• 검색 결과가 없습니다.

숨마쿰라우데_고등수학_하 서브노트

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "숨마쿰라우데_고등수학_하 서브노트"

Copied!
100
0
0

로드 중.... (전체 텍스트 보기)

전체 글

(1)

고등 수학(하)

[ 수학 기본서 ]

SUMMA CUM LAUDE

King’s College Cambrige

서브노트

SUB NOTE

(2)

001

②‘수학을 잘 하는’이라는 기준이 불분명하 므로 그 대상이 명확히 구분된다고 할 수 없다.

즉, 집합이 아닌 것은 ②이다. ②

002

40보다 작은 6의 양의 배수는 6, 12, 18, 24, 30, 36이므로

6<A, 10≤A, 24<A, 30<A, 40≤A

따라서 옳은 것은 ③이다. ③

003

⑴ 집합 A를 원소나열법으로 표기하라는 것은 x¤ +3x-4=(x+4)(x-1)=0 의 음의 정수인 실근을 찾아서 나열하라는 뜻이다. 이때 -4는 음의 정수이고 1은 양의 정수이므로 x¤ +3x-4=0을 만족하는 음의 정수인 실근은 -4 뿐이다. ∴ A={-4} ⑵ 집합 B의 원소는 4로 나누었을 때 나머지가 3인 자연 수이다. 즉, 다음과 같이 표기하면 된다. 표기법 ①:B={x|x는 4로 나누었을 때 나머지 가 3인 자연수} 집합 B의 원소가 4의 양의 배수에서 1을 뺀 자연수라 는 점을 이용하여 다음과 같이 표기할 수도 있다. 표기법 ②:B={ 4n-1|n<N } (단, N은 자연수 전체의 집합) ⑴ A={-4} ⑵ B={x|x는 4로 나누었을 때 나머지가 3인 자 연수} 또는 B={4n-1|n<N} (단, N은 자연수 전체의 집합)

004

두 집합 A, B의 각 원소 x, y에 대하여 x+y 의 값을 구해 보면 오른쪽 표와 같으므로 C={3, 4, 5, 6} C={3, 4, 5, 6}

005

⑴ n({1, 2, 3, 6})=4, n({2})=1 ∴ (주어진 식)=4+1=5 ⑵ n({0})=1, n(0)=0, n({0})=1 ∴ (주어진 식)=1+0-1=0 ⑶ {x|x는 15 이하의 짝수}={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 이므로 n({x|x는 15 이하의 짝수})=7 n({a, b, c, d})=4, n({1, 3, 5})=3 ∴ (주어진 식)=7+4-3=8 ⑴ 5 ⑵ 0 ⑶ 8

006

A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ① 공집합은 집합 A의 부분집합이므로 0,A

② 1<A, 2<A이므로 {1, 2},A ③ 6<A ④ 12<A이므로 {12},A ⑤ 24<A 따라서 옳은 것은 ④이다. ④ x y 3 4 3 4 5 4 5 6 0 1 2

1. 집합

I

집합과 명제

001 ② 002 ③ 003 ⑴ A={-4} ⑵ B={x|x는 4로 나누었을 때 나머지가 3인 자연수} 또는 B={4n-1|n<N} (단, N은 자연수 전체의 집합) 004 C={3, 4, 5, 6} 005 ⑴ 5 ⑵ 0 ⑶ 8 006 ④

007 ⑴ {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d} ⑵ {a, b, c}, {a, b, d} 008 8 009 2 010 {3, 6} 011 ③, ⑤

012~014 풀이 참조 015 ④ 016 ④ 017 ⑴ 19 ⑵ 31 ⑶ 12 ⑷ 30 ⑸ 9 018 12

(3)

APPLICATION

007

⑴ A,X,B를 만족하는 집합 X는 항상 a, b를 원소로 가지므로 ⁄ 원소가 2개인 집합 X:{ a, b } ¤ 원소가 3개인 집합 X:{ a, b, c }, { a, b, d } ‹ 원소가 4개인 집합 X:{ a, b, c, d } ⑵ X는 A를 진부분집합으로 하므로 X+{a, b}이며, X가 B의 진부분집합이므로 X+{a, b, c, d}이다. 따라서 A를 진부분집합으로 하고, B의 진부분집합이 되는 X는 { a, b, c }, { a, b, d }이다.

⑴ {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, c, d} ⑵ {a, b, c}, {a, b, d}

008

집합 A는 집합 S의 부분집합 중 1, 7, 9를 원 소로 갖는 집합이므로 집합 {3, 5, 11}의 각 부분집합에 세 원소 1, 7, 9를 넣으면 된다. 따라서 집합 A의 개수는 2fl —‹ =2‹ =8 8

009

A;B={3, 5}에서 3<A이므로 a¤ -1=3, a¤ =4 ∴ a=—2

a=-2일 때, A={2, 3, 5}, B={-3, -1, 7} ∴ A;B=0 ⁄따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다. ¤a=2일 때, A={2, 3, 5}, B={3, 5, 7} ∴ A;B={3, 5} ⁄, ¤에서 a=2 2

010

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}이므로 주어진 조 건에 맞게 벤다이어그램으로 나타내면 다음 그림과 같다. ∴ B-A={ 3, 6} {3, 6} U A 2 4 8 5 3 6 7 1 B

011

③ A;AÇ =0 ⑤ A;BÇ =A-B=A-(A;B) 따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다. ③, ⑤

012

교집합의 정의에 의하여 A;B={x|x<A 그리고 x<B} B;A={x|x<B 그리고 x<A} 이다. 그런데‘x<A 그리고 x<B’‘x<B 그리고 x<A’는 서로 같은 뜻이다. 즉, A;B와 B;A는 서로 같은 집합이므로 A;B=B;A 풀이 참조

013

다음 벤다이어그램으로 유도된다. 풀이 참조

014

다음 벤다이어그램으로 유도된다. 풀이 참조 C B A C B A C B A Ö C B A Ö Ö C B A A'B A'C B;C A'(B;C) =(A'B);(A'C) A C B A A;B (A;B);C B;C =A;(B;C) C B A C B A (001-017)고하-App 2018.3.28 9:21 AM 페이지003

(4)

015

(A-B)-C =(A;BÇ );CÇ =A;(BÇ ;CÇ ) (∵ 결합법칙) =A;(B'C)Ç (∵ 드모르간의 법칙) =A-(B'C)

016

A'B=B이므로 A,B이다. 즉, 두 집합 A, B에 대하여 A,B가 성립하기 위해서는 안에 18의 양의 약수가 들어가야 한다. 따라서 안에 들어갈 수 없는 것은 ④ 8이다.

017

원소의 개수가 주어진 집합들을 벤다이어그램 으로 나타내면 다음 그림의 색칠한 부분과 같다. ⑴ n(B)=n(A;B)+n(AÇ ;B)=10+9=19 ⑵ n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B) =22+19-10=31 ⑶ n(A;BÇ )=n(A-B) =n(A)-n(A;B)=22-10=12 ⑷ n(AÇ 'BÇ )=n((A;B)Ç ) =n(U)-n(A;B)=40-10=30 ⑸ n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç ) =n(U)-n(A'B)=40-31=9 ⑴ 19 ⑵ 31 ⑶ 12 ⑷ 30 ⑸ 9 n(AÇ ;B)=9 n(A;B)=10 U A B U A B n(A)=22 n(U)=40 U A B U A B

018

학생 전체의 집합을 U, 수학을 좋아하는 학생 의 집합을 A, 영어를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면 수학과 영어를 둘 다 싫어하는 학생의 집합은 (A'B)Ç 이므로 n(U)=60, n(A)=36, n(B)=40, n((A'B)Ç )=8 이때 n(A'B)=n(U)-n((A'B)Ç )=60-8=52 이므로 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =36+40-52=24 따라서 수학만 좋아하는 학생 수는 n(A-B)이므로 n(A-B)=n(A)-n(A;B)=36-24=12 n(A-B)=n(A'B)-n(B) =52-40=12 12

(5)

APPLICATION ⑵ 조건‘~p 또는 ~q’의 진리집합은 PÇ 'QÇ 이므로 PÇ 'QÇ ={ x|x<-2 또는 xæ1} ⑴ {x|x<-2 또는 xæ4} ⑵ {x|x<-2 또는 xæ1}

021

⑴ (반례) x=0, y=1이면 xy=0이지만 x¤ +y¤ +0이다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다. ⑵ p : |x|<2, q : x<2라 하고, 두 조건 p, q의 진리 집합을 각각 P, Q라 하면 P={ x|-2<x<2 }, Q={ x|x<2 }이므로 P,Q 이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. 풀이 참조

022

역:x=0 또는 y=0이면 xy=0이다. (참) 대우:x+0이고 y+0이면 xy+0이다. (참) 풀이 참조

023

② 브루투스를 격파한 사람은 옥타비아누스와 안토니우스이며 이 중 옥타비아누스만이 로마의 초대황 제가 되었다. 그런데‘② 브루투스를 격파한 사람은 로마 의 초대황제가 되었다.’는 옥타비아누스뿐만 아니라 안토 니우스도 로마의 초대황제가 되었다는 의미를 가지고 있 으므로 항상 참이라 할 수 없다. ②

024

⑴ 주어진 명제의 대우는 ⑵‘m, n이 자연수일 때, m과 n이 홀수이면 mn이 홀 수이다.’ ⑵m=2k-1, n=2l-1(k, l은 자연수)로 놓으면 mn=(2k-1)(2l-1)=2(2kl-k-l)+1 x -2 1 3 4

019

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|x<2 또는 xæ4}, Q={x|-1…x…3} ⑴ 조건‘p 또는 q’의 진리집합은 P'Q이므로 P'Q={ x|x…3 또는 xæ4} ⑵ 조건‘p 그리고 q’의 진리집합은 P;Q이므로 P;Q={ x|-1…x<2} ⑴ {x|x…3 또는 xæ4} ⑵ {x|-1…x<2}

020

두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|-2…x…3}, Q={x|x<1 또는 xæ4} 조건‘~p’의 진리집합은 PÇ 이므로 PÇ ={x|x<-2 또는 x>3} 조건‘~q’의 진리집합은 QÇ 이므로 QÇ ={x|1…x<4} ⑴ 조건‘~p 그리고 q’의 진리집합은 PÇ ;Q이므로 PÇ ;Q={ x|x<-2 또는 xæ4} x -2 1 3 4 Q Q x 4 3 -1 P Q P 2 x 4 2 3 -1 P Q P

2. 명제

019 ⑴ {x|x…3 또는 xæ4} ⑵ {x|-1…x<2} 020 ⑴ {x|x<-2 또는 xæ4} ⑵ {x|x<-2 또는 xæ1} 021~022 풀이 참조 023 ② 024 풀이 참조 025 ④ 026 풀이 참조 027 k<-1 또는 k>4 028 풀이 참조 029 6 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E (001-017)고하-App 2018.3.28 9:21 AM 페이지005

(6)

이때 2kl-k-l은 음이 아닌 정수이므로 mn은 홀 수이다.

⑵따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도

참이다.

⑵ 주어진 명제의 대우는

‘a, b가 실수일 때, a+0 또는 b+0이면 a¤ +b¤ +0 이다.’

⑵⁄a+0이면

a¤ >0이고 b¤ æ0이므로 a¤ +b¤ >0, 즉 a¤ +b¤ +0 이다.

⑵¤b+0이면

b¤ >0이고 a¤ æ0이므로 a¤ +b¤ >0, 즉 a¤ +b¤ +0 이다. ⑵따라서 주어진 명제의 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다. [참고] 명제의 대우를 구할 때 전제 조건은 변하지 않는 다. ⑴`에서‘m, n이 자연수일 때’는 가정도 결론도 아닌 m, n에 대한 조건이므로 그 명제의 대우를 구할 때 이 조 건은 그대로 적용된다. 풀이 참조

025

p는 q이기 위한 충분조건이므로 pjjK q ∴ P,Q 따라서 P,Q일 때, 항상 옳은 것은 ④ P-Q=00이다. ④

026

⑴ a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca = (2a¤ +2b¤ +2c¤ -2ab-2bc-2ca) = {(a¤ -2ab+b¤ )+(b¤ -2bc+c¤ ) +(c¤ -2ca+a¤ )} =11{(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ } 2 1 12 1 12 이때 (a-b)¤ æ0, (b-c)¤ æ0, (c-a)¤ æ0이므로 {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }æ0 ∴ a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-caæ0 여기서 등호는 a-b=0, b-c=0, c-a=0, 즉 a=b=c일 때 성립한다. ⑵ a‹ +b‹ +c‹ -3abc =(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca) = (a+b+c){(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ } 이때 a, b, c가 모두 양수이므로 a+b+c>0이고, {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }æ0 (∵ ⑴) 이므로 (a+b+c){(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }æ0 ∴ a‹ +b‹ +c‹ æ3abc 여기서 등호는 a-b=0, b-c=0, c-a=0, 즉 a=b=c일 때 성립한다. 풀이 참조

027

x¤ -4x+k(k-3)>0의 이차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 x에 대하여 부등식이 성립하려면 이차방정식 x¤ -4x+k(k-3)=0의 판별식을 D라 할 때, =(-2)¤ -k(k-3)<0이어야 한다. 즉, k¤ -3k-4>0, (k+1)(k-4)>0 ∴ k<-1 또는 k>4 k<-1 또는 k>4

028

⑴ x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계 에 의하여 x+ æ2æx–¥– =2 {단, 등호는 x=1x1, 즉 x=1일 때 성립} 1 1x 1 1x D 154 1 12 1 12 1 12 1 12

(7)

APPLICATION ⑵ x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 하여 + æ2æ≠ ¥– =2 {단, 등호는 = , 즉 x=y일 때 성립} 풀이 참조

029

x, y가 실수이므로 코시`-`슈바르츠의 부등식 에 의하여 {('3 )¤ +1¤ }(x¤ +y¤ )æ('3x+y)¤ 그런데 x¤ +y¤ =9이므로 ('3x+y)¤ …36 ∴ -6…'3x+y…6 {단, 등호는 = 일 때 성립} 따라서 '3x+y의 최댓값은 6이다. '3x+y=k로 놓고 k의 값의 범위를 생각해 보자. x¤ +y¤ =9에 y=k-'3x를 대입하면 x¤ +(k-'3x)¤ =9 ∴ 4x¤ -2'3kx+k¤ -9=0 이때 x가 실수이므로 위의 방정식은 실근을 가진다. 이차방정식 4x¤ -2'3kx+k¤ -9=0의 판별식을 D라 하면 =3k¤ -4(k¤ -9)æ0, k¤ …36 ∴ -6…k…6 HjK -6…'3x+y…6 따라서 '3x+y의 최댓값은 6이다. 6 D 154 y 11 x 153 '3 x 1y y 1x x 1y y 1x x 1y y 1x

030

⑴ 함수가 아니다. ⑵ 함수이다. 풀이 참조

031

⑴ 함수이다. 정의역 : {a, b, c, d}, 공역 : {p, q, r}, 치역 : {p, q, r} ⑵ 함수가 아니다. ⑶ 함수이다. 정의역 : {a, b, c, d}, 공역 : {p, q, r}, 치역 : {p, q} X 23 24 25 3 4 5 Y X 23 24 25 3 4 5 Y

1. 함수

II

함수

030~031 풀이 참조 032 ② 033 서로 같은 함수가 아니다. 034 ⑴ ㄹ, ㅁ, ㅂ ⑵ ㅁ, ㅂ ⑶ ㅁ ⑷ ㄴ 035 ⑴ 일대일함수이다. ⑵ 일대일함수가 아니다. 036 ⑴ 3 ⑵ 14 037 ④ 038 ⑴ y=2x+4 ⑵ y=;5!;x+;5$; 039 ⑴ y=x+3 (-3…x…1) ⑵ y=-;2!;x+;2#; (-5…x…3) 040 ⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 0 ⑷ 3 041 풀이 참조 042 ② APPLICATION S U M M A C U M L A U D E (001-017)고하-App 2018.3.28 9:21 AM 페이지007

(8)

⑷ 함수이다. 정의역 : {a, b, c}, 공역 : {p, q, r, s}, 치역 : {p, q, r} 풀이 참조

032

주어진 그래프에 수직선을 그었을 때, 오직 한 점에서 만나야 함수의 그래프가 될 수 있다. ① ② ③ ④ 위와 같이 수직선을 그었을 때, ①, ③, ④의 그래프는 한 점에서 만나지만 ②의 그래프는 두 점에서 만나는 수직선 을 찾을 수 있으므로 함수의 그래프가 될 수 없는 것은 ② 이다. ②

033

f(-1)="√(-1)¤ =1, g(-1)=-1이므로 서로 같은 함수가 아니다. 서로 같은 함수가 아니다.

034

⑴ ㄹ, ㅁ, ㅂ ⑵ ㅁ, ㅂ ⑶ ㅁ ⑷ ㄴ

035

⑴ 임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 f(x¡)=f(x™)이면 2x¡+5=2x™+5 ∴ x¡=x™ 따라서 함수 f(x)는 일대일함수이다. O x y O x y O x y O x y ⑵ 임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 g(x¡)=g(x™)이면 |x¡|+2=|x™|+2, |x¡|=|x™| ∴ x¡=x™ 또는 x¡=-x™ 따라서 함수g(x)는 일대일함수가 아니다. ⑴ 일대일함수이다. ⑵ 일대일함수가 아니다.

036

⑴ (g Á`f)(2)=g(f(2))=g(2)=3 ⑵ (f`Á`g)(3)=f(g(3))=f(4)=14 ⑴ 3 ⑵ 14

037

역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 한다. ①, ②, ③, ⑤의 경우, 그 그래프를 그려 보면 일대일대응 이 아님을 쉽게 알 수 있다. ④

038

⑴ 정의역과 치역이 실수 전체의 집합이므로 함 수 y=;2!;x-2는 일대일대응이다. 즉, 역함수가 존재 한다. y=;2!;x-2를 x에 대하여 풀면 ;2!;x=y+2 ∴ x=2y+4 여기서 x와 y를 서로 바꾸면 y=2x+4 ⑵ 정의역과 치역이 실수 전체의 집합이므로 함수 y=5x-4는 일대일대응이다. 즉, 역함수가 존재한다. y=5x-4를 x에 대하여 풀면 5x=y+4 ∴ x=;5!;y+;5$; 여기서 x와 y를 서로 바꾸면 y=;5!;x+;5$; ⑴ y=2x+4 ⑵ y=;5!;x+;5$;

(9)

APPLICATION

039

주어진 함수의 정의역을 X={x|0…x…4} 라 하고, 치역을 Y라 하자. ⑴ 주어진 함수의 치역 Y는 Y={y|-3…y…1} 한편 y=x-3을 x에 대하여 풀면 x=y+3 x와 y를 서로 바꾸면 y=x+3(-3…x…1) ⑵ 주어진 함수의 치역 Y는 Y={y|-5…y…3} 한편 y=-2x+3을 x에 대하여 풀면 2x=-y+3 ∴ x=-;2!;y+;2#; x와 y를 서로 바꾸면 y=-;2!;x+;2#; (-5…x…3) [참고]주어진 함수의 치역은 그 역함수의 정의역이 된다. 따라서 함수의 치역이 실수 전체의 집합이 아닌 경우에는 역함수를 구할 때, 정의역도 표기해 주어야 한다. ⑴ y=x+3 (-3…x…1) ⑵ y=-;2!;x+;2#; (-5…x…3)

040

⑴ f —⁄ (3)=1 ⑵ (f —⁄ )—⁄ (-1)=f(-1)=2 ⑶ (f —⁄ `Á`f)(0)=f —⁄ (f(0))=f —⁄ (4)=0 ⑷ (f`Á`f —⁄ )(3)=f(f —⁄ (3))=f(1)=3 ⑴ 1 ⑵ 2 ⑶ 0 ⑷ 3

041

⑴ y=g(x) HjK y=- x+ 의 역함수 를 구해 보면 x=-y+ , x=-2y+3g—⁄ (x)=-2x+3=f(x) 3 12 1 12 3 12 1 12 따라서 두 함수 f(x)와 g(x)는 서로 역함수 관계에 있다. ⑵ y=f(x) HjK y=-2x+3의 역함수를 구해 보면 2x=-y+3, x=- y+ ∴ f —⁄ (x)=- x+ =g(x) 따라서 두 함수 f(x)와 g(x)는 서로 역함수 관계에 있다. ⑶ (gÁ f)(x)=g(f(x))=g(-2x+3) ⑶ (gÁ f)(x)=- (-2x+3)+ ⑶ (gÁ f)(x)=x- + =x(fÁ g)(x)=f(g(x))=f {- x+ } ⑷ (fÁg)(x)=-2{- x+ }+3 ⑷ (fÁg)(x)=x-3+3=x 따라서 두 함수 f(x)와 g(x)는 서로 역함수 관계에 있다. 풀이 참조

042

점 A의 좌표가 A(a, f(a))이고, 점 B는 점

A를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점이므로 B(f(a), a) 또 점 C의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같으므로 C(f —⁄ (a), a) 이때 점 D는 점 C를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 이므로 D(a, f —⁄ (a)) 따라서 점 D의 y좌표는 f —⁄ (a)이다.3 12 1 12 3 12 1 12 3 12 3 12 3 12 1 12 3 12 1 12 3 12 1 12 (001-017)고하-App 2018.3.28 9:21 AM 페이지009

(10)

÷ = ÷ = _ = ⑴ ⑵ ⑶ ⑷

044

식을 이루는 각 유리식들을 먼저 정리한다. ⑴ - - + ={2+ }-{5- } =-{2+ }+{5- } ={ - }+{ - } = + = = -= -={x- }-{x- } =- + = = ⑴ ⑵11111422(x+2)(x-2)4 -7x+10 35111111111111111(2x-3)(6x-10)(3x-4)(4x-5) 4 1 11111111144222244 (x+2)(x-2) -(x-2)+(x+2) 111111113(x+2)(x-2) 1 1142x-2 1 1142x+2 1 1142x-2 1 1142x+2 x(x-2)-1 1111125x-2 x(x+2)-1 1111125x+2 x¤ -2x-1 111115x-2 x¤ +2x-1 111115x+2 -7x+10 33551(2x-3)(6x-10)(3x-4)(4x-5)1111111111111111111111111111133 -(3x-4)(4x-5)+(2x-3)(6x-10) 35111111111111111132(2x-3)(6x-10)(3x-4)(4x-5) 1 231111111(3x-4)(4x-5) -1 311111111(2x-3)(6x-10) 4 11144x-5 3 11143x-4 3 111256x-10 1 11142x-3 4 11144x-5 3 111256x-10 3 11143x-4 1 11142x-3 20x-29 111154x-5 12x-17 111156x-10 15x-23 111153x-4 4x-5 11142x-3 a-2b 3311112a¤ +ab+b¤ 1 33111111(a+1)(a-2) -a¤ -2b¤ 1111111(a+b)(a-2b) 4 112a-2 a-2b 33331a¤ +ab+b¤111111122 (a+b)(a-2b) 5111111111(a-b)(a¤ +ab+b¤ ) a-b 112a+b (a-b)(a¤ +ab+b¤ ) 5111111111(a+b)(a-2b) a-b 112a+b a‹ -b‹ 3311111a¤ -ab-2b¤ a-b 112a+b

043

+ = = =- = =_ = _ =33331111111111111 (a+1)(a-2) a-4 33111111(a-2)(a-3) a-3 33111111(a+1)(a-4) a-4 111132a¤ -5a+6 a-3 111132a¤ -3a-4 -a¤ -2b¤ 1 11(a+b)(a-2b)11111111111 b(a-2b)-a(a+b) 1111111115(a+b)(a-2b) a 111a-2b b 112a+b 4 1 11a-2122 4a 111225a(a-2) (a-1)+(3a+1) 111111115a(a-2) 3a+1 1113a¤ -2a a-1 1113a¤ -2a

2. 유리함수

043 ⑴002⑶ ⑷ 044 ⑴ 002045 046 ⑴ ⑵ ⑶ 047 ⑴⑶ 3 : 2 048 또는 -2 049 ⑴ [x|x+- 인 실수] 007⑵ {x|x+—2인 실수} ⑶ {x|x는 실수} 050 풀이 참조 1 13 1 12 4 13 12 1249 y 1x x+1 1153x-1 x 1153x-1 6 421112x(x+6) 4 33111111(x+2)(x-2) -7x+10 35111111111111111(2x-3)(6x-10)(3x-4)(4x-5) a-2b 3311112a¤ +ab+b¤ 1 33111111(a+1)(a-2) -a¤ -2b¤ 1111111(a+b)(a-2b) 4 112a-2 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

(11)

APPLICATION

045

각 항을 부분분수로 분해하면

+

+

= { - } + { - } + { - } ={ - }+{ - } +{ - } = - = =

046

주어진 식의 분모, 분자를 각각 통분한 후 간 단히 한다. ⑴ (주어진 식)= = = ⑵ (주어진 식)= = = ⑶ (주어진 식)= = = ⑴ 분모, 분자에 x¤ 을 곱하면 (주어진 식)= = =1152x x-1 x(x-1) 21111(x-1)¤ x¤ -x 111122x¤ -2x+1 y 1 1x (x+y)¥2y 211112(x+y)¥2x (x+y)-(x-y) 11111311x+y 111111215(x+y)+(x-y) 11111311x+y x+1 1 11x-115522 (x+2)(x+1) 21111114(x+2)(x-1) x+2 111132x+x¤ -2 111121+x x 1 11x-115522 x¤ (x-1) 21111x(x-1)¤ x-1 112x 111115x¤ -2x+1 11111 6 421113x(x+6) 6 44221x(x+6)1111111 x+6-x 11115x(x+6) 1 1134x+6 1 1x 1 1134x+6 1 1134x+3 1 1134x+3 1 1134x+1 1 1134x+1 1 1x 1 1134x+6 1 1134x+3 3 411111112(x+6)-(x+3) 1 1134x+3 1 1134x+1 2 411111112(x+3)-(x+1) 1 1134x+1 1 1x 1 111115(x+1)-x 3 41111112(x+3)(x+6) 2 41111112(x+1)(x+3) 1 11115x(x+1) ⑵ 분모, 분자에 1+x를 곱하면 (주어진 식)= = = = ⑶ 분모, 분자에 x+y를 곱하면 (주어진 식)= = = ⑴ ⑵ ⑶

047

= =k(k+0)로 놓으면 a=4k, b=3k= = = ⑵ x= = =k(k+0)로 놓으면 x=k, y=2k, z=4k== == , = , = , = 이므로 = _ _ _ = _ _ _ = ∴ x : v=3 : 2 ⑴ ⑵ ⑶ 3 : 2

048

가비의 이에 의하여 k= = = 이것은 x-2y+0인 경우에만 성립하므로 x-2y=0인 경우도 생각해 주어야 한다. 즉, x=2y이면 1 12 x-2y 5211112(x-2y) x-2y 411111111(x-3y)+(x-y) 4 13 12 1249 3 12 1 13 6 15 3 12 5 12 w 1v z 1w y 1z x 1y x 1v 1 13 w 1v 6 15 z 1w 3 12 y 1z 5 12 x 1y 4 1 13 8k‹ 1236k‹ k¥2k¥4k 11111122-k¥(-2k)¥3k xyz 1111111112(x-y)(y-z)(z-x) z 14 y 12 12 1 12249 12k¤ 11349k¤ 4k¥3k 111123(4k+3k)¤ ab 11123(a+b)¤ b 13 a 14 y 1x x+1 1152x-1 x 1152x-1 y 1x 2y 1252x (x+y)-(x-y) 211111113(x+y)+(x-y) x+1 1152x-1 (x+2)(1+x) 21111114(x+2)(x-1) (x+2)(1+x) 21111114x¤ +x-2 (x+2)(1+x) 21111114x(1+x)-2 (001-017)고하-App 2018.3.28 9:21 AM 페이지011

(12)

k= = = =-2 ∴ k= 또는 k=-2 [참고] 가비의 이를 사용하지 않고 비례식의 성질을 이용 하여 = 를 x=(`y에 대한 식)으로 나타낸 후, 주어진 식에 대입하여 k의 값을 구해도 된다. 또는 -2

049

⑴ x=- 인 경우 함수식 자체를 정의할 수 없으므로 함수 y= 의 정의역은 실수 전체 의 집합에서 x=- 을 제외한 집합이다. ∴ [x|x+- 인 실수] ⑵ x¤ -4=0, (x+2)(x-2)=0 ∴ x=—2 즉, x=—2인 경우 함수식 자체를 정의할 수 없으므 로 함수 y= 의 정의역은 실수 전체의 집합 에서 x=—2를 제외한 집합이다. ∴ { x|x+—2인 실수} ⑶ x¤ +x+1={x+;2!;}2 +;4#;>0이므로 함수 y= 의 정의역은 실수 전체의 집합이다. ∴ { x|x는 실수} ⑴ [x|x+- 인 실수] ⑵ {x|x+—2인 실수} ⑶ {x|x는 실수} 1 13 x+2 11115x¤ +x+1 -2x+1 11115x¤ -4 1 1 13 1 13 2 11153x+1 1 13 1 12 -2y 121x-y x 1213x-3y 1 1 12 -2y 121y -2y 12132y-y -2y 121x-y

050

⑴ y= = = + = + 따라서 y=- 의 그래프를 x축의 방향으로 -큼, y축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로 그래 프는 다음 그림과 같다. 정의역:[x|x+- 인 실수] 치역:[ y|y+ 인 실수] 점근선의 방정식:x=- , y= x절편: y절편:-⑵ y= 을 x에 대하여 풀면 2xy+3y=3x-1 ∴ x= 여기서 x, y를 서로 바꾸면 역함수는 y= 이때 y= = 이 = - = -13 2 -11 1111253 4{x-1}2 3 12 -11 1114x-6 3 11 -1(2x-3)-12 2 2 1111111112x-3 -3x-1 11112x-3 -3x-1 1 112x-31115511 -3y-1 1112342y-3 3x-1 11152x+3 1 1 13 1 1 13 3 1 12 3 1 12 3 1 12 3 1 12 O x y y= x= 3 2 3 2 1 3 1 3 3 2 -3 2 - -3 12 3 12 11 124x 3 12 -11 1111253 4{x+1}2 3 12 -11 1114x+6 3 11 1(2x+3)-132 2 1111111232x+3 3x-1 11152x+3

(13)

APPLICATION 이므로 정의역:[x|x+ 인 실수] 치역:[ y|y+- 인 실수] 점근선의 방정식:x= , y=- x절편:-y절편: 따라서 역함수의 그래프는 다음 그림과 같다. 풀이 참조 1 3 3 2 3 2 1 3 -O x y y= x= 3 2 -3 2 -1 13 1 13 3 12 3 12 3 12 3 12

051

무리식의 값이 실수가 되기 위해서는 근호 안 의 식의 값이 반드시 음수가 아니어야 하고, 무리식에 포 함된 유리식의 분모가 0이 아니어야 한다. ⑴ x-2æ0 ∴ xæ2 ⑵ x-1æ0이고 3-xæ0이어야 하므로 xæ1이고 x…3 공통 부분을 찾으면 1…x…3 ⑶ x+1æ0이고 x+1+0이어야 하므로 x>-1 ⑴ xæ2 ⑵ 1…x…3 ⑶ x>-1

052

⑴ '1ß0 >3='9 이므로 "(√3-'ç1å0≈ )Ω¤ =|3-'1ß0 | ='1ß0 -3 ⑵ x>3이므로 3-x<0, 1-x<0 ∴ |3-x|-"√(1-x)¤ =|3-x|-|1-x| =-(3-x)+(1-x) =-2 ⑴ '1ß0-3 ⑵ -2

3. 무리함수

051 ⑴ xæ2 ⑵ 1…x…3 ⑶ x>-1 052 ⑴ '1ß0-3 ⑵ -2 053 ⑴ 3+2'6 ⑵ ;9@; 054 ⑴ x-5 ⑵ x('ƒx+1-'ƒx-4) 055 x=7, y=1 056 ⑴ '5 -'3 ⑵ 2-'2 ⑶ '6 +'3 005057 ⑴ {x|x…4인 실수} ⑵ [x|xæ-;2#;인 실수] 007⑶ {x|-2…x…2인 실수} 058 풀이 참조 3'2 +'1ß0 111112 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E (001-017)고하-App 2018.3.29 2:35 PM 페이지013

(14)

053

⑴ ('∂18-'3)('2+'3) =(3'2-'3)('2+'3) =3('2)¤ +3'2'3-'3'2-('3)¤ =6+3'6-'6-3 =3+2'6 ⑵ æ≠ {æ -æ≠ }=æ≠ æ -æ≠ æ =æ≠ ¥ -æ≠≠ ¥ =æ -æ≠ = - = ⑴ 3+2'6 ⑵

054

⑴ ('ƒx-1+2)('ƒx-1-2) =('ƒx-1 )¤ -2¤ =x-1-4=x-5 ⑵ ⑵====x('ƒƒx+1-'ƒx-4 ) ⑴ x-5 ⑵ x('ƒx+1-'ƒx-4 )

055

분모를 유리화한 후 a+b'∂m =c+d'∂m 꼴 로 정리하면 -x('3+2)-y('3-2)=-4(3+2'3) ∴ (-2x+2y)+(-x-y)'3 =-12-8'3 무리수가 서로 같을 조건에 의하여 -2x+2y=-12, -x-y=-8 두 식을 연립하여 풀면 x=7, y=1 x=7, y=1 5x('ƒx+1-'ƒx-4 ) 41111111125 5x('ƒx+1-'ƒx-4 ) 4111111112(x+1)-(x-4) 5x('ƒx+1-'ƒx-4 ) 4111111111111111('ƒx+1+'ƒx-4 )('ƒx+1-'ƒx-4 ) 5x 11111152 'ƒx+1+'ƒx-4 2 19 2 1 19 1 19 1 13 1 1381 1 19 1 1315 5 1327 3 15 5 1327 1 1315 5 1327 3 15 5 1327 1 1315 3 15 5 1327

056

⑴ "8√-2'ç1ß5 ="(√5+3√)-2√'5∂¥3 ='5 -'3 ⑵ "6√-4'≈2="6√-2'≈8 ="(√4+2√)-2√'4ߥß2 ='4-'2 =2-'2 ⑶ "9√+'7≈ß2="9√+2'ç1ß8 ="(√6+3√)+2√'6∂¥3 ='6 +'3 ⑷ "7√+'4≈ß5 =æ≠ ≠ – = = = ⑴ '5 -'3 ⑵ 2-'2 ⑶ '6 +'3 ⑷

057

⑴ -x+4æ0 HjK x…4 ∴ { x|x…4인 실수} ⑵ 2x+3æ0 HjK xæ-∴ [x|xæ- 인 실수] ⑶ 4-x¤ æ0 HjK -2…x…2 ∴ { x|-2…x…2인 실수} ⑴ {x|x…4인 실수} ⑵ [x|xæ- 인 실수] ⑶ {x|-2…x…2인 실수}

058

⑴ y=2"√2xç+≈4+3=2"√2(xç+≈2Ω)+3이므 로 그 그래프는 y=2'∂2x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 3 12 3 1 12 3 12 3'2 +'1ß0 111112 3'2 +'1ß0 1 1111112111 '9 +'5 11122 '2 "(√9+5√)+2√'9ߥß5 111111132 '2 14+2'4ß5 1111522

(15)

APPLICATION 정의역:{ x|xæ-2인 실수} 치역:{ y|yæ3인 실수} x절편:없다. y절편:7 [참고]무리함수의 그래프에서 x절편 또는 y절편이 없 는 경우도 있으므로 그래프를 그려 그 존재를 확인한 후 구하도록 하자. ⑵ y=2'ƒ2x+ß4+3에서 x를 y에 대하여 나타내면 y-3=2'ƒ2x+ß4 HjK (y-3)='ƒ2x+ß4 HjK (y-3)¤ =2x+4 HjK x= (y-3)¤ -2 여기서 x, y를 서로 바꾸어 쓰면 구하는 역함수는 y= (x-3)¤ -2 (xæ3) 이때 정의역:{x|xæ3인 실수} 치역:{ y|yæ-2인 실수} x절편:7 y절편:없다. 따라서 역함수의 그래프는 다음 그림과 같다. 풀이 참조 O -2 3 7 x y 1 1 18 1 18 1 14 1 12 O -2 3 7 x y

059

나오는 눈의 수를 차례로 a, b라 하자. 이때 a+b의 값이 9 이상이 되는 경우는 ‘a+b=9 또는 a+b=10 또는 a+b=11 또는 a+b=12’ 가 될 때이므로 다음 각 경우의 순서쌍 (a, b)를 구하면a+b=9인 경우 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) Δ 4가지 ¤a+b=10인 경우 (4, 6), (5, 5), (6, 4) Δ 3가지a+b=11인 경우 (5, 6), (6, 5) Δ 2가지a+b=12인 경우 (6, 6) Δ 1가지 ⁄~›는 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수 는 합의 법칙에 의하여 4+3+2+1=10 10

060

⑴ 주사위 한 개를 던졌을 때 나타날 수 있는 경우의 수는 6이다. 또한 서로 다른 100원짜리 동전 2개를 던졌을 때 나타날 수 있는 경우는 (앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)로 4가지이다.

1. 순열과 조합

III

경우의 수

059 10 060 ⑴ 24 ⑵ 6 ⑶ 16 061 12 062 ⑴ 30 ⑵ 24 ⑶ 336 063 ⑴ 7 ⑵ 4 064 ⑴ 120 ⑵ 144 065 70 066 ⑴ 6 ⑵ 35 ⑶ 120 067 ⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ 12 068 20 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E (001-017)고하-App 2018.3.28 9:21 AM 페이지015

(16)

따라서 구하는 모든 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 6_4=24 ⑵ a, b 중 어느 하나를 택하면 그 각각에 대하여 x, y, z 의 3가지의 선택이 가능하므로 구하는 항의 개수는 곱 의 법칙에 의하여 2_3=6 ⑶ 120=2‹ _3_5이므로 120의 양의 약수는 2¬ _3μ _5« (l=0, 1, 2, 3, m=0, 1, n=0, 1)의 꼴이다. 이때 l을 택하는 경우의 수는 4, m, n을 택하는 경우의 수는 각각 2이다. 따라서 120의 양의 약수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 4_2_2=16 ⑴ 24 ⑵ 6 ⑶ 16

061

A에서 B로의 함수가 상수함수가 아니려면 정의역 A의 모든 원소가 공역 B의 원소에 중복되지 않 도록 하나씩 대응되어야 한다. 즉, A의 원소 1에 대응시 킬 수 있는 B의 원소는 a, b, c, d로 4개이고, 이 각각 에 대하여 A의 원소 2에 대응시킬 수 있는 B의 원소는 1에 대응된 것을 제외한 나머지 3개이다. 따라서 구하는 함수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 4_3=12 공역 B의 서로 다른 원소 4개에서 중복되지 않게 정의역 A의 원소의 수인 2개를 택하여 나열하는 방 법이므로 ¢P™=4_3=12 12

062

⑴ §P™=6_5=30 ⑵ ¢P¢=4_3_2_1=24•P£=8_7_6=336 ⑴ 30 ⑵ 24 ⑶ 336

063

⑴ 210을 연속하는 세 수의 곱으로 표현해 보면 210=7_6_5 따라서«P£=210을 만족시키는 n의 값은 7이다. «P£=n(n-1)(n-2)=210n‹ -3n¤ +2n-210=0(n-7)(n¤ +4n+30)=0∴ n=7 (∵ næ3) ⑵ 360을 6부터 시작하여 연속하는 수들의 곱으로 표현 해 보면 360=6_5_4_3 따라서 §P«=360을 만족시키는 n의 값은 4이다. §P«= =360이때 6!=6_5_4_3_2_1=720이므로(6-n)!=2즉, 6-n=2이므로 n=4 ⑴ 7 ⑵ 4

064

⑴ 6명의 학생 중 3명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수는 §P£이다. ∴ §P£=6_5_4=120 ⑵ 먼저 남학생 4명을 세운 후 그 사이사이에 여학생을 세우면 남학생과 여학생이 교대로 서 있게 된다. ⁄ 남학생 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4!=4_3_2_1=24 ¤ 남학생의 사이사이에 여학생 3명을 세우는 경우, ●×●×●×● 즉 위와 같이 ×로 표시한 3개의 공간에 여학생 3명 을 세우는 방법의 수는 3!=3_2_1=6 ⁄ , ¤는 연이어 발생하는 것이므로 구하는 방법의 수는 곱의 법칙에 의하여 24_6=144 ⑴ 120 ⑵ 144 6! 11115(6-n)!

(17)

APPLICATION

065

•C¢=¶C£+¶C¢ (∵ ㉣) =2_¶C£ (∵ ㉢에서 ¶C£=¶C¢) =2(§C™+§C£) (∵ ㉣) =2{(∞C¡+∞C™)+(∞C™+∞C£)} (∵ ㉣) =2(∞C¡+3_∞C™) (∵ ㉢에서 ∞C™=∞C£) =2{∞C¡+3(¢C¡+¢C™)} (∵ ㉣) =2{∞C¡+3_¢C¡+3(£C¡+£C™)} (∵ ㉣) =2(∞C¡+3_¢C¡+6_£C¡) (∵ ㉢에서 £C¡=£C™) =2(5+3_4+6_3) (∵ ㉡에서 ∞C¡=5, ¢C¡=4, £C¡=3) =70 70

066

⑴ ¢C™= = =6 ⑵ ¶C£= = =35¡ºC¶=¡ºC£= = =120 ⑴ 6 ⑵ 35 ⑶ 120

067

«C™= =10에서 «P™=10_2=20=5_4 ∴ n=5 «C™= =10 n¤ -n-20=0, (n+4)(n-5)=0 ∴ n=5 (∵ næ2) ⑵ ⁄ªC«=ªC«–∞에서 n=n-5 이 식을 만족시키는 n의 값은 존재하지 않는다. ⑵¤ªC«=ªCª–«이므로 ªCª–«=ªC«–∞에서 9-n=n-5, 2n=14 ∴ n=7 ⑵⁄, ¤에서 n=7 n(n-1) 15215122 «P™ 112! 10_9_8 111123_2_1 ¡ºP£ 113! 7_6_5 1152153_2_1 ¶P£ 113! 4_3 11522_1 ¢P™ 112!«C¢=«C«–¢이므로 «C«–¢=«C•에서 n-4=8 ∴ n=12 ⑴ 5 ⑵ 7 ⑶ 12

068

§C£=11133356_5_4 =20 20 3_2_1 (001-017)고하-App 2018.3.28 9:21 AM 페이지017

(18)

001

-` 5<A에서 5<B이므로 a¤ +4=5 또는 a-2=5

a¤ +4=5일 때, a=-1 또는 a=1

a=-1일 때, A={3, 5}, B={-3, 1, 5}이므로 A¯B a=1일 때, A={1, 5}, B={-1, 1, 5}이므로 A,B ¤ a-2=5일 때, a=7 이때 A={-5, 5}, B={1, 5, 53}이므로 A¯B ⁄, ¤에서 A,B를 만족하는 a의 값은 1이다. 1

001

-` 세 집합 A, B, C를 A,B,C가 성립하 도록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다. 즉, 주어진 조건을 만족시키려면 -1…k…1이고 2<k+3…5에서 -1<k…2이어야 한다. 따라서 A,B,C를 만족시키는 k의 값의 범위는 -1<k…1이므로 구하는 정수 k의 값은 0, 1이다. 0, 1 -1 k A B C k+3 x 1 2 5

002

-` A,B이고 B,A이므로 A=B 2<A에서 2<B이므로

a¤ -a=2, a¤ -a-2=0

(a+1)(a-2)=0 ∴ a=-1 또는 a=2 이때 a=-1이면 a-2=-3이므로 A={-3, 2, b}, B={0, 2, 8} ∴ A+B 즉, a=2일 때, A=B이므로 {0, 2, b}={0, 2, 8} ∴ b=8 ∴ a=2, b=8 a=2, b=8

003

-` ①0는 S의 원소이므로 0<S ②0는 모든 집합의 부분집합이므로 0,S ③ 1은 S의 원소이므로 {1},S ④ {1, 2}는 S의 원소이므로 {1, 2}<S ⑤ 1은 S의 원소이지만 2는 S의 원소가 아니므로 {1, 2}¯S 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

004

-` 집합 A의 부분집합 중 2 또는 6을 원소로 갖는 부분집합의 개수는 집합 A의 부분집합의 개수에서 2와 6을 원소로 갖지 않는 집합 A의 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다. 이때 A={1, 2, 3, 6, 9, 18}이므로 구하는 부분집합의 개수는 (집합 A의 부분집합의 개수) -(집합 {1, 3, 9, 18}의 부분집합의 개수) =2fl -2fl —¤ =64-16=48 48

005

-` Min(B)=a™에서 집합 B의 가장 작은 원

소는 a™이므로 a¡은 집합 B의 원소가 될 수 없고, a™는 집합 B의 원소가 되어야 한다. 또한 Max(B)=a¡º에서 집합 B의 가장 큰 원소는 a¡º 이므로 a¡º은 집합 B의 원소가 되어야 한다. 001-` 1 001-` 0, 1 002-` a=2, b=8 003-` ⑤ 004-` 48 005-` 128 006-` 8 006-` 16 007-` A 008-` ④ 009-` ④ 010-` 최댓값:60, 최솟값:30 유제 S U M M A C U M L A U D E

1. 집합

I

집합과 명제

(19)

유`제

008

-` {(AÇ ;BÇ )'(B-A)}'BÇ ={(AÇ ;BÇ )'(B;AÇ )}'BÇ ={(AÇ ;BÇ )'(AÇ ;B)}'BÇ ={AÇ ;(BÇ 'B)}'BÇ =(AÇ ;U)'BÇ =AÇ 'BÇ

즉, AÇ 'BÇ =AÇ 이므로 BÇ ,AÇ ∴ A,B 따라서 A,B일 때 항상 옳은 것은 ④이다.

009

-` ①`~`⑤를 하나씩 벤다이어그램으로 그려 봐 도 되지만 주어진 벤다이어그램에서 A;B와 C의 관계 를 먼저 생각해 볼 수 있다. 즉, 색칠한 부분은 (A;B)△C이다.

010

-` 학생 전체의 집합을 U, 박보검을 좋아하는 학생의 집합을 A, 이종석을 좋아하는 학생의 집합을 B 라 하면 n(U)=100, n(A)=70, n(B)=60 포제의 원리에서 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)이므로 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B) =70+60-n(A'B) =130-n(A'B) 이때 n(A;B)의 값의 범위를 구하기 위해서는 n(A'B)의 값의 범위를 알아야 한다. 즉, n(A)=70…n(A'B)…n(U)=100이므로 130-100…n(A;B)…130-70 ∴ 30…n(A;B)…60 따라서 박보검과 이종석을 모두 좋아하는 학생 수의 최댓 값은 60, 최솟값은 30이다. 최댓값:60, 최솟값:30 따라서 집합 A의 원소 중에서 a™와 a¡º은 원소로 갖고,

a¡은 원소로 갖지 않는 부분집합 B의 개수는 2⁄ ‚ —¤ —⁄ =2‡ =128 128

006

-` B;X=X이므로 X,B (A;B)'X=X이므로 (A;B),X ∴ (A;B),X,B 이때 A;B={4, 6}이므로 {4, 6},X,{2, 4, 6, 8, 10}을 만족시키는 집합 X는 {2, 4, 6, 8, 10}의 부분집합 중 4, 6을 원소로 갖는 집합 이다. 따라서 집합 X의 개수는 2fi —¤ =2‹ =8 8

006

-` U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}이고 A'C=B'C에서 집합 C가 {2, 6, 7}'C={1, 2, 5, 8, 9}'C를 만족시키려면 집합 C는 두 집합 {2, 6, 7}, {1, 2, 5, 8, 9}의 공통인 원소 2 를 제외한 나머지 원소 1, 5, 6, 7, 8, 9를 원소로 가져야 한다. 즉, 집합 C는 U의 부분집합 중 1, 5, 6, 7, 8, 9를 원소로 갖는 집합이므로 집합 C의 개수는 2⁄ ‚ —fl =2› =16 16

007

-` {(A;B)'(AÇ 'B)Ç }'(BÇ 'B)Ç ={(A;B)'(A;BÇ )}'UÇ ={A;(B'BÇ )}'0 =(A;U)'0 =A'0=A A (018~043)고하-유제 2018.3.29 5:38 PM 페이지019

(20)

011-` 풀이 참조 012-` 풀이 참조 013-` ㄱ, ㄴ 014-` 풀이 참조 014-` 4 015-` ④ 016-` 풀이 참조 017-` 필요 018-` 8 019-` 4'3 019-` '2å2 020-` 4 020-` ;7!; 021-` 5 022-` bæa¤ 023-` 64 m¤ 유제 S U M M A C U M L A U D E

2. 명제

011

-` (반례) 세 집합 A, B, C를 A={1, 2, 3, 4}, B={2, 3, 4, 5}, C={2, 3, 4}라 하 면 A;C=B;C={2, 3, 4}이지만 A+B이다. 따라서 주어진 명제는 거짓이다. 물론 이외에도 다양한 형태의 반례를 제시할 수 있다. 풀이 참조

012

-` ⑴ (반례) 등변사다리꼴은 대각선의 길이가 서로 같지만 네 변의 길이가 같지 않을 수 있으므로 이 러한 경우에는 정사각형이 아니다. (거짓) ⑵ (반례) x='3, y=-'3이면 x, y는 모두 무리수이 지만 x+y=0으로 유리수이다. (거짓) ⑶ p : x¤ -4x+3=0, q : x는 홀수라 하고, 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 x¤ -4x+3=(x-1)(x-3)=0에서 P={1, 3}, Q={x|x는 홀수}이므로 P,Q이다. 따라서 주어진 명제는 참이다. 풀이 참조

013

-` U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ㄱ. 명제‘모든 x에 대하여 3x는 홀수이다.’의 부정은 ‘어떤 x에 대하여 3x는 짝수이다.’ x=2이면 3x는 짝수이므로 주어진 명제의 부정은 참 이다. ㄴ. 명제‘모든 x에 대하여 2x-10<10이다.’의 부정은 ‘어떤 x에 대하여 2x-10æ10이다.’ 2x-10æ10에서 2xæ20 ∴ xæ10 x=10이면 2x-10æ10이므로 주어진 명제의 부정 은 참이다. ㄷ. 명제‘어떤 x에 대하여 x¤ -8x>9이다.’의 부정은 ‘모든 x에 대하여 x¤ -8x…9이다.’ x¤ -8x…9에서 x¤ -8x-9…0 ㄷ. (x-9)(x+1)…0 ∴ -1…x…9 ㄷ. x=10이면 x¤ -8x>9이므로 주어진 명제의 부정은 거짓이다. 따라서 주어진 명제의 부정이 참인 것은 ㄱ, ㄴ이다. ㄱ, ㄴ

014

-` 역:x+y>2이면 x>1이고 y>1이다. (거짓) 역:(반례) x=-1, y=4이면 x+y>2이지만 x<1이 고 y>1이다. 대우:x+y…2이면 x…1 또는 y…1이다. (참) 주어진 명제가 참이므로 그 대우도 참이다. 풀이 참조

014

-` 주어진 명제가 참이므로 그 대우 ‘x+1=0이면 x¤ -(a+1)x-6=0이다.’도 참이다. x=-1을 x¤ -(a+1)x-6=0에 대입하면 1+(a+1)-6=0 ∴ a=4 4

015

-` ㈎와 ㈏를 연결시키면 「에틸렌의 첨가중합체 jjK 열가소성 수지 jjK 사슬 모양의 구조」 yy ㉠ 라는 진술을 얻을 수 있다.

(21)

유`제 이제 이 명제의 대우를 구해 보면 다음과 같다. 「~(사슬 모양의 구조) jjK ~(열가소성 수지) jjK ~(에틸렌의 첨가중합체)」 yy ㉡ 주어진 명제를 ㉠, ㉡과 비교해 보면 반드시 참인 명제는 ④이다. ④

016

-` ⑴ '2가 무리수가 아니라고 가정하자.즉, '2를 유리수라 가정하면 '2= (a, b는 서로소인 자연수) ⑴로 나타낼 수 있다. 이 식의 양변을 제곱하면 2= ∴ b¤ =2a¤여기서 b¤ 은 2의 배수이므로 b 또한 2의 배수이다.그러므로 b=2k (k는 자연수)로 놓고, 이를 b¤ =2a¤ 에 대입하면 4k¤ =2a¤ ∴ a¤ =2k¤즉, a 또한 2의 배수가 된다. 그런데 a, b가 모두 2의 배수라는 것은 a와 b가 서로 소인 자연수라는 가정에 모순이다. ⑴따라서 '2는 유리수가 아니다. 즉, '2는 무리수이다. ⑵ 1-'3이 무리수가 아니라고 가정하자. 즉, 1-'3이 유리수라 가정하면1-'3과 -1이 유리수이므로(1-'3)+(-1)=-'3도 유리수이다.그런데 이것은 '3이 무리수라는 사실에 모순이다. 따라서 1-'3은 무리수이다. 풀이 참조

017

-` (P-Q)'(Q-RÇ )=0 HjK P-Q=0이고 Q-RÇ =0 HjK P,Q이고 Q,RÇ 즉, P,Q,RÇ 이므로 P,RÇ 따라서 ~r는 p이기 위한 [필요]조건이다. 필요 14 b 1a

018

-` 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R라 하면 p는 q이기 위한 충분조건이므로 P,Q r는 q이기 위한 필요조건이므로 Q,R 다음 그림에서 P,Q이려면 aæ9이어야 하고, Q,R 이려면 b…1이어야 한다. 따라서 a-b의 최솟값은 9-1=8 8

019

-` 점 P(a, b)가 y= 의 그래프 위의 점이 므로 b= ∴ ab=2 점 P(a, b)가 제`1사분면 위의 점이므로 a>0, b>0 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 3a+2bæ2'ƒ3a¥2b=2'∂6aåb 그런데 ab=2이므로 3a+2bæ2'1å2=4'3 (단, 등호는 3a=2b일 때 성립) 따라서 3a+2b의 최솟값은 4'3이다. 4'3

019

-` 5x+3y=11이므로 ('5åx+'3åy)¤ =5x+3y+2'ƒ15xy =11+2'ƒ15xy yy ㉠ 한편 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 5x+3yæ2'ƒ5x¥3y=2'ƒ15xy 그런데 5x+3y=11이므로 11æ2'ƒ15xy (단, 등호는 5x=3y일 때 성립) yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 ('∂5x+'∂3y)¤ =11+2'ƒ15xy…11+11=22 ∴ 0<'∂5x+'3åy…'∂22 (∵ x>0, y>0) 따라서 '∂5x+'3åy의 최댓값은 '∂22이다. '∂22 2 1a 2 1x x a 9 2 1 b Q R P (018~043)고하-유제 2018.3.28 9:22 AM 페이지021

(22)

020

-` (x+y+z){ + } ={(x+y)+z}{ + } =1+ + +1 = + +2 x>0, y>0, z>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계 에 의하여 + +2æ2æ≠ ¥ +2 =2+2=4 {단, 등호는 = , 즉 x+y=z일 때 성립} 따라서 (x+y+z){ + }의 최솟값은 4이다. 4

020

-` x>3에서 x-3>0, x¤ -3x+4>0이므로 >0 따라서 가 최소일 때, 은 최대 가 된다. 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 = =x+ =(x-3)+ +3 æ2æ≠(x-3)¥ +3 =2¥2+3=7 {단, 등호는 x-3= , 즉 x=5일 때 성립} 따라서 의 최솟값이 7이므로 의 최댓값은 111이다. 117 7 x-3 111123x¤ -3x+4 x¤ -3x+4 111123x-3 4 113x-3 4 113x-3 4 113x-3 4 113x-3 x(x-3)+4 111121x-3 x¤ -3x+4 111123x-3 x-3 111123x¤ -3x+4 x¤ -3x+4 111123x-3 x-3 111123x¤ -3x+4 1 1z 1 113x+y z 113x+y x+y 113z z 113x+y x+y 113z z 113x+y x+y 113z z 113x+y x+y 113z z 113x+y x+y 113z 1 1z 1 113x+y 1 1z 1 113x+y

021

-` x, y가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등 식에 의하여 (2¤ +4¤ )(x¤ +y¤ )æ(2x+4y)¤

그런데 x¤ +y¤ =a이므로 20aæ(2x+4y)¤ ∴ -'∂20a…2x+4y…'∂20a

{단, 등호는 = 일 때 성립}

따라서 2x+4y의 최댓값과 최솟값은 각각 '∂20a, -'∂20a이고, 그 차가 20이므로

2'∂20a=20, '∂20a=10 ∴ a=5 5

022

-` x에 대한 부등식으로 보고 좌변을 x에 대 한 내림차순으로 정리하면

x¤ +4ayx+4by¤ æ0

이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차방정 식 x¤ +4ayx+4by¤ =0의 판별식을 D라 할 때

=(2ay)¤ -4by¤ =4a¤ y¤ -4by¤ =4y¤ (a¤ -b)…0 yy`㉠

그런데 부등식 ㉠은 모든 실수 x, y에 대하여 성립하는 부등식에서 유도된 것이므로 모든 실수 y에 대해서도 성 립해야 한다. 즉,

a¤ -b…0 ∴ bæa¤ bæa¤

023

-` 창고의 밑면에서 직각을 낀 두 변의 길이를

각각 x m, y m라 하면 x¤ +y¤ =16¤ =256

x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x¤ +y¤ æ2"√x¤ y¤ =2xy이므로 256æ2xy

∴ xy…128 (단, 등호는 x¤ =y¤ , 즉 x=y일 때 성립) 이때 창고의 밑면의 넓이는 ;2!;xy m¤ 이므로 ;2!;xy…;2!;_128=64 따라서 창고의 밑면의 넓이의 최댓값은 64 m¤ 이다. 64 m¤ D 154 y 14 x 12

(23)

유`제 ㄴ, ㄷ. X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응하 므로 함수이다. ㄹ. X의 원소 1에 대응하는 Y의 원소가 없으므로 함수 가 아니다. 따라서 X에서 Y로의 함수인 것은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ

024

-` 5>4이므로 f(5)=5+2=7 -1<4이므로 f(-1)=(-1)¤ -5=-4 ∴ f(5)+f(-1)=7+(-4)=3 3

025

-` ㄱ. x¤ +2=6, x¤ =4 ∴ x=-2 또는 x=2 따라서 f(x)=6인 x의 값은 두 개이다. (참) ㄴ.`f의 공역은 집합 Y이다. (거짓) ㄷ.`f(-2)=f(2)=6, f(-1)=f(1)=3, f(0)=2 이므로 f의 치역은 {2, 3, 6}이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

025

-` 정의역이 X={0, 1, 2, 3, 4}이므로 f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=1, f(4)=0 따라서 치역은 {0, 1}이다. {0, 1}

026

-` 두 함수 f, g에 대하여 f=g이므로 f(-1)=g(-1)에서 -a+b=3 yy ㉠ f(2)=g(2)에서 2a+b=6 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=4 ∴ ab=4 4

024

-` 주어진 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다. ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. ㄱ. X의 원소 -1, 0에 각각 대응하는 Y의 원소가 2개 이상 있으므로 함수가 아니다. X -1 0 -1 0 1 2 1 Y X -1 0 -1 0 1 2 1 Y X -1 0 -1 0 1 2 1 Y X -1 0 -1 0 1 2 1 Y 024-` ㄴ, ㄷ 024-` 3 025-` ③ 025-` {0, 1} 026-` 4 027-` ⑴ ㄱ, ㄷ ⑵ ㄷ ⑶ ㄴ 028-` 6 028-` 6 029-` 29 029-` 12 030-` ⑴ 17 ⑵ 101 ⑶ ((hΩf)Ωg)(x)=6x¤ +4 030-` ② 031-` g(x)=;4!;x¤ +;2!; 031-` g(x+3)=;3@;x+;3%; 032-` ;5!; 032-` 6 033-` 4 033-` 5 034-` f —⁄ (x)=;3!;x+1 034-` (a=1이고 b=0) 또는 (a=-1이고 b는 모든 실수) 035-` 5 036-` -12 036-` '2 037-` 풀이 참조 유제 S U M M A C U M L A U D E

1. 함수

II

함수

(018~043)고하-유제 2018.3.29 2:36 PM 페이지023

(24)

027

-` 주어진 함수의 그래프는 다음 그림과 같다. ㄱ. ㄴ. ㄷ. ㄹ. ⑴ 일대일대응의 그래프는 직선 y=k와 교점이 1개이고 치역과 공역이 같은 것이므로 ㄱ, ㄷ이다. ⑵ 항등함수의 그래프는 직선 y=x이므로 ㄷ이다. ⑶ 상수함수의 그래프는 x축에 평행한 직선이므로 ㄴ이다. ⑴ ㄱ, ㄷ ⑵ ㄷ ⑶ ㄴ

028

-` f(x)=x¤ -4x-6=(x-2)¤ -10이므로 xæ2일 때, x의 값이 증가하면 f(x)의 값도 증가한다. 즉, aæ2이다. 또한 X에서 X로의 함수 f가 일대일대응이 되려면 정 의역, 공역, 치역이 모두 같아야 하므로 f(a)=a이어야 한다. 즉,

a¤ -4a-6=a, a¤ -5a-6=0

(a+1)(a-6)=0 ∴ a=6 (∵ aæ2)

6 -10 2 x a a y=f{x} y O y=|x|+1 O 1 x k y O y=x x k y O -1 y=-1 x k y O -1 ;2!; x k y=2x-1 y

028

-` g(x)가 항등함수이므로 g(1)=1, g(2)=2, g(3)=3 f(3)=g(3)=h(3)에서 f(3)=h(3)=3 yy ㉠ h(x)는 상수함수이므로 h(x)=3 h(1)=f(1)+g(1)에서 h(1)=3, g(1)=1이므로 f(1)=2 yy ㉡ f(x)가 일대일대응이므로 ㉠, ㉡에서 f(2)=1 ∴ f(2)+g(2)+h(2)=1+2+3=6 6

029

-` X에서 X로의 일대일대응의 개수는 4¥3¥2¥1=24 X에서 X로의 항등함수의 개수는 1 X에서 X로의 상수함수의 개수는 4 따라서 a=24, b=1, c=4이므로 a+b+c=29 29

029

-` f(1)>2이므로 f(1)의 값이 될 수 있는 것은 3, 4의 2개 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4 중 f(1)의 값을 제외한 3개 f(3)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4 중 f(1), f(2) 의 값을 제외한 2개 f(4)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4 중 f(1), f(2), f(3)의 값을 제외한 1개 따라서 구하는 함수 f의 개수는 2¥3¥2¥1=12 12

030

-` ⑴ h(3)=2_3=6이므로 (f Á`h)(3)=f(h(3))=f(6) =3_6-1=17

(25)

유`제 ⑵ g(3)=3¤ +1=10이므로 (g Á`g)(3)=g(g(3))=g(10) =10¤ +1=101 ⑶ (h Á`f)(x)=h(f(x))=h(3x-1) =2(3x-1)=6x-2이므로 ((h Á`f )Ág )(x)=(h Á`f)(g(x)) =(h Á`f)(x¤ +1) =6(x¤ +1)-2 =6x¤ +4 ⑴ 17 ⑵ 101 ⑶ ((h Á`f )Ág)(x)=6x¤ +4

030

-` 세 함수의 치역을 구해 보면 1…f(x)…2, 0…g(x)…4, -1…h(x)…64gÁ f : f의 치역이 g의 정의역의 부분집합이므로 gÁ f 는 정의된다. ② fÁg : g의 치역은 f의 정의역의 부분집합이 아니므 로 fÁg는 정의되지 않는다.hÁ f : f의 치역이 h의 정의역의 부분집합이므로 hÁ f는 정의된다.hÁg : g의 치역이 h의 정의역의 부분집합이므로 hÁg는 정의된다.hÁgÁ f : f의 치역이 g의 정의역의 부분집합이고, g의 치역이 h의 정의역의 부분집합이므로 hÁgÁ f 는 정의된다. 따라서 정의되지 않는 합성함수는 ②이다. ②

031

-` (hΩf)(x)=4x-3이므로 (hΩ(fΩg))(x)=((hΩf )Ωg)(x) =(hΩf)(g(x)) =4g(x)-3 즉, 4g(x)-3=x¤ -1이므로 4g(x)=x¤ +2 ∴ g(x)= x¤ + g(x)= x¤ +11 2 1 14 1 1 12 1 1 14

031

-` (gΩf)(x)=g(f(x)) =g(3x+2) =2x+1 3x+2=t라 하면 x= 이를g(3x+2)=2x+1에 대입하면 g(t)=2¥ +1=;3@;t-;3!; ∴ g(x+3)=;3@;(x+3)-;3!;=;3@;x+;3%; g(x+3)=;3@;x+;3%;

032

-` f —⁄ (2)=5 HjK f(5)=2이므로

25a-3=2, 25a=5 ∴ a=;5!; ;5!;

032

-` 함수 f의 역함수가 존재하므로 함수 f는 X에서 Y로의 일대일대응이다. 직선 y=f(x)의 기울기가 음수이므로 f(1)=b, f(a)=-1 f(x)=-2x+5이므로 f(1)=b에서 -2¥1+5=b ∴ b=3 f(a)=-1에서 -2a+5=-1 ∴ a=3 ∴ a+b=6 6

033

-` 주어진 식을 간단히 하면 (fΩ(gΩf)—⁄ Ωf)(2) =(fΩ(f —⁄ Ωg—⁄ )Ωf)(2) =((fΩf —⁄ )Ωg—⁄ Ωf)(2) =(g—⁄ Ωf)(2)=g—⁄ (f(2))=g—⁄ (4) 이때g—⁄ (4)=a라 하면 g(a)=4이므로

;3!(a+8)=4, a+8=12 ∴ a=4

∴ (fΩ(gΩf)—⁄ Ωf)(2)=4 4 t-2 1133 t-2 1133 (018~043)고하-유제 2018.3.29 2:36 PM 페이지025

(26)

033

-` 주어진 식을 간단히 하면 (fΩgΩ(hΩg)—⁄ )(a) =(fΩgΩ(g—⁄ Ωh—⁄ ))(a) =(fΩ(gΩg—⁄ )Ωh—⁄ )(a) =(fΩh—⁄ )(a)=f(h—⁄ (a))=-2 이때 h—⁄ (a)=k라 하면 f(k)=-2이므로 k-1=-2 ∴ k=-1 h—⁄ (a)=-1에서 h(-1)=a이므로 a=-(-1)+4=5 5

034

-` f(x+1)=3x에서 x+1=t로 놓으면 x=t-1이므로 f(t)=3(t-1)=3t-3 ∴ f(x)=3x-3 y=3x-3으로 놓고 x에 대하여 풀면 3x=y+3 ∴ x=;3!;y+1 x와 y를 서로 바꾸면 y=;3!;x+1 ∴ f —⁄ (x)=;3!;x+1 f —⁄ (x)=;3!;x+1

034

-` f(x)=ax+b에서 y=ax+b로 놓고 x에 대하여 풀면 ax=y-b ∴ x=;a!;(y-b) x와 y를 서로 바꾸면 y=;a!;(x-b) 따라서 f —⁄ (x)=;a!;(x-b)=;a!;x-;aB;이고 f=f —⁄ 이므로 a=;a!;이고 b=-;aB;

a=;a!;에서 a¤ =1 ∴ a=—1

a=1일 때 b=-;1B; ∴ b=0 ¤a=-1일 때 b=- ∴ b는 모든 실수 ⁄, ¤에 의하여 f=f —⁄ 이기 위한 실수 a와 b의 필요충 분조건은 (a=1이고 b=0) 또는 (a=-1이고 b는 모든 실수) [참고] f=f —⁄ , 즉, fΩf—⁄ =I인 경우는 y=f(x)의 그 래프가 직선 y=x에 대하여 대칭이 되는 경우이므로 y=ax+b는 y=x 또는 y=-x+k (k는 상수) 꼴이어 야 한다. 따라서 a, b의 조건은(a=1이고 b=0) 또는 (a=-1이고 b는 모든 실수)이다. (a=1이고 b=0) 또는 (a=-1이고 b는 모든 실수)

035

-` (fΩf)—⁄ (3)=(f —⁄ Ωf —⁄ )(3) =f —⁄ (f —⁄ (3)) yy ㉠ f —⁄ (3)=k라 하면 f(k)=3 오른쪽 그림에서 f(4)=3이므k=4 ∴ f —⁄ (3)=4 이를 ㉠에 대입하면 (fΩf)—⁄ (3)=f —⁄ (4) yy ㉡ 또 f —⁄ (4)=m이라 하면 f(m)=4 위의 그림에서 f(5)=4이므로 m=5 ∴ f —⁄ (4)=5 이를 ㉡에 대입하면 (fΩf)—⁄ (3)=5 5

036

-` 함수 y=f(x) 의 그래프와 그 역함수 y=f —⁄ (x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 오른쪽 그림과 같다. y=x y=f{x} {a,`b} y=f —!{x} x y O -3 6 -3 6 x 3 3 4 5 4 5 y y=x y=f{x} O b 123-1

(27)

유`제 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점은 두 함수 y=f(x), y=f —⁄ (x)의 그래프의 교점과 같으므로 ;2!;x-3=x에서 -;2!;x=3 ∴ x=-6 따라서 교점의 좌표는 (-6, -6)이므로 a=-6, b=-6 ∴ a+b=-12 -12

036

-` 함수 y=f(x) 의 그래프와 그 역함수 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 오 른쪽 그림과 같다. 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점은 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프의 교점과 같으므로 (x-1)¤ +1=x에서 x¤ -3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 따라서 두 교점의 좌표는(1, 1), (2, 2)이므로 두 점 사이의 거리는 "√(2-√1)¤ √+(√2-1)¤ ='2 '2

037

-` ⑴ y=-|x-3|+1에서 ⑴ ⁄x<3일 때 y=(x-3)+1=x-2 ⑴ ¤xæ3일 때 y=-(x-3)+1=-x+4 ⑴ ⁄, ¤에서 y=-|x-3|+1의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다. ⑵ y=x+|x+2|에서x<-2일 때 y=x-(x+2)=-2 ¤xæ-2일 때 y=x+(x+2)=2x+2 ⁄, ¤에서 y=x+|x+2|의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. x y O 2 -2 -2 O 3 -2 1 x y y=x y=f{x} y=g{x} x y O 1 1 ⑶ y=|x-1|+|2x+1|에서x<-;2!;일 때y=-(x-1)-(2x+1)=-3x ¤-;2!;…x<1일 때y=-(x-1)+(2x+1)=x+2xæ1일 때y=(x-1)+(2x+1)=3x ⁄~‹에서 y=|x-1|+|2x+1|의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑷ y=|x¤ -2x|=|x(x-2)|에서x<0일 때y=x(x-2)=(x-1)¤ -1 ¤0…x<2일 때y=-x(x-2)=-(x-1)¤ +1xæ2일 때y=x(x-2)=(x-1)¤ -1 ⁄~‹에서 y=|x¤ -2x| 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. [참고]y=|x¤ -2x|의 그래프는 y=x¤ -2x의 그래 프에서 yæ0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분은 x축에 대하여 대칭이동한 것이다. 풀이 참조 x y O 1 1 2 x y O 1 1 2 -2 3 3 2 (018~043)고하-유제 2018.3.29 2:36 PM 페이지027

참조

관련 문서

기울기가 양수이므로 오른쪽 위로

즉 축은 y축 의 왼쪽에 있고 y절편은 a&lt;0이므로 그래프의 모양은 오른쪽

따라서 일차함수 y=bx+a의 그 래프는 오른쪽 아래로 향하고 y절 편이 양수이므로 오른쪽 그림과 같다.. 따라서 a와 b의

k&gt;0이면 직선 y=k와 주어진 그래프의 교점이 2개이므로 일대일함수도 일대일대응도 아니다. 따라서 보기의 그래프 중

이 함수의 그래프가 제1 사 분면을 지나지 않으려면 오른쪽

이차함수의

그런 데 이 서적들에 기록된 것이 사실임을 확인할 만한 교차 자료는 충분하지 않다.. 위로 반첩여에는 모자라지만 아래로 한영과 비교하면 넉넉하다.. 班婕妤는 중국

조음체가 능동적으로 위로 움직여 조음 동작이 이루어진다.. 한국어