loga-3`64=2, {a-3}@=64 a-3>1이므로 a-3=8 / a=11
유제
7-1
⑴ 5<x<9에서 y O -2-3x
y=-log2`{x-1}
2
1 5 9
y=-log2`{x-1}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
x=5일 때 최댓값은 -log2`4=-2 x=9일 때 최솟값은 -log2`8=-3
⑵ x@+2x+3=t로 놓으면 t
O 2 x
-2 2 3
-1 11 t={x+1}@+2
t={x+1}@+2 yy ① -2<x<2에서 ①의 그래프는 오
른쪽 그림과 같다.
/ 2<t<11
이때 y=log2`t는 증가하는 함수이 므로
t=11{x=2}일 때 최댓값은 log2`11 t=2{x=-1}일 때 최솟값은 log2`2=1
유제
7-2
⑴ log3`x@9 =log3`x@-log3`9=2`log3`x-2 이므로 log3`x=t로 놓으면 주어진 함수는y =t{2t-2}=2t@-2t
=2[t-1 2 ]@-1
2 yy ① 이때 t=log3`x는 증가하는 함수이고, x=1일 때 t=0, x=81일 때 t=4 따라서 1<x<81에서 0<t<4
O
4 t 2!
-2!
24
y=2[t-2!]@-2!
이 범위에서 ①의 그래프는 오른 y
쪽 그림과 같으므로 t=4{x=81}일 때 최댓값은 2\4@-2\4=24 t=1
2{x=j3}일 때 최솟값은 - 12
⑵ log3!`x=log3_!`x=-log3`x
이므로 log3`x=t로 놓으면 주어진 함수는 y =-t@+2t+1
O
t y
1 1
-7 2
4
y=-{t-1}@+2
=-{t-1}@+2 yy ② ⑴에서 0<t<4이고, 이 범위에서
②의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
t=1{x=3}일 때 최댓값은 2 t=4{x=81}일 때 최솟값은 -{4-1}@+2=-7
유제
7-3
y =loga`{x+2}+loga`{6-x}=loga`{x+2}{6-x}
이므로 {x+2}{6-x}=t로 놓으면 주어진 함수는
y=loga`t이고,
t =-x@+4x+12=-{x-2}@+16<16 이때 y=loga`t의 최댓값이 4이므로 y
O 1 t
4
16 y=loga`t
오른쪽 그림과 같다.
a>1이고, t=16일 때 y=4이므로 loga`16=4, a$=16 / a=2
note -2<x<6이면 loga`{x+2}에서 x+2>0, loga`{6-x}에서 6-x>0이다.
51쪽 예제
8
⑴ y=3X_@+4로 놓으면
y-4=3X_@, x-2=log3`{y-4}
x와 y를 바꾸면 y=log3`{x-4}+2 / f _!{x}=log3`{x-4}+2
⑵ y=log2`{x-1}+2로 놓으면 y-2=log2`{x-1}, x-1=2Y_@
x와 y를 바꾸면 y=2X_@+1 / f _!{x}=2X_@+1
⑶ y=log4`{x+p}+q의 그래프가 점 {4, 1}을 지나므로 1=log4`{4+p}+q yy ①
y=log2!`{x+p}+q의 그래프가 점 {4, 1}을 지나므로 1=log2!`{4+p}+q yy ②
①, ②에서 log4`{4+p}=log2!`{4+p}
log2@`{4+p}=log2_!`{4+p}
1
2`log2`{4+p}=-log2`{4+p}
3
2`log2`{4+p}=0, log2`{4+p}=0 4+p=1 / p=-3
①에 대입하면 1=log4`1+q / q=1
유제
8-1
⑴ y=3\2X_!에서 y 3=2X_!x-1=log2`y
3, x=log2`y 3+1 x와 y를 바꾸면 y=log2`x
3+1
⑵ y=log3`{x-2}+4에서 y-4=log3`{x-2}
x-2=3Y_$, x=3Y_$+2 x와 y를 바꾸면 y=3X_$+2 유제
8-2
y=100a `log`x에서100
a y=log`x, x=10100a Y x와 y를 바꾸면 y=10100aX
이때 역함수가 y=10AX이므로 100
a =a, a@=100 / a=10 {? a>0}
다른 풀이 f{ f _!{x}}=x를 이용할 수도 있다.
f{x}= a
100`log`x, f _!{x}=10AX라 하면 f{ f _!{x}}= a
100`log`10AX= a@
100 x f{ f _!{x}}=x이므로 a@
100=1 a>0이므로 a=10
유제
8-3
모든 실수 x에 대하여 g{ f{x}}=x이므로 g{x}는 f{x}의 역함수이다.g{9}=-2에서 f{-2}=9이고, f{x}=2_X"A+1이므로 2@"A+1=9, 2@"A=8, 2+a=3 / a=1 / f{x}=2_X"!+1
g{17}=k라 하면 f{k}=17이므로
2_K"!+1=17, 2_K"!=16, -k+1=4 / k=-3 / g{17}=-3
52쪽 예제
9
⑴ y=aX과 y=loga`x는 서로 역 y
x y=aX y=x
O P
Qy=loga`x
A
B C
함수이므로 두 곡선은 직선 D
y=x에 대칭이다. 따라서 P, Q는 직선 y=x 위의 점이다.
또 두 사각형이 합동이므로 P{k, k}로 놓으면 Q{2k, 2k}이다.
이때 P, Q가 곡선 y=aX 위의 점이므로 k=aK yy ①
2k=a@K yy ②
②에서 2k={aK}@이므로 ①을 대입하면 2k=k@ / k=2 {? k>0}
①에 대입하면 2=a@ / a=j2 k {? a>0}
⑵ y=2X과 y=log2`x는 서로 역함 y
x y=f{x}
y=x
1 1
O
L R
S
수이므로 y=f{x}의 그래프를 이 루는 두 곡선은 오른쪽 그림과 같 이 직선 y=x에 대칭이다.
이때 R{a, b}, S{c, d}{a<c}
는 기울기가 - 1인 직선 L 위의
점이고, L과 직선 y=x가 서로 수직이므로 R와 S도 직선 y=x에 대칭이다. / a=d, b=c
이때 b+c=2j2이므로 b=c=j2
/ a=d=log2`c=log2`j2=log2`22!=1 2 유제
9-1
y=2X-1과 yO x A
B
C D
y=x
y=2X-1 y=log2{x+1}
y=log2`{x+1}은 서로 역함 수이므로 두 곡선은 직선 y=x에 대칭이다.
이때 선분 AB와 직선 y=x 가 서로 수직이므로 A, B도 직선 y=x에 대칭이다.
/ A{2, 3}, B{3, 2}
따라서 사각형 ACDB의 넓이는 1
2\{3+2}\1=5 2
유제
9-2
y=2X과 y=log2`x는 서로 역함수이므로 두 곡선은 직선 y=x에 대칭이다.이때 직선 y=-x+5a와 직선
y=x y
x y=2X
y=log2`x
y=-x+5a 1
O 1
A D
B
C
y=x가 서로 수직이므로 A와 B도 직선 y=x에 대칭이고, 직선 y=-x+5a가 y축과 만나는 점을 D라 하면 C와 D도 직선 y=x에 대 칭이다.
곧, ABZ : BCZ=3 : 1에서 DAZ : ABZ : BCZ=1 : 3 : 1이므로 A의 x좌표를 k라 하면 B의 x좌표는 4k이고, A의 y좌표는 B의 x좌표와 같으므로 A{k, 4k}이다.
A가 직선 y=-x+5a 위의 점이므로 4k=-k+5a, k=a / A{a, 4a}
또 A가 곡선 y=2X 위의 점이므로 4a=2A / 2A a=4
53쪽 예제
10
⑴ logx`125=logx`5#=3`logx`5= 3 log5`x 이고, x>1에서 log5`x>0, logx`125>0이므로 log5`x+logx`125 =log5`x+ 3
log5`x
>2qlog5`x\ 3 log5`x e=2j3 따라서 최솟값은 2j3
note log5`x= 3
log5`x , 곧 log5`x=j3일 때 최소이다.
⑵ 1
2<x<3에서 log6`2x>0, log6`3
x>0이므로
qlog6`2x\log6`3 x e<
log6`2x+log6`3 x 2
=log6`[2x\3 x ] 2 =log6`6
2 =1 2
02.
지수함수와 로그함수23 01
⑤ y=loga!`{x-1}=loga_!`{x-1}=-loga`{x-1}이므로 y=f{x}에 y 대신 -y를 대입한 꼴이다.
따라서 두 그래프는 x축에 대칭이다. (거짓)
note ④ a>1이면 y=f{x}는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증 가한다.
02
A의 x좌표를 a라 하면 y좌표는 log2`a이므로 ABZ=log2`a조건에서 ABZ=4이므로 log2`a=4 / a=2$=16
따라서 A{16, 4}이므로 D의 x좌표는 16+4=20
03
y=log2`x의 그래프를 x축 방향으로 a만큼 평행이동한 그래 프의 식은 y=log2`{x-a}이 그래프가 점 {9, 2}를 지나므로
2=log2`{9-a}, 9-a=2@ / a=5 또 y=logb`x의 그래프도 점 {9, 2}를 지나므로 2=logb`9, b@=9
b>0이므로 b=3 / 10a+b=53
04
g{a}=1에서 f{1}=a이므로 [ 12 ]!_!+3=a / a=401
⑤02
2003
⑤04
a=4, b=-105
③06
②07
③08
③, ④09
②10
1611
-212
a=4, b=1913
④14
최댓값 : 16, 최솟값 : -215
⑤16
②17
③18
④54~56쪽 연습 문제
/ log6`2x\log6`3 x <
1 4 따라서 최댓값은 1
4 note log6`2x=log6`3
x , 곧 2x=3
x 일 때 최대이다.
⑶ ① 2X>0, 2_X>0이므로
2X+2_X>212X 2_X3=212)2=2
(단, 등호는 2X=2_X, 곧 x=0일 때 성립) 따라서 최솟값은 2이고, 최댓값은 없다.
② {2X+2_X}@ ={2X}@+2\2X\2_X+{2_X}@
=4X+4_X+2 이므로 2X+2_X=t로 놓으면 4X+4_X=t@-2 이때 주어진 함수는
y
t O
-6-7 2 2
3
y={t-3}@-7
y =t@-2-6t+4
={t-3}@-7
①에서 t > 2이므로 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.
따라서 t=3일 때 최솟값은 -7이고, 최댓값은 없다.
유제
10-1
⑴ log4`x=log2@`x=1 2 `log2`x logx`j2=logx`22!=12`logx`2= 1 2`log2`x 이고, x>1에서 log4`x>0, logx`j2>0이므로 log4`x+logx`j2 =1
2 [log2`x+ 1 log2`x ]
>1
2\2qlog2`x\ 1 log2`x e=1 따라서 최솟값은 1
note log2`x= 1
log2`x , 곧 log2`x=1일 때 최소이다.
⑵ logx`y@=2`logx`y, logy`x@=2`logy`x= 2 logx`y 이고, x>1, y>1에서 logx`y@>0, logy`x@>0이므로 logx`y@+logy`x@ =2[logx`y+ 1
logx`y ]
>2\2qlogx`y\ 1logx`y e=4 따라서 최솟값은 4
note logx`y= 1
logx`y , 곧 logx`y=1일 때 최소이다.
유제
10-2
⑴ 3X>0, [ 13 ]X>0이므로 3X+[ 13 ]X>2q3X\[ 13 ]Xe=211=2[단, 등호는 3X=[ 13 ]X, 곧 x=0일 때 성립]
따라서 최솟값은 2이고, 최댓값은 없다.
⑵ {3X+3_X}@ ={3X}@+2\3X\3_X+{3_X}@
=9X+9_X+2
이므로 3X+3_X=t로 놓으면 9X+9_X=t@-2
또 3X"!+3_X"! =3\3X+3\3_X
=3{3X+3_X}=3t
이때 주어진 함수는 y
O t 2 4 2
y=-[t-2#]@+\\\\\\\\\\\\\\\\17 4
2#
17\\\\\\\\\\\\\\\\\4
y =-{t@-2}+3t
=-t@+3t+2
=-[t-3 2 ]@+17
4 ⑴에서 t>2이므로
t=2일 때 최댓값은 -2@+3\2+2=4이고, 최솟값은 없다.
g{7}=b에서 f{b}=7이므로
[ 12 ]B_!+3=7, 2_B"!=2@ / b=-1
05
log3`x=t로 놓으면 주어진 함수는 y=5T_@t=log3`x는 증가하는 함수이고, x=1일 때 t=0, x=81일 때 t=4 따라서 1<x<81에서 0<t<4
이 범위에서 y=5T_@은 증가하는 함수이므로 t=4{x=81}일 때 최댓값은 5@=25 t=0{x=1}일 때 최솟값은 5_@= 1 25 따라서 최댓값과 최솟값의 곱은 25\ 1
25=1
06
loga#`b@=23`loga`b, logb$`a#=34`logb`a= 3 4`loga`b 또 a>1, b>1이므로 loga#`b@>0, logb$`a#>0 / loga#`b@+logb$`a# =2
3`loga`b+ 3 4`loga`b
>2q 23`loga`b\ 3 4`loga`b e
=2q1 2=j2 [단, 등호는 23`loga`b= 3
4`loga`b, 곧 {loga`b}@=9
8일 때 성립] 따라서 최솟값은 j2이다.
07
2001+x1-x 의 값의 범위부터 구한다.2001+x
1-x =t로 놓으면 주어진 함수 t
O x -1
-1 1
1000 2002 t=-\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\-1x-1
는 y=log`t이고, t =2001+x
1-x
=-2002
x-1-1 yy ① x=-1일 때 t=1000이므로
-1<x<1에서 ①의 그래프는 위의 그림과 같다.
/ t>1000
이때 y=log`t는 증가하는 함수이고, y=log`1000=3
이므로 치역은 9y|y>30이다.
08
log2`x를 포함한 꼴로 정리한다.① y=log2`2
x=log2`2-log2`x=1-log2`x이므로 y=log2`x의 그래프를 x축에 대칭이동한 다음 y축 방향으로 1만큼 평행이 동한 것이다.
② y=log2!`x=log2_!`x=-log2`x이므로 y=log2`x의 그래프를 x축에 대칭이동한 것이다.
③ y=log4`x=log2@`x=1
2`log2`x이므로 y=log2`x의 그래프를
평행이동하거나 대칭이동한 것이 아니다.
④ y=log4`x@=log2@`x@=2
2`log2`|x|=log2`|x|이므로 x>0일 때 y=log2`x, x<0일 때 y=log2`{-x}
곧, y=log2`x의 그래프를 평행이동하거나 대칭이동한 것이 아 니다.
⑤ y=log2`x의 그래프를 직선 y=x에 대칭이동하면 곡선 y=2X 이다. 이를 다시 y축에 대칭이동하면 곡선 y=2_X이다.
따라서 평행이동하거나 대칭이동하여 y=log2`x의 그래프와 겹칠 수 없는 것은 ③, ④이다.
09
직선 y=x를 이용하여 y축 위에 b, c, d의 함숫값을 나 타낸다.오른쪽 그림과 같이 y
x y=log3`x
O a ab c
b c d
y=x
log3`b=a, log3`c=b, log3`d=c
이므로 [1
3 ]A_C =[1 3 ]
log3`b-log3`d
=[1 3 ]
log3`dB
=3_log3`dB=3log3`[dB]_!
=3`log3`bD=d b
10
점 A, B의 좌표를 이용하여 식을 세운다.A{p, log2`p}, B{2p, log2`2p}이므로 sBCD=1
2\p\log2`2p, sACB=1
2\p\log2`p 이때 log2`2p>log2`p이므로 조건에서
sBCD-sACB=8 1
2\p\log2`2p-1
2\p\log2`p=8 p`log2`2p-p`log2`p=16, p`log2`2p
p =16 p`log2`2=16 / p=16
11
0<a<1, a>1일 때로 나누어 함수를 생각한다.0<a<1, a>1일 때로 나누어 y=f{x}의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.
O y
x 0<a<1
1 1
O y
x a>1
1 1
[그림 1] [그림 2]
이때 f{x}의 역함수가 존재하므로 f{x}는 일대일대응이다.
따라서 [그림 1]과 같이 0<a<1이다.
f{a}=2
3 이므로 -a+1=2
3 / a=1 3 / f{9}=log3!`9=log3_!`3@=-2