02 등비수열

⑴ 첫째항은 a1=3\4!_@=3 4 또 a2=3\4 @_@=3이므로 공비는 r=a2

a1=3_3 4=4

162^쪽 예제

6

⑵ 공비를 r라 하자.

a2=8이므로 a1 r=8 yy ① a5=1이므로 a1 r $=1 yy ② ②_①을 하면 r #=1

8 ∴ r=1

2 (∵ r는 실수) ①에 대입하면 a1\1

2=8 ∴ a1=16 곧, an=16\[1

2 ]N_!=2$\[1

2 ]N_!=[ 12]N_%

또 a10=[1

2 ]!)_%= 1 32

⑶ 공비를 r {r>0}이라 하자.

a3=2a1이므로 a1 r @=2a1 yy ① a5+a7=12이므로 a1 r $+a1 r ^=12 yy ② ①에서 a1=0이므로 r @=2 ∴ r=j2 (∵ r>0) ②에 대입하면 4a1+8a1=12 ∴ a1=1 이때 an={j2}N_!

an=64이면 {j2}N_!=64 2 ^n-12 =2^, n-1

2 =6 ∴ n=13 따라서 64는 제13항이다.

⑷ an=9\{-2}N_!이므로

an@=99\{-2}N_!0@=9@\9{-2}@0N_!=81\4N_!

이때

a1@=81\4)=81, an'1@

an@ = 81\4N 81\4N_!=4

따라서 9an@0은 첫째항이 81이고 공비가 4인 등비수열이다.

유제

6-1

⑴ 첫째항은 a1=4\3#_!=36 또 a2=4\3#_@=12이므로 공비는 r=a2

a1=12 36=1

3

⑵ 공비를 r라 하자.

a4=2이므로 a1 r #=2 yy ① a9=27a6이므로 a1 r *=27a1 r %

a1=0이므로 r #=27 ∴ r=3 (∵ r는 실수) ①에 대입하면 a1\3#=2 ∴ a1=2

3#

∴ an=2

3#\3N_!=2\3N_$

an=162이면 2\3N_$=162 3N_$=81=3$ ∴ n=8 따라서 162는 제8항이다.

⑶ 공비를 r라 하자.

a1-a3=3이므로 a1-a1 r @=3 ∴ a1{1-r @}=3 yy ① a3-a5=75이므로 a1 r @-a1 r $=75 ∴ a1 r @{1-r @}=75 yy ② ②_①을 하면 r @=25 ∴ r=-5

r=-5를 ①에 대입하면 a1{1-25}=3 ∴ a1=-1 8 따라서 r=5일 때, an=-1

8\5N_!

r=-5일 때, an=-1

8 \{-5}N_!

⑷ 등비수열 9an0의 공비가 2이므로 an=a1\2N_!

수열 9a3n'10의 첫째항이 1이므로 a3\1+1=a4=1 a1\2#=1 ∴ a1=2_#

곧, an=2_#\2N_!=2N_$이므로 수열 9a3n'10의 제n항은 a3n'1=2#N"!_$=2#N_#

163^쪽 예제

7

⑴ 12, x, y가 이 순서로 등차수열이므로 2x=12+y yy ① x, y, 2가 이 순서로 등비수열이므로 y @=2x yy ② ①, ②에서 2x를 소거하면 y @=12+y y @-y-12=0, {y+3}{y-4}=0 ∴ y=-3 또는 y=4

y의 값을 ①에 대입하면 x=9

2, y=-3 또는 x=8, y=4

⑵ 첫째항이 2인 등비수열이므로 공비를 r라 하면 써넣은 세 수 는 2r, 2r @, 2r #이다.

세 수의 곱이 216이므로 2# r ^=216, r ^=3# ∴ r @=3 세 수가 양수이므로 r>0이다. ∴ r=j3

따라서 써넣은 세 수의 합은

2j3+2{j3}@+2{j3}# =2j3+6+6j3

=6+8j3

또 b는 첫째항이 2, 공비가 j3인 등비수열의 제5항이므로 b=2{j3}$=18

⑶ 모든 n에 대하여 an'1

an =r이므로 log`an'1

an =log`r ∴ log`an'1-log`an=log`r 따라서 수열 9log`an0은 공차가 log`r인 등차수열이다.

유제

7-1

⑴ x, y, 3x가 이 순서로 등차수열이므로 2y=x+3x ∴ y=2x yy ① y, 3x, 9가 이 순서로 등비수열이므로 {3x}@=9y ∴ x @=y yy ② ①, ②에 의해 x @=2x, x{x-2}=0 이때 x, y가 양수이므로 x=2, y=4

⑵ 81은 첫째항이 16인 등비수열의 제5항이므로 공비를 r라 하면 81=16r $, r $=[3

2 ]$

써넣은 세 수가 양수이므로 r>0 ∴ r=3

2 써넣은 세 수는 16\3

2 , 16\[3

2 ]@, 16\[3 2 ]#이므로 24, 36, 54

⑶ 세 수를 a, ar, ar @으로 놓자.

합이 3이므로 a+ar+ar @=3 yy ① 곱이 -8이므로 a\ar\ar @=-8, {ar}#={-2}#

ar는 실수이므로 ar=-2 yy ② ②에서 a=-2

r 를 ①에 대입하면 -2

r-2-2r=3 2r @+5r+2=0, {r+2}{2r+1}=0 ∴ r=-2 또는 r=-1

2

! r=-2일 때, ②에 대입하면 a=1 따라서 세 수는 1, -2, 4

@ r=-1

2 일 때, ②에 대입하면 a=4 따라서 세 수는 4, -2, 1

!, @에서 세 수는 1, -2, 4 유제

7-2

an'1-an=d이므로 2^an'1-an=2D ∴ 2^an'1

2^an=2D

따라서 수열 92^an0은 공비가 2D인 등비수열이다.

164^쪽 예제

8

⑴ 첫째항이 2@, 공비가 -2인 등비수열의 제1항부터 제11항까지 의 합이다.

∴ 2@91-{-2}!!0 1-{-2} =4

3{1+2!!}

⑵ 2, 4, 6, 8, y은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열이므로 제1항부터 제n항까지의 합은

n92\2+{n-1}\20

2 =n{n+1} yy ①

1 2 , 1

4 , 1 8 , 1

16 , y은 첫째항이 1

2 , 공비가 1

2 인 등비수열이 므로 제1항부터 제n항까지의 합은

1 2 - 1-[1

2 ]N = 1-1

2

=1-[1

2 ]N yy ②

∴ ①+②=n{n+1}+1-[ 12]N

07.

^{등차수열과 등비수열}

83

⑶ a1-a2+a3-a4+y+a21

=4-4\{-3}+4\{-3}@-4\{-3}#+y+4\{-3}@) =4+4\3+4\3@+4\3#+y+4\3@)

=4{3@!-1}

3-1 =2{3@!-1}

유제

8-1

⑴ 첫째항이 2@=4, 공비가 2@=4이므로 S10=4{4!)-1}

4-1 =4

3{4!)-1}

⑵ 첫째항이 j2+1, 공비가 j2이므로 S10 ={j2+1}9{j2}!)-10

j2-1

={j2+1}@{2%-1}

{j2-1}{j2+1}=31{3+2j2}

⑶ 1, 3, 5, 7, y은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로 제1항부터 제10항까지의 합은

10{2\1+9\2}

2 =100 yy ①

1 10 , - 1

10@, 1 10#, - 1

10$, y은 첫째항이 1

10 , 공비가 - 1 10 인 등비수열이므로 제1항부터 제10항까지의 합은

1

10 - 1-[- 1 10 ]!) = 1-[-1

10 ]

=1 11 [1- 1

10!) ] yy ②

∴ ①+②=100+ 1

11[1- 110!) ] 유제

8-2

an=1\{-2}N_!={-2}N_!

⑴ an@=9{-2}N_!0@={-2}@^{n-1}=4N_!

따라서 주어진 식은 첫째항이 1, 공비가 4인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합이므로

a1@+a2@+a3@+y+an@=1\{4N-1}

4-1 =4N-1 3

⑵ 1 an= 1

{-2}N_!=[-1 2 ]N_!

따라서 주어진 식은 첫째항이 1, 공비가 -1

2 인 등비수열의 제1항부터 제n항까지의 합이므로

1 a1+1

a2+1

a3+y+1 an =

1\-1-[-1 2 ]N = 1-[-1

2 ] =2

3 - 1-[- 12 ]N =

165^쪽 예제

9

⑴ 공비를 r라 하자.

S10=10이므로 a1{r !)-1}

r-1 =10 yy ①

2+2j2+1

S20=40이므로 a1{r @)-1}

r-1 =40, a1{r !)-1}{r !)+1}

r-1 =40 yy ②

②_①을 하면 r !)+1=4 ∴ r !)=3 S30 =a1{r #)-1}

r-1 =a1{r !)-1}{r @)+r !)+1}

r-1

=S10{r @)+r !)+1}

S10=10, r !)=3이므로 S30=10{3@+3+1}=130

⑵ n>2일 때,

an =Sn-Sn-1={2N"!+1}-{2N+1}

={2-1}\2N=2N 또 a1=S1=2!"!+1=5 ∴ -an=2N {n>2}

a1=5

note 9an0은 제2항부터 공비가 2인 등비수열이다.

⑶ n>2일 때,

an =Sn-Sn-1={5N-k}-{5N_!-k}

=5\5N_!-5N_!=4\5N_! yy ① 또 a1=S1=5-k

①에 n=1을 대입하면 a1=4이고, 9an0이 등비수열이므로 5-k=4 ∴ k=1

또 9an0의 공비는 5이다.

유제

9-1

공비를 r, 제1항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하자.

S5=5이므로 a1{r %-1}

r-1 =5 yy ①

S10=5+10=15이므로 a1{r !)-1}

r-1 =15, a1{r %-1}{r %+1}

r-1 =15 yy ②

②_①을 하면 r %+1=3 ∴ r %=2 S20 =a1{r @)-1}

r-1 =a1{r !)-1}{r !)+1}

r-1

=S10{r !)+1}

S10=15, r %=2이므로 S20=15{2@+1}=75

유제

9-2

^{n>2일 때,}

an =Sn-Sn-1={3AN+B}-{3\AN_!+B}

=3A\AN_!-3AN_!={3A-3}AN_! yy ① 또 a1=S1=3A+B

①에 n=1을 대입하면 a1=3A-3이고, 9an0이 등비수열이므로 3A+B=3A-3 ∴ B=-3

또 9an0의 공비가 3이므로 an'1

an = {3A-3}AN

{3A-3}AN_!=3 ∴ A=3

166^쪽 예제

10

⑴ Tn은 일정한 비율로 작아지므로 Tn의 넓이는 등비수열이다.

T1의 넓이는 2@=4

T2의 한 변의 길이는 j2이므로 넓이는 {j2}@=2 ⋮

따라서 공비는 2 4=1

2 이므로 T1부터 Tn까지의 넓이의 합은

4- 1-[1 2 ]N = 1-1

2

=8- 1-[ 12 ]N ==8-[ 12]N_#

⑵ ! 1회 시행에서 남은 정삼각형은 3개이고,

2회 시행에서는 1회 시행에서 남은 각 정삼각형에 대하여 정삼각형이 3개씩 생긴다.

따라서 남은 정삼각형의 개수는 첫째항이 3, 공비가 3인 등 비수열이다.

곧, 10회 시행 후 남은 정삼각형의 개수는 3\3(=3!)

@ n번 시행 후 남은 정삼각형의 넓이의 합을 Rn이라 하면 R2=3

4R1, R3=3

4R2, y 이므로 9Rn0은 공비가 3

4 인 등비수열이다.

처음 정삼각형의 한 변의 길이가 4이므로 넓이는 j3

4 \4@=4j3 ∴ R1=4j3\3

4=3j3

따라서 10회 시행 후 남은 정삼각형의 넓이의 합은 R10=3j3\[3

4 ]!)_!=3j3\[ 34](

유제

10-1

⑴ 원 C의 넓이는 p\2@=4p

n회 시행에서 그린 원의 넓이의 합을 Rn이라 하자.

1회 시행에서 반지름의 길이가 1인 원을 2개 그리므로 R1=2\p\1@=2p

2회 시행에서 반지름의 길이가 1

2 인 원을 4개 그리므로 R2=4\p\[1

2 ]@=p 따라서 9Rn0은 공비가 1

2 인 등비수열이므로 R10=2p\[1

2 ]!)_!=[ 12]*p

⑵ 1회 시행에서 2개, 2회 시행에서 {2\2}개, y의 원을 그리므 로 각 시행에서 그린 원의 개수는 공비가 2인 등비수열이다.

따라서 1회 시행부터 10회 시행까지 그린 원의 개수는 2{2!)-1}

2-1 =2!!-2

167^쪽 예제

11

⑴ 1년 초에 적립한 100만 원의 원리합계는 100{1+0.05}!)(만 원)

2년 초에 적립한 100만 원의 원리합계는 100{1+0.05}((만 원)

⋮

10년 초에 적립한 100만 원의 원리합계는 100{1+0.05}(만 원)

따라서 첫째항이 100{1+0.05}=105(만 원)이고 공비가 1+0.05=1.05인 등비수열에서 제1항부터 제10항까지의 합

이므로

105{1.05!)-1}

1.05-1 =105\0.63

0.05 =1323(만 원)

따라서 10년 후 연말에 받을 수 있는 금액은 1323만 원이다.

⑵ 10년 초 연금을 모두 받는 시점을 기준으로

1년 초에 받는 100만 원의 원리합계는 100{1+0.05}((만 원) 2년 초에 받는 100만 원의 원리합계는 100{1+0.05}*(만 원) ⋮

10년 초에 받는 100만 원의 원리합계는 100만 원 따라서 연금의 원리합계의 합은

100{1.05!)-1}

1.05-1 (만 원) yy ①

또 일시불로 받는 금액을 A만 원이라 하면 10년 초 이 금액의 원리합계는 A{1+0.05}((만 원) yy ②

①, ②가 같아야 하므로 100{1.05!)-1}

0.05 =A\1.05(

∴ A =100{1.05!)-1}

0.05 \1.05_( =100

0.05{1.05-1.05_(}

=2000{1.05-0.64}=820(만 원) 따라서 일시불로 받는 금액은 820만 원이다.

유제

11-1

⑴ 1년 초에 적립한 100만 원의 원리합계는 100{1+0.04}@){만 원)

2년 초에 적립한 100만 원의 원리합계는 100{1+0.04}!((만 원)

⋮

20년 초에 적립한 100만 원의 원리합계는 100{1+0.04}(만 원)

따라서 첫째항이 100{1+0.04}=104(만 원)이고 공비가 1+0.04=1.04인 등비수열에서 제1항부터 제20항까지의 합

이므로

104{1.04@)-1}

1.04-1 =104\1.2

0.04 =3120(만 원) 1.63

2.2

07.

^{등차수열과 등비수열}

85

따라서 20년 후 연말에 받을 수 있는 금액은 3120만 원이다.

⑵ 매년 연말에 a만 원을 받는다고 하면 20년 말 마지막으로 받는 시점을 기준으로

1년 말에 받는 a만 원의 원리합계는 a{1+0.04}!((만 원) 2년 말에 받는 a만 원의 원리합계는 a{1+0.04}!*(만 원) ⋮

20년 말에 받는 a만 원의 원리합계는 a만 원 따라서 받는 돈의 원리합계의 합은 a{1.04@)-1}

1.04-1 (만 원) yy ①

또 연초에 예금한 2000만 원의 20년 말에 원리합계는 2000{1+0.04}@)(만 원) yy ②

①, ②가 같아야 하므로 a{1.04@)-1}

1.04-1 =2000\1.04@) a\{2.2-1}

0.04 =2000\2.2 a=2000\2.2\0.04

1.2 =146.6\\\

따라서 매년 147만 원씩 받을 수 있다.

01

일정한 수가 곱해지지 않은 수열을 찾는다.

①은 -1, ③은 1

2 , ④는 0.1이 곱해진 꼴이다.

⑤ j2+1

3+2j2=j2-1, 3-2j2

j2-1=j2-1이므로 j2-1이 곱해진 꼴이다.

②는 일정한 수가 곱해진 꼴이 아니다.

02

공비를 r라 하자.

a3=4a1에서 a1 r@=4a1 a1=0이므로 r @=4 yy ① a7=a6@에서 a1 r ^={a1 r %}@, 1=a1 r $

①을 대입하면 1=a1\4@ ∴ a1= 1 16

01

^②

02

^①

03

^⑤

04

⑴ 0 ⑵ {2-j2}{1-2!)}

05

¹₂

06

^⑤

07

¹₉

08

^④

09

^③

10

^③

11

⁴⁰

12

²⁷

13

^④

14

^①

15

^16단계

16

^1-[1_{2 ]!)}

17

^{83만 원}

168^~170^쪽 연습 문제

03

공비를 r라 하면 세 실수는 4r, 4r @, 4r #이므로 세 실수의 곱은 4r\4r @\4r #=4# r ^ yy ① 또 등비수열 4, 4r, 4r @, 4r #, 1

4 에서 1

4 은 제5항이므로 1

4=4r $, r $=1

16 ∴ r @=1

4 (∵ r @>0)

①에 대입하면 4#\[1 4 ]#=1 note r=-1

2 일 때 4와 1

4 사이의 세 실수는 -2, 1, -1 2 이고 r=1

2 일 때 4와 1

4 사이의 세 실수는 2, 1, 1

2 이다. 이를 이용하여 세 실 수의 곱을 구할 수도 있다.

04

주어진 수열의 제1항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하자.

⑴ 첫째항이 1, 공비가 i이므로 S20=1\{i @)-1}

i-1 =1-1 i-1=0

note 1+i+i @+i #=1+i+{-1}+{-i}=0임을 이용하 여 S20의 값을 구할 수도 있다.

⑵ 첫째항이 j2, 공비가 -j2이므로 S20 =j291-{-j2}@)0

1+j2 =j2{j2-1}{1-2!)}

{j2+1}{j2-1}

={2-j2}{1-2!)}

05

^Sn=1\{3N-1}_3-1 ^=3N-1₂ ^이므로

Sn+p=3N-1 2 +p=3

2\3N_!-1 2+p 따라서 -1

2+p=0, 곧 p=1

2 이면 9Sn+p0는 첫째항이 3 2 , 공비 가 3인 등비수열이다.

06

an=3N_!이므로 1

a1+2 a2+2@

a3+y+2N_!

an =1

1+2 3+2@

3@+y+2N_!

3N_! =1+2 3+[2

3 ]@+y+[2 3 ]N_!

=

1\- 1-[2 3 ]N = 1-2

3

=3- 1-[2 3 ]N =

07

공비를 r라 하고 a2, a3, y, a6을 a1과 r로 나타낸다.

공비를 r라 하자.

a1+a2+a3=10이므로 a1+a1 r+a1 r @=10 ∴ a1{1+r+r @}=10 yy ① a4+a5+a6=30이므로 a1 r #+a1 r $+a1 r %=30 ∴ a1 r #{1+r+r @}=30 yy ②

②_①을 하면 r #=3 ∴ a5+a8

a11+a14 =a1 r $+a1 r &

a1 r !)+a1 r !#=a1 r ${1+r #}

a1 r !){1+r #}

=1 r ^= 1

{r #}@=1 9

08

등비수열이 아닌 경우 반례를 생각한다.

an=a1 r N_! {r=0}이라 하자.

① 2an=2a1 r N_!이므로 92an0은 첫째항이 2a1이고 공비가 r인 등비수열이다.

② an@=a1@{r N_!}@=a1@{r @}N_!이므로 9an@0은 첫째항이 a1@이고 공비가 r @인 등비수열이다.

③ an'1+an=a1 r N+a1 r N_!=a1{r+1}r N_!이므로 9an'1+an0은 첫째항이 a1{r+1}이고 공비가 r인 등비수열이다.

④ an=2N이면 - n an =은

1 2 ,

2 2@, 3

2#, y이므로 등비수열이 아니다.

⑤ an'1 an=a1 r N a1 r N_!=a1@ r @N_!=a1@ r{r @}N_!이므로 9an'1 an0 은 첫째항이 a1@ r이고 공비가 r @인 등비수열이다.

따라서 등비수열이 아닌 것은 ④이다.

09

A{a}, B{b}일 때,

선분 AB를 m`:`n으로 내분하는 점은 mb+na m+n 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점이 C{y}이므로 y=1\6+2\x

1+2 ∴ 2x=3y-6 yy ① x, y, 6이 이 순서로 등비수열이므로 y @=6x yy ②

①, ②에서 x를 소거하면

y @=3{3y-6}, y @-9y+18=0

{y-3}{y-6}=0 ∴ y=3 또는 y=6 y=3이면 x=3

2 , y=6이면 x=6 x<6이므로 x=3

2

10

등비수열을 이루는 네 수를 a, ar, ar @, ar #으로 놓는다.

네 수 a, c, b, d의 공비를 r라 하면 c=ar, b=ar @, d=ar #

이차방정식 2x @-ax+4=0의 근과 계수의 관계에서 a+b=a

2 ∴ a+ar @=a

2 yy ①

ab=2 ∴ a\a r @=a @ r @=2 yy ② 또 이차방정식 x @+bx+8=0의 근과 계수의 관계에서 c+d=-b ∴ ar+ar #=-b yy ③ cd=8 ∴ ar\ar #=a @ r $=8 yy ④

④_②를 하면 r @=4 ∴ a @=1 2 (∵ ②)

①에서 a @=4a@{1+r @}@=4\1

2\{1+4}@=50

③에서 b @=a@ r @{1+r @}@=1

2\4\{1+4}@=50 ∴ a @+b @ =100

11

an'1@=an an'2이면 9an0은 등비수열이다.

an'1@=an an'2에서 an'1 an =an'2

an'1 이므로 9an0은 등비수열이다.

공비를 r라 하면 a1=4, a6=8에서

4\r %=8 ∴ r %=2 ∴ a11

a1+a12

a2+y+a20 a10 =a1 r !)

a1 +a1 r !!

a1 r +y+a1 r !(

a1 r (

=r !)+r !)+y+r !)

=10r !)=10{r %}@=40 note ak'10

ak =a1 r K"(

a1 r K_!=r !)

12

S5, S15, S10을 첫째항 a1과 공비 r로 나타낸다.

공비를 r`{r>0}이라 하자.

S5=9이므로 a1{r %-1}

r-1 =9 yy ①

S15=63이므로 a1{r !%-1}

r-1 =63 yy ② r !%-1={r %-1}{r !)+r %+1}이므로 ②_①을 하면 r !)+r %+1=7, r !)+r %-6=0, {r %+3}{r %-2}=0 r>0이므로 r %=2

∴ S10 =a1{r !)-1}

r-1 =a1{r %-1}{r %+1}

r-1

=S5{r %+1}=9{2+1}=27

13

an=Sn-Sn-1 {n>2}, a1=S1을 이용한다.

n>2일 때, Sn=2N_!+5에서

an =Sn-Sn-1=2N_!+5-{2N_@+5}

=2N_!-2N_@=2N_@{2-1}=2N_@

이므로 a5=2#=8 또 a1=S1=6

∴ a1+a5=6+8=14

note a5=S5-S4={2$+5}-{2#+5}=8

14

pAqB ( p, q는 서로 다른 소수)의 약수의 합은 {1+p+p@+y+pA}{1+q+q@+y+qB}

6!@={2\3}!@=2!@\3!@이므로 약수의 합은 {1+2+2@+y+2!@}{1+3+3@+y+3!@}

=1\{2!#-1}

2-1 \1\{3!#-1}

3-1 =1

2{2!#-1}{3!#-1}

=1

2{2\2!@-1}{3\3!@-1}=1

2{2A-1}{3B-1}

15

^{삼등분하여 가운데 1}3 을 버리는 시행이므로 남는 선분 은 전 단계의 2

3 이다.

1단계에서 남은 선분의 길이의 합은 2 3 a 2단계에서 남은 선분의 길이의 합은 2

3 a\2 3=[2

3 ]@a 3단계에서 남은 선분의 길이의 합은 [2

3 ]@a\2 3=[2

3 ]#a ⋮

n단계에서 남은 선분의 길이의 합은 [2 3 ]Na 따라서 16단계부터 길이의 합이 [2

3 ]!^a 이하가 된다.

07.

^{등차수열과 등비수열}

87 16

각 단계에서 새롭게 색칠한 정사각형의 개수와 정사각형

1개의 넓이부터 구한다.

10단계까지 각 단계에서 새롭게 색칠한 정사각형의 개수는 2, 4, 8, y, 2!)

또 새롭게 색칠한 정사각형 1개의 넓이는 [1

2 ]@, [ 1 4 ]@, [

1

8 ]@, y, [ 1 2!) ]@

따라서 색칠한 모든 정사각형의 넓이의 합은 2\[1

2 ]@+4\[1

4 ]@+8\[1

8 ]@+y+2!)\[ 1 2!) ]@

=1 2+1

4+1

8+y+ 1 2!)=

1 2 - 1-[1

2 ]!) = 1-1

2 =1-[1

2 ]!)

17

적립금의 총합은 등비수열의 합을 이용한다.

매월 초 a만 원을 적립할 때, 12개월 후 말에 적립금의 원리합계 의 합이 1000만 원이라 하면

a{1+0.005}+a{1+0.005}@+y+a{1+0.005}!@

=a\1.005\{1.005!@-1}

1.005-1 =10#(만 원) ∴ a= 10#\0.005

1.005{1.005!@-1}= 5

1.005{1.06-1}=82.9\\\

따라서 매월 초 83만 원을 적립해야 한다.

1-1

^{⑴ 수열 -} an =이 등차수열이다.¹ - 1

an =의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 1 a2=1

2 , 1 a5=1

5 이므로 1

2=a+d, 1

5=a+4d 두 식을 연립하여 풀면 a=3

5 , d=-1 10 따라서 - 1

an =의 제n항은 1

an=3

5+{n-1}\[-1

10 ]=7-n 10 ∴ an= 10

7-n

⑵ x, 6, y가 이 순서로 등차수열이므로

12=x+y yy ①

1 x ,

2 9 ,

1

y 이 이 순서로 등차수열이므로 2\2

9=1 x+1

y ∴ 4 9=x+y

xy yy ②

①을 ②에 대입하면 4 9=12

xy ∴ xy=27 yy ③ 171^쪽

01

두 수열을 나열하고 공통부분을 찾는다.

92n+10 : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, y 93n+30 : 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, y

따라서 두 수열의 공통인 항은 9, 15, 21, y이므로 수열 9an0은 첫째항이 9, 공차가 6인 등차수열이다.

∴ an=9+{n-1}\6=6n+3 ∴ a30=6\30+3=183

02

교점의 x좌표는 등차수열을 이루고, 그래프는 y축에 대 칭임을 이용한다.

y=|x @-9|의 그래프가 y축에 대칭

x y

O

-3p-p p 3p

y=|x@-9|

이므로 교점의 x좌표도 y축에 대칭 y=k

이다.

따라서 등차수열을 이루는 x좌표를 차례로 -3p, -p, p, 3p {p>0}으로 놓을 수 있다.

p는 방정식 -{x @-9}=k의 해이므로 -p@+9=k yy ① 3p는 방정식 x @-9=k의 해이므로 9p@-9=k yy ②

①, ②에서 p를 소거하기 위해 ①\9+②를 하면 9@-9=10k ∴ k=36

5

note 네 수가 등차수열이면 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓 는다. 이 문제에서는 a=0인 경우이다.

03

sABD, sBCD, sACB가 닮음 삼각형이다.

⑴ sABD, sBCD, sACB의 넓 ^A

B C

D

y

이를 차례로 x, y, z라 하자. x

이를 차례로 x, y, z라 하자. x

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