밍모의 워드프로세싱
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ
평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선
1. 이차곡선
2. 평면곡선의 접선
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
1 포물선
포물선의 방정식
유형 1포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의
유형 2핵심노트
1.1.그림과 같이 포물선 의 초점 F 를 중심으로 하고 원점을 지 나는 원 가 있다. 포물선 위의 점 A 와 점 B에 대하여 선분 FA 와 선분 FB가 원 와 만나는 점을 각각 P , Q 라 할 때, 점 P는 선분 FA 의 중점이고, 점 Q 는 선분 FB를 로 내분하는 점이다. 삼각형 AFB의 넓이가 일 때, 의 값은? (단, 점 A 와 점 B는 제 사분면 위에 있다.)
[4점][2014(B) 7월/교육청 18]
B
O
A
P Q
F
① ② ③
④ ⑤
2.2.포물선 의 초점을 F, 준선이 축과 만나는 점을 P, 점 P 를 지나고 기울기가 양수인 직선 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. FA FB 일 때, 직선 의 기울기는?
[4점][2012(가) 6월/평가원 20]
①
②
③
④
⑤
3.3.초점이 F 인 포물선 위에 FP 인 점 P 가 있다. 그림과 같 이 선분 FP 의 연장선 위에 FP PQ 가 되도록 점 Q 를 잡을 때, 점 Q 의 좌표는?
[3점][2007(가) /수능(홀) 5]
①
② ③
④
⑤
이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선
1 1
1
1
1 1
1
기하와벡터 1. 이차곡선 두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합
유형 3
핵심노트
4.4.그림과 같이 좌표평면에서 축 위의 두 점 A B에 대하여 꼭짓점이 A 인 포물선 과 꼭짓점이 B인 포물선 가 다음 조건을 만족시킨다.
이때, 삼각형 ABC의 넓이는?
[4점][2011(가) /수능 14]
(가) 의 초점은 B이고, 의 초점은 원점 O 이다.
(나) 과 는 축 위의 두 점 C, D에서 만난다.
(다) AB
무게중심을 이용한 포물선의 정의
유형 4핵심노트
5.5.그림과 같이 한 변의 길이가
인 정삼각형 OAB의 무게중심 G 가 축 위에 있다. 꼭짓점이 O이고 초점이 인 포물선과 직선 GB가 제 사분면에서 만나는 점을 P 라 할 때, 선분 GP 의 길이를 구하시오.(단, O 는 원점이다.)
[4점][2011(가) 6월/평가원 29]
6.6.두 양수 , 에 대하여 포물선 와 직선 가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A , 포물선의 준선과 축이 만 나는 점을 B , 직선 와 축이 만나는 점을 C 라 하자. 삼 각형 ABC 의 무게중심이 포물선의 초점 F 와 일치할 때, AF BF 의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 7월/교육청 28]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의
유형 5
핵심노트
7.7.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 위의 점 P에서 축에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 PFH 의 넓이가
일 때, 선분 PF 의 길이는? (단, 점 P 의 좌표는 점 F 의 좌표보다 크다.)[3점][2016(가) 4월/교육청 13]
O F H
P
① ② ③
④ ⑤
8.8.좌표평면에서 포물선 의 초점을 F, 포물선
의 초점을 F라 하자. 점 P 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 중심이 위에 있고 점 F을 지나는 원과 중심이 위 에 있고 점 F를 지나는 원의 교점이다.
(나) 제 사분면에 있는 점이다.
원점 O에 대하여 OP의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 6월/평가원 28]
9.9.그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 O 이고 초점이 F 인 포물선 과 점 F 를 지나고 기울기가 인 직선이 만나는 두 점을 각각 A B라 하자. 선분 AF 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 일 때, 선분 AB의 길이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 정수이다.)[4점][2012(가) 9월/평가원 26]
기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화
유형 6
핵심노트
10.10.자연수 에 대하여 포물선
의 초점 F 를 지나는 직선이 포
물선과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하자. PF 이고 FQ 이라 할 때,
의 값은?
[4점][2013(가) /수능 18]
① ② ③
④ ⑤
최단거리 구하기
유형 7핵심노트
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
2 타 원
타원의 방정식
유형 1핵심노트
11.11.원 과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원 의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오.
[3점][2012(가) 7월/교육청 23]
12.12.타원 의 한 초점의 좌표가 일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2016(가) 6월/평가원 26]
13.13.[그림 ]과 같이 타원
과 한 변의 길이가 인 정삼 각형 ABC 가 있다. 변 A B는 축 위에 있고 꼭짓점 A , C는 타원 위 에 있다. 한 변이 축 위에 놓이도록 정삼각형 ABC 를 축을 따라 양 의 방향으로 미끄러짐 없이 회전시킨다. 처음 위치에서 출발한 후 변 BC 가 두 번째로 축 위에 놓이고 꼭짓점 C는 타원 위에 놓일 때가 [그림 ]이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 7월/교육청 28]
타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합
유형 2핵심노트
14.14.아래 그림과 같이 두 초점 F F ′ 이 축 위에 있는 타원
위의 점 P 가 FP 를 만족시킨다. 점 F 에서 선분 PF ′에 내린 수선의 발 H 에 대하여 FH
일 때, 상수 의 값은?[4점][2014(B) 6월/평가원 17]
① ② ③
④ ⑤
15.15.그림과 같이 타원
의 장축을 등분한 후 장축의 양 끝점을 제외하고 각 등분점에서 장축에 수직인 직 선을 그어 축 위쪽 부분에 있는 타원과 의 교점을 차례로 P, P, P, ⋯, P라
하자. 타원의 한 초점을 F 라고 할 때,
FP의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 23]
기하와벡터 1. 이차곡선
16.16.그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각 , ,
이고 반지름의 길이가 모두 같은 개의 원에 동시에 접하고, 초점이 축 위에 있는 타원이 있다.
이 타원의 두 초점 사이의 거리가
일 때, 장축의 길이를 구하시 오. (단, 네 원의 중심은 타원의 외부에 있다.)[4점][2007(가) 10월/교육청 21]
17.17.그림과 같이 두 초점이 F , F′ c 인 타원
이 있다. 타원 위에 있고 제 사분면에 있는 점 P 에 대하여 선분 PF′
의 중점을 Q , 선분 PF 를 으로 내분하는 점을 R 라 하자.
∠PQR
, QR
, RF 일 때, 의 값을 구하시오.(단, , , 는 양수이다.)
[4점][2016(B) /수능 26]
18.18.그림과 같이 축 위의 점 A 와 두 점 F F ′을 초점으로 하 는 타원
위를 움직이는 점 P 가 있다. AP FP 의 최솟 값이 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2014(B) /수능 27]
19.19.타원
의 두 초점을 F 와 F′이라 하고, 초점 F 에 가장 가까운 꼭짓점을 A 라 하자. 이 타원 위의 한 점 P에 대하여
∠PFF′
일 때, PA의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) /수능(홀) 22]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원 위의 점에서 거리의 합의 활용
유형 3
타원의 방정식과 중점연결 정리
유형 4핵심노트
20.20.그림과 같이 타원
의 두 초점 중 좌표가 양수인 점 을 F, 음수인 점을 F′이라 하자. 타원 위의 점 P에 대하여 선분 PF′
의 중점 M 의 좌표가 이고 PM PF 일 때, 의 값은? (단,
, 는 상수이다.)
[4점][2016(가) 4월/교육청 17]
O
F F′
M
P
① ② ③
④ ⑤
21.21.두 점 F , F ′ 을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다 른 두 점 P, Q 에 대하여 원점 O 에서 선분 PF 와 선분 QF′ 에 내린 수선의 발을 각각 H 와 I 라 하자. 점 H 와 점 I 가 각각 선분 PF 와 선 분 QF′ 의 중점이고, OH × OI 일 때, 이 타원의 장축의 길이를
이라 하자. 의 값을 구하시오. (단, OH ≠ OI )
[4점][2012(가) 6월/평가원 27]
기하와벡터 1. 이차곡선 타원의 성질
유형 5
핵심노트
22.22.그림과 같이 타원
에 내접하는 정삼 각형 ABC가 있다. 타원의 두 초점 F , F ′이 각각 선분 AC, AB 위에 있을 때,
의 값은? (단, 점 A 는 축 위에 있다.)
[3점][2008(가) 10월/교육청 5]
①
②
③
④
⑤
타원의 정의를 이용한 넓이 구하기
유형 6핵심노트
23.23.오른쪽 그림은 한 변의 길이가 인 정육각형 ABCDEF 의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원 개를 그 린 것이다.
그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형 개 의 넓이의 합이
일 때, 타원의 단축 의 길이는?[3점][2006(가) /수능(홀) 7]
①
② ③
④ ⑤
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원과 원
유형 7
핵심노트
24.24.중심이 이고 반지름의 길이가 인 원이 축과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. 이 원과 타원
이 만나는 점 중 한 점을 P 라 할 때, AP × BP 의 값은?
[4점][2014(B) 10월/교육청 18]
①
②
③
④ ⑤
25.25.타원
의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가 OP OF 를 만족시킬 때, PF ⋅PF′ 의 값을 구하시오.
(단, O 는 원점이다.)
[4점][2006(가) 9월/평가원 22]
26.26.그림과 같이 점 A 을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원과 타원
의 한 교점을 P 라 하자. 점 B 에 대하여
PA PB 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2013(B) 10월/교육청 27]
기하와벡터 1. 이차곡선 타원과 포물선
유형 8
핵심노트
27.27.좌표평면에서 초점이 A 이고 꼭짓점이 원점인 포물 선과 두 초점이 F F ′ 인 타원의 교점 중 제 사분면 위의 점을 P 라 하자.
AF PA PF FF ′ PF ′
일 때, 타원의 장축의 길이는
이다. 의 값을 구하시오.(단, 는 유리수이다.)
[4점][2017(가) 9월/평가원 27]
28.28.좌표평면에서 두 점 A , B 에 대하여 장축이 선분 AB인 타원의 두 초점을 F, F ′이라 하자. 초점이 F 이고 꼭짓점이 원 점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 P , Q 라 하자.
PQ
일 때, 두 선분 PF 와 PF ′의 길이의 곱 PF × PF ′ 의 값은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이
다.)
[3점][2010(가) 9월/평가원 20]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
3 쌍곡선
쌍곡선의 방정식
유형 1쌍곡선의 점근선
유형 2핵심노트
29.29.쌍곡선
이 점 을 지나고 두 점근선의 방정식이
, 이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. (단, , 는 상수이다.)
[3점][2016(가) 4월/교육청 24]
30.30.점근선의 방정식이 ±
이고 두 초점이 F , F ′ 인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 PF ′ ,
≤ PF ≤ 이다.
(나) 좌표가 양수인 꼭짓점 A 에 대하여 선분 AF 의 길이는 자연수이다.
이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
[4점][2017(가) /수능 28]
31.31.원 과 쌍곡선
이 서로 다른 네 점에서 만 나고 이 네 점은 원의 둘레를 등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방 정식이
일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)[3점][2015(B) 7월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
32.32.두 초점을 공유하는 타원
과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡 선의 한 점근선이
일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거 리는?[3점][2004(가) 9월/평가원 5]
①
②
③
④ ⑤
33.33.점근선의 방정식이 ±
이고, 한 초점의 좌표가 인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.
[3점][2013(B) 7월/교육청 24]
34.34.쌍곡선
과 직선 는 상수의 교점의 개수에 대한 설명 중 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. 이고 일 때 교점은 없다.
ㄴ. 이고 일 때 교점은 개이다.
ㄷ.
이고 일 때 교점은 개이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이
유형 3
핵심노트
35.35.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F , F′이라 하자.
제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 와 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 Q에 대하여 PF′ QF′ 일 때, QF PF 의 값을 구하시오.
[3점][2008(가) /수능(홀) 21]
36.36.그림과 같이 초점이 각각 F F′과 G G′이고, 주축의 길이가
중심이 원점 O 인 두 쌍곡선이 제사분면에서 만나는 점을 P 제사분 면에서 만나는 점을 Q 라 하자. PG × QG PF × QF 일 때, 사 각형 PGQF 의 둘레의 길이는? (단, 점 F의 좌표와 점 G의 좌표는 양수이다.)
[4점][2015(B) 6월/평가원 19]
①
②
③ ④
⑤
37.37.쌍곡선
의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 ∠F ′PF 의 이등분선이 축과 점 A 에서 만 날 때, 삼각형 PF ′ F 의 둘레의 길이를 구하시오.
[3점][2007(가) 10월/교육청 19]
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 쌍곡선의 정의와 원의 활용
유형 4
핵심노트
38.38.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점은 F, F ′이고, 점 F 를 중심으로 하는 원 는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제사분면에 있 는 쌍곡선 위의 점 P에서 원 에 접선을 그었을 때 접점을 Q라 하자.
PQ 일 때, 선분 PF ′의 길이는?
[3점][2013(B) 6월/평가원 12]
① ②
③
④
⑤
39.39.원 과 쌍곡선 이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 양수 의 최댓값은?
[3점][2011(가) 6월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
40.40.그림과 같이 쌍곡선
의 두 초점을 F F′이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P 를 중심으로 하고 선분 PF′을 반지름으로 하는 원 을 라 하자. 원 위를 움직이는 점 Q에 대하여 선분 FQ의 길이 의 최댓값이 일 때, 원 의 넓이는? (단, PF′ PF )
[4점][2016(가) 6월/평가원 18]
① ② ③
④ ⑤
41.41.그림과 같이 두 초점이 F, F′인 쌍곡선
위의 점 P에 대하여 직선 FP와 직선 F′P에 동시에 접하고 중심이 축 위에 있는 원
가 있다. 직선 F′P와 원 의 접점 Q에 대하여 F′Q 일 때,
FP F′P의 값을 구하시오. (단, F′P FP)
[4점][2018학년(가) 수능 27]
기하와벡터 1. 이차곡선 쌍곡선의 정의를 이용한 넓이
유형 5
핵심노트
42.42.두 초점이 F F ′ 인 쌍곡선
위의 점 P 가 다음 조건 을 만족시킨다.
(가) 점 P 는 제 사분면에 있다.
(나) 삼각형 PF ′F 가 이등변삼각형이다.
삼각형 PF ′F 의 넓이를 라 할 때, 모든 의 값의 곱은?
[4점][2015(B) 9월/평가원 19]
①
②
③
④
⑤
쌍곡선과 타원
유형 6쌍곡선과 포물선
유형 7핵심노트
43.43.그림과 같이 두 점 F , F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
과 점 F 를 초점으로 하는 포물선 가 있 다.
쌍곡선 위의 임의의 점 P 에 대하여 PF PF′ 이 성립하고, 포 물선의 꼭짓점 A 에 대하여 AF′ FF′ 이 성립한다. 이 때,
의 값은? (단, 이다.)
[4점][2009(가) 10월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선
44.44.그림과 같이 F 을 초점으로 하는 포물선 와 F 과 F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
이 제사분면에서 만나는 점을 A 라
하자. AF , cos∠AFF′
일 때, 의 값은?
[4점][2012(가) 7월/교육청 20]
O F
F′
A
① ②
③
④
⑤ 이차곡선과 함수의 연속
유형 8핵심노트
45.45.닫힌구간 에서 정의된 함수 는
≤ ≤ ≤
이다. 좌표평면에서 인 실수 에 대하여 함수 의 그래프 와 타원
이 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함 수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은?
[4점][2016(가) 4월/교육청 21]
① ②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선
1 음함수의 미분법
음함수의 미분법과 접선의 방정식
유형 1핵심노트
46.46. 가 의 함수일 때, 곡선 ln 위의 점 에서의 접선 의 기울기는?
[3점][2006(가) 9월/평가원 27]
① ②
③
④ ⑤
47.47.곡선 ln 위의 점 에서의 접선의 기울기는?
[3점][2012(가) 4월/교육청 5]
① ② ③
④ ⑤
48.48.좌표평면에서 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2014(B) 4월/교육청 24]
49.49.좌표평면에서 곡선 ln 위의 점 에서 의 접선의 기울기는?
[3점][2011(가) /수능 27]
음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식
유형 2핵심노트
50.50.그림과 같이 포물선 위의 점 A 에서 이 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 B라 하자. 다음은 점 A 에서의 접선과 직선 OB가 만나는 점을 P 라 할 때, 점 P 의 좌표를 구하는 과정이다. (단,
≠ 이고 O 는 원점이다.)
포물선의 방정식 의 양변을 에 대하여 미분하여 정리 하면
㈎ (단, ≠ )
이므로 점 A 에서의 접선의 방정식을 구하면
㈏ × ··· ㉠
이다.
B ㈐ 이므로 직선 OB의 방정식은
㈐
··· ㉡
이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 P 의 좌표를 구하면
㈐ ×
이다.
평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의
평면곡선의 접선 접선 접선 접선 접선 접선 평면곡선의 접선
2
2
2
2
2 2
2
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선
2 평면곡선의 접선
접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식
유형 1핵심노트
51.51.포물선 위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하자. PQ
일 때, 의 값은?[3점][2010(가) /수능 4]
① ② ③
④ ⑤
52.52.그림과 같이 포물선 의 초점을 F 라 하고, FA 을 만족하는 포물선 위의 점 A 에서의 접선이 축과 만나는 점을 B 라 하자. 삼각형 ABF 의 넓이가 일 때, 의 값을 구하시오. (단,
이다.)
[4점][2011(가) 7월/교육청 25]
53.53.포물선 의 초점과 포물선 위의 점 에서의 접선 사 이의 거리를 라 하자. ≥ 을 만족시키는 자연수 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2012(가) /수능 26]
기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식
유형 2핵심노트
54.54.그림과 같이 초점이 F 인 포물선 가 있다. 포물선 위에 있고 제 사분면에 있는 점 A 에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점을 B 라 하자. AB AF 일 때, AB × AF 의 값을 구하시오.
[4점][2017(가) 7월/교육청 28]
B
A
O F
55.55.좌표평면의 포물선 위의 점 A 에 대하여 점 B는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 A 가 원점이면 점 B도 원점이다.
(나) 점 A 가 원점이 아니면 점 B는 점 A , 원점 그리고 점 A 에 서의 접선이 축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 의 무게중심이다.
점 A 가 포물선 위를 움직일 때 점 B가 나타내는 곡선을 라 하자. 점 을 지나는 직선이 곡선 와 두 점 P , Q에서 만나 고 PQ 일 때, 두 점 P , Q의 좌표의 값의 합을 구하시오.
[4점][2013(B) 6월/평가원 29]
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 접점이 주어진 타원의 접선의 방정식
유형 3
핵심노트
56.56.그림과 같이 두 초점이 F , F ′인 타원 위를 움직 이는 제 사분면 위의 점 P에서의 접선 이 축과 만나는 점을 Q, 점 P 에서 접선 과 수직인 직선을 그어 축과 만나는 점을 R라 하자. 세 삼각형 PRF , PF ′R, PFQ 의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 P의 좌표는?
[4점][2014(B) 7월/교육청 20]
O R F
F′ Q
P
①
②
③
④
⑤
기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식
유형 4핵심노트
57.57.직선 위의 점 P 에서 타원
에 그은 두 접선의 기 울기의 곱이
이다. 점 P 의 좌표를 라 할 때, 의 값은?
[4점][2013(B) 6월/평가원 19]
① ② ③
④ ⑤
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
유형 5
핵심노트
58.58.그림과 같이 두 초점이 F , F ′ 인 쌍곡선
위의 점 P 에서의 접선과 축과의 교점이 선분 F′F 를 로 내분할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 상수이 다.)
[4점][2013(B) 9월/평가원 26]
59.59.쌍곡선 위의 점 P 에서의 접선 에 대하여 원점 O 에서 에 내린 수선의 발을 H , 직선 OH 와 이 쌍곡선이 제 사 분면에서 만나는 점을 Q 라 하자. 두 선분 OH 와 OQ 의 길이의 곱
OH ⋅OQ 를 구하시오.
[3점][2008(가) 9월/평가원 20]
기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식
유형 6핵심노트
60.60.좌표평면에서 쌍곡선
의 한 점근선에 평행하고 타원
에 접하는 직선을 이라 하자. 원점과 직선 사이의 거
리가 일 때,
의 값은?
[3점][2012(가) 9월/평가원 12]
① ②
③
④
⑤
61.61.직선 가 쌍곡선
에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?
[3점][2005(가) 9월/평가원 5]
①
②
③ ④
⑤
62.62.쌍곡선 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것 은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 9]
ㄱ. 점근선의 방정식은 , 이다.
ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선 이 존재한다.
ㄷ. 포물선 ≠ 는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만 난다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식
유형 7
핵심노트
63.63.쌍곡선
위의 점 에서의 접선이 타원
의 넓이를 이등분할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 9월/평가원 26]
64.64.두 양수 에 대하여 점 A 에서 포물선 에 그 은 두 접선이 축과 만나는 두 점을 각각 F F ′, 포물선과 만나는 두 점을 각각 P Q 라 할 때, ∠PAQ
이다. 두 점 F F ′을 초점으로
하고 두 점 P Q 를 지나는 타원의 장축의 길이가
일 때, 의 값은?
[4점][2017(가) 수능 19]
① ② ③
④ ⑤
65.65.점 에서 타원
에 그은 두 접선의 접점을 각각 P Q 라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 F 라 할 때, 삼각형 PFQ의 둘레의 길이는
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 유리수이다.)[4점][2011(가) 6월/평가원 28]
66.66.좌표평면에서 점 A 와 타원
위의 점 P 에 대하 여 두 점 A 와 P 를 지나는 직선이 원 과 만나는 두 점 중에서 A 가 아닌 점을 Q 라 하자. 점 P 가 타원 위의 모든 점을 지 날 때, 점 Q 가 나타내는 도형의 길이는?
[3점][2011(가) /수능 5]
①
②
③
④
⑤
2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 곡선 밖에서 두 접선이 수직인 조건
유형 8
핵심노트
3 매개변수의 미분법
매개변수로 나타낸 함수의 미분법
유형 1매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법
유형 2핵심노트
67.67.매개변수 로 나타내어진 함수
tan , cos
단,
에 대하여 이 곡선 위의 점
에서의 접선의 기울기는?[3점][2011(가) 4월/교육청 20]
① ②
③
④
⑤
기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식
유형 3
이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선
유형 4사이클로이드
유형 5핵심노트
밍모의 워드프로세싱
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ
평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터
1. 평면벡터의 연산
2. 평면벡터의 성분과 내적
3. 평면운동
1. 평면벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터
1 벡터의 연산
벡터의 덧셈과 뺄셈
유형 1정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우
유형 2이차곡선의 벡터의 크기
유형 3벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소
유형 4핵심노트
68.68.AB , BC 인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB, CD, DA , BD 의 중점을 각각 E, F, G, H 라 하자. 선분 CF 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여 EG HP의 최댓값은?
[4점][2016(가) 10월/교육청 18]
① ②
③
④
⑤
69.69.그림과 같이 선분 AB 위에 AE DB 인 두 점 D , E 가 있 다. 두 선분 AE DB 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , DB 가 만나는 점을 C 라 하고, 선분 AB 위에 OA OB 인 두 점을 O, O라 하자. 호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 DC 위를 움직이는 점 Q 에 대하여
OP OQ
의 최솟값이 일 때, 선분 AB 의 길이
는
이다. 의 값을 구하시오.
(단, OO 이고, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2016(가) 6월/평가원 28]
70.70.그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 , ,
, 가 서로 외접하고 있고, 두 원 , 의 접점을 A 라 하자. 원
위를 움직이는 점 P 와 원 위를 움직이는 점 Q 에 대하여
AP AQ의 최댓값은?
[4점][2013(B) 10월/교육청 21]
①
② ③
④
⑤ 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의
평면벡터의 연산 연산 연산 연산 연산 연산 평면벡터의 연산
1 1
1
1
1 1
1
기하와벡터 1. 평면벡터의 연산 부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용
유형 5
핵심노트
2 벡터의 실수배
벡터의 실수배의 연산
유형 1벡터의 평행
유형 2벡터와 방향이 같은 단위벡터
유형 3핵심노트
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터
1 위치벡터
위치벡터
유형 1위치벡터와 삼각형의 넓이의 비
유형 2핵심노트
71.71.직사각형 ABCD 의 내부의 점 P 가
PA PB PC PD CA
를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(가) 9월/평가원 16]
ㄱ. PB PD CP ㄴ. AP
AC
ㄷ. 삼각형 ADP의 넓이가 이면 직사각형 ABCD의 넓이는 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
위치벡터를 이용한 점의 자취
유형 3핵심노트
72.72.평면 위에 삼각형 OAB 가 있다.
OP OA OB ( ≥ , ≥ )를 만족하는 점 P 가 그리는 도형 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?
[4점][2005(가) 10월/교육청 9]
ㄱ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형은 선분 AB 이다.
ㄴ. 일 때, 점 P 가 그리는 도형의 길이는 선분 AB 의 길이보다 크다.
ㄷ. ≤ 일 때, 점 P 가 그리는 영역은 삼각형 OAB 를 포 함한다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의
평면벡터의 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 내적 내적 내적 내적 내적 내적 평면벡터의 성분과 내적
2
2
2
2
2 2
2
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
2 평면벡터의 성분
평면벡터의 성분과 크기
유형 1핵심노트
73.73.좌표평면 위에 원점 O 를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터
OP , OQ 가 있다. 두 벡터의 종점 P , Q 를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동시킨 점을 각각 P′, Q′ 이라 할 때, <보기>
에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2006(가) /수능(홀) 4]
ㄱ. OP OP′
ㄴ. OP OQOP′ OQ′ ㄷ. OP⋅OQ OP′⋅OQ′
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
3 평면벡터의 내적
각도가 주어진 벡터의 내적
유형 1핵심노트
74.74.그림과 같이 반지름의 길이가 인 반원의 호를 등분하여 양 끝점 과 각 분점을 왼쪽부터 차례로
P, P, P, P, P, P, P
이라 하자. 이 개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P, P ≤ ≤ 이라 하고, 선분 PP의 중점을 O라 하자.
두 벡터 OP, OP의 내적 OP⋅OP의 값을 확률변수 라 할 때, E
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(B) 10월/교육청 27]
75.75.AD AB 인 직사각형 모양의 종이 A B C D 가 있다. 대 각선 A C 를 접는 선으로 하여 평면 A B C 가 평면 A C D 와 수직이 되 게 접는다. 접은 도형에서 내적 AB ⋅ DC
( 는 서로소인 자 연수)일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 10월/교육청 22]
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 벡터의 내적의 부호
유형 2
핵심노트
76.76.좌표평면에서 원점 가 중심이고 반지름의 길이가 인 원 위의 세 점 에 대하여
OX ≤ 이고 OX ⋅OA ≥
을 만족시키는 모든 점 X 의 집합이 나타내는 도형을 라 하자. <보 기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2017(가) 9월/평가원 19]
ㄱ. OA OA OA이면 의 넓이는
이다.
ㄴ. OA OA이고 OA OA이면 는 길이가 인 선 분이다.
ㄷ. OA⋅OA 인 경우에, 의 넓이가
이면 점 A은 에
포함되어 있다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
77.77.평면 위의 두 점 O, O 사이의 거리가 일 때, O, O를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 두 원의 교점을 A , B라 하자. 호 AOB 위의 점 P와 호 AOB 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OP ,
OQ 의 내적 OP ⋅OQ 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때,
의 값은?
[3점][2008(가) 9월/평가원 7]
① ②
③
④
⑤
성분으로 주어진 평면벡터의 내적
유형 3핵심노트
78.78.그림은 한 변의 길이가 인 정사 각형 개를 붙여 만든 도형이다.
개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하 고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡터들의 집합을 라 하자. 집합 의 두 원소 , 에 대하여 <보기>에 서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2008(가) 10월/교육청 8]
ㄱ. ⋅ 이면 , 의 값은 모두 정수이다.
ㄴ.
,
이면 ⋅ ≠ 이다.ㄷ. ⋅ 는 정수이다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적 평면벡터의 수직 조건과 평행 조건
유형 4
벡터의 내적의 성질
유형 5핵심노트
79.79.좌표평면 위에 세 점 O A B 가 있다. 점 P
가 두 조건
PA ⋅ PB ≤ , OP ⋅ OA OB ≤ 를 만족할 때, 점 P가 존재하는 영역의 넓이는?
[4점][2004(가) 10월/교육청 13]
① ②
③ ④ ⑤
80.80.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 에서 변 AB 를 로 내 분하는 점을 D 라 하고, 변 AC 를 과 으로 내분하는 점을 각각 E, F 라 할 때, BF DE 의 값은?
[3점][2013(B) 9월/평가원 11]
① ② ③
④ ⑤
81.81.평면에서 그림의 오각형 ABCDE가
AB BC , AE ED , ∠B ∠E °
를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있 는 대로 고른 것은?
[4점][2010(가) /수능 14]
ㄱ. 선분 BE 의 중점 M 에 대하여 AB AE 와 AM 은 서로 평행하다.
ㄴ. AB∙ AE BC∙ ED ㄷ. BC ED BE
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 평면벡터의 내적의 성질의 활용
유형 6
성분으로 주어진 내적의 최대 최소
유형 7내적의 정의를 이용한 최대 최소
유형 8핵심노트
82.82.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A 에서 변 BC에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 점 P 가 선분 AH 위를 움직일 때,
PA ⋅PB의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와
는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2013(가) /수능 26]
내적의 기하학적 의미의 활용
유형 9핵심노트
83.83.그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 의 내부에 선분 AB와 선분 BC에 접하고 반지름의 길이가 인 원 과 선분 AD 와 선분 CD 에 접하고 반지름의 길이가 인 원 가 있다. 원 과 선 분 AB 의 접점을 P 라 하고, 원 위의 한 점을 Q 라 하자.
PC⋅PQ 의 최댓값을
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)
[4점][2017(가) 10월/교육청 28]
84.84.그림은 AB , AD
인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형 의 한 변 CD 를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이 는 점 P 에 대하여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC∙ AP 의 최댓값은?(단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)
[4점][2010(가) 10월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적
4 평면벡터의 방정식
평면상 직선의 방정식
유형 1핵심노트
85.85.함수
의 그래프는 그림과 같다. 함수 의
그래프 위의 두 점 P , Q
을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가
인 벡터를 라 하자. 의 값 은?[3점][2016(가) 7월/교육청 13]
O
① ② ③
④ ⑤
한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식
유형 2핵심노트
2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 평면상 두 직선이 이루는 각의 크기
유형 3
핵심노트
86.86.좌표평면에서 두 직선
,
이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?
[3점][2016(가) 6월/평가원 12]
①
②
③
④
⑤
두 직선의 평행 조건과 수직 조건
유형 4방향벡터와 법선벡터의 위치 관계
유형 5벡터를 이용한 원의 방정식
유형 6핵심노트
기하와벡터 3. 평면운동
1 속도와 가속도
평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도
유형 1평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기
유형 2등속 원운동에서의 속도와 가속도
유형 3시간에 대한 길이의 변화율
유형 4핵심노트
87.87.높이가 m 인 번지점프대에 길이 가 m 인 원기둥 모양의 탄력줄이 연 결되어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길 이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부피는 변하지 않는다고 한다.
어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후 m 였던 탄력줄의 길이가
m 로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는 m초이고, 탄력줄 의 반지름의 길이는
m 이다. 이 순 간에 탄력줄의 반지름의 길이의 변화율 을
m초 라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2005(가) 10월/교육청 30]
88.88.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시 각 에서의 위치 P, Q는 다음과 같다.
P , Q ln
두 점 P , Q 가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각 의 범위가
일 때, 실수 의 값은?
[3점][2012(가) 3월/교육청 9]
① ②
③
④
⑤
89.89.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길 이가 인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AOP °가 되는 순간 점 P 의 좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?
[3점][2007(가) 9월/평가원 28]
①
②
③
④ ⑤
평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동
3
3
3
3
3 3
3
3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터
90.90.곡선 ≥ 과 곡선 의 접선
이 있다. 곡선 위의 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 Q라 하자.점 P가 점 A 을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으로 점 B 까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ의 길이의 순 간변화율의 최댓값을 구하시오.
[4점][2014(B) 7월/교육청 26]
O
P Q
시간에 대한 넓이의 변화율
유형 5핵심노트
91.91.두 곡선 과 축 위의 점 P 가 있다.
점 P 를 지나고 축과 평행한 직선이 두 곡선 과 만나 는 점을 각각 A B라 하자. 또, 점 B를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 C라 하고, 점 C를 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 과 만나는 점을 D 라 하자. 점 P 가 점 를 출 발하여 축의 양의 방향으로 매초 의 일정한 속도로 움직인다. 점 P 가 점 를 지나는 순간, 삼각형 ADC의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?
[4점][2013(B) 3월/교육청 14]
① ln
② ln
③ ln
④ ln
⑤ ln
기하와벡터 3. 평면운동
92.92.좌표평면에서 축 위를 움직이는 점 P 의 시각 ( )에서 의 좌표는
이다. 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 곡선 sin 와 만나는 점을 Q 라 할 때, 점 P 를 중심으로 하고 선분 PQ 를 반지름으로 하는 원의 넓이를 라 하자.
인 순간, 넓이 의 에 대한 변화율은?
[4점][2007(가) 10월/교육청 28]
① ②
③
④
⑤
93.93.그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점 P는 점 A 에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초
의
일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 Q 는 점 A 에서 출발하여 점 B 을 향하여 매초 의 일정한 속력으로 축 위를 움직이고 있 다. 점 P 와 점 Q 가 동시에 점 A 에서 출발하여 초가 되는 순간, 선분 PQ , 선분 QA , 호 AP 로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하자.
출발한 지 초가 되는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은?
[4점][2008(가) 수능(홀) 29]
①
②
③
④
⑤
94.94.한 변의 길이가
인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으 로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초
씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가
이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 이다. 이때, 상수 의 값을 구하시오.[4점][2011(가) 7월/교육청 24]
95.95.좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O와 네 점 A B C D 을 꼭짓점으로 하는 정 사각형 ABCD 가 있다. 원 O 의 중심이 축을 따라 양의 방향으로 매 초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원의 내부와 정사각형 ABCD의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 라 하자. 원 O의 중심이
을 지나는 순간, 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은?(단, ≤ ≤ )
[4점][2012(가) 7월/교육청 19]
O
A
B C
D
①
②
③
④
⑤