03 . 지수와 로그의 방정식과 부등식

64^쪽 예제

1

⑴ 9^x+1={3@}^x+1=3^2x+2이므로 3^2x+2=3^x@-1에서 2x+2=x@-1, x@-2x-3=0

{x+1}{x-3}=0 ∴ x=-1 또는 x=3

⑵ [ 23 ]X=[ 32 ]_X이므로 [ 32 ]@X"!=[ 32 ]_X에서 2x+1=-x ∴ x=-1

3

⑶ 9X"!=9\9X=9\{3@}X=9\{3X}@이므로 3X=t로 놓으면 9t@-10t+1=0, {9t-1}{t-1}=0

∴ t=1

9 또는 t=1

t=1

9 일 때 3X=3_@에서 x=-2 t=1일 때 3X=1에서 x=0

⑷ 2_X=1

2X이므로 2X=t로 놓으면 t-3 t=2 양변에 t를 곱하면 t@-3=2t

t@-2t-3=0, {t+1}{t-3}=0 t>0이므로 t=3

곧, 2X=3이므로 x=log2 3

⑸ 2X"@=3X의 양변에 상용로그를 생각하면 log 2X"@=log 3X, {x+2} log 2=x log 3 x{log 3-log 2}=2 log 2 ∴ x= 2 log 2

log 3-log 2

⑹ x^2x=x^x@에서

! x=1이면 2x=x@ ∴ x=2 (∵ x>0)

@ x=1이면 (좌변)=1@=1, (우변)=1!=1이므로 등식이 성립한다.

!, @에서 x=1 또는 x=2

유제

1-1

^{⑴ [}_{36 ]@X_#}¹ ={6_@}@X_#=6_$X"^이므로 6X"!=6_$X"^에서 x+1=-4x+6 ∴ x=1

⑵ [ 1

j3 k]#X={3^-2!}#X=3^-2#x, 9#_X={3@}#_X=3^_@X이므로 3^-2#x=3^_@X에서 -3

2 x=6-2x ∴ x=12

유제

1-2

^{⑴ [1}_{9 ]X}^=[1_{3 ]@X, [}¹_{3 ]X_!}^=3\[1_{3 ]X이므로}

[ 13 ]X=t로 놓으면

t@+3t-18=0, {t+6}{t-3}=0 t>0이므로 t=3, [1

3 ]X=3 ∴ x=-1

⑵ [ 12 ]X_#=8\[ 12 ]X이므로 [ 12 ]X=t로 놓으면 6-1

t=8t, 6t-1=8t@, 8t@-6t+1=0 {4t-1}{2t-1}=0 ∴ t=1

4 또는 t=1 2 t=1

4일 때 [ 12 ]X=[ 12 ]@에서 x=2 t=1

2일 때 [ 12 ]X=1

2에서 x=1

유제

1-3

⑴ 5X=3@X_!의 양변에 상용로그를 생각하면 log 5X=log 3@X_!, x log 5={2x-1} log 3 x{2 log 3-log 5}=log 3

∴ x= log 3 2 log 3-log 5

⑵ {x@}^x+1=x^2x+2이므로 x^2x+2=x^x@+x-4에서

! x=1이면 2x+2=x@+x-4, x@-x-6=0

03.

지수와 로그의 방정식과 부등식

29

65^쪽 예제

2

⑴ 진수 조건에서 x@+3x>0 yy ① log2 {x@+3x}=2에서 x@+3x=2@

x@+3x-4=0, {x+4}{x-1}=0 ∴ x=-4 또는 x=1

모두 ①을 만족하므로 x=-4 또는 x=1

⑵ 진수 조건에서 3x+4>0, x-1>0 yy ② 주어진 방정식은 log {3x+4}+log {x-1}=1 log {3x+4}{x-1}=1, {3x+4}{x-1}=10 3x@+x-14=0, {3x+7}{x-2}=0 ∴ x=-7

3 또는 x=2 x=2만 ②를 만족하므로 x=2

⑶ 진수 조건에서 x+2>0, x@+8>0 yy ③ log9 {x@+8}=log3@ {x@+8}=1

2 log3 {x@+8}이므로 log3 {x+2}=1

2 log3 {x@+8}

2 log3 {x+2}=log3 {x@+8}

log3 {x+2}@=log3 {x@+8}

{x+2}@=x@+8, 4x=4 ∴ x=1

③을 만족하므로 x=1

⑷ log5 x#=3 log5 x이므로 log5 x=t로 놓으면 t@+3t-10=0, {t+5}{t-2}=0 ∴ t=-5 또는 t=2

t=-5일 때 log5 x=-5에서 x=5_%=1 5%

t=2일 때 log5 x=2에서 x=5@=25

⑸ logx 10= 1

log x이므로 log x=t로 놓으면 t+1=2 t t@+t-2=0, {t+2}{t-1}=0

∴ t=-2 또는 t=1

t=-2일 때 log x=-2에서 x=10_@= 1 100 t=1일 때 log x=1에서 x=10

⑹ x^{log3 x}=27x@의 양변에 밑이 3인 로그를 생각하면

log3 x^{log3 x}=log3 27x@

{log3 x}{log3 x}=log3 3#+log3 x@

{log3 x}@=3+2 log3 x

{x+2}{x-3}=0 ∴ x=3 (∵ x>0)

@ x=1이면 (좌변)=1@"@=1, (우변)=1!"!_$=1이므로 등식이 성립한다.

!, @에서 x=1 또는 x=3

log3 x=t로 놓으면 t@=3+2t, t@-2t-3=0 {t+1}{t-3}=0 ∴ t=-1 또는 t=3 t=-1일 때 log3 x=-1에서 x=3_!=1

3 t=3일 때 log3 x=3에서 x=3#=27

유제

2-1

⑴ 진수 조건에서 x@-20x>0 yy ① log5 {x@-20x}=3에서 x@-20x=5#

x@-20x-125=0, {x+5}{x-25}=0 ∴ x=-5 또는 x=25

모두 ①을 만족하므로 x=-5 또는 x=25

⑵ 진수 조건에서 x-4>0, 5x+4>0 yy ② log9 {5x+4}=log3@ {5x+4}=1

2 log3 {5x+4}이므로 2 log3 {x-4}=log3 {5x+4}

log3 {x-4}@=log3 {5x+4}

{x-4}@=5x+4, x@-13x+12=0 {x-1}{x-12}=0 ∴ x=1 또는 x=12 x=12만 ②를 만족하므로 x=12

유제

2-2

^{⑴ log3 jx k=1}₂ log3 x이므로 log3 x=t로 놓으면 t@-3t+2=0, {t-1}{t-2}=0

∴ t=1 또는 t=2 t=1일 때 log3 x=1에서 x=3 t=2일 때 log3 x=2에서 x=3@=9

⑵ logx 1

2=-logx 2=- 1

log2 x이므로 log2 x=t로 놓으면 t=-4

t+5, t@-5t+4=0, {t-1}{t-4}=0 ∴ t=1 또는 t=4

t=1일 때 log2 x=1에서 x=2 t=4일 때 log2 x=4에서 x=2$=16

유제

2-3

^{x2 log4 x}=16x#의 양변에 밑이 4인 로그를 생각하면

log4 x^{2 log4 x}=log4 16x#

{2 log4 x}{log4 x}=log4 4@+log4 x# ` 2{log4 x}@=2+3 log4 x`

log4 x=t로 놓으면 2t@=2+3t

2t@-3t-2=0, {2t+1}{t-2}=0 ∴ t=-1

2 또는 t=2 t=-1

2 일 때 log4 x=-1

2 에서 x=4^-2!=2_!=1 2 t=2일 때 log4 x=2에서 x=4@=16

따라서 해의 곱은 1 2\16=8

66^쪽 예제

3

⑴ 주어진 방정식은 {3X}@-27\3X+9=0 yy ① 3X=t로 놓으면 t@-27t+9=0 yy ②

①의 두 근을 a, b라 하면 ②의 두 근은 3^a, 3^b이다.

근과 계수의 관계에서

3^a\3^b=9, 3^a+b=3² ∴ a+b=2

⑵ 주어진 방정식은 {log x}@+4 log x-4=0 yy ① log x=t로 놓으면 t@+4t-4=0 yy ②

①의 두 근을 a, b라 하면 ②의 두 근은 log a, log b이다.

근과 계수의 관계에서

log a+log b=-4, log ab=-4 ∴ ab=10_$= 1

10000

⑶ 주어진 방정식은 {2X}@-2a\2X+a+6=0 yy ① 2X=t로 놓으면 t@-2at+a+6=0 yy ②

①의 두 근을 a, b라 하면 ②의 두 근은 2^a, 2^b이고, 2^a>0, 2^b>0이므로 ②의 근은 서로 다른 두 양수이다.

! D

4=a@-{a+6}>0에서 a@-a-6>0 {a+2}{a-3}>0 ∴ a<-2 또는 a>3

@ 2^a+2^b=2a>0에서 a>0

# 2^a2^b=a+6>0에서 a>-6

!, @, #에서 a>3

유제

3-1

주어진 방정식은 8-2X=2#\2_X yy ① 2X=t로 놓으면 8-t=8

t

8t-t@=8 ∴ t@-8t+8=0 yy ②

①의 두 근을 a, b라 하면 ②의 두 근은 2^a, 2^b이다.

근과 계수의 관계에서

2^a\2^b=8, 2^a+b=2# ∴ a+b=3

유제

3-2

^{log3 x}₃=log3 x-1,

20 log9 x=20 log3@ x=10 log3 x 이므로 주어진 방정식은

{log3 x-1}@-10 log3 x+25=0

∴ {log3 x}@-12 log3 x+26=0 yy ① log3 x=t로 놓으면 t@-12t+26=0 yy ②

①의 두 근을 a, b라 하면 ②의 두 근은 log3 a, log3 b이다.

근과 계수의 관계에서

log3 a+log3 b=12, log3 ab=12 ∴ ab=3!@

유제

3-3

^{주어진 방정식은}

{3X}@+3m\3X-6m=0 yy ① 3X=t로 놓으면 t@+3mt-6m=0 yy ②

67^쪽 예제

4

⑴ 두 식에서 y를 소거하면 2X=-[ 12 ]X+k yy ① 이 방정식의 두 근을 a, b {a<b}라 하면 A, B가 곡선 y=2X 위의 점이므로 A{a, 2^a}, B{b, 2^b}이다.

선분 AB의 중점의 좌표가 [a, 54 ]이므로 a+b

2 =a, 2^a+2^b 2 =5

4 yy ②

①에서 2X=t로 놓으면 t=-1

t+k, t@=-1+kt ∴ t@-kt+1=0 이 방정식의 두 근이 2^a, 2^b이므로 근과 계수의 관계에서 2^a+2^b=k, 2^a\2^b=1

2^a\2^b=1에서 2^a+b=1, 곧 a+b=0

②에 대입하면 a=0

또 2^a+2^b=k를 ②에 대입하면 k

2=5

4 ∴ k=5 2

⑵ Q{a, log_2! a}, R{b, log2 b}라 하자.

QRZ=2이므로 b-a=2 ∴ b=a+2 yy ① 또 Q, R의 y좌표가 같으므로 log_2! a=log2 b yy ② log_2! a=log2_! a=-log2 a=log2 a_!이므로 ②는 log2 a_!=log2 b, a_!=b ∴ b=1

a

①에 대입하면 1

a=a+2, a@+2a-1=0 ∴ a=-1-j2 k

a>0이므로 a=-1+j2 k

①에 대입하면 b=1+j2 k ∴ PQZ @+PRZ @ =a@+b@

={-1+j2 k}@+{1+j2 k}@=6

다른 풀이 P{0, p}라 하자.

y=log_2! x에 y=p를 대입하면

p=log_2! x, x=[ 12 ]P=2_P ∴ Q{2_P, p}

또 y=log2 x에 y=p를 대입하면

①의 두 근을 a, b라 하면 ②의 두 근은 3^a, 3^b이고, 3^a>0, 3^b>0이므로 ②의 근은 서로 다른 두 양수이다.

! D={3m}@+4\6m>0에서 3m{3m+8}>0 ∴ m<-8

3 또는 m>0

@ 3^a+3^b=-3m>0에서 m<0

# 3^a\3^b=-6m>0에서 m<0

!, @, #에서 m<- 83

03.

지수와 로그의 방정식과 부등식

31

p=log2 x, x=2P ∴ R{2P, p}

QRZ=2이므로 2P-2_P=2 2P=t로 놓으면

t-1

t=2, t@-2t-1=0 ∴ t=1-j2 k t>0이므로 t=1+j2 k

∴ PQZ @+PRZ @ ={2_P}@+{2P}@={t_!}@+t@

={-1+j2 k}@+{1+j2 k}@=6 유제

4-1

y=2X에 x=0을 대입하면 y=2)=1 또 y=-2X+6에 x=0을 대입하면 y=-2)+6=5 ∴ A{0, 1}, B{0, 5}

y=2X과 y=-2X+6에서 y를 소거하면

O

y y=2X

y=-2X+6 x 1A

5 C B

log2`3

2X=-2X+6, 2\2X=6 2X=3 ∴ x=log2 3 따라서 오른쪽 그림과 같으므로 △ABC =1

2\{5-1}\log2 3

=2 log2 3

유제

4-2

A{2, loga 2}이고 ABZ=2이므로 B{4, logb 4}, C{4, loga 4}

이때 선분 AB가 x축에 평행하므로 A, B의 y좌표가 같다. 곧, loga 2=logb 4 ∴ loga 2=2 logb 2 yy ① 또 BCZ=2이므로 loga 4-logb 4=2

2 loga 2-2 logb 2=2 ∴ loga 2-logb 2=1

①을 대입하면 2 logb 2-logb 2=1, logb 2=1 ∴ b=2

①에 대입하면 loga 2=2 log2 2=2, a@=2 a>0이므로 a=j2 k

01

^{⑴ 1}₄^{=2-2이므로 23x@-4x-9=2-2에서}

3x@-4x-9=-2, 3x@-4x-7=0

{x+1}{3x-7}=0 ∴ x=-1 또는 x=7 3

⑵ 4_X={2_X}@, 2_X"!=2\2_X이므로 2_X=t로 놓으면 t@-10t+16=0, {t-2}{t-8}=0

∴ t=2 또는 t=8

t=2일 때 2_X=2!에서 -x=1 ∴ x=-1 t=8일 때 2_X=2#에서 -x=3 ∴ x=-3

⑶ 5X"!=5\5X, 5_X= 1

5X이므로 5X=t로 놓으면 5t-1

t=4, 5t@-4t-1=0, {5t+1}{t-1}=0 t>0이므로 t=1

곧, 5X=1이므로 x=0

02

a#=4이고 a가 실수이므로 a=#j4 k=4^3!=2^3@

따라서 [ 12 ]X"!=a에서 [ 12 ]X"!=2^3@

2^-{x+1}=2^3@, -x-1=2

3 ∴ x=-5 3

03

⑴ 진수 조건에서 x+2>0 yy ① 주어진 방정식은 log4 {x+2}=3

2 x+2=4^2#={2@}^2#=2# ∴ x=6

①을 만족하므로 x=6

⑵ 진수 조건에서 4+x>0, 4-x>0 yy ② 주어진 방정식은 log2 {4+x}{4-x}=3

{4+x}{4-x}=2#, x@=8 ∴ x=-2j2 k 모두 ②를 만족하므로 x=-2j2 k

⑶ log9 x=1

2 log3 x, log9 3=1 2 이므로 log3 x=t로 놓으면

[1- 12t]t= 12, t@-2t+1=0 ∴ t=1 곧, log3 x=1이므로 x=3

⑷ 2^{2-log x}= 4

2^{log x}이므로 2^{log x}=t로 놓으면 t+4 t=5 t@-5t+4=0, {t-1}{t-4}=0

∴ t=1 또는 t=4

t=1일 때 2^{log x}=2)에서 log x=0 ∴ x=1 t=4일 때 2^{log x}=2@에서 log x=2 ∴ x=10@=100

04

^{xlog2 x}=8x@에서 양변에 밑이 2인 로그를 생각하면

log2 x^{log2 x}=log2 8x@, {log2 x}@=log2 8+log2 x@

{log2 x}@-2 log2 x-3=0 log2 x=t로 놓으면 t@-2t-3=0

{t+1}{t-3}=0 ∴ t=-1 또는 t=3 68^~69^쪽

연습 문제

01

⑴ x=-1 또는 x=7

3 ⑵ x=-3 또는 x=-1

⑶ x=0

02

^x=-5₃

03

⑴ x=6 ⑵ x=-2j2 k ⑶ x=3

⑷ x=1 또는 x=100

04

^③

05

^②

06

^a=-2_{3 ,} ^b=1

07

^④

08

^⑤

09

⑴ x=3, y=2

⑵ x=1

10, y=1000 또는 x=1000, y= 1 10

10

4<k<25

4

11

^⑤

t=-1일 때 log2 x=-1에서 x=2_!=1 2 t=3일 때 log2 x=3에서 x=2#=8 따라서 실근의 곱은 1

2\8=4

05

^{log3! x@=log3_!} x@=-2 log3 x이므로 log3 x=t로 놓으면 -2t+t@-15=0, t@-2t-15=0 yy ①

{t+3}{t-5}=0 ∴ t=-3 또는 t=5 t=-3일 때 log3 x=-3에서 x=3_#

t=5일 때 log3 x=5에서 x=3%

따라서 a=3_#, b=3%으로 놓을 수 있으므로 loga b+logb a =log3_# 3%+log3% 3_#

=-5 3-3

5=-34 15

다른 풀이 ①의 두 근이 log3 a, log3 b이므로 근과 계수의 관계에서

log3 a+log3 b=2, log3 a\log3 b=-15 한편

loga b+logb a =log3 b log3 a+log3 a

log3 b

={log3 b}@+{log3 a}@

log3 a\log3 b

이때 (분자) ={log3 a+log3 b}@-2 log3 a\log3 b

=2@-2\{-15}=34 ∴ loga b+logb a= 34

-15=-34 15

06

logx 8=3 logx 2= 3

log2 x 이므로 log2 x=t로 놓으면 t+3a

t =b ∴ t@-bt+3a=0 yy ① 주어진 방정식의 두 근이 4와 1

2이므로 ①의 두 근은 log2 4=2, log2 1

2=-1 따라서 근과 계수의 관계에서

b=2+{-1}, 3a=2\{-1} ∴ a=-2 3, b=1

다른 풀이 주어진 방정식의 두 근이 4와 1 2이므로 log2 x+ 3a

log2 x=b에 x=4를 대입하면 2+3a 2=b 또 x=1

2을 대입하면 -1-3a=b 두 식을 연립하여 풀면 a=-2

3, b=1

07

f{x+3}, f{x+1}, f{x+2}를 대입하고, a의 값을 구 한다.

f{x+3}=aX"#, f{x+1}=aX"!, f{x+2}=aX"@이므로 aX"#-3aX"!=2aX"@에서 aX"#-2aX"@-3aX"!=0 aX"!>0이므로 aX"!으로 양변을 나누면

a@-2a-3=0, {a+1}{a-3}=0

a>0이므로 a=3

따라서 f{x}=3X이므로 f{2}=3@=9

08

진수가 같으므로 진수가 1이거나 밑이 같음을 이용한다.

! x-3=1일 때 등식이 성립하므로 x=4 이때 밑은 1이 아닌 양수이다.

@ x+2=x@-5x+7일 때, x@-6x+5=0 {x-1}{x-5}=0 ∴ x=1 또는 x=5 진수 조건에서 x-3>0이므로 x=5

이때 밑은 1이 아닌 양수이다.

!, @에서 x=4 또는 x=5

09

⑴ 2X=X, 3Y=Y로 놓고 푼다.

⑵ xy=100의 양변에 상용로그를 생각한다.

⑴ 2X=X, 3Y=Y로 놓으면

-

^3X-2Y=61

4X-1 3Y=-1 두 식을 연립하여 풀면 X=8, Y=9 곧, 2X=8, 3Y=9이므로 x=3, y=2

⑵ xy=100의 양변에 상용로그를 생각하면 log xy=log 100, log x+log y=2

또 log x\log y=-3이므로 log x, log y는 방정식 t@-2t-3=0의 두 근이다.

{t+1}{t-3}=0에서 t=-1 또는 t=3

곧, log x=-1, log y=3 또는 log x=3, log y=-1 ∴ x= 1

10, y=1000 또는 x=1000, y=1 10

10

치환해서 이차방정식의 판별식을 이용한다.

5X=t로 놓으면 t@-5t+k=0 yy ①

주어진 방정식의 해가 서로 다른 두 양수이므로 t>1 곧, ①은 1보다 큰 서로 다른 두 실근을

O y

t 2%

y=f{t}

1

가진다. 따라서 f{t}=t@-5t+k라 할 때, y=f{t}의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 한다.

! D={-5}@-4k>0이므로 k<25 4

@ f{1}=1-5+k>0이므로 k>4

!, @에서 4<k<25 4

11

B, C, D의 좌표를 n의 식으로 나타낸다.

A{2N, 0}, B{2N, n}이므로 선분 AB를 2：3으로 내분하는 점 의 좌표는 [2\2N+3\2N

2+3 , 2\n+3\0

2+3 ], 곧 [2N, 2 5n]이다.

C는 직선 y=2

5n과 곡선 y=log2 x가 만나는 점이므로 x좌표는 2

5n=log2 x에서 x=2^5@n

03.

지수와 로그의 방정식과 부등식

33 1

⑴ 양변의 밑이 같고 1보다 크므로

-x>2x+3 ∴ x<-1

⑵ 양변의 밑이 같고 1보다 크므로 x@<-x+6, x@+x-6<0

{x+3}{x-2}<0 ∴ -3<x<2

2

⑴ 양변의 밑이 같고 1보다 작으므로 3x>x+2 ∴ x>1

⑵ 양변의 밑이 같고 1보다 작으므로 x@+1<3x+5, x@-3x-4<0 {x+1}{x-4}<0 ∴ -1<x<4

3

⑴ 양변의 밑이 같고 1보다 크므로

4x+3>2x+5 ∴ x>1 yy ① 진수 조건에서 4x+3>0이고 2x+5>0 ∴ x>-3

4 yy ②

①, ②의 공통부분은 x>1

⑵ 양변의 밑이 같고 1보다 작으므로

3x+1<2{x+1} ∴ x<1 yy ① 진수 조건에서 3x+1>0이고 2{x+1}>0 ∴ x>-1

3 yy ②

①, ②의 공통부분은 -1 3<x<1

71^쪽 개념 확인

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