043 -` 가비의 이에 의하여
3. 무리함수
(018~043)고하-유제 2018.3.29 2:37 PM 페이지033
051
-` 주어진 조건에서 a>0, b<0이므로 'ßa+'ßb ='ßa+'∂-ßbi (∵ -b>0)따라서 'ßa+'∂-ßbi의 켤레복소수는
'ßa-'∂-ßbi='ßa -'ßb ③
051
-` "√x¤ +√8x+16+"√x¤ -√4x+4="√(x+4)¤ +"√(x-2)¤
=|x+4|+|x-2|
이때 =-æ≠ 에서
x+4>0, x-2<0
∴ (주어진 식)=(x+4)-(x-2)
=x+4-x+2
=6 6
052
-` = =∴ (주어진 식)= = =
052
-` f(x)=='ƒx+1-'x
∴ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(35)
=('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+
y+('3å5-'3å4)+('3å6-'3å5)
=-1+'3å6=5 5
'x -'ƒx+1 1111111111113('x +'ƒx+1 )('x -'ƒx+1 )
12524'315 14'3 122552215 12525'34 1111341
'3 + 125'34
125'34 11112('3 )¤ +1'3 1111341 1
'3 + 125 '3
1134x+4x-2 'ƒx+4
1113'ƒx-2
053
-` +=
=
=4x+2
x='3-1을 대입하면
4x+2=4('3-1)+2=4'3-2 4'3-2
053
-` x=2-'3을 식에 대입하면 복잡한 계산을 해야 하므로 이런 경우에는 다항식의 나눗셈을 이용하자.먼저 다음과 같이 조건식 x=2-'3을 동치변형하자.
x-2=-'3, (x-2)¤ =(-'3)¤
x¤ -4x+4=3 ∴ x¤ -4x+1=0
∴ x‹ -7x¤ +5x-3
=x(x¤¤ -4x+1)-3x¤ +4x-3
=-3(x¤ -4x+1)-8x
=-8x=-8(2-'3)
=-16+8'3 -16+8'3
054
-` 주어진 그래프는 무리함수y='aßx (a+0)의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축 의 방향으로 q만큼 평행이동시킨 것이므로
y="√a(x√-p)+q='ƒax-∂ap+q 이 함수가 y='ƒax+ßb+c와 같으므로
b=-ap, c=q
이때 주어진 그래프에서 a<0, p>0, q<0이므로 a<0, b>0, c<0 a<0, b>0, c<0
054
-` y='ƒ-9xƒ+27+4="√-9√(x-3)+4이 므로 함수 y='ƒ-9ƒx+27+4의 그래프는 함수 y='ƒ-9x의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 4만큼 평행이동한 것이다.(2x+1)+2'x 'ƒx+1 +(2x+1)-2'x 'ƒx+1 11111111111131111211325(x+1)-x
('ƒx+1 +'x )¤ +('ƒx+1 -'x )¤
1111111111121133('ƒx+1 -'x )('ƒx+1 +'x ) 'ƒx+1-'x 1111133
'ƒx+1 +'x 'ƒx+1+'x
1111133 'ƒx+1 -'x
유`제 따라서 a=-9, b=3, c=4이므로
a+b+c=-2 -2
054
-` y=-'aƒx+6+b HjK y-b=-'aƒx+6…0 이므로 치역은 { y|y…b인 실수}이다. 즉, { y|y…1인 실수}={ y|y…b인 실수}이므로 b=1
한편 그래프가 점 (1, -2)를 지나므로 -2=-'ƒa+6+1
'ƒa+6=3, a+6=9 ∴ a=3
따라서 무리함수의 식은 y=-'3ƒx+6+1이고, 이때 정의역은 3x+6æ0에서
{ x|xæ-2인 실수}
y=-'3ƒx+6+1, {x|xæ-2인 실수}
055
-` y=-'ƒ-xƒ+a-1=-"√-(√x-a)-1 이므로 함수 y=-'ƒ-x∂+a-1의 그래프는 함수 y=-'ƒ-x의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.따라서 -6…x…2에서 y=-'ƒ-x∂+a-1의 그래프 는 다음 그림과 같다.
y=-'ƒ-x∂+a-1은
x=2일 때 최댓값 -'ƒ-2∂+a-1, x=-6일 때 최솟값 -'6∂+a-1 을 갖고, 최댓값이 -2이므로
a-1 --x+a-1
y=-O x
y
-1 -2
2 a -6
-'ƒ-2∂+a-1=-2, 'ƒ-2∂+a=1 -2+a=1 ∴ a=3
∴ (최솟값)=-'ƒ6∂+3-1=-4 -4
055
-` y='3ƒ-2x+1=æ-≠2{x–-≠ }+1이므 로 함수 y='ƒ3-2x+1의 그래프는 함수 y='ƒ-2x의 그래프를 x축의 방향으로 만큼, y축의 방향으로 1만 큼 평행이동한 것이다.따라서 a…x…1에서 y='ƒ3-2x+1의 그래프는 다음 그림과 같다.
이때 x=a에서 최댓값 6을 가지므로 6='ƒ3-2ßa+1, 'ƒ3-2ßa=5 3-2a=25 ∴ a=-11 또 x=1에서 최솟값 m을 가지므로
m='ƒ3-2∂¥1+1=2
∴ m-a=2-(-11)=13 13
056
-` 함수 y=f(x)의 그래프와 그 역함수 y=f —⁄ (x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 다음 그림과 같다.O 1 1
x
y y=x
y=f`_!{x}
y=f{x}
O x
a y
3 1
1 m
6
´3+1 3-2x+1 y=
2 132
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두 함수 y=f(x), y=f —⁄ (x)의 그래프의 교점은 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으므로 f(x)=x HjK 'ƒx-1+1=x를 풀면
'ƒx-1=x-1, x-1=x¤ -2x+1 x¤ -3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
따라서 구하는 교점의 좌표는 (1, 1), (2, 2) (1, 1), (2, 2)
056
-` f —⁄ (1)=3에서 f(3)=1이므로 -'ƒ3-a+2=1, 'ƒ3-a=13-a=1 ∴ a=2
f(x)=-'ƒx-2+2이므로 f —⁄ (-2)=k (k는 상수)라 하면 f(k)=-2
-'ƒk-2+2=-2, 'ƒk-2=4 k-2=16 ∴ k=18
∴ f —⁄ (-2)=18 18
057
-` X;Y+0이려면 함수 y='ƒx-1의 그 래프와 직선 y=-x+m이 서로 만나야 한다.위의 그림과 같이 직선 y=-x+m이 점 (1, 0)을 지날 때의 m의 값을 구하면
0=-1+m ∴ m=1
따라서 함수 y='ƒx-1의 그래프와 직선 y=-x+m 이 교점을 가지려면 mæ1이어야 하므로 m의 최솟값은
1이다. 1
1 m
O x
y
y=-x+m x-1 y=
057
-` 함수 y='ƒx-8의 그래프는 y='x의 그 래프를 x축의 방향으로 8만큼 평행이동한 것이고, 직선 y=mx+1은 기울기 m의 값에 관계없이 점 (0, 1)을 지난다.⁄ 직선 y=mx+1이 점 (8, 0)을 지날 때
⁄ 0=8m+1 ∴ m=-;8!;
¤ 직선 y=mx+1이 함수 y='ƒx-8의 그래프와 접할 때
⁄'ƒx-8=mx+1의 양변을 제곱하면
⁄ x-8=m¤ x¤ +2mx+1
⁄ ∴ m¤ x¤ +(2m-1)x+9=0
⁄이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
⁄ D=(2m-1)¤ -4¥m¤ ¥9=0
⁄ -32m¤ -4m+1=0
⁄ (4m+1)(8m-1)=0
⁄ ∴ m=-;4!; 또는 m=;8!;
⁄그런데 위의 그림에서 m>0이므로
⁄ m=;8!;
⁄, ¤에서 함수의 그래프와 직선이 만나도록 하는 m의 값의 범위는
-;8!;…m…;8!; -;8!;…m…;8!;
057
-` 방정식 mx+2m+1=-"√1-x¤ 이 서로 다른 두 실근을 가지려면 두 함수F : y=-"√1-xΩ¤
l : y=mx+2m+1=m(x+2)+1 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.
O 8
1
x
¤
⁄ y
x-8 y=
유`제 따라서 위의 그림과 같이 직선 l이 직선 ㉠이거나, 직선
㉠과 ㉡ 사이에 있어야 한다.
⁄ 직선 l이 점 (-1, 0)을 지날 때 0=-m+2m+1 ∴ m=-1
¤ 직선 l이 반원 F의 접선이 될 때 반원 F의 중심 (0, 0)에서 직선
y=mx+2m+1 HjK mx-y+2m+1=0
¤까지의 거리가 1이므로
=1, |2m+1|="√m¤ +1 (2m+1)¤ =m¤ +1, 3m¤ +4m=0 m(3m+4)=0
∴ m=0 또는
m=-그런데 위의 그림에서 m<0이므로
m=-⁄, ¤에서 구하는 m의 값의 범위는
- <m…-1 -4<m…-1