1. 이차함수의 식 구하기

우공비 B0X 기본서

137~140

Step Up

1. 이차함수의 식 구하기

-2. 이차함수의 활용

Ⅳ

3

33 3 이차함수의 식 구하기 ⑴

익히기

1

3=a(1-2)¤ +1 ∴ a=2 따라서 구하는 이차함수의 식은

y=2(x-2)¤ +1

⑵ 이차함수의 식을 y=a(x-1)¤ +q로 놓고 x=0, y=5를 대입하면 5=a(0-1)¤ +q

∴ a+q=5 yy㉠

x=3, y=11을 대입하면 11=a(3-1)¤ +q

∴ 4a+q=11 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=3 따라서 구하는 이차함수의 식은

y=2(x-1)¤ +3

⑴y=2(x-2)¤ +1 ⑵y=2(x-1)¤ +3

유제❶-1 꼭짓점의 좌표가{-;2!;, -;2#;}이므로 이차함 수의 식을 y=a{x+;2!;}¤ -;2#;으로 놓을 수 있다.

그래프가 점 (-1, -1)을 지나므로 x=-1, y=-1을 대입하면

-1=a {-1+;2!;}¤ -;2#;

-1=;4!;a-;2#;, ;4!;a=;2!;

∴ a=2

따라서 구하는 이차함수의 식은

y=2 {x+;2!;}¤ -;2#;, 즉 y=2x¤ +2x-1

y=2x¤ +2x-1

유제❶-2꼭짓점의 좌표가 (2, -3)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ -3으로 놓을 수 있다.

그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 x=0, y=4를 대입하 면

4=4a-3 ∴ a=;4&;

따라서 이차함수의 식은

y=;4&;(x-2)¤ -3, 즉 y=;4&;x¤ -7x+4 이므로 a=;4&;, b=-7, c=4

∴ abc=;4&;_(-7)_4=-49 ^-49

유제❷-1 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식 을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.

그래프가 두 점 (-1, 1), (0, -5)를 지나므로 x=-1, y=1을 대입하면

1=a+q yy㉠

x=0, y=-5를 대입하면

-5=4a+q yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, q=3 따라서 구하는 이차함수의 식은

y=-2(x+2)¤ +3, 즉 y=-2x¤ -8x-5 y=-2x¤ -8x-5

유제❷-2축의 방정식이 x=;2!;이므로 이차함수의 식을 y=a {x-;2!;}¤ +q로 놓을 수 있다.

그래프가 두 점 (1, -2), (-1, 4)를 지나므로 x=1, y=-2를 대입하면

-2=;4!;a+q yy㉠

x=-1, y=4를 대입하면

4=;4(;a+q yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, q=-;;¡4¡;;

이므로 이차함수의 식은

y=3 {x-;2!;}¤ -;;¡4¡;;, 즉 y=3x¤ -3x-2 따라서 a=3, b=-3, c=-2이므로

a+b-c=3+(-3)-(-2)=2

2 축의 방정식이 x=1

이므로 꼭짓점의 x좌 표가 1이다.

㉡-㉠을 하면 3a=6 ∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면

q=3

3

34 4 이차함수의 식 구하기 ⑵

익히기

2

-1=a+b+c yy㉡

x=-1, y=5를 대입하면

5=a-b+c yy㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=1, b=-3, c=1

따라서 이차함수의 식은 y=x¤ -3x+1

⑵ 이차함수의 식을 y=a(x-1)(x-2)로 놓고 x=-1, y=6을 대입하면

6=a(-1-1)(-1-2) 6a=6 ∴ a=1 c=1을 ㉡, ㉢에 대입

하면 a+b=-2, a-b=4

두 식을 연립하여 풀 면

a=1, b=-3

㉡-㉠을 하면 3a=-6

∴ a=-2 a=-2를 ㉠에 대입 하면 q=3

㉡-㉠을 하면 2a=6 ∴ a=3 a=3을 ㉠에 대입하면

q=-:¡4¡:

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우공비 B0X 따라서 이차함수의 식은

y=(x-1)(x-2), 즉 y=x¤ -3x+2

⑴ y=x¤ -3x+1 ⑵ y=x¤ -3x+2

유제❸-1 그래프가 세 점 (-1, -6), (0, -5), (1, 0)을 지나므로 x=-1, y=-6을 대입하면

-6=a-b+c yy㉠

x=0, y=-5를 대입하면

-5=c yy㉡

x=1, y=0을 대입하면

0=a+b+c yy㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=3, c=-5 따라서 구하는 이차함수의 식은

y=2x¤ +3x-5 y=2x¤ +3x-5

유제❸-2주어진 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 그래프가 세 점 (0, -2), (1, -4), (3, 4)를 지나므로

x=0, y=-2를 대입하면

-2=c yy㉠

x=1, y=-4를 대입하면

-4=a+b+c yy㉡

x=3, y=4를 대입하면

4=9a+3b+c yy㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=-4, c=-2 따라서 이차함수의 식은

y=2x¤ -4x-2=2(x¤ -2x+1)-4=2(x-1)¤ -4 이므로 구하는 꼭짓점의 좌표는 (1, -4)이다.

(1, -4)

유제❹-1 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (-2, 0), (3, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)(x-3)으로 놓을 수 있다.

그래프가 점 (2, -2)를 지나므로 x=2, y=-2를 대 입하면

-2=a_4_(-1), -4a=-2

∴ a=;2!;

따라서 이차함수의 식은

y=;2!;(x+2)(x-3), 즉 y=;2!;x¤ -;2!;x-3 이므로 b=-;2!;, c=-3

∴ a+b+c=;2!;+{-;2!;}+(-3)=-3

-3

유제❹-2주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (-4, 0), (0, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을 y=ax(x+4)로 놓을 수 있다.

그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로 x=-1, y=3을 대입 하면

3=a_(-1)_3, -3a=3

∴ a=-1

따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-x(x+4),즉 y=-x¤ -4x

y=-x¤ -4x 주어진 이차함수의 그래프가 원점을 지나므로 이차 함수의 식을 y=ax¤ +bx로 놓을 수 있다.

그래프가 두 점 (-4, 0), (-1, 3)을 지나므로 0=16a-4b, 3=a-b

두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=-4

∴ y=-x¤ -4x

01 y=2(x+1)¤ -2 02³ 03 ^③ 04^② 05 ^③ 06^-2 07^⑤ 08 ^-8 09^x=3 10^④ 11⁴ 12;;™™4¶;; 13³ 14^② 15a=-2, b=-15

기본서 142~143쪽

소단원성취도진단

01

주어진 그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (-1, -2) 이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)¤ -2로 놓 을 수 있다.

그래프가 원점을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면 0=a(0+1)¤ -2

a-2=0 ∴ a=2 따라서 구하는 이차함수의 식은

y=2(x+1)¤ -2

y=2(x+1)¤ -2

02

그래프가 점 (1, -5)를 지나므로 x=1, y=-5를 대 입하면

-5=a(1+2)¤ +4, 9a+4=-5

∴ a=-1 c=-5를 ㉠, ㉢에

대입하면 a-b=-1, a+b=5

두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=3

c=-2를 ㉡, ㉢에 대입하면

a+b=-2, 9a+3b=6 두 식을 연립하여 풀면

a=2, b=-4 y=ax¤ +bx에 두 점 의 좌표를 각각 대입 한다.

x축과의 교점 (a, 0), (b, 0)과 다른 한 점을 알 때

y=a(x-a)(x-b)로 놓고 다른 한 점의 좌 표를 대입한다.

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우공비 B0X 기본서

140~143

Step Up

03

p=3

이차함수 y=a(x-3)¤ +q의 그래프가 두 점 (-1, 12), (1, 0)을 지나므로

12=16a+q, 0=4a+q

∴ a=1, q=-4 따라서 구하는 값은

a+p+q=1+3+(-4)=0

③

04

이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 세 점 (-1, -3), (0, -2), (1, 1)을 지나므로

-3=a-b+c, -2=c, 1=a+b+c 에서 a=1, b=2, c=-2

∴ abc=1_2_(-2)=-4

②

이차함수의 식에 두 점의 좌표를 각각 대

입한다.

0 7

이차함수의 그래프가 직선 x=-1에 대칭이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)¤ +q로 놓을 수 있 다.

그래프가 두 점 (1, -1), (0, 5)를 지나므로 -1=4a+q, 5=a+q

∴ a=-2, q=7

따라서 구하는 이차함수의 식은

y=-2(x+1)¤ +7, 즉 y=-2x¤ -4x+5

⑤ 그래프가 두 점 (-1, 0), (0, 5)를 지나므로

0=9a+q, 5=4a+q

∴ a=-1, q=9 따라서 이차함수의 식은

y=-(x-2)¤ +9, 즉 y=-x¤ +4x+5 ▶40%

이므로 a=-1, b=4, c=5

∴ a+b-c=-1+4-5=-2 ▶30%

-2

축의 방정식이 x=-1 꼭짓점의 x좌표가 -1

y축과 만나는 점의 y 좌표가 5

06

축의 방정식이 x=2이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +q로 놓을 수 있다. ▶30%

이차함수의 식 세우기 이차함수의 식 구하기 a+b-c의 값 구하기

30%

40%

30%

채점 기준 배점

05

x축과 만나는 한 점의 좌표가 (4, 0), 즉 꼭짓점의 좌표가 (4, 0)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-4)¤ 으 로 놓을 수 있다.

y절편이 32이므로 x=0, y=32를 대입하면 32=a(0-4)¤ , 16a=32

∴ a=2

따라서 이차함수의 식은

y=2(x-4)¤ ,즉 y=2x¤ -16x+32 이므로 a=2, b=-16, c=32

∴ a+b+c=2+(-16)+32=18

③ 따라서 이차함수의 식은

y=-(x+2)¤ +4 이므로 x=-3을 대입하면

y=-(-3+2)¤ +4=3 3

0 8

축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다. ▶30%

이때 주어진 이차함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이 동하면 y=2x¤ +mx+n의 그래프와 완전히 포개어지 므로 a=2

또 주어진 이차함수의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1=2(0+2)¤ +q ∴ q=-7

따라서 y=2(x+2)¤ -7이므로 y축에 대하여 대칭이동 하면

y=2(-x+2)¤ -7=2(x-2)¤ -7

=2x¤ -8x+1 ▶40%

따라서 m=-8, n=1이므로

mn=-8_1=-8 ▶30%

-8 함수 y=2x¤ +mx+n의 그래프는 직선 x=2를 축 으로 하므로

y=2(x-2)¤ +q

로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1=8+q ∴ q=-7

∴ y=2(x-2)¤ -7=2x¤ -8x+1 따라서 m=-8, n=1이므로

mn=-8

이차함수의 식 세우기 대칭이동한 그래프의 식 구하기 mn의 값 구하기

30%

40%

30%

채점 기준 배점

이차함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이 동하여도 그래프의 모 양은 변하지 않는다.

이차함수의 그래프가 x 축과 한 점에서 만나면 이 점이 꼭짓점이다.

x=-2를 축으로 하 는 이차함수의 그래프 를 y축에 대하여 대칭 이동하면 그 그래프의 축의 방정식은 x=2가 된다.

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우공비 B0X

09

이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이차함 수의 그래프가 세 점 (-1, 15), (0, 1), (1, -9)를 지나므로

15=a-b+c, 1=c, -9=a+b+c

∴ a=2, b=-12, c=1 따라서 이차함수의 식은

y=2x¤ -12x+1=2(x-3)¤ -17 이므로 그래프의 축의 방정식은 x=3

x=3

10

이차함수의 그래프가 두 점 (-4, 0), (5, 0)을 지나므로 이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-5)로 놓을 수 있다.

그래프가 점 (0, 20)을 지나므로 20=a_4_(-5), -20a=20

∴ a=-1 따라서 이차함수의 식은

y=-(x+4)(x-5)

=-x¤ +x+20 y=-{x-;2!;}¤ +;;•4¡;;

이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {;2!;, ;;•4¡;;}

따라서 p=;2!;, q=;;•4¡;;이므로 p+q=;2!;+;;•4¡;;=;;•4£;;

④

y=-x¤ +x+20

=-{x¤ -x+;4!;}

+;4!;+20

=-{x-;2!;}¤ +;;•4¡;;

y=2x¤ -12x+1

=2(x¤ -6x+9) -18+1

=2(x-3)¤ -17

12

그래프가 두 점 (0, 2), (2, 0)을 지나므로 2=a+q, 0=9a+q

∴ a=-;4!;, q=;4(;

따라서 이차함수의 식은

y=-;4!;(x+1)¤ +;4(;, 즉 y=-;4!;x¤ -;2!;x+2 이때 y=0을 대입하면

-;4!;x¤ -;2!;x+2=0, x¤ +2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 ∴ x=-4 또는 x=2

∴ A{-1, ;4(;}, B(-4, 0), C(2, 0) 따라서 삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_fl_;4(;=:™4¶:

:™4¶: _x

y

O B

A

C 2 2

-1 -4

9 4 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로

1=a_3_1 ∴ a=;3!;

따라서 이차함수의 식은

y=;3!;(x+3)(x+1) ^▶60%

이므로 y=;3!;x¤ +;3$;x+1에서

a=;3!;, b=;3$;, c=1 ^▶30%

∴ 9abc=9_;3!;_;3$;_1=4 ^▶10%

4 서술형 답안 작성Tip

그래프가 세 점 (-3, 0), (0, 1), (-1, 0)을 지나므로 y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 대입해도 되지만 x축과 만나는 두 점의 좌표를 알 때에는 위와 같은 풀이 과정이 더 편리하다.

13

이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 주어진 그래프가 세 점 (-1, 3), (0, -4), (2, -6)을 지나 므로

3=a-b+c, -4=c, -6=4a+2b+c

∴ a=2, b=-5, c=-4

∴ y=2x¤ -5x-4 ▶50%

이차함수의 식 구하기 k의 값 구하기

50%

50%

채점 기준 배점

11

주어진 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표가 -3, -1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x+1) 로 놓을 수 있다.

이차함수의 식 구하기 a, b, c의 값 구하기 9abc의 값 구하기

60%

30%

10%

채점 기준 배점

보충학습

이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를

① x축에 대하여 대칭이동 y대신 -y를 대입한다.

-y=a(x-p)¤ +q

② y축에 대하여 대칭이동 x대신 -x를 대입한다.

y=a(-x-p)¤ +q

y축과 만나는 점의 y 좌표가 1

y=;3!;(x+3)(x+1)

=;3!;(x¤ +4x+3)

=;3!;x¤ +;3$;x+1

x축과의 교점의 y좌 표는 0이다.

또는 B(2, 0), C(-4, 0)

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우공비 B0X 기본서

143~145

Step Up

14

이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이차함 수의 그래프가 세 점 (-1, -7), (0, 2), (1, 5)를 지 나므로

-7=a-b+c, 2=c, 5=a+b+c

∴ a=-3, b=6, c=2 따라서 이차함수의 식은

y=-3x¤ +6x+2 y=-3(x-1)¤ +5

이므로 이 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방 향으로 5만큼 평행이동하면

y=-3(x+1-1)¤ +5+5 y=-3x¤ +10

따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, 10)이므로 p=0, q=10

∴ p-q=0-10=-10

②

15

(x축과 만나는 두 점 사이의 거리)_;2!;

축의 방정식이 x=1이고 그래프의 축과 x축과의 교점 사이의 거리가 4이므로 두 교점의 x좌표는

1-4=-3, 1+4=5

즉 x축과의 교점의 좌표는 (-3, 0), (5, 0)이다.

따라서 y=x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (-3, 0), (5, 0)을 지나므로

y=(x+3)(x-5)=x¤ -2x-15

∴ a=-2, b=-15

a=-2, b=-15 보충학습

이차함수의 그래프의 축의 방정 식이 x=p이고 x축과 만나는 두 점의 x좌표가 a, b일 때,

` |p-a|=|p-b| x

p

x=p

å ∫

따라서 y=2x¤ -5x-4의 그래프가 점 (k, -1)을 지나 므로

-1=2k¤ -5k-4, 2k¤ -5k-3=0 (2k+1)(k-3)=0

∴ k=3 (∵ k>0) ▶50%

3

x대신 x+1, y 대신 y-5를 대입한다.

8_;2!;=4

2. 이차함수의 최댓값과 최솟값

3

35 5 이차함수의 최댓값과 최솟값

익히기

1

=-(x¤ +4x+4)+4+5

=-(x+ )¤ +

이므로 이차함수 y=-x¤ -4x+5의 그래프는 꼭짓점 의 좌표가 ( , )이고, 로 볼록한 포물선이다.

따라서 x= 에서 최댓값 를 갖고, 최솟값은

. 풀이 참조

없다

9 -2

9 위 -2

9 2

유제❶-1 ⑴ y=3x¤ -6x+5

=3(x¤ -2x+1)-3+5

=3(x-1)¤ +2

이므로 x=1에서 최솟값 2를 갖고 최댓값은 없다.

⑵ y=-4x¤ -16x

=-4(x¤ +4x+4)+16

=-4(x+2)¤ +16

이므로 x=-2에서 최댓값 16을 갖고 최솟값은 없다.

⑶ y=;6!;x¤ +2x-3

y=;6!;(x¤ +12x+36)-6-3 y=;6!;(x+6)¤ -9

이므로 x=-6에서 최솟값 -9를 갖고 최댓값은 없다.

⑷ y=-;2!;x¤ +3x+2

⑵ y=-;2!;(x¤ -6x+9)+;2(;+2

⑵ y=-;2!;(x-3)¤ +;;¡2£;;

이므로 x=3에서 최댓값;;¡2£;; 을 갖고 최솟값은 없다.

풀이 참조 y=ax¤ +bx+c의 최댓값

과 최솟값

y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하여 구한다.

유제❶-2y=-2x¤ +7x

유제❶-2y=-2 {x¤ -;2&;x+;1$6(;}+;;¢8ª;;

유제❶-2y=-2 {x-;4&;}¤ +;;¢8ª;;

이므로 M=;;¢8ª;;

y=x¤ +6x+5

=(x¤ +6x+9)-9+5

=(x+3)¤ -4 이므로 m=-4

∴ Mm=;;¢8ª;;_(-4)=-;;¢2ª;; -;;¢2ª;;

먼저 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.

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우공비 B0X

유제❷-2 y=-x¤ +x+a

y=-{x¤ -x+;4!;}+;4!;+a y=-{x-;2!;}¤ +;4!;+a 이므로 x=;2!;에서 최댓값 ;4!;+a를 갖는다.

따라서;4!;+a=;2!;-a이므로

2a=;4!; ∴ a=;8!; _;8!;

유제❸-1 이차함수 y=-x¤ +ax+b가 x=-1에서 최댓값 5를 가지므로 주어진 이차함수의 식은

y=-(x+1)¤ +5=-x¤ -2x+4

∴ a=-2, b=4

a=-2, b=4

최댓값, 최솟값이 주어진 경우는 꼭짓점의 y좌표가 주어진 경우와 같다.

보충학습

x=p일 때, 최댓값(최솟값)이 q인 이차함수 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, q)

유제❸-2y=-x¤ +8x+2a-1

=-(x¤ -8x+16)+2a+15

=-(x-4)¤ +2a+15

따라서 x=4에서 최댓값 2a+15를 가지므로 m=4, 2a+15=5

즉 a=-5, m=4이므로

a+m=-1 -1

이차함수 y=-x¤ +8x+2a-1이 x=m에서 최댓 값 5를 가지므로

y=-(x-m)¤ +5=-x¤ +2mx-m¤ +5

∴ 8=2m, 2a-1=-m¤ +5 따라서 m=4, a=-5이므로

a+m=-1

유제❹-2조건 ㈎, ㈏에서 이차함수의 그래프의 꼭짓점 의 좌표가 (-9, -25)이므로 이차함수의 식을

y=a(x+9)¤ -25 (a>0) 로 놓을 수 있다.

이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로 2=a(0+9)¤ -25 ∴ a=;3!;

따라서 y=;3!;(x+9)¤ -25이므로

y=;3!;x¤ +6x+2 y=;3!;x¤ +6x+2

유제❹-1 이차함수가 x=1에서 최댓값 3을 가지므로 이차함수의 식을

y=a(x-1)¤ +3 (a<0) 으로 놓을 수 있다.

이 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로 1=a(2-1)¤ +3

∴ a=-2

x=-9에서 최솟값을 갖는다.

꼭짓점의 x좌표는 -9이다.

3

36 6 ^{이차함수의 활용}

익히기

2

∴ y=x(8-x)=-x¤ +8x

⑵ y=-x¤ +8x

=-(x¤ -8x+16)+16

=-(x-4)¤ +16

이므로 y는 x=4에서 최댓값 16을 갖는다.

따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 16 cm¤ 이고, 그 때의 가로의 길이는 4 cm이다.

⑴ y=-x¤ +8x

⑵ 최댓값: 16 cm¤ , 가로의 길이: 4 cm

유제❺-1 한 수를 x로 놓으면 다른 한 수는 26-x이므 로 두 수의 곱을 y라 하면

y=x(26-x)

=-x¤ +26x

=-(x¤ -26x+169)+169

=-(x-13)¤ +169

따라서 두 수의 곱의 최댓값은 169이다. ④

유제❺-2⑴ 차가 8인 두 수를 x, x-8로 놓고, 두 수 의 곱을 y라 하면

y=x(x-8)

=x¤ -8x

=(x¤ -8x+16)-16

=(x-4)¤ -16

따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -16이다.

합이 일정할 때 두 수의 곱은 최댓값을 갖는다.

최댓값: 두 수가 같을 때

차가 일정할 때 두 수의 곱은 최솟값을 갖는다.

최솟값: 두 수의 절댓값 이 같고 부호가 다를 때

두 수는 13, 13

x, x+8로 놓으면 y=x(x+8)

=(x+4)¤ -16 (직사각형의 둘레의 길이)

=2_{(가로의 길이) +(세로의 길이)}

유제❷-1 y=2x¤ +4x+k-1

=2(x¤ +2x+1)-2+k-1

=2(x+1)¤ +k-3

이므로 x=-1에서 최솟값 k-3을 갖는다.

따라서 k-3=4이므로 k=7 7

따라서 y=-2(x-1)¤ +3이므로 a=-2, p=-1, q=3

∴ apq=-2_(-1)_3=6

6

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145~150

Step Up

⑵ y는 x=4에서 최솟값을 가지므로 구하는 두 수는 4, -4이다.

⑴ -16 ⑵ 4, -4

유제❻-1 닭장의 가로의 길이를 x m로 놓으면 세로의 길이는 (10-x)m이므로 닭장의 넓이를 y m¤ 라 하면

y=x(10-x)

=-x¤ +10x

=-(x¤ -10x+25)+25

=-(x-5)¤ +25

즉 y는 x=5에서 최댓값 25를 갖는다.

따라서 닭장의 최대 넓이는 25 m¤ 이다. 25 m¤

유제❻-2부채꼴의 반지름의 길이를 xcm로 놓으면 둘 레의 길이가 32 cm이므로 호의 길이는 (32-2x)cm이다.

부채꼴의 넓이를 y cm¤ 라 하면 y=;2!;x(32-2x) y=-x¤ +16x

y=-(x¤ -16x+64)+64 y=-(x-8)¤ +64

즉 y는 x=8에서 최댓값 64를 갖는다.

따라서 반지름의 길이가 8 cm일 때 부채꼴의 넓이의 최 댓값은 64 cm¤ 이다.

부채꼴의 넓이의 최댓값: 64 cm¤ , 반지름의 길이: 8cm

반지름의 길이가 r, 호의 길이가 l인 부채꼴의 넓이 S는

S=;2!;rl

유제❼-1 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (6+x)cm, 세로의 길이는 (12-x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면

y=(6+x)(12-x)

=-x¤ +6x+72

=-(x¤ -6x+9)+9+72

=-(x-3)¤ +81

즉 y는 x=3에서 최댓값 81을 갖는다.

따라서 새로운 직사각형의 넓이의 최댓값은 81 cm¤ 이

다. 81 cm¤

유제❼-2새로운 삼각형의 밑변의 길이는 10-x, 높이 는 2+x이므로 넓이를 y라 하면

y=;2!;(10-x)(2+x) y=;2!;(-x¤ +8x+20) y=-;2!;(x¤ -8x+16)+8+10 y=-;2!;(x-4)¤ +18

즉 y는 x=4에서 최댓값 18을 갖는다.

(삼각형의 넓이)

=;2!;_(밑변의 길이) _(높이)

따라서 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 x의 값은 4

이다. 4

유제❽ y=-5x¤ +30x

=-5(x¤ -6x+9)+45

=-5(x-3)¤ +45 즉 y는 x=3에서 최댓값 45를 갖는다.

따라서 물이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 45 m이다.

②

01^{①, ④} 02 ^④ 03 ^-6 04^-5 05^② 06^-2 07 a…-;4%; 08^② 09^{5 cm} 10^1750원 11^② 12^-6 13^⑤ 14^④ 15;;™4∞;;

기본서 150~151쪽

소단원성취도진단

0 1

이차함수 y=ax¤ +bx+c는 a>0일 때 최솟값을 갖는다. 따라서 보기의 이차함수 중 최솟값을 갖는 것은

①, ④이다. ①, ④

0 2

y=-;5@;x¤ +4x-1 y=-;5@;(x¤ -10x)-1

y=-;5@;(x¤ -10x+25)+10-1 y=-;5@;(x-5)¤ +9

이므로 x=5에서 최댓값 9를 갖는다. ④

0 3

따라서 a=-1, b=-5이므로

a+b=-1+(-5)=-6 -6

0 4

y=3(x+2)¤ +5=3x¤ +12x+17 위의 식이 y=3x¤ +ax+b와 같으므로

a=12, b=17

∴ a-b=12-17=-5 -5

이차함수

y=ax¤ +bx+c의 그 래프는 a>0일 때 아 래로 볼록하고, a<0 일 때 위로 볼록하다.

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우공비 B0X

05

① y=(x¤ -2x+1)-1+;;¡2¡;;=(x-1)¤ +;2(;

② y=3(x¤ -2x+1)-3+8=3(x-1)¤ +5

③ y=;2!;(x¤ -6x+9)-;2(;+8=;2!;(x-3)¤ +;2&;

④ y=2{x¤ -x+;4!;}-;2!;+4=2 {x-;2!;}¤ +;2&;

⑤ y=3{x¤ -3x+;4(;}-;;™4¶;;+4=3 {x-;2#;}¤ -;;¡4¡;;

따라서 최솟값이 가장 큰 것은②`이다.

②

① x=1에서 최솟값;2(;

② x=1에서 최솟값 5

③ x=3에서 최솟값;2&;

④ x=;2!;에서 최솟값;2&;

⑤ x=;2#;에서 최솟값 -;;¡4¡;;

07

x=-2에서 최댓값 5를 가지므로 주어진 이차함수 의 식을

y=a(x+2)¤ +5 (a<0)

로 놓을 수 있다. ▶30%

이 함수의 그래프가 제`1`사분면을 지 나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이 y 축과의 교점의 y좌표가 0 이하이어 야 한다. `▶40%

즉 x=0일 때 y의 값이 0 이하이어 야 하므로

a(0+2)¤ +5…0, 4a+5…0

∴ a…-;4%; ^▶30%

a…-;4%;

x y

O 5

-2 y=a(x-p)¤ +q꼴로 나타내기

제 1 사분면을 지나지 않을 조건 알기 a의 값의 범위 구하기

30%

40%

30%

채점 기준 배점

08

으로 나타낸다.

x+y=3에서 y=3-x y=3-x를 주어진 식에 대입하면

x¤ +y¤ -xy=x¤ +(3-x)¤ -x(3-x) x¤ +y¤ -xy=x¤ +9-6x+x¤ -3x+x¤

x¤ +y¤ -xy=3x¤ -9x+9

x¤ +y¤ -xy=3 {x¤ -3x+;4(;}-:™4¶:+9 x¤ +y¤ -xy=3 {x-;2#;}2 +;4(;

따라서 주어진 식의 최솟값은;4(;이다.

②

09

잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 상자의 옆면은 가로의 길이가 (20-2x)cm, 세로의 길 이가 x cm인 직사각형이 된다.

상자의 옆넓이를 y cm¤ 라 하면 y=(20-2x)x_4

=-8x¤ +80x

=-8(x¤ -10x+25)+200

=-8(x-5)¤ +200

이므로 y는 x=5에서 최댓값 200을 갖는다.

따라서 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다.

5 cm

10

총 판매 금액을 y원이라 하면 ▶10%

y=(1000+100x)(500-20x) ▶20%

y=-2000x¤ +30000x+500000 y=-2000 {x¤ -15x+;:@4@:%;}+612500

y=-2000 {x-:¡2∞:}2 +612500 ^▶40%

이므로 y는 x=:¡2∞:에서 최댓값 612500을 갖는다.

따라서 구하는 빵 한 개의 가격은

1000+100_:¡2∞:=1750(원) ^▶30%

1750원 미지수 정하기

이차함수의 식 세우기 y=a(x-p)¤ +q꼴로 변형하기 빵 한 개의 가격 구하기

10%

20%

40%

30%

채점 기준 배점

06

y=mx¤ -4mx-5

=m(x¤ -4x)-5

=m(x¤ -4x+4)-4m-5

=m(x-2)¤ -4m-5 ▶60%

이 이차함수의 최댓값이 3이므로

-4m-5=3 ∴ m=-2 ▶40%

-2 m=-2<0이므로 주어진 이차함수는 최댓값을 갖고 최솟값은 없다.

y=a(x-p)¤ +q꼴로 변형하기 m의 값 구하기

60%

40%

채점 기준 배점

x=;2#;을 y=3-x에 대입하면

y=3-;2#;=;2#;

(총 판매 금액)

=(한 개당 가격) _(판매 개수) 옆면 4개가 모두 합동 이다.

(1000+100x)원

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우공비 B0X 기본서

150~152

Step Up

12

이차방정식 ax¤ +bx+c=0`(a>0)의 두 근이 -6, 2이므로 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 x축의 두 교점의 x 좌표는 -6, 2이다.

∴ y=a(x+6)(x-2)

=a(x¤ +4x-12)

=a(x¤ +4x+4)-4a-12a

=a(x+2)¤ -16a 이 함수의 최솟값이 -8이므로

-16a=-8 ∴ a=;2!;

따라서 이차함수의 식은

y=;2!;(x¤ +4x-12), 즉 y=;2!;x¤ +2x-6 이므로

b=2, c=-6

∴ abc=;2!;_2_(-6)=-6

-6

이차방정식

ax¤ +bx+c=0의 두 근 이 a, b일 때

이차함수

y=ax¤ +bx+c의 그래 프가 x축과 만나는 두 점의 좌표는

(a, 0), (b, 0)

13

오른쪽 그림과 같이 직사 사각형의 세로의 길이를 x cm 라 하면 가로의 길이는 (24-2x)cm이다.

직사각형의 넓이를 y cm¤ 라 하면

y=x(24-2x)

=-2x¤ +24x

=-2(x¤ -12x+36)+72

=-2(x-6)¤ +72

이므로 y는 x=6에서 최댓값 72를 갖는다.

따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 72 cm¤ 이다.

⑤ {24-2x}`cm 45æ x`cm x`cm45æ

x`cm x`cm

14

AP”=x cm로 놓으면 BP”=(12-x)cm이므로 넓 이의 합을 y cm¤ 라 하면

y=x¤ +;2!;(12-x)¤

y=;2#;x¤ -12x+72

y=;2#;(x¤ -8x+16)-24+72 y=;2#;(x-4)¤ +48

즉 y는 x=4에서 최솟값 48을 갖는다.

따라서 넓이의 합이 최소가 되도록 하는 선분 AP의 길

이는 4 cm이다. ④

11

=-5(x¤ -2x)+2

=-5(x¤ -2x+1)+5+2

=-5(x-1)¤ +7

이므로 y는 x=1에서 최댓값 7을 갖는다.

따라서 던진 지 1초 후에 최고 높이 7 m에 도달하므로 ab=1_7=7

②

15

점 P의 좌표를 (x, -x+5)로 놓고, 사각형

OQPR의 넓이를 y라 하면 ▶10%

y=x(-x+5) ▶20%

y=-x¤ +5x

y=-{x¤ -5x+:™4∞:}+:™4∞:

y=-{x-;2%;}¤ +:™4∞: ^▶40%

이므로 y는 x=;2%;에서 최댓값 :™4∞:를 갖는다.

따라서 구하는 사각형 OQPR의 넓이의 최댓값은 :™4∞:

이다. ▶30%

:™4∞:

미지수 정하기 이차함수의 식 세우기 y=a(x-p)¤ +q꼴로 변형하기 사각형 OQPR의 넓이의 최댓값 구하기

10%

20%

40%

30%

채점 기준 배점

서술형 답안 작성Tip

이차함수의 활용 문제에서 미지수는 x, y의 2개이다. 따라서 점 P 의 x좌표를 x로 놓고, 점 P가 직선 y=-x+5 위에 있음을 이용 하여 y좌표를 x에 대한 식으로 나타낸다.

y를 x에 대한 식으로 나타낸 다음

y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고쳐야 최솟값 또는 최댓값을 구할 수 있다.

01^① 02 ^③ 03 ^④ 04^④ 05^⑤ 06^⑤ 07 ^② 08 ^⑤ 09^① 10^② 11^② 12^③ 13^⑤ 14^④ 15^② 16^③ 17^③ 18^④ 19²⁸ 20^-8 21¹⁰ 22^300원 23-;5*; 24¹ 25²²⁹ 26^⑴;2#; ⑵ (1, 3) 27⑴ 6초 ⑵ 2초, 80 m

기본서 152~155쪽

중단원마무리평가

이차함수

y=ax¤ +bx+c가 최 솟값을 가지므로

a>0

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우공비 B0X

01

그래프가 점 (1, -1)을 지나므로

-1=a(1-3)¤ -5, 4a=4 ∴ a=1 따라서 y=(x-3)¤ -5=x¤ -6x+4이므로

b=-6, c=4

∴ abc=1_(-6)_4=-24 ①

02

이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 놓는다.

조건 ㈎에서 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함 수의 식을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.

이때 조건 ㈏에서 꼭짓점이 x축 위에 있으므로 q=0

∴ y=a(x+2)¤

조건 ㈐에서 그래프가 점 (1, -18)을 지나므로 -18=a(1+2)¤` ∴ a=-2

따라서 이차함수의 식은 y=-2(x+2)¤ 이므로 이 그래 프 위의 점이 아닌 것은 ③이다.

③

03

y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다.

이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이 그 래프가 세 점 (0, -4), (1, 0), (3, -4)를 지나므로

-4=c, 0=a+b+c, -4=9a+3b+c 세 식을 연립하여 풀면

a=-2, b=6, c=-4

∴ y=-2x¤ +6x-4

④ 축의 방정식이 x=;2#;이므로 이차함수의 식을 y=a {x-;2#;}¤ +q로 놓으면 그래프가 두 점 (0, -4), (1, 0)을 지나므로

;4(;a+q=-4, ;4!;a+q=0 두 식을 연립하여 풀면

a=-2, q=;2!;

∴ y=-2{x-;2#;}¤ +;2!;=-2x¤ +6x-4

04

축의 방정식이 x=-1이고, AB”=6이므로 두 점 A, B의 좌표는 (-4, 0), (2, 0)이다.

이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-2)로 놓고 x=-1, y=-18을 대입하면

-18=a(-1+4)(-1-2), -18=-9a

∴ a=2

따라서 y=2(x+4)(x-2)=2x¤ +4x-16이므로 a=2, b=4, c=-16

∴ a+b+c=2+4+(-16)=-10 ④

05

① y=-x¤ +2는 x=0에서 최댓값 2를 갖는다.

② y=-4(x+2)¤ 은 x=-2에서 최댓값 0을 갖는다.

③ y=-3x¤ +6x=-3(x-1)¤ +3

③이므로 x=1에서 최댓값 3을 갖는다.

④ y=-2(x+1)¤ +2는 x=-1에서 최댓값 2를 갖는다.

⑤ y=-x¤ +4x+1

=-(x¤ -4x+4)+4+1

=-(x-2)¤ +5

③이므로 x=2에서 최댓값 5를 갖는다.

따라서 최댓값이 가장 큰 것은 ⑤이다. ⑤

06

y=;3@;x¤ +ax+1=;3@;{x¤ +;2#;ax}+1 y=;3@;{x+;4#;a}¤ -;3@;¥ a¤ +1 y=;3@;{x+;4#;a}¤ -;8#;a¤ +1 이므로

-;4#;a=3, -;8#;a¤ +1=b

∴ a=-4, b=-5 따라서 구하는 값은

ab=-4_(-5)=20

⑤ 이차함수 y=;3@;x¤ +ax+1이 x=3에서 최솟값 b를 가지므로

y=;3@;(x-3)¤ +b=;3@;(x¤ -6x+9)+b y=;3@;x¤ -4x+6+b

따라서 a=-4, 1=6+b이므로 a=-4, b=-5 ∴ ab=20

9 16

07

y=-x¤ +6x+k

=-(x¤ -6x+9)+k+9

=-(x-3)¤ +k+9

이므로 x=3에서 최댓값 k+9를 갖는다.

x=1, y=-1을 대입

{-1-;2^;, 0}, {-1+;2^;, 0}

꼭짓점의 y좌표가 0이 므로 q=0이다.

c=-4를 대입하면 a+b=4, 9a+3b=0 두 식을 연립하여 풀면

a=-2, b=6

이차함수의 그래프는 축에 대칭이고, 두 점 (0, -4), (3, -4)를 지나므로 축의 방정식 은

x=0+3=;2#;

2 y=-2(x+2)¤에 x=-;2!;을 대입하면

y=-2{-;2!;+2}¤

=-;2(;`

이차함수의 그래프의 꼭짓점의 y좌표와 같 다.

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우공비 B0X 기본서

152~153

Step Up

10

y=-;2!;x¤ +2x+k-4 y=-;2!;(x¤ -4x)+k-4 y=-;2!;(x¤ -4x+4)+2+k-4 y=-;2!;(x-2)¤ +k-2

이므로 x=2에서 최댓값 k-2를 갖는다.

즉 M=k-2이므로 k-2…0 ∴ k…2

따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 2이다. ②

11

지므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)¤ +4로 놓을 수 있 다. 이 함수의 그래프가 제1 사 분면을 지나지 않으려면 오른쪽 그림과 같아야 한다.

즉 y축과의 교점의 y좌표가 0 이하이어야 하므로

9a+4…0 ∴ a…-;9$; ^②

x y

4

-3 O

08

y=-2 {x¤ -3x+;4(;}+;2(;-a y=-2 {x-;2#;}¤ +;2(;-a 최댓값이 0보다 작으므로

;2(;-a<0 ∴ a>;2(;

또 그래프가 점 (a, -20-a)를 지나므로 -20-a=-2a¤ +6a-a

2a¤ -6a-20=0, a¤ -3a-10=0 (a+2)(a-5)=0 ∴ a=-2 또는 a=5 그런데 a>;2(;이므로 a=5

⑤

09

x축과의 교점의 x좌표가 -4, 1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-1)로 놓을 수 있다.

그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 -2=a_4_(-1) ∴ a=;2!;

∴ y=;2!;(x+4)(x-1)

∴ y=;2!;(x¤ +3x-4)

∴ y=;2!;{x¤ +3x+;4(;}-;8(;-2

∴ y=;2!;{x+;2#;}¤ -;;™8∞;;

따라서 x=-;2#;에서 최솟값 -;;™8∞;;를 갖는다.

① 이때 함숫값 중에서 서로 다른 자연수가 5개이려면 5…k+9<6이어야 한다.

∴ -4…k<-3 ②

y=-2x¤ +6x-a에 x=a, y=-20-a를 대입한다.

13

3x+y=14에서 y=-3x+14이므로 xy=x(-3x+14)=-3x¤ +14x xy=-3 {x¤ -:¡3¢:x+:¢9ª:}+:¢3ª:

xy=-3 {x-;3&;}¤ +:¢3ª:

따라서 x=;3&;에서 최댓값 :¢3ª:를 갖는다. ⑤

14

삼각형의 밑변의 길이를 x cm라 하면 높이는 (20-x)cm이고, 넓이를 y cm¤ 라 하면

y=;2!;x(20-x)=-;2!;(x¤ -20x) y=-;2!;(x¤ -20x+100)+50 y=-;2!;(x-10)¤ +50

즉 y는 x=10에서 최댓값 50을 갖는다.

따라서 삼각형의 최대 넓이는 50 cm¤ 이다. ④

15

새로운 사다리꼴의 아랫변의 길이는 (8-x)cm, 높 이는 (6+x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면

y=-3x+14

=-3_;3&;+14

=7

그래프의 꼭짓점의 좌 표가 (-3, 4)이다.

그래프가 원점을 지날 때에도 제 1 사분면을 지나지 않는다.

최댓값의 최솟값 구하기

⁄일반형을 표준형으로 고친다.

¤최댓값을 구한다.

‹구한 최댓값은 이차식 으로 이 이차식을 한 번 더 표준형으로 고친다.

›다시 고친 표준형에서 최솟값을 구한다.

12

y=-x¤ -4ax-8a

=-(x¤ +4ax+4a¤ )+4a¤ -8a

=-(x+2a)¤ +4a¤ -8a

이므로 x=-2a에서 최댓값 4a¤ -8a를 갖는다.

∴ f(a)=4a¤ -8a

=4(a¤ -2a+1)-4

=4(a-1)¤ -4

따라서 f(a)는 a=1에서 최솟값 -4를 갖는다. ③ 5개의 자연수는 1, 2,

3, 4, 5이다.

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우공비 B0X

16

부채꼴의 반지름의 길이를 x cm라 하면 호의 길이 는 (40-2x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면

y=;2!;x(40-2x) y=-x¤ +20x

y=-(x¤ -20x+100)+100 y=-(x-10)¤ +100

즉 y는 x=10에서 최댓값 100을 갖는다.

따라서 부채꼴의 넓이가 최대일 때 반지름의 길이는

10 cm이다. ③

17

두 원의 반지름의 길이의 합은 8 cm이므로 두 원의 반지름의 길이를 각각 x cm, (8-x)cm로 놓고, 두 원 의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면

y=px¤ +p(8-x)¤

=p(2x¤ -16x+64)

=2p(x¤ -8x+16)-32p+64p

=2p(x-4)¤ +32p

즉 y는 x=4에서 최솟값 32p를 갖는다.

따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 32p cm¤ 이다.

③

18

y=;2!;_(10-x)_0.5x y=-;4!;(x¤ -10x)

y=-;4!;(x¤ -10x+25)+;;™4∞;;

y=-;4!;(x-5)¤ +;;™4∞;;

20

또 x=1에서 최댓값 4를 가지므로

y=-3(x-1)¤ +4, 즉 y=-3x¤ +6x+1 따라서 b=6, c=1이므로

a-b+c=-3-6+1=-8 -8

21

=3(x¤ +4x+4)+2k-12

=3(x+2)¤ +2k-12

에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 2k-12)이므로 4x+y=2에 x=-2, y=2k-12를 대입하면

-8+(2k-12)=2, 2k=22

∴ k=11

이때 주어진 이차함수의 최솟값이 2k-12이므로 구하는 값은

2_11-12=10 10

따라서 y는 x=5에서 최댓값 ;;™4∞;;를 가지므로 삼각형 PBQ의 넓이가 최대가 되는 것은 출발한 지 5초 후이다.

④

19

주어진 이차함수를 f(x)=ax¤ +bx+c라 하면 f(0)=10, f(1)=8, f(2)=22이므로

10=c, 8=a+b+c, 22=4a+2b+c 세 식을 연립하여 풀면

a=8, b=-10, c=10 따라서 f(x)=8x¤ -10x+10이므로

f(-1)=8+10+10=28

28

보충학습

① 두 이차함수의 그래프의 모양이 같다.

x¤의 계수의 부호가 같다.

② 두 이차함수의 그래프의 폭이 같다.

x¤의 계수의 절댓값이 같다.

PB”=(10-x)cm

;2!;_PB”_BQ”

이차함수의 그래프의 폭이 같으면 x¤ 의 계 수의 절댓값이 같다.

y=;2!;(4+8-x)(6+x) y=;2!;(-x¤ +6x+72) y=-;2!;(x¤ -6x+9)+;2(;+36 y=-;2!;(x-3)¤ +:•2¡:

즉 y는 x=3에서 최댓값 :•2¡:을 갖는다.

따라서 새로운 사다리꼴의 최대 넓이는 :•2¡: cm¤ 이다.

②

22

음료수의 가격을 x원 내리면 한 개당 가격은 (500-x)원이고, 이때 팔리는 개수는 (300+3x)이다.

이때 총 판매 금액을 y원이라 하면 (총 판매 금액)

=(한 개당 가격) _(판매 개수) (부채꼴의 넓이)

=;2!;_(반지름의 길이) _(호의 길이)

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우공비 B0X 기본서

153~155

Step Up

26

⑴ 직선 l의 방정식은 y=-3x+6 ▶1점 점 P의 좌표를 (x, -3x+6)으로 놓고 삼각형

POQ의 넓이를 y라 하면 y=;2!;_x_(-3x+6) y=-;2#;x¤ +3x

y=-;2#;(x¤ -2x+1)+;2#;

y=-;2#;(x-1)¤ +;2#;

따라서 y는 x=1에서 최댓값;2#;을 가지므로 삼각형 POQ의 넓이의 최댓값은 ;2#;이다. ^▶3점

⑵ x=1에서 삼각형 POQ의 넓이는 최대가 되므로 점 P

의 좌표는 (1, 3)이다. ▶1점

⑴_;2#; ⑵(1, 3) 직선 l의 방정식 구하기

삼각형 POQ의 넓이의 최댓값 구하기 점 P의 좌표 구하기

1점 3점 1점

채점 기준 배점

27

⑴ 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 h=0을 대입하면

0=60+20t-5t¤ , t¤ -4t-12=0 (t+2)(t-6)=0 ∴ t=6 (∵ t>0) 따라서 물체를 쏘아 올린 지 6초 후에 물체는 지면에

떨어진다. ▶2점

⑵ h=-5t¤ +20t+60=-5(t¤ -4t)+60

=-5(t¤ -4t+4)+20+60

=-5(t-2)¤ +80

즉 h는 t=2에서 최댓값 80을 갖는다.

따라서 최고 높이에 도달하는 데 2초가 걸리고 그때

의 높이는 80 m이다. ^▶2점

⑴ 6초 ⑵ 2초, 80 m 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간 구하기

최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간과 높이 구하기 2점 2점

채점 기준 배점

x절편이 m, y절편이 n인 직선의 방정식은

y=-nx+n m

최솟값 또는 최댓값에 대 한 문제는

y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친 후 a>0이면 최솟값을, a<0이면 최댓 값을 구한다.

y축 x=0 포물선과 축과의 교점

포물선의 꼭짓점

y=x(15-x)=-x¤ +15x

y=-{x-;;¡2∞;;}¤ + ▶2점

즉 y는 x=;;¡2∞;;에서 최댓값 를 갖는다.

따라서 a=4, b=225이므로 ▶1점

a+b=229 ▶1점

229 225

4 225

4 y=(500-x)(300+3x)

=-3x¤ +1200x+150000

=-3(x¤ -400x+40000)+270000

=-3(x-200)¤ +270000

이므로 y는 x=200에서 최댓값 270000을 갖는다.

따라서 총 판매 금액이 최대일 때의 한 개당 가격은

500-200=300(원) 300원

23

y축을 축으로 하고 y축과의 교점의 y좌표가 -4이 므로 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (0, -4)이다.

이차함수의 식을 y=ax¤ -4로 놓으면 ▶1점 그래프가 점 (-5, 11)을 지나므로

11=25a-4 ∴ a=;5#;로 ▶1점 따라서 y=;5#;x¤ -4이므로 x=2, y=k를 대입하면

k=;5#;_2¤ -4=-;5*; ^▶1점

-;5*;

꼭짓점의 좌표를 이용하여 이차함수의 식 세우기 a의 값 구하기

k의 값 구하기

1점 1점 1점

채점 기준 배점

24

y=x¤ -4x+k+5

=(x¤ -4x+4)+k+1

=(x-2)¤ +k+1

이므로 x=2에서 최솟값 k+1을 갖는다. ▶2점 y=-x¤ +4x-k-1

=-(x¤ -4x+4)-k+3

=-(x-2)¤ -k+3

이므로 x=2에서 최댓값 -k+3을 갖는다.로 ▶2점 따라서 k+1=-k+3이므로

2k=2 ∴ k=1로 ^▶1점

1 y=x¤ -4x+k+5의 최솟값 구하기

y=-x¤ +4x-k-1의 최댓값 구하기 k의 값 구하기

2점 2점 1점

채점 기준 배점

25

한 수를 x로 놓으면 다른 한 수는 15-x이므로 두 수의 곱을 y라 하면

두 수의 곱을 이용하여 이차함수의 식 세우기 a, b의 값 구하기

a+b의 값 구하기

2점 1점 1점

채점 기준 배점

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Point Up ^문제집

우공비 B0X

중단원별 실전 TEST

Ⅰ | 문제집 17~18쪽

01회

01^{①, ④} 02^⑤ 03^⑤ 04^③

05^③ 06^④ 07^④ 08^①

09^2x-2y+3 10¹⁵ 11⁴

12⁴ 132+'5

-1.제곱근과 실수

01

② 음수의 제곱근은 없고, 0의 제곱근은 1개, 양수 의 제곱근은 2개이다.

③ 제곱하여 0.5가 되는 수는 —'∂0.5이다.

⑤ -4는 음수이므로 -4의 제곱근은 없다.

①, ④

02

"≈a¤ =9의 양변을 제곱하면 a¤ =81이므로 a=—'8å1 =—9

이때 a>0이므로 a=9 b는 a의 제곱근이므로

b=—'a=—'9=—3 이때 b<0이므로 b=-3

∴ a+b=9+(-3)=6 ⑤

03

(-'2)¤ =2, "√(-3)¤ =3, "≈5¤ =5이므로 (-'2)¤ +"√(-3)¤ _Ƭ:¡9§:-(-"≈5¤ )

=2+3_;3$;-(-5)

=2+4+5=11 ⑤

04

① -a>0이므로 "√(-a)¤ =-a

② 2a<0이므로 "√(2a)¤ =-2a

③ -"ç4a¤ =-"√(2a)¤ =-(-2a)=2a

④ 4a<0이므로 -"√(4a)¤ =-(-4a)=4a

⑤ -5a>0이므로 -"√(-5a)¤ =-(-5a)=5a

③ a (aæ0)

-a (a<0)

05

㈀'4=2와 같이 근호를 사용하여 나타낸 수 중 유 리수도 있다.

㈁ 모든 실수는 수직선 위에 나타낼 수 있고, 순환소수는 실수이므로 수직선 위에 나타낼 수 있다.

㈂ 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.

이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다. ③

06

①'2<'3이므로 -'2>-'3

② 2-('3+1)=2-'3-1=1-'3<0이므로

② 2<'3+1

③ ('3-'2)-('3-1)='3-'2-'3+1

=-'2+1<0

② ∴'3-'2<'3-1

④ ('8-'3 )-('8-2)='8-'3-'8+2

=-'3+2

=-'3+'4>0

② ∴'8-'3>'8-2

⑤'6-4-('6-'ß15 )='6-4-'6+'ß15

=-4+'ß15

=-'ß16+'ß15<0

② ∴'6-4<'6-'ß15 ④

07

CA”=CP”=FH”=FQ”='2이므로 a=-'2, b=1+'2

∴ a+b=-'2+(1+'2 )=1 ④

08

① 는'2보다 작다.

② 은'2 와 '3 의 평균이다.

① '3-'2=1.732-1.414=0.318이므로 ③, ④, ⑤는 '2 와'3 사이에 있는 수이다.

'2+'3 2

'3-'2 2

a+b 2

2a<0이므로

"√(2a)¤ =-2a 두 실수 a, b에 대하여

① a-b>0 a>b

② a-b=0 a=b

③ a-b<0 a<b

제곱하여 음수가 되는 수는 없으므로 음수의 제곱근은 없다.

=

=0.159 1.732-1.414

2 '3-'2

2

보충학습

서로 다른 두 실수 a, b (a<b) 사이에 있는 수는 다음과 같은 방법으로 구한다.

① 두 수의 평균 는 두 수 사이에 있다.

② a, b의 차보다 작은 수를 a에 더하거나 b에서 뺀다.

a+b 2

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우공비 B0X 문제집

17`~19`

Point Up

10

20-x=1, 4, 9, 16

∴ x=19, 16, 11, 4 따라서 m=19, n=4이므로

m-n=19-4=15 15

11

4<'∂5x<5에서 '∂16<'∂5x<'∂25 16<5x<25 ∴:¡5§:<x<5

따라서 구하는 정수 x는 4이다. 4

13

ABCD=3_3-{;2!;_2_1}_4=5 이므로 ABCD의 한 변의 길이는 '5이다.

∴ BP”=BC”='5 ^▶3`점

따라서 점 P에 대응하는 수는 2+'5 이다. ^▶2`점 2+'5

12

64<76<81이므로 8<'7ß6 <9

즉'7ß6 이하의 자연수는 1, 2, 3, y, 8의 8개이므로

f(76)=8 ▶2`점

16<24<25이므로 4<'2ß4 <5

즉'2ß4 이하의 자연수는 1, 2, 3, 4의 4개이므로

f(24)=4 ▶2`점

∴ f(76)-f(24)=8-4=4 ▶1`점 4

Ⅰ | 문제집 19~20쪽

02회

01^④ 02^③ 03^② 04^②

05^② 06^③ 07^{①, ④} 08^③ 09¹⁴ 10^a+b 11⁹ 12-'2

13^-1

-1.제곱근과 실수

01

①"√(-5)¤ ='2ß5 =5

②"ç5¤ =5

③ (-'5 )¤ =5

④ -('5 )¤ =-5

⑤ -(-"ç5¤ )=-(-5)=5

④

02

㈀ x가 양수 a의 제곱근이면 x¤ =a이다.

㈁ 양수의 제곱근은 양의 제곱근과 음의 제곱근 2개가 있고, 절댓값이 서로 같으므로 그 합은 0이다.

㈂ 음이 아닌 수 중 0의 제곱근은 0 하나뿐이다.

㈃ 4의 제곱근은 —'4=—"ç2¤ =—2이므로 근호를 사 용하지 않고 나타낼 수 있다.

따라서 옳은 것은 ㈁, ㈃이다.

③

03

a>0, b<0이므로 a+1>0, a-b>0

∴ (주어진 식)=a+1-(a-b)

=a+1-a+b

=b+1

② a-b (aæb)

-a+b (a<b)

·“ ª

04

① 5='ß25 이고, 24<25이므로 '2ß4 <5

② 0.2='∂0.04이고, 0.04<0.2이므로 0.2<'∂0.2

③Æ;2!; >Æ;3!;이므로 -Æ;2!; <-Æ;3!;

④;4!;=Ƭ;1¡6;이고, ;1¡6; <;1¡0; 이므로

;4!; <Ƭ;1¡0;

⑤'5 <'6 이므로 -'5 >-'6

②

09

x>0이므로 "≈x¤ =x 0<y<3에서 -3<y-3<0이므로

"(√y-3)¤ =-(y-3)=-y+3 x<y에서 y-x>0이므로

"(√y-x)¤ =y-x

∴ (주어진 식)=x+(-y+3)-(y-x)

∴ (주어진 식)=x-y+3-y+x

=2x-2y+3 2x-2y+3

a-b (aæb) -a+b (a<b)

f(76)의 값 구하기 f(24)의 값 구하기 f(76)-f(24)의 값 구하기

2점 2점 1점

채점 기준 배점

BP”의 길이 구하기 점 P에 대응하는 수 구하기

3점 2점

채점 기준 배점

A=x¤ (x는 유리수)이면

"≈A 는 유리수이다.

'6å4<'7å6<'8å1이므로 8<'7å6<9

'1å6<'2å4<'2å5이므로 4<'2å4<5

양변에 -1을 곱하면 부등호의 방향이 바뀐 다.

점 P는 점 B에서 오 른쪽으로'5만큼 떨어 진 점이다.

양수 k의 제곱근은

—'ßk의 2개가 있고, 그 합은

'ßk+(-'ßk )=0 이다.

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우공비 B0X

12

AP”=AC”='2이고 점 P에 대응하는 수가 '2-1 이므로 점 A에 대응하는 수는

('2-1)-'2=-1 ^▶2`점

또 점 B에 대응하는 수는

-1+1=0 ▶2`점

AC”=BD”=BQ”='2이므로 점 Q에 대응하는 수는

0-'2=-'2 ^▶2`점

-'2

07

① 1에 가장 가까운 무리수는 알 수 없다.

③ -1과 '2 사이에는 0, 1의 2개의 정수가 있다.

④'3과 '5 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.

①, ④

06

③ 소수는 유한소수와 무한소수로 이루어져 있다.

③ 유한소수

무한소수

08

㈀'ß20<'ß24<'ß25이므로 'ß24는 'ß20과 'ß25=5 사이의 수이다.

㈁, ㈂ 5-'∂20=5-4.472=0.528이므로 '∂20+1은 '∂20 과 5 사이의 수가 아니고,'∂20+0.5는 '∂20과 5 사이 의 수이다.

㈃ 는'ß20과 5의 평균으로 '∂20과 5 사이의 수 이다.

㈄"√(-4.8)¤ =4.8은 유리수이다.

㈅ = =0.264<'ß20이므로 '∂20과 '5 사이의 수가 아니다.

이상에서'ß20과 5 사이의 무리수는 ㈀, ㈂, ㈃이다.

③ 5-4.472

2 5-'ß20

2 'ß20+5

2

09

= 이므로 Æ… =æ≠ 이

자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 x는 x=2_7=14

14 2_3¤ _7

x 126

x 2_3¤ _7

x 126

x

10

a-b>0이므로 a>b

또 ab<0에서 a, b의 부호가 서로 다르므로 a>0, b<0

∴"≈a¤ -"≈b¤ =a-(-b)=a+b

a+b -x (xæ0)

-x (x<0)

·“ ª

11

(-6)¤ =36의 양의 제곱근은'ß36=6이므로

A=6 ▶1점

'ß81=9의 음의 제곱근은 -3이므로

B=-3 ▶1점

∴ A-B=6-(-3)=9 ▶1점

9

A의 값 구하기 B의 값 구하기 A-B의 값 구하기

1점 1점 1점

채점 기준 배점

점 A에 대응하는 수 구하기 점 B에 대응하는 수 구하기 점 Q에 대응하는 수 구하기

2점 2점 2점

채점 기준 배점

13

-'5, 1-'2, -1은 음수이고, -1+'3, '2는 양 수이므로 네 번째에 오는 수는 -'5, 1-'2, -1 중 두

번째로 큰 수이다. ▶2`점

이때 -'5<-1이고, -1-(1-'2 )=-2+'2<0이 므로

-'5<-1<1-'2 ^▶2`점

따라서 크기가 큰 것부터 차례대로 나열할 때, 네 번째에

오는 수는 -1이다. ▶1`점

-1

양수인 것과 음수인 것 나누기 음수끼리 대소 비교하기 네 번째로 큰 수 구하기

2점 2점 1점

채점 기준 배점

정사각형의 두 대각선 의 길이는 서로 같으 므로

AC”=BD”

근호 안의 모든 소인 수의 지수가 짝수이어 야 한다.

a, b는 주사위의 눈의 수이므로 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나이다. 따 라서 ab…36임을 알 수 있다.

5.472 4.972

05

∴ ab=2_1¤ =2, ab=2_2¤ =8, ab=2_3¤ =18, ab=2_4¤ =32 이것을 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는

(1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 6), (6, 3) 의 6가지이다.

따라서 구하는 확률은 ;3§6;=;6!; ②

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