친 절 한 풀 이
Part 1 단원별 시험대비
3. 이차방정식 2쪽
4. 이차함수 13쪽
5. 대푯값과 산포도 27쪽
Part 2 실전 모의고사 37쪽
중3-1 기말고사 대비
올인 수학 기출문제집
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1
⑴ x=-4—'∂21 ⑵ x=⑶ x=-1—'∂13 ⑷ x=-2—'6 6
2—'2 2
시험지에서 만난 개념 문제 6쪽~7쪽
근의 공식과 이차방정식의 활용
3. 이차방정식
O1
3x¤ +7x+3=0에서 근의 공식에 의해x= =
따라서A=-7, B=13이므로A+B=6 ①
-7—'∂13 6 -7—"√7¤ -4_3_3
2_3
시험에 꼭 나오는 기출BEST
1
회 8쪽~10쪽2
⑴양변에10을곱하면7x+3x¤ =-43x¤ +7x+4=0, (3x+4)(x+1)=0
∴x=-;3$; 또는x=-1
⑵양변에10을곱하면x¤ -4x-10=0
∴x= =2—'∂14
⑶양변에30을곱하면9x¤ -30x+20=0
∴x=
∴x= =
⑷양변에6을곱하면2x¤ -3x-1=0
∴x= =
⑴ x=-;3$; 또는 x=-1 ⑵ x=2—'∂14
⑶ x= ⑷ x=3—'∂17 4 5—'5
3
3—'∂17 4 -(-3)—"√(-3)¤ -4_2_√(-1)
2_2 5—'5
3 15—3'5
9
-(-15)—"√(-15)¤ -9_20 9
-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-10) 1
6
⑴(x-2)(x-4)=0 ∴x¤ -6x+8=0⑵2(x+5)(x-3)=0 ∴2x¤ +4x-30=0
⑶2{x-;2!;}(x+2)=0 ∴2x¤ +3x-2=0
⑴ x¤ -6x+8=0 ⑵ 2x¤ +4x-30=0
⑶ 2x¤ +3x-2=0
⑷x¤ +x=-2x-1에서x¤ +3x+1=0
∴합:-;1#;=-3, 곱:;1!;=1
⑴ 합:-;3$;, 곱:-;3!; ⑵ 합:-;2#;, 곱:-;2!;
⑶ 합:;3&;, 곱:;3!; ⑷ 합:-3, 곱:1
7
x, x+1, x, x+1, x, x¤ -4x, x-4, 4, 3, 4, 53
⑴4x(x-1)=2x¤ +5에서2x¤ -4x-5=0∴x= =
⑵(x+5)(x-1)=2x-5에서x¤ +2x=0 x(x+2)=0 ∴x=0 또는x=-2
⑴ x=2—'∂14 ⑵ x=0 또는 x=-2 2
2—'∂14 2 -(-2)—"√(-2)¤ -2_(-5)
2
4
⑴b¤ -4ac=(-3)¤ -4_4_(-1)=25>0 따라서근은2개이다.⑵b¤ -4ac=3¤ -4_1_;4(;=0 따라서근은1개이다.
⑶b¤ -4ac=5¤ -4_1_7=-3<0 따라서근은없다.
⑴ 2개 ⑵ 1개 ⑶ 없다.
5
⑶3x¤ -7x=-1에서3x¤ -7x+1=0∴합:--7=;3&;, 곱:;3!;
3
O3
3x+2=A로치환하면A¤ +5A-14=0, (A+7)(A-2)=0
∴A=-7 또는A=2 즉3x+2=-7 또는3x+2=2
∴x=-3 또는x=0 ②
O4
①b¤ -4ac=(-5)¤ -4_3_(-4)=73>0②b¤ -4ac=5¤ -4_2_(-1)=33>0
③b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_(-5)=36>0
④b¤ -4ac=0¤ -4_4_(-16)=256>0
⑤b¤ -4ac=8¤ -4_1_16=0
따라서 ①, ②, ③, ④`의 근의 개수는 2개이고, ⑤`의 근의 개수는
1개이다. ⑤
O5
3x¤ -3x-2=mx¤ -mx, 즉(3-m)x¤ +(m-3)x-2=0이중근을가지려면 (m-3)¤ -4_(3-m)_(-2)=0
m¤ -14m+33=0, (m-3)(m-11)=0
∴m=3 또는m=11 이때3-m+0이므로m+3
따라서m=11이다. ⑤
O2
;5!; x¤ +0.4x-2=0의 양변에 5를 곱하면 x¤ +2x-10=0∴x=-1—"√1¤ -1_(-10)=-1—'∂11 ③ 1
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O6
x¤ +(2k-3)x+k¤ +1=0의해가없으려면 (2k-3)¤ -4_1_(k¤ +1)<0-12k+5<0 ∴k>;1∞2;
따라서k의값이될수있는것은⑤ ;3@;이다. ⑤
O7
2x¤ -3x-1=0에서근과계수의관계에의해 m=- =;2#;, n= =-;2!;이므로m+n=1 1
-1 2 -3
2
O8
x¤ -8x+k=0의 계수와 상수항이 모두 유리수이고 한 근이 4+'7이므로다른한근은4-'7이다.∴k=(4+'7 )(4-'7 )=9 9
10
-5x¤ +35x=50에서-5x¤ +35x-50=0 x¤ -7x+10=0, (x-2)(x-5)=0∴x=2 또는x=5
따라서 물 로켓의 높이가 50 m가 되는 순간은 쏘아 올린 지 2초
후또는5초후이다. 2초 후 또는 5초 후
11
x¤ +ax+b=0의두근이2, -4이므로 2+(-4)=-;1A;에서a=22_(-4)=;1B;에서b=-8
∴a+b=2+(-8)=-6 ①
12
x¤ +2x-1=0에서근과계수의관계에의해 a+b=-2, ab=-1∴ + = =
∴ + =(-2)¤ -2_(-1)=-6 -6 -1
(a+b)¤ -2ab ab a¤ +b¤
ab a
b b a
O9
두근이-;3!;, 2이고 x¤ 의계수가3인이차방정식은 3 {x+;3!;}(x-2)=0, (3x+1)(x-2)=0∴3x¤ -5x-2=0
따라서a=3, b=-5, c=-2이므로
a+b+c=-4 -4
x¤의 계수가 1이고 두 근이 2, -4이므로 (x-2)(x+4)=0 ∴x¤ +2x-8=0
따라서a=2, b=-8이므로a+b=-6 다른 풀이
두 근의 합은 ;3%;, 두 근의 곱은 -;3@;이므로 x¤ 의 계수가3인이차방정식은
3 {x¤ -;3%;x-;3@;}=0
∴3x¤ -5x-2=0
따라서a=3, b=-5, c=-2이므로 a+b+c=-4
다른 풀이
13
5x¤ -10x+k=0의두근을a, 3a로놓으면 a+3a=- 에서4a=2 ∴a=;2!;a_3a=;5K;에서3a¤ =;5K;
이식에a=;2!;을대입하면
3_{;2!;}¤ =;5K; ∴k=;;¡4∞;; ⑤ -10
5
14
x¤ -4x+3=0에서근과계수의관계에의해 a+b=4, ab=3이때4, 3을두근으로하고x¤ 의계수가2인이차방정식은 2(x-4)(x-3)=0, 2(x¤ -7x+12)=0
∴2x¤ -14x+24=0 ④
15
연속하는세자연수를x-1, x, x+1 (xæ2)이라하면 (x+1)¤ =(x-1)¤ +x¤ +4x¤ -4x+4=0, (x-2)¤ =0 ∴x=2(중근)
따라서가장작은수는2-1=1이다. 1
16
수연이의나이를x살이라하면아버지의나이는(5x+1)살이므로 x¤ =(5x+1)+13, x¤ -5x-14=0(x+2)(x-7)=0 ∴x=-2 또는x=7 그런데x>0이므로x=7
따라서수연이의나이는7살이다. 7살
17
길의폭을x m라하면(12-x)(7-x)=36, x¤ -19x+48=0 (x-3)(x-16)=0 ∴x=3 또는x=16 그런데0<x<7이므로x=3
따라서길의폭은3 m이다. ②
18
작은 정사각형의 한 변의 길이를 x m라 하면 큰 정사각형의 한 변의길이는(x+5) m이므로x¤ +(x+5)¤ =233, 2x¤ +10x-208=0 x¤ +5x-104=0, (x+13)(x-8)=0
∴x=-13 또는x=8 그런데x>0이므로x=8
따라서 두 정사각형의 한 변의 길이는 8 m, 13 m이므로 두 정 사각형의넓이의차는
13¤ -8¤ =105 (m¤ ) 105 m¤
O1
x¤ -14x-k+1=0에서 근의 공식에 의해x= =7—'ƒ48+k
따라서48+k=10이므로k=-38 ②
-(-7)—"√(-7)¤ -1_√(-k+1) 1
시험에 꼭 나오는 기출BEST
2
회 11쪽~13쪽http://zuaki.tistory.com
x=7—'∂10에서 x-7=—'∂10 양변을제곱하면x¤ -14x+49=10 x¤ -14x+39=0
즉-k+1=39이므로k=-38 다른 풀이
O2
;5!; (x+1)(x-1)=0.3(x+2)¤ 의 양변에 10을 곱하면 2(x+1)(x-1)=3(x+2)¤, x¤ +12x+14=0∴x= =-6—'∂22
∴A=22 22
-6—"√6¤ -1_14 1
O3
a-b=A로치환하면A¤ +6A-16=0, (A+8)(A-2)=0
∴A=-8 또는A=2 즉a-b=-8 또는a-b=2 그런데a>b이므로a-b>0
∴a-b=2 2
O4
㉠b¤ -4ac=0¤ -4_1_3=-12<0㉡b¤ -4ac=(-5)¤ -4_3_0=25>0
㉢x¤ +x-12=-12에서x¤ +x=0 b¤ -4ac=1¤ -4_1_0=1>0
㉣b¤ -4ac=1¤ -4_3_7=-83<0
㉤4x¤ +8x=0에서x¤ +2x=0 b¤ -4ac=2¤ -4_1_0=4>0
따라서해가없는것은㉠, ㉣이다. ①
O5
ax¤ +(a+2)x+2=0이중근을가지려면 (a+2)¤ -4_a_2=0a¤ -4a+4=0, (a-2)¤ =0
∴a=2 (중근)
ax¤ +(a+2)x+2=0에a=2를대입하면 2x¤ +4x+2=0, x¤ +2x+1=0
(x+1)¤ =0 ∴x=-1(중근), 즉p=-1
∴a+p=2+(-1)=1 ④
O6
-12x¤ +4x+1-k=0이 근을 가지려면 4¤ -4_2_(1-k)æ08k+8æ0 ∴kæ-1 ①
x의 계수가 짝수이므로 근을 가지려면 b'¤ -acæ0에서2¤ -2(1-k)æ0 ∴kæ-1
다른 풀이
O6
-2 4x¤ -6x+k-5=0이 해를 가지려면 (-6)¤ -4_4_(k-5)æ0-16k+116æ0 ∴k…;;™4ª;; yy`㉠
(k+2)x¤ +4x+1=0의해가없으려면
4¤ -4_(k+2)_1<0, -4k+8<0 ∴k>2 yy`㉡
㉠, ㉡`에의하여2<k…;;™4ª;;이므로
자연수k는3, 4, 5, 6, 7의5개이다. 5개
O7
①x¤ -5x=0에서a+b=- =5②(x-2)(x+3)=0, 즉x¤ +x-6=0에서 a+b=-;1!;=-1
③x¤ -x-12=0에서a+b=- =1
④x¤ +6x+8=0에서a+b=-;1^;=-6
⑤x¤ +3x-10=0에서a+b=-;1#;=-3
따라서a+b의값이가장큰것은①`이다. ①
-1 1 -5
1
O9
-4를중근으로가지고x¤ 의계수가2인이차방정식은 2(x+4)¤ =0, 즉2x¤ +16x+32=0따라서A=16, B=32이므로B-A=16 ⑤
O8
x¤ -2mx-2=0의계수와상수항이모두유리수이고 한근이1+'3이므로다른한근은1-'3이다.(1+'3 )+(1-'3 )=- =2m
2m=2 ∴m=1 1
-2m 1
10
물체가땅에떨어지면높이는0 m이므로 -5t¤ +40t+100=0, t¤ -8t-20=0 (t+2)(t-10)=0 ∴t=-2 또는t=10이때t>0이므로물체가땅에떨어지는것은10초후이다.
④
11
-1 2x¤ +ax+b=0의두근이1, 3이므로 1+3=-;2A;에서a=-81_3=;2B;에서b=6
∴a-b=-8-6=-14 ①
x¤의 계수가 2이고 두 근이 1, 3이므로 2(x-1)(x-3)=0 ∴2x¤ -8x+6=0 따라서a=-8, b=6이므로a-b=-14
다른 풀이
11
-2 x¤ +ax+b=0의두근이5+'2, 5-'2이므로 (5+'2)+(5-'2 )=-;1A;에서a=-10 (5+'2 )(5-'2 )=;1B;에서b=23∴a+b=-10+23=13 ⑤
12
4x¤ +8x-1=0에서근과계수의관계에의해 a+b=-2, ab=-;4!;① = =-;2!;
②-ab=-{-;4!;}=;4!;
③a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=(-2)¤ -2_{-;4!;}=;2(;
④(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=(-2)¤ -4_{-;4!;}=5
⑤ + = =;2(;÷{-;4!;}¤ =;2(;_16=72 ④ a¤ +b¤
(ab)¤
1 b¤
1 a¤
1 -2 1
a+b
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13
x¤ +3x+2k-2=0의두근을a, a+1로놓으면 a+(a+1)=-3에서2a=-4 ∴a=-2 a(a+1)=2k-2에a=-2를대입하면-2_(-2+1)=2k-2, 2k=4 ∴k=2 ④
14
x¤ -5x+3=0에서근과계수의관계에의해 a+b=5, ab=3이므로(a-1)+(b-1)=a+b-2=5-2=3
(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=3-5+1=-1 따라서구하는이차방정식은x¤ -3x-1=0이다.
x¤ -3x-1=0
15
연속하는두홀수를x, x+2라하면 x(x+2)=195, x¤ +2x-195=0(x+15)(x-13)=0 ∴x=-15 또는x=13 그런데x>0이므로x=13
따라서두홀수는13, 15이다. 13, 15
16
학생수를x명이라하면한학생에게돌아가는사과의수는 (x+3)개이므로x(x+3)=154, x¤ +3x-154=0
(x+14)(x-11)=0 ∴x=-14 또는x=11 그런데x>0이므로x=11
따라서학생수는11명이다. 11명
18
출발한지x초후에△PQD의넓이가48 cm¤ 가된다고하면 PD”=(30-3x) cm, DQ”=2x cm이므로;2!;_(30-3x)_2x=48에서
-3x¤ +30x-48=0, x¤ -10x+16=0 (x-2)(x-8)=0 ∴x=2 또는x=8
이때0<x<10이고처음으로구하는시간은2초후이다. ①
17
처음정사각형의한변의길이를x m라하면 (x+6)(x+3)=88, x¤ +9x-70=0(x+14)(x-5)=0 ∴x=-14 또는x=5 그런데x>0이므로x=5
따라서처음정사각형의한변의길이는 5 m이다. 5 m
1
(x+2)(x-3)=-7x-5에서x¤ +6x-1=0∴x=-3—"√3¤ -1_(-1)=-3—'∂10 x=-3—'∂10 1
집중 연습 ●3. 이차방정식 14쪽
2
양변에 6을 곱하면 3x¤ +2x-1=0(3x-1)(x+1)=0 ∴x=;3!; 또는x=-1
x=;3!; 또는 x=-1
3
양변에10을곱하면5x¤ +10x+2=0∴x= =
x=-5—'∂15 5 -5—'∂15
5 -5—"√5¤ -5_2
5
4
양변에3을곱하면3(x¤ -x)=7x-6 3x¤ -10x+6=0∴x= =
x=5—'7 3 5—'7
3 -(-5)—"√(-5)¤ -3_6
3
5
양변에10을곱하면3x¤ -2x=6(x+1) 3x¤ -8x-6=0∴x= =
x=4—'∂34 3 4—'∂34
3 -(-4)—"√(-4)¤ -3_(-6)
3
6
양변에4를곱하면x¤ -4x=2(5x-4) x¤ -14x+8=0∴x= =7—'∂41
x=7—'∂41 -(-7)—"√(-7)¤ -1_8
1
7
양변에30을곱하면(x-3)(2x+3)+15x-30=0 2x¤ +12x-39=0∴x= =
x=-6—'∂114 2 -6—'∂114
2 -6—"√6¤ -2_(-39)
2
8
양변에6을곱하면2(x¤ +1)-3x(x-1)+6=0 -x¤ +3x+8=0에서x¤ -3x-8=0∴x= =
x=3—'∂41 2 3—'∂41
2 -(-3)—"√(-3)¤ -4_1√_(-8)
2
9
양변에12를곱하면9x¤ =6x+10 9x¤ -6x-10=0∴x=
∴x= = x=1—'∂11
3 1—'∂11
3 3—3'∂11
9
-(-3)—"√(-3)¤ -9_(-10) 9
10
(x-2)(x-3)=8-3x에서x¤ -2x-2=0∴x= =1—'3
x=1—'3 -(-1)—"√(-1)¤ -1_(-2)
1
11
(x-4)¤ =4(3x+4)-1에서x¤ -20x+1=0∴x= =10—3'∂11
x=10—3'∂11 -(-10)—"√(-10)¤ -1_1
1
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12
양변에30을곱하면10x-6x{0.5-;3!;x}=5(4-x) 10x-3x+2x¤ =20-5x, 2x¤ +12x-20=0 x¤ +6x-10=0∴x= =-3—'∂19
x=-3—'∂19 -3—"√3¤ -1_(-10)
1
13
2¤ -4_1_(-9)=40>0이므로근은2개이다. 2개14
3¤ -4_1_(-2)=17>0이므로근은2개이다. 2개16
6¤ -4_2_3=12>0이므로근은2개이다. 2개17
18¤ -4_3_27=0이므로근은1개이다. 1개20
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_1=7 721
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_1=5 519
ab=;1!;=1 118
a+b=--31 =3 315
(-2)¤ -4_4_1=-12<0이므로근은없다. 없다.22
+ =a+b=;1#;=3 3ab 1 b 1 a
23
+ =a¤ +b¤ =;1&;=7 7 aba b b a
24
a¤1 +b¤1 =a¤ +b¤(ab)¤ =1¤7 =7 715쪽~18쪽
O1
5x¤ -8x+1=0에서 근의 공식에 의해x= =
따라서a=4, b=11이므로a+b=15 ⑤
4—'∂11 5 -(-4)—"√(-4)¤ -5_1
5 수준별 기출 문제기본
1
회O2
x= = 이므로a= , b= (∵a>b)
∴a¤ -b¤ ={ }¤ -{ }¤
∴a¤ -b¤= -
∴a¤ -b¤=-12'∂29=-3'∂29 ② 4
38+6'∂29 4 38-6'∂29
4
-3-'∂29 2 -3+'∂29
2
-3-'∂29 2 -3+'∂29
2
-3—'∂29 2 -3—"√3¤ -4_1_(-5)
2
O3
- =x+2의양변에6을곱하면3(3x¤ -4)-2(4x¤ -5x)=6(x+2) 9x¤ -12-8x¤ +10x=6x+12 x¤ +4x-24=0
∴x= =-2—'∂28
∴x=-2—2'7 ④
-2—"√2¤ -1_(-24) 1
4x¤ -5x 3 3x¤ -4
2
O4
x-1=A로치환하면5A¤ -6A+1=0, (5A-1)(A-1)=0
∴A=;5!; 또는A=1 즉x-1=;5!; 또는x-1=1
∴x=;5^; 또는x=2 x=;5^; 또는 x=2
O5
㉠b¤ -4ac=(-5)¤ -4_1_(-2)=33>0㉡b¤ -4ac=6¤ -4_9_1=0
㉢b¤ -4ac=5¤ -4_1_6=1>0
㉣b¤ -4ac=1¤ -4_1_3=-11<0
㉤b¤ -4ac=(-4)¤ -4_1_5=-4<0
㉥b¤ -4ac=2¤ -4_1_(-7)=32>0
따라서 서로 다른 2개의 근을 갖는 이차방정식은 ㉠, ㉢, ㉥`의 3
개이다. ②
O6
2x¤ +4x+k=0의해가없으려면 4¤ -4_2_k<016-8k<0 ∴k>2 ④
O8
4x¤ +8x-5=0에서근과계수의관계에의해 a=-;4*;=-2, b= =-;4%;이므로a+b=-2+{-;4%;}=-;;¡4£;; -;;¡4£;;
-5 4
O7
4x¤ +4x-k=0이중근을가지려면 4¤ -4_4_(-k)=016+16k=0 ∴k=-1
(k-1)x¤ +3x-1=0에k=-1을대입하면 -2x¤ +3x-1=0
이때근과계수의관계에의해두근의곱은
=;2!; ④
-1 -2
O9
x¤ +bx+c=0의두근이3, -5이므로 3+(-5)=-;1B;에서b=23_(-5)=;1C;에서c=-15
∴b+c=-13 ②
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13
(x+2)¤ =(x-2)(3x+4)에서 x¤ +4x+4=3x¤ -2x-8-2x¤ +6x+12=0, x¤ -3x-6=0 이때근과계수의관계에의해 a+b=3, ab=-6
∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=3¤ -2_(-6)=21 ⑤
10
x¤ -5x+2=0에서근과계수의관계에의해 p+q=5, pq=2∴;p!;+;q!;= =;2%; ;2%;
p+q pq
11
3x¤ -5x+1=0에서근과계수의관계에의해 a+b=;3%;, ab=;3!;∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=;3!;+;3%;+1=3 ⑤
12
⑴x¤ +2x-5=0에서근과계수의관계에의해 두근의합은-2이다.⑵3x¤ +5x-k=0에x=-2를대입하면 12-10-k=0 ∴k=2
⑴ -2 ⑵ 2
14
2x¤ -2x+k=0의두근을a, a+5로놓으면 a+(a+5)=1에서2a=-4 ∴a=-2 a(a+5)=;2K;에a=-2를대입하면-2_(-2+5)=;2K; ∴k=-12 -12
15
x¤ -4x+k=0의 계수와 상수항이 모두 유리수이고 한 근이 2-'3이므로다른한근은2+'3이다.∴k=(2-'3 )(2+'3 )=1 ②
16
4x¤ +bx+c=0의계수와상수항이모두유리수이고한근이이므로다른한근은 이다.
(두근의합)=-;4B;=-1이므로b=4
(두근의곱)=;4C;= _ 이므로
;4C;= ∴c=-1
∴b+c=4+(-1)=3 ③
-1 4
-1-'2 2 -1+'2
2
-1+'2 2 -1-'2
2
17
두근이 ;2#;, -;2!;이고x¤ 의계수가4인이차방정식은4 {x-;2#;}{x+;2!;}=0가가∴4x¤ -4x-3=0 ②
18
x¤ +3x-5=0에서근과계수의관계에의해 a+b=-3, ab=-5따라서 -3, -5를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식 은(x+3)(x+5)=0
∴x¤ +8x+15=0 ④
20
축구공이땅에떨어질때의높이는0 m이므로 -5t¤ +30t=0에서t¤ -6t=0t(t-6)=0 ∴t=0 또는t=6 그런데t>0이므로t=6
따라서축구공이다시땅에떨어지는것은6초후이다. 6초 후
19
2x-y=A로치환하면A¤ -7A-30=0, (A+3)(A-10)=0
∴A=-3 또는A=10 즉2x-y=-3 또는2x-y=10 그런데x>y>0이므로2x-y=10 x-y=3, 2x-y=10을연립하여풀면
x=7, y=4 ∴x+y=11 11
21
(상자의부피)=(x-6)¤ _3=60이므로 (x-6)¤ =20, x¤ -12x+16=0∴x= =6—'∂20=6—2'5
그런데x>6이므로x=6+2'5 6+2'5 -(-6)—"ç(-6)¤ -ç1_16
1
22
⑴x¤ +2ax+a+6=0이중근을가지려면 (2a)¤ -4_1_(a+6)=04a¤ -4a-24=0, a¤ -a-6=0
(a+2)(a-3)=0 ∴a=-2 또는a=3 그런데a는자연수이므로a=3
⑵x¤ +2ax+a+6=0에a=3을대입하면 x¤ +6x+9=0, (x+3)¤ =0
∴x=-3 (중근) ⑴ 3 ⑵ x=-3
23
가운데홀수가x이면연속하는세홀수는x-2, x, x+2이므로 (x-2)¤ +x¤ +(x+2)¤ =8753x¤ +8=875, 3x¤ =867
x¤ =289 ∴x=17 또는x=-17 그런데x>0이므로x=17
따라서연속하는세홀수는15, 17, 19이므로그합은
15+17+19=51 51
24
길의폭을x m라하면(21-x)(14-x)=198, x¤ -35x+96=0 (x-3)(x-32)=0 ∴x=3 또는x=32 그런데0<x<14이므로x=3
따라서길의폭은3 m이다. 3 m
19쪽~21쪽
O1
3x¤ +4x+p=0에서 근의 공식에 의해x= =
따라서-2=q, 4-3p=7이므로p=-1, q=-2
∴pq=2 ④
-2—'ƒ4-3p 3 -2—"√2¤ -3_p
3 수준별 기출 문제기본
2
회http://zuaki.tistory.com
O2
(2x-2)¤ -(x+2)¤ =0에서 4x¤ -8x+4-x¤ -4x-4=0 3x¤ -12x=0, x¤ -4x=0x(x-4)=0 ∴x=0 또는x=4
따라서a=0, b=4(∵a<b)이므로b-a=4 ④
O3
x¤ -2(k-1)x+k¤ +2=0이서로다른두근을가지려면 {-2(k-1)}¤ -4_1_(k¤ +2)>04(k-1)¤ -4k¤ -8>0
-8k-4>0 ∴k<-;2!; ④
O6
x¤ -2x-k=0이중근을가지려면 (-2)¤ -4_1_(-k)=0 4+4k=0 ∴k=-1(1-k)x¤ -kx-6=0에k=-1을대입하면 2x¤ +x-6=0
따라서두근의합은-;2!;이다. ③
O4
①b¤ -4ac=(-7)¤ -4_1_(-8)=81>0②b¤ -4ac=8¤ -4_1_12=16>0
③b¤ -4ac=(-7)¤ -4_2_(-5)=89>0
④b¤ -4ac=(-5)¤ -4_1_8=-7<0
⑤b¤ -4ac=(-8)¤ -4_7_(-2)=120>0
따라서근을갖지않는이차방정식은④`이다. ④
O5
x¤ -4x+2+m=0이근을가지려면 (-4)¤ -4_1_(2+m)æ0 8-4mæ0 ∴m…2따라서상수m의값으로적당하지않은것은⑤3이다. ⑤
O7
5(x-1)¤ +7x=(2x-3)(3x+1)에서 5x¤ -10x+5+7x=6x¤ -7x-3∴x¤ -4x-8=0
따라서두근의곱은-8=-8이다. ①
1
O8
-2x¤ +ax+b=0의두근이-1, 2이므로-1+2=- 에서a=2
-1_2= 에서b=4
∴a-b=2-4=-2 -2
b -2
a -2
두근이-1, 2이고x¤ 의계수가-2인이차방정식은 -2(x+1)(x-2)=0 ∴-2x¤ +2x+4=0
따라서a=2, b=4이므로a-b=-2 다른 풀이
O9
2x¤ -4x-3=0에서근과계수의관계에의해 a+b=2, ab=-;2#;③ + =a+b=2÷{-;2#;}=2_{-;3@;}=-;3$;
ab 1 b 1 a
④(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=2¤ -4_{-;2#;}=10
⑤ + = 이고
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=2¤ -2_{-;2#;}=7이므로 +a=7÷{-;2#;}=7_{-;3@;}=-;;¡3¢;; ⑤
b b a
a¤ +b¤
ab a b b a
10
x¤ +3x-5=0에서근과계수의관계에의해 m+n=-3, mn=-5∴m¤ +mn+n¤ =(m+n)¤ -mn
=(-3)¤ -(-5)=14 14
11
x¤ +3kx+5k=0의두근을a, 5a로놓으면 a+5a=-;;£1;;에서6a=-3k ∴a=-;2!;k a_5a=;;∞1;;에서5a¤ =5k이식에a=-;2!;k를대입하면 5_{-;2!;k}¤ =5k, ;4%; k¤ -5k=0 k¤ -4k=0, k(k-4)=0
∴k=0 또는k=4
이때k+0이므로k=4 4
13
ax¤ -12x+b=0의 계수와 상수항이 모두 유리수이고 한 근이 -3+'6이므로다른한근은-3-'6이다.(-3+'6 )+(-3-'6 )=- 에서
-6= ∴a=-2
(-3+'6 )(-3-'6 )=;aB;에서
3= b ∴b=-6 ①
-2 12
a
-12 a
12
x¤ -(m+5)x+5m=0의두근을 a, 2a로놓으면a+2a=- 에서3a=m+5 ∴a=
a_2a= 에서2a¤ =5m
이식에a= 를대입하면
2_{ }¤ =5m, =5m
2m¤ -25m+50=0, (2m-5)(m-10)=0
∴m=;2%; 또는m=10
이때m은정수이므로m=10 10
2m¤ +20m+50 9 m+5
3 m+5
3 5m
1
m+5 3 -(m+5)
1
14
2x¤ -6x+3=0에서근과계수의관계에의해 (두근의합)=3, (두근의곱)=;2#;따라서4x¤ +ax+b=0의두근이3, ;2#;이므로 3+;2#;=-;4A;에서a=-18
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3_;2#;=;4B;에서b=18
∴a+b=-18+18=0 ②
16
3에서x까지의합이117이므로1에서x까지의합은120이다.=120에서x(x+1)=240 x¤ +x-240=0, (x+16)(x-15)=0
∴x=-16 또는x=15
그런데x는자연수이므로x=15 ④
x(x+1) 2
15
25t-5t¤ =20에서5t¤ -25t+20=0 t¤ -5t+4=0, (t-1)(t-4)=0∴t=1 또는t=4
따라서 공이 20 m보다 높은 위치에 머무는 시간은 1초에서 4초
까지이므로3초동안이다. ③
17
색칠한부분의세로의길이를x cm라하면가로의길이는 (80-2x) cm이므로x(80-2x)=800, 80x-2x¤ =800
x¤ -40x+400=0, (x-20)¤ =0 ∴x=20 (중근) 따라서색칠한부분의가로의길이는80-2_20=40 (cm), 세로의길이는20 cm이므로그차는
40-20=20 (cm) ④
18
0.3x¤ -;5$;x-0.4=0.2x-;2!;의양변에10을곱하면 3x¤ -8x-4=2x-5, 3x¤ -10x+1=0∴x= =
따라서A=5, B=22이므로A+B=27 27 5—'∂22
3 -(-5)—"√(-5)¤ -3_1
3
19
⑴2x¤ +3x-9=0에서(2x-3)(x+3)=0 ∴x=;2#; 또는 x=-3
∴a=;2#;, b=-3 (∵a>b)
⑵2a=2_;2#;=3, 2b=2_(-3)=-6이므로 3, -6을두근으로하고x¤ 의계수가1인이차방정식은 (x-3)(x+6)=0 ∴x¤ +3x-18=0
⑴ a=;2#;, b=-3 ⑵ x¤ +3x-18=0
20
x초후에처음직사각형과넓이가같아진다고하면x초후의직사각형의가로, 세로의길이는각각 (8+2x) cm, (12-x) cm이므로
(8+2x)(12-x)=8_12 -2x¤ +16x=0, x¤ -8x=0 x(x-8)=0 ∴x=0 또는x=8 그런데0<x<12이므로x=8
따라서처음직사각형과넓이가같아지는것은8초후이다.
8초 후
22쪽~24쪽
O1
x¤ +bx-1=0에서 근의 공식에 의해x= =
따라서-;2B;=1, ='k이므로
b=-2, k=2 ∴b-k=-4 ①
"√b¤ +4 2
-b—"√b¤ +4 2 -b—"√b¤ -4_1_(-1)
2_1 수준별 기출 문제실력
1
회O3
x+y=A로치환하면A(A-1)-12=0, A¤ -A-12=0
(A-4)(A+3)=0 ∴A=4 또는A=-3 즉x+y=4 또는x+y=-3
따라서x+y의값중작은수는-3이다. ③
O2
4x- =0.2x¤ -0.2의양변에10을곱하면 40x-2(x¤ -5)=2x¤ -2-4x¤ +40x+12=0, x¤ -10x-3=0
∴x= =5—2'7
x=5—2'7 -(-5)—"√(-5)¤ -1_(-3)
1 x¤ -5
5
O4
(m¤ -1)x¤ -2(m-1)x+5=0이중근을가지려면 {-2(m-1)}¤ -4_(m¤ -1)_5=04(m-1)¤ -20(m¤ -1)=0, -16m¤ -8m+24=0 2m¤ +m-3=0, (2m+3)(m-1)=0
∴m=-;2#; 또는m=1 이때m¤ -1+0이므로m+—1
따라서m=-;2#;이다. ①
O5
x¤ -x+k-4=0이근을가지려면 (-1)¤ -4_1_(k-4)æ0-4k+17æ0 ∴k…;;¡4¶;; yy`㉠
x¤ -3x+k+7=0이근을갖지않으려면 (-3)¤ -4_1_(k+7)<0
-4k-19<0 ∴k>-;;¡4ª;; yy`㉡
㉠, ㉡`에의하여-;;¡4ª;;<k…;;¡4¶;;이므로정수k는-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의9개이다. ④
O6
㉠a=0이면 (x-4)¤ =1, 즉 x¤ -8x+15=0이므로 두 근의 곱은15이다.㉡a=-1이면(x-4)¤ =0이므로중근4를갖는다.
㉢a=-2이면(x-4)¤ =-1이므로근을갖지않는다.
따라서옳은것은㉡, ㉢이다. ⑤
O7
3x¤ +6x-1=0에서근과계수의관계에의해 a+b=-2, ab=-;3!;http://zuaki.tistory.com
25쪽~27쪽
수준별 기출 문제실력
2
회O1
0.6x¤ -1.3x-0.5=0의 양변에 10을 곱하면 6x¤ -13x-5=0, (3x+1)(2x-5)=0∴x=-;3!; 또는x=;2%;
;5@; x¤ -;5&; x+1=0의 양변에 5를 곱하면 2x¤ -7x+5=0, (x-1)(2x-5)=0
∴x=1 또는x=;2%;
따라서두이차방정식을동시에만족시키는x의값은 ;2%;이다.
③
③a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=(-2)¤ -2_{-;3!;}=;;¡3¢;;
④(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=(-2)¤ -4_{-;3!;}=;;¡3§;;
⑤ + = = =;;¡3¢;;÷{-;3!;}¤
⑤ + =;;¡3¢;;_9=42 ④
a¤ +b¤
(ab)¤
a¤ +b¤
a¤ b¤
1 b¤
1 a¤
따라서연속하는두짝수는10, 12이므로
원래의값은10¤ +12¤ =244 ②
O8
x¤ -3x+1=0에서근과계수의관계에의해 p+q=3, pq=1∴ + = =;1#;=3 x¤ -5x+6a=0에x=3을대입하면 3¤ -5_3+6a=0, -6+6a=0
6a=6 ∴a=1 ③
p+q pq 1 q 1 p
O9
x¤ +ax+b=0에서근과계수의관계에의해 (두근의합)=-a=-2+3이므로a=-1 (두근의곱)=b=-2_3=-6x¤ -bx+a=0에a=-1, b=-6을대입하면 x¤ +6x-1=0
∴x=-3—"ç3¤ -ç1_ç(-1) =-3—'∂10 ① 1
10
(a-1)x¤ -(a¤ +1)x+2(a+1)=0에x=2를대입하면 4(a-1)-2(a¤ +1)+2(a+1)=0-2a¤ +6a-4=0, a¤ -3a+2=0 (a-1)(a-2)=0 ∴a=1 또는a=2 그런데a+1이므로a=2
(a-1)x¤ -(a¤ +1)x+2(a+1)=0에a=2를대입하면 x¤ -5x+6=0
따라서서로다른두근의곱은 ;1^;=6이다. ④
11
6x¤ +x-1=0에서근과계수의관계에의해 a+b=-;6!;, ab=-;6!;따라서 ;a!;+;b!;= =1, ;a!;_;b!;= =-6이므로 두근의합은1, 곱은-6이고 x¤ 의계수가1인이차방정식은
x¤ -x-6=0 ②
1 ab a+b
ab
12
x¤ +kx-(2k+1)=0의한근이3이므로x=3을대입하면 3¤ +3k-(2k+1)=0, k+8=0 ∴k=-8처음이차방정식x¤ -(2k+1)x+k=0에k=-8을대입하면 x¤ +15x-8=0
따라서처음이차방정식의두근의합은-;;¡1∞;;=-15이다.
①
13
연속하는두짝수를x, x+2라하면 (x+x+2)¤ =x¤ +(x+2)¤ +240 4x¤ +8x+4=x¤ +x¤ +4x+4+240 2x¤ +4x-240=0, x¤ +2x-120=0(x+12)(x-10)=0 ∴x=-12 또는x=10 그런데x>0이므로x=10
14
0.01x¤ +0.3x=88의양변에100을곱하면 x¤ +30x=8800, x¤ +30x-8800=0(x+110)(x-80)=0 ∴x=-110 또는x=80 그런데x>0이므로x=80
따라서자동차의속력은시속80 km이다. ②
15
(기울기)=-3, (y절편)=-6이므로a=-3, b=-6 따라서 이차방정식 x¤ -3x-6=0의 두 근의 합은 - =3이다. ⑤
-3 1
16
2x¤ -7x-5=0에서근과계수의관계에의해 a+b=;2&;, ab=-;2%;∴ + =
∴ + = =
∴ + ={;2&;}¤ ÷{-;2%;}=;;¢4ª;;_{-;5@;}
∴ + =-;1$0(; -;1$0(;
(a+b)¤
ab a¤ +2ab+b¤
ab
b(a+b)+a(a+b) ab a+b
b a+b
a
17
(20-2x)(15-x)=168이므로2x¤ -50x+132=0 x¤ -25x+66=0, (x-3)(x-22)=0∴x=3 또는x=22
그런데0<x<10이므로x=3 3
18
출발한지x초후에△DPQ의넓이가36 cm¤ 가된다고하면 PD”=(24-3x) cm, DQ”=2x cm이므로;2!;_(24-3x)_2x=36에서 -3x¤ +24x-36=0, x¤ -8x+12=0 (x-2)(x-6)=0 ∴x=2 또는x=6 그런데0<x<8이므로x=2 또는x=6
따라서 처음으로 △DPQ의 넓이가 36 cm¤ 가 되는 것은 2초 후
이다. 2초 후
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O2
(a+b)¤ =4ab-a+b+6에서 a¤ +2ab+b¤ =4ab-a+b+6 a¤ -2ab+b¤ +a-b-6=0 (a-b)¤ +(a-b)-6=0 a-b=A로치환하면A¤ +A-6=0, (A+3)(A-2)=0
∴A=-3 또는A=2 즉a-b=-3 또는a-b=2 그런데a<b이므로a-b<0
∴a-b=-3 ⑤
O4
3x¤ +Ax+B=0의 근의 개수는 A¤ -12B의 부호에 따라 결 정된다.㉠A=3, B=-2이면
A¤ -12B=3¤ -12_(-2)=33>0 이므로서로다른두근을갖는다.
㉡A=-12, B=6이면
A¤ -12B=(-12)¤ -12_6=72>0 이므로서로다른두근을갖는다.
㉢A=0이면A¤ -12B=-12B 이므로B=0일때에만중근을갖는다.
㉣B<0이면A¤ -12B에서 -12B>0, 즉A¤ -12B>0 이므로서로다른두근을갖는다.
따라서옳은것은㉠, ㉣`이다. ②
O3
x= =2—'2이므로a=2+'2, b=2-'2 (∵a>b) 즉b-2<n<a-2에서 (2-'2 )-2<n<(2+'2 )-2
∴-'2<n<'2
따라서구하는정수n은-1, 0, 1이고그합은
-1+0+1=0 ②
-(-2)—"√(-2)¤ -1_2 1
O5
5x¤ -2x+k-1=0이서로다른두근을가지려면 (-2)¤ -4_5_(k-1)>0-20k+24>0 ∴k<;5^; yy`㉠
x¤ +kx+1=0이중근을가지려면
k¤ -4_1_1=0, k¤ =4 ∴k=—2 yy`㉡
㉠, ㉡`에의하여k=-2 -2
O6
x¤ +6x+2k-3=0의두근이-3+'2, -3-'2이므로 2k-3=(-3+'2 )(-3-'2 )=72k=10 ∴k=5 ⑤
O7
x¤ +2ax+b=0이중근을가지려면 (2a)¤ -4_1_b=0, 4a¤ -4b=0∴a¤ =b
1에서 6까지의 자연수 중 a¤ =b를 만족하는 수를 순서쌍 (a, b) 로나타내면(1, 1), (2, 4)
따라서구하는확률은 ;3™6;=;1¡8; ②
O8
;5!;x¤ -0.6x-;1£0;=0의 양변에 10을 곱하면2x¤ -6x-3=0 ∴a+b=- =3, ab=-;2#;
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_{-;2#;}=15
∴a-b='∂15 (∵a>b) ②
-6 2
x¤ +6x+2k-3=0에서 근의 공식에 의해
x= =-3—'ƒ12-2k
따라서12-2k=2이므로k=5 -3—"√3¤ -1_(2k-3)
1 다른 풀이
10
x¤ +ax+b=0의두근을a, a+4로놓으면 a+4=3a이므로2a=4 ∴a=2 따라서x¤ +ax+b=0의두근은2, 6이므로 -a=2+6에서a=-8b=2_6=12
∴a+b=4 4
O9
x¤ +2x-5=0의두근이a, b이므로 a¤ +2a-5=0, 즉a¤ =-2a+5 b¤ +2b-5=0, 즉b¤ =-2b+5x¤ +2x-5=0에서근과계수의관계에의해 a+b=-2, ab=-5
∴(a¤ +3a-5)(b¤ +3b-5)
=(-2a+5+3a-5)(-2b+5+3b-5)
=ab=-5 -5
11
a를잘못보고구한근1, 3에서b는바르게보았으므로 2(x-1)(x-3)=0, 2x¤ -8x+6=0 b=6 b를잘못보고구한근-1, 2에서a는바르게보았으므로 2(x+1)(x-2)=0, 2x¤ -2x-4=0 a=-2∴a-b=-2-6=-8 ①
12
x¤ +px+q=0의두근을a, a+1(a>0)로놓으면 (a+1)¤ -a¤ =13, 2a=12 ∴a=6따라서x¤ +px+q=0의두근은6, 7이므로 -p=6+7에서p=-13
q=6_7=42
∴p+q=29 ②
13
1부터n까지의자연수의합은 이므로=820에서n(n+1)=1640 n¤ +n-1640=0, (n+41)(n-40)=0
∴n=-41 또는n=40
그런데n은자연수이므로n=40 ④
n(n+1) 2
n(n+1) 2
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14
PR”=x cm라하면△PRCª△ABC이므로 x : 6=CR” : 8 ∴CR”=;3$;x (cm) 따라서QP”=BR”={8-;3$;x} cm이므로;2!;_{8-;3$; x}_x=6, -;3@; x¤ +4x-6=0 x¤ -6x+9=0, (x-3)¤ =0 ∴x=3 (중근)
∴PR”=3 cm ③
16
원래주어진이차방정식을x¤ +ax+b=0이라하면 -5_(-1)=b이므로b=52+4=-a이므로a=-6 따라서원래주어진이차방정식은 x¤ -6x+5=0이므로(x-1)(x-5)=0
∴x=1 또는x=5 x=1또는 x=5
15
y= x+3의그래프가점 {a+2, 3a¤ -2a-;3*;}을지나므로 3a¤ -2a-;3*;= (a+2)+33a¤ -2a-;3*;=;3@;a¤ +;3$;a+3
양변에3을곱하면9a¤ -6a-8=2a¤ +4a+9 7a¤ -10a-17=0, (7a-17)(a+1)=0
∴a=;;¡7¶;; 또는a=-1 yy`㉠
그런데y= x+3의그래프가제`3`사분면을지나지않으므로
;3@; a<0, 즉 a<0 yy`㉡
㉠, ㉡`에의하여a=-1 -1
2a 3
2a 3 2a
3
17
x¤ -4x+1=0에서근과계수의관계에의해 a+b=4, ab=1{a+ }+{b+ }=a+b+ + {a+ }+{b+ }=a+b+
{a+ }+{b+ }=4+;1$;=8
{a+ } {b+ }=ab+1+1+ =1+1+1+1=4 따라서x¤ 의계수가1이고두근의합이8, 두근의곱이4인이차 방정식은x¤ -8x+4=0이다. x¤ -8x+4=0
1 ab 1
a 1 b
a+b ab
1 b 1 a 1
a 1
b
18
AC”=2x cm라하면BC”=(20-2x) cm이므로;2!;_p_10¤ -[;2!;_p_x¤ +;2!;_p_(10-x)¤ ]=24p 50p-[;2!;px¤ +;2!;p(100-20x+x¤ )]=24p
-px¤ +10px-24p=0, x¤ -10x+24=0 (x-4)(x-6)=0 ∴x=4 또는x=6
∴AC”=8 cm, BC”=12 cm 또는AC”=12 cm, BC”=8 cm 그런데AC”>BC”이므로AC”=12 cm 12 cm
1
이차방정식의 해를 잘못 구한 학생은 영호이다.영호의풀이과정을바르게고치면다음과같다.
근의공식을이용하여풀면
x= =
∴x= =-1또는x= =-;2#;
영호, 풀이 참조 -5-1
4 -5+1
4
-5—1 4 -5—"ç5¤ -4_2ç_3
2_2
2
⑴ 일의 자리 숫자는 십의 자리 숫자의 2배이므로 b=2a⑵(처음수)=10a+b이므로ab=10a+b-16
⑶ab=10a+b-16에b=2a를대입하면 a_2a=10a+2a-16, 2a¤ =12a-16 2a¤ -12a+16=0, a¤ -6a+8=0 (a-2)(a-4)=0 ∴a=2 또는a=4 a=2일때, b=2a=2_2=4
a=4일때, b=2a=2_4=8
⑷경이가생각한수는24 또는48이므로그합은 24+48=72
따라서 안에알맞은수는72이다.
⑴ b=2a ⑵ ab=10a+b-16
⑶ a=2, b=4 또는 a=4, b=8 ⑷ 72
3
숲 속에 원숭이가 x마리 있다고 하면 {;6!;x}¤ +8=x이므로;3¡6;x¤ +8=x 위식의양변에36을곱하면x¤ +288=36x x¤ -36x+288=0, (x-12)(x-24)=0∴x=12 또는x=24
따라서원숭이는12마리또는24마리있다.
12마리 또는 24마리
4
학급 게시판의 세로의 길이를 x m라 하면<알림난>이학급게시판전체와닮은도형이므로 x :`2=(x+2) :`x, x¤ =2x+4
x¤ -2x-4=0
∴x= =1—'5
그런데x>0이므로x=1+'5
따라서학급게시판의세로의길이는(1+'5 ) m이다.
(1+'5 ) m -(-1)—"ç(-1)¤ -1ç_(-4)
1 x###m
x###m
2###m
<정보란> <알림난>
28쪽~29쪽
스토리텔링 서술형・논술형
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1
③시험지에서 만난 개념 문제 32쪽~33쪽
이차함수와 그래프
O1
①y=;3$;px‹ 이차함수가아니다.②y=6_2x=12x 일차함수
③y=;3!;_px_3x=px¤ 이차함수
④y=60x 일차함수
⑤2(x+y)=38 ∴y=-x+19 일차함수 ③ 시험에 꼭 나오는 기출BEST
1
회 34쪽~37쪽4. 이차함수
3
y=ax¤과 y=-ax¤ 의 그래프는 x축에 서로 대칭이다. ①4
⑴ x=0 ⑵ (0, 1)2
위, 0, 05
⑴ x=-3 ⑵ (-3, 0)6
⑴ x=-4 ⑵ (-4, -1)7
⑴ m=2, n=-2 ⑵x y
O -2 2 4
-2 6
2 4 6
8
㉠ -;2ıa; ㉡ 음수O2
f(3)=3¤ -3_3+2=2f(-3)=(-3)¤ -3_(-3)+2=20
∴f(3)-f(-3)=2-20=-18 -18
O9
⑴y=;3!;x¤ +2x+2=;3!;(x+3)¤ -1⑴ y=;3!;(x+3)¤ -1 ⑵ (-3, -1) ⑶ x=-3
11
y=-x¤ -4x-5=-(x+2)¤ -1이므로 꼭짓점의 좌표가 (-2, -1)이고 위로 볼록한 그래프를
찾으면①`이다. ①
12
y=-3x¤ +6x-1=-3(x-1)¤ +2③꼭짓점의좌표는(1, 2)이다. ③
13
이차함수의그래프를평행이동했을때, 포개어지는것은x¤ 의계 수가같은것이므로㉡, ㉢의그래프는포개어진다. ④14
위로볼록하므로a<0축이y축의오른쪽에있고a<0이므로b>0
y축과의교점이x축의위쪽에있으므로c>0 ③
O5
①꼭짓점의 좌표는(0, 5)이다.②x>0일때x의값이증가하면 y의값도증가하고, x<0일때x의값이증가하면 y의값은감소한다.
③x=0을축으로하는포물선이다.
④|3|>|;2!;|이므로y=;2!;x¤ -3의그래프보다폭이좁다.
⑤y=3x¤ +5-2=3x¤ +3, 즉 y축의 방향으로 -2만큼 평행 이동하면y=3x¤ +3의그래프와포개어진다. ⑤
O6
①축의방정식은x=-3이다.③ x=0을 대입하면 y=-;2!;(0+3)¤ =-;2(;이므로 y축과 만 나는점의좌표는 {0, -;2(;}이다. ①
O7
①꼭짓점의좌표는(2, 3)이다.②직선x=2를축으로한다.
③위로볼록한포물선이다.
⑤y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로
3만큼평행이동한것이다. ④
O8
y=-;2!;(x+3)¤ +2의그래프를x축의방향으로-1만큼, y축 의방향으로-1만큼평행이동한그래프의식은y=-;2!;(x+3+1)¤ +2-1=-;2!;(x+4)¤ +1
y=-;2!;x¤ -4x-7 ③
y=;3!;(x-4)¤ 의그래프는y=;3!;x¤ 의그래프를x축 의방향으로4만큼평행이동한것이다.
참고
O3
③y=x¤ 의그래프보다폭이넓다.⑤y=ax¤ 과y=-ax¤ 의그래프는x축에서로대칭이므로
y=;4!;x¤ 의그래프와x축에대칭이다. ③
O4
그래프가 아래로 볼록하므로 x¤ 의 계수는 양수이다. 이때 x¤ 의 계수의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이넓으므로 ③, ④, ⑤중폭이가장넓은것은④y=x¤ 이다. ④
10
y=;4!;x¤ +2x+k=;4!;(x+4)¤ +k-4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-4, k-4)이때 꼭짓점이 제`2사분면 위에 있으므로 k-4>0
∴ k>4 ⑤
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15
y=2x¤ -4x+3=2(x-1)¤ +1의그래프를x축의방향으로p 만큼, y축의방향으로q만큼평행이동하면y=2(x-1-p)¤ +1+q
이식이y=2x¤ -12x+5=2(x-3)¤ -13과같으므로 -1-p=-3, 1+q=-13 ∴p=2, q=-14
∴p+q=2+(-14)=-12 -12
16
y=3(x+2)¤ -1의그래프를x축에대칭이동한그래프의식은 -y=3(x+2)¤ -1 ∴y=-3(x+2)¤ +1 ④17
아래로볼록하므로a>0축이y축의오른쪽에있고a>0이므로b<0 y축과의교점이x축의아래쪽에있으므로c<0
①ac<0 ②bc>0
③x=-2일때y>0이므로 4a-2b+c>0
④x=2일때y<0이므로 4a+2b+c<0
⑤x=3일때y=0이므로
9a+3b+c=0 ②, ④
x y
O 3
2 -2-1
18
y=0일때, -x¤ +4x+5=0에서 x¤ -4x-5=0, (x+1)(x-5)=0∴x=-1 또는x=5 즉A(-1, 0), B(5, 0) 또y=-x¤ +4x+5
=-(x-2)¤ +9 이므로C(2, 9)
∴△ABC=;2!;_6_9=27 27
5 2 9
-1 x
y
O
A B
C
19
y=x¤ +2ax+b에x=1, y=7을대입하면7=1+2a+b ∴b=-2a+6 yy`㉠
y=x¤ +2ax+b=(x+a)¤ -a¤ +b 이식에㉠`을대입하면
y=(x+a)¤ -a¤ -2a+6
따라서꼭짓점의좌표는(-a, -a¤ -2a+6) 이때꼭짓점이직선y=2x+2 위에있으므로 -a¤ -2a+6=-2a+2, a¤ -4=0 (a-2)(a+2)=0 ∴a=-2 (∵a<0) a=-2를㉠`에대입하면b=-2_(-2)+6=10
∴a+b=-2+10=8 ③
20
각각의이차함수의그래프를그려확인해보면다음과같다.①y=(x-1)¤ ②y=-x¤ -4x+5
=-(x+2)¤ +9
한점에서만난다. 두점에서만난다.
③y=2x¤ +6x+6 ④y=-x¤ +6x-9 y=2 {x+;2#;}¤ +;2#;
y=-(x-3)¤
만나지않는다. 한점에서만난다.
⑤y=-x¤ -2x-5=-(x+1)¤ -4
만나지않는다. ②
x y O -4 -5 -1
x y
O 3
x -9 y
O 6
3 -2
3 2
x y
-2 5 9
x y
O 1 1
y=3(x+2)¤ -1의 그래 프를 그린 후 x축에 대칭 이동하면 그래프의 모양 이 위로 볼록으로 바뀌므 로 x¤ 의 계수의 부호가 바 뀌고, 꼭짓점의 y좌표의 부호가바뀐다.
다른 풀이
21
y=x¤ -6x+t=(x-3)¤ +t-9 축의 방정식이 x=3이고 AB”=8이므 로오른쪽그림과같이두점A, B의좌 표는A(-1, 0), B(7, 0)이다.즉y=x¤ -6x+t의그래프가 점(-1, 0)을지나므로x=-1, y=0 을대입하면
0=1+6+t ∴t=-7 ②
x y
O
A 3 B
4 4
22
y=ax¤ +bx+c의그래프가아래로볼록하므로a>0 축이y축의오른쪽에있고a>0이므로b<0 y축과의교점이x축의아래쪽에있으므로c<0 따라서y=bx¤ +cx+a의그래프의모양은 b<0 위로볼록c<0 b, c의부호가같으므로축은y축의왼쪽에위치 a>0 y축과의교점은x축의위쪽에위치
하므로①이다. ①
23
y=x¤에y=16을대입하면16=x¤ ∴x=—4
그런데 점 B는 제`1`사분면 위의 점이므로B(4, 16)
이때 AB”=BC”이므로 점 C의 x 좌표는8 ∴C(8, 16)
따라서y=ax¤ 에x=8, y=16을대입하면
16=a_8¤ ∴a=;6!4^;=;4!; ;4!;
O x
y y=x¤
y=ax¤
y=16 A
4 8 B C 16 x
y
O
y=3(x+2)¤ -1
1 -1 -2 (-2, -1)
(-2, 1)
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O1
① 2x¤ +6x-5=0 이차방정식②y=x(x-1)+x=x¤ 이차함수
③y=x‹ -x 이차함수가아니다.
④y= -5 이차함수가아니다.
⑤y=2x(x+1)-2x¤ =2x 일차함수 ② 1
x¤
시험에 꼭 나오는 기출BEST
2
회 38쪽~41쪽24
y=2x¤ +12x+10=2(x+3)¤ -8이므로P(-3, -8)y=2x¤ -8x=2(x-2)¤ -8이므로Q(2, -8) 오른쪽 그림에서 파란색 부분의 넓이가 서로같으므로색칠한부분의넓이는가 로의 길이가 5, 세로의 길이가 8인 직사 각형의넓이와같다.
∴(색칠한부분의넓이)=5_8
=40
40 -8
-3 2
x y
O
P Q
O2
f(-1)=(-1)¤ +2_(-1)+a=4이므로 -1+a=4 ∴a=5즉 f(x)=x¤ +2x+5이므로
f(-2)=(-2)¤ +2_(-2)+5=5 ∴b=5
∴a+b=5+5=10 10
O3
④y축을축으로한다. ④O4
y=ax¤의그래프는y=;3!;x¤ 의그래프보다는폭이좁고y=2x¤의그래프보다는폭이넓으므로;3!;<a<2
따라서이범위에포함되는것은④` ;4#;이다. ④
O5
-1 ㉡꼭짓점의좌표는(0, 5)이다.㉢x=2, y=1을대입하면
1=-2¤ +5, 즉 점 (2, 1)을 지나 고위로볼록하다.
㉣x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은감소한다.
따라서옳은것은㉠, ㉢, ㉤`이다. ②
x y
O 5
O5
-2 y=-3x¤의그래프를y축의방향으로q만큼평행이동하면 y=-3x¤ +q점(2, -6)을지나므로x=2, y=-6을대입하면
-6=-3_2¤ +q, -6=-12+q ∴q=6 ②
O6
-2 y=-4x¤의그래프를x축의방향으로-3만큼평행이동하 면y=-4(x+3)¤점(-1, k)를지나므로x=-1, y=k를대입하면
`k=-4(-1+3)¤ =-16 -16
O6
-1 y=-;3!;(x+2)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 0)이고위로볼록하므로③`이다. ③
O7
①꼭짓점의좌표는(-2, -2)이다.②x의 값이 증가할 때 y의 값이 감소 하는 x의 값의 범위는 x<-2이 다.
③x=0, y=0을대입하면 0=;2!;(0+2)¤ -2 즉점(0, 0)을지난다.
④제`1, 2, 3`사분면을지난다.
⑤y=;2!;x¤ 과x¤ 의계수가같으므로그래프의모양이서로같다.
①, ② x y
O -2
-2
O8
y=3(x-1)¤ -2의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로3만큼평행이동하면y=3(x-1+2)¤ -2+3=3(x+1)¤ +1 이그래프가점(1, a)를지나므로
a=3(1+1)¤ +1=13 13
O9
y=2x¤ +8x+10=2(x¤ +4x)+10
=2(x¤ +4x+4-4)+10
=2(x+2)¤ +2
따라서꼭짓점의좌표는(-2, 2)이다. (-2, 2)
11
y=-5x¤ +10x-2=-5(x-1)¤ +3
꼭짓점의좌표가(1, 3)이고, y절편이-2 로 x축의 아래쪽에 있으므로 오른쪽 그림 과같이제`2`사분면을지나지않는다.
② 3
1 -2
x y
O
12
y=-x¤ +4x-3=-(x-2)¤ +1㉢y축과만나는점의좌표는(0, -3)이다.
㉣y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼평행이동한것이다.
㉤y=x¤ +4x-3과 x¤ 의 계수가 다르므로 평행이동하여 완전 히포갤수없다.
따라서옳은것은㉠, ㉡`이다. ①
10
y=x¤ -4kx+4k¤ -3k-2=(x-2k)¤ -3k-2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2k, -3k-2)이때 꼭짓점이 제`3`사분면 위에 있으므로 2k<0, -3k-2<0
2k<0에서 k<0
-3k-2<0에서 -3k<2 ∴ k>-;3@;
∴ -;3@;<k<0 ①
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13
|-1|>|;5#;|>|-;2!;|>|;3!;|이므로그래프의 폭이 좁은 것 부터차례대로나열하면㉠- ㉡- ㉣- ㉢이다. ②14
아래로볼록하므로a>0축이y축의왼쪽에있고a>0이므로b>0
y축과의교점이x축의아래쪽에있으므로c<0 ②
15
y=-3x¤ +6x+1=-3(x-1)¤ +4이그래프를x축의방향으로a만큼, y축의방향으로-3만큼평 행이동하면
y=-3(x-1-a)¤ +4-3=-3(x-1-a)¤ +1
이 식이 y=-3x¤ -12x+b=-3(x+2)¤ +b+12와 같으 므로
-1-a=2에서a=-3 1=b+12에서b=-11
∴a-b=-3-(-11)=8 8
16
⑴y=x¤ +6x+5의그래프를x축에대칭이동한그래프의식은 -y=x¤ +6x+5∴y=-x¤ -6x-5=-(x+3)¤ +4
평행이동을 하여도 그래프의 모양과 폭은 변함이 없으므로 y=ax¤은 y=-x¤ ∴a=-1
⑵y=-(x+3)¤ +41⁄ y=-x¤
x축의방향으로3만큼평행이동동동∴p=3 y축의방향으로-4만큼평행이동동동∴q=-4
⑴ -1 ⑵ p=3, q=-4
17
위로볼록하므로a<0축은y축의왼쪽에있고a<0이므로b<0 y축과의교점이x축의위쪽에있으므로c>0
①ab>0
②bc<0
③ac<0
④x=-1일때y>0이므로a-b+c>0
⑤x=1일때y<0이므로a+b+c<0 ④
18
x=0일때y=8이므로A(0, 8) y=0일때-x¤ +2x+8=0에서 x¤ -2x-8=0(x+2)(x-4)=0
∴x=-2 또는x=4 즉B(-2, 0), C(4, 0)이므로
△ABC=;2!;_6_8=24 ②
x y
O B
-2 4
8
C A
19
y=(x+p)¤ +2p¤의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-p, 2p¤ )이 고, 꼭짓점이일차함수 y=x+1의그래프위에있으므로 2p¤ =-p+1, 2p¤ +p-1=0, (2p-1)(p+1)=0∴p=;2!; 또는p=-1
그런데p<0이므로p=-1 -1
20
y=-2x¤ +4x+a-3=-2(x-1)¤ +a-1이 그래프가 x축과 한 점에서 만나려면 꼭짓점의 y좌표가 0이 어야 하므로
a-1=0 ∴a=1 1
21
y=x¤ -4x+m=(x-2)¤ +m-4 그래프는 직선 x=2에 대칭이므로 오 른쪽그림과같이두점(-1, 0), (5, 0)을지난다.x=-1, y=0을대입하면 0=(-1)¤ -4_(-1)+m
5+m=0 ∴m=-5 -5
x y
O -1
2 5
m-4 3 3
22
위로볼록하므로a<0축이y축의오른쪽에있고a<0이므로b>0 y축과의교점이x축의위쪽에있으므로c>0 y=cx¤ +bx+a에서 c>0이므로 아래 로 볼록하다. 또 c, b의 부호가 서로 같 으므로축은y축의왼쪽에위치하고, a<0이므로y절편은음수이다.
따라서 그래프의 모양이 오른쪽 그림과 같으므로꼭짓점은제`3`사분면위에있다.
③ x y
O
23
점 Q의 x좌표를 k라 하면 두 점 P, R의좌표는 P(k, k¤ ), R(k, ak¤ ) 이다.이때PQ” : RQ”=4 : 1이므로 PQ”=k¤, RQ”=|a|k¤ 에서 k¤ : |a|k¤ =4 : 1 4|a|k¤ =k¤, 4|a|=1
∴a=—;4!;
그런데y=ax¤ 의그래프는위로볼록하므로a<0
∴a=-;4!; ④
P Q
R x
y
O
(k, k¤ )
(k, ak¤ ) k l
24
y=x¤과 y=(x-2)¤ -4의 그래프는 x¤ 의 계수가 같으 므로 평행이동에 의해 서로 포개어진다.이때 y=(x-2)¤ -4의 그 래프의 축의 방정식은 x=2 이고, 오른쪽 그림에서 파란 색 부분의 넓이는 서로 같다.
따라서 문제에서 색칠한 부분의 넓이는 OCAB의 넓이와 같
으므로2_4=8 ⑤
y=x ¤ y=(x-2) ¤ -4
-4 4B
A
C 2
x y
O
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1
① 꼭짓점의 좌표가 (-3, 0)이므로 y=a(x+3)¤②x=-1, y=4를대입하면
4=a(-1+3)¤, 4=4a ∴a=1
③y=(x+3)¤ =x¤ +6x+9
① y=a(x+3)¤ ② 1 ③ y=x¤ +6x+9
시험지에서 만난 개념 문제 42쪽~43쪽
이차함수의 활용
3
① x=-1, y=3을 대입하면 3=a-b+c x=0, y=0을대입하면c=0x=3, y=3을대입하면3=9a+3b+c
②c=0을㉠, ㉡에대입하면[
`㉢+㉣을하면4a=4 ∴a=1
a=1을㉢`에대입하면1-b=3 ∴b=-2
∴a=1, b=-2, c=0
③y=x¤ -2x
① ② a=1, b=-2, c=0 ③ y=x¤ -2x a-b+c=3
c=0 9a+3b+c=3 (“
9
a-b=3 yy`㉢
3a+b=1 yy`㉣
a-b+c=3 yy`㉠
c=0
9a+3b+c=3 yy`㉡
(“ 9
4
① 두 점 (-1, 0), (3, 0)은 x축 위의 점이므로 y=a(x+1)(x-3)②x=1, y=-2를대입하면-2=a(1+1)(1-3) -2=-4a ∴a=;2!;
③y=;2!;(x+1)(x-3)=;2!;x¤ -x-;2#;
① y=a(x+1)(x-3) ② ;2!; ③ y=;2!;x¤ -x-;2#;
5
⑵ x=-1일 때 최댓값은 3이다. ⑴ y=-(x+1)¤ +3 ⑵ 36
최솟값을 갖는 것:㉡, ㉢, ㉤6
최댓값을 갖는 것:㉠, ㉣ `7
y=-5x¤ +20x=-5(x-2)¤ +20x=2일때최댓값은20이므로2초후에최고높이에도달한다.
2초
2
① 축의 방정식이 x=-1이므로 y=a(x+1)¤ +q②x=1, y=2를대입하면 2=a(1+1)¤ +q, 4a+q=2 x=-2, y=-1을대입하면 -1=a(-2+1)¤ +q, a+q=-1
∴[
③㉠`-㉡`을하면3a=3 ∴a=1
a=1을㉡`에대입하면1+q=-1 ∴q=-2
④y=(x+1)¤ -2=x¤ +2x-1
① y=a(x+1)¤ +q ② [
③ a=1, q=-2 ④ y=x¤ +2x-1 4a+q=2 a+q=-1 4a+q=2 yy`㉠
a+q=-1 yy`㉡
시험에 꼭 나오는 기출BEST
1
회 44쪽~46쪽O1
꼭짓점의 좌표가 (-1, -5)이므로 y=a(x+1)¤ -5이그래프가y=2x¤ 의그래프와모양이같으므로a=2
∴y=2(x+1)¤ -5=2x¤ +4x-3 즉a=2, b=4, c=-3이므로
a+b+c=2+4+(-3)=3 ②
O2
꼭짓점의좌표가(-3, 2)이므로y=a(x+3)¤ +2 이식에x=3, y=-10을대입하면-10=a(3+3)¤ +2, 36a=-12 ∴a=-;3!;
∴y=-;3!;(x+3)¤ +2=-;3!;x¤ -2x-1
y=-;3!;x¤ -2x-1
O3
그래프의꼭짓점의좌표는(1, 3)이고원점을지나므로 y=a(x-1)¤ +3에x=0, y=0을대입하면0=a(0-1)¤ +3, a+3=0 ∴a=-3 ①
O4
y=-2x¤의그래프를평행이동한것이고, 축의방정식이 x=-;2!;이므로y=-2{x+;2!;}¤ +q이식에x=1, y=-4를대입하면-4=-2{1+;2!;}¤ +q -4=-;2(;+q ∴q=;2!;
∴y=-2{x+;2!;}¤ +;2!;=-2x¤ -2x y=-2x¤ -2x
O5
이차함수의식을y=ax¤ +bx+c로놓고세점(0, 5), (-2, -5), (2, 3)의좌표를각각대입하면 5=c, -5=4a-2b+c, 3=4a+2b+c
위의식을연립하여풀면a=-;2#;, b=2, c=5
∴y=-;2#;x¤ +2x+5 ③
O6
x축과의 두 교점의 좌표가 (-2, 0), (4, 0)이므로 이차함수의 식을y=a(x+2)(x-4)로놓고x=1, y=9를대입하면 9=a(1+2)(1-4), -9a=9 ∴a=-1∴y=-(x+2)(x-4)=-x¤ +2x+8
따라서이이차함수의그래프의y절편은8이다. ③
O7
④y=-;2!;(x+1)¤ -3 최댓값:-3⑤y=4x¤ -16x+17=4(x-2)¤ +1 최솟값:1 ④
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O8
y=2x¤ +ax-1에x=2, y=-1을대입하면 -1=8+2a-1, -2a=8 ∴a=-4∴y=2x¤ -4x-1=2(x-1)¤ -3
따라서x=1일때최솟값은-3이다. ①
O9
y=-x¤ -8x+k=-(x+4)¤ +k+16 이때최댓값이3이므로k+16=3∴k=-13 ②
10
x=1일때최솟값이4이므로y=a(x-1)¤ +4 (a>0) 이때y=3x¤ 의그래프와그래프의폭이같으므로a=3∴y=3(x-1)¤ +4=3x¤ -6x+7 ⑤
11
h=50+40t-5t¤ =-5(t-4)¤ +130따라서4초후에물체는최고높이에도달한다. 4초 후
12
닭장의 넓이를 y m¤ 라 하고 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는(48-2x) m이므로y=x(48-2x)=-2x¤ +48x
=-2(x-12)¤ +288
따라서넓이가최대가되는 세로의길이는12 m, 가로의길이는
48-2_12=24 (m)이다. ⑤
13
y=(6+x)(8-x)=-x¤ +2x+48=-(x-1)¤ +49
따라서x=1일때최댓값은49이다. ③
14
y=-2x¤ +4mx-6m+1=-2(x-m)¤ +2m¤ -6m+1∴M=2m¤ -6m+1=2{m-;2#;}¤ -;2&;
따라서M의최솟값은-;2&;이다. ④
15
그래프는y축에대칭이므로점B의x좌표를a라하면A(-a, 0), B(a, 0), C(a, -a¤ +6), D(-a, -a¤ +6)이므로 AB”=2a, BC”=-a¤ +6
∴( ABCD의둘레의길이)=2(2a-a¤ +6)
=-2a¤ +4a+12
=-2(a-1)¤ +14
따라서 ABCD의둘레의길이의최댓값은14이다. 14
16
x=3일때최솟값이-4이므로꼭짓점의좌표는(3, -4)이고, a>0이다.따라서이차함수의식을 y=a(x-3)¤ -4로 놓을 수 있 고, 그래프가 모든 사분면을 지 나려면 오른쪽 그림과 같이 y절 편이음수이어야하므로 9a-4<0 ∴a<;9$;
따라서상수a의값의범위는0<a<;9$;이다. ⑤ 3
-4
y=a(x-3)¤ -4
x y
O
17
총판매금액을y원이라하면y=(500+x)(1200-2x)=-2x¤ +200x+600000
=-2(x-50)¤ +605000
따라서 아이스크림의 가격을 한 개당 50원씩 올릴 때 총 판매 금 액은최대가되므로한개당판매가격은 500+50=550(원)
①
O1
꼭짓점의 좌표가 (-4, 0)이므로 y=a(x+4)¤이때y=2x¤ 의그래프를평행이동하여포갤수있으므로 a=2 ∴y=2(x+4)¤
따라서y축과의교점의y좌표는y=2(0+4)¤ =32 ⑤ 시험에 꼭 나오는 기출BEST
2
회 47쪽~49쪽O2
꼭짓점의좌표가(-1, 3)이므로y=a(x+1)¤ +3으로놓고x=-2, y=4를대입하면 4=a(-2+1)¤ +3, 4=a+3 ∴a=1
즉y=(x+1)¤ +3=x¤ +2x+4이므로
a=1, b=2, c=4 a=1, b=2, c=4
O3
그래프는꼭짓점의좌표가(-1, 3)이고y절편이1이므로 y=a(x+1)¤ +3에x=0, y=1을대입하면1=a(0+1)¤ +3, 1=a+3 ∴a=-2
∴y=-2(x+1)¤ +3=-2x¤ -4x+1 ④
O4
-1 y=3x¤의 그래프와 모양이 같고 축의 방정식이 x=-2이므 로 y=3(x+2)¤ +q이식에x=-1, y=3을대입하면 3=3(-1+2)¤ +q, 3=3+q ∴q=0
따라서구하는이차함수의식은y=3(x+2)¤ ④
O4
-2 x¤의 계수가 1이고 축의 방정식이 x=4이므로 y=(x-4)¤ +q이식에x=1, y=-1을대입하면
-1=(1-4)¤ +q, -1=9+q ∴q=-10 즉y=(x-4)¤ -10=x¤ -8x+6이므로a=-8, b=6
∴a-b=-8-6=-14 ①
O6
x축과의 두 교점의 좌표가 (-1, 0), (3, 0)이므로 이차함수의 식을y=a(x+1)(x-3)으로놓고x=0, y=-6을대입하면 -6=a(0+1)(0-3), -6=-3a ∴a=2∴y=2(x+1)(x-3)=2x¤ -4x-6 ③
O5
y=ax¤ +bx+c에 세 점 (0, -1), (1, -3), (2, -1)의 좌표 를각각대입하면-1=c, -3=a+b+c, -1=4a+2b+c 위의식을연립하여풀면a=2, b=-4, c=-1
∴a-b+c=2-(-4)+(-1)=5 5