⑵ 교집합
⑶ 합집합
⑷ 여집합
⑸ 충분조건
02
⑴ 참, 거짓을 명확히 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 부른다. (참)⑵ 반례는 주어진 명제가 거짓임을 보이는 가장 확실한 증명 방법이다. (거짓)
⑶ 명제 p 2⁄ q가 참일 때, 역의 대우인 ~p 2⁄ ~q 의 참, 거짓은 알 수 없다. (거짓)
⑷ (반례) f(x)=1일 때, 부등식 f(x)æ0은 절대부등식 이지만 f(x)의 최솟값은 1이다. (거짓)
⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓 ⑷ 거짓
03
⑴ 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합 을 Q라 하면 드모르간의 법칙에 의하여(P;Q)Ç =PÇ 'QÇ
가 성립한다. 따라서 명제‘p 그리고 q’의 부정은
‘~p 또는 ~q’이다.
⑵‘모든 x에 대하여 p이다.’가 참이면 조건 p의 진리집 합을 P라 할 때, P는 전체집합 U와 같다. 즉, P=U 이다. 이것의 부정은 P+U, 즉‘어떤 x에 대하여
~p이다.’가 된다.
⑶ 부등식 f(x)æ0이 절대부등식이고 f(x)의 최솟값이 0이라 하자. 이때 부등식 f(x)æ-1 또한 절대부등 식이지만 f(x)의 최솟값이 0이기 때문에
f(x)æ-1이라는 사실을 알고 있어도 최대・최소 문 제를 푸는 데는 전혀 도움이 되지 않는다.
하지만 만약 부등식 g(x)æ-1이 절대부등식이고 이 부등식이 x=1일 때 등호가 성립함을 안다고 하면 g(x)의 최솟값은 어떤 일이 있어도 g(1)=-1이다.
이와 같이‘등호 조건’은 절대부등식에서 최댓값 또는 최솟값을 알게 해주기 때문에 최대・최소 문제를 풀기 위해 절대부등식을 사용할 때에는 반드시 필요하다.
풀이 참조 01 ⑴ 조건, 진리집합 ⑵ 교집합 ⑶ 합집합
⑷ 여집합 ⑸ 충분조건
02 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓 ⑷ 거짓 03 풀이 참조
Review Quiz
S U M M A C U M L A U D E 본문 096쪽2. 명제
(044~096)고하-연습문제 2018.3.28 9:24 AM 페이지049
01
명제‘p이면 ~q이다.’가 거짓임을 보이려면 P 의 원소 중에서 QÇ 의 원소가 아닌 것을 찾으면 된다.따라서 반례가 속하는 집합은
P;(QÇ )Ç =P;Q ①
02
ㄱ. (반례) a=1, b=0이면 a¤ +b¤ >0이지만 b=0이므로 이 명제는 거짓이다.ㄴ. (반례) a=-2, b=0, c=1이면 a<b<c이지만 ab=bc이므로 이 명제는 거짓이다.
ㄷ. a…1, b…1이면 a+b…2이므로 이 명제는 참이다.
따라서 참인 명제는 ㄷ뿐이다. ③
03
두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면 P={x|x>3}PÇ ={x|x…3}
Q={x|-3…x…3}
QÇ ={x|x<-3 또는 x>3}
ㄱ. QÇ ¯P이므로 ~q2⁄ p는 거짓이다.
ㄴ. P¯Q이므로 p2⁄ q는 거짓이다.
ㄷ. Q,PÇ 이므로 q2⁄ ~p는 참이다.
ㄹ. PÇ ¯Q이므로 ~p2⁄ q는 거짓이다.
따라서 참인 명제는 ㄷ뿐이다. ②
04
두 조건 p：|x-2|æ1, q：|x-a|æ3에 대 하여 q2⁄ p가 참이면 ~p 2⁄ ~q도 참이다.두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
~p：|x-2|<1 HjK -1<x-2<1 HjK 1<x<3
~q：|x-a|<3 HjK -3<x-a<3 HjK -3+a<x<3+a
∴ PÇ ={x|1<x<3}
QÇ ={x|-3+a<x<3+a}
이때 (~p jjK ~q) HjK (PÇ ,QÇ )이므로 -3+a…1, 3+aæ3
∴ 0…a…4
④
05
x¤ -4x+y¤ …13에서 y¤ …13-x¤ +4x yy ㉠⁄x=3일 때, y¤ …13-9+12에서 y¤ …16 즉, y의 값은 1, 2, 3, 4이다.
¤x=4일 때, y¤ …13-16+16에서 y¤ …13 즉, y의 값은 1, 2, 3이다.
‹x=5일 때, y¤ …13-25+20에서 y¤ …8 즉, y의 값은 1, 2이다.
⁄, ¤, ‹에서 모든 x<X에 대하여 ㉠을 만족하는 y 의 값은 1, 2이므로 a=2이고, 어떤 x<X에 대하여 ㉠ 을 만족하는 y의 값은 1, 2, 3, 4이므로 b=4이다.
∴ a+b=2+4=6 6
06
주어진 명제를 집합의 포함 관계로 나타내면 각 각 다음과 같다.① ~pHjK q이므로 PÇ =Q (거짓)
② qjjK p이므로 Q,P (거짓)
③ pHjj ~r이므로 RÇ ,P (거짓)
④ pHjj r이므로 R,P (거짓)
⑤ ~rjjK ~p이므로 RÇ ,PÇ (참)
따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤
-3+å 1 3 3+å x
QÇ PÇ 01 ① 02 ③ 03 ② 04 ④ 05 6
06 ⑤ 07 6 08 풀이 참조 09 8 10 3
EXERCISES
S U M M A C U M L A U D E 본문 097`~`098쪽EXERCISES
07
|x-2|…4에서 -4…x-2…4이므로-2…x…6 yy ㉠
이때 ㉠이 x…a이기 위한 충분조건이므로
aæ6 yy ❶
|x-5|…b (b>0)에서 -b…x-5…b이므로 -b+5…x…b+5 yy ㉡
이때 ㉠이 ㉡이기 위한 필요조건이므로 -b+5æ-2, b+5…6
∴ 0<b…1 (∵ b>0) yy ❷
따라서 a의 최솟값은 6이고 b의 최댓값은 1이므로 그 곱
은 6이다. yy ❸
6
08
a¤ +b¤ -(a‹ +b‹ )=(a+b)¤ -2ab-{(a+b)‹ -3ab(a+b)}
= 1-2ab-1+3ab (`∵ a+b=1)
= ab>0 (`∵ a>0, b>0)
따라서 a¤ +b¤ >a‹ +b‹ 이다. 풀이 참조
09
"xΩ¤ =x이고 x+0이므로 x>0x+ + = + 에서 x>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
+ æ2æ≠ ¥≠ 16x =2_4=8 1125x¤ +3
x¤ +3 1125x 1125x¤ +316x
x¤ +3 1125x
1125x¤ +316x x¤ +3
1125x 1125x¤ +316x
1x3
-2-b+5 b+5 6 a x
㉠
㉡
{단, 등호는 = , 즉 x=1 또는 x=3일 때 성립}
따라서 x+ + 의 최솟값은 8이다. 8
10
a, b, c가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식 에 의하여(1¤ +1¤ +1¤ )(a¤ +b¤ +c¤ )æ(a+b+c)¤
∴ 3(a¤ +b¤ +c¤ )æ(a+b+c)¤
(단, 등호는 a=b=c일 때 성립) 따라서 모든 실수 a, b, c에 대하여
(a+b+c)¤ …k(a¤ +b¤ +c¤ )이 성립하려면 kæ3이어
야 하므로 k의 최솟값은 3이다. 3
1125x¤ +316x 1x3
1125x¤ +316x x¤ +3
1125x
채점 기준 배점
❶ a의 값의 범위 구하기
❷ b의 값의 범위 구하기
❸ a의 최솟값과 b의 최댓값의 곱 구하기
40 % 40 % 20 % (044~096)고하-연습문제 2018.3.28 9:24 AM 페이지051
01 ④ 02 ① 03 ② 04 ③
05 희성, 성민, 지욱 06 ③ 07 ⑤ 08 ⑤ 09 24 10 24
EXERCISES
S U M M A C U M L A U D E 본문 099`~`101쪽01
조건 =0의 진리집합은{x| f(x)+0이고 g(x)=0}이다.
f(x)+0의 진리집합은 PÇ 이고, g(x)=0의 진리집합은 Q이므로 구하는 진리집합은 PÇ ;Q이다. ④
02
주어진 식의 좌변을 정리하면 {(P'Q)-(PÇ ;Q)};Q={(P'Q);(PÇ ;Q)Ç };Q
={(P'Q);(P'QÇ )};Q
={P'(Q;QÇ )};Q
=(P'0);Q
=P;Q
즉, P;Q=P이므로 P,Q이다.
따라서 항상 참인 명제는 ① p22⁄⁄ q이다. ①
03
p jjK ~q, q jjK r, s jjK q에서 각각의 대 우도 참이므로qjjK ~p, ~r jjK ~q, ~q jjK ~s
ㄱ. sjjK q, q jjK r에서 s jjK r이다. 그러나 참인 명 제 s2⁄ r의 역인 r 2⁄ s의 참, 거짓은 알 수 없다.
ㄴ. pjjK ~q, ~q jjK ~s에서 p jjK ~s이다. (참) ㄷ. 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라 하면
pjjK ~q이므로 P;Q=0 즉, q2⁄ p는 거짓이다.
1124g(x)f(x)
따라서 항상 참인 것은 ㄴ뿐이다. ②
04
ㄱ. x=1이면 모든 실수 y에 대하여 1+y¤ >0 이 성립한다. (참)ㄴ. x=0, y=0이면 x¤ +y¤ =0이므로 주어진 부등식은 성립하지 않는다. (거짓)
ㄷ. x=0이면 모든 실수 y에 대하여 0<y¤ +1이 성립한 다. (참)
ㄹ. x=0이면 0æy¤ +1을 만족하는 실수 y는 존재하지 않으므로 주어진 부등식은 성립하지 않는다. (거짓)
따라서 참인 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③
05
⁄ 지욱이의 말이 참일 때, 지욱이는 과학 참고서 성민이는 과학 참고서 희성이는 영어 참고서를 샀다.이 경우 수학 참고서를 산 사람이 없으므로 모순이다.
¤ 성민이의 말이 참일 때,
지욱이는 수학 참고서 또는 영어 참고서 성민이는 수학 참고서 또는 영어 참고서 희성이는 영어 참고서를 샀다.
이 경우 과학 참고서를 산 사람이 없으므로 모순이다.
‹ 희성이의 말이 참일 때,
지욱이는 수학 참고서 또는 영어 참고서 성민이는 과학 참고서
희성이는 수학 참고서 또는 과학 참고서를 샀다.
이 경우 지욱이가 영어 참고서, 성민이가 과학 참고서, 희성이가 수학 참고서를 샀다고 하면 언급된 조건이 모두 성립한다.
따라서 수학 참고서, 과학 참고서, 영어 참고서를 산 사람 은 순서대로 희성, 성민, 지욱이다. 희성, 성민, 지욱
EXERCISES
06
심리학, 한국사, 경제학, 정치학을 수강한 수학 과 학생의 집합을 주어진 조건에 맞게 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.(단, ≠는 주어진 영역에 학생이 존재함을 의미한다.)
①~⑤ 중에서 위의 벤다이어그램에 부합하는 항상 참인
진술은 ③뿐이다. ③
07
ㄱ. 세 변의 길이가 각각 3, 4, 5인 직각삼각형 을 만들 수 있다. (참)ㄴ. 다음 직각삼각형은 세 변의 길이가 각각 3'2, 4'2, 5'2이므로 모두 무리수이다. (참)
ㄷ. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변이 각각 모눈의 가로, 세로와 평행한 경우에는 직각삼각형의 넓이가 유리수 인 것이 자명하다. 다음 그림과 같은 일반적인 직각삼 각형의 넓이를 S라 하면
S=(직사각형의 넓이)-(㉠의 넓이)-(㉡의 넓이) -(㉢의 넓이)
S
㉠
㉡ ㉢
정치학 경제학 한국사
* 심리학
이때 직사각형의 넓이와 ㉠, ㉡, ㉢의 넓이는 항상 유 리수이므로 S도 항상 유리수이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤
08
주어진 부등식의 좌변을 x에 대한 내림차순으로 정리하면x¤ +2(y-1)x+y¤ +ay+b>0
이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립하려면 이차방 정식 x¤ +2(y-1)x+y¤ +ay+b=0의 판별식을 D라 할 때
=(y-1)¤ -(y¤ +ay+b)<0 y¤ -2y+1-y¤ -ay-b<0
∴ (2+a)y>1-b yy ㉠
㉠이 모든 실수 y에 대하여 성립하려면 2+a=0, 1-b<0
∴ a=-2, b>1 ⑤
09
두 점 A, B의 좌표는 각각 A(a, 0), B(0, b)이므로 △OAB의 넓이를 S라 하면
S= ab yy ㉠
점 P(3, 4)가 직선 + =1 위의 점이므로
+ =1
이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
+ æ2Æ… ¥¬ =2Ƭ
그런데 + =1이므로
1æ2Ƭ {단, 등호는 =4일 때 성립}
1b 13a 1312ab
14b 13a
1312ab 14b 13a 14b 13a
14b 13a
1yb 1xa 112
13D4
(044~096)고하-연습문제 2018.3.29 5:42 PM 페이지053
양변을 제곱하면
1æ4¥ ∴ abæ48 yy ㉡
㉠, ㉡에서
S= abæ ¥48=24
따라서 △OAB의 넓이의 최솟값은 24이다. 24
10
직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 x, y, z라 하면 직육면체의 대각선의 길이가 2'3이 므로"√x¤ +√y¤ +z¤ =2'3 ∴ x¤ +y¤ +z¤ =12 yy ❶ x, y, z가 실수이므로 코시-슈바르츠의 부등식에 의 하여
(1¤ +1¤ +1¤ )(x¤ +y¤ +z¤ )æ(x+y+z)¤
36æ(x+y+z)¤ yy ㉠ 이때 x+y+z>0이므로 ㉠에서
0<x+y+z…6 (단, 등호는 x=y=z일 때 성립) yy ❷ 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 4(x+y+z)이 므로
0<4(x+y+z)…24
따라서 모든 모서리의 길이의 합의 최댓값은 24이다.
yy ❸
24 112
112 1312ab
채점 기준 배점
❶ 직육면체의 가로의 길이, 세로의 길이, 높이를 각각 x, y, z로 놓고 x¤ +y¤ +z¤ 의 값 구하기
❷ x+y+z의 값의 범위 구하기
❸ 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합의 최댓값 구하기
30 %
50 %
20 %
01
[전략]3<A이므로 3+3<A와 같이 반드시 집합 A의 원소가 되어야 하는 것을 모두 찾는다.㈎에서 3이 A의 원소이므로 ㈏에 적용하면 3+3<A ∴ 6<A
6+3<A ∴ 9<A 9+3<A ∴ 12<A
⋮
따라서 원소의 개수가 가장 적을 때의 집합 A는 A={3, 6, 9, 12, y, 99} ②
02
[전략]자연수의 소인수분해를 이용하여 집합 A«의 원소가 무엇인지 알아본다.자연수 n을 소인수분해하면
n=aπ bœ`c® y (단, a, b, c, y는 서로 다른 소수) 의 꼴이다. 이때A«={x|x는 n과 서로소인 자연수}의 원소는 a, b, c, y의 배수가 아닌 수들이다.
ㄱ. A™={1, 3, 5, 7, 9, y }
4=2¤ 이므로 A¢={x|x는 2의 배수가 아닌 수}
∴ A™=A¢ (참) ㄴ. A£={1, 2, 4, 5, 7, y }
6=2_3에서 A§은 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수들의 집합이므로 A§={1, 5, 7, y }
∴ A£+A§ (거짓)
ㄷ. A§은 2의 배수도 아니고 3의 배수도 아닌 수들의 집 합이므로 A™;A£과 같다.
이때 A™=A¢이므로 A§=A£;A¢ (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④