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밍모의 워드프로세싱

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Academic year: 2022

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(1)

밍모의 워드프로세싱

Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ Ⅰ

평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선 평면곡선

1. 이차곡선

2. 평면곡선의 접선

(2)
(3)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

1 포물선

포물선의 방정식

유형 1

포물선 위의 점이 주어진 포물선의 정의

유형 2

핵심노트

1.1.그림과 같이 포물선  의 초점 F 를 중심으로 하고 원점을 지 나는 원  가 있다. 포물선 위의 점 A 와 점 B에 대하여 선분 FA 와 선분 FB가 원  와 만나는 점을 각각 P , Q 라 할 때, 점 P는 선분 FA 의 중점이고, 점 Q 는 선분 FB를    로 내분하는 점이다. 삼각형 AFB의 넓이가 일 때,  의 값은? (단, 점 A 와 점 B는 제 사분면 위에 있다.)

[4점][2014(B) 7월/교육청 18]

B

O

A

P Q

F 

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2.2.포물선   의 초점을 F, 준선이  축과 만나는 점을 P, 점 P 를 지나고 기울기가 양수인 직선  이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. FA  FB     일 때, 직선  의 기울기는?

[4점][2012(가) 6월/평가원 20]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

3.3.초점이 F 인 포물선   위에 FP 인 점 P 가 있다. 그림과 같 이 선분 FP 의 연장선 위에 FP PQ 가 되도록 점 Q 를 잡을 때, 점 Q 의  좌표는?

[3점][2007(가) /수능(홀) 5]

① 

 ②  ③ 



④ 

 ⑤ 



이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선 이차곡선

1 1

1

1

1 1

1

(4)

기하와벡터 1. 이차곡선 두 포물선이 주어진 경우 선분의 길이의 합

유형 3

핵심노트

4.4.그림과 같이 좌표평면에서 축 위의 두 점 A B에 대하여 꼭짓점이 A 인 포물선 과 꼭짓점이 B인 포물선 가 다음 조건을 만족시킨다.

이때, 삼각형 ABC의 넓이는?

[4점][2011(가) /수능 14]

(가) 의 초점은 B이고, 의 초점은 원점 O 이다.

(나) 과 는 축 위의 두 점 C, D에서 만난다.

(다) AB 

무게중심을 이용한 포물선의 정의

유형 4

핵심노트

5.5.그림과 같이 한 변의 길이가 

 인 정삼각형 OAB의 무게중심 G 가 축 위에 있다. 꼭짓점이 O이고 초점이 인 포물선과 직선 GB가 제 사분면에서 만나는 점을 P 라 할 때, 선분 GP 의 길이를 구하시오.

(단, O 는 원점이다.)

[4점][2011(가) 6월/평가원 29]

6.6.두 양수  ,  에 대하여 포물선   와 직선      가 만나는 두 점 중 제사분면 위의 점을 A , 포물선의 준선과  축이 만 나는 점을 B , 직선      와  축이 만나는 점을 C 라 하자. 삼 각형 ABC 의 무게중심이 포물선의 초점 F 와 일치할 때, AF  BF 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 7월/교육청 28]

(5)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 초점을 지나는 직선을 이용한 포물선의 정의

유형 5

핵심노트

7.7.그림과 같이 초점이 F 인 포물선   위의 점 P에서 축에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 삼각형 PFH 의 넓이가 

 일 때, 선분 PF 의 길이는? (단, 점 P 의 좌표는 점 F 의 좌표보다 크다.)

[3점][2016(가) 4월/교육청 13]

O F H

P

 

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

8.8.좌표평면에서 포물선    의 초점을 F, 포물선

   의 초점을 F라 하자. 점 P 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 중심이  위에 있고 점 F을 지나는 원과 중심이  위 에 있고 점 F를 지나는 원의 교점이다.

(나) 제 사분면에 있는 점이다.

원점 O에 대하여 OP의 최댓값을 구하시오.

[4점][2014(B) 6월/평가원 28]

9.9.그림과 같이 좌표평면에서 꼭짓점이 원점 O 이고 초점이 F 인 포물선 과 점 F 를 지나고 기울기가 인 직선이 만나는 두 점을 각각 A B라 하자. 선분 AF 를 대각선으로 하는 정사각형의 한 변의 길이가 일 때, 선분 AB의 길이는   

 이다.  의 값을 구하시오. (단,   는 정수이다.)

[4점][2012(가) 9월/평가원 26]

(6)

기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 선분의 닮음의 일반화

유형 6

핵심노트

10.10.자연수 에 대하여 포물선  

의 초점 F 를 지나는 직선이 포

물선과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하자. PF 이고 FQ 이라 할 때,

  





 의 값은?

[4점][2013(가) /수능 18]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

최단거리 구하기

유형 7

핵심노트

(7)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

2 타 원

타원의 방정식

유형 1

핵심노트

11.11.원       과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원 의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오.

[3점][2012(가) 7월/교육청 23]

12.12.타원        의 한 초점의 좌표가   일 때,

 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 6월/평가원 26]

13.13.[그림 ]과 같이 타원 

 

  과 한 변의 길이가  인 정삼 각형 ABC 가 있다. 변 A B는 축 위에 있고 꼭짓점 A , C는 타원 위 에 있다. 한 변이 축 위에 놓이도록 정삼각형 ABC 를 축을 따라 양 의 방향으로 미끄러짐 없이 회전시킨다. 처음 위치에서 출발한 후 변 BC 가 두 번째로  축 위에 놓이고 꼭짓점 C는 타원 위에 놓일 때가 [그림 ]이다.  의 값을 구하시오.

[4점][2013(B) 7월/교육청 28]

타원 위의 점에서 두 초점까지의 거리의 합

유형 2

핵심노트

14.14.아래 그림과 같이 두 초점 F F ′ 이  축 위에 있는 타원



 

  위의 점 P 가 FP   를 만족시킨다. 점 F 에서 선분 PF ′에 내린 수선의 발 H 에 대하여 FH  

 일 때, 상수  의 값은?

[4점][2014(B) 6월/평가원 17]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

15.15.그림과 같이 타원 

 

  의 장축을  등분한 후 장축의 양 끝점을 제외하고 각 등분점에서 장축에 수직인 직 선을 그어  축 위쪽 부분에 있는 타원과 의 교점을 차례로 P, P, P, ⋯, P

하자. 타원의 한 초점을 F 라고 할 때,

  

FP의 값을 구하시오.

[4점][2004(가) 10월/교육청 23]

(8)

기하와벡터 1. 이차곡선

16.16.그림과 같이 좌표평면에 중심의 좌표가 각각  ,   ,

     이고 반지름의 길이가 모두 같은  개의 원에 동시에 접하고, 초점이  축 위에 있는 타원이 있다.

이 타원의 두 초점 사이의 거리가 

 일 때, 장축의 길이를 구하시 오. (단, 네 원의 중심은 타원의 외부에 있다.)

[4점][2007(가) 10월/교육청 21]

17.17.그림과 같이 두 초점이 F  , F′ c  인 타원 

 

  이 있다. 타원 위에 있고 제 사분면에 있는 점 P 에 대하여 선분 PF′

의 중점을 Q , 선분 PF 를    으로 내분하는 점을 R 라 하자.

∠PQR  

, QR 

 , RF   일 때,  의 값을 구하시오.

(단,  ,  ,  는 양수이다.)

[4점][2016(B) /수능 26]

18.18.그림과 같이 축 위의 점 A   와 두 점 F F ′을 초점으로 하 는 타원 

 

  위를 움직이는 점 P 가 있다. AP FP 의 최솟 값이 일 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2014(B) /수능 27]

19.19.타원 

 

 의 두 초점을 F 와 F′이라 하고, 초점 F 에 가장 가까운 꼭짓점을 A 라 하자. 이 타원 위의 한 점 P에 대하여

∠PFF′  

일 때, PA의 값을 구하시오.

[4점][2005(가) /수능(홀) 22]

(9)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원 위의 점에서 거리의 합의 활용

유형 3

타원의 방정식과 중점연결 정리

유형 4

핵심노트

20.20.그림과 같이 타원 

 

 의 두 초점 중 좌표가 양수인 점 을 F, 음수인 점을 F′이라 하자. 타원 위의 점 P에 대하여 선분 PF′

의 중점 M 의 좌표가   이고 PM  PF 일 때,  의 값은? (단,

, 는 상수이다.)

[4점][2016(가) 4월/교육청 17]

O

F  F′

M

P

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

21.21.두 점 F  , F ′   을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다 른 두 점 P, Q 에 대하여 원점 O 에서 선분 PF 와 선분 QF′ 에 내린 수선의 발을 각각 H 와 I 라 하자. 점 H 와 점 I 가 각각 선분 PF 와 선 분 QF′ 의 중점이고, OH × OI   일 때, 이 타원의 장축의 길이를

 이라 하자. 의 값을 구하시오. (단, OH ≠ OI )

[4점][2012(가) 6월/평가원 27]

(10)

기하와벡터 1. 이차곡선 타원의 성질

유형 5

핵심노트

22.22.그림과 같이 타원 

 

        에 내접하는 정삼 각형 ABC가 있다. 타원의 두 초점 F , F ′이 각각 선분 AC, AB 위에 있을 때, 

의 값은? (단, 점 A 는  축 위에 있다.)

[3점][2008(가) 10월/교육청 5]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

⑤ 

타원의 정의를 이용한 넓이 구하기

유형 6

핵심노트

23.23.오른쪽 그림은 한 변의 길이가  인 정육각형 ABCDEF 의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원  개를 그 린 것이다.

그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형  개 의 넓이의 합이 

 일 때, 타원의 단축 의 길이는?

[3점][2006(가) /수능(홀) 7]

① 

 ②  ③ 

④  ⑤ 

(11)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 타원과 원

유형 7

핵심노트

24.24.중심이     이고 반지름의 길이가 인 원이 축과 만나는 두 점을 각각 A , B 라 하자. 이 원과 타원 

 

  이 만나는 점 중 한 점을 P 라 할 때, AP × BP 의 값은?

[4점][2014(B) 10월/교육청 18]

① 

 ② 

 ③ 



④  ⑤ 



25.25.타원 

 

 의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 이 타원 위의 점 P 가 OP OF 를 만족시킬 때, PF ⋅PF′ 의 값을 구하시오.

(단, O 는 원점이다.)

[4점][2006(가) 9월/평가원 22]

26.26.그림과 같이 점 A    을 중심으로 하고 반지름의 길이가  인 원과 타원 

 

  의 한 교점을 P 라 하자. 점 B  에 대하여

PA  PB  일 때,   의 값을 구하시오.

[4점][2013(B) 10월/교육청 27]

(12)

기하와벡터 1. 이차곡선 타원과 포물선

유형 8

핵심노트

27.27.좌표평면에서 초점이 A     이고 꼭짓점이 원점인 포물 선과 두 초점이 F   F ′      인 타원의 교점 중 제  사분면 위의 점을 P 라 하자.

AF   PA  PF  FF ′  PF ′

일 때, 타원의 장축의 길이는   

 이다.  의 값을 구하시오.

(단,  는 유리수이다.)

[4점][2017(가) 9월/평가원 27]

28.28.좌표평면에서 두 점 A , B  에 대하여 장축이 선분 AB인 타원의 두 초점을 F, F ′이라 하자. 초점이 F 이고 꼭짓점이 원 점인 포물선이 타원과 만나는 두 점을 각각 P , Q 라 하자.

PQ  

 일 때, 두 선분 PF 와 PF ′의 길이의 곱 PF × PF ′ 의 값은 

이다.   의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이

다.)

[3점][2010(가) 9월/평가원 20]

(13)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

3 쌍곡선

쌍곡선의 방정식

유형 1

쌍곡선의 점근선

유형 2

핵심노트

29.29.쌍곡선 

 

 이 점   을 지나고 두 점근선의 방정식이

  ,    이다. 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. (단, ,  는 상수이다.)

[3점][2016(가) 4월/교육청 24]

30.30.점근선의 방정식이  ± 

 이고 두 초점이 F  , F ′        인 쌍곡선이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 PF ′ ,

 ≤ PF ≤ 이다.

(나)  좌표가 양수인 꼭짓점 A 에 대하여 선분 AF 의 길이는 자연수이다.

이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.

[4점][2017(가) /수능 28]

31.31.원   과 쌍곡선 

 

 이 서로 다른 네 점에서 만 나고 이 네 점은 원의 둘레를 등분한다. 이 쌍곡선의 한 점근선의 방 정식이  

 일 때,  의 값은? (단, , 는 상수이다.)

[3점][2015(B) 7월/교육청 9]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

32.32.두 초점을 공유하는 타원 

 

  과 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡 선의 한 점근선이  

  일 때, 이 쌍곡선의 두 꼭짓점 사이의 거 리는?

[3점][2004(가) 9월/평가원 5]

① 

 ② 

 ③ 

④  ⑤ 

33.33.점근선의 방정식이  ± 

 이고, 한 초점의 좌표가   인 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오.

[3점][2013(B) 7월/교육청 24]

34.34.쌍곡선 

 

  과 직선         는 상수의 교점의 개수에 대한 설명 중 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[3점][2006(가) 10월/교육청 8]

ㄱ.   이고   일 때 교점은 없다.

ㄴ.   이고   일 때 교점은 개이다.

ㄷ.   

이고   일 때 교점은 개이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(14)

기하와벡터 1. 이차곡선 초점을 지나는 쌍곡선의 둘레의 길이

유형 3

핵심노트

35.35.그림과 같이 쌍곡선 

 

 의 두 초점을 F , F′이라 하자.

제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 P 와 제사분면에 있는 쌍곡선 위의 점 Q에 대하여 PF′ QF′ 일 때, QF  PF 의 값을 구하시오.

[3점][2008(가) /수능(홀) 21]

36.36.그림과 같이 초점이 각각 F F′과 G G′이고, 주축의 길이가 

중심이 원점 O 인 두 쌍곡선이 제사분면에서 만나는 점을 P 제사분 면에서 만나는 점을 Q 라 하자. PG × QG   PF × QF 일 때, 사 각형 PGQF 의 둘레의 길이는? (단, 점 F의  좌표와 점 G의  좌표는 양수이다.)

[4점][2015(B) 6월/평가원 19]

①   

 ②   

 ③ 

④   

 ⑤   

37.37.쌍곡선 

 

  의 두 초점을 F F′ 이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P 에 대하여 ∠F ′PF 의 이등분선이 축과 점 A     에서 만 날 때, 삼각형 PF ′ F 의 둘레의 길이를 구하시오.

[3점][2007(가) 10월/교육청 19]

(15)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선 쌍곡선의 정의와 원의 활용

유형 4

핵심노트

38.38.그림과 같이 쌍곡선 



 

 의 두 초점은 F, F ′이고, 점 F 를 중심으로 하는 원  는 쌍곡선과 한 점에서 만난다. 제사분면에 있 는 쌍곡선 위의 점 P에서 원  에 접선을 그었을 때 접점을 Q라 하자.

PQ  일 때, 선분 PF ′의 길이는?

[3점][2013(B) 6월/평가원 12]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

39.39.원     과 쌍곡선    이 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 양수  의 최댓값은?

[3점][2011(가) 6월/평가원 13]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

40.40.그림과 같이 쌍곡선 

 

 의 두 초점을 F F′이라 하고, 이 쌍곡선 위의 점 P 를 중심으로 하고 선분 PF′을 반지름으로 하는 원 을  라 하자. 원  위를 움직이는 점 Q에 대하여 선분 FQ의 길이 의 최댓값이 일 때, 원  의 넓이는? (단, PF′ PF )

[4점][2016(가) 6월/평가원 18]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

41.41.그림과 같이 두 초점이 F, F′인 쌍곡선

 

  위의 점 P에 대하여 직선 FP와 직선 F′P에 동시에 접하고 중심이 축 위에 있는 원

가 있다. 직선 F′P와 원 의 접점 Q에 대하여 F′Q 일 때,

FP F′P의 값을 구하시오. (단, F′P FP)

[4점][2018학년(가) 수능 27]

(16)

기하와벡터 1. 이차곡선 쌍곡선의 정의를 이용한 넓이

유형 5

핵심노트

42.42.두 초점이 F F ′ 인 쌍곡선  

  위의 점 P 가 다음 조건 을 만족시킨다.

(가) 점 P 는 제 사분면에 있다.

(나) 삼각형 PF ′F 가 이등변삼각형이다.

삼각형 PF ′F 의 넓이를  라 할 때, 모든  의 값의 곱은?

[4점][2015(B) 9월/평가원 19]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



쌍곡선과 타원

유형 6

쌍곡선과 포물선

유형 7

핵심노트

43.43.그림과 같이 두 점 F   , F′   을 초점으로 하는 쌍곡선



 

  과 점 F 를 초점으로 하는 포물선     가 있 다.

쌍곡선 위의 임의의 점 P 에 대하여  PF PF′    이 성립하고, 포 물선의 꼭짓점 A 에 대하여 AF′  FF′     이 성립한다. 이 때, 

 

의 값은? (단,      이다.)

[4점][2009(가) 10월/교육청 8]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



(17)

1. 이차곡선 Ⅰ 평면곡선

44.44.그림과 같이 F    을 초점으로 하는 포물선   와 F    과 F′    을 초점으로 하는 쌍곡선



 

        이 제사분면에서 만나는 점을 A 라

하자. AF  , cos∠AFF′   

 일 때, 의 값은?

[4점][2012(가) 7월/교육청 20]

O F 

F′

A  



 

 

①  ②

 ③

 ⑤ 

이차곡선과 함수의 연속

유형 8

핵심노트

45.45.닫힌구간      에서 정의된 함수 는



     ≤  ≤ 

       ≤ 

이다. 좌표평면에서   인 실수 에 대하여 함수   의 그래프 와 타원 

  이 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하자. 함 수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은?

[4점][2016(가) 4월/교육청 21]

①  ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 

(18)

기하와벡터 2. 평면곡선의 접선

1 음함수의 미분법

음함수의 미분법과 접선의 방정식

유형 1

핵심노트

46.46. 가  의 함수일 때, 곡선 ln   위의 점    에서의 접선 의 기울기는?

[3점][2006(가) 9월/평가원 27]

①   ②  

 ③ 

④  ⑤ 

47.47.곡선 ln   위의 점  에서의 접선의 기울기는?

[3점][2012(가) 4월/교육청 5]

①    ②    ③   

④    ⑤   

48.48.좌표평면에서 곡선    위의 점  에서의 접선의 기울기를 이라 할 때, 의 값을 구하시오.

[3점][2014(B) 4월/교육청 24]

49.49.좌표평면에서 곡선  ln        위의 점    에서 의 접선의 기울기는?

[3점][2011(가) /수능 27]

음함수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식

유형 2

핵심노트

50.50.그림과 같이 포물선   위의 점 A 에서 이 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 B라 하자. 다음은 점 A 에서의 접선과 직선 OB가 만나는 점을 P 라 할 때, 점 P 의 좌표를 구하는 과정이다. (단,

 ≠ 이고 O 는 원점이다.)

포물선의 방정식  의 양변을 에 대하여 미분하여 정리 하면



 ㈎ (단,  ≠ )

이므로 점 A 에서의 접선의 방정식을 구하면

  ㈏ ×    ··· ㉠

이다.

B ㈐  이므로 직선 OB의 방정식은

  ㈐

  ··· ㉡

이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 P 의 좌표를 구하면

×  

  



이다.

평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의 평면곡선의

평면곡선의 접선 접선 접선 접선 접선 접선 평면곡선의 접선

2

2

2

2

2 2

2

(19)

2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선

2 평면곡선의 접선

접점이 주어진 포물선의 접선의 방정식

유형 1

핵심노트

51.51.포물선   위의 점 P 에서의 접선이 축과 만나는 점을 Q 라 하자. PQ  

 일 때,  의 값은?

[3점][2010(가) /수능 4]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

52.52.그림과 같이 포물선   의 초점을 F 라 하고, FA   을 만족하는 포물선 위의 점 A   에서의 접선이  축과 만나는 점을 B 라 하자. 삼각형 ABF 의 넓이가  일 때,  의 값을 구하시오. (단,

   이다.)

[4점][2011(가) 7월/교육청 25]

53.53.포물선   의 초점과 포물선 위의 점   에서의 접선 사 이의 거리를  라 하자. ≥  을 만족시키는 자연수  의 최솟값을 구하시오.

[4점][2012(가) /수능 26]

기울기가 주어진 포물선의 접선의 방정식

유형 2

핵심노트

54.54.그림과 같이 초점이 F 인 포물선   가 있다. 포물선 위에 있고 제 사분면에 있는 점 A 에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점을 B 라 하자. AB AF 일 때, AB × AF 의 값을 구하시오.

[4점][2017(가) 7월/교육청 28]

B

 A

O F

 

55.55.좌표평면의 포물선   위의 점 A 에 대하여 점 B는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 A 가 원점이면 점 B도 원점이다.

(나) 점 A 가 원점이 아니면 점 B는 점 A , 원점 그리고 점 A 에 서의 접선이 축과 만나는 점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 의 무게중심이다.

점 A 가 포물선   위를 움직일 때 점 B가 나타내는 곡선을  라 하자. 점   을 지나는 직선이 곡선  와 두 점 P , Q에서 만나 고 PQ 일 때, 두 점 P , Q의 좌표의 값의 합을 구하시오.

[4점][2013(B) 6월/평가원 29]

(20)

기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 접점이 주어진 타원의 접선의 방정식

유형 3

핵심노트

56.56.그림과 같이 두 초점이 F , F ′인 타원    위를 움직 이는 제 사분면 위의 점 P에서의 접선  이 축과 만나는 점을 Q, 점 P 에서 접선  과 수직인 직선을 그어 축과 만나는 점을 R라 하자. 세 삼각형 PRF , PF ′R, PFQ 의 넓이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 P의 좌표는?

[4점][2014(B) 7월/교육청 20]

O R F

F′ Q

P

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



기울기가 주어진 타원의 접선의 방정식

유형 4

핵심노트

57.57.직선    위의 점 P 에서 타원  

 에 그은 두 접선의 기 울기의 곱이 

이다. 점 P 의 좌표를 라 할 때, 의 값은?

[4점][2013(B) 6월/평가원 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(21)

2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 접점이 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식

유형 5

핵심노트

58.58.그림과 같이 두 초점이 F  , F ′    인 쌍곡선



 

  위의 점 P   에서의 접선과  축과의 교점이 선분 F′F 를    로 내분할 때, 의 값을 구하시오. (단, ,  는 상수이 다.)

[4점][2013(B) 9월/평가원 26]

59.59.쌍곡선    위의 점 P   에서의 접선  에 대하여 원점 O 에서  에 내린 수선의 발을 H , 직선 OH 와 이 쌍곡선이 제 사 분면에서 만나는 점을 Q 라 하자. 두 선분 OH 와 OQ 의 길이의 곱

OH ⋅OQ 를 구하시오.

[3점][2008(가) 9월/평가원 20]

기울기가 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식

유형 6

핵심노트

60.60.좌표평면에서 쌍곡선 

 

 의 한 점근선에 평행하고 타원



 

 에 접하는 직선을  이라 하자. 원점과 직선  사이의 거

리가  일 때, 

  

 의 값은?

[3점][2012(가) 9월/평가원 12]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

61.61.직선      가 쌍곡선 

 

 에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?

[3점][2005(가) 9월/평가원 5]

② 

③ 

④ 

⑤ 

62.62.쌍곡선   에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것 은?

[3점][2007(가) 9월/평가원 9]

ㄱ. 점근선의 방정식은   ,    이다.

ㄴ. 쌍곡선 위의 점에서 그은 접선 중 점근선과 평행한 접선 이 존재한다.

ㄷ. 포물선     ≠ 는 쌍곡선과 항상 두 점에서 만 난다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(22)

기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 곡선 밖의 점이 주어진 접선의 방정식

유형 7

핵심노트

63.63.쌍곡선 

 

  위의 점  에서의 접선이 타원



  

  의 넓이를 이등분할 때,  의 값을 구하시오.

[4점][2011(가) 9월/평가원 26]

64.64.두 양수   에 대하여 점 A   에서 포물선  에 그 은 두 접선이 축과 만나는 두 점을 각각 F F ′, 포물선과 만나는 두 점을 각각 P Q 라 할 때, ∠PAQ  

 이다. 두 점 F F ′을 초점으로

하고 두 점 P Q 를 지나는 타원의 장축의 길이가 

   일 때,

   의 값은?

[4점][2017(가) 수능 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

65.65.점  에서 타원 

 

 에 그은 두 접선의 접점을 각각 P Q 라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 F 라 할 때, 삼각형 PFQ의 둘레의 길이는 

  이다.  의 값을 구하시오. (단,  는 유리수이다.)

[4점][2011(가) 6월/평가원 28]

66.66.좌표평면에서 점 A  와 타원 

   위의 점 P 에 대하 여 두 점 A 와 P 를 지나는 직선이 원     과 만나는 두 점 중에서 A 가 아닌 점을 Q 라 하자. 점 P 가 타원 위의 모든 점을 지 날 때, 점 Q 가 나타내는 도형의 길이는?

[3점][2011(가) /수능 5]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



(23)

2. 평면곡선의 접선 Ⅰ 평면곡선 곡선 밖에서 두 접선이 수직인 조건

유형 8

핵심노트

3 매개변수의 미분법

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

유형 1

매개변수로 나타낸 삼각함수의 미분법

유형 2

핵심노트

67.67.매개변수 로 나타내어진 함수

  tan  ,   cos

단,     

에 대하여 이 곡선 위의 점

 

에서의 접선의 기울기는?

[3점][2011(가) 4월/교육청 20]

①   ②  

 ③ 

④ 

 ⑤ 

(24)

기하와벡터 2. 평면곡선의 접선 매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식

유형 3

이차곡선을 매개변수로 나타낸 접선

유형 4

사이클로이드

유형 5

핵심노트

(25)

밍모의 워드프로세싱

Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ Ⅱ

평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터 평면벡터

1. 평면벡터의 연산

2. 평면벡터의 성분과 내적

3. 평면운동

(26)
(27)

1. 평면벡터의 연산 Ⅱ 평면벡터

1 벡터의 연산

벡터의 덧셈과 뺄셈

유형 1

정n각형의 벡터의 합이 영벡터인 경우

유형 2

이차곡선의 벡터의 크기

유형 3

벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기의 최대‧최소

유형 4

핵심노트

68.68.AB , BC  인 직사각형 ABCD 에 대하여 네 선분 AB, CD, DA , BD 의 중점을 각각 E, F, G, H 라 하자. 선분 CF 를 지름으로 하는 원 위의 점 P 에 대하여 EG  HP의 최댓값은?

[4점][2016(가) 10월/교육청 18]

①  ②   

 ③   



④   

 ⑤   



69.69.그림과 같이 선분 AB 위에 AE  DB   인 두 점 D , E 가 있 다. 두 선분 AE DB 를 각각 지름으로 하는 두 반원의 호 AE , DB 가 만나는 점을 C 라 하고, 선분 AB 위에 OA  OB   인 두 점을 O, O라 하자. 호 AC 위를 움직이는 점 P 와 호 DC 위를 움직이는 점 Q 에 대하여

OP OQ

의 최솟값이 

일 때, 선분 AB 의 길이

는 

 이다.    의 값을 구하시오.

(단,   OO  이고,  와  는 서로소인 자연수이다.) [4점][2016(가) 6월/평가원 28]

70.70.그림과 같이 평면 위에 반지름의 길이가 인 네 개의 원 , ,

, 가 서로 외접하고 있고, 두 원 , 의 접점을 A 라 하자. 원

위를 움직이는 점 P 와 원  위를 움직이는 점 Q 에 대하여

AP  AQ의 최댓값은?

[4점][2013(B) 10월/교육청 21]

① 

 

 ②  ③ 

  

④ 

 

 ⑤ 

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 연산 연산 연산 연산 연산 연산 평면벡터의 연산

1 1

1

1

1 1

1

(28)

기하와벡터 1. 평면벡터의 연산 부등식의 영역에서의 벡터의 성질의 활용

유형 5

핵심노트

2 벡터의 실수배

벡터의 실수배의 연산

유형 1

벡터의 평행

유형 2

벡터와 방향이 같은 단위벡터

유형 3

핵심노트

(29)

2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터

1 위치벡터

위치벡터

유형 1

위치벡터와 삼각형의 넓이의 비

유형 2

핵심노트

71.71.직사각형 ABCD 의 내부의 점 P 가

PA  PB  PC  PD  CA

를 만족시킨다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2016(가) 9월/평가원 16]

ㄱ. PB  PD  CP ㄴ. AP  

 AC

ㄷ. 삼각형 ADP의 넓이가 이면 직사각형 ABCD의 넓이는  이다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

위치벡터를 이용한 점의 자취

유형 3

핵심노트

72.72.평면 위에 삼각형 OAB 가 있다.

OP   OA   OB ( ≥  ,  ≥  )를 만족하는 점 P 가 그리는 도형 에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?

[4점][2005(가) 10월/교육청 9]

ㄱ.      일 때, 점 P 가 그리는 도형은 선분 AB 이다.

ㄴ.      일 때, 점 P 가 그리는 도형의 길이는 선분 AB 의 길이보다 크다.

ㄷ.    ≤  일 때, 점 P 가 그리는 영역은 삼각형 OAB 를 포 함한다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의 평면벡터의

평면벡터의 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 성분과 내적 내적 내적 내적 내적 내적 평면벡터의 성분과 내적

2

2

2

2

2 2

2

(30)

기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적

2 평면벡터의 성분

평면벡터의 성분과 크기

유형 1

핵심노트

73.73.좌표평면 위에 원점 O 를 시점으로 하는 서로 다른 임의의 두 벡터

OP , OQ 가 있다. 두 벡터의 종점 P , Q 를  축 방향으로  만큼,  축 방향으로  만큼 평행이동시킨 점을 각각 P′, Q′ 이라 할 때, <보기>

에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[3점][2006(가) /수능(홀) 4]

ㄱ. OP OP′



ㄴ. OP OQOP′ OQ′ ㄷ. OP⋅OQ  OP′⋅OQ′

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

3 평면벡터의 내적

각도가 주어진 벡터의 내적

유형 1

핵심노트

74.74.그림과 같이 반지름의 길이가  인 반원의 호를  등분하여 양 끝점 과 각 분점을 왼쪽부터 차례로

P, P, P, P, P, P, P

이라 하자. 이  개의 점 중에서 임의로 선택한 서로 다른 두 점을 각각 P, P  ≤    ≤  이라 하고, 선분 PP의 중점을 O라 하자.

두 벡터 OP, OP의 내적 OP⋅OP의 값을 확률변수  라 할 때, E   

이다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(B) 10월/교육청 27]

75.75.AD    AB   인 직사각형 모양의 종이 A B C D 가 있다. 대 각선 A C 를 접는 선으로 하여 평면 A B C 가 평면 A C D 와 수직이 되 게 접는다. 접은 도형에서 내적 AB ⋅ DC  

 (  는 서로소인 자 연수)일 때,    의 값을 구하시오.

[4점][2004(가) 10월/교육청 22]

(31)

2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 벡터의 내적의 부호

유형 2

핵심노트

76.76.좌표평면에서 원점  가 중심이고 반지름의 길이가  인 원 위의 세 점   에 대하여

OX  ≤  이고 OX ⋅OA ≥       

을 만족시키는 모든 점 X 의 집합이 나타내는 도형을  라 하자. <보 기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2017(가) 9월/평가원 19]

ㄱ. OA OA  OA이면  의 넓이는 

이다.

ㄴ. OA  OA이고 OA OA이면  는 길이가 인 선 분이다.

ㄷ. OA⋅OA  인 경우에,  의 넓이가 

이면 점 A은  에

포함되어 있다.

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

77.77.평면 위의 두 점 O, O 사이의 거리가 일 때, O, O를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 두 원의 교점을 A , B라 하자. 호 AOB 위의 점 P와 호 AOB 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OP ,

OQ 의 내적 OP ⋅OQ 의 최댓값을  , 최솟값을  이라 할 때,

   의 값은?

[3점][2008(가) 9월/평가원 7]

①   ②  

 ③ 

④ 

 ⑤ 

성분으로 주어진 평면벡터의 내적

유형 3

핵심노트

78.78.그림은 한 변의 길이가  인 정사 각형  개를 붙여 만든 도형이다. 

개의 꼭짓점 중 한 점을 시점으로 하 고 다른 한 점을 종점으로 하는 모든 벡터들의 집합을  라 하자. 집합  의 두 원소  ,  에 대하여 <보기>에 서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[3점][2008(가) 10월/교육청 8]

ㄱ. ⋅   이면 , 의 값은 모두 정수이다.

ㄴ.  

 ,  

 이면 ⋅ ≠  이다.

ㄷ. ⋅ 는 정수이다.

< 보 기 >

① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

(32)

기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적 평면벡터의 수직 조건과 평행 조건

유형 4

벡터의 내적의 성질

유형 5

핵심노트

79.79.좌표평면 위에 세 점 O      A     B    가 있다. 점 P

     가 두 조건

PA ⋅ PB ≤  , OP ⋅  OA  OB  ≤  를 만족할 때, 점 P가 존재하는 영역의 넓이는?

[4점][2004(가) 10월/교육청 13]

①  ②

   ③   

④    ⑤ 

80.80.한 변의 길이가  인 정삼각형 ABC 에서 변 AB 를    로 내 분하는 점을 D 라 하고, 변 AC 를    과    으로 내분하는 점을 각각 E, F 라 할 때, BF  DE 의 값은?

[3점][2013(B) 9월/평가원 11]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

81.81.평면에서 그림의 오각형 ABCDE가

AB BC , AE ED , ∠B  ∠E  °

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있 는 대로 고른 것은?

[4점][2010(가) /수능 14]

ㄱ. 선분 BE 의 중점 M 에 대하여 AB AE 와 AM 은 서로 평행하다.

ㄴ. AB∙ AE  BC∙ ED ㄷ.  BC ED    BE 

< 보 기 >

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(33)

2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 평면벡터의 내적의 성질의 활용

유형 6

성분으로 주어진 내적의 최대 최소

유형 7

내적의 정의를 이용한 최대 최소

유형 8

핵심노트

82.82.한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC의 꼭짓점 A 에서 변 BC에 내 린 수선의 발을 H 라 하자. 점 P 가 선분 AH 위를 움직일 때,

PA ⋅PB의 최댓값은 

이다.   의 값을 구하시오. (단, 와 

는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2013(가) /수능 26]

내적의 기하학적 의미의 활용

유형 9

핵심노트

83.83.그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형 ABCD 의 내부에 선분 AB와 선분 BC에 접하고 반지름의 길이가  인 원 과 선분 AD 와 선분 CD 에 접하고 반지름의 길이가  인 원 가 있다. 원 과 선 분 AB 의 접점을 P 라 하고, 원  위의 한 점을 Q 라 하자.

PC⋅PQ 의 최댓값을  

 라 할 때,    의 값을 구하시오. (단,

 와  는 유리수이다.)

[4점][2017(가) 10월/교육청 28]

84.84.그림은 AB , AD 

 인 직사각형 ABCD 와 이 직사각형 의 한 변 CD 를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이 원 위를 움직이 는 점 P 에 대하여 두 벡터 AC , AP 의 내적 AC∙ AP 의 최댓값은?

(단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)

[4점][2010(가) 10월/교육청 11]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(34)

기하와벡터 2. 평면벡터의 성분과 내적

4 평면벡터의 방정식

평면상 직선의 방정식

유형 1

핵심노트

85.85.함수    

 

 의 그래프는 그림과 같다. 함수     의

그래프 위의 두 점 P       , Q

 

 

 



을 지나는 직선의 방향벡터 중 크기가

 인 벡터를       라 하자.   의 값 은?

[3점][2016(가) 7월/교육청 13]

     

O 

 

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

한 점과 법선벡터가 주어진 직선의 방정식

유형 2

핵심노트

(35)

2. 평면벡터의 성분과 내적 Ⅱ 평면벡터 평면상 두 직선이 이루는 각의 크기

유형 3

핵심노트

86.86.좌표평면에서 두 직선



  

 

  

,  

  

 

   이 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은?

[3점][2016(가) 6월/평가원 12]

① 

② 

③ 

④ 

 ⑤ 



두 직선의 평행 조건과 수직 조건

유형 4

방향벡터와 법선벡터의 위치 관계

유형 5

벡터를 이용한 원의 방정식

유형 6

핵심노트

(36)

기하와벡터 3. 평면운동

1 속도와 가속도

평면 위를 움직이는 점의 속도와 가속도

유형 1

평면운동에서 점의 속도와 가속도의 크기

유형 2

등속 원운동에서의 속도와 가속도

유형 3

시간에 대한 길이의 변화율

유형 4

핵심노트

87.87.높이가  m 인 번지점프대에 길이 가  m 인 원기둥 모양의 탄력줄이 연 결되어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길 이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부피는 변하지 않는다고 한다.

어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후  m 였던 탄력줄의 길이가

 m 로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는  m초이고, 탄력줄 의 반지름의 길이는 

 m 이다. 이 순 간에 탄력줄의 반지름의 길이의 변화율 을  

 m초 라 할 때,    의 값을 구하시오. (단,   는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2005(가) 10월/교육청 30]

88.88.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시 각  에서의 위치 P, Q는 다음과 같다.

P   , Q ln      

두 점 P , Q 가 서로 반대 방향으로 움직이는 시각  의 범위가



    일 때, 실수  의 값은?

[3점][2012(가) 3월/교육청 9]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

89.89.좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길 이가 인 부채꼴 OAB가 있다. 점 P 가 점 A 에서 출발하여 호 AB를 따라 매초 의 일정한 속력으로 움직일 때, ∠AOP  °가 되는 순간 점 P 의  좌표의 시간(초)에 대한 변화율은?

[3점][2007(가) 9월/평가원 28]

①  

 ②  

③  

④   ⑤  

평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동 평면운동

3

3

3

3

3 3

3

(37)

3. 평면운동 Ⅱ 평면벡터

90.90.곡선       ≥ 과 곡선  의 접선

  

    이 있다. 곡선  위의 점 P 에서 축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 Q라 하자.

점 P가 점 A     을 출발하여 곡선 위를 매초 의 일정한 속력으로 점 B      까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 PQ의 길이의 순 간변화율의 최댓값을 구하시오.

[4점][2014(B) 7월/교육청 26]

O 

P Q

  

시간에 대한 넓이의 변화율

유형 5

핵심노트

91.91.두 곡선      과  축 위의 점 P     가 있다.

점 P 를 지나고  축과 평행한 직선이 두 곡선      과 만나 는 점을 각각 A B라 하자. 또, 점 B를 지나고  축과 평행한 직선이 곡선   과 만나는 점을 C라 하고, 점 C를 지나고  축과 평행한 직선이 곡선   과 만나는 점을 D 라 하자. 점 P 가 점  를 출 발하여  축의 양의 방향으로 매초  의 일정한 속도로 움직인다. 점 P 가 점  를 지나는 순간, 삼각형 ADC의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?

[4점][2013(B) 3월/교육청 14]

①   ln

 ②   ln

 ③   ln

④   ln

 ⑤   ln

(38)

기하와벡터 3. 평면운동

92.92.좌표평면에서  축 위를 움직이는 점 P 의 시각  (    )에서 의 좌표는

 

이다. 점 P 를 지나고  축에 수직인 직선이 곡선

  sin  와 만나는 점을 Q 라 할 때, 점 P 를 중심으로 하고 선분 PQ 를 반지름으로 하는 원의 넓이를  라 하자.

  

 인 순간, 넓이  의  에 대한 변화율은?

[4점][2007(가) 10월/교육청 28]

①   ②  

 ③ 

④ 

 ⑤ 

93.93.그림과 같이 좌표평면에서 원    위의 점 P는 점 A  에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초 

의

일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 Q 는 점 A 에서 출발하여 점 B  을 향하여 매초 의 일정한 속력으로  축 위를 움직이고 있 다. 점 P 와 점 Q 가 동시에 점 A 에서 출발하여  초가 되는 순간, 선분 PQ , 선분 QA , 호 AP 로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를  라 하자.

출발한 지 초가 되는 순간, 넓이  의 시간(초)에 대한 변화율은?

[4점][2008(가) 수능(홀) 29]

① 

  ② 

 ③ 

 

④ 

 

⑤ 

 

94.94.한 변의 길이가 

 인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으 로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초

 씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 

 이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이   이다. 이때, 상수  의 값을 구하시오.

[4점][2011(가) 7월/교육청 24]

95.95.좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O와 네 점 A    B    C    D   을 꼭짓점으로 하는 정 사각형 ABCD 가 있다. 원 O 의 중심이  축을 따라 양의 방향으로 매 초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원의 내부와 정사각형 ABCD의 내부가 겹치는 부분의 넓이를  라 하자. 원 O의 중심이

 

을 지나는 순간, 넓이  의 시간(초)에 대한 변화율은?

(단,  ≤  ≤ )

[4점][2012(가) 7월/교육청 19]

 

  O

 

A

B C

D

① 

② 

 ③ 

④ 

참조

관련 문서

[r]

㈏ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도

규 모는 지진이 발생할 때 방출되는 에너지를 기준으로 지진의 세기를 나타내므로 지진 발생 지점으로부터의 거리 등에 관 계없이 항상 일정하게 나타나기

이때 X의 원소 2에 대응하는 Y의 원소가 없으므로 함수가 아니다.. 주어진 대응을 그림으로 나타내면

[r]

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[r]

수학Ⅱ