02 삼각형의 넓이 - 2020 코드엠 수학1 답지 정답

139^쪽 예제

5

⑴ S=1

2\6\4\sin 135!=6j2 k

⑵ A=180!-{60!+75!}=45!이므로 사인법칙에 의해 10

sin 45! = b

sin 60! ∴ b= 10 j2 k2

\ j3 k 2 =5j6 k

∴ S =1

2\10\5j6 k\sin 75!

2\10\5j6 k\ j6 k+j2 k4 =25{3+j3 k}

다른 풀이 10

sin 45! = c sin 75! 에서 c= 10

j2 k2

\ j6 k+j2 k

4 =5j3 k+5

∴ S =1

2\{5j3 k+5}\10\sin 60!=25{3+j3 k}

06.

^{삼각형과 삼각함수}

71

⑶ cos A=6@+4@-8@

2\6\4 =36+16-64 48 =-1

b=2R sin B=2\4\sin 120!=4j3 k c=2R sin C=2\4\sin 30!=4 ∴ S=1

2\8\4\sin 60!=8j3 k

⑵ sin@ A=1-cos@ A=1-[ 45 ]@= 9

2\4\5 =16+25-36 40 =1

이때 CBCA=30!, CACD=45!이므로

141^쪽 예제

7

⑴ 삼각형 ABC의 넓이가 10j2 k이므로 ^C

A D B

1 2

2ca sin B=10j2 k

점 D가 변 AB를 1：2로 내분하므 로 BDZ= 23c

점 E가 변 BC를 3：2로 내분하므로 BEZ= 35a 따라서 삼각형 BDE의 넓이를 S라 하면 S =1

2\2 3c\3

5a sin B=2 5 [1

2ca sin B]

5 \10j2 k=4j2 k

⑵ 삼각형 ABC의 넓이가 10j2 k이므로 1

2bc sin A=10j2 k yy ① cos A=1

3 이므로 sin@ A=1-cos@ A=1-[1 3 ]@=8

9 sin A>0이므로 sin A=2j2 k

①에 대입하면 1

2bc\ 2j2 k

3 =10j2 k ∴ bc=30 BCZ=a이고,

a@ =b@+c@-2bc cos A

=b@+c@-2\30\1

3=b@+c@-20

그런데 b@>0, c@>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 b@+c@>21b@c@ 3=2bc=60 (단, 등호는 b=c일 때 성립) ∴ a@>60-20=40

따라서 a@의 최솟값이 40이므로 변 BC의 길이의 최솟값은 j40 k=2j10 k이다.

유제

7-1

⑴ 점 F가 변 CA를 2：1로 내분하므로 AFZ= 13b 점 D가 변 AB를 4：1로 내분하므로 ADZ= 45c

∴ △ADF =1 2\1

3b\4

5c\sin A=4 15 [

2bc sin A]

15 (△ABC)=

15 \60=16

⑵ BDZ=c-ADZ=c- 45c=1 5c이고,

점 E가 변 BC를 3：1로 내분하므로 BEZ= 34a

∴ △BED =1 2\1

5c\3

4a\sin B=3 20 [

2ca sin B]

20(△ABC)= 3

20\60=9 CEZ=a- 34a=1

4a, CFZ=b- 13b=2 3b이므로 △CFE =1

2\1 4a\2

3b\sin C=1 6 [1

2ab sin C]

6 (△ABC}=1

6\60=10

∴ △DEF =60-{△ADF+△BED+△CFE}

=60-{16+9+10}=25 유제

7-2

^{오른쪽 그림과 같}

A P B

C Q

x y

60!

이 APZ=x, AQZ=y라 하면 6

삼각형 APQ의 넓이가 삼각형 ABC의 넓이의 1

4 이므로 1

2xy sin 60!=1 4 [1

2\12\6\sin 60!] ∴ xy=18 삼각형 APQ에서 코사인법칙을 쓰면

PQZ @=x@+y@-2xy cos 60!=x@+y@-xy

그런데 x@>0, y@>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 x@+y@>21x@y@ 3=2xy (단, 등호는 x=y일 때 성립) ∴ PQZ @>2xy-xy=xy=18

따라서 선분 PQ의 길이의 최솟값은 j18 k=3j2 k이다.

01

A+B+C=180!이므로 A+B=180!-C이고, 3 sin {A+B}=1에서 3 sin {180!-C}=1 ∴ sin C=1

3 ∴ S=1

2ab sin C=1

2\4\3\1 3=2

02

⑴ CACB=CADB=60!이므로 삼각형 ABC에서 사인 법칙을 쓰면

ACZ

sin 45! = 2j3 k

sin 60! ∴ ACZ=2j3 k j3 k2

\ j2 k 2 =2j2 k

⑵ CCAB=180!-{60!+45!}=75!

이므로 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면

142^~143^쪽 연습 문제

01

02

^{⑴ 2}j2 k ⑵ 3+j3 k

03

^④

04

^②

05

^⑴j37 k ⑵ 4 ⑶ 10j3 k

06

^①

07

⁸^{j3 k}

08

^{81j6 k}₅

09

¹⁵₈

10

^①

11

^⑴^{j19 k ⑵}¹⁵_{2 ⑶}^{j3 k} ^{j3 k}₂

△ACD=1

2\2j3 k\1\sin 45!= j6 k2 따라서 사각형 ABCD의 넓이는 2j3 k+ j6k

06.

^{삼각형과 삼각함수}

73

S =1

2\2j3 k\2j2 k\sin 75!

2 \2j3 k\2j2 k\j6 k+j2 k 4 =3+j3 k

03

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하고, 삼각 형 ABC의 넓이를 S라 하자.

S=1

2 ab sin C이고, 사인법칙에 의해 sin C= c 2R이므로 S=abc

따라서 S=3, R=2이므로 삼각형 ABC의 세 변의 길이의 곱은 abc=S\4R=3\8=24

04

a+b=13, a@+b@=85이고, {a+b}@=a@+b@+2ab이므로 13@=85+2ab ∴ ab=42

따라서 사각형 ABCD의 넓이는 1

2ab sin 45!=1

2\42\ j2 k 2 =21j2 k

05

⑴ 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 쓰면 ACZ @ =7@+4@-2\7\4\cos 60!

=49+16-56\1 2 =37 ∴ ACZ=j37 k

⑵ 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 두 각의 크기의 합은 180!이므로 D=120!

삼각형 ACD에서 ADZ=x라 하고 코사인법칙을 쓰면 {j37 k}@=x@+3@-2\3x cos 120!

37=x@+9-6x\[- 12 ]

x@+3x-28=0, {x+7}{x-4}=0 x>0이므로 x=4

⑶ fABCD =△ABC+△ACD

2\7\4\sin 60!+1

2\3\4\sin 120!

=14\ j3 k

2 +6\ j3 k 2 =10j3 k

06

^S=¹₂bc sin A를 이용한다.

오른쪽 그림과 같이 처음 삼각형에

y x h

서 늘어나는 변의 길이를 x, 줄어드 는 변의 길이를 y, 두 변의 끼인 각 의 크기를 h라 하자.

또 처음의 삼각형의 넓이를 S, 새로 운 삼각형의 넓이를 S '이라 하면 S=1

2xy sin h S ' =1

2\11 10x\9

10y\sin h

= 99 100\1

2xy sin h=99 100S

따라서 삼각형의 넓이는 1 % 줄어든다.

07

평행사변형의 성질을 이용하여 선분의 길이와 각의 크 기를 구한다.

ADZ|BCZ이므로

30!

60!

4 O

B C

D A

CBCA=CCAD=60!

∴ CBOC=90!

평행사변형의 성질에서 선분 BD가 선분 AC를 이등분하므로 선분 BD 는 선분 AC의 수직이등분선이다.

곧, 삼각형 ABC는 이등변삼각형이므로 BCZ=ABZ=4, CABC=60!

따라서 평행사변형 ABCD의 넓이는 2\1

2\4\4\sin 60!=16\ j3 k 2 =8j3 k

08

삼각형 PCD에서 CCPD의 코사인값부터 구한다.

삼각형 PCD에서 CCPD=h라 하고 코사인법칙을 쓰면 cos h=5@+6@-7@

2\5\6 =25+36-49 60 =1

5 ∴ sin h=11-cos@ h 3=q1- 125e= 2j6 k5 따라서 사각형 ABCD의 넓이는

2\{4+5}{3+6} sin h=1

2\9\9\2j6 k 5 =81j6 k

09

^ADZ=x로 놓고 삼각형의 넓이를 이용한다.

오른쪽 그림에서 삼각형 ABC의 ^A

B D C

60!x 60!

5 3

넓이는 삼각형 ABD, ACD의 넓이의 합이다.

따라서 ADZ=x라 하면 1

2\5\3\sin 120!=1

2\5x sin 60!+1

2\3x sin 60!

sin 120!=sin 60!= j3 k 2 이므로 15=5x+3x ∴ x=15

10

양수의 합이 주어진 최대, 최소

산술평균과 기하평균의 관계를 생각한다.

a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 a+b>2jab k

a+b=2이므로

jab k<1 ∴ ab<1 (단, 등호는 a=b일 때 성립) 삼각형 ABC의 넓이는

2ab sin 45!<1

2\1\ j2 k 2= j2 k

4 따라서 삼각형 ABC의 넓이의 최댓값은 j2 k

4 이다.

11

평행사변형의 성질 중 이웃한 두 내각의 크기의 합이 180!임을 이용한다.

⑴ 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 쓰면 cos B =5@+3@-7@

2\5\3

=25+9-49 30 =-1

2 ∴ B=120!

평행사변형의 이웃한 두 내각의 크기의 합은 180!이므로 CBAD=60!

삼각형 ABD에서 코사인법칙을 쓰면 BDZ @ =5@+3@-2\5\3\cos 60!

=25+9-30\1 2 =19 ∴ BDZ=j19 k

⑵ 평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면 S =2△ABC

=2\1

2 \5\3\sin 120!=15j3 k 2

⑶ 삼각형 A B C에서 내접원의 반지 _A

B D

C 5

3 r O

름의 길이를 r, 내접원의 중심을 O 라 하자. 오른쪽 그림에서 △ABC= △OAB+△OBC

+△OCA 이므로

1 2S=1

2\5r+1

2\3r+1 2\7r 15j3 k

4 =15r

2 ∴ r= j3 k 2

B D

C 5

1-1

30!

60!

Q P

R1 O1

120!

12 12

Q P

O1 60! X

O2 R2

[그림 1] [그림 2]

[그림 1]과 같이 CPXQ=30!인 점은 현 PQ에 대한 원주각의 크 기가 30!인 원 위에 있다.

이 원의 중심을 O1, 반지름의 길이를 R1이라 하자.

원 O1은 삼각형 PQX의 외접원이므로 사인법칙에 의해 12

sin 30! =2R1 ∴ R1=12 또 CPO1Q=2CPXQ=60!

144^쪽

한편 [그림 2]와 같이 CPXQ=60!인 점은 현 PQ에 대한 원주각 의 크기가 60!인 원 위에 있다.

이 원의 중심을 O2, 반지름의 길이를 R2라 하자.

원 O2는 삼각형 PQX의 외접원이므로 사인법칙에 의해 12

sin 60! =2R2 ∴ R2=4j3 k 또 CPO2Q=2CPXQ=120!

따라서 30!<CPXQ<60!인 점 X는 [그림 1]의 도형의 내부와 [그림 2]의 도형의 외부에 존재한다.

[그림 1]의 도형의 넓이를 S1, [그림 2]의 도형의 넓이를 S2라 하면 S1=p\12@\300

360+1

2\12@\sin 60!=120p+36j3 k S2 =p\{4j3 k}@\ 240360+1

2\{4j3 k}@\sin 120!

=32p+12j3 k

∴ S=S1-S2=88p+24j3 k

2-1

^⑴

A c B

b r a

위의 그림과 같이 내접원의 중심을 O라 하면 S =△OAB+△OBC+△OCA

=1 2cr+1

2ar+1 2br=1

2r{a+b+c} yy ①

⑵ 세 변의 길이를 4k, 5k, 7k {k>0}이라 하자.

헤론의 공식에서 s=4k+5k+7k

2 =8k이므로

S =18k{8k-4k}{8k3-5k}{8k-7k}3

=18\4\3k$ 3=4j6 kk@ yy ② r=3이므로 ①에 대입하면

S=1

2\3\{4k+5k+7k}=24k yy ③

②와 비교하면 4j6 kk@=24k ∴ k=j6 k {∵ k>0}

k=j6 k을 ③에 대입하면 S=24j6 k

01

세 변의 길이를 알고 있으므로 코사인값을 구할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이 선분 AD가 A

B h D C

15 10

CA의 이등분선이므로 ABZ：ACZ=BDZ：DCZ 3：2=BDZ：DCZ

01

^⑤

02

^②

03

^{1500 m}

04

^④

실력 문제 ₁₄₅쪽

06.

^{삼각형과 삼각함수}

75

∴ BDZ=20\ 35=12

또 삼각형 ABC에서 CB=h라 하고 코사인법칙을 쓰면 cos h=15@+20@-10@

2\15\20 =225+400-100 600 =7

8 따라서 삼각형 ABD에서 코사인법칙을 쓰면 ADZ @ =15@+12@-2\15\12 cos h

=225+144-360\7 8 = 54 ∴ ADZ=3j6 k

02

코사인법칙을 이용하여 b, c의 값 또는 bc의 값을 구한다.

삼각형 ABC에서 코사인법칙을 쓰면 5@ =b@+c@-2bc cos 120!

=b@+c@+bc={b+c}@-bc

=7@-bc``

∴ bc=49-25=24 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 1

2bc sin A=1

2\24\sin 120!=6j3 k

03

직각삼각형의 변을 삼각함수로 나타낸다.

다음 그림과 같이 점 C, H, H1, H2를 잡자.

500`m

12!

37!

C H H2

BCZ=a, ACZ=b라 하면

CXH1Z=ACZ sin 12!=b sin 12!

BXH2Z=BCZ sin 12!=a sin 12!

BHZ=CXH1Z+BXH2Z={a+b} sin 12!

직각삼각형 ABH에서 BHZ=500 sin 37!

곧, {a+b} sin 12!=500\sin 37!이므로 a+b=500\sin 37!

sin 12! =500\0.6 0.2 =1500 따라서 우회 도로의 길이는 1500 m이다.

04

건물의 높이를 x라 하고 OAZ, OBZ, OCZ의 길이를 x로 나타낸 다음, 코사인법칙을 생각한다.

건물의 높이를 x m라 하자.

60!

20 30!

10 45!

C B A

x h

sin 60!= x OAZ이므로 OAZ= xsin 60! = 2

j3 kx`

sin 45!= x OBZ이므로 OBZ= xsin 45! =j2 kx`

sin 30!= x

OCZ이므로 OCZ= x

sin 30! =2x`

삼각형 ABO에서 COBA=h라 하고 코사인법칙을 쓰면

cos h=

100+2x@-3$x@

2\10\j2 kx =

100+3@x@

20j2 kx yy ① 또 삼각형 OBC에서 코사인법칙을 쓰면

cos {p-h}=400+2x@-4x@

2\20\j2 kx =400-2x@

40j2 kx yy ② cos {p-h}=-cos h이므로 ①, ②에서

100+3@x@

20j2 kx =-400-2x@

40j2 kx 2[100+ 23x@]=-400+2x@

x@=900 ∴ x=30 따라서 건물의 높이는 30 m이다.

1

⑴ an=n @-1에 n=5, n=10을 대입하면 a5=5@-1=24, a10=10@-1=99

⑵ an= 2

n+2 에 n=5, n=10을 대입하면 a5= 2

5+2=2

7, a10= 2 10+2=1

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