⑴ ? n
k=1a2k-1+? n
k=1a2k ={a1+a3+a5+y+a2n-1}
+{a2+a4+a6+y+a2n}
=k=1? 2nak ∴ k=1? 2nak=2n @
이 식에 n=5를 대입하면 k=1? 10ak=2\5@=50
⑵ k=0? 9 f{k+1}= f{1}+ f{2}+ f{3}+y+ f{9}+ f{10}
? 10
k=1f{k-1}= f{0}+ f{1}+ f{2}+y+ f{8}+ f{9}
∴ k=0? 9 f{k+1}-k=1? 10 f{k-1}= f{10}- f{0}=5
⑶
? 10
k=1{ak-2}@ =k=1? 10{ak@-4ak+4}
=
? 10 k=1ak@-4
? 10 k=1ak+
? 10 k=14
=50-4\5+40=70
⑷ ? 50
k=1
k
k+1+L=1? 50 1 L+1 =
? 50 k=1
k k+1+? 50
k=1
1 k+1 =k=1? 50[ k
k+1+ 1 k+1 ] =k=1? 50 k+1
k+1=k=1? 501=50
179쪽 예제
1
유제
1-1
⑴ k=1? na2k-1+k=1? na2k ={a1+a3+a5+y+a2n-1}⑵ ak@+bk@={ak+bk}@-2ak bk이므로 ? n
69{n+1}{2n+1}+12{n+1}+240 =n{2n @+15n+37}
12 \{2n+1+3}=n{n+1}{n+2}
6
24 93n{n+1}+2{2n+1}0 =n{n+1}{n+2}{3n+1}
08.
? 와 수학적 귀납법91
392{n+1}{2n+1}-6{n+1}+30
=n
k=13@K_!=39{3@}N-10 3@-1 =3
8{3@N-1}
⑵ ak=1+2+2@+y+2K_!=1\{2K-1}
2-1 =2K-1
-2Sn =1\3+2\3@+2\3#+y+2\3N-{2n-1}\3N"!
=3+2\3@{3N_!-1}
3-1 -{2n-1}3N"!
=3+3N"!-3@-{2n-1}3N"!=-2{n-1}3N"!-6
⑶ ak=3+3@+3#+y+3K=3{3K-1}
3-1 =3
⑶ ak= 1
jk+1l+jkl=jk+1l-jkl
k+1-k =jk+1l-jkl이므로 k=1? nak =k=1? n{jk+1l-jkl}
={j2-j1}+{j3-j2}+{j4-j3}+y +{jnl-jn-1l}+{jn+1l-jnl}
jk+2l+jkl=jk+2l-jkl k+2-k =1
k=1{jk+2l-jkl}
=1
29{j3-j1}+{j4-j2}+{j5-j3}+{j6-j4}+y +{jn+1l-jn-1l}+{jn+2l-jnk}0
=1
2{jn+1l+jn+2l-1-j2}
jjj jjj jjj jjj
jjjj - l jjjj
-jjj jjj jjj jjj
- l jjj
k=1{50+k-1} =50\15+15{15+1}
2 -1\15
2 <61<n{n+1}
2 10\11
2 =55, 11\12
2 =66이므로 n=11 따라서 121은 11행의 수이다.
08.
? 와 수학적 귀납법93
또 11행의 첫 번째 수는 11@-11+1=111이므로 121은 11행의 6번째 수이다.
184쪽 예제
6
[1 1 ], [
1 2 ,
2 1 ], [
1 3 ,
2 2 ,
3 1 ], [
1 4 ,
2 3 ,
3 2 ,
4 1 ], y 와 같이 분모와 분자의 합이 같은 항끼리 묶는다.
⑴ 5
7 는 {5+7-1}=11(군)에 속한다.
10군까지 항의 개수는 k=1? 10k=10\{10+1}
2 =55
5
7 는 11군의 5번째 수이므로 55+5=60, 곧 제60항이다.
⑵ 제100항이 n군에 속한다고 하면 n-1k=1?k<100<k=1? nk n{n-1}
2 <100<n{n+1}
2 13\14
2 =91, 14\15
2 =105이므로 n=14
따라서 제100항은 14군에 속하고, 13군까지 항의 개수가 91이 므로 제100항은 14군의 9번째 항이다.
그런데 14군의 첫 번째 항은 1
14 이므로 9번째 항은 9 6이다.
⑶ 제100항은 14군에 속하고, 14군의 분모와 분자의 합이 15이므 로 제100항까지의 수 중에서 약분하여 3인 수는 3
1 , 6 2 , 9
3 이고 3개이다.
유제
6-1
[12 ], [13 , 23 ], [14 , 24 , 34 ], [15 , 25 , 35 , 45 ], y와 같이 분모가 같은 항끼리 묶는다.
⑴ 8
11 은 분모가 11이므로 10군에 속한다.
9군까지 항의 개수는 k=1? 9k=9\{9+1}
2 =45
8
11 은 10군의 8번째 수이므로 45+8=53, 곧 제53항이다.
⑵ 제200항이 n군에 속한다고 하면 n-1k=1?k<200<k=1? nk n{n-1}
2 <200<n{n+1}
2 19\20
2 =190, 20\21
2 =210이므로 n=20
따라서 제200항은 20군에 속하고, 19군까지 항의 개수가 190 이므로 제200항은 20군의 10번째 항이다.
그런데 20군의 첫 번째 항은 1
21 이므로 10번째 항은 10 21이다.
01
① i=n+1? 2n ai=an'1+an'2+y+a2n② ? n
k=1an'k=an'1+an'2+y+an'n=an'1+an'2+y+a2n
③ ? 2n
k=1ak-? n
k=1ak
={a1+a2+a3+y+a2n}-{a1+a2+a3+y+an}
=an'1+an'2+y+a2n
④ k=n? 2nak-an ={an+an'1+an'2+y+a2n}-an
=an'1+an'2+y+a2n
⑤ ? n
k=1a2k=a2+a4+a6+y+a2n 따라서 아닌 것은 ⑤이다.
02
k=0? 199 f{k+1}- f{k}0=9 f{1}- f{0}0+9 f{2}- f{1}0+9 f{3}- f{2}0+y +9 f{20}- f{19}0
=- f{0}+ f{20}
곧, - f{0}+ f{20}=101, f{0}=-3이므로 f{20}=101+ f{0}=98
03
공차를 d라 하면 an=1+{n-1}d이므로 a2k-1=1+{2k-1-1}d=1+2{k-1}d∴ k=1? 10a2k-1 =k=1? 1091+2{k-1}d0=k=1? 1092dk+{1-2d}0 =2dk=1? 10k+10{1-2d}
=2d\10\11
2 +10{1-2d}
=90d+10 곧, 90d+10=-80이므로 d=-1 따라서 공차는 -1이다.
01
⑤02
③03
-104
⑴ n{4n @+5n-1}2 ⑵ {n-1}n{n+1}{n+2}
4
05
⑴ n{n+3}4 ⑵ n{n+1}{n+2}{3n+1}24
06
③07
91208
509
④10
⑴ -5050 ⑵ 2!))-13
11
⑴ 220 ⑵ 31012
④13
n{n+1}{n+2}6
14
⑴ n+1 ⑵ 2n 34-2{n+1}1 -2{n+2}115
②16
⑤17
⑴ 14 ⑵ 94518
⑴ 109 ⑵ 14행 32열185~187쪽 연습 문제
04
⑴ k=1? n{2k-1}{3k+1}=
? n
k=1{6k @-k-1}=6k=1? nk @-k=1? nk-n =6\n{n+1}{2n+1}
6 -n{n+1}
2 -n =n
292{n+1}{2n+1}-{n+1}-20 =n{4n @+5n-1}
2
⑵ k=1? nk{k-1}{k+1} =k=1? n{k #-k}=k=1? nk #-k=1? nk =- n{n+1}
2 =@-n{n+1}
2 =n{n+1}
4 9n{n+1}-20 =n{n+1}
4 {n@+n-2) ={n-1}n{n+1}{n+2}
4
05
⑴ ak=1+2+3+y+kk =k{k+1}2 \k1=k+12이므로
k=1? nak =k=1? n k+1 2 =1
2 [
? n
k=1k+k=1? n1]
=1
2\- n{n+1}
2 +n ==n{n+3}
4
⑵ ak =k+2k+3k+y+k @
=k{1+2+3+y+k}
=k @{k+1}
2 이므로
k=1? nak =k=1? n k @{k+1}
2 =1 2
? n
k=1{k #+k @}
=1
27- n{n+1}
2 =@+n{n+1}{2n+1}
6 8
=n{n+1}
24 93n{n+1}+2{2n+1}0 =n{n+1}
24 {3n@+7n+2}
=n{n+1}{n+2}{3n+1}
24
06
순서쌍의 두 수의 합이 같은 항끼리 군으로 묶으면 1군 {1, 0}, {0, 1}2군 {2, 0}, {1, 1}, {0, 2}
3군 {3, 0}, {2, 1}, {1, 2}, {0, 3}
⋮
이때 n군은 순서쌍의 두 수의 합이 n이고, 항의 개수는 n+1이다.
따라서 {4, 8}은 12군에 속하고, 12군의 첫 번째 항이 {12, 0}이 므로 {4, 8}은 12군의 9번째 항이다.
11군까지 항의 개수는 2+3+y+12=11{2+12}
2 =77이고, 77+9=86이므로 {4, 8}은 제86항이다.
07
k=1? nak-k=1? nbk=k=1? n{ak-bk}를 이용한다.? 10 k=1
k @
k+1-k=2? 10 1
k+1 =k=1? 10 k @
k+1-[k=1? 10 1 k+1- 1
1+1 ] =k=1? 10 k @-1
k+1+1
2 =k=1? 10{k-1}+1 2 =10{10+1}
2 -10+1 2=91
2
08
값이 -1인 항의 개수와 값이 1인 항의 개수를 구한다.a1부터 a20까지의 항 중에서 값이 -1인 항의 개수를 x, 1인 항의 개수를 y라 하자.
? 20
k=1ak=1에서 -x+y=1
? 20
k=1ak@=11에서 x+y=11 두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=6 따라서 ak=-1인 k의 개수는 5이다.
09
an=Sn-Sn-1 {n>2}, a1=S1임을 이용하여 an부터 구한다.수열 9an0의 제1항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면 Sn=k=1? nak=n{n+3}
2 이므로
an =Sn-Sn-1 =n{n+3}
2 -{n-1}{n+2}
2
=n+1 {n>2} yy ① a1=S1=1{1+3}
2 =2
①에 n=1을 대입해도 a1=2가 성립하므로 an=n+1 {n>1}
∴ a2n-1=2n-1+1=2n
∴ k=1? nka2k-1 =k=1? n{k\2k}=2k=1? nk @ =n{n+1}{2n+1}
3
10
제1항부터 제100항까지 수열의 합으로 나타내어 본다.⑴ 100?
k=1{-1}K"!k @ =1@-2@+3@-4@+y+99@-100@
={1-2}{1+2}+{3-4}{3+4}+y +{99-100}{99+100}
=-{1+2+3+y+100}
=-100{1+100}
2 =-5050
⑵ 100?
k=1{-1}K2K_! =-1+2-2@+2#-y-2(*+2((
={-1}\91-{-2}!))0
1-{-2} =2!))-1 3
08.
? 와 수학적 귀납법95
999 y 9=10N-1이므로 9+99+999+y+999y9
={10-1}+{10@-1}+y+{10N-1}=k=1? n{10K-1}
=10{10N-1}
10-1 -n=10N"!
9 -n-10 9 note 999 y 9 =9+90+900+y+9\10N_!
=9+9\10+9\10@+y+9\10N_! =na @-n{n+1}a+n{n+1}{2n+1}
6
18
1행의 수들이 각각 첫 번째 수인 군을 생각한다.⑴ 1열 2열 3열 4열 5열 …
1행 1 2 4 7 11 …
2행 3 5 8 12
3행 6 9 13
4행 10 14 5행 15
⋮ ⋮
1 2
3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
위의 표의 화살표 방향으로 수들을 묶어 군수열로 나타내면 {1}, {2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9, 10},
{11, 12, 13, 14, 15}, y
n군에 속하는 수는 1행 n열, 2행 {n-1}열, y, n행 1열에 있 는 수이므로 행과 열의 수의 합이 n+1이다. 따라서 4행 12열 에 있는 수는 15군에 속하고 15군의 4번째 수이다.
14군까지 항의 개수의 합은 14\15 2 =105
따라서 15군의 첫 번째 수는 106이므로 4번째 수는 109이다.
⑵ 1004가 n군에 속한다고 하면 n{n-1}
2 <1004<n{n+1}
2 45\44
2 =990, 45\46
2 =1035이므로 n=45 곧, 1004는 45군에 속한다.
또 44군까지 항의 개수의 합은 990이므로 45군의 첫 번째 수는 991이고, 1004=991+13이므로 1004는 45군의 14번째 수이 다.
따라서 1004는 14행 32열에 있다.
1
a2=2a1-1=2\2-1=3 a3=2a2-1=2\3-1=5 a4=2a3-1=2\5-1=92
a3=a2-a1=3-1=2 a4=a3-a2=2-3=-1 a5=a4-a3={-1}-2=-33
⑴ 첫째항이 10, 공차가 -2인 등차수열이므로 an=10+{n-1}\{-2}=-2n+12190쪽 개념 확인