) =:`f'(x)dx=:` 2xÛ`+x+2x-1 dx=:`{2x+3+ 5x-1 }dx
=xÛ`+3x+5`ln|x-1|+C
`f(0)=0이므로 C=0
따라서f(x)=xÛ`+3x+5`ln|x-1|이므로
f(2)=4+6=10 답 ⑤
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 128 19. 2. 27. 오후 5:00
08. 여러 가지 적분법
129 0977
x+5xÛ`+x-2= x+5
(x+2)(x-1)= Ax+2 + B x-1 라 하면
x+5
xÛ`+x-2=(A+B)x-A+2B (x+2)(x-1) 위의 식은 x에 대한 항등식이므로 A+B=1, -A+2B=5 위의 두 식을 연립하여 풀면 A=-1, B=2
∴ :` x+5xÛ`+x-2dx =:`{ 2x-1 - 1
x+2 }`dx
=2`ln|x-1|-ln|x+2|+C
=ln
|
(x-1)Û``x+2|
+C따라서 a=2, b=-1이므로 a+b=1 답 ②
0978
:` 1x(x+3)dx =:`;3!;{;[!;- 1x+3 }dx
=;3!;(ln|x|-ln|x+3|)+C
=;3!;`ln| xx+3 |+C 답 ④
0980
u(x)=x-2, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=ex∴f(x) =:`(x-2)ex`dx=(x-2)ex-:`ex`dx
=(x-2)ex-ex+C=(x-3)ex+C
`f(0)=-3이므로 -3+C=-3 ∴ C=0 따라서f(x)=(x-3)ex이므로
`f(5)=2eÞ` 답 2eÞ`
0979
x+2xÛ`+2x-3 = x+2
(x+3)(x-1)= Ax+3 + B x-1 라
하면
x+2
xÛ`+2x-3=(A+B)x+(3B-A) (x+3)(x-1) 위의 식은 x에 대한 항등식이므로 A+B=1, 3B-A=2 위의 두 식을 연립하여 풀면 A=;4!;, B=;4#;
0976
f(x) =:` 4-xx+2 dx=:`{-1+ 6x+2 }dx
=-x+6`ln|x+2|+C
`f(-1)=0이므로 1+C=0 ∴ C=-1 따라서f(x)=-x+6`ln|x+2|-1이므로
`f(0)=6`ln`2-1
답 6`ln`2-1
단계 채점요소 배점
부정적분 구하기40 %
f(x) 구하기 40 %
f(0)의 값 구하기 20 %
0981
u(x)=ln(x-1), v'(x)=1로 놓으면 u'(x)= 1x-1 , v(x)=x∴ :`ln(x-1)dx =x`ln(x-1)-:` xx-1 dx
=x`ln(x-1)-:`{1+ 1x-1 }dx
=x`ln(x-1)-x-ln(x-1)+C
=(x-1)ln(x-1)-x+C 따라서f(x)=x-1이므로
`f(2020)=2019 답 ②
0982
u(x)=x, v'(x)=cos`2x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=;2!;`sin`2x∴f(x) =:`x`cos`2x`dx
=x_;2!;`sin`2x-: ;2!;`sin`2x`dx
=;2!;x`sin`2x+;4!;`cos`2x+C
`f(0)=;4%;이므로 ;4!;+C=;4%; ∴ C=1 따라서f(x)=;2!;x`sin`2x+;4!;`cos`2x+1이므로
∴f(x) =:` x+2
xÛ`+2x-3dx
=:`{;4!;_ 1x+3 +;4#;_ 1
x-1 }dx
=;4!;`ln|x+3|+;4#;`ln|x-1|+C f(0)=0이므로 ;4!;`ln`3+C=0 ∴ C=-;4!;`ln`3 따라서f(x)=;4!;`ln|x+3|+;4#;`ln|x-1|-;4!;`ln`3이므로 f(2)=;4!;`ln`5-;4!;`ln`3=;4!;`ln`;3%;
∴ 3e4f(2)=3eln`;3%;=3_;3%;=5 답 5
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130
정답과 풀이0983
조건 ㈎에서 limh`Ú0`f(x)-f(x-2h)
h =limh`Ú0 `f(x-2h)-f(x)
-2h _2
=2f'(x)=ln`x 즉,f'(x)=;2!;`ln`x이므로
f(x) =:`f'(x)dx=;2!;:`ln`x`dx u(x)=ln`x, v'(x)=1로 놓으면 u'(x)=;[!;, v(x)=x
∴f(x) =;2!;{x`ln`x-:`;[!;_x`dx}
=;2!;x`ln`x-;2!;x+C
조건 ㈏에서f(1)=1이므로 -;2!;+C=1 ∴ C=;2#;
따라서 함수f(x)의 상수항은 ;2#;이다. 답
;2#;
`f{ p4 } =p
8 _sin` p2 +;4!;`cos` p2 +1
= p8 +1
답
p
8 +1
단계 채점요소 배점
부정적분 구하기40 %
f(x) 구하기 40 %
f
{p4 }의 값 구하기 20 %
㉡을 ㉠에 대입하면
`f(x) =;2!;xÛ`(ln`x)Û`-;2!;xÛ``ln`x+;4!;xÛ`+C
`f(1)=-1이므로 ;4!;+C=-1 ∴ C=-;4%;
따라서f(x)=;2!;xÛ`(ln`x)Û`-;2!;xÛ``ln`x+;4!;xÛ`-;4%;이므로 f(e) =;2!;eÛ`-;2!;eÛ`+;4!;eÛ`-;4%;
=;4!;(eÛ`-5) 답 ②
0985
u(x)=xÛ`-2x, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=2x-2, v(x)=ex∴ :`(xÛ`-2x)ex`dx
=(xÛ`-2x)ex-:`(2x-2)ex`dx yy`㉠
:`(2x-2)ex`dx에서 p(x)=2x-2, q'(x)=ex으로 놓으면 p'(x)=2, q(x)=ex
∴ :`(2x-2)ex`dx =(2x-2)ex-:`2ex`dx
=(2x-2)ex-2ex+CÁ yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
:`(xÛ`-2x)ex`dx =(xÛ`-2x)ex-(2x-2)ex+2ex+C
=(xÛ`-4x+4)ex+C
따라서f(x)=xÛ`-4x+4이므로 방정식f(x)=0, 즉 xÛ`-4x+4=0의 두 실근의 합은 근과 계수의 관계에 의하여
4이다. 답 4
0986
u(x)=xÛ``, v'(x)=sin`x로 놓으면 u'(x)=2x, v(x)=-cos`x∴f(x) =:`xÛ``sin`x`dx
=xÛ`(-cos`x)-:`2x(-cos`x)dx
=-xÛ``cos`x+2:`x`cos`x`dx yy`㉠
:`x`cos`x`dx에서 p(x)=x, q'(x)=cos`x로 놓으면 p'(x)=1, q(x)=sin`x
∴ :`x`cos`x`dx =x`sin`x-:`sin`x`dx
=x`sin`x+cos`x+CÁ yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
f(x) =-xÛ``cos`x+2(x`sin`x+cos`x+CÁ)
=(2-xÛ`)cos`x+2x`sin`x+C f{ p2 }=p이므로 p+C=p ∴ C=0
0984
u(x)=(ln`x)Û``, v'(x)=x로 놓으면u'(x)= 2`ln`x
x , v(x)=;2!;xÛ``
∴f(x) =:`x(ln`x)Û``dx
=;2!;xÛ`(ln`x)Û`-:`x`ln`x`dx yy`㉠
:`x`ln`x`dx에서 p(x)=ln`x, q'(x)=x로 놓으면 p'(x)=;[!;, q(x)=;2!;xÛ``
∴ :`x`ln`x`dx =;2!;xÛ``ln`x-:`;2!;x`dx
=;2!;xÛ``ln`x-;4!;xÛ`+CÁ yy`㉡
본문 138 쪽
유형
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 130 19. 2. 27. 오후 5:00
08. 여러 가지 적분법
131 0988
xÛ`+k=t로 놓으면 2x= dtdx이므로f(x) =:`f'(x)dx=:`xexÛ`+k`dx=:`et_;2!;dt
=;2!;et+C=;2!;exÛ`+k+C
곡선 y=f(x)가 두 점 P(0, m), Q(1, n)을 지나므로 f(0)=;2!;ek+C=m,f(1)=;2!;e1+k+C=n
∴ (직선 PQ의 기울기) = n-m1-0
={;2!;e1+k+C}-{;2!;ek+C}
=ek(e-1) 2
즉, ek(e-1)
2 = e-1
2eÞ` 이므로 k=-5
답 -5
단계 채점요소 배점
f(x)를 적분상수를 사용하여 나타내기 40%
직선 PQ의 기울기 구하기40%
k의 값 구하기 20%
0987
f'(x)=(x+2)'Äx+1이므로 f(x)=:`f'(x)dx=:`(x+2)'Äx+1`dx 'Äx+1=t로 놓으면 x+1=tÛ`이므로 dxdt =2t∴f(x) =:`(x+2)'Äx+1`dx
=:`(tÛ`+1)t_2t`dt
=2:`(tÝ`+tÛ`)dt
=;5@;tÞ`+;3@;tÜ`+C
=;5@;('Äx+1)Þ`+;3@;('Äx+1)Ü`+C 곡선 y=f(x)가 점 (0, 1)을 지나므로 f(0)=;5@;+;3@;+C=1 ∴ C=-;1Á5;
따라서f(x)=;5@;('Äx+1)Þ`+;3@;('Äx+1)Ü`-;1Á5;이므로
f(-1)=-;1Á5; 답 ③
따라서f(x)=(2-xÛ`)cos`x+2x`sin`x이므로
f(p)=(2-pÛ`)_(-1)=pÛ`-2 답 ①
0989
F(x)=xf(x)-xÛ``sin`x이고 F(p)=p이므로pf(p)=p ∴f(p)=1 yy`㉠
F(x)=xf(x)-xÛ``sin`x의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)-2x`sin`x-xÛ``cos`x
xf'(x)=2x`sin`x+xÛ``cos`x
∴f'(x)=2`sin`x+x`cos`x (∵ x>0)
∴f(x) =:`f'(x)dx
=:`(2`sin`x+x`cos`x)dx
=-2`cos`x+:`x`cos`x`dx yy`㉡
:`x`cos`x`dx에서 u(x)=x, v'(x)=cos`x로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=sin`x
∴ :`x`cos`x`dx =x`sin`x-:`sin`x`dx
=x`sin`x+cos`x+C yy`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
f(x) =-2`cos`x+x`sin`x+cos`x+C
=x`sin`x-cos`x+C
㉠에서f(p)=1이므로 1+C=1 ∴ C=0 따라서f(x)=x`sin`x-cos`x이므로
f{;2Ò;}=;2Ò; 답 ;2Ò;
0991
ddx:`f(x)dx=2x+e에서 f(x)=2x+e
∴ :`f(x)dx=:`(2x+e)dx= 2ln`2 +ex+C x 답 ④
0990
f(x) =:` 3'Äx+1+'§x`dx
=:` 3('Äx+1-'§x)
('Äx+1+'§x)('Äx+1-'§x)dx
=:`3('Äx+1-'§x)dx
=3[;3@;(x+1);2#;-;3@;x;2#;]+C
=2(x+1)'Äx+1-2x'§x+C f(0)=2이므로 2+C=2 ∴ C=0 따라서f(x)=2(x+1)'Äx+1-2x'§x이므로
f(1)=4'2-2 답 ①
본문 139~141 쪽
꼭
나오는 문제시험에
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 131 19. 2. 27. 오후 5:00
132
정답과 풀이0992
`f(x)=1-cos`x+cosÛ``x-cosÜ``x+`y는 첫째항이 1, 공비가 -cos`x인 등비급수의 합이다.0<x<p에서 -1<-cos`x<1이므로 f(x) = 1
1-(-cos`x)= 1
1+cos`x
= 1-cos`x
(1+cos`x)(1-cos`x)
= 1-cos`x
1-cosÛ``x= 1-cos`x
sinÛ``x
= 1
sinÛ``x- 1sin`x _cos`x
sin`x
=cscÛ``x-csc`x`cot`x
∴ :`f(x)dx =:`(cscÛ``x-csc`x`cot`x)dx
=-cot`x+csc`x+C 답 ②
0993
ㄱ. :` x+1xÛ`` dx =:`{;[!;+ 1xÛ`` }dx=ln|x|-;[!;+C ㄴ. :`(ex-1)dx=ex-x+C
ㄷ. :` 1-cosÛ``xcosÛ``x dx =:`{ 1cosÛ``x-1}dx
=:`(secÛ``x-1)dx
=tan`x-x+C
따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. 답 ③
따라서f(x)=2"Ãex+8-5이므로
f(ln`8) =2'Ä8+8-5=8-5=3 답 ③
0995
ex+8=t로 놓으면 ex= dtdx 이므로f(x) =:` e"Ãex+8`x dx=:` 1't`dt=2't+C
=2"Ãex+8+C
f(0)=1이므로 6+C=1 ∴ C=-5
0994
xÛ`-1=t로 놓으면 2x= dtdx 이므로f(x) =: f'(x)dx=: x(xÛ`-1)Ý``dx
=:`tÝ`_;2!;`dt=;2!;:`tÝ``dt
=;2!;_;5!;tÞ`+C=;1Á0;tÞ`+C
=;1Á0;(xÛ`-1)Þ`+C f(1)=0이므로 C=0
따라서f(x)=;1Á0;(xÛ`-1)Þ`이므로
f(0)=-;1Á0; 답 ②
0996
sin`x=t로 놓으면 cos`x= dtdx 이므로f(x) =:`cos`x(1+sin`x)
sinÛ``x dx
=:` 1+ttÛ` dt=:`{ 1tÛ`+;t!;}`dt
=-;t!;+ln|t|+C
=- 1sin`x +ln(sin`x)+C
(∵ 0<x<p에서 sin`x>0) f{;2Ò;}=1이므로 -1+C=1 ∴ C=2
따라서f(x)=- 1sin`x +ln(sin`x)+2이므로
f{;6Ò;}=-2+ln`;2!;+2=-ln`2 답 -ln`2
0997
{T(t)-20}'=T'(t)이므로 :` T'(t)T(t)-20dt=ln|T(t)-20|+CÁ=kt+C T(0)=100이므로 C-CÁ=Cª라 하면 t=0일 때
ln|100-20|=Cª ∴ Cª=ln`80 yy ㉠ T(3)=60이므로 t=3일 때
ln|60-20|=3k+Cª ln`40=3k+ln`80 (∵ ㉠) 3k =ln`40-ln`80=ln`;2!;=-ln`2
∴ k=-ln`2
3 답 ①
0998
2(2x-1)(2x+1)= A2x-1 + B
2x+1 라 하면 2
(2x-1)(2x+1)=(2A+2B)x+A-B (2x-1)(2x+1) 위의 식은 x에 대한 항등식이므로
2A+2B=0, A-B=2 위의 두 식을 연립하여 풀면 A=1, B=-1
∴ :` 2
(2x-1)(2x+1)dx
=:`{ 12x-1 - 1 2x+1 }dx
=;2!;(ln|2x-1|-ln|2x+1|)+C
=;2!;`ln| 2x-12x+1 |+C 답 ;2!;`ln| 2x-1
2x+1 |+C
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 132 19. 2. 27. 오후 5:00
08. 여러 가지 적분법
133 1002
{xf(x)}'=f(x)+xf'(x)이므로{xf(x)}'=(ln`x)Û``
∴ xf(x)=:`(ln`x)Û``dx yy`㉠
u(x)=(ln`x)Û``, v'(x)=1로 놓으면 u'(x)= 2`ln`x
x , v(x)=x
∴ :`(ln`x)Û``dx =(ln`x)Û`_x-:` 2`ln`xx _x`dx
=x(ln`x)Û`-2:`ln`x`dx yy`㉡
:`ln`x`dx에서 p(x)=ln`x, q'(x)=1로 놓으면 p'(x)=;[!;, q(x)=x
∴ :`ln`x`dx =x`ln`x-:`x_;[!;`dx
=x`ln`x-x+CÁ yy`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
:`(ln`x)Û``dx=x(ln`x)Û`-2(x`ln`x-x)+C
㉠에서
xf(x)=x(ln`x)Û`-2(x`ln`x-x)+C
f(1)=2이므로 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=2+C=2 ∴ C=0
따라서 xf(x)=x(ln`x)Û`-2(x`ln`x-x)이므로 f(x)=(ln`x)Û`-2(ln`x-1) (∵ x>0)
∴f(e)=1 답 1
1000
{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)이므로 조건 ㈎에서 {f(x)g(x)}'=h(x)∴f(x)g(x)=:`h(x)dx 이때f(x)=x, h(x)=ln`x이므로 xg(x)=:`ln`x`dx
u(x)=ln`x, v'(x)=1로 놓으면 u'(x)=;[!;, v(x)=x
∴ xg(x) =x`ln`x-: ;[!;_x`dx
=x`ln`x-x+C
위의 식의 양변에 x=1을 대입하면 g(1)=-1+C 조건 ㈏에서 g(1)=-1이므로 -1+C=-1 ∴ C=0 따라서 xg(x)=x`ln`x-x이므로 g(x)=ln`x-1 (∵ x>0)
∴ g(e)=0 답 ③
1001
u(x)=sin`x, v'(x)=ex으로 놓으면 u'(x)=cos`x, v(x)=ex∴f(x)=:`ex`sin`x`dx=ex`sin`x-:`ex`cos`x`dx yy ㉠ :`ex`cos`x`dx에서 p(x)=cos`x, q'(x)=ex으로 놓으면 p'(x)=-sin`x, q(x)=ex
∴ :`ex`cos`x`dx =ex`cos`x+:`ex`sin`x`dx
=ex`cos`x+f(x)+CÁ yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
f(x) =ex`sin`x-{ex`cos`x+f(x)+CÁ}
=ex`sin`x-ex`cos`x-f(x)-CÁ 2f(x)=ex(sin`x-cos`x)-CÁ
∴f(x)=;2!;ex(sin`x-cos`x)+C
f{;4Ò;}=0이므로 C=0
따라서f(x)=;2!;ex(sin`x-cos`x)이므로
f(p)=;2!;ep(0+1)=;2!;ep 답 ④
1003
f'(x)=sin(ln`x)x 이므로
f(x)=:`sin(ln`x)
x dx
ln`x=t로 놓으면 ;[!;= dtdx
∴f(x) =:`sin`t`dt=-cos`t+C
=-cos(ln`x)+C 곡선 y=f(x)가 점 (1, 1)을 지나므로 f(1)=-1+C=1 ∴ C=2 따라서f(x)=-cos(ln`x)+2이므로
f(ep) =-cos(ln`ep)+2
=-cos`p+2=3 답 3
0999
limh`Ú0 `f(x+h)-f(x)h =ln`x에서
f'(x)=ln`x
u(x)=ln`x, v'(x)=1로 놓으면 u'(x)=;[!;, v(x)=x
∴f(x) =:f'(x)dx=:`ln`x`dx
=x`ln`x-:`;[!;_x`dx
=x`ln`x-x+C
limx`Ú1`f(x)=1에서f(1)=1이므로 -1+C=1 ∴ C=2 따라서f(x)=x`ln`x-x+2이므로
f(eÛ`)=2eÛ`-eÛ`+2=eÛ`+2
즉, a=1, b=2이므로 a+b=3 답 3
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 133 19. 2. 27. 오후 5:00
134
정답과 풀이f(x)=:`f'(x)dx=:`(x-2)ln`x`dx에서 u(x)=ln`x, v'(x)=x-2로 놓으면 u'(x)=;[!;, v(x)=;2!;xÛ`-2x
∴f(x) =:`(x-2)ln`x`dx
={;2!;xÛ`-2x}ln`x-:`{;2!;xÛ`-2x}_;[!;`dx
={;2!;xÛ`-2x}ln`x-:`{;2!;x-2}`dx
={;2!;xÛ`-2x}ln`x-;4!;xÛ`+2x+C f(1)=;4#;이므로 ;4&;+C=;4#; ∴ C=-1
∴f(x)={;2!;xÛ`-2x}ln`x-;4!;xÛ`+2x-1
따라서f(x)의 극솟값은
f(2) =-2`ln`2-1+4-1=2-2`ln`2
답 2-2`ln`2
단계 채점요소 배점
f(1)=;4#;임을 알기 30%
f(x) 구하기 50%
f(x)의 극솟값 구하기 20%
1005
ex+1=t로 놓으면 ex= dtdx∴f(x) =:`'t`dt=:`t;2!;`dt=;3@;t;2#;+C
=;3@;(ex+1)"Ãex+1+C
이때f'(x)=ex"Ãex+1>0이므로f(x)는 증가함수이다.
따라서f(x)는 0ÉxÉln`3에서 x=0일 때 최솟값을 갖는다.
즉,f(0)=4'2
3 이므로 4'2
3 +C=4'2
3 ∴ C=0
∴f(x)=;3@;(ex+1)"Ãex+1
따라서 0ÉxÉln`3에서f(x)의 최댓값은 f(ln`3) =;3@;(3+1)'Ä3+1=;;Á3¤;;
답
;;Á3¤;;
단계 채점요소 배점
f(x)를 적분상수를 사용하여 나타내기 40%
f(x) 구하기 40%
f(x)의 최댓값 구하기 20%
1004
`f'(x)=ln`x+x_;[!;-1=ln`x이므로
y=ln`x라 하면 x=ey x와 y를 서로 바꾸면 y=ex
∴ g(x)=ex
∴ :`g(x)dx=:`ex`dx=ex+C
답 ex
+C
단계 채점요소 배점
f '(x) 구하기 30%
g(x) 구하기 40%
:`g(x) dx 구하기30%
1006
`f'(x)=(x-2)ln`x=0에서 x=1 또는 x=2 따라서 함수f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.x 0 … 1 … 2 …
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
f(x)의 극댓값이 ;4#;이므로f(1)=;4#;
1007
`f'(x)=sinÛ``x`cos`x이므로 f(x)=:`f'(x)dx=:`sinÛ``x`cos`x`dx
sin`x=t로 놓으면 cos`x= dtdx
∴f(x) =:`sinÛ``x`cos`x`dx=:`tÛ``dt
=;3!;tÜ`+C=;3!;`sinÜ``x+C
f{;2Ò;}=0이므로 ;3!;+C=0 ∴ C=-;3!;
따라서f(x)=;3!;`sinÜ``x-;3!;이므로
f(p)=-;3!;
답 -
;3!;
단계 채점요소 배점
f(x)=
:`f '(x)dx 이용하기30%
f(x) 구하기 50%
f(p)의 값 구하기 20%
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 134 19. 2. 27. 오후 5:00
08. 여러 가지 적분법
135 1009
조건 ㈎에서:`2{f(x)}Û``f'(x)dx=:`{f(2x+1)}Û``f'(2x+1)dx 이므로
;3@;{f(x)}Ü`=;3!;{f(2x+1)}Ü`_;2!;+C
{f(2x+1)}Ü`=4{f(x)}Ü`+C' yy ㉠
㉠에 x=-1을 대입하면 {f(-1)}Ü`=4{f(-1)}Ü`+C'
∴ C'=-3{f(-1)}Ü` yy ㉡
㉠에 x=-;8!;을 대입하면 [ f{;4#;}]3=4[ f{-;8!;}]3+C' 조건 ㈏에서f{-;8!;}=1이므로 [ f{;4#;}]3=4+C'
㉠에 x=;4#;을 대입하면
[ f{;2%;}]3=4[ f{;4#;}]3+C'=4(4+C')+C'=16+5C'
㉠에 x=;2%;를 대입하면 {f(6)}Ü`=4[ f{;2%;}]3+C' 조건 ㈏에서f(6)=2이므로 8=4(16+5C')+C'
8=64+21C' ∴ C'=-;3*; yy ㉢
㉡, ㉢에서 -3{f(-1)}Ü`=-;3*;이므로 {f(-1)}Ü`=;9*; ∴f(-1)=2Ü`'3
3 답 ④
1008
조건 ㈐에서Ú x<0일 때
f(x) =:`(cos`x+k)dx=sin`x+kx+CÁ
Û x>0일 때
f(x) =:` 1-cos`x2 dx=;2!;x-;2!;`sin`x+Cª 조건 ㈏에서
f(-p)=0이므로 -kp+CÁ=0 ∴ CÁ=kp f(p)=p이므로 ;2!;p+Cª=p ∴ Cª=;2Ò;
∴f(x)=àsin`x+kx+kp (x<0)
;2!;x-;2!;`sin`x+;2Ò; (x>0) 조건 ㈎에서 함수f(x)는 x=0에서 연속이므로 f(0)=lim
x`Ú0-`f(x)=lim
x`Ú0+`f(x)
f(0)=kp=;2Ò; ∴ k=;2!; 답 ;2!;
1010
f(x) =:`f'(x)dx=:`(sin`x+'3`cos`x-1)dx
='3`sin`x-cos`x-x+C yy ㉠ f'(x)=0에서 sin`x+'3`cos`x-1=0
2`sin`{x+;3Ò;}-1=0 sin`{x+;3Ò;}=;2!;
그런데 -p<x<p에서 -;3@;p<x+;3Ò;<;3$;p이므로 x+;3Ò;=;6Ò; 또는 x+;3Ò;=;6%;p
∴ x=-;6Ò; 또는 x=;2Ò;
따라서 함수f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x -p … - ;6Ò; … ;2Ò; … p
f'(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
즉, 함수f(x)는 x=-;6Ò;에서 극소이므로 f{-;6Ò;}=;3@;p-'3
㉠에 x=-;6Ò;를 대입하면
;3@;p-'3=- '3 2 -'3
2 +;6Ò;+C ∴ C=;2Ò;
따라서 f(x)='3`sin`x-cos`x-x+;2Ò;이므로 f(x)의 극댓 값은
f{;2Ò;}='3-;2Ò;+;2Ò;='3 답
'3
RPM미적분_해설_08(121~135)오.indd 135 19. 2. 27. 오후 5:00
136
정답과 풀이09 정적분 Ⅲ. 적분법
본문 143 쪽
교과서 문제
정/복/하/기1011
:)8``Ü`'§x`dx =:)8`x;3!;`dx=[;4#; x;3$;]8)=12 답 12
1012
:!6 ;[!; dx=[ln |x|]6!=ln`6-ln`1=ln`6답 ln`6
1020
:)È (cos`x-x)dx+:@Èù`(x-cos`x)dx=:)È (cos`x-x)dx+:ù2`È (cos`x-x)dx
=:)2`È (cos`x-x)dx=[sin`x-;2!;xÛ`])2`È
=-2pÛ` 답 -2pÛ`
1018
:_0!`(ex+1)dx+:)-` 1 (e-x+1)dx=:_0!`(ex+1)dx-:_0!`(e-x+1)dx
=:_0!`(ex-e-x)dx=[ex+e-x]0_!
=2-(e-1+e)=2-e-;e!; 답 2-e-
;e!;
1017
:)2 ('§x-1)dx+:)2 ('§x+1)dx=:)2 ('§x-1+'§x+1)dx
=:)2 2'§x`dx=[;3$; x;2#;]2)
=8'2
3 답
8 '2
3 1015
:)È sin`x`dx=[-cos`x]È)=1-(-1)=2 답 21016
:```;6Ò;;2Ò;`cos`x`dx=[sin`x]```;6Ò;;2Ò;=1-;2!;=;2!; 답 ;2!;1014
:)3 3xdx=[ 3ln`3 ]3)=x 27 ln`3 - 1ln`3 = 26 ln`3
답
26
ln`3 1013
:)ln`2`ex`dx =[ex])ln`2=2-1=1 답 11019
:)1 (2x-1)dx+:!3 (2x-1)dx=:)3 (2x-1)dx=[ 2ln`2 -x]3)x
={ 8ln`2 -3}- 1 ln`2 = 7
ln`2 -3 답
7
ln`2 -3
1023
sin`x는 기함수, cos`x는 우함수이므로:-;2Ò;;2Ò;`(sin`x+cos`x)dx =2:);2Ò;`cos`x`dx
=2[sin`x]);2Ò;=2 답 2
1022
f(x)=ex+e-x으로 놓으면f(-x)=e-x+ex=f(x)
즉, f(x)=ex+e-x은 우함수이므로
:_4$`(ex+e-x)dx =2:)4 (ex+e-x)dx
=2[ex-e-x]4)
=2{eÝ`- 1eÝ` } 답 2
{eÝ`- 1 eÝ` } 1021
|x|는 우함수이므로:_2@`|x|dx=2:)2 x`dx=2[;2!;xÛ`]2)=4 답 4
1026
xÛ`-1=t로 놓으면 2x= dtdx x=0일 때 t=-1, x=2일 때 t=3이므로:)2 x(xÛ`-1)Û`dx =:_3!`tÛ`_;2!; dt
=[;6!; tÜ`]3_!=;;Á3¢;; 답
;;Á3¢;;
1025
x+2=t로 놓으면 1= dtdx x=0일 때 t=2, x=1일 때 t=3이므로:)1 'Äx+2`dx =:@3 't`dt=:@3 t;2!;`dt
=[;3@;t;2#;]3@=2'3-4'2
3 답 2'3-
4'2 3 1024
2x-1=t로 놓으면 2= dtdxx=0일 때 t=-1, x=3일 때 t=5이므로
:)3 (2x-1)Û`dx =:_5!`tÛ`_;2!; dt
=;2!;:_5!`tÛ``dt=;2!;[;3!;tÜ`]5_!
=;2!;[;;;!3@;;%;-{-;3!;}]=21 답 21
RPM미적분_해설_09(136~151)오.indd 136 19. 2. 27. 오후 5:01
09. 정적분
137 1027
3xÛ`+1=t로 놓으면 6x= dtdxx=1일 때 t=4, x=2일 때 t=13이므로
:!2 x3xÛ`+1dx =:$1`3 ;t!;_;6!; dt=[;6!;`ln|t|]1$3`
=;6!;`ln`13-;6!;`ln`4
=;6!;`ln`;;Á4£;; 답
;6!;`ln`;;Á4£;;
1028
f(x)=ln`x, g '(x)=1로 놓으면 f '(x)=;[!;, g(x)=x∴ :!e ln`x`dx =[x`ln`x]e!-:!e ;[!;_x`dx
=e-[x]e!=e-(e-1)
=1 답 1
1036
:!2 (5x+6)'§x`dx =:!2 (5x'§x+6'§x )dx=:!2 {5x;2#;+6x;2!;}dx
=[2x;2%;+4x;2#;]2!
=16'2-6
답 16'2-6
1029
f(x)=2x, g '(x)=ex으로 놓으면 f '(x)=2, g(x)=ex∴ :)1 2xexdx =[2xex]1)-:)1 2exdx
=2e-[2ex]1)
=2e-(2e-2)
=2 답 2
1030
주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면f(x)=ex 답 f(x)=ex
1031
주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면f(x)=;[!;+4 답 f(x)=
;[!;+4
1033
F'(t)=et-1이라 하면limx`Ú0`;[!;:)/ (et-1)dt =limx`Ú0`;[!;:)/ F'(t)dt
=limx`Ú0F(x)-F(0)
x
=F'(0)=eâ`-1=0 답 0
1032
주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하면f(x)=2`cos`x 답 f(x)=2`cos`x
1037
:!4 (1-'§x )Û`'§x dx =:!4 1-2'§x+x
'§x dx
=:!4 {x-;2!;-2+x;2!;}dx
=[2x;2!;-2x+;3@;x;2#;]4!
=;3$;-;3@;=;3@;
답 ①
1034
F'(t)=sin`t+t라 하면 limx`Úpx-p :ù/ (1 sin`t+t)dt
=limx`Úp 1
x-p :ù/ F'(t)dt
=limx`ÚpF(x)-F(p)
x-p
=F'(p)=sin`p+p=p 답 p
1038
:!9 ('§x+1)Û`x dx=:!9 x+2'§x+1
x dx
=:!9 {1+2x-;2!;+;[!;}dx
=[x+4x;2!;+ln|x|]9!
=(21+2`ln`3)-5
=2`ln`3+16