07 . 등차수열과 등비수열

151^쪽 개념 확인

01 ^등차수열

⑴ 공차를 d라 하면 a8=8+{8-1}d이므로

36=8+7d ∴ d=4 ∴ a18=8+{18-1}\4=76

⑵ 공차를 d라 하자.

a3=2a1이므로 a1+2d=2a1 ∴ a1=2d yy ① a4+a8=7이므로

{a1+3d}+{a1+7d}=7, 2a1+10d=7 이 식에 ①을 대입하면 4d+10d=7 ∴ d=1

2 , a1=2d=1 곧, an=1+{n-1}\1

2=1 2 n+1

2 이므로 1

2 n+1

2=50에서 1 2 n=99

2 ∴ n=99 따라서 50은 제 99항이다.

⑶ 공차를 d라 하자.

a2=200이므로 a1+d=200 yy ① a12=140이므로 a1+11d=140 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a1=206, d=-6 an<0에서 206+{n-1}\{-6}<0 n-1>206

6 , n-1>34.3\\\ ∴ n>35.3\\\

따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제 36항이다.

⑷ an=-1+{n-1}\3=3n-4 ∴ a2n'1=3{2n+1}-4=6n-1 또 제20항은 6n-1에 n=20을 대입하면 6\20-1=119

유제

1-1

⑴ 공차를 d라 하자.

a3=-12이므로 a1+2d=-12 yy ① a11=0이므로 a1+10d=0 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a1=-15, d=3

2 ∴ a21=-15+{21-1}\3

2=15

⑵ 공차를 d라 하자.

a2+a8=28이므로 {a1+d}+{a1+7d}=28 ∴ 2a1+8d=28 yy ①

a5+a6=29이므로 {a1+4d}+{a1+5d}=29 ∴ 2a1+9d=29 yy ②

①, ②를 연립하여 풀면 a1=10, d=1 ∴ an=10+{n-1}\1=n+9

152^쪽 예제

1

⑵ Sn=n{2+3n-1}

2 =n{3n+1}

2

07.

^{등차수열과 등비수열}

77

⑶ an'1-an=5이므로 공차는 5

a4=-98이므로 a1+{4-1}\5=-98 ∴ a1=-113 ∴ an=-113+{n-1}\5=5n-118

an>100에서 5n-118>100, n>218

5 ∴ n>43.6 따라서 처음으로 100보다 커지는 항은 제44항이다.

⑷ an=a1+{n-1}\{-3}=a1-3n+3 yy ① 수열 9a3n-10의 첫째항이 0이므로 a3\1-1=a2=0 ①에서 a2=a1-6+3이므로 a1-3=0

따라서 a1=3이고 an=-3n+6 수열 9a3n-10의 제n항은

a3n-1=-3{3n-1}+6=-9n+9

153^쪽 예제

2

⑴ x, 10, y가 이 순서로 등차수열이므로

2\10=x+y ∴ x+y=20 yy ① y, 2x, 15가 이 순서로 등차수열이므로

2\2x=y+15 ∴ 4x-y=15 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 x=7, y=13

⑵ 네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓자. yy ① 네 수의 합이 32이므로 4a=32 ∴ a=8

가운데 두 수의 곱이 48이므로 {a-d}{a+d}=48, a @-d @=48 a=8이므로 64-d @=48 ∴ d=-4

a=8, d=-4를 ①에 대입하면 네 수는 -4, 4, 12, 20 note d=4일 때와 d=-4일 때, 등차수열을 이루는 네 수

는 같다.

⑶ 공차를 d라 하면 57은 첫째항이 13인 등차수열의 13번째 항이 므로

57=13+{13-1}d, 12d=44 ∴ d=11 3 유제

2-1

-6, a, b가 이 순서로 등차수열이므로 2a=-6+b yy ①

b, a @, 6이 이 순서로 등차수열이므로 2a @=b+6 yy ②

①에서 b=2a+6을 ②에 대입하면

2a @=2a+6+6, a @-a-6=0, {a+2}{a-3}=0 ∴ a=-2 또는 a=3

①에 대입하면 a=-2일 때 b=2, a=3일 때 b=12 유제

2-2

⑴ 세 수를 a-d, a, a+d로 놓자. yy ① 세 수의 합이 9이므로 3a=9 ∴ a=3

세 수의 곱이 -21이므로

a{a-d}{a+d}=-21, a{a @-d @}=-21 a=3이므로

3{9-d @}=-21, d @=16 ∴ d=-4 a=3, d=-4를 ①에 대입하면 세 수는 -1, 3, 7

⑵ 네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d로 놓자. yy ① 처음 두 수의 합이 -3이므로 2a-4d=-3 yy ② 가운데 두 수의 곱이 0이므로 {a-d}{a+d}=0

! a=d일 때, ②에서 2a-4a=-3 ∴ a=3

2 , d=3 2

①에 대입하면 네 수는 -3, 0, 3, 6

@ a=-d일 때, ②에서 2a+4a=-3 ∴ a=-1

2 , d=1 2

①에 대입하면 네 수는 -2, -1, 0, 1

!, @에서 네 수는 -3, 0, 3, 6 또는 -2, -1, 0, 1이다.

유제

2-3

-50과 5 사이에 n개의 수를 써넣으므로 5는 첫째항 이 -50이고 공차가 5

2 인 등차수열에서 {n+2}번째 항이다.

5=-50+9{n+2}-10\5 2 ,

5

2{n+1}=55 ∴ n=21

154^쪽 예제

3

⑴ 공차를 d라 하자.

a2=-2, a10=38이므로 a1+d=-2, a1+9d=38 두 식을 연립하여 풀면 a1=-7, d=5

곧, a20=-7+{20-1}\5=88이므로 S20=20{-7+88}

2 =810

다른 풀이 S20=2092\{-7}+{20-1}\50

2 =810

⑵ a1=-2+40=38이므로 Sn =n938+{-2n+40}0

2 =-n @+39n =-[n-39

2 ]@+[39 2 ]@

n은 자연수이므로 Sn의 최댓값은 S20{=S19}=-20@+39\20=380

⑶ a10-a9=3이므로 공차는 3

a1+a20=17이므로 a1+{a1+19\3}=17 ∴ a1=-20 ∴ an=-20+{n-1}\3=3n-23

an<0에서 3n-23<0 ∴ n<23

3=7.\\\

따라서 등차수열 9an0에서 제7항까지는 음수, 제8항부터는 양수이다.

a7=3\7-23=-2, a8=3\8-23=1 a20=3\20-23=37

∴ |a1|+|a2|+|a3|+y+|a20|

=-{a1+y+a7}+{a8+y+a20}

=-7{-20-2}

2 +13{1+37}

2

=77+247=324

note -{a1+y+a7}+{a8+y+a20}

=-2{a1+y+a7}+{a1+y+a7+a8+y+a20}

=S20-2S7 을 계산해도 된다.

유제

3-1

⑴ 공차를 d라 하자.

a5-a3=8이므로 a1+4d-{a1+2d}=8, 2d=8 ∴ d=4

a12=0이므로 a1+11\4=0 ∴ a1=-44 곧, a10=-44+9\4=-8이므로

S10=10{-44-8}

2 =-260

다른 풀이 S10=1092\{-44}+{10-1}\40

2 =-260

⑵ Sn =n92\{-44}+{n-1}\40

2 =2n @-46n =2[n-23

2 ]@-2\[23 2 ]@

n은 자연수이므로 Sn의 최솟값은

S11{=S12}=2\11@-46\11=-264 유제

3-2

an=100+{n-1}\{-10}=-10n+110 an>0에서 -10n+110>0 ∴ n<11

따라서 등차수열 9an0에서 제11항까지는 0 또는 양수, 제12항부 터는 음수이다.

a11=0, a12=-10\12+110=-10 a30=-10\30+110=-190 ∴ |a1|+|a2|+|a3|+y+|a30|

={a1+y+a11}-{a12+y+a30}

=11{100+0}

2 -19{-10-190}

2

=550+1900=2450

155^쪽 예제

4

⑴ 공차를 d라 하면

S4=492\{-18}+{4-1}d0

2 =6d-72

S9=992\{-18}+{9-1}d0

2 =36d-162

S4=S9이므로 6d-72=36d-162 ∴ d=3 ∴ a20=-18+19\3=39

⑵ 공차를 d라 하자.

S10=35이므로 10{2a1+9d}

2 =35

∴ 2a1+9d=7 yy ① 제11항부터 제20항까지의 합은 S20-S10이므로 S20-S10=-265, 20{2a1+19d}

2 -35=-265 ∴ 2a1+19d=-23 yy ②

①, ②를 연립하여 풀면 a1=17, d=-3 ∴ S30=3092\17+29\{-3}0

2 =-795

⑶ 첫째항이 x, 공차가 1

2 인 등차수열의 제21항이 y이므로 y=x+{21-1}\1

2=x+10 yy ① x부터 y까지의 합이 420이므로

21{x+y}

2 =420, x+y=40 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 x=15, y=25

유제

4-1

^{⑴ S8=}892a1+{8-1}\{-2}0

2 =8a1-56

S11=1192a1+{11-1}\{-2}0

2 =11a1-110

S8=S11이므로 8a1-56=11a1-110 ∴ a1=18 ∴ S20=2092\18+{20-1}\{-2}0

2 =-20

⑵ 제6항부터 제10항까지의 합은 S10-S5이므로 S10-S5=11S5, S10=12S5

a1=-6이므로 공차를 d라 하면 1092\{-6}+9d0

2 =12\592\{-6}+4d0 2 -60+45d=-360+120d ∴ d=4 ∴ S20=2092\{-6}+19\40

2 =640

⑶ 첫째항이 12, 제{n+2}항이 107인 등차수열의 합이 1190이 므로

{n+2}{12+107}

2 =1190 ∴ n=18 공차를 d라 하면 제{n+2}항, 곧 제20항이 107이므로 107=12+19d ∴ d=5

156^쪽 예제

5

⑴ n>2일 때,

an =Sn-Sn-1

={n @-3}-9{n-1}@-30=2n-1 또 a1=S1=1@-3=-2

07.

^{등차수열과 등비수열}

79

∴ -an=2n-1 {n>2}

a1=-2

⑵ S10-S9=a10이므로

{2\10@+10k+1}-{2\9@+9k+1}=30 2{10+9}{10-9}+k=30 ∴ k=-8 곧, Sn=2n @-8n+1

∴ a1=S1=2\1@-8\1+1=-5

⑶ n>2일 때, an =Sn-Sn-1

={-n @+4n}-9-{n-1}@+4{n-1}0

=-2n+5 yy ①

또 a1=S1=-1@+4\1=3

①에 n=1을 대입해도 a1=3이 성립한다.

∴ an=-2n+5

이때 an'1-an=-2{n+1}+5-{-2n+5}=-2 따라서 수열 9an0은 첫째항이 3, 공차가 -2인 등차수열이다.

유제

5-1

수열 9an0, 9bn0의 제1항부터 제n항까지의 합을 각각 Sn, Tn이라 하면

Sn=2n @+4n, Tn=n @-kn+1 따라서

a8 =S8-S7={2\8@+4\8}-{2\7@+4\7}

=2{8+7}{8-7}+4{8-7}=34

b8 =T8-T7={8@-8k+1}-{7@-7k+1}=-k+15 a8=b8이므로 34=-k+15 ∴ k=-19

유제

5-2

⑴ n>2일 때,

an =Sn-Sn-1={pn @+2n}-9 p{n-1}@+2{n-1}0

=2pn-p+2 yy ① 또 a1=S1=p+2

①에 n=1을 대입하면 2p-p+2=p+2 따라서 n=1일 때에도 성립한다.

∴ an=2pn-p+2 공차가 5이므로 a2-a1=5, 곧

{2p\2-p+2}-{p+2}=5 ∴ p=5 2

⑵ n>2일 때, an =Sn-Sn-1

={3n @-n+c}-93{n-1}@-{n-1}+c0

=6n-4 yy ②

또 a1=S1=3-1+c=c+2

②에 n=1을 대입하면 a1=2이고, 9an0이 등차수열이므로 c+2=2 ∴ c=0

이때 an'1-an=6{n+1}-4-{6n-4}=6이므로 공차는 6이다.

01

첫째항부터 일정한 수를 차례로 더한 수열을 찾는다.

④는 -3

2 을 차례로 더한 꼴이다.

02

^{공차는 -1}₆^-[-1_{3 ]}⁼¹_{6 이므로}

a+1 6=-1

3 , -1 6+1

6=b ∴ a=-1

2 , b=0 ∴ b-a=0-[-1 2 ]=1

2

03

100 이하의 자연수 중 5로 나누었을 때 나머지가 2인 수를 나열하면 2, 7, 12, 17, y, 97

따라서 첫째항이 2이고 공차가 5인 등차수열이다.

또 97=2+19\5이므로 97은 이 수열의 제20항이다.

따라서 합은 20{2+97}

2 =990

04

네 수를 a-3d, a-d, a+d, a+3d라 하자.

네 수의 합이 36이므로

{a-3d}+{a-d}+{a+d}+{a+3d}=36 ∴ a=9

곧, 네 수는 9-3d, 9-d, 9+d, 9+3d이고

가운데 두 수의 곱은 처음 수와 마지막 수의 곱보다 32가 크므로 {9-d}{9+d}={9-3d}{9+3d}+32

9@-d @=9@-9d @+32, d @=4 ∴ d=-2 d=2일 때 네 수는 3, 7, 11, 15

d=-2일 때 네 수는 15, 11, 7, 3 따라서 네 수는 3, 7, 11, 15이다.

05

첫째항부터 제n항까지의 합이 182이므로 n{-3+17}

2 =182 ∴ n=26 따라서 17은 제26항이므로 공차를 d라 하면 17=-3+{26-1}\d ∴ d=4

5

06

^{a1=d이므로}

an=a1+{n-1}d=a1+{n-1}a1=na1 ∴ Sn=n{a1+na1}

2 ={n+1}na1 2 =n+1

2 an ∴ f{n}=n+1

2

01

^④

02

^③

03

^⑤

04

3, 7, 11, 15

05

^⑤

06

^f{n}=n+1₂

07

^⑤

08

^①

09

^④

10

n=4, 모든 항의 합 : 270

11

⁶⁷⁵⁰

12

^④

157^~158^쪽 연습 문제

07

an=a1+{n-1}d임을 이용한다.

수열 9an0이 등차수열이므로 공차를 d라 하면 an=a1+{n-1}d

① 2an=2a1+{n-1}\2d이므로 첫째항이 2a1, 공차가 2d인 등차수열이다.

② an-3={a1-3}+{n-1}d이므로 첫째항이 a1-3, 공차가 d인 등차수열이다.

③ an'2+an =a1+{n+1}d+a1+{n-1}d

={2a1+2d}+{n-1}\2d

이므로 첫째항이 2a1+2d이고 공차가 2d인 등차수열이다.

④ a2n-1=a1+{2n-2}d=a1+{n-1}\2d이므로 첫째항이 a1, 공차가 2d인 등차수열이다.

⑤ 수열 9an0에서 an=n이면 수열 9an@0은 1@, 2@, 3@, y이므로 등차수열이 아니다.

따라서 등차수열이 아닌 것은 ⑤이다.

08

연속하는 20개의 자연수 n, n+1, y, n+19 연속하는 20개의 자연수를

n, n+1, n+2, y, n+19 ( n은 자연수) 라 하면

209n+{n+19}0

2 =1030 ∴ n=42 따라서 가장 큰 자연수는 n+19=42+19=61

09

끝항을 모르므로 Sn=n92a1+{n-1}d0

2 를 이용한다.

공차를 d, 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 S5=5{2a1+4d}

2 =55 ∴ a1+2d=11 yy ① S10=10{2a1+9d}

2 =260 ∴ 2a1+9d=52 yy ②

①, ②를 연립하여 풀면 a1=-1, d=6 ∴ S15=1592\{-1}+14\60

2 =615

10

공차를 d라 하고 22, 32를 d와 n으로 나타낸다.

공차를 d라 하자.

22는 첫째항이 4인 등차수열의 {2n+2}번째 항이므로 22=4+{2n+1}d ∴ 2nd+d=18 yy ① 32는 첫째항이 22인 등차수열의 {n+2}번째 항이므로 32=22+{n+1}d ∴ nd+d=10 yy ②

②\2-①을 하면 d=2

②에 대입하면 2n+2=10 ∴ n=4

또 항의 개수는 3n+3=15이므로 모든 항의 합은 15{4+32}

2 =270

note 32는 첫째항이 4인 등차수열의 {3n+3}번째 항이므로

32=4+{3n+2}d yy ③

이때 ①과 ③을 연립하여 풀어도 된다.

11

3의 배수는 첫째항이 3, 공차가 3인 등차수열이다.

100보다 크고 200보다 작은 자연수 중에서 3의 배수는

102=3\34, y, 198=3\66 yy ①

이 수들은 공차가 3인 등차수열이고, 항은 33개이므로 모든 항의 합은

33{102+198}

2 =4950

또 5의 배수는

105=5\21, y, 195=5\39 yy ②

이 수들은 공차가 5인 등차수열이고, 항은 19개이므로 모든 항의 합은

19{105+195}

2 =2850

①, ②에서 15의 배수가 중복된다.

15의 배수는

105=15\7, y, 195=15\13

이 수들은 공차가 15인 등차수열이고, 항은 7개이므로 모든 항의 합은

7{105+195}

2 =1050 따라서 구하는 합은

4950+2850-1050=6750

12

an=Sn-Sn-1 {n>2}, a1=S1을 이용한다.

n>2일 때, an =Sn-Sn-1

=pn@+qn+r-p{n-1}@-q{n-1}-r

=2pn-p+q yy ① 또 a1=S1=p+q+r

①에 n=1을 대입하면 a1=p+q이고, 9an0이 등차수열이므로 p+q+r=p+q ∴ r=0

공차가 4이므로 ①에서

a2-a1 ={4p-p+q}-{2p-p+q}=2p=4 ∴ p=2

이때 Sn=2n@+qn이고 S4=28이므로 32+4q=28 ∴ q=-1 ∴ p-2q+r=4

다른 풀이 공차가 4이고 S4=28이므로 492a1+{4-1}\40

2 =28

∴ a1=1

∴ Sn=n92\1+{n-1}\40

2 =2n@-n

Sn=pn@+qn+r와 비교하면 p=2, q=-1, r=0

07.

^{등차수열과 등비수열}

81 1

an=a1 r N_!을 이용한다.

⑴ an=-4\2N_!=-2@\2N_!=-2N"!

⑵ an=3\{-2}N_!

2

^{⑴ 첫째항부터 1}2 을 차례로 곱한 수열이므로 공비 r=1 2 또 첫째항이 8이므로

an=8\[1

2 ]N_!=2#\[1

2 ]N_!=[ 12]N_$

⑵ 첫째항부터 -3을 차례로 곱한 수열이므로 공비 r=-3 또 첫째항이 2이므로 an=2\{-3}N_!

3

세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열이면 b @=ac

⑴ a @=2\8 ∴ a=-4

⑵ a @=4\2a, a{a-8}=0 a=0이므로 a=8

4

r>1이므로 Sn=a{r N-1}

r-1 을 이용한다.

⑴ Sn=2{3N-1}

3-1 =3N-1

⑵ a1=3\2)=3, r=2이므로 Sn=3{2N-1}

2-1 =3\2N-3

5

r<1이므로 Sn=a{1-r N}

1-r 을 이용한다.

⑴ Sn=391-{-2}N0

1-{-2} =1-{-2}N

⑵ a1=2\[1

3 ])=2, r=1 3 이므로

Sn=

2- 1-[1 3 ]N = 1-1

3

=2-1-[1 3 ]N =\3

2=3-[ 13]N_!

6

원금을 a원, 연이율을 r라 하면

⑴ a{1+10r}=100{1+10\0.06}=100\1.6=160(만 원)

⑵ a{1+r}!)=100{1+0.05}!)=100\1.63=163(만 원) 161^쪽 개념 확인

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