(018~043)고하-유제 2018.3.29 2:37 PM 페이지037
구한 순서쌍 중 위 조건을 만족시키는 것은 (7, 7, 6), (8, 8, 4), (8, 7, 5), (8, 6, 6), (9, 9, 2)이므로 구하는
예각삼각형의 개수는 5이다. 5
058
-` 주어진 정사면체의 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 D까지 이동하는 경우를 수형도로 나타내면 다음과 같다.따라서 구하는 방법의 수는 5이다.
[참고]규칙성을 찾기 어려운 경우 수형도를 이용하면 중 복되지 않고 빠짐없이 모든 경우를 나열할 수 있다.
5
059
-` ⑴ 두 개의 주사위에서 나온 눈의 수를 각각 a, b라 하자. 서로 다른 주사위를 2개 던졌을 때, 나올 수 있는 순서쌍 (a, b)의 경우의 수는6_6=36
이때 a+b의 값이 3의 배수인 경우를 알아보면
⁄ a+b=3인 경우
⁄ (1, 2), (2, 1)로 2가지
¤ a+b=6인 경우
⁄ (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)로 5가지
‹ a+b=9인 경우
⁄ (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)으로 4가지
› a+b=12인 경우
⁄ (6, 6)으로 1가지
⑴⁄ ~›에서 a+b의 값이 3의 배수인 경우의 수는 합 의 법칙에 의하여 2+5+4+1=12이다.
⑴따라서 구하는 경우의 수는
⑴ 36-12=24
B C D
D D
C B D
A D
⑵ 두 주사위를 구분할 수 없으므로 두 주사위를 던졌을 때, 나온 2개의 눈의 수 중 작지 않은 수를 a, 다른 한 수를 b라 하자. (aæb)
⑵두 주사위를 던졌을 때, 순서쌍 (a, b)로 가능한 것은
⑵ (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
⑵으로 21가지이다.
⑵이 중 a+b의 값이 3의 배수가 되는 것은 7가지이므로
⑵구하는 경우의 수는
⑵ 21-7=14 ⑴ 24 ⑵ 14
060
-` A Δ P Δ B(또는 B Δ P Δ A)로 이동하는 경우의 수는 2_3=6(=3_2)A Δ Q Δ B(또는 B Δ Q Δ A)로 이동하는 경우 의 수는 3_2=6(=2_3)
이때 둘이 서로 다른 중간 지점을 지나는 경우의 수는 다 음과 같이 두 가지 경우로 나누어 구한다.
⁄ 영희는 A Δ P Δ B로, 철수는 B Δ Q Δ A 로 이동하는 경우의 수는
6_6=36
¤ 영희는 A Δ Q Δ B로, 철수는 B Δ P Δ A 로 이동하는 경우의 수는
6_6=36
⁄, ¤는 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여
36+36=72 72
061
-` 가장 많은 영역과 인접한 영역인 B에 칠할 수 있는 색은 4가지C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 4-1=3 (가지)
A에 칠할 수 있는 색은 B, C에 칠한 색을 제외한 4-2=2 (가지)
유`제 D에 칠할 수 있는 색은 B, C에 칠한 색을 제외한
4-2=2 (가지) 따라서 구하는 방법의 수는
4_3_2_2=48 48
061
-` ⁄A와 C에 같은 색을 칠하는 경우 A에 칠할 수 있는 색은 4가지B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4-1=3 (가지)
C에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색과 같은 색이므로 1가지
D에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4-1=3 (가지)
이므로 이 방법의 수는 4_3_1_3=36
¤A와 C에 다른 색을 칠하는 경우 A에 칠할 수 있는 색은 4가지
B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4-1=3 (가지)
C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 4-2=2 (가지)
D에 칠할 수 있는 색은 A, C에 칠한 색을 제외한 4-2=2 (가지)
이므로 이 방법의 수는 4_3_2_2=48 (가지)
⁄, ¤에서 구하는 방법의 수는 36+48=84
⁄ 모두 다른 색을 칠하는 방법의 수는 4!=24
¤A와 C에만 같은 색을 칠하는 방법의 수는
¢P£=24
‹B와 D에만 같은 색을 칠하는 방법의 수는
¢P£=24
›A와 C, B와 D에 각각 같은 색을 칠하는 방법의 수 는 ¢P™=12
⁄~›에서 구하는 방법의 수는
24+24+24+12=84 84
062
-` ⑴ 100원짜리 동전 2개를 낼 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개의 3가지50원짜리 동전 3개를 낼 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개의 4가지
10원짜리 동전 4개를 낼 수 있는 방법은 0개, 1개, 2개, 3개, 4개의 5가지
따라서 지불할 수 있는 방법의 수는 0원을 지불하는 경 우는 제외해야 하므로
3_4_5-1=59
⑵ 100원짜리 동전 1개로 내는 금액과 50원짜리 동전 2개로 내는 금액이 같으므로 100원짜리 동전 2개를 50원짜리 동전 4개로 바꾸면 낼 수 있는 금액의 수는 50원짜리 동전 7개, 10원짜리 동전 4개로 낼 수 있는 금액의 수와 같다.
50원짜리 동전 7개로 낼 수 있는 금액은 0원, 50원, 100원, y, 350원의 8가지 10원짜리 동전 4개로 낼 수 있는 금액은
0원, 10원, 20원, 30원, 40원의 5가지
따라서 지불할 수 있는 금액의 수는 0원을 지불하는 경 우는 제외해야 하므로
8_5-1=39 ⑴ 59 ⑵ 39
063
-` 각각 주어진 식에 순열의 정의를 적용하면⑴ n(n-1)-2n-40=0
n¤ -3n-40=0, (n-8)(n+5)=0
∴ n=8 (∵ næ2)
⑵ 12_«P£=5_«≠™P£에서
12n(n-1)(n-2)=5(n+2)(n+1)n 이때 næ3에서 n+0이므로 위의 식의 양변을 n으로 나누면
(018~043)고하-유제 2018.3.28 9:22 AM 페이지039
12(n-1)(n-2)=5(n+2)(n+1) 12n¤ -36n+24=5n¤ +15n+10 7n¤ -51n+14=0, (7n-2)(n-7)=0
∴ n=7 (∵ n은 자연수) ⑴ 8 ⑵ 7
063
-` ⑴ n_«–¡P®–¡=n_=
= =«P®
⑵«–¡P®+r_«–¡P®–¡
⑵= +r_
⑵= +
⑵= +
⑵=
⑵= =«P® 풀이 참조
064
-` 남자 4명을 묶어 한 사람으로 생각하자.⁄ 여자 3명과 묶어 만든 한 사람을 합쳐 총 4명을 일렬 로 세우는 방법의 수는
4!=24
¤ 묶음 안의 남자 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4!=24
⁄, ¤에 의하여 구하는 방법의 수는
24_24=576 576
064
-` A, B, C, D, E를 일렬로 세우는 방법의 수는 5!=1205명의 사이사이와 양 끝에 F, G를 세우면 된다.
1111(n-r)!n!
(n-r+r)_(n-1)!
11111113112(n-r)!
r_(n-1)!
1111314(n-r)!
(n-r)_(n-1)!
111111131(n-r)!
r_(n-1)!
1111314(n-r)!
(n-1)!
1111314(n-r-1)!
(n-1)!
15215121114{n-1-(r-1)}!
(n-1)!
1111313(n-1-r)!
1521514(n-r)!n!
n_(n-1)!
152151412(n-r)!
(n-1)!
15215121114{n-1-(r-1)}!
즉, 6개의 공간에서 2개를 택하여 F, G를 세우는 방법 의 수는 §P™=30
따라서 구하는 방법의 수는 120_30=3600
A~G까지 7명의 학생을 일렬로 세우는 방 법의 수는 7!=5040
여기서 F, G가 이웃하여 서는 경우의 수를 구해 보자.
F, G를 한 사람으로 생각하여 A, B, C, D, E, (FG)의 총 6명을 일렬로 세우는 방법의 수는
6!=720
묶음 안의 F, G를 일렬로 세우는 방법의 수는 2!=2 따라서 F와 G가 이웃하여 서는 방법의 수는
720_2=1440
이므로 F와 G가 서로 이웃하지 않게 서는 방법의 수는
5040-1440=3600 3600
065
-` ⑴ 정아를 맨 처음에, 재희를 맨 마지막에 고정시키고, 나머지 4명을 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 4!=24⑵ 정아와 재희 사이에 정아와 재희를 제외한 4명 중 3명 을 택하여 세우는 방법의 수는 ¢P£=24
‘정아`` ` ` `재희’를 한 사람으로 생각하여 2명을 일 렬로 세우는 방법의 수는 2!=2
이때 정아와 재희가 서로 자리를 바꾸는 방법의 수는 2!=2
따라서 구하는 경우의 수는
24_2_2=96 ⑴ 24 ⑵ 96
065
-` 전체 경우의 수는 7명의 학생 중에서 2명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로 ¶P™=42 회장, 총무 모두 남학생이 뽑히는 경우의 수는 남학생 4명 중에서 2명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수와 같으므로¢P™=12
따라서 구하는 경우의 수는
42-12=30 30
유`제
066
-` ⑴ 네 자리의 자연수가 짝수이기 위해서는 일의 자리에 0, 2, 4 중 하나가 와야 한다.⁄ 일의 자리의 숫자가 0인 경우
⁄1, 2, 3, 4, 5 중 3개를 택하여 남은 세 자리에 일렬 로 나열하면 된다.
⁄ ∴ ∞P£=60 (개)
¤ 일의 자리의 숫자가 2인 경우
⁄0, 1, 3, 4, 5로 나머지 세 자리를 구성해야 한다.
⁄이때 천의 자리에는 0이 올 수 없으므로 천의 자리 에는 1, 3, 4, 5의 4개 중 하나가 와야 한다.
⁄천의 자리를 정한 후에는 0을 포함한 나머지 4개의 숫자 중 2개를 택하여 백의 자리와 십의 자리를 정 하면 된다.
⁄ ∴ 4_¢P™=4_12=48 (개)
‹ 일의 자리의 숫자가 4인 경우
⁄¤와 마찬가지로 48개
⁄ ~‹에 의하여 만들 수 있는 짝수의 개수는 60+48+48=156
⑵ 3201보다 작은 네 자리의 자연수가 몇 개 있는지 구하 면 알 수 있다.
⁄ 천의 자리의 숫자가 1인 경우
⁄나머지 0, 2, 3, 4, 5 중 3개를 택하여 나머지 세 자 리에 나열하는 경우의 수와 같다.
⁄ ∴ ∞P£=60 (개)
¤ 천의 자리의 숫자가 2인 경우
⁄⁄ 과 마찬가지로 60개
‹ 천의 자리의 숫자가 3인 경우
⁄3201보다 작기 위해서는 백의 자리의 숫자가 0이 거나 1이어야 한다.
⁄㈎ 백의 자리의 숫자가 0인 경우
⁄ ㈎남은 1, 2, 4, 5 중 2개를 택하여 십의 자리와 일 의 자리에 나열하는 경우의 수와 같다.
⁄ ㈎ ∴ ¢P™=12 (개)
⁄㈏ 백의 자리의 숫자가 1인 경우
⁄ ㈎㈎`와 마찬가지로 12개
⁄따라서 천의 자리의 숫자가 3인 3201보다 작은 수 의 개수는 ㈎와 ㈏에 의하여
⁄ 12+12=24
⁄ ~‹에 의하여 3201보다 작은 수의 개수는 60+60+24=144
이므로 3201은 145번째로 작은 수이다.
⑴ 156 ⑵ 145
067
-` a` ` ` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 5!=120n` ` ` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 5!=120
r` ` ` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 5!=120
san` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 3!=6
sar` ` ` 꼴인 문자열의 개수는 3!=6
satn` ` 꼴인 문자열의 개수는 2!=2
satr` ` 꼴인 문자열의 개수는 2!=2
이때 saturn은 satu ` 꼴에서 두 번째에 오는 문자 열이므로
120+120+120+6+6+2+2+2=378 (번째)
에 오는 문자열이다. 378
068
-` 각각 순열과 조합의 성질을 적용하면⑴«C«–™=«C™이므로
«P™+3!_«C™=120 yy ㉠
«P™+6_ =120
4_«P™=120, n(n-1)=30=6_5
∴ n=6 11«P™2
(018~043)고하-유제 2018.3.28 9:22 AM 페이지041
㉠에서
n(n-1)+6_ =120 4n¤ -4n-120=0, n¤ -n-30=0 (n+5)(n-6)=0 ∴ n=6 (∵ næ2)
⑵ ¡ºC®–™=¡ºC™®≠£은 다음과 같이 두 경우로 나누어 계산 한다.
⁄r-2=2r+3인 경우 r=-5
그런데 ræ2이므로 위의 식을 만족시키지 않는다.
¤10-(r-2)=2r+3인 경우 12-r=2r+3, 3r=9
∴ r=3
⁄, ¤에 의하여 주어진 식을 만족시키는 r의 값은 3
이다. ⑴ 6 ⑵ 3
068
-` ⑴ r׫C®=r×
=
=n×
=n×
=n׫–¡C®–¡
⑵ ×™«C«= ×
⑵ ×2«C«=
⑵ ×2«C«=
⑵ ×2«C«=
⑵ ×2«C«=(2n-1)×™«–™C«–¡ 풀이 참조 (2n-1)×(2n-2)!
11251125125122(n-1)!(n-1)!
n×(2n-1)!
112511251(n-1)!n!
2n×(2n-1)!
11251125122×(n-1)!n!
(2n)!
1125n!n!
22n2 22n2
(n-1)!
1521512211212211 (r-1)!{(n-1)-(r-1)}!
(n-1)!
15215122112(r-1)!(n-r)!
15215122112(r-1)!(n-r)!n!
15215122r!(n-r)!n!
n(n-1) 111132
069
-` 동아리의 전체 회원 수를 n이라 하면 전체 회원이 악수한 총횟수는 n명 중 2명을 뽑는 방법의 수와 같으므로«C™=78, =78
n¤ -n-156=0, (n+12)(n-13)=0
∴n=13 (∵ næ2)
따라서 동아리의 전체 회원 수는 13이다. 13
069
-` A와 B는 같은 팀이 아니므로 한 팀은 A 팀, 다른 한 팀은 B팀이라고 할 수 있다.A팀에 들어갈 나머지 3명을 고르면 B팀은 자동적으로 정해진다. A팀에 들어갈 3명을 고르는 경우의 수가
§C£=20
이므로 구하는 경우의 수도 20이다. 20
070
-` ⑴ 특정한 1명을 제외한 나머지 7명 중에 서 2명의 대표를 뽑는 경우의 수와 같으므로¶C™=21
⑵ 전체 8명 중 3명의 대표를 뽑는 경우의 수는
•C£=56
남학생 5명 중 3명의 대표를 뽑는 경우의 수는
∞C£=10
따라서 구하는 경우의 수는 56-10=46
⑶ 남학생 5명 중에서 2명, 여학생 3명 중에서 2명을 뽑 는 경우의 수는 ∞C™_£C™=10_3=30
뽑힌 남학생 2명을 일렬로 세우는 경우의 수는 2!=2
그 각각에 대하여 뽑힌 여학생 2명을 양 끝에 세우는 경우의 수는 2!=2
따라서 구하는 경우의 수는
30_2_2=120 ⑴ 21 ⑵ 46 ⑶ 120 n(n-1)
111132_1
유`제
071
-` 11개의 점에서 3개의 점을 택해 만들 수 있 는 삼각형의 개수는 ¡¡C£=165일직선 위에 있는 5개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는 ∞C£=10이고, 일직선 위에 있는 6개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는 §C£=20이다.
그런데 일직선 위에 있는 3개의 점으로는 삼각형을 만들 수 없으므로 구하는 삼각형의 개수는
165-10-20=135
직선 l 위의 5개의 점 중에서 두 점, 직선 m 위의 6개의 점 중에서 한 점을 연결하여 만들 수 있는 삼 각형의 개수는 ∞C™_§C¡=10_6=60
또 직선 l 위의 5개의 점 중에서 한 점, 직선 m 위의 6 개의 점 중에서 두 점을 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는 ∞C¡_§C™=5_15=75
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는
60+75=135 135
071
-` 오른쪽 그림과 같이 가 로줄 2개, 세로줄 2개가 만나 하나의 직사각형을 만든다.따라서 찾을 수 있는 직사각형의 개 수는
∞C™_§C™=10_15=150 150
072
-` ⑴ 주어진 조건은 집합 X의 서로 다른 원 소에 집합 Y의 서로 다른 원소가 대응하므로 일대일 함수임을 의미한다.즉, 집합 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 서로 다른 3개 를 뽑아 일렬로 나열한 후, 집합 X의 원소 1, 2, 3에 차례로 대응시키면 된다.
따라서 구하는 함수의 개수는
§C£_3!=20_6=120
[참고]구하는 함수의 개수는 §P£이다.
⑵ 주어진 조건에 의하여 f(1)>f(2)>f(3) 즉, 집합 Y의 원소 1, 2, 3, 4, 5, 6에서 서로 다른 3개를 뽑아 크기가 큰 것부터 차례로 집합 X의 원소 1, 2, 3에 대응시키면 된다.
따라서 구하는 함수의 개수는
§C£=20 ⑴ 120 ⑵ 20
073
-` 남학생 2명이 같은 조에 속하고, 여학생 6명 중 2명이 남학생 2명과 같은 조에 들어가면 되므로 여학 생 6명을 2명, 4명으로 나누면 된다.따라서 구하는 방법의 수는
§C™_¢C¢=15_1=15 15
073
-` 9명을 3명씩 3개조로 나누는 방법의 수는 ªC£_§C£_£C£_ =84_20_1_ =280 이것을 1호, 2호, 3호에 대응하여 배정하므로 구하는 방 법의 수는280_3!=1680
[참고]n묶음으로 분할하여 n명에게 분배하는 방법의 수
[참고]n묶음으로 분할하여 n명에게 분배하는 방법의 수