01 ③ 02 {4, 5} 03 ② 04 ③ 05 15 06 ② 07 8 08 ㄱ, ㄴ, ㄷ 09 28 10 21
EXERCISES
S U M M A C U M L A U D E 본문 054`~`055쪽01
집합 C의 원소는 다음과 같이 표현된다.3μ (2« )¤ =3μ 2¤ « =3μμ 4« (단, m, n은 자연수) 주어진 수를 각각 이와 같은 꼴로 나타내면
① 108=3‹ _4 (∵ m=3, n=1)
② 144=3¤ _4¤ (∵ m=2, n=2)
③ 216=3‹ _4_2
④ 324=3› _4 (∵ m=4, n=1)
⑤ 576=3¤ _4‹ (∵ m=2, n=3)
따라서 집합 C의 원소가 아닌 것은 ③이다. ③
02
[;n{;]=2이면2…;n{;<3이다.이때 n=2이면 2…;2{;<3이므로 4…x<6
∴ A™={ 4, 5 } (∵ x는 자연수) {4, 5}
03
A={5, -x}, B={x¤ +4, x+8, 3}에 대하 여 A,B가 성립하므로 5<A에서 5<B이다. 즉,x¤ +4=5 또는 x+8=5
⁄x¤ +4=5, 즉 x=1 또는 x=-1일 때 x=1이면 A={-1, 5}, B={3, 5, 9}이므로
A¯B
x=-1이면 A={1, 5}, B={3, 5, 7}이므로 A¯B
¤x+8=5, 즉 x=-3일 때
A={3, 5}, B={3, 5, 13}이므로 A,B 따라서 A,B가 성립하도록 하는 정수 x의 값은 -3이
다. ②
EXERCISES
04
P(X)는 집합 X={3, {3},0}의 부분집합을 원소로 갖는 집합이다.①0,X이므로 0<P(X)
② {0},X이므로 {0}<P(X)
③ {3},P(X)이려면 3이 P(X)의 원소이어야 한다.
그런데 P(X)의 원소는 집합이어야 하므로 옳지 않다.
④ {3},X이므로 {3}<P(X)이고, {3}<P(X)이므로 {{3}},P(X)이다.
⑤ {{3}},X이므로 {{3}}<P(X)
따라서 옳지 않은 것은 ③이다. ③
05
조건 ㈎, ㈏`에서 a와 7-a는 음이 아닌 정수이 어야 하므로8 이상의 자연수는 집합 A의 원소가 될 수 없다.0<A이면 7<A이다. 반대로 7<A이면 0<A이다.
1<A이면 6<A이다. 반대로 6<A이면 1<A이다.
2<A이면 5<A이다. 반대로 5<A이면 2<A이다.
3<A이면 4<A이다. 반대로 4<A이면 3<A이다.
즉, 집합 A의 개수는 집합 {0, 1, 2, 3}의 부분집합 중 공집합이 아닌 것의 개수와 같다.
따라서 집합 A의 개수는 2› -1=16-1=15 [참고] 다음은 집합 A의 예이다.
{0, 7}, {1, 2, 5, 6}, {0, 1, 3, 4, 6, 7}, y 15
06
(A'B)Ç 'C U
A
B C
=
C (A'B)Ç
U A
B C
' U
A
B C
따라서 (A'B)Ç 'C를 벤다이어그램으로 바르게 나타
낸 것은 ②이다. ②
07
X'A=X이므로 A,X이다.또 (X;Y)'A=A이므로 (X;Y),A이다.
∴ (X;Y),A,X yy ❶
이때 X;Y={5}이므로 집합 A는 집합 X의 부분집합 중 5를 원소로 갖는 집합이다. yy ❷ 따라서 집합 A의 개수는 2› —⁄ =2‹ =8 yy ❸
8
08
ㄱ. A≠U=(A;U)'(A'U)Ç=A'UÇ =A'0=A (참) ㄴ. A≠0=(A;0)'(A'0)Ç
=0'AÇ =AÇ (참) ㄷ. A≠AÇ =(A;AÇ )'(A'AÇ``)Ç
=0'UÇ =0 (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ
09
(X;YÇ )'(Y;XÇ )=(X-Y)'(Y-X) 가 나타내는 부분은 다음 벤다이어그램에서 색칠한 부분 과 같다.X={2, 3, 4, 5, 6},
(X-Y)'(Y-X)={1, 2, 6, 7, 8}
U
X Y
1 2 7
6 8
3 4 5
채점 기준 배점
❶ X, A, X;Y의 포함 관계 나타내기
❷ 집합 A의 조건 알기
❸ 집합 A의 개수 구하기
40 % 30 % 30 % (044~096)고하-연습문제 2018.3.28 9:24 AM 페이지045
을 이용하여 벤다이어그램 안에 원소를 채워 넣으면 Y={1, 3, 4, 5, 7, 8}
따라서 집합 Y의 모든 원소의 합은
1+3+4+5+7+8=28 28
10
두 집합 A와 C가 서로소이므로 A;C=0, A;B;C=0 한편 포제의 원리에서n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)이므로 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)
=9+6-12=3
또 n(B'C)=n(B)+n(C)-n(B;C)이므로 n(B;C)=n(B)+n(C)-n(B'C)
=6+11-15=2
∴ n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C) -n(A;B)-n(B;C) -n(C;A)+n(A;B;C)
∴ n(A'B'C)=9+6+11-3-2-0+0
∴ n(A'B'C)=21 21
01 58 02 24 03 ② 04 8 05 ⑤ 06 24 07 ② 08 6 09 13 10 21
EXERCISES
S U M M A C U M L A U D E 본문 056`~`057쪽01
A,N이고 조건 ㈏에서a<A이면 <A이므로 집합 A의 원소 a가 될 수 있 는 수는 18의 양의 약수인 1, 2, 3, 6, 9, 18이다.
한편 조건 ㈎에서 18<A이므로
=1<A
즉, 집합 A는 1과 18을 반드시 원소로 가진다.
따라서 집합 A는 {1, 18}, {1, 2, 9, 18},
{1, 3, 6, 18}, {1, 2, 3, 6, 9, 18}
중의 하나가 될 수 있고, 이때 S(A)가 최소인 경우는 A={1, 18}일 때이므로 최솟값 m은
m=1+18=19
또한 S(A)가 최대인 경우는 A={1, 2, 3, 6, 9, 18}일 때이므로 최댓값 M은
M=1+2+3+6+9+18=39
∴ M+m=39+19=58 58
02
집합 X의 부분집합의 개수는 2fi =32 집합 X의 부분집합 중 모음 a와 e를 원소로 갖지 않는 집합의 개수는 2fi —¤ =2‹ =8따라서 집합 X의 부분집합 중 적어도 한 개의 모음을 원 소로 갖는 집합의 개수는 32-8=24 24
03
ㄱ. 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 0,P(X)이다. (참)131818 1318a
EXERCISES
ㄴ. 임의의 집합 X에 대하여0,X이므로 0<P(X)이다. (참)
ㄷ. x<(A;B)이면 {x},(A;B)이므로 {x}<P(A;B)이다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②
04
2<Y, 2≤{(X-Y)'(Y-X)}이므로 2<(X;Y)따라서 2<X이어야 한다. yy ❶
⁄x-1=2, 즉 x=3일 때 X={2, 3, 7}, Y={1, 2, 3}
∴ (X-Y)'(Y-X)={1, 7}
따라서 주어진 조건에 맞지 않다.
¤x¤ -2=2, 즉 x=2 또는 x=-2일 때 x=2이면 X={1, 2, 3}, Y={0, 2, 3}
∴ (X-Y)'(Y-X)={0, 1}
따라서 주어진 조건에 맞는다.
x=-2이면 X={-3, 2, 3}, Y={-4, 2, 3}
∴ (X-Y)'(Y-X)={-4, -3}
따라서 주어진 조건에 맞지 않다.
⁄, ¤에서 x=2 yy ❷
이때 집합 X={1, 2, 3}의 모든 원소의 합 s는
s=1+2+3=6 yy ❸
∴ x+s=2+6=8 yy ❹
8 U
X Y
2 3