⑵ 합의 법칙, 곱의 법칙
⑶«P®, 계승(factorial), n!
⑷ 조합
02
⑴ 서로 다른 n개에서 중복되지 않게 r개를 택 하여 일렬로 나열하는 방법의 수를 n개에서 r개를 택 하는 순열이라 하고 이를«P®로 나타낸다. 이를 식으 로 나타내면 다음과 같다.«P®=n(n-1)(n-2)_y_(n-r+1)
«P®= (거짓)
⑵ 전체집합 U의 임의의 부분집합 A에 대하여 그 여집 합은 AÇ (=U-A)로 유일하게 결정되므로, 원소가 r개인 부분집합의 개수와 원소가 (n-r)개인 부분집 합의 개수는 서로 같게 된다. (참)
⑴ 거짓 ⑵ 참
03
⑴ 서로 다른 n개를 일렬로 나열하는 경우의 수 는 n!과 같다. 이때 이를 순열의 수로 나타내면«P«과 같으므로«P«=n!이 성립한다.한편«P®= 에서«P«= =
이 된다. 이 값이 n!과 같아야 하므로 0!=1로 정의한 것이다.
12n!0!
11115(n-n)!n!
11115(n-r)!n!
112341(n-r)!n!
01 ⑴ 빠지는 부분 ⑵ 합의 법칙, 곱의 법칙
⑶«P®, 계승(factorial), n! ⑷ 조합 02 ⑴ 거짓 ⑵ 참 03 풀이 참조
Review Quiz
S U M M A C U M L A U D E 본문 270쪽1. 순열과 조합
III 경우의 수
(044~096)고하-연습문제 2018.3.28 9:24 AM 페이지085
⑵«P«=n!, ™«P™«=(2n)!과 같다.
따라서 식을 조금 더 풀어 써 보면
=
=
=
=1_3_5_y_(2n-1) 따라서 주어진 등식이 성립한다.
⑶ 집합과 연관지어 설명하면 원소가 n개인 전체집합에 서 원소가 0개인 부분집합은 공집합(0) 단 하나뿐이 므로«Cº=1이다.
조합의 수로 설명하면
«C®= =
이때 r=0으로 놓으면 =1이므로
«Cº=1이다.
⑷ 파스칼의 삼각형은 n행 r번째 위치에 «C®를 표기하 여 조합의 수들을 삼각형 모양으로 배열한 것으로 다 음과 같다.
따라서 위 삼각형에서 어떤 한 수를 기준으로 그 바로 위에 있는 두 수의 합을 구해 보면 이 둘이 서로 같다.
풀이 참조
1 5 10 10
… 5
1 4 6 4
1 3 3 1
1 2
1 1
1
1 1 11330!n!n!
111115r!(n-r)!n!
123«P®r!
1_2_3_4_y_(2n-1)_2n 12122251212225121222515452_4_y_(2n-2)_2n 1_2_3_4×y_(2n-1)_2n 121222512122251212225125(2_2_y_2)_(1_2_y_n)
(2n)!
1212252« _n!
™«P™«
1212252« _«P«
01
A지점에서 P지점으로 갈 때, 철수가 5개 중 1개 의 길을 택하고, 다음 영희가 남은 4개 중 1개의 길을 택 하고, 마지막으로 지수가 남은 3개 중 1개의 길을 택한다 고 생각하면 A지점에서 P지점으로 겹치지 않도록 길을 택하는 방법의 수는5_4_3=60
다음 P지점에서 B지점으로 가는 경로도 비슷하게 생각 하면 가능한 방법의 수는
4_3_2=24
A지점에서 P지점으로 가는 것과 P지점에서 B지점으로 가는 것은 연이어 일어나므로 곱의 법칙에 의하여 구하는 방법의 수는
60_24=1440 1440
02
2번 교과서는 X¡에 넣고, m번 교과서는 Xμ에 넣지 않는 경우를 수형도를 이용하여 구해 보자.따라서 구하는 경우의 수는 11이다. ③
4 5 3
5 3 4
1 5 4
4 5 1
5 1 4
2 1
5 3
1 3
5 3 1
1 3 4
1 3
4 1
3
X£ X¢ X∞
X¡ X™
4
5
3 1
01 1440 02 ③ 03 6 04 ⑤ 05 ② 06 ⑤ 07 ⑤ 08 648 09 6 10 ② 11 35 12 ③ 13 20 14 8 15 ④
EXERCISES
S U M M A C U M L A U D E 본문 271`~`273쪽EXERCISES
⁄, ¤에 의하여 만들 수 있는 4의 배수의 개수는
36+36=72 ⑤
05
⁄ 영국인 5명을 한 묶음, 프랑스인 3명을 한 묶 음으로 생각하여 미국인 2명과 함께 4명을 일렬로 세 우는 방법의 수는4!=24
¤ 영국인끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 5!=120
‹ 프랑스인끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는 3!=6
따라서 구하는 방법의 수는
24_120_6=17280 ②
06
⁄ 문자 5개를 일렬로 배열하는 경우의 수는 5!=120¤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 중 어느 것도 이웃하지 않는 경우의 수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 일렬로 배열하고 그 사이에 ㄹ, ㅁ이 들어 가도록 배열하는 경우의 수와 같으므로
3!_2!=6_2=12
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는
120-12=108 ⑤
07
⁄ s와 o 사이에 3개의 문자를 배열하는 경우 의 수는¶P£=210
¤‘s o’를 하나의 문자로 생각하고 나머지 4개의 문자를 포함하여 5개의 문자를 일렬로 나열하는 경우 의 수는
5!=120
‹s와 o가 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2
⁄~‹에 의하여 구하는 경우의 수는
210_120_2=50400 ⑤
03
주어진 점들은 x축에 대하여 대칭이다. 즉, 위로 볼록인 이차함수의 그래프의 개수와 아래로 볼록인 이차 함수의 그래프의 개수는 서로 같다.따라서 위로 볼록인 이차함수의 그래프의 개수의 2배가 답이 된다.
위로 볼록인 이차함수의 그래프를 그려 보면 다음 그림과 같이 3개이므로 구하는 이차함수의 개수는
3_2=6
6
04
네 자리 자연수가 4의 배수가 되려면 일의 자리 와 십의 자리의 수가 04, 12, 20, 24, 32, 40, 52이어야 한다.⁄ 일의 자리와 십의 자리의 수가 12 또는 24 또는 32 또는 52일 때, 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제 외한 3가지이고, 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 천의 자리에서 사용된 숫자를 제외한 3가지이므로 만들 수 있는 4의 배수의 개수는
4_(3_3)=36
¤ 일의 자리와 십의 자리의 수가 04 또는 20 또는 40일 때, 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 4가지이고, 백의 자 리에 올 수 있는 숫자는 천의 자리에서 사용된 숫자를 제외한 3가지이므로 만들 수 있는 4의 배수의 개수는
3_(4_3)=36
x y
O 1
-1 -1
1 x y
O 1
-1 -1
1
x y
O 1
-1 -1
1 (044~096)고하-연습문제 2018.3.28 9:24 AM 페이지087
08
백의 자리에는 1부터 9까지 9개의 숫자 중 1개 의 숫자가 올 수 있으므로 그 경우의 수는 9 yy ❶ 십의 자리와 일의 자리를 정하는 경우의 수는 백의 자리 의 숫자를 제외하고 0을 포함시킨 9개의 숫자 중 2개를 택하여 나열하는 경우의 수 ªP™=72와 같다. yy ❷ 따라서 구하는 자연수의 개수는9_72=648 yy ❸
648
09
(좌변)=(n+1)n(n-1)-n(n-1)=(n‹ -n)-(n¤ -n)=n‹ -n¤
(우변)=4× =2n¤ +14n+24 (좌변)=(우변)이므로
n‹ -n¤ =2n¤ +14n+24 n‹ -3n¤ -14n-24=0 (n-6)(n¤ +3n+4)=0
∴ n=6 (∵ næ2) 6
10
초록을 제외한 9개의 잉크 중에서 빨강, 노랑, 파랑을 먼저 뽑고, 남은 6개 중에서 2개를 선택하면 되므 로 구하는 경우의 수는§C™=15 ②
11
두 수의 곱이 짝수가 되는 경우는 (홀수)_(짝수), (짝수)_(짝수)이다.(n+4)(n+3) 152151215152
채점 기준 배점
❶ 백의 자리를 정하는 경우의 수 구하기
❷ 십의 자리와 일의 자리를 정하는 경우의 수 구 하기
❸ 조건에 맞는 세 자리 자연수의 개수 구하기
30 %
50 %
20 %
⁄ 홀수(1, 3, 5, 7, 9) 중 하나를 선택하고,
짝수(2, 4, 6, 8, 10) 중 하나를 선택하여 두 수를 곱 하는 경우의 수는 5_5=25
¤ 짝수(2, 4, 6, 8, 10) 중 두 수를 선택하여 곱하는 경 우의 수는 ∞C™=10
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 25+10=35
1에서 10까지의 자연수 중 서로 다른 두 개 를 선택하는 경우의 수는 ¡ºC™=45
다섯 개의 홀수(1, 3, 5, 7, 9) 중 서로 다른 두 개를 선택 하는 경우의 수는 ∞C™=10
즉, 두 수의 곱이 홀수가 되는 경우의 수는 10이다.
두 수의 곱은 홀수 아니면 짝수이므로 두 수의 곱이 짝수 가 되는 경우의 수는 45-10=35 35
12
두 조건 ㈎, ㈏에 의해서 1이 대응할 수 있는 집 합 Y의 원소는 7, 8, 9또 조건 ㈏에 의해서 f(3)>f(4)>f(5)이므로 Y의 원 소 1, 2, 3, 4, 5 중 3개를 뽑아 큰 수부터 차례로 f(3), f(4), f(5)에 대응시키면 된다.
따라서 구하는 함수의 개수는
3_∞C£=3_10=30 ③
13
정팔각형의 8개의 꼭짓점 중 2개를 택하는 경우의 수는•C™=28
이웃한 두 개의 꼭짓점을 택하는 경 우의 수는 변의 개수와 같으므로 8이다.
따라서 정팔각형의 대각선의 개수는 28-8=20
[참고]일반화시키면 정 n각형의 대각선의 개수는
«C™-n= -n=n(n-3) 20
11222242 n(n-1)
11222242
y
EXERCISES
14
어떤 3개의 점도 일직선 위에 놓여 있지 않으므 로 n개의 점으로 만들 수 있는 삼각형의 개수는«C£이다.즉,«C£= =56이므로
n‹ -3n¤ +2n-336=0 (n-8)(n¤ +5n+42)=0
∴ n=8 (∵ næ3) 8
15
10개의 팀이 서로 다른 팀과 1번씩 경기를 치르 는 경우의 수는 ¡ºC™=45따라서 각 팀이 다른 한 팀과 n번의 경기를 했다면
45n=225 ∴ n=5 ④
n(n-1)(n-2) 1555515515515515553_2_1
01
⁄B와 D에 같은 색을 칠하는 경우 A에 칠할 수 있는 색은 5가지 B에 칠할 수 있는 색은 4가지 C에 칠할 수 있는 색은 3가지D에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색과 같은 색이므로 1가지
E에 칠할 수 있는 색은 3가지
∴ 5_4_3_1_3=180 (가지)
¤B와 D에 다른 색을 칠하는 경우 A에 칠할 수 있는 색은 5가지 B에 칠할 수 있는 색은 4가지 C에 칠할 수 있는 색은 3가지 D에 칠할 수 있는 색은 2가지 E에 칠할 수 있는 색은 2가지
∴ 5_4_3_2_2=240 (가지)
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 180+240=420
모두 다른 색을 칠하는 경우：5!=120 (가지) B와 D에만 같은 색을 칠하는 경우：∞P¢=120 (가지) C와 E에만 같은 색을 칠하는 경우：∞P¢=120 (가지) B와 D, C와 E에 각각 같은 색을 칠하는 경우：
∞P£=60 (가지)
따라서 색을 칠하는 모든 경우의 수는
120+120+120+60=420 420
02
맨 위의 사다리꼴부터 차례로 A, B, C, D, E 라 하고, 색을 ①, ②, ③이라 하자. 먼저 A와 E에는 서 로 다른 색을 칠해야 하므로 경우의 수는 3_2=6이다.이 중 한 가지 경우를 선택하여 직접 사다리꼴에 색을 칠 하는 경우를 수형도로 만들면 다음과 같다.
01 420 02 30 03 100 04 ④ 05 60 06 120 07 72 08 ④ 09 ③ 10 35
EXERCISES
S U M M A C U M L A U D E 본문 274`~`275쪽 (044~096)고하-연습문제 2018.3.28 9:24 AM 페이지089위 수형도에서 확인할 수 있듯이 A와 E의 색이 정해져 있을 때, B, C, D를 칠하는 경우는 5가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는
6_5=30 30
03
처음에는 지점 O에서 4개의 방향으로 움직일 수 있다.먼저 오른쪽(→)방향으로 움직였다고 가정하자. 한 번 통 과한 지점은 다시 갈 수 없으므로 그 다음으로 움직일 때 가능한 경로의 수는 3(위, 아래, 오른쪽)이다. 이와 같은 방법으로 3번 움직일 때 가능한 경로의 수는
3_3_3=27
그런데 출발점과 도착점은 일치하지 않으므로 지점 O로 되돌아오는 경로 2가지( , )를 제외해야 한다.
따라서 조건을 만족시키는 경로의 수는 27-2=25
처음에 왼쪽 또는 위 또는 아래로 움직일 때, 각각 가능한 경로의 수도 25이므로 구하는 경로의 수는
25_4=100 100
04
위 그림과 같이 네 사람이 앉을 4개의 의자를 제외한 6개 의 빈 의자를 먼저 나열하고 그 각각에 대하여 그 사이사 이와 양 끝의 7개의 자리에 4개의 의자를 배열하여 앉으 면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는
¶P¢=840 ④
⁄⁄⁄ ⁄
⁄⁄⁄ ⁄
A B C D E
②
① ②
③
①
③
③ ①
②
① ② ②
D, E가 같은 색이므로 제외해야 한다.
③
② ①
③
05
A, B가 같이 체험 프로그램 한 종류를 선택하는 경우의 수는 5남은 4종류의 체험 프로그램 중에서 각각 1개씩을 선택 하는 경우의 수는
¢P™=12
따라서 구하는 경우의 수는 5_12=60
A가 먼저 2종류를 선택한 후 B가 선택한 다.
A가 5종류의 체험 프로그램 중 2종류를 선택하는 경우 의 수는
∞C™=10
B는 A가 선택한 2종류 중 하나와 선택하지 않은 나머지 3종류 중 하나를 선택해야 하므로 그 경우의 수는
™C¡_£C¡=2_3=6 따라서 구하는 경우의 수는
10_6=60
5종류의 체험 프로그램 중 3종류를 차례로 선택하여 그 순서대로 ≥A와 ¯B, ˘A, ˘B에 배정하면 된다.
따라서 구하는 경우의 수는
∞P£=60 60
06
정의역의 모든 원소가 아니라‘어떤’한 원소에 대해서만 조건 ㈏가 성립하면 충분하다.f(n+1)-f(n)=5이므로 f(n+1)=6, f(n)=1이 고, n이 될 수 있는 수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이다.
함수 f는 일대일대응이므로 앞에서 선택한 n과 n+1을 제외한 정의역의 4개의 원소로 이루어진 집합에서 1, 6을 제외한 공역의 4개의 원소로 이루어진 집합 {2, 3, 4, 5}
로의 일대일대응의 개수는 4!=24이다.
따라서 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는
5_24=120 120
EXERCISES
07
처리해야 할 6가지의 업무를 A, B, C, D, E, F 라 하면 C, D, E, F 4가지 업무 중 2가지 업무를 선택하 는 경우의 수는¢C™=6 yy ❶
업무 C, D를 선택하였다고 가정할 때, A, B, C, D 4가 지 업무의 처리 순서를 정하는 경우의 수는
4!=24
이 중 업무 A가 업무 B보다 먼저 처리되는 경우의 수는
24_;2!;=12 yy ❷
따라서 구하는 경우의 수는
6_12=72 yy ❸
72
08
12개의 점 중에서 3개를 택하는 경우의 수는¡™C£=220
이 중에서 일직선에 점 3개가 있는 경우는 제외해야 한다.
⁄ 가로 방향으로 일직선 위에 있는 4개의 점 중에서 3개 를 택하는 경우의 수는
3_¢C£=12
¤ 세로 방향으로 일직선 위에 있는 3개의 점 중에서 3개 를 택하는 경우의 수는
¤ 세로 방향으로 일직선 위에 있는 3개의 점 중에서 3개 를 택하는 경우의 수는