1
⑴ 2R=sin A 이므로 a2R= 2 sin 30!=2
1 2
=2\2
1=4 ∴ R=2
⑵ 2R= a
sin A에서 a=2R sin A이므로 a=2\10\sin 45!=2\10\ j2 k
2 =10j2 k
⑶ 2R= a
sin A에서 sin A= a 2R이므로 sin A=5j3 k
2\5= j3 k
2 ∴ A=60! 또는 A=120!
A는 예각이므로 A=60!
2
⑴ sin Aa =sin B 이므로 b sin 60!6 =sin 45!b∴ b= 6 j3 k2
\ j2 k 2 =6\ 2
j3 k\ j2 k 2=2j6 k
⑵ C=180!-{60!+45!}=75!
또 b sin B= c
sin C이므로 2j6 k sin 45!= c
sin 75!
∴ c =2j6 k j2 k2
\ j6 k+j2 k
4 =2j6 k\ 2j2 k\ j6 k+j2 k 4
=3j2 k+j6 k
⑶ 2R= a
sin A이므로 2R= 6
sin 60!= 6 j3 k2
=6\ 2
j3 k=4j3 k ∴ R=2j3 k
3
⑴ 원 O는 삼각형 ACD의 외접원이므로 2R= ACZsin 120!=5j3 k j3 k2
=5j3 k\ 2j3 k=10 ∴ R=5
⑵ 삼각형 ABD에서 BDZ=10=2R이므로 CBAD=90!
4
⑴ a@ =b@+c@-2bc cos A=4@+6@-2\4\6\cos 60!
=16+36-24=28 ∴ a=2j7 k
130쪽 개념 확인
01 삼각형의 각과 변
06 . 삼각형과 삼각함수
⑵ b@ =c@+a@-2ca cos B
=10@+5@-2\10\5\cos 120!
=100+25+50=175 ∴ b=5j7 k
5
⑴ cos A=b@+c@-a@2bc =5@+6@-4@2\5\6 =25+36-1660 =34⑵ cos B=c@+a@-b@
2ca =6@+4@-5@
2\6\4 =36+16-25 48 = 9
16
131쪽 예제
1
⑴ cos A ={j6 k}@+{j3 k+1}@-2@
2j6 k{j3 k+1} =6+4+2j3 k-4 2j6 k{j3 k+1}
= 2{3+j3 k}
2j6 k{j3 k+1}= 2{3+j3 k}
2j2 k{3+j3 k}= 1 j2 k= j2 k
2 ∴ A=45!
cos B ={j3 k+1}@+2@-{j6 k}@
2{j3 k+1}\2 =4+2j3 k+4-6 4{j3 k+1}
=2{1+j3 k}
4{j3 k+1}=1 2 ∴ B=60!
∴ C=180!-{A+B}=180!-{45!+60!}=75!
note cos C=2@+{j6 k}@-{j3 k+1}@
2\2j6 k = j6 k-j2 k 4 이므로 C를 바로 구하기 쉽지 않다.
이런 경우 cos A, cos B를 계산하면 된다.
⑵ C
A 60! B
4
2j3+2 a
a@ =4@+{2j3 k+2}@-2\4{2j3 k+2} cos 60!
=16+16+8j3 k-8j3 k-8=24 ∴ a=2j6 k yy ① cos B ={2j3 k+2}@+{2j6 k}@-4@
2{2j3 k+2}\2j6 k =16+8j3 k+24-16 8j6 k{j3 k+1}
= 8{3+j3 k}
8j6 k{j3 k+1}= 3+j3 k j2 k{3+j3 k}= 1
j2 k= j2 k 2 ∴ B=45!
∴ C=180!-{A+B}=180!-{60!+45!}=75!
다른 풀이 ①을 구한 다음 a
sin 60!= b
sin B를 이용하면 2j6 k
j3 k2
= 4
sin B, sin B=j2 k 2
∴ B=45! 또는 B=135!
세 내각의 크기의 합이 180!이므로 B=135!는 불가능하다.
∴ B=45!, C=75!
⑶ C
A 45! 75! B
j3 b a
C=180!-{A+B}=180!-{45!+75!}=60!
a sin A= c
sin C이므로 a
sin 45!= j3 k sin 60!
∴ a= j3 k j3 k2
\ j2 k 2 =j2 k
b sin B= c
sin C이므로 b
sin 75!= j3 k sin 60!
∴ b= j3 k j3 k2
\ j6 k+j2 k
4 = j6 k+j2 k 2
유제
1-1
⑴ a@ =6@+{3j2 k-j6 k}@-2\6{3j2 k-j6 k} cos 45!=36+{24-12j3 k}-12{3j2 k-j6 k}\ j2 k 2
=24
∴ a=2j6 k yy ① cos B ={3j2 k-j6 k}@+{2j6 k}@-6@
2{3j2 k-j6 k}\2j6 k =24-12j3 k+24-36 4j6 k{3j2 k-j6 k}
=-12{j3 k-1}
24{j3 k-1} =-1 2 ∴ B=120!
∴ C=180!-{A+B}=180!-{45!+120!}=15!
다른 풀이 ①에서 a sin A= b
sin B이므로 2j6 k sin 45!= 6
sin B
sin B=6\
j2 k 2 2j6 k= j3 k
2 ∴ B=60! 또는 B=120!
그런데 b>c이므로 B>C이다.
∴ B=120!
∴ C=180!-{A+B}=180!-{45!+120!}=15!
⑵ C=180!-{A+B}=180!-{105!+45!}=30!
a sin A= c
sin C에서 a
sin 105!= j2 k sin 30!
sin 105!=sin {180!-75!}=sin 75!이므로 a= j2 k
1 2
\ j6 k+j2 k 4 =j3 k+1 b
sin B= c
sin C에서 b
sin 45!= j2 k sin 30!
∴ b= j2 k 1 2
\ j2 k 2 =2
유제
1-2
가장 긴 변의 대각이 가장 크므로 A가 최대이다.∴ cos A=8@+7@-13@
2\8\7 =64+49-169 112 =-1
2 ∴ A=120!
132쪽 예제
2
외접원의 반지름의 길이를 R라 하자.
⑴ sin A= a
2R, sin B= b
2R, sin C= c 2R이므로 sin A：sin B：sin C = a
2R： b 2R： c
2R
=a：b：c=3：4：5
⑵ A+B+C=180!이고 A：B：C=3：4：5이므로 A=180!\ 3
3+4+5=45!, B=180!\ 412=60!
C=180\ 5 12=75!
a=2R sin A, b=2R sin B, c=2R sin C이므로 a：b：c =2R sin A：2R sin B：2R sin C
=sin 45!：sin 60!：sin 75!
= j2 k 2 ：j3 k
2 ：j6 k+j2 k 4
=2j2 k：2j3 k：{j6 k+j2 k}
=2：j6 k：{j3 k+1}
note 답을 j2 k：j3 k： j6 k+j2 k
2 라 해도 된다.
⑶ 2 sin A cos B=sin C에서 2\ a
2R\c@+a@-b@
2ca = c 2R c@+a@-b@=c@, a@=b@
a>0, b>0이므로 a=b
따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.
유제
2-1
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면a=2R sin A, b=2R sin B, c=2R sin C yy`①
⑴ a, b, c가 삼각형 ABC의 세 변이므로 a+b>c
①을 위의 부등식에 대입하면 2R sin A+2R sin B>2R sin C ∴ sin A+sin B>sin C
⑵ 삼각형 ABC는 C=90!인 직각삼각형이므로 a@+b@=c@
①을 위의 등식에 대입하면
{2R sin A}@+{2R sin B}@={2R sin C}@
∴ sin@ A+sin@ B=sin@ C
⑶ a：b：c =2R sin A：2R sin B：2R sin C (∵ ①)
=sin A：sin B：sin C=6：4：5 ∴ a@：b@：c@=6@：4@：5@=36：16：25
유제
2-2
⑴ 3 sin A=4 sin B=6 sin C에서 각 변을 12로 나누면 sin A4 =sin B 3 =sin C
2 이 식을 k {k>0}으로 놓으면
sin A=4k, sin B=3k, sin C=2k
⇦ \4
⇦ _j2 k
06.
삼각형과 삼각함수67
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
a：b：c =2R sin A：2R sin B：2R sin C
=sin A：sin B：sin C
=4k：3k：2k=4：3：2
⑵ cos A=b@+c@-a@
2bc ={3k}@+{2k}@-{4k}@
2\3k\2k =-1 4 유제
2-3
⑴ 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면sin A= a
2R, sin B= b
2R, sin C= c 2R a sin A=b sin B+c sin C에 대입하면 a\ a
2R=b\ b
2R+c\ c
2R ∴ a@=b@+c@
따라서 삼각형 ABC는 A=90!인 직각삼각형이다.
⑵ a cos A=b cos B에서 a\b@+c@-a@
2bc =b\c@+a@-b@
2ca a@{b@+c@-a@}=b@{c@+a@-b@}
a@c@-a$=b@c@-b$
{a@-b@}c@-{a$-b$}=0 {a@-b@}{c@-a@-b@}=0
a>0, b>0이므로 a=b 또는 c@=a@+b@
따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90!인 직각삼각형이다.
{a@+b@}{a@-b@}
133쪽 예제
3
오른쪽 그림과 같이 열기구의 위치를
A
B 1 C
45! 30!
60!
P
점 P라 하고 PAZ=x {km}라 하자. x
직각삼각형 PAB에서 tan 45!= x
ABZ ∴ ABZ=x 직각삼각형 PAC에서 tan 30!= x
ACZ ∴ ACZ=j3 kx 삼각형 ABC에서 CABC=60!이므로 코사인법칙을 쓰면 {j3 kx}@=x@+1@-2x cos 60!
2x@+x-1=0, {x+1}{2x-1}=0 x>0이므로 x=1
2
따라서 A 지점에서 열기구까지의 높이는 500 m이다.
유제
3-1
오른쪽 그림과 같이 P 지 P30! 45!
A 100
B H
x
점에서 지면에 내린 수선의 발을 H 라 하고 PHZ=x{m}라 하자.
직각삼각형 PBH에서 tan 45!= x
BHZ ∴ BHZ=x
직각삼각형 AHP에서 tan 30!=PHZ
AHZ= x x+100 tan 30!= j3 k
3 이므로 j3 k 3 = x
x+100 에서 j3 k{x+100}=3x, {3-j3 k}x=100j3 k`
∴ x=100j3 k
3-j3 k=100j3 k{3+j3 k}
6 =50j3 k+50{m}`
유제
3-2
오른쪽 그림과 같이 CA B
500 H
45! 60!
x
CHZ=x {m}라 하자.
직각삼각형 CAH에서 tan 45!= x
AHZ ∴ AHZ=x 직각삼각형 CBH에서
tan 60!= x
BHZ ∴ BHZ= xj3 k CAHB=90!이므로 삼각형 ABH에서 x@+[ x
j3 k]@=500@, 43x@=500@, 2 j3 kx=500 ∴ x=250j3 k
따라서 산의 높이는 250j3 k`m이다.
134쪽 예제
4
오른쪽 그림과 같이 점 P와 반직선
P
P"
O
P'
A A'
B' B Q
R 35!
OQ, OR에 대칭인 점을 각각 P', P"이라 하자.
선분 P'P"이 반직선 OQ, OR와 만 나는 점을 각각 A, B라 하면 PAZ+ABZ+BPZ가 최솟값 L이고 L=PX'P"Z이다.
CP'OQ=CPOQ, CP"OR=CPOR이고 CQOR=35!이므로 CP'OP"=2CQOR=70!
또 OXP'Z=OXP"Z=OPZ=30이므로 삼각형 P'OP"에서 코사인법칙 을 쓰면
L @=30@+30@-2\30\30 cos 70!
이때 cos 70!=sin 20!=0.34이므로 L @=900+900-900\2\0.34=1188 유제
4-1
해양 경찰서가 있는 부두를B A
C
P
x!
135!
45!
10 10
A, 불법 어선의 30분 전 위치를 B, 현 재 위치를 C라 하고, P 지점에서 따라 잡았다고 하자.
3 0분 동안 불법 어선은 B 지점에서 C 지점까지 움직였고, 직각삼각형 ABC에서
BCZ=7 ABZ @+ACZ @ 9=110@+10@ 3=10j2 k{km}
이므로 불법 어선의 속력은 10j2 k