2020 코드엠 수학1 답지 정답

(1)

[ 코드가 맞는 수학 친구 ]

(2)

1

⑴ -1의 세제곱근을 x라 하면 x#=-1이므로 x#+1=0, {x+1}{x@-x+1}=0 / x=-1 또는 x=1-j3 i 2 따라서 -1의 세제곱근은 -1, 1-₂j3 i ⑵ 1의 네제곱근을 x라 하면 x$=1이므로 x$-1=0, {x@-1}{x@+1}=0 / x=-1 또는 x=-i 따라서 1의 네제곱근은 -1, -i

2

⑴ 16=2$이므로 $j16k=2 ⑵ 625=5$이므로 -$j625k=-5 ⑶ 64=4#이므로 #j64k=4 ⑷ -8={-2}#이므로 #j-8l=-2

3

⑴ $j5 $j125l=$j5\125l=$15$2=5 ⑵ #j81k #j3 =#r 81 3 t=#13#2=3 ⑶ {^j4}#=^14#2=^12^2=2 ⑷ 1$j256k3=2\4_{j256k=*12*2=2}

4

⑴ {-2})=1 ⑵ 3_$=1 3$= 1 81 ⑶ [3 2 ]_@=[ 2 3 ]@= 4 9 ⑷ 32-5!= 1 325! = 1 %j32k= 1 %12%2= 1 2 ⑸ 490.5₌₄₉2!₌_j49k=17@2=7 ⑹ 814#=$181#2=$1{3$}#3=$1{3#}$3=3#=27 다른 풀이 ⑷ 32-5!={2%}-5!=2%|[-5!]=2_!=1 2 ⑸ 490.5_={7@}0.5_=7@|0.5₌₇ ⑹ 814#={3$}4#=3$|4#=3#=27

5

⑴ 3#\3_$=33+{-4}_{=3_!=}1 3 13쪽 예제

1

⑴ 166!\18_3@_24_3! ={2$}6!\{2\3@}_3@_{2#\3}_3! =23@\{2_3@\3_3$}_{2_!\3_3!}

=23@+[-3@]-{-1}\3-3$-[-3!]=2\3_!=2₃ ⑵ -[27 64 ] -2! =3!\-[81_{4 ]}3%=103_=[27 64 ] -6! \[81_{4 ]}2! =[ 2^ 3#] 6! \[ 3$ 2@] 2! = 2 32! \3@₂=32-2!=32#{=3j3} ⑶ ra@ b_#1ab#2\^r b@ a#

={a@b_!}2!_{ab#}3!\{a_#b@}6! =ab_2!_a3!b\a_2!b3! =a1-3!-2!b-2!-1+3!=a6!b_6&= ^ja k b ^jb ⑷ #ja k ja k=a3!_a2!=a3!_2!=a_6!, $#ja kja k=a 4! _a3!=a4!_3!=a_121_, $ja k ja k=a4!_a2!=a4!_2!=a_4!이므로

{a_6!}4!\{a_121_}2!_{_{a_}4!_}3!_{=a_}241"[_24 ]1 _[_12 ]1 _=a)=1

⑸ a4!=x, b4!=y로 놓으면 {x-y}{x+y}{x@+y@} ={x@-y@}{x@+y@}=x$-y$ ={a4!}$-{b4!}$=a-b ⑹ a3!=x, b3!=y로 놓으면 3# 2^ 12쪽 개념 확인

01 지수

01

지수와 로그

⑵ 4125_\4121₌₄125"121₌₄2!_={2@}2!_=2@|2!₌₂ ⑶ {2@}_#_2_$ =22\{-3}_{_2_$=2}-6-{-4}_{=2_@=}1 2@= 1 4 ⑷ 22%_{2#}6& =22%_2#|6&=22%_22&=22%_2&_{=2_!=}1

2 ⑸ {a_#b@c}_@ ={a_#}_@{b@}_@c_@=a{-3}\{-2}_b2\{-2}_{c_@} =a^b_$c_@[= a^ b$c@ ] ⑹ {163!}2(\{272!}3 $=163!|2(\272!|3$=162#\273@ =24\2#\33\3@=2^\3@{=576}

6

⑴ 2j2_22+j2=2j2-{2+j2}=2_@=1₄ ⑵ {3j2}j2=3j2\j2=3@=9

(3)

01. 지수와 로그

3

{x#+y#}_{x@-xy+y@} ={x+y}{x@-xy+y@} x@-xy+y@ =x+y=a3!+b3! 유제

1-1

⑴ 152#_276%\45_2! ={3\5}2#_{3#}6%\{3@\5}_2! =32#\52#_32%\3_!\5_2!=32#_2%_!\52#_2! =3_@\5=5₉ ⑵ 0.75=3_{4 이므로} [1_{8 ]}9$\4#\[25_{16 ]}4%\[-5@] =[1_{8 ]}3!\[25_{16 ]}-2! =[1 2# ] 3! \[2$ 5@ ] 2! =1₂\2@₅=2₅ ⑶ *1a$b%3_#1a@b2\$qa_b ={a$b%}8!_{a@b}3!\[a b ] 4! =a2!b8%_a3@b3!\a4!b_4! =a2!_3@"4!b8%_3!_4!=a121_b241 =@$1a@b2{=!@ja @$jb} ⑷ $ja k %ja k=a 4!_{_a}5!_=a4!_{_}5!_=a201_,#ja k $ja k=a 3!_{_a}4!_=a3!_{_}4!_=a121_, #ja k %ja k=a 3! _a5!=a3!_5!=a152_이므로 {a201_}3!_{_{a}121_}5!_\{a152_}2! _=a601_{_a}601_\a151 =a601_ 1 60" 1 15_=a 1 15_=!%ja k

유제

1-2

⑴ a2!=x, b2!=y로 놓으면 a=x@, b=y@이므로 {x@+2xy+y@}{x@-2xy+y@} ={x+y}@{x-y}@

={x@-y@}@={a-b}@ ⑵ a3!=x, b3!=y로 놓으면 a=x#, b=y#이므로

{x#-y#}_{x@+xy+y@} ={x-y}{x@+xy+y@} {x@+xy+y@} =x-y=a3!-b3! 14쪽 예제

2

⑴ {j3}^={32!}^=3#=27, {#j5}^={53!}^=5@=25, {^j24k}^={246!}^=24이므로 {j3}^>{#j5}^>{^j24k}^ / j3>#j5>^j24k ⑵ {x2!}@=x, x2!\x_2!=x)=1이므로 5@ 2$ {x2!+x_2!}@=x+2+x_! x2!+x_2!=3을 대입하면 3@=x+2+x_! / x+x_!=7 또 {x2!!}#=x2#, x2!!\x_2!!=1이므로 {x2!+x_2!}#=x2#+3{x2!+x_2!}+x_2# x2!+x_2!=3을 대입하면 3#=x2#+3\3+x_2# / x2#+x_2#=18 ⑶ aXaX=a@X, aXa_X=1, a#XaX=a$X={a@X}@, a_#XaX=a_@X aX+a_X aX-a_X의 분모, 분자에 aX을 곱하면 aX+a_X aX-a_X= a@X+1 a@X-1= 3+1 3-1=2 또 a#X+a_#X aX-a_X 의 분모, 분자에 aX을 곱하면 a#X+a_#X aX-a_X = a$X+a_@X a@X-1 = 3@+1₃ 3-1 = 14 3 유제

2-1

A=#j4=43!, B=$j6=64!, C=#1j15k3=156! 지수의 분모 3, 4, 6의 최소공배수는 12이므로 A, B, C를 12제곱하면 A!@={43!}!@=4$=2*=256 B!@={64!}!@=6#=216 C!@={156!}!@=15@=225 B!@<C!@<A!@이므로 B<C<A 유제

2-2

{x2!}@=x, {x2!}#=x2#, x2!\x_2!=x)=1 ⑴ {x2!-x_2!}@=x-2+x_!이므로 2@=x-2+x_! / x+x_!=6 ⑵ {x2!-x_2!}#=x2#-3{x2!-x_2!}-x_2#이므로 2#=x2#-3\2-x_2# / x2#-x_2#=14 ⑶ {x2!+x_2!}@=x+2+x_!=6+2=8 x>0이므로 x2!+x_2!=j8=2j2

유제

2-3

a$X={a@X}@=4이고, a>0이므로 a@X=2 ⑴ aX+a_X aX-a_X의 분모, 분자에 aX을 곱하면 aX+a_X aX-a_X= a@X+1 a@X-1= 2+1 2-1=3 ⑵ a%X+a_%X aX+a_X 의 분모, 분자에 aX을 곱하면 a%X+a_%X aX+a_X = a^X+a_$X a@X+1 = {a@X}#+{a@X}_@ a@X+1 = 2#+_2@1 2+1 = 11 4

(4)

0

1

60A=12, 60B=5를 변변 곱하면 60A\60B=12\5 60A"B=60 / a+b=1

0

2

%4412 $j836=%42@12 $j2#3k6 에서 42 $12#26={2\24# }2!={24&}2!=28&이므로 %42@12 $j2#3k6 ={2@\28&}5!={2238_}5!₌₂2340 / k=23 40 다른 풀이 %4412 $j836=45!\{22!}5!\9{84!}2!05! =45!\2101_\8401_={2@}5!_\2101_\{2#}401 =225"101"403₌₂2340

0

3

a=32j3-3, b=32j3+3이므로 81a_b =3$\3 2j3-3 32j3+3 =3 4+2j3-3-2j3-3_{=3_@=}1 9

0

4

① 8의 세제곱근을 x라 하면 x#=8 {x-2}{x@+2x+4}=0 / x=2 또는 x=-1-j3 i 따라서 8의 세제곱근은 2, -1-j3 i (거짓) ② {-#j5}#=-{#j5}#=-5이므로 -#j5는 -5의 세제곱근이다. 그런데 -5의 세제곱근 중 실수는 하나이므로 (참) note #j-5l=-#j5 ③ -16의 네제곱근 중 실수는 없다. 곧, 양수라 말할 수 없다. (거짓) ④ a가 음수이면 xN=a를 만족하는 실수 x는 없다. (거짓) ⑤ n이 홀수이면 a의 n제곱근 중 실수는 Nja k 하나이므로 (참) 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다.

0

5

A=0.52!=[ 1 2 ] 2!_{=2_}2!_{, B=4}3!_{, C={2}2!_}#=22# 지수의 분모 2, 3, 2의 최소공배수는 6이므로 A, B, C를 6제곱하면 A^=2_#=1 8 , B^=4@=16, C^=2(=512 A^<B^<C^이므로 A<B<C

0

6

{x-x_!}@ =x@-2+x_@이고 x@+x_@=6이므로

0

1

④

0

2

③

0

3

1 9

0

4

②, ⑤

0

5

A<B<C

0

6

2

0

7

②

0

8

a3&b6&

0

9

②

10

⑴ a-a_! ⑵ a+b

11

②

12

③ 15~₁₆쪽 연습 문제 {x-x_!}@=6-2=4 그런데 x>1이므로 x>x_! / x-x_!=2

0

7

지수법칙을 이용하여 정리한다. a[1_b+1_{c ]}+b[1_c+1_{a ]}+c[_a1+1_{b ]} =a_b+a_c+b_c+b_a+c_a+c_b =b+c_a +c+a_b +a+b_c yy ① a+b+c=0이므로 ①은 -a a + -bb + -cc =-3

/ 2a[b!+c!]\2b[c!+a!]\2c[a!+b!] =2a[b!+c!]+b[c!+a!]+c[a!+b!] =2_#=1₈

0

8

3=a6!, 2=b6!임을 이용한다.

3^=a에서 3=a6!, 4#=2^=b에서 2=b6! / 18&={3@\2}&={a6!\2\b6!}&=a3&b6&

0

9

n이 자연수이면 3N도 자연수이다. a$=3, b%=7, c@=11에서 a=34!, b=75!, c=112!이므로 {abc}N={34!75!112!}N=34N75N112N \ 이 자연수이면 n_{4 ,}n_{5 ,}n_{2 이 모두 자연수이다.} 따라서 자연수 n의 최솟값은 4, 5, 2의 최소공배수 20이다.

10

⑴ a6!=x, a_6!=y로 치환한다. ⑵ a2!=x, b2!=y로 치환한다.

⑴ a6!=x, a_6!=y로 놓으면 xy=a6!_6!=a)=1이므로 {a3!+a_3!+1}{a6!-a_6!}{a2!+a_2!}

={x@+y@+xy}{x-y}{x#+y#} ={x#-y#}{x#+y#}=x^-y^=a-a_! ⑵ a2!=x, b2!=y로 놓으면 a2#-ab2!+a2!b-b2# =x#-x@y+xy@-y# =x@{x-y}+y@{x-y} ={x-y}{x@+y@} / {a2#-ab2!+a2!b-b2#}_{a2!-b2!} ={x-y}{x@+y@}_{x-y} =x@+y@=a+b

11

x=34!-3_4!을 x@+4에 대입하고 간단히 한다. x@+4={34!-3_4!}@+4=32!-2+3_2!+4 =32!+2+3_2!={34!+3_4!}@ / _1x@+43+x=0{34!+3_4!}@₌₊₃4!-3_4! =34!+3_4!+34!-3_4!=2\34!

(5)

5

1

⑴ log3`1=0 ⑵ log81`3= 1 4 ⑶ logj5`5=2

2

⑴ 10@=100 ⑵ 52!=j5

3

⑴ 6X=6 / x=1 note loga`a=1을 이용해도 된다. ⑵ 3X=1 9=3_@ / x=-2 ⑶ 2^=x / x=64 ⑷ 10_@=x / x= 1 100 ⑸ x@=4 / x=2 {? x>0} ⑹ x_#=8, x=8_3!={2#}_3!=2_! / x=1₂

4

⑴ log10`2+log10`5=log10`{2\5}=log10`10=1 ⑵ log12`16+log12`9 =log12`{16\9}=log12`12@ =2`log12`12=2 ⑶ log3`6-log3`2=log3`6 2=log3`3=1 ⑷ log2`36-log2`9=log2`36 9 =log2`2@=2`log2`2=2 ⑸ log3`j27k=log3`{3#}2!=log3`32#=3₂`log3`3=3₂ ⑹ log2` 1 #j2=log2`2_ 3!_=-1 3 `log2`2=-1 3

5

⑴ log2`10=log10`10_log10`2 =_log10`21

note loga`b=_{logb`a 을 이용해도 된다.}1

⑵ log2`3=log10`3_log10`2

6

⑴ 9=3@, 27=3#이므로 밑이 3인 로그로 나타내면 19쪽 개념 확인

02 로그

20쪽 예제

3

⑴ log10`9+1 2`log10`16-2`log10` 3 5 =log10`3@+log10`{2$}2!-log10`[ 3_{5 ]@} =log10 - 3@\2@\[ 5 3 ]@ ==log10`10@=2 ⑵ (분자)=4`log5`j3+ 1 2`log5` 169-3`log5`2 =log5`{32!}$+log5`[ 2$ 3@] 2! -log5`2# =log5`[3@\ 2@ 3\ 12#]=log5` 32 (분모) =2`log5`3-2`log5`2=2{log5`3-log5`2}=2`log5`3 2 / (주어진 식)= log5`3₂ 2 log5`3₂ =1₂ ⑶ 밑이 3인 로그로 통일하면 log3`5-log9`5-1 2`logj3`j5 =log3`5-log3`5_log3`9-1₂\log3`j5

log3`j3 log3`9=log3`3@=2, log3`j3=log3`32!=1_{2 ,} log3`j5=log3`52!=1₂`log3`5이므로 (주어진 식)=log3`5-1 2 `log3`5-1 2 log3`5=0 note 다음과 같이 변형하여 풀어도 된다. log9`5=log3@`5= 1 2 `log3`5 logj3`j5=log312`5 2!₌ 1 2 1 2 `log3`5=log3`5 ⑷ 밑이 10인 로그로 통일하면 log2`3\log3`5\log5`4= log10`3 log10`2\ log10`5 log10`3\ log10`4 log10`5 log10`4=log10`2@=2`log10`2이므로 (주어진 식)=2 ⑸ log9`4=log3`4_log3`9=log3`2@

log3`3@= 2`log3`2

2 =log3`2이므로 (주어진 식)=3`log3`2+log3`2₌₃log3`4₌₄

12

aX-a_X_{aX+a_X}=1₂ 을 정리하여 aX 또는 a@X의 값을 구한다.

aX-a_X

aX+a_X=12의 양변에 2{aX+a_X}을 곱하면 2{aX-a_X}=aX+a_X, aX=3a_X / a@X=3

/ a@X-a_@X a@X+a_@X= 3-1₃ 3+1₃ =4₅ log9`27=log3`3# log3`3@= 3`log3`3 2`log3`3= 3 2 ⑵ 1 4=2_@, 32=2%이므로 밑이 2인 로그로 나타내면 log4!`32= log2`2% log2`2_@= 5`log2`2 -2`log2`2 =-5 2

(6)

유제

3-1

⑴ 0.08= 8 100= 2# 2@\5@= 2 5@이므로 log2`0.08+log2`32+2`log2`5 4 =log2`2 5@+log2`2%+log2`[ 5 2@ ]@ =log2`[2 5@\2%\ 5@ 2$ ]=log2`2@=2 ⑵ 밑이 5인 로그로 통일하면 log25`8₃= log5`8₃ log5`5@= 1 2`log5`83 이므로 4`log5`j3+2`log25`8₃-log5`12 =log5`{j3}$+log5`8₃-log5`12 =log5`[3@\8₃\_{12 ]}1 =log5`2 ⑶ (분자)=2`log3`5+log3`2-2`log3`j18k

=log3`5@+log3`2-log3`18=log3`5@\2₁₈ =log3`[5_{3 ]@}=2`log3`5₃=2{log3`5-log3`3} =2{log3`5-1} 또 log9`3=log3`3 log3`9= log3`3 2`log3`3= 1 2 이므로 (분모) =log3`j5-log9`3 =log3`52!-1₂=1₂{log3`5-1} / (주어진 식)=2{log3`5-1} 1 2{log3`5-1} =4

⑷ log2`1₃\log3`1₄\log4`1₅\log5`1₆

={-log2`3}\{-log3`4}\{-log4`5}\{-log5`6} =log2`3\log3`4\log4`5\log5`6

밑이 10인 로그로 통일하면

log10`3_log10`2\log10`4_log10`3\log10`5_log10`4\log10`6_log10`5 =log10`6

log10`2=log2`6 note ⑵, ⑶에서 logaM`bN=n

m`loga`b를 이용하면 log25`8₃=log5@`8₃=1₂`log5`8₃

log9`3=log3@`3=1₂`log3`3=1₂ 유제

3-2

log8`125=log2#`5#=log2`5이므로 2`log2`j10k+log2`6-log8`125 =log2`10+log2`6-log2`5 =log2`10\6₅ =log2`12 / 22`log2`j10k+log2`6-log8`125=2log2`12₌₁₂ 21쪽 예제

4

⑴ ① log10`72 =log10`{2#\3@}=3 log10`2+2`log10`3 =3a+2b ② log10`60 =log10`{6\10}=log10`{2\3\10} =log10`2+log10`3+log10`10=a+b+1 ③ log10`1.08 =log10`{108\10_@}=log10`{2@\3#\10_@} =2`log10`2+3`log10`3-2`log10`10 =2a+3b-2 ⑵ log42`56 =log2`56 log2`42= log2`{2#\7} log2`{2\3\7} =_{log2`2+log2`3+log2`7}3`log2`2+log2`7 =_1+a+b3+b ⑶ log2`10=a이고, log2`10=log2`{2\5}=log2`2+log2`5=1+log2`5 이므로 log2`5=a-1 / log5`50 =log2`50 log2`5 = log2`{2\5@} log2`5 =log2`2+2`log2`5_log2`5 =1+2{a-1}_a-1 =2a-1_a-1

유제

4-1

⑴ log10`54 =log10`{2\3#}=log10`2+3`log10`3 =a+3b

⑵ log10`3.6 =log10`2@\3@₁₀ =2`log10`2+2`log10`3-1 =2a+2b-1

⑶ log10`j24k =log10`{2#\3}2!=1₂{3`log10`2+log10`3} =3a+b₂ ⑷ log4`18 =log10`18 log10`4 = log10`{2\3@} log10`2@ = log10`2+2`log10`3 2`log10`2 =a+2b_{2a [}=1₂+b_{a ]} 유제

4-2

⑴ log3`2= 1 log2`3= 1 a ⑵ log2`7=log3`7 log3`2= b 1 a =ab ⑶ log3`42 =log3`{2\3\7}=log3`2+log3`3+log3`7 =1_a+b+1 유제

4-3

a=log2`10=log2`{2\5}=1+log2`5이므로 log2`5=a-1 ⑴ log5`10 =log2`10 log2`5 = aa-1 ⑵ log2`50 =log2`{2\5@}=1+2`log2`5 =1+2{a-1}=2a-1

(7)

7

/ log50`2= 1

log2`50=2a-11

22쪽 예제

5

⑴ a@b#=1에서 b#=a_@, 곧 b=a_3@이므로

logaà#b@=logaà#{a_3@}@=logaà#a_3$=logaà3%= 5 3 ⑵ ① loga`b =log10`b log10à= log10`10Y log10`10X= y`log10`10 x`log10`10= y x ② a@={10X}@=10@X, bc=10Y10Z=10y+z_이므로

loga@`bc =

log10`bc log10`a@=

log10`10y+z

log10`10@X ={y+z}`log10`10_2x`log10`10 =y+z_2x

⑶ 40X=16에서 x=log40`16=log40`2$=4`log40`2이므로 4 x= 1 log40`2=log2`40 320Y=32에서 y=log320`32=log320`2%=5`log320`2이므로 5 y= 1 log320`2=log2`320 / 4_x-5_y=log2`40-log2`320=log2`₃₂₀40 =log2`1_{8 =log2`2_#=-3}

다른 풀이 ⑵ log10`a=x, log10`b=y, log10`c=z이므로 ① loga`b=log10`b_log10`a=y_x

② loga@`bc=log10`bc log10`a@= log10`b+log10`c 2`log10`a = y+z 2x ⑶ 40X=16=2$에서 40={2$}x!=2x$ 320Y=32=2%에서 320={2%}y!=2y% 두 식을 변변 나누면 ₃₂₀40 =2x$_2y%, 1₈=2x$_y% 1 8=2_#이므로 4 x -5 y=-3 유제

5-1

⑴ log4càb =log2àb log2`4c= log2`{2X\2Y} log2`{2@\2Z} =log2`2X"Y log2`2@"Z= {x+y}`log2`2 {2+z}`log2`2= x+y 2+z ⑵ logab`b@c# =log2`b@c# log2àb = log2`{2@Y\2#Z} log2`{2X\2Y} =log2`2@Y"#Z log2`2X"Y = {2y+3z}`log2`2 {x+y}`log2`2 = 2y+3z x+y

다른 풀이 log2à=x, log2`b=y, log2`c=z이므로 ⑴ log4càb=log2àb_log2`4c=log2à+log2`b_{log2`4+log2`c}=x+y_2+z ⑵ logab`b@c#=log2`b@c# log2àb = 2`log2`b+3`log2`c log2à+log2`b = 2y+3z x+y

0

1

⑴ x>2 ⑵ 2<x<3 ⑶ 0<x<1 또는 x>1 ⑷ -1<x<5 또는 5<x<6

0

2

②

0

3

⑤

0

4

15

0

5

②

0

6

⑴ a+b-1 ⑵ 1-a+b 3

0

7

④

0

8

③

0

9

24

10

⑤

11

④

12

a=2, b=8, c=4 23~₂₄쪽 연습 문제

0

1

⑴ x-2>0이므로 x>2 ⑵ -x@+5x-6>0이므로 x@-5x+6<0 {x-2}{x-3}<0 / 2<x<3 ⑶ x>0, x=1, {x-1}@>0이므로 0<x<1 또는 x>1 ⑷ 6-x>0, 6-x=1, x+1>0이므로 -1<x<5 또는 5<x<6

0

2

log2`1

2+log2`23+log2`34+y+log2` 1516 =log2`[ 1

2\23\34\y\ 1516 ] =log2` 1

16=log2`2_$=-4

다른 풀이 log2`1₂+log2`2₃+log2`3₄+y+log2` 15 16 ={log2`1-log2`2}+{log2`2-log2`3} +{log2`3-log2`4}+y+{log2`15-log2`16} =log2`1-log2`16=0-log2`2$=-4

0

3

①, ②, ③은 공식에 의해 (참) ④ loga`b\logb`c=loga`b\loga`c loga`b=loga`c (참) ⑤ loga`c

loga`b=logb`c, loga`c-loga`b=loga` c b 곧, loga`c loga`b=loga`c-loga`b (거짓) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 유제

5-2

3.15X=100에서 x=log3.15`100, 1 x=log100`3.15 0.00315Y=100에서 y=log0.00315`100, 1 y=log100`0.00315 / 1 x -1 y =log100`3.15-log100`0.00315 =log100` 3.15 0.00315=log10@`10#= 3 2 다른 풀이 3.15=100x!, 0.00315=100y!이므로 변변 나누면 3.15 0.00315=100 x!_{_}y!_{, 10#=10@}[x!_{_}y!]_/1 x -1 y= 3 2

(8)

0

4

a=log2`{2+j3}에서 2A =2+j3 또 4A=2@A={2A}@={2+j3}@=7+4j3 / 4A+4 2A =7+4j3+ 42+j3 =7+4j3+4{2-_4-3j3}=15

0

5

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 log10à+log10`b=5, log10à`log10`b=2이므로 {log10à}@+{log10`b}@ ={log10à+log10`b}@-2`log10à`log10`b =5@-2\2=21

/ loga`b+logbà =log10`b_log10à+log10à_log10`b

={log10`b}@+{log10`a}@_{log10`a`log10`b} =21₂

0

6

⑴ log10`7 2 =log10` 35 10=log10`{5\7}-1 =log10`5+log10`7-1=a+b-1 ⑵ log10`#j14k = 1₃`log10`{2\7}=1₃{log10`2+log10`7}

=1_{3 [}log10`10₅+log10`7] =1₃{1-log10`5+log10`7}=1-a+b₃

0

7

logb`3=2를 지수로 고쳐 대입한다. logb`3=2에서 b@=3, 곧 b=32!이므로 bA={32!}log 3`7 =32! log 3`7=3`log 3`j7=j7

0

8

밑이 7인 로그로 통일한다. log2`7=a에서 log7`2=_a1

log7`9=b에서 2`log7`3=b / log7`3=b₂ 이때 log24`7=_{log7`24 이고}1 log7`24 =log7`{2#\3}=3`log7`2+log7`3 =_a3+b₂=6+ab_2a / log24`7= 2a ab+6

0

9

밑이 w인 로그로 고친다. logx`w=12에서 logw`x=_{12 yy ①}1 logy`w=8에서 logw`y=1_{8 yy ②}

logxyz`w=4에서 logw`xyz=1_{4 ,}logw`x+logw`y+logw`z=1₄ ①, ②를 대입하면 1 12+18+logw`z= 1 4 logw`z= 1 24 / logz`w=24

10

먼저 a+b, a-b를 로그로 나타낸다. 3A"B=4에서 a+b=log3`4 2A_B=5에서 a-b=log2`5 {a+b}{a-b} =log3`4\log2`5=2`log3`2\log2`5 =_{log2`3 \log2`5=2`log3`5}2 / 3a@-b@₌₃{a+b}{a-b}₌₃2`log 3`5₌₃`log 3`25₌₂₅

다른 풀이 3a@-b@_{={3A"B}A_B=4A_B=2@}{a-b}_={2a-b_}@=5@

11

먼저 비례식을 밑이 c인 로그로 정리한다.

loga`c : logb`c=2 : 1이므로 2`logb`c=loga`c _logc`b2 =_{logcà ,}1 logc`b_logcà=2 / loga`b=2 / loga`b+logbà=loga`b+ 1_loga`b=2+1₂=5₂

note 2`logb`c=loga`c에서 좌변을 밑이 a인 로그로 정리하면

2`loga`c_loga`b=loga`c loga`c=0이므로 loga`b=2

12

밑이 같은 로그로 통일한 다음 각 등식을 정리한다. logc`b loga`b=12 에서 logbà logb`c=12 , logcà=12 a=c2! / c=a@ yy ① logb`c loga`c=13 에서 logcà logc`b=13 , logbà=13 a=b3! / b=a# yy ② a, b, c는 1보다 크고 10보다 작은 자연수이므로 ②에서 a=2, b=8이고 ①에서 c=4

1

⑴ 3.24=3+0.24이므로 n=3, a=0.24 ⑵ -0.23=-1+{1-0.23}이므로 n=-1, a=0.77 ⑶ -4-0.45=-5+{1-0.45}이므로 n=-5, a=0.55

2

⑴ log`60=log`{6\10}=log`6+log`10=a+1 ⑵ log`{6\10$}=log`6+log`10$=a+4 ⑶ log`0.6=log`{6\10_!}=log`6+log`10_!=a-1 ⑷ log`{6\10_#}=log`6+log`10_#=a-3 26쪽 개념 확인

03 상용로그

(9)

9

27쪽 예제

6

⑴ 표에서 log`3.71=0.5694 ① log`{3.71\10$} =log`3.71+log`10$ =0.5694+4=4.5694

② log`37.12! =1₂`log`{3.71\10}=1₂{log`3.71+log`10} =1_{2 {0.5694+1}=0.7847} ③ log{3.71\10_@} =log`3.71+log`10_@ =0.5694-2=-1.4306 ⑵ 표에서 log`a=0.5832이면 a=3.83 ① x=3.83\10N 꼴이고 log`x=5.5832에서 정수부분이 5이므로 n=5 / x=3.83\10%=383000 ② x=3.83\10N 꼴이고 log`x=-4+0.5832에서 정수부분이 -4이므로 n=-4 / x=3.83\10_$=0.000383 다른 풀이 ① log`x =5.5832=5+0.5832 =log`10%+log`3.83 =log`{3.83\10%} / x=3.83\10%=383000 ② log`x =-4+0.5832=log`10_$+log`3.83 =log`{3.83\10_$} / x=3.83\10_$=0.000383 유제

6-1

표에서 log`4.27=0.6304 ⑴ log`{4.27\10@} =log`4.27+log`10@ =0.6304+2=2.6304 ⑵ log`{4.27\10$}2! =1 2{log`4.27+log`10$} =1₂{0.6304+4}=2.3152 ⑶ log`{4.27\10_#} =log`4.27+log`10_# =0.6304-3=-2.3696 유제

6-2

⑴ 표에서 log`a=0.6484이면 a=4.45 log`x=3.6484에서 정수부분이 3이므로 x=4.45\10#=4450 ⑵ log`x=-5+0.6484이므로 정수부분이 -5이다. / x=4.45\10_%=0.0000445 다른 풀이 ⑴ log`x =3+0.6484=log`10#+log`4.45 =log`{4.45\10#} / x=4.45\10#=4450 ⑵ log`x =-5+0.6484=log`10_%+log`4.45 =log`{4.45\10_%} / x=4.45\10_%=0.0000445 28쪽 예제

7

⑴ log`6@) =20`log`{2\3}=20{log`2+log`3} =20{0.301+0.477}=15.56 에서 정수부분이 15이므로 6@)은 16자리 정수 ⑵ log`[ 1 12 ]!) =log`12_!)=-10`log`{2@\3} =-10{2\0.301+0.477}=-10.79 =-10-0.79=-11+0.21 에서 정수부분이 -11이므로 [ 1 12 ]!)은 소수 11째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다. ⑶ log`5!@ =12`log`5=12`log`10 2=12{log`10-log`2} =12{1-0.301}=8.388 에서 정수부분이 8이므로 5!@은 9자리 정수 또 5!@=a\10* {1<a<10}, log`a=0.388이고 log`2<log`a=0.388<log`3이므로 2<a<3 곧, 2\10*<5!@<3\10*이므로 5!@의 최고자리 숫자는 2이다.

3

⑴ log`30=log`{3\10}=log`3+log`10=log`3+1 log`30=b이므로 log`3=b-1 ⑵ log`3000 =log`{3\10#}=log`3+log`10# ={b-1}+3=b+2 ⑶ log`0.03 =log`{3\10_@}=log`3+log`10_@ ={b-1}-2=b-3

4

⑴ 상용로그의 정수부분이 3이므로 A는 정수부분이 4자리이다. ⑵ 상용로그의 정수부분이 7이므로 B는 정수부분이 8자리이다.

5

⑴ 상용로그의 정수부분이 -2이므로 A는 소수 2째 자리에 서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다. ⑵ 상용로그의 정수부분이 -4이므로 B는 소수 4째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다.

6

⑴ logà=0.7에서 logà+2=2.7이고 logà+2=logà+log`10@=log`{a\10@} / A=a\10@(또는 100a} ⑵ logà=0.7에서 logà-4=-4+0.7이고 logà-4=logà+log`10_$=log`{a\10_$} / B=a\10_$[또는 a 10000 ]

(10)

유제

7-1

⑴ log`2^$=64`log`2=64\0.301=19.264 에서 정수부분이 19이므로 2^$은 20자리 정수 ⑵ log`12#) =30`log`{2@\3}=30{2\0.301+0.477}=32.37 에서 정수부분이 32이므로 12#)은 33자리 정수 유제

7-2

⑴ log`[ 1 2@ ]!) =log`2_@)=-20\0.301 =-6.02=-7+0.98 에서 정수부분이 -7이므로 0.25!)은 소수 7째 자리에서 처음 으로 0이 아닌 숫자가 나온다. ⑵ log`[ 1 2\3@]#) =-30`log`{2\3@}=-30{0.301+2\0.477} =-37.65=-38+0.35 에서 정수부분이 -38이므로 [ 1 18 ]#)은 소수 38째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다.

유제

7-3

log`15( =9`log`[3\ 10_{2 ]}=9{log`3+log`10-log`2} =9{0.477+1-0.301}=10.584

에서 15(=a\10!) {1<a<10}, log`a=0.584이다. 이때 log`4=log`2@=2`log`2=0.602이므로 log`3<log`a=0.584<log`4 / 3<a<4 곧, 3\10!)<15(<4\10!)이므로 15(의 최고자리 숫자는 3이다. 29쪽 예제

8

⑴` log`4M의 정수부분이 7이므로 7<log`4M<8, 7<m`log`4<8 log`4=log`2@=2`log`2=0.602이므로 7 0.602<m< 80.602 / 11.\\\<m<13.\\\ m은 자연수이므로 m=12, 13 ⑵ log`[ k_{10 ]!)}의 정수부분이 -6이므로 -6<log`[ k 10 ]!)<-5, -6<10`log` k 10<-5 -6<10{log`k-log`10}<-5 -0.6<log`k-1<-0.5 / 0.4<log`k<0.5 log`2=0.301, log`3=0.477, log`4=2`log`2=0.602이고,

k가 자연수이므로 k=3 ⑶ log`x@-log`jx k=2`log`x- 1 2 log`x= 3 2`log`x가 정수이다. log`10=1, log`100=2이므로 1<log`x<2 / 3 2< 3 2`log`x<3 3 2`log`x가 정수이므로 3 2`log`x=2, log`x= 4 3 / x=10 3$ 유제

8-1

a!))이 150자리 정수이므로 149<logà!))<150 149<100`logà<150 / 1.49<logà<1.5 log`1_a=-logà이므로 -1.5<log`1_{a <}-1.49 / -2+0.5<log`1 a<-2+0.51 따라서 정수부분이 -2이므로 `1 a은 소수 2째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다. 유제

8-2

log`x-log`_x1=log`x+log`x=2`log`x가 정수이다. 100<x<1000에서 2<log`x<3 / 4<2`log`x<6 2`log`x가 정수이므로 2`log`x=5, log`x=5 2 / x=10 2% 30쪽 예제

9

두 지반 A, B의 유효수직응력을 Sa, Sb, 저항력을 Ra, Rb, 상 대밀도를 Da, Db라 하면

Sa=1.44Sb, Ra=1.5Rb, Db=65 `yy ① Db=65이므로 65=-98+66`log`Rb jSbk yy ② Da=-98+66 log`Ra jSak에 ①을 대입하면 Da =-98+66`log` 1.5Rb j1.44Sbl=-98+66`log`1.21.5RbjSbl =-98+66`log`[5₄\Rb jSbk ] =-98+66[log`5₄+log`Rb jSbk ] =-98+66`log` Rb jSbl+66`log`54 ②를 대입하면 Da =65+66`log`5 4=65+66`log` 10 8 =65+66{log`10-log`2#} =65+66{1-3\0.3}=71.6{%} 유제

9-1

두 열차 A, B가 지점 P를 통과할 때의 속력을 va, vb, 최고소음도를 La, Lb라 하면 va=0.9vb, d=75 La=80+28 log` va 100-14 log` 75 25 yy ① Lb=80+28 log` vb 100-14 log` 75 25 va=0.9vb를 ①에 대입하면 La=80+28 log`0.9vb 100 -14 log` 75 25

(11)

11

/ Lb-La =28 [log` vb 100-log` 0.9vb 100 ] =28`log` vb 100 0.9vb 100 =28`log`_0.91 =28`log`10₉=28{log`10-2`log`3} =28{1-2\0.48}=1.12{dB}

0

1

⑴ -0.0855 ⑵ 583 ⑶ 0.057

0

2

⑴ 2.8274 ⑵ -0.1726 ⑶ 0.4137

0

3

⑴ 10자리 ⑵ 소수 14째 자리

0

4

②

0

5

⑤

0

6

④

0

7

a=9, b=2

0

8

②

0

9

②

10

10시간 31~₃₂쪽 연습 문제

0

1

⑴ log`5.54=0.7435이므로 log`#j0.554l =log`{10_!\5.54}3! =1₃{-1+0.7435}=-0.0855 ⑵ log`x=2+0.7657이고 log`5.83=0.7657이므로 log`x =2+log`5.83=log`{10@\5.83}=log`583 / x=583 ⑶ log`y=-1.2441=-2+0.7559이고 log`5.70=0.7559이므로 log`y =-2+log`5.70 =log`{10_@\5.70}=log`0.057 / y=0.057

0

2

log`67.2=1.8274에서 log`67.2=log`{10\6.72}=1+log`6.72 이므로 log`6.72=0.8274 ⑴ log`672=log`{100\6.72}=2+log`6.72=2.8274 ⑵ log`0.672=log`{10_!\6.72}=-1+0.8274=-0.1726 ⑶ log`j6.72l =log`6.722!=1 2 log`6.72 =1₂\0.8274=0.4137 다른 풀이 ⑴ log`672 =log`{10\67.2} =1+log`67.2=2.8274 ⑵ log`0.672=log`{10_@\67.2}=-2+1.8274=-0.1726

0

3

⑴ log`9!)=log`3@)=20`log`3=20\0.477=9.54 에서 정수부분이 9이므로 9!)은 10자리 정수이다. ⑵ log`20_!) =-10`log`{2\10}=-10{0.301+1} =-13.01=-14+0.99 에서 정수부분이 -14이므로 20_!)은 소수 14째 자리에서 처 음으로 0이 아닌 숫자가 나온다.

0

4

log`n의 정수부분이 1이므로 1<log`n<2 / 10<n<10@=100 n=10, 11, 12, y, 99이므로 a=90 log`_{m 의 정수부분이}1 -1이므로 -1<log`1 m<0, 1 10< 1m<1 / 1<m<10 m=2, 3, 4, y, 10이므로 b=9 / a+b=99

0

5

log2à의 정수부분이 4이므로 4<log2à<5 2$<a<2% / 16<a<32 yy ① log3à의 정수부분이 3이므로 3<log3à<4 3#<a<3$ / 27<a<81 yy ② ①, ②의 공통부분은 27<a<32이므로 자연수 a의 최댓값은 31 이다.

0

6

A가 n자리 자연수이면 n-1<logÀ<n a!)이 10자리 자연수이므로 9<logà!)<10, 9<10`logà<10 / 0.9<logà<1 yy ① b@)이 15자리 자연수이므로 14<log`b@)<15, 14<20`log`b<15 / 0.7<log`b<0.75 yy ② ①+②를 하면 1.6<logà+log`b<1.75 1.6<logàb<1.75 / 80<50`logàb<87.5 곧, log`{ab}%)의 정수부분은 최댓값이 87, 최솟값이 80이다. 따라서 자연수 k의 최댓값은 88, 최솟값은 81이므로 그 합은 88+81=169

0

7

자릿수는 상용로그의 정수부분, 최고자리 숫자는 상용 로그의 소수부분으로 생각한다. log`7!)=10`log`7=10\0.8451=8.451 에서 정수부분이 8이므로 7!)은 9자리 정수이다. / a=9 또 7!)=c\10* {1<c<10}, log`c=0.451이고 log`2<log`c=0.451<log`3이므로 2<c<3 곧, 2\10*<7!)<3\10*이므로 7!)의 최고자리 숫자는 2이다. / b=2

0

8

x=a\10N {1<a<10, n은 정수} 꼴로 고치고 f{x}를 구한다. x=a\10N {1<a<10, n은 정수}라 하면 log`x=logà+n, 0<logà<1이므로 [ log`x]=n / log`x-[ log`x]=logà ① x=1.2\10_@이므로 f{x}=log`1.2

(12)

0

1

{#jn k}M이므로 #jn k이 자연수일 때와 아닐 때로 나눈다. #jnMk={#jn k}M에서 ! #jn k이 자연수일 때, n=1 또는 n=8 m=1, 2, 3에 대해 모두 성립하므로 순서쌍 {m, n}은 2\3=6(개)이다. @ #jn k이 자연수가 아닐 때, #jnMk=nm3_에서m 3 이 자연수이면 된다. 따라서 m=3이고, n=2, 3, 4, 5, 6, 7이므로 순서쌍 {m, n}은 6개이다. !, @에서 순서쌍 {m, n}은 모두 12개이다.

0

2

|x|_a +|y|_b =1의 그래프를 생각한다. |x| [1_{2 ]_@N"!}+ |y| [1_{2 ]_@N}=1에 x=0을 대입하면 y=-[1_{2 ]_@N} y=0을 대입하면 x=-[1_{2 ]_@N"!} 따라서 방정식이 나타내는 그래 x O y A B C D [2!]_@N"! [2!]_@N -[2!]_@N"! -[2!]_@N 프로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림과 같은 마름모 ABCD이 고 넓이 Sn은 Sn =4\1 2\OCZ\ODZ =4\1₂\[1_{2 ]_@N"!}\[1_{2 ]_@N} =2\2@N_!\2@N=2$N log2`Sn=log2`2$N=4n 주어진 조건에서 4n>100 / n>25 따라서 자연수 n의 최솟값은 26이다.

0

3

먼저 a, b를 log`2, log`7로 나타낸다. a=log`8₇=3`log`2-log`7 b=log`50₄₉=log` 10@ 2\7@=2-log`2-2`log`7 이므로 log`2=x, log`7=y라 하면 3x-y=a yy ① 2-x-2y=b, x+2y=-b+2 yy ②

0

1

⑤

0

2

26

0

3

⑴ 2a-b+2₇ ⑵ -a-3b+6₇

0

4

③

0

5

⑤

0

6

7

0

7

193

0

8

③ 실력 문제 _34~35쪽 33쪽

1-1

⑴ 10log2`3_\3-log2`10 ₌₁₀log2`3_\10-log2`3₌₁₀₎₌₁

⑵ 4`log6`10_\9log6`10 ₌₁₀log6`4_\10log6`9₌₁₀log6`4+log6`9

=10log6`{4\9}₌₁₀log6`6@_=10@=100

2-1

⑴ f{10}은 log2`10과 log2`21 사이의 정수이다. 2#<10<2$<21<2%이므로 3<log2`10<4<log2`21<5 / f{10}=4 ⑵ f{n}=5이면 log2`n<5<log2`{2n+1}이다. 따라서 n<2%이고 2%<2n+1이면 된다. 곧, 31 2<n<32이므로 자연수 n은 16, 17, y, 31이다. 따라서 n은 16개이다. ② x=8.24\10_!이므로 f{x}=log`8.24 ③ f{x}=log`1.96 ④ x=5.6\10이므로 f{x}=log`5.6 ⑤ x=4.7\10@이므로 f{x}=log`4.7 log`8.24의 값이 가장 크므로 x=0.824일 때 f{x}의 값이 가장 크다.

note log`x-[ log`x]는 log`x의 소수부분이다.

0

9

0<log`x<1이고 log`x+log`x@은 정수이다.

log`x+log`x@=log`x#=3`log`x는 정수이다. 1<x<10에서 0<log`x<1, 0<3`log`x<3 3`log`x는 정수이므로 3`log`x=1 또는 3`log`x=2 3`log`x=1일 때, log`x=1 3 / x=10 3! 3`log`x=2일 때, log`x=2_{3 /}x=103@ 따라서 x의 값의 곱은 103!\103@=103!"3@=10

10

log`_C0C=-kt에서 C, C0, t에 해당하는 값을 대입하여 k의 값부터 구한다. log`_C0C=-kt yy ① C0=8\10%이고, t=3일 때 C=2\10%이므로 ①에 대입하면 log`2\10% 8\10%=-3k, -3k=log`2_@=-2 log`2 / k=2 3`log`2= 2 3\0.3=0.2 t시간이 지나는 순간 박테리아 수가 8\10#이면 log`8\10# 8\10%=-0.2t, -0.2t=log`10_@=-2 / t=10 따라서 10시간 후이다.

(13)

13

⑴ ①\2+②를 하면 7x=2a-b+2 / x=log`2=2a-b+2 7 ⑵ x를 ①에 대입하고 정리하면 y=log`7=-a-3b+6 7

0

4

9=3@, 27=3#이므로 밑이 3인 로그를 생각한다. 주어진 두 식을 각각 밑이 3인 로그로 고친다. ab c =9에서 log3à+log3`b-log3`c=2 yy ① aX=bY=cZ=27에서 x`log3à=y`log3`b=z`log3`c=3 / log3à=_{x ,}3 log3`b=3_{y ,}log3`c=3_z yy ② ②를 ①에 대입하면

3

x+3y-3z=2 / x1+1y-1z=23

다른 풀이 ! aX=bY=cZ=27에서 x=loga`27, y=logb`27, z=logc`27 / 1 x+ 1 y -1 z =log27`a+log27`b-log27`c =log27`ab_c =log27`9=log3#`3@=2₃ @ aX=bY=cZ=3#이므로 a=3x#, b=3y#, c=3z# ab c =9에 대입하면 3x#"y#_z#=3@, 3_x+3_y-3_z=2 / 1 x+ 1 y -1 z= 2 3

0

5

loga`b=_{logb`a 이므로}1 loga`b부터 구한다.

loga`b$=logb`a(에서 4`loga`b=9`logb`a, 4`loga`b= 9 loga`b {loga`b}@=9 4 / loga`b=-3 2 ! loga`b=3 2 일 때, b=a 2#_{/ b@=a#} 곧, a는 제곱수이고, b는 세제곱수이다. b는 1보다 크고 100보다 작은 자연수이므로 가능한 경우는 2#, 3#, 4# 이때 a는 2@, 3@, 4@ @ loga`b=-3 2 일 때, b=a_ 2#_{/ b@=}1 a# a가 1보다 크므로 1 a#은 1보다 작다. 따라서 가능한 a, b는 없다. !, @에서 a+b의 최댓값은 a=16, b=64일 때 80이다.

0

6

㈏에서 log`x@과 log`1_{x 의 소수부분이 같으므로}log`x@

과 log`_{x 의 차를 생각한다.}1 ㈎에서 2<log`x<3 yy ① ㈏에서 log`x@-log`1 x=[log`x@]-{log` 1 x } yy ② ②에서 우변이 정수이므로 log`x@-log`_x1=log`x#=3`log`x는 정수이다. ①에서 6<3`log`x<9이므로 3`log`x=6, 7, 8 log`x=2, 7 3 , 8 3 / x=10@, 10 3&_{, 10}3*

이때 M=10@\103&\103*=10@"3&"3*=10&이므로 log`M=log`10&=7

0

7

log2`x의 정수부분이 k이면 k<log2`x<k+1 f{x}=k이면 k<log2`x<k+1, 2K<x<2K"!이다. 따라서 2)<x<2!일 때 0<log2`x<1, f{x}=0 2!<x<2@일 때 1<log2`x<2, f{x}=1 2@<x<2#일 때 2<log2`x<3, f{x}=2 ⋮ 2%<x<50일 때 5<log2`x<6, f{x}=5 / f{1}+f{2}+f{3}+y+f{49}+f{50} ={2-1}\0+{2@-2}\1+{2#-2@}\2 +{2$-2#}\3+{2%-2$}\4+{50-2%+1}\5 =0+2\1+4\2+8\3+16\4+19\5=193

0

8

소수부분이 같으면 숫자 배열이 같다. 숫자 배열이 같으면 소수부분이 같으므로 f{1}=f{10}=f{100} f{2}=f{20} f{3}=f{30} ⋮ f{9}=f{90} f{11}=f{110} ⋮ f{15}=f{150} 따라서 집합 A의 원소의 개수는 150-14-1=135 note f{10}과 f{100}은 첫 줄에 있으므로 개수를 셀 때 주의한다.

(14)

1

y=2X yy ① 의 그래프는 다음 그림과 같다. O y x -1 -1 -2 1 1 2 ⑴ ① ⑵ O y x 1 1 -1 -1 2 2 ⑷ ① ⑶

⑴ -y=2X이므로 y에 -y를 대입한 꼴이다. 곧, ①의 그래프를 x축에 대칭이동한다. ⑵ y=2_X은 x에 -x를 대입한 꼴이다. 곧, ①의 그래프를 y축에 대칭이동한다. ⑶ ①의 그래프를 x축 방향으로 1만큼 평행이동한다. ⑷ y+2=2X"!이므로 ①의 그래프를 x축 방향으로 -1만큼, y축 방향으로 -2만큼 평행이동한다.

2

y=[ 1 2 ]X yy ① 의 그래프는 다음 그림과 같다. O y x -1 -1 -2 1 1 2 ⑵ ① ⑴ O y x -1 -1 1 1 2 3 ⑷ ⑶ ①

⑴ -y=[ 1_{2 ]X}이므로 y에 -y를 대입한 꼴이다. 곧, ①의 그래프를 x축에 대칭이동한다. ⑵ y=2X=[ 1 2 ]_X이므로 x에 -x를 대입한 꼴이다. 곧, ①의 그래프를 y축에 대칭이동한다. ⑶ y+2=[ 1 2 ]X이므로 ①의 그래프를 y축 방향으로 -2만큼 평 행이동한다. ⑷ y-1=[ 1 2 ]X_!이므로 ①의 그래프를 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 1만큼 평행이동한다. 40쪽 예제

1

! x<0일 때 f{x}=x+2이므로 y=21-{x+2}₌₂-x-1₌₂-{x+1} 곧, y=2-x_{의 그래프를 x축 방향으로 -1만큼 평행이동한다.} @ x>0일 때 f{x}=-2x+2이므로 y=21-{-2x+2}₌₂2x-1₌₂2[x-2!]₌₄x-2! 곧, y=4X의 그래프를 x축 방향으로 1 2만큼 평행이동한다. O y x -1 1 2! 2! y=2_{X"!} y=4X_2! !, @에서 y=21-f{x}_{의 그래프의 개형은 위의 그림과 같으므로} 옳은 것은 ③이다. 유제

1-1

! x<1일 때 f{x}=-x+1이므로 y=2-x+1₌₂-{x-1} 곧, y=2-x_{의 그래프를 x축 방향으로 1만큼 평행이동한다.} @ x>1일 때 f{x}=x-1이므로 y=2X_! 39쪽 개념 확인

01 지수함수

02

지수함수와 로그함수

3

y=3X의 그래프를 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 3만 큼 평행이동한 그래프의 식은 y-3=3X"@이므로 y=3@\3X+3=9\3X+3 / a=9, b=3

4

[ 1_{9 ]X}={3_@}X=3_@X이므로 y=3_@X의 그래프를 x축 방향으 로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3-2{x-3}_{, 곧 y=3}-2x+6_{yy ①} ①의 그래프를 y축에 대칭이동한 그래프의 식은 y=3-2{-x}+6_{, 곧 y=3}2x+6 / a=2, b=6

5

f{x}=2X이라 하면 a=f{0}=2)=1, b=f{2}=2@=4 c=f{b}=f{4}=2$=16

6

0<p@-p+1<1이다. ! 0<p@-p+1에서 p@-p+1=[p- 1 2 ]@+34>0 곧, 이 부등식은 항상 성립한다. @ p@-p+1<1에서 p@-p<0 p{p-1}<0 / 0<p<1 !, @에서 0<p<1

(15)

02. 지수함수와 로그함수

15

곧, y=2X의 그래프를 x축 방향으로 1만큼 평행이동한다. O y x 1 2 1 2 y=2X_! y=2_{X_!} !, @에서 y=2f{x}_{의 그래프의 개형은 위의 그림과 같으므로 옳} 은 것은 ①이다. 41쪽 예제

2

⑴ f{b}=3, f{c}=6이므로 aB=3, aC=6 변변 곱하면 aB"C=18이므로 f{b+c}=aB"C=18 f [ b+c 2 ]=a b+c 2 _={aB"C}2!₌₁₈2!₌j18k=3j2 / f{b+c}+j2 f [ b+c 2 ]=18+j2\3j2=24 ⑵ y=3X_@의 그래프는 y=3X"!의 O y x y=3X_@ y=3X"! 3 A B C 그래프를 x축 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 ACZ=3 따라서 A{a, 3A"!}이라 하면 B{a, 3A_@}, C{a+3, 3A"!} 이때 ABZ=ACZ=3이므로 3A"!-3A_@=3 3\3A-1 9\3A=3, 26 9\3A=3 / 3A= 27 26 따라서 A의 y좌표는 3A"!=3\3A=81

26 유제

2-1

주어진 함수를 y=f{x}라 하자. f{a}=p, f{b}=q이므로 [ 1 2 ]A=p, [ 12 ]B=q 변변 곱하면 [ 1 2 ]A"B=pq 이때 pq=16=2$이므로 [ 1 2 ]A"B=2$ / a+b=-4 유제

2-2

y=2X_@의 그래프는 O y x Pk Qk y=k k 2 y=2X y=2X_@ y=2X의 그래프를 x축 방향으로 2만 큼 평행이동한 것이므로 PkQkZ=2 또 원점 O와 PkQkZ 사이의 거리는 k 이다. / Ak=1 2\2\k=k / A1+A4+A7+A10=1+4+7+10=22 42쪽 예제

3

⑴ ① y=2_X3X=[ 3 2 ]X O y x 1 2 -1 y=[2#]X 4( 3@ -1<x<2에서 y=[ 3 2 ]X의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=2일 때 최댓값은 [ 3 2 ]@= 9 4 x=-1일 때 최솟값은 [ 3 2 ]_!= 2 3 ② y=3-{x-2}₌_{[ 1} 3 ]X_@ O y x 3 y=[3!]X_@ 3 1 3! 1<x<3에서 y=[ 1 3 ]X_@의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=1일 때 최댓값은 [ 1 3 ]_!=3 x=3일 때 최솟값은 [ 1 3 ]!= 1 3

note a<x<b에서 y=aX의 최대, 최소

! a>1이면 증가하는 함수이므로 x=a일 때 최소, x=b일 때 최대 @ 0<a<1이면 감소하는 함수이므로 x=a일 때 최대, x=b일 때 최소 ⑵ 2X"@=2X 2@=4\2X, 4X={2@}X={2X}@ 이므로 2X=t로 놓으면 주어진 함수는 y=1+4t-t@=-{t-2}@+5 yy ① 이때 t=2X은 증가하는 함수이고, x=-1일 때 t=1 2, x=2일 때 t=4 따라서 -1<x<2에서 1 2<t<4 y t 2 4 2! 1 5 11 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\₄ O y=-{t-2}@+5 이 범위에서 ①의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 t=2{x=1}일 때 최댓값은 5 t=4{x=2}일 때 최솟값은 -2@+5=1 ⑶ x@-4x+2=t로 놓으면 주어진 함수는 y=aT이고, t={x-2}@-2>-2 이때 y=aT {t>-2}의 최댓값이 O y t y=aT -2 1 4 4이므로 오른쪽 그림과 같이 0<a<1이다. t=-2일 때 y=4이므로 a_@=4, a@=1 4 0<a<1이므로 a= 1₂

(16)

유제

3-1

⑴ y=[ 1 2 ]!_@X+1=[ 12 ] -2[x-2!] +1=4x-2!+1 -1<x<1에서 y=4x-2!+1의 그래 O y x 1 -1 3 8( y=4X_2!+1 프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=1일 때 최댓값은 41-2!+1=3 x=-1일 때 최솟값은 4-1-2!+1=9₈ ⑵ y=3X_@ 5_X=3X\3_@\[ 1 5 ]X=3@1[ 35 ]X=19 [35 ]X 1<x<3에서 y=1 9 [35 ]X의 그래프 O y x 1 3 1 \\\\\\\\\\\\\\\\\\ 15 3 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 125 y=9![5#]X 는 오른쪽 그림과 같으므로 x=1일 때 최댓값은 1 9 [ 3 5 ]!= 1 15 x=3일 때 최솟값은 1 9 [35 ]#= 3 125 ⑶ x@+2x-1=t로 놓으면 O t x -1 -2 -2 -12 7 t={x+1}@-2 주어진 함수는 y=3T이고, t={x+1}@-2 yy ① -2<x<2에서 ①의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. / -2<t<7 이때 y=3T은 증가하는 함수이므로 t=7{x=2}일 때 최댓값은 3&=2187 t=-2{x=-1}일 때 최솟값은 3_@=1 9 유제

3-2

4X_!=4X\4_!={2@}X\1₄=1₄\{2X}@ 2X"!=2\2X 이므로 2X=t로 놓으면 주어진 함수는 y=1 4 t@+2t-1= 1 4{t+4}@-5 yy ① 이때 t=2X은 증가하는 함수이고, x=-1일 때 t=1_{2 , x=1일 때 t=2} 따라서 -1<x<1에서 1 2<t<2 이 범위에서 ①의 그래프는 오른쪽 그 O y t 2 -4 -5 1 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 16 2! 4 y=4!{t+4}@-5 림과 같으므로 t=2{x=1}일 때 최댓값은 1₄\6@-5=4 t=1₂{x=-1}일 때 최솟값은 1 4\[ 92 ]@-5= 1 16 유제

3-3

-x@+4x+a=t로 놓 O t x 2 3 a a+3 a+4t=-{x-2}@+a+4 으면 주어진 함수는 y=2T이고, t=-{x-2}@+a+4 yy ① 0<x<3에서 ①의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. / a<t<a+4 이때 y=2T은 증가하는 함수이고, t=a일 때 최소이다. 최솟값이 4이므로 2A=4 / a=2

따라서 y=2-x@+4x+a_{의 최댓값은 t=a+4=6일 때 2^=64}

43쪽 예제

4

⑴ 직선 y=x를 이용하여 a2, a3,

O y x 2 y=3_X a1 a1 a2 a3 a2 a3 a4 y=x a4를 y축 위에 차례로 나타내 면 오른쪽 그림과 같으므로 a3<a4<a2 ⑵ P의 x좌표를 a라 하면 Q의 x좌표는 2a이다. P, Q는 곡선 y=k\3X 위의 점이므로 P{a, k\3A}, Q{2a, k\3@A} 이때 P가 곡선 y=3_X 위의 점이므로 k\3A=3_A / 3@A=1_k yy ① 또 Q가 곡선 y=-4\3X+8 위의 점이므로 k\3@A=-4\3@A+8 ①을 대입하면 k\1 k=-4\ 1 k+8, 4 k=7 / k= 4 7 유제

4-1

h{2}=2이므로 R{2, 2}이고, h{x}=aX에서 a@=2 또 곡선 y=f{x}와 y=h{x}는 y축에 대칭이므로

P{-2, 2} Q의 x좌표를 t {t>0}이라 하면 PQZ : QRZ=2 : 1이므로 {t+2} : {2-t}=2 : 1 t+2=2{2-t} / t=2₃ 곧, Q[2₃, 2]이므로 g{x}=bX에서 2=b3@\ / b@=2# / g{4}+h{4} =b$+a$={b@}@+{a@}@ ={2#}@+2@=68

(17)

17

0

1

① y=1 2X=2_X이므로 y=2X의 그래프를 y축에 대칭이동한 것이다. ② y=j2\2X=22!\2X=2X"2!이므로 y=2X의 그래프를 x축 방 향으로 -1 2만큼 평행이동한 것이다. ③ y={j2}X={22!}X=22!X

④ y=-2X에서 -y=2X이므로 y=2X의 그래프를 x축에 대칭이 동한 것이다. ⑤ y=2@X={2@}X=4X 따라서 평행이동하거나 대칭이동하여 y=2X의 그래프와 겹칠 수 없는 것은 ③, ⑤이다.

0

2

밑이 1보다 작으므로 O y x k y=[1_{7 ]X_!+k의 그래프가 제1사분면을} 지나지 않으려면 오른쪽 그림과 같아야 한다. 곧, x=0일 때 y<0이므로 [1_{7 ])_!}+k<0 / k<-7 따라서 k의 최댓값은 -7이다.

0

3

3x-6=0, 곧 x=2이면 a의 값에 관계없이 a#X_^=a)=1

곧, 함수 y=a#X_^+1에서 x=2이면 a의 값에 관계없이 y=2이다. 따라서 그래프는 점 {2, 2}를 항상 지난다.

0

4

y=2X_@의 그래프는 y=2X의 그래 O y x 1 4 4 2 C B B' D A y=2X y=2X_@ 프를 x축 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 ABZ=CDZ=2이고, 오른쪽 그 림에서 빗금친 두 부분의 넓이가 같다. 곧, 구하는 넓이를 S라 하면 S는 직사 각형 CBB'D의 넓이와 같다. 점 B의 y좌표가 1이므로 2X_@=1=2) / B{2, 1} 점 C의 x좌표가 2이므로 y=2@=4 / C{2, 4} 따라서 CDZ=2, BCZ=4-1=3이므로 S=fCBB'D=2\3=6

0

1

③, ⑤

0

2

①

0

3

{2, 2}

0

4

6

0

5

②, ④

0

6

⑤

0

7

③

0

8

-1

0

9

④

10

⑤

11

14 44~₄₅쪽 연습 문제

0

5

① f{2x}=2@X, 9 f{x}0@={2X}@=2@X ② f{x#}=2x#_{, f{3x}=2#X이므로 f{x#}=f{3x}} ③ f{x+y}=2X"Y, f{x}f{y}=2X\2Y=2X"Y ④ f{xy}=2XY, f{x}+f{y}=2X+2Y이므로 f{xy}=f{x}+f{y} ⑤ f{-x}=2_X, 1 f{x}= 1 2X=2_X 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

0

6

y=2x@\[1 2 ]@X_#=2x@\2-2x+3=2x@-2x+3 x@-2x+3=t로 놓으면 주어진 함수는 y=2T이고, t={x-1}@+2>2 이때 y=2T은 증가하는 함수이므로 t=2일 때 최솟값은 2@=4

0

7

2를 3f 꼴로 고친다. 2=3`log3`2_이므로 y=2\3X+1=3x+log3`2₊₁

곧, y=3X의 그래프를 x축 방향으로 -log3`2만큼, y축 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로

a=-log3`2, b=1

/ 3A\3B =3-log3`2_\3!=3`log3`2_!_\3

=2_!\3=3₂

다른 풀이 y=3X의 그래프를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으 로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3X_A+b=3_A\3X+b y=2\3X+1과 비교하면 3_A=2, b=1 / a=-log3`2, b=1

0

8

밑이 1보다 크므로 x가 커지면 y도 커진다. 2x@-4x+a=t로 놓으면 주어진 O t x 3 2 1 a+6 a-2 a t=2{x-1}@+a-2 함수는 y=3T이고, t=2{x-1}@+a-2 yy ① 2<x<3에서 ①의 그래프는 오른 쪽 그림과 같다. / a<t<a+6 이때 y=3T은 증가하는 함수이므로 t=a+6{x=3}일 때 최댓값은 y=3A"^ t=a{x=2}일 때 최솟값은 y=3A 조건에서 3A"^\3A=81이므로 3@A"^=3$, 2a+6=4 / a=-1

(18)

0

9

지수 |x-2|+1의 범위부터 구한다. |x-2|+1=t yy ① O t x 2 3 1 2 3 t=|x-2|+1 로 놓으면 주어진 함수는 y=aT이고, 0<x<3에서 ①의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 1<t<3 이때 y=aT에서 ! a>1이면 y=aT은 증가하는 함수이 므로 t=3{x=0}일 때 최대이고, 최댓값은 a# 그런데 조건에서 a#=1_{4 이고}a<1이므로 모순이다. @ 0<a<1이면 y=aT은 감소하는 함수이므로 t=1{x=2}일 때 최대이고, 최댓값은 a 이때 조건에서 a=1 4 따라서 y=[1 4 ]T이고, t=3일 때 최소이므로 최솟값은 [1 4 ]#= 1 64

10

P{a, 2A}으로 놓고 선분 OP와 곡선 y=[1_{4 ]X의 교점}

의 좌표를 a로 나타낸다.

선분 OP와 y=[1_{4 ]X의 그래프의 교점을}Q라 하자.

P의 좌표를 {a, 2A}이라 하면 Q는 선분 OP를 1 : 3으로 내분하 므로 Q[a_{4 ,}2A_{4 ]} 이때 Q는 곡선 y=[1_{4 ]X 위의 점이므로} 2A 4=[ 1 4 ] 4A , 2A_@=2-2\4A a-2=-a_{2 /}a=4₃

11

y=aX의 그래프와 y=a_X의 그래프는 y축에 대칭이다.

H와 G의 x좌표를 k {k>0}이라 하면 EHZ=1_{2 ADZ이므로} C와 D의 x좌표는 2k이다.

/ H{k, aK}, G{k, a_K}, C{2k, a_@K}, D{2k, a@K} ADZ=4k, CDZ=a@K-a_@K이므로 fABCD=4k{a@K-a_@K} 또 EHZ=2k, GHZ=aK-a_K이므로 fEFGH=2k{aK-a_K} 조건에서 fEFGH=1_{8 f}ABCD이므로 2k{aK-a_K}=1₈\4k{a@K-a_@K} 4k{aK-a_K}=k{aK+a_K}{aK-a_K} k>0, aK-a_K=0이므로 aK+a_K=4 / IDZ+ICZ =a@K+a_@K={aK+a_K}@-2\aKa_K =4@-2=14

1

log2`1_{4 =log}2`2_@=-2, log2`1_{2 =log}2`2_!=-1 log2`1=0, log2`2=1, log2`4=log2`2@=2

이를 좌표평면 위의 점으로 나타내고⑴, 부드러운 곡선으로 연결 한다⑵. ⑴ y x 1 O 1 -1 -2 2 4 2 2! 4! ⑵ y x 1 O

2

log2!`1_{4 =log}2!`[1_{2 ]@=2, log}2!`1_{2 =1, log}2!`1=0

log2!`2=log2!`[1_{2 ]_!}=-1, log2!`4=log2!`[1_{2 ]_@}=-2

이를 좌표평면 위의 점으로 나타내고⑴, 부드러운 곡선으로 연결 한다⑵. ⑴ y x 1 -1 1 2 -2 2 4 O 2! 4! ⑵ y x 1 O

note log2!`2=log2_!`2=-1, log2!`4=log2_!`2@=-2

3

y=log2`x yy ① 의 그래프는 다음 그림과 같다. y x O ⑵ ⑴ ① -2-1 -1 1 1 2 y x O ⑶ ⑷ ① 1 1 2 3 2 3

⑴ -y=log2`x이므로 y에 -y를 대입한 꼴이다. 곧, ①의 그래프를 x축에 대칭이동한다. ⑵ x에 -x를 대입한 꼴이다. 곧, ①의 그래프를 y축에 대칭이동한다. ⑶ y=log2`{x-1}이므로 ①의 그래프를 x축 방향으로 1만큼 평 행이동한다. ⑷ y-2=log2`x이므로 ①의 그래프를 y축 방향으로 2만큼 평행 이동한다. 47쪽 개념 확인

02 로그함수

(19)

19

4

y=log2`x의 그래프를 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y-3=log2`{x+2}에서 y =log2`{x+2}+3=log2`{x+2}+log2`2# =log2`2#{x+2}=log2`{8x+16} / a=8, b=16

5

f{x}=log3`x라 하자.

f{a}=0이므로 log3`a=0 / a=1 f{9}=b이므로 b=log3`9=2 또 c=f{b}=f{2}=log3`2

6

⑴ x-3>0이므로 x>3 / 9x|x>30 ⑵ 0<2a-1<1이므로 1 2<a<1 48쪽 예제

5

y=ax+b의 그래프로부터 a<0, 0<b<1 0<b<1이므로 y=logb`x의 그래프 y x O 1 y=logb`x 의 개형은 오른쪽 그림과 같다. 또 a<0이고 ax>0이므로 x<0 곧, y=logbàx는 x<0에서 정의된 함수이다. 따라서 y=logbàx의 그래프의 개형은 y x O y=logbàx -1 y=logb`x의 그래프를 y축에 대칭이동 한 y=logb`{-x}의 그래프의 개형과 같은 꼴이므로 오른쪽 그림과 같다. 그러므로 개형으로 옳은 것은 ④이다. 유제

5-1

⑴ y=2`log2`x의 정의역은 y x y=2`log2`x O 1 2 2 9x|x>00 그래프는 y=log2`x의 그래프를 y축 방향으로 2배한 꼴이므로 오른쪽 그 림과 같다. ⑵ y=2`log2`{-x}에서 y x O -1 -2 2 y=2`log2 {-x} -x>0이므로 x<0 곧, 정의역은 9x|x<00 그래프는 ⑴의 그래프를 y축에 대 칭이동한 꼴이므로 오른쪽 그림과 같다. ⑶ y=log2`x@에서 x@>0이므로 x는 0이 아닌 실수이다. 곧, 정의역은 9x|x<0 또는 x>00 이때 y=- 2`log2`x {x>0} 2`log2`{-x} {x<0} 이므로 그래프는 다음 그림과 같다. y x y=log2`x@ O -1 -2 1 2 2 note ! x>0일 때, log2`x@=2`log2`x @ x가 0이 아닌 실수일 때, log2`x@=- 2`log2`x {x>0} 2`log2`{-x} {x<0} 유제

5-2

y=loga`{x+b}가 감소하는 함수이므로 0<a<1 또 그래프는 y=loga`x의 그래프를 x축 방향으로 -b만큼 평행 이동한 것이고, x축과 음의 부분에서 만나므로 -b<-1 / b>1 따라서 y=logb`{x+a}는 증가하는 y O 1 x y=logb`{x+a} 함수이고 그래프는 y=logb`x의 그래 프를 x축 방향으로 -a만큼 평행이동 한 꼴이므로 개형은 오른쪽 그림과 같 다. 그러므로 개형으로 옳은 것은 ④이다. note y=loga`x의 그래프를 x축 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프는 원점을 지난다. 49쪽 예제

6

⑴ y=loga`{bx-1}의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 loga`{bx-1}=0에서 bx-1=1 / x=2_b 또 y=logb`{ax-1}의 그래프의 점근선은 ax-1=0에서 x=1_a 주어진 조건을 만족하려면 2_b=1_{a / 2a=b} 또 0<a<1<b에서 0<a<1<2a / 1 2<a<1 ⑵ y=log5`x 5=log5`x-log5`5=log5`x-1 이므로 y=log5`x 5 의 그래프는 y=log5`x의 그래프를 y축 방 향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 따라서 ABZ=CDZ=1이고, 다음 그림에서 빗금친 두 부분의 넓이는 같다.

(20)

y O 1 x B A D 5 C O 1 B A D C S R R T x=1 x=5 y x=1 x=5 x 5 빗금친 부분의 넓이를 R라 하자. S-R는 삼각형 ACD의 넓이이므로 S-R=1₂\4\1=2 T+R는 평행사변형 ABDC의 넓이이므로 T+R=1\4=4 / S+T={S-R}+{T+R}=2+4=6

유제

6-1

y =log2`_{x-1 =log}2 2`2-log2`{x-1} =-log2`{x-1}+1 이므로 y=log2`_{x-1 의 그래프는}2 y O 1 x 1 2 3 2 x-1 y=log2`\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ y=-log2`x의 그래프를 x축 방향으 로 1만큼, y축 방향으로 1만큼 평행이 동한 것이다. 따라서 개형은 오른쪽 그림과 같다. 이때 x축과 만나는 점의 좌표는 _x-12 =1에서 2=x-1, x=3 / {3, 0} 정의역은 _x-12 >0에서 x-1>0 / 9x|x>10 또 점근선의 방정식은 x=1 유제

6-2

⑴ y =log3`x-1 81 =log3`{x-1}-log3`81 =log3`{x-1}-4 이므로 y=log3`x-1_{81 의 그래프는}y=log3`{x+1}의 그래프 를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 -4만큼 평행이동한 것 이다. / a=2, b=-4

⑵ 직선 y=-2x와 y=log3`x-1_{81 의 그래프가 만나는 점을}A라 하면 원점 O를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 -4만큼 평행이동한 점이 직선 y=-2x 위에 있으므로 A{2, -4} 오른쪽 그림에서 점 A를 지나 C B y O x A y=-2x y=-2x+8 y=log3`{x+1} x-1 81 y=log3`\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ -4 고 x축에 평행한 직선이 직선 y=-2x+8과 만나는 점을 B 라 하면 빗금친 두 부분의 넓 이가 같으므로 색칠한 부분의 넓이는 평행사변형 OABC의 넓이와 같다. 점 C는 직선 y=-2x+8과 x축이 만나는 점이므로 0=-2x+8에서 x=4 / C{4, 0} 따라서 색칠한 부분의 넓이는 4\4=16 50쪽 예제

7

⑴ ① 3<x<11에서 y O 2 3 x 2 11 y=log3`{x-2} y=log3`{x-2}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. x=11일 때 최댓값은 log3`{11-2}=2 x=3일 때 최솟값은 log3`{3-2}=0 ② 1<x<7에서 y O _-2 x -3 -4 -1 1 7 y=log_3!`{x+2}-2 y=log3!`{x+2}-2의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다. x=1일 때 최댓값은 log3!`{1+2}-2 =-1-2=-3 x=7일 때 최솟값은 log3!`{7+2}-2=-2-2=-4

note a<x<b에서 y=loga`x의 최대, 최소

! a>1이면 증가하는 함수이므로

x=a일 때 최소, x=b일 때 최대

@ 0<a<1이면 감소하는 함수이므로 x=a일 때 최대, x=b일 때 최소

⑵ log2`x@=2`log2`x, log2`_x4=log2`4-log2`x=2-log2`x 이므로 log2`x=t로 놓으면 주어진 함수는 y=2t{2-t}=-2t@+4t=-2{t-1}@+2 yy ① 이때 t=log2`x는 증가하는 함수이고, x=1 4 일 때 t=-2, x=4일 때 t=2 따라서 1_{4 <}x<4에서 -2<t<2 y O t -16 -2 22 1 y=-2{t-1}@+2 이 범위에서 ①의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 t=1{x=2}일 때 최댓값은 2 t=-2[x=1_{4 ]일 때 최솟값은} -2\{-3}@+2=-16 ⑶ x@-2x+65=t로 놓으면 주어진 함수는 y=loga-3`t이고, t={x-1}@+64>64 이때 y=loga-3`t {t>64}의 최솟 y O 1 t 2 64 y=loga-3`t 값이 2이므로 오른쪽 그림과 같다. a-3>1이고 t=64일 때 y=2이므로

(21)

21

loga-3`64=2, {a-3}@=64 a-3>1이므로 a-3=8 / a=11 유제

7-1

⑴ 5<x<9에서 y O -2 -3 x y=-log2`{x-1} 2 1 5 9 y=-log2`{x-1}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. x=5일 때 최댓값은 -log2`4=-2 x=9일 때 최솟값은 -log2`8=-3 ⑵ x@+2x+3=t로 놓으면 t O 2 x -2 2 3 -1 11 t={x+1}@+2 t={x+1}@+2 yy ① -2<x<2에서 ①의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. / 2<t<11 이때 y=log2`t는 증가하는 함수이 므로 t=11{x=2}일 때 최댓값은 log2`11 t=2{x=-1}일 때 최솟값은 log2`2=1

유제

7-2

⑴ log3`x@_{9 =log}3`x@-log3`9=2`log3`x-2 이므로 log3`x=t로 놓으면 주어진 함수는 y =t{2t-2}=2t@-2t =2[t-1_{2 ]@}-1_{2 yy ①} 이때 t=log3`x는 증가하는 함수이고, x=1일 때 t=0, x=81일 때 t=4 따라서 1<x<81에서 0<t<4 O t 4 2! -2! 24 y=2[t-2!]@-2! y 이 범위에서 ①의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 t=4{x=81}일 때 최댓값은 2\4@-2\4=24 t=1₂{x=j3}일 때 최솟값은 - 1₂ ⑵ log3!`x=log3_!`x=-log3`x

이므로 log3`x=t로 놓으면 주어진 함수는 y =-t@+2t+1 O t y 1 1 -7 2 4 y=-{t-1}@+2 =-{t-1}@+2 yy ② ⑴에서 0<t<4이고, 이 범위에서 ②의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. t=1{x=3}일 때 최댓값은 2 t=4{x=81}일 때 최솟값은 -{4-1}@+2=-7 유제

7-3

y =loga`{x+2}+loga`{6-x} =loga`{x+2}{6-x} 이므로 {x+2}{6-x}=t로 놓으면 주어진 함수는 y=loga`t이고, t =-x@+4x+12=-{x-2}@+16<16 이때 y=loga`t의 최댓값이 4이므로 y O 1 t 4 16 y=loga`t 오른쪽 그림과 같다. a>1이고, t=16일 때 y=4이므로 loga`16=4, a$=16 / a=2

note -2<x<6이면 loga`{x+2}에서 x+2>0, loga`{6-x}에서 6-x>0이다. 51쪽 예제

8

⑴ y=3X_@+4로 놓으면 y-4=3X_@, x-2=log3`{y-4} x와 y를 바꾸면 y=log3`{x-4}+2 / f _!{x}=log3`{x-4}+2 ⑵ y=log2`{x-1}+2로 놓으면 y-2=log2`{x-1}, x-1=2Y_@ x와 y를 바꾸면 y=2X_@+1 / f _!{x}=2X_@+1 ⑶ y=log4`{x+p}+q의 그래프가 점 {4, 1}을 지나므로 1=log4`{4+p}+q yy ① y=log2!`{x+p}+q의 그래프가 점 {4, 1}을 지나므로 1=log2!`{4+p}+q yy ② ①, ②에서 log4`{4+p}=log2!`{4+p} log2@`{4+p}=log2_!`{4+p} 1 2`log2`{4+p}=-log2`{4+p} 3 2`log2`{4+p}=0, log2`{4+p}=0 4+p=1 / p=-3 ①에 대입하면 1=log4`1+q / q=1 유제

8-1

⑴ y=3\2X_!에서 y 3=2X_! x-1=log2`y 3, x=log2` y 3+1 x와 y를 바꾸면 y=log2`x₃+1 ⑵ y=log3`{x-2}+4에서 y-4=log3`{x-2} x-2=3Y_$, x=3Y_$+2 x와 y를 바꾸면 y=3X_$+2 유제

8-2

y= a 100`log`x에서 100 a y=log`x, x=10 100 a Y x와 y를 바꾸면 y=10100aX

(22)

이때 역함수가 y=10AX이므로 100

a =a, a@=100 / a=10 {? a>0}

다른 풀이 f{ f _!{x}}=x를 이용할 수도 있다. f{x}=₁₀₀a `log`x, f _!{x}=10AX라 하면 f{ f _!{x}}= a 100`log`10AX= a@ 100 x f{ f _!{x}}=x이므로 ₁₀₀a@ =1 a>0이므로 a=10 유제

8-3

모든 실수 x에 대하여 g{ f{x}}=x이므로 g{x}는 f{x}의 역함수이다. g{9}=-2에서 f{-2}=9이고, f{x}=2_X"A+1이므로 2@"A+1=9, 2@"A=8, 2+a=3 / a=1 / f{x}=2_X"!+1 g{17}=k라 하면 f{k}=17이므로 2_K"!+1=17, 2_K"!=16, -k+1=4 / k=-3 / g{17}=-3 52쪽 예제

9

⑴ y=aX과 y=loga`x는 서로 역 y x y=x y=aX O P Qy=loga`x A B C D 함수이므로 두 곡선은 직선 y=x에 대칭이다. 따라서 P, Q는 직선 y=x 위의 점이다. 또 두 사각형이 합동이므로 P{k, k}로 놓으면 Q{2k, 2k}이다. 이때 P, Q가 곡선 y=aX 위의 점이므로 k=aK yy ① 2k=a@K yy ② ②에서 2k={aK}@이므로 ①을 대입하면 2k=k@ / k=2 {? k>0} ①에 대입하면 2=a@ / a=j2 k {? a>0} ⑵ y=2X과 y=log2`x는 서로 역함 y x y=f{x} y=x 1 1 O L R S 수이므로 y=f{x}의 그래프를 이 루는 두 곡선은 오른쪽 그림과 같 이 직선 y=x에 대칭이다. 이때 R{a, b}, S{c, d}{a<c} 는 기울기가 - 1인 직선 L 위의 점이고, L과 직선 y=x가 서로 수직이므로 R와 S도 직선 y=x에 대칭이다. / a=d, b=c 이때 b+c=2j2이므로 b=c=j2 / a=d=log2`c=log2`j2=log2`22!=1₂ 유제

9-1

y=2X-1과 y x O A B C D y=x y=2X-1 y=log2{x+1} y=log2`{x+1}은 서로 역함 수이므로 두 곡선은 직선 y=x에 대칭이다. 이때 선분 AB와 직선 y=x 가 서로 수직이므로 A, B도 직선 y=x에 대칭이다. / A{2, 3}, B{3, 2} 따라서 사각형 ACDB의 넓이는 1₂\{3+2}\1=5₂ 유제

9-2

y=2X과 y=log2`x는 서로 역함수이므로 두 곡선은 직선 y=x에 대칭이다. 이때 직선 y=-x+5a와 직선 y=x y x y=2X y=log2`x y=-x+5a 1 O 1 A D B C y=x가 서로 수직이므로 A와 B도 직선 y=x에 대칭이고, 직선 y=-x+5a가 y축과 만나는 점을 D라 하면 C와 D도 직선 y=x에 대 칭이다. 곧, ABZ : BCZ=3 : 1에서 DAZ : ABZ : BCZ=1 : 3 : 1이므로 A의 x좌표를 k라 하면 B의 x좌표는 4k이고, A의 y좌표는 B의 x좌표와 같으므로 A{k, 4k}이다.

A가 직선 y=-x+5a 위의 점이므로 4k=-k+5a, k=a / A{a, 4a}

또 A가 곡선 y=2X 위의 점이므로 4a=2A / 2A_a=4

53쪽 예제

10

⑴ logx`125=logx`5#=3`logx`5=_{log5`x 이고,}3 x>1에서 log5`x>0, logx`125>0이므로 log5`x+logx`125 =log5`x+_log5`x3

>2qlog5`x\_{log5`x e}3 =2j3 따라서 최솟값은 2j3

note log5`x=_{log5`x , 곧}3 log5`x=j3일 때 최소이다.

⑵ 1₂<x<3에서 log6`2x>0, log6`_x3>0이므로 qlog6`2x\log6`_{x e<}3 log6`2x+log6`3_x 2 =log6`[2x\ 3 x ] 2 = log6`6 2 =12

(23)

23

0

1

⑤ y=loga!`{x-1}=loga_!`{x-1}=-loga`{x-1}

이므로 y=f{x}에 y 대신 -y를 대입한 꼴이다. 따라서 두 그래프는 x축에 대칭이다. (거짓)

note ④ a>1이면 y=f{x}는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증

가한다.

0

2

A의 x좌표를 a라 하면 y좌표는 log2à이므로 ABZ=log2à 조건에서 ABZ=4이므로 log2à=4 / a=2$=16 따라서 A{16, 4}이므로 D의 x좌표는 16+4=20

0

3

y=log2`x의 그래프를 x축 방향으로 a만큼 평행이동한 그래 프의 식은 y=log2`{x-a} 이 그래프가 점 {9, 2}를 지나므로

2=log2`{9-a}, 9-a=2@ / a=5 또 y=logb`x의 그래프도 점 {9, 2}를 지나므로 2=logb`9, b@=9 b>0이므로 b=3 / 10a+b=53

0

4

g{a}=1에서 f{1}=a이므로 [ 1 2 ]!_!+3=a / a=4

0

1

⑤

0

2

20

0

3

⑤

0

4

a=4, b=-1

0

5

③

0

6

②

0

7

③

0

8

③, ④

0

9

②

10

16

11

-2

12

a=4, b=1 9

13

④

14

최댓값 : 16, 최솟값 : -2

15

⑤

16

②

17

③

18

④ 54~56쪽 연습 문제 / log6`2x\log6`3 x < 1 4 따라서 최댓값은 1 4 note log6`2x=log6`_{x , 곧}3 2x=_{x 일 때 최대이다.}3 ⑶ ① 2X>0, 2_X>0이므로 2X+2_X>212X 2_X3=212)2=2 (단, 등호는 2X=2_X, 곧 x=0일 때 성립) 따라서 최솟값은 2이고, 최댓값은 없다. ② {2X+2_X}@ ={2X}@+2\2X\2_X+{2_X}@ =4X+4_X+2 이므로 2X+2_X=t로 놓으면 4X+4_X=t@-2 이때 주어진 함수는 y t O -6 -7 2 2 3 y={t-3}@-7 y =t@-2-6t+4 ={t-3}@-7 ①에서 t > 2이므로 그래프는 오 른쪽 그림과 같다. 따라서 t=3일 때 최솟값은 -7이고, 최댓값은 없다. 유제

10-1

⑴ log4`x=log2@`x=1_{2 `log}2`x

logx`j2=logx`22!=1₂`logx`2=_2`log2`x1 이고, x>1에서 log4`x>0, logx`j2>0이므로 log4`x+logx`j2 =1_{2 [}log2`x+_{log2`x ]}1

>1

2\2qlog2`x\ 1 log2`x e=1 따라서 최솟값은 1

note log2`x=_{log2`x , 곧}1 log2`x=1일 때 최소이다.

⑵ logx`y@=2`logx`y, logy`x@=2`logy`x=_{logx`y 이고,}2 x>1, y>1에서 logx`y@>0, logy`x@>0이므로 logx`y@+logy`x@ =2[logx`y+_{logx`y ]}1

>2\2_{qlogx`y\ 1} logx`y e=4 따라서 최솟값은 4 note logx`y= 1 logx`y , 곧 logx`y=1일 때 최소이다. 유제

10-2

⑴ 3X>0, [ 1 3 ]X>0이므로 3X+[ 1 3 ]X>2q3X\[ 13 ]Xe=211=2 [단, 등호는 3X=[ 1 3 ]X, 곧 x=0일 때 성립] 따라서 최솟값은 2이고, 최댓값은 없다. ⑵ {3X+3_X}@ ={3X}@+2\3X\3_X+{3_X}@ =9X+9_X+2 이므로 3X+3_X=t로 놓으면 9X+9_X=t@-2 또 3X"!+3_X"! =3\3X+3\3_X =3{3X+3_X}=3t 이때 주어진 함수는 y t O 2 4 2 y=-[t-2#]@+\\\\\\\\\\\\\\\\17₄ 2# 17 \\\\\\\\\\\\\\\\\₄ y =-{t@-2}+3t =-t@+3t+2 =-[t-3_{2 ]@}+17₄ ⑴에서 t>2이므로 t=2일 때 최댓값은 -2@+3\2+2=4이고, 최솟값은 없다.

(24)

g{7}=b에서 f{b}=7이므로 [ 1 2 ]B_!+3=7, 2_B"!=2@ / b=-1

0

5

log3`x=t로 놓으면 주어진 함수는 y=5T_@ t=log3`x는 증가하는 함수이고, x=1일 때 t=0, x=81일 때 t=4 따라서 1<x<81에서 0<t<4 이 범위에서 y=5T_@은 증가하는 함수이므로 t=4{x=81}일 때 최댓값은 5@=25 t=0{x=1}일 때 최솟값은 5_@=₂₅1 따라서 최댓값과 최솟값의 곱은 25\ 1 25=1

0

6

loga#`b@=2

3`loga`b, logb$`a#=3

4`logb`a= 3 4`loga`b 또 a>1, b>1이므로 loga#`b@>0, logb$`a#>0

/ loga#`b@+logb$`a# =2

3`loga`b+4`loga`b3 >2q 2₃`loga`b\ 3 4`loga`b e =2q1₂=j2 [단, 등호는 2₃`loga`b= 3 4`loga`b, 곧 {loga`b}@=98일 때 성립] 따라서 최솟값은 j2이다.

0

7

2001+x_{1-x 의 값의 범위부터 구한다.} 2001+x 1-x =t로 놓으면 주어진 함수 t x O -1 -1 1 1000 2002 x-1 t=-\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\-1 는 y=log`t이고, t =2001+x 1-x =-2002_x-1-1 yy ① x=-1일 때 t=1000이므로 -1<x<1에서 ①의 그래프는 위의 그림과 같다. / t>1000 이때 y=log`t는 증가하는 함수이고, y=log`1000=3 이므로 치역은 9y|y>30이다.

0

8

log2`x를 포함한 꼴로 정리한다.

① y=log2`_x2=log2`2-log2`x=1-log2`x이므로 y=log2`x의 그래프를 x축에 대칭이동한 다음 y축 방향으로 1만큼 평행이 동한 것이다.

② y=log2!`x=log2_!`x=-log2`x이므로 y=log2`x의 그래프를

x축에 대칭이동한 것이다.

③ y=log4`x=log2@`x=1₂`log2`x이므로 y=log2`x의 그래프를

평행이동하거나 대칭이동한 것이 아니다.

④ y=log4`x@=log2@`x@=2₂`log2`|x|=log2`|x|이므로

x>0일 때 y=log2`x, x<0일 때 y=log2`{-x}

곧, y=log2`x의 그래프를 평행이동하거나 대칭이동한 것이 아 니다.

⑤ y=log2`x의 그래프를 직선 y=x에 대칭이동하면 곡선 y=2X 이다. 이를 다시 y축에 대칭이동하면 곡선 y=2_X이다. 따라서 평행이동하거나 대칭이동하여 y=log2`x의 그래프와 겹칠 수 없는 것은 ③, ④이다.

0

9

직선 y=x를 이용하여 y축 위에 b, c, d의 함숫값을 나 타낸다. 오른쪽 그림과 같이 y x y=log3`x O a ab c b c d y=x log3`b=a, log3`c=b, log3`d=c 이므로 [1_{3 ]A_C}=[1_{3 ]}log3`b-log3`d

=[1_{3 ]}log3`dB=3_log3`dB=3log3`[dB]_!=3`log3`bD=d_b

10

점 A, B의 좌표를 이용하여 식을 세운다.

A{p, log2`p}, B{2p, log2`2p}이므로

sBCD=1₂\p\log2`2p, sACB=1₂\p\log2`p 이때 log2`2p>log2`p이므로 조건에서 sBCD-sACB=8 1 2 \p\log2`2p-1 2\p\log2`p=8 p`log2`2p-p`log2`p=16, p`log2`2p_p =16 p`log2`2=16 / p=16

11

0<a<1, a>1일 때로 나누어 함수를 생각한다.

0<a<1, a>1일 때로 나누어 y=f{x}의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다. O y x 0<a<1 1 1 O y x a>1 1 1 [그림 1] [그림 2] 이때 f{x}의 역함수가 존재하므로 f{x}는 일대일대응이다. 따라서 [그림 1]과 같이 0<a<1이다. f{a}=2_{3 이므로}-a+1=2_{3 /}a=1₃ / f{9}=log3!`9=log3_!`3@=-2