3_2_1_1_2=12
물감 1통으로 넓이 p만큼 칠할 수 있으므로 영역 E를 칠하고 남은 색으로는 영역 B, C, D를 칠할 수 없다.
⁄ 영역 A와 영역 E를 같은 색으로 칠하는 경우 영역 A와 영역 E를 칠할 수 있는 색은 3가지이고, 나 머지 2가지 색으로 B, C, D를 칠해야 한다.
이때 영역 B와 영역 D는 같은 색으로 칠해야 하므로 영역 B, C, D를 칠하는 방법은 2가지이다.
따라서 구하는 문양의 개수는 3_2=6
¤ 영역 A와 영역 E를 다른 색으로 칠하는 경우 영역 E를 칠할 수 있는 색은 3가지이고, 나머지 2가 지 색으로 A, B, C, D를 칠해야 한다.
이때 영역 A와 영역 C를 같은 색으로, 영역 B와 영 역 D를 같은 색으로 각각 칠하는 방법은 2가지이다.
따라서 구하는 문양의 개수는 3_2=6
⁄, ¤에 의하여 구하는 문양의 개수는
6+6=12 12
05
[전략]조건을 만족시키는 경우를 나눈 후 순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.만들 수 있는 여섯 자리 자연수 중에서 340000보다 작은 것은 다음 세 가지 경우로 나타낼 수 있다.
⁄ 십만 자리의 수가 1인 경우(1 ),
각 에 1을 제외한 나머지 2, 3, 4, 5, 6을 배열한 것 이므로 그 개수는 5!=120
¤ 십만 자리의 수가 2인 경우(2 ),
각 에 2를 제외한 나머지 1, 3, 4, 5, 6을 배열한 것 이므로 그 개수는 5!=120
‹ 십만 자리의 수가 3이고 340000보다 작은 경우 (31 또는 32 ),
각 에 먼저 선택한 두 수를 제외한 4개의 숫자를 배 열한 것이므로 그 개수는 4!_2=48
⁄~‹에 의하여 조건을 만족시키는 자연수의 개수는
120+120+48=288 ⑤
06
[전략](적어도 한쪽 끝에 모음이 오는 경우의 수)=(모든 경우의 수)-(양쪽 끝에 모두 자음이 오는 경우의 수) 7개의 알파벳을 일렬로 나열하는 경우의 수는 7!=5040 이고, 자음의 개수를 k(kæ2)라 하면 양쪽 끝에 모두 자 음이 오는 경우의 수는˚P™_5!=˚P™_120이므로 적어 도 한쪽 끝에 모음이 오는 경우의 수는
5040-˚P™_120=4320
˚P™= =6=3_2
∴ k=3
따라서 자음의 개수가 3이므로 모음의 개수는
7-3=4 ③
07
[전략]코끼리와 사자를 넣을 방을 먼저 정한다.코끼리와 사자를 넣을 방을 정하는 방법은 다음 9가지이다.
(A, C), (A, E), (A, F), (B, D), (B, F), (C, D), (C, E), (C, F), (E, F)
각각에 대하여 남은 4개의 방에 나머지 4마리의 동물들 을 넣는 방법의 수는 4!=24이고 코끼리와 사자는 서로 바꿀 수 있으므로 구하는 경우의 수는
9_24_2=432
코끼리를 넣을 방을 먼저 정하여 생각해 보자.
⁄ 코끼리를 방 A에 넣는 경우
사자는 방 C, E, F 중 하나에 넣고, 남은 4개의 방에 낙타, 여우, 사슴, 돼지를 넣을 수 있으므로 그 경우의 수는 £C¡_4!=72
이는 코끼리를 방 E에 넣는 경우의 수와 같다.
¤ 코끼리를 방 B에 넣는 경우
사자는 방 D, F 중 하나에 넣고, 남은 4개의 방에 4마 1234720120
(044~096)고하-연습문제 2018.3.28 9:24 AM 페이지093
리의 동물을 넣을 수 있으므로 그 경우의 수는
™C¡_4!=48
이는 코끼리를 방 D에 넣는 경우의 수와 같다.
‹ 코끼리를 방 C에 넣는 경우
사자는 방 B를 제외한 4개 중 하나의 방에 넣고, 남은 4개의 방에 4마리의 동물을 넣을 수 있으므로 그 경우 의 수는 ¢C¡_4!=96
이는 코끼리를 방 F에 넣는 경우의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는
72_2+48_2+96_2=432 432
08
[전략]조건에 맞게 뽑은 후 나열해야 하므로 순열과 조합 이 동시에 필요하다.A, E를 선택하고 남은 5개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는 ∞C£=10
이때 A, E를 제외한 3개의 문자를 일렬로 나열하는 경 우의 수는 3!=6이고, 3개의 문자 사이와 양 끝을 포함 한 곳에 A, E를 나열하는 경우의 수는 ¢P™=12이다.
따라서 구하는 경우의 수는
10_6_12=720 720
09
[전략]원소의 개수가 n인 집합의 부분집합 중 원소의 개수 가 k인 부분집합의 개수는 «C˚이다.집합 {1, 2, 3, 4, 5}의 원소의 개수가 2인 부분집합의 개수는
∞C™=10
따라서 선택한 두 집합이 서로 같지 않은 경우의 수는 서 로 다른 10개에서 2개를 선택하는 조합의 수와 같으므로
¡ºC™=45 45
10
[전략]어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n개 의 점에서 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는«C£이다. 일직선 위에 있는 세 점으로는 삼각형을 만들 수 없음에 주의하자.
10개의 점에서 3개의 점을 택하는 경우의 수는
¡ºC£=120
한편 주어진 도형은 5개의 서로 다른 직선에 의해 구성되 어 있고 한 직선 위에는 각각 네 개의 점이 존재하므로 같 은 직선 위의 세 점을 택하면 삼각형이 만들어지지 않는다.
따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는
120-5_¢C£=120-20=100 ④
11
[전략]먼저 두 집합을 원소나열법으로 나타낸다.두 집합 X, Y를 원소나열법으로 나타내면 X={1, 2, 3, 4, y, k}
Y={(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), y, (k, 1), (k, 2), y, (k, k-1)}
즉, k 이하의 자연수 중에서 서로 다른 수 2개를 택하여 큰 수, 작은 수의 순서대로 순서쌍을 만들면 집합 Y의 원 소가 됨을 알 수 있다.
따라서 가능한 Y의 원소의 개수는˚C™이므로
˚C™=120, =120 k(k-1)=240, k¤ -k-240=0 (k+15)(k-16)=0
∴ k=16 (∵ k<N) ③
12
[전략]n묶음으로 분할하여 n명에게 분해하는 방법의 수는 (n묶음으로 분할하는 방법의 수)_n!2층에서 9층까지 8개의 층 중에서 사람들이 내리는 3개 의 층을 택하는 방법의 수는 •C£=56
7명을 2명, 2명, 3명으로 나누어 3개의 층에 배정하는 방법의 수는
¶C™_∞C™_£C£_ _3!=21_10_1_ _6
=630 따라서 구하는 방법의 수는
56_630=35280 ⑤
112 122!1
k(k-1) 111152
EXERCISES
13
[전략]원소가 3개이고 서로소인 두 부분집합을 만들면 조 건에 의해 집합 X와 집합 Y는 저절로 결정된다.원소가 3개이고 서로소인 두 부분집합을 만드는 방법의 수는 ¶C£_¢C£_;2!;=35_4_;2!;=70
만든 두 부분집합 중 가장 큰 수를 원소로 하는 집합을 집 합 Y로 정하면 되므로 구하는 순서쌍 (X, Y)의 개수는 70이다.
조건 ㈏에 의해 두 집합 X, Y의 원소는 모 두 6개이므로 집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 7개의 원소 중에서 6개의 원소를 뽑는 방법의 수는 ¶C§이다.
이때 6개의 원소 중 가장 큰 수는 Y의 원소가 되므로 나 머지 5개의 수 중, Y의 다른 두 원소를 택하면 X의 세 원소는 정해진다. 즉, Y의 두 원소를 택하는 방법의 수는
∞C™이다.
따라서 구하는 순서쌍 (X, Y)의 개수는
¶C§_∞C™=7_10=70 ②
14
[전략]사물함은 여학생에게 먼저 배정한다.이때 1층에는 여학생과 남학생 사물함 사이에 빈 사물함이 있어야 하고, 2, 3층에는 여학생과 남학생 사물함이 같은 층에 있으면 안된다.
⁄ 여학생 2명에게 같은 층의 사물함을 배정하는 경우
① 2층 또는 3층 중 한 층의 사물함만을 여학생에게 배 정하는 경우
2층의 두 사물함을 두 여학생에게 배정하는 경우의 수는 2!이고, 남학생 3명에게 남은 5개 중 3개의 사물함을 배정하는 경우의 수는 ∞P£이다.
마찬가지로 3층의 두 사물함을 두 여학생에게 배정 하는 경우의 수는 2!이고, 남학생 3명에게 남은 5개 중 3개의 사물함을 배정하는 경우의 수는 ∞P£이다.
따라서 구하는 경우의 수는
여 여 여 여
(2!_∞P£)_2=120_2=240
② 1층의 사물함만을 여학생에게 배정하는 경우
1층의 사물함만을 여학생에게 배정하는 경우의 수 는 £P™이고, 1층의 남은 사물함을 남학생에게 배정 할 수는 없으므로 남학생 3명에게 2층, 3층의 4개 중 3개의 사물함을 배정하는 경우의 수는 ¢P£이다.
따라서 구하는 경우의 수는
£P™_¢P£=6_24=144
¤ 여학생 2명에게 다른 층의 사물함을 배정하는 경우
① 2층, 3층의 사물함을 각각 1개씩 여학생에게 배정 하는 경우
2층, 3층의 사물함을 각각 1개씩 선택하여 여학생 에게 배정하는 경우의 수는 ™C¡_™C¡_2!이고, 2 층과 3층의 사물함을 남학생에게 배정할 수는 없으 므로 남학생 3명에게 1층의 사물함 3개를 배정하 는 경우의 수는 3!이다.
따라서 구하는 경우의 수는
™C¡_™C¡_2!_3!=48
② 1층의 사물함을 한 여학생에게 배정하고 2층 또는 3층의 사물함을 다른 여학생에게 배정하는 경우 1층의 가운데에 있는 사물함을 여학생에게 배정하 면 3명의 남학생에게 사물함을 배정할 수 없다. 그 러므로 1층의 사물함 중 가운데 사물함을 제외한 2 개의 사물함 중 한 사물함을 여학생에게 배정해야 한다.
여 1 여 1 여 1 여 1 여 2 (044~096)고하-연습문제 2018.3.29 2:45 PM 페이지095
1층의 사물함을 한 여학생에게 배정하고 2층 또는 3층의 4개의 사물함 중 1개를 다른 여학생에게 배 정하는 경우의 수는 ™C¡_¢C¡_2!이고, 남학생 3 명에게 조건에 맞게 다음 그림과 같이 남은 3개의 사물함을 배정하는 경우의 수는 3!이다.
따라서 구하는 경우의 수는
™C¡_¢C¡_2!_3!=96
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는
240+144+48+96=528 528
남학생에게 배 정할 수 있는 사물함은 3개 뿐이다.
여 남 남
여 남
남 남 여
여 남