평면의 방정식 - 7이때 오른쪽 그림과 같이 OP”가 - 성분과 내적 - 개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설

성분과 내적

7이때 오른쪽 그림과 같이 OP”가

11 평면의 방정식

H B C

F E

g 60˘ 120˘

2 1

z-4 -1 y 2

y+1 -2 x-3

A’H≥`^∑`u’¡≤=0 yy㉠ A’H≥와 u’¡≤을 각각 구하면

A’H≥=O’H≥-O’A≥

=(t-1, -t-2, 2t+1)-(-1, 2, 3)

=(t, -t-4, 2t-2) yy㉡ u’¡≤=(1, -1, 2)

이를 ㉠에 대입하면

(t, -t-4, 2t-2)`^∑`(1, -1, 2)

=t-(-t-4)+2(2t-2)=0 ∴ t=0 t=0을 ㉡에 대입하면

A’H≥=(0, -4, -2)

∴ |A’H≥|="√0¤ +(-4)¤ +(-2)¤ =2'5

이때 정육각형의 한 변의 길이를 a라 하면 정육각형의 한 내각의 크기는 120˘이므로

a=AB”= = A’H”

= ¥2'5= 'ß15

따라서 정육각형 ABCDEF의 넓이는 한 변의 길이가 'ß15인 정삼각형 6개의 합과 같으므로 구하는 넓이는

6_ _{ 'ß15}

=40'3 4

3 '3

4 4

4 3 2

2 '3 A’H”

sin 60˘

두 점 A(0, 1, -1), B(2, -2, 0)을 지나는 직선의 방 향벡터 AB≥는

AB≥=OB≥-OA≥

=(2, -2, 0)-(0, 1, -1)=(2, -3, 1) 구하는 평면은 직선에 수직이므로 직선의 방향벡터 AB≥에 수직이다.

1

11

^{평면의 방정식}

1 2x-3y+z-7=0 2 -6

3 ⑴ z=0 ⑵ x=0 ⑶ x=1 ⑷ z=3 4 ⑴ 3x-y+7z-14=0 ⑵ 2x+4y-z-4=0 5 11x+2y+5z-30=0 6

-7 8x+y-3z-14=0

8 ⑴ = = ⑵ H(-1, 3, 0)

9 '1å1

z-3 3 y-2

-1 x-1

9 4

유제 pp. 252~255

정답과해설140

⑴ 세 점을 지나는 평면의 방정식을

ax+by+cz+d=0 yy㉠

이라 하면 세 점 A, B, C가 평면 ㉠ 위에 있으므로

3a+2b+c+d=0 yy㉡

a+3b+2c+d=0 yy㉢

2a-b+c+d=0 yy㉣

㉡, ㉢, ㉣에서 a, b, d를 c로 나타내면

a= c, b=- c, d=-2c yy㉤

㉤을 ㉠에 대입하면

c { x- y+z-2}=0

∴ 3x-y+7z-14=0 (∵ c+0)

⑵ 세 점을 지나는 평면의 방정식을

ax+by+cz+d=0 yy㉠

이라 하면 세 점 A, B, C가 평면 ㉠ 위에 있으므로

2a+d=0 yy㉡

b+d=0 yy㉢

-4c+d=0 yy㉣

㉡, ㉢, ㉣에서 a, b, c를 d로 나타내면

a=- , b=-d, c= yy㉤

㉤을 ㉠에 대입하면

d {- x-y+ z+1}=0

x+y- z-1=0(∵ d+0) yy㉥

∴ 2x+4y-z-4=0

구하는 평면의 방정식을 a`:`ax+by+cz+d=0 이라 하면 법선벡터 n¯은

n¯ =(a, b, c)

두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(2, -1, -4), u’™≤=(1, 2, -3)

5

1 4 1

d 4 d

2 1 7 3 7

1 7 3

4

따라서 구하는 평면의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(2, -3, 1)

점 C(1, -1, 2)를 지나고, 법선벡터가 n¯=(2, -3, 1) 인 평면의 방정식은

2(x-1)-3(y+1)+(z-2)=0

∴ 2x-3y+z-7=0

평면 a : 3x+2y-z=3의 법선벡터를 n’¡≤이라 하면 n’¡≤=(3, 2, -1)

구하는 평면은 평면 a에 평행하므로 평면 a의 법선벡터 n’¡≤에 수직이다.

따라서 구하는 평면의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(3, 2, -1)

점 (3, 1, -2)를 지나고, 법선벡터가 n¯=(3, 2, -1) 인 평면의 방정식은

3(x-3)+2(y-1)-(z+2)=0

∴ 3x+2y-z-13=0

위의 평면이 점 (1, 2, a)를 지나므로 3+4-a-13=0 ∴ a=-6

⑴ xy평면의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(0, 0, 1)

로 정할 수 있고, xy평면은 원점을 지나므로 평면의 방정식은

0(x-0)+0(y-0)+1(z-0)=0

∴ z=0

⑵ yz평면의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(1, 0, 0)

으로 정할 수 있고, yz평면은 원점을 지나므로 평면의 방정식은

1(x-0)+0(y-0)+0(z-0)=0

∴ x=0

⑶ x축에 수직인 평면의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(1, 0, 0)

으로 정할 수 있고, 점 G(1, 2, 3)을 지나므로 평면 의 방정식은

1(x-1)+0(y-2)+0(z-3)=0

∴ x=1

⑷ z축에 수직인 평면의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(0, 0, 1)

로 정할 수 있고, 점 F(1, 0, 3)을 지나므로 평면의 방정식은

0(x-1)+0(y-0)+1(z-3)=0

∴ z=3

3 2

Tip 세 점 A(l, 0, 0), B(0, m, 0), C(0, 0, n)을 지나는 평면의 방정식

위의 ㉥에서

x+y- z-1=0 Δ + + -1=0 으로 변형하면 2, 1, -4는 각각 세 점 A, B, C의 x좌 표, y좌표, z좌표임을 알 수 있다.

이와 같이 세 점 A(l, 0, 0), B(0, m, 0), C(0, 0, n) 을 지나는 평면의 방정식은

+ +z=1(단, lmn+0) n

y m x l

z -4 y 1 x 2 1

4 1

Ⅳ벡터141

∴ a=- c, b=- c yy㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

- c(x-1)- cy+c(z+2)=0 8(x-1)+y-3(z+2)=0 (∵ c+0)

∴ 8x+y-3z-14=0

⑴ 평면 2x-y+3z+5=0의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(2, -1, 3)

직선 AH와 주어진 평면은 수직이므로 직선 AH의 방향벡터를 u¯라 하면

u¯=(2, -1, 3)

따라서 방향벡터가 u¯=(2, -1, 3)이고, 점 A(1, 2, 3)을 지나는 직선 AH의 방정식은

= =

⑵ 직선 = = =t(t는 실수)로 놓으면 x=2t+1, y=-t+2, z=3t+3

점 H는 직선 AH 위의 점이므로

H(2t+1, -t+2, 3t+3) yy㉠ 점 H는 평면 2x-y+3z+5=0 위에 있으므로

2(2t+1)-(-t+2)+3(3t+3)+5=0 14t+14=0 ∴ t=-1

t=-1을 ㉠에 대입하면 점 H의 좌표는 H(-1, 3, 0)

주어진 직선의 방정식을

x-2=y= =t (t는 실수) 로 놓으면

x=t+2, y=t, z=3t+3 yy`㉠ㅇ

㉠을 평면 x-2y-z=-1에 대입하면 (t+2)-2t-(3t+3)=-1 -4t=0 ∴ t=0

t=0을 ㉠에 대입하면 직선과 평면 x-2y-z=-1과의 교점의 좌표는 (2, 0, 3)이다.

또 ㉠을 평면 2x+y+z=1에 대입하면 2(t+2)+t+(3t+3)=1 6t=-6 ∴ t=-1

t=-1을 ㉠에 대입하면 직선과 평면 2x+y+z=1과의 교점의 좌표는 (1, -1, 0)이다.

따라서 두 평면에 의하여 잘리는 선분의 길이를 d라 하면 d는 두 점 (2, 0, 3), (1, -1, 0) 사이의 거리이므로

z-3 3

9

z-3 3 y-2

-1 x-1

z-3 3 y-2

-1 x-1

8

1 3 8

3 두 직선 g¡, g™가 평면 a 위에 있으므로

u’¡≤⊥n¯, u’™≤⊥n¯

이때 u’¡≤⊥n¯에서 u’¡≤`^∑`n¯=0이므로 u’¡≤`^∑`n¯=(2, -1, -4)`^∑`(a, b, c)

=2a-b-4c=0 yy㉠

또 u’™≤⊥n¯에서 u’™≤`^∑`n¯=0이므로 u’™≤`^∑`n¯=(1, 2, -3)`^∑`(a, b, c)

=a+2b-3c=0 yy㉡

㉠, ㉡에서 a, b를 c로 나타내면 a= c, b= c

∴ n¯={ c, c, c}

이때 평면 a는 직선 g¡ 위의 점 (1, 2, 3)을 지나므로 c(x-1)+ c(y-2)+c(z-3)=0 11(x-1)+2(y-2)+5(z-3)=0 (∵ c+0)

∴ 11x+2y+5z-30=0

두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(2, 1, 2), u’™≤=(-2, 1, 3)

구하는 평면이 두 직선 g¡, g™를 포함하므로 u’¡≤⊥n¯, u’™≤⊥n¯

이때 u’¡≤⊥n¯에서 u’¡≤`^∑`n¯=0이므로 u’¡≤`^∑`n¯=(a, b, 1)`^∑`(2, 1, 2)

=2a+b+2=0 yy㉠

또 u’™≤⊥n¯에서 u’™≤`^∑`n¯=0이므로 u’™≤`^∑`n¯=(a, b, 1)`^∑`(-2, 1, 3)

=-2a+b+3=0 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a= , b=- ∴

a+b=-법선벡터가 n¯=(a, b, c)이고, 점 (1, 0, -2)를 지나 는 평면의 방정식은

a(x-1)+by+c(z+2)=0 yy㉠ 직선 x=y-2= =t (t는 실수)로 놓으면

x=t, y=t+2, z=3t-4 yy㉡ 직선 ㉡은 평면 ㉠ 위에 있으므로 ㉡을 ㉠에 대입하면

a(t-1)+b(t+2)+c(3t-2)=0

∴ (a+b+3c)t-(a-2b+2c)=0 위의 식은 임의의 실수 t에 대하여 성립하므로

a+b+3c=0, a-2b+2c=0 z+4

7

9 4 5

2 1

6

2 5 11

5 2 5 11

정답과해설142

d="√(2-1)¤ +(0+1)¤ +√(3-0)¤

='ƒ1+1+9='1å1 = = =

∴ sin h=

∴ h= {∵ 0<h< }

두 평면 a, b의 법선벡터를 각각 n’¡≤, n’™≤라 하면 n’¡≤=(1, -2, 2), n’™≤=(3, 4, -5) 이때 두 평면이 이루는 각의 크기를 h라 하면

cos h=

= =

한편 평면 b 위의 정삼각형의 넓이를 S'이라 하면 S'= _2¤ ='3

따라서 평면 a 위의 삼각형의 넓이를 S라 하면 S cos h=S'이므로

S= = ='6

구하는 평면을

c: ax+by+cz+d=0 yy`㉠ㅇ 이라 할 때, 법선벡터를 n¯이라 하면

n¯=`(a, b, c)

평면 c가 점 (2, 1, -1)을 지나므로

2a+b-c+d=0 yy㉡ㅇ

두 평면 a, b의 법선벡터를 각각 n’¡≤, n’™≤라 하면 n’¡≤=(2, 1, 1), n’™≤=(1, -1, -2)

평면 c가 평면 a에 수직이면 n’¡≤⊥n¯에서 n’’¡≤`^∑`n¯=0이 므로

n’’¡≤`^∑`n¯=(2, 1, 1)`^∑`(a, b, c)

=2a+b+c=0 yy㉢ㅇ

평면 c가 평면 b에 수직이면 n’™≤⊥n¯에서 n’’™≤`^∑`n¯=0이 므로

n’’™≤`^∑`n¯=(1, -1, -2)`^∑`(a, b, c)

=a-b-2c=0 yy㉣ㅇ

㉡, ㉢, ㉣에서 a, b, d를 c로 나타내면 a= c, b=- c, d=2c 이를 ㉠에 대입하면

5 3 1

2 1

'3 121

'2 S' cos h

'3 4

1 '2

|3-8-10|

'9 '5å0

|(1, -2, 2)^∑(3, 4, -5)|

"√1¤ +(-2)¤ +2¤ "√3¤ +4¤ +(-5)¤

|n’¡≤`^∑`n’™≤|

|n’¡≤||n’™≤|

1 1

p 2 p

6 1 2

1 2 3 6

|2+2-1|

'6 '6

12

두 평면이 이루는 각

10 ⑴ 3 ⑵ 11 '6

12 x-5y+3z+6=0 13 1

14 ⑴ =y=z-1 ⑵ 2x+5y-3z+9=0

15 {- , - , - }5 16 -4 3

5 3 5 3 x-4

-2 p 6

유제 pp. 257~260

⑴ 직선 = =z-3에 수직인 평면을 a라 할

때, a의 법선벡터를 n’¡≤이라 하면 n’¡≤=(3, -2, 1)

평면 2x+y+az+5=0을 b라 할 때, b의 법선벡터 를 n’™≤라 하면

n’™≤=(2, 1, a)

이때 두 평면 a, b가 이루는 각의 크기가 이므로

cos =

∴ 2|a+4|="√14(a¤ +5) 위의 식의 양변을 제곱하면

4a¤ +32a+64=14a¤ +70

10a¤ -32a+6=0, 5a¤ -16a+3=0 (a-3)(5a-1)=0

∴ a=3 (∵ a>1)

⑵ 직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터를 각각 u¯, n¯이 라 하면

u¯=(1, 2, -1), n¯=(2, 1, 1)

직선과 평면이 이루는 예각의 크기를 h 라 할 때, u¯와 n¯ 이 이루는 각의 크기는 -h 이므로

cos { -h}=sin h=

= |(1, 2, -1)`^∑`(2, 1, 1)|

"√1¤ +2¤ +(-1)¤ "√2¤ +1¤ +1¤

|u¯`^∑`n¯|

|u¯||n¯|

p 2

|a+4|

"√14(a¤ +5) 1

|(3, -2, 1)`^∑`(2, 1, a)|

"√3¤ +(-2)¤ +1¤ "√2¤ +1¤ +a¤

p 3

p 3 y+1

-2 x-2

0

1

Ⅳ벡터143 + y- z+ =0

∴ 2x+5y-3z+9=0

평면 a에 대하여 점 P(1, 1, 1)과 대칭인 점을

Q(a, b, c)라 하고, PQ”의 중점을 M이라 할 때, 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

⁄ 점 M은 PQ”의 중점이고 평면 a 위의 점이다.

점 M의 좌표를 구하면

M { , , }

점 M의 좌표를 평면 a의 방정식에 대입하면

+ + +1=0

∴ a+b+c+5=0 yy㉠

¤ PQ”와 평면 a는 수직이므로 PQ≥와 평면 a의 법선벡 터는 평행하다.

평면 a의 법선벡터를 n¯이라 하면 n¯=(1, 1, 1)

PQ≥를 구하면

PQ≥=OQ≥-OP≥=(a-1, b-1, c-1) PQ≥ // n ¯ 에서 PQ≥=tn≤ (t+0인 실수)이므로

(a-1, b-1, c-1)=t(1, 1, 1)

∴ a=t+1, b=t+1, c=t+1 yy㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 t의 값을 구하면 (t+1)+(t+1)+(t+1)+5=0

∴

t=-t=- 을 ㉡에 대입하면 a=- , b=- ,

c=-∴ {- , - , - }

평면 a에 대하여 점 P(4, -7, 1)과 대칭인 점이 Q(2, -3, 7)이고, PQ”의 중점을 M이라 할 때, 이를 그 림으로 나타내면 다음과 같다.

이때 점 M은 PQ”의 중점이고 평면 a 위의 점이다.

P(4, -7, 1) M Q(2, -3, 7) a

6 1

5 3 5 3 5 3

5 3 5

3 5

3 8 3

8 3

1+c 2 1+b

2 1+a

1+c 2 1+b

2 1+a

P(1, 1, 1) M Q(a, b, c) a

5 1

9 4 3 4 5 4 x cx- cy+cz+2c=0 2

c+0이므로 양변에 을 곱하면 x-5y+3z+6=0

주어진 직선의 방향벡터를 u¯, 평면의 법선벡터를 n¯이라 하면

u¯=(2, 1-k, k), n¯=(1, k, -2) 직선과 평면이 서로 평행할 때, u¯⊥n¯이므로

u¯`^∑`n¯=(2, 1-k, k)`^∑`(1, k, -2)

=2+k(1-k)-2k=0 k¤ +k-2=0, (k+2)(k-1)=0

∴ k=1 (∵ k>0)

⑴ [

㉠+㉡_3을 하면

7x+14y=28 ∴ y=

㉠_2-㉡을 하면

-7y+7z=7 ∴ y=z-1 따라서 구하는 교선의 방정식은

=y=z-1

⑵ 두 평면 x+y-z+2=0, 2x-y-z-1=0의 교선 을 포함하는 평면의 방정식은

(x+y-z+2)+k(2x-y-z-1)=0 (단, k는 실수)

∴ (1+2k)x+(1-k)y-(1+k)z+2-k=0 yy㉠ㅇ 평면 ㉠의 법선벡터를 n’¡≤이라 하면

n’¡≤=(1+2k, 1-k, -1-k) yy㉡ㅇ 평면 x-y-z+1=0의 법선벡터를 n’™≤라 하면

n’™≤=(1, -1, -1) yy㉢ㅇ 이때 평면 ㉠과 평면 x-y-z+1=0은 수직이므로 n’¡≤⊥n’™≤에서

n’¡≤`^∑`n’™≤=0

위의 식에 ㉡, ㉢을 대입하면

(1+2k, 1-k, -1-k)`^∑`(1, -1, -1)=0 4k+1=0

∴

k=-k=-1을 ㉠에 대입하면 4

1 4 x-4

-2

x-4 -2

x-y+3z=7 yy㉠

2x+5y-z=7 yy㉡

4 1

3 1

3 c 5 3 1 3

정답과해설144

점 M의 좌표를 구하면

M { , , }

∴ M(3, -5, 4) 한편 PQ≥를 구하면

PQ≥=OQ≥-OP≥

=(2, -3, 7)-(4, -7, 1)=(-2, 4, 6) 이때 PQ≥는 평면 a에 수직이므로 평면 a의 법선벡터를 n¯이라 하면

n¯=(-2, 4, 6)

따라서 점 M(3, -5, 4)를 지나고, 법선벡터가 n¯=(-2, 4, 6)인 평면의 방정식은

-2(x-3)+4(y+5)+6(z-4)=0

∴ x-2y-3z-1=0

이를 a：x-2y+az+b=0과 비교하면 a=-3, b=-1 ∴ a+b=-4

1+7 2 -7-3

2 4+2

법선벡터가 (2, -2, -1)인 평면의 방정식을 2x-2y-z+d=0 (d는 상수)

이라 하면 원점과 평면 사이의 거리가 3이므로

=3, |d|=9

∴ d=—9

따라서 구하는 평면의 방정식은

2x-2y-z+9=0 또는 2x-2y-z-9=0 이때 양변을 2로 나누면

x-y- + =0 또는 x-y- - =0 이를 x+ay+bz+c=0과 비교하면

a=-1, b=- , c=—

∴ a+b+c=-6 또는 a+b+c=3

두 평면 a, b의 법선벡터를 각각 n’¡≤, n’™≤라 하면 n’¡≤=(3, -2, 1), n’™≤=(-3, 2, -1) 이때 n’¡≤=-n’™≤이므로 두 평면 a, b는 평행하다.

따라서 두 평면 a, b 사이의 거리는 평면 a 위의 임의의 점 (0, 0, -4)와 평면 b : -3x+2y-z+4=0 사이 의 거리와 같으므로

= =

오른쪽 그림과 같이 구 위의 점 P에서 평면에 이르는 거리의 최 댓값은 구의 중심 O와 평면 사 이의 거리 d에 구의 반지름의 길이 r를 더한 것과 같다.

구의 중심 O(0, 0, 0)과 평면 x-y+z-9=0 사이의 거리 d는

= =3'3

따라서 구의 반지름의 길이 r='3이므로 구 위의 점 P에 서 평면에 이르는 거리의 최댓값은

d+r=3'3+'3=4'3

⑴ 구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ +6x-4y-2z+3=0을 완전 제곱꼴로 나타내면

(x+3)¤ +(y-2)¤ +(z-1)¤ =11

1 2

9 '3

|-9|

"√1¤ +(-1)¤ +1¤

O(0, 0, 0) d

x-y+z-9=0 r

최댓값

0 2

4'1å4 7 8 '1å4

|-3¥0+2¥0-(-4)+4|

"√(-3)¤ +2¤ +(-1)¤

9 1

9 2 1

9 2 z 2 9

2 z 2

|d|

"√2¤ +(-2)¤ +(-1)¤

8 1

두 평면 a, b의 법선벡터를 각각 n’¡≤, n’™≤라 하면 n’¡≤=(2, 1, 2), n’™≤=(2, 1, 2)

이때 n’¡≤=n’™≤이므로 두 평면 a, b는 평행하다.

따라서 평면 a 위의 점 A와 평면 b 위의 점 P에 대하여 AP”의 최솟값은 점 A와 평면 b 사이의 거리와 같다.

평면 a 위의 임의의 점 A의 좌표를 구하기 위하여 x=0, y=0을 평면 a의 방정식에 대입하면

0+0+2z=4 ∴ z=2

∴ A(0, 0, 2)

따라서 점 A(0, 0, 2)와 평면 b : 2x+y+2z-2=0 사이의 거리를 h라 하면

h= =2

|2¥0+1¥0+2¥2-2|

"√2¤ +1¤ +2¤

7 1

17 18 -6 또는 3 19 20 4'3 21 ⑴ x-y+3z-9=0

⑵ 3x-z-2'1å0=0 또는 3x-z+2'1å0=0 22 2x-y-2z+1=0 23 64p 24 k=- 또는 k=3

2 3

4'1å4 7 2

유제 pp. 262~264

13

점과 평면 사이의 거리

Ⅳ벡터145 중심 (2, 0, 1)에서 평면 2x-y-2z+d=0까지의 거리는 반지름의 길이 1과 같으므로

|d+2|=3

∴ d=-5 또는 d=1

⁄, ¤에 의하여 d=1일 때, 두 구에 모두 접하므로 구하 는 평면의 방정식은

2x-y-2z+1=0

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ -2x+4y-6z-86=0을 완전 제곱꼴로 나타내면

(x-1)¤ +(y+2)¤ +(z-3)¤ =10¤

오른쪽 그림과 같이 구의 중 심 C(1, -2, 3)에서 평면 a：2x+y-2z-12=0에 내린 수선의 발을 H라 하면 CH”의 길이는

CH”= = =6

이때 구와 평면이 만날 때 생기는 교선인 원 위의 임의의 점을 P라 하면 구의 반지름인 CP”의 길이는 10이므로 직각삼각형 CHP에서

HP”=øπCP”¤ -CH”¤ ="√10¤ -6¤ =8

따라서 원의 반지름의 길이는 8이므로 구하는 원의 넓이는 p¥8¤ =64p

오른쪽 그림과 같이 구의 중 심 C(1, 0, -1)에서 평면 a：x+y+z=k에 내린 수 선의 발을 H라 하면 CH”의 길이는

CH”= =

이때 구와 평면이 만날 때 생기는 교선인 원 위의 임의의 점을 P라 하면 HP”는 이 원의 반지름이므로

pHP” ¤ = ∴ HP”= (∵ HP”>0) 한편 구의 반지름인 CP”의 길이는 1이므로 직각삼각형 CHP에서

CP” ¤ =CH” ¤ +HP” ¤ 1¤ ={ }¤ +{ }¤ , k¤ =

∴ k=- 또는 k=3 2 3

9 4 1

|k|

1 2 p

|k|

|1+0-1-k|

"√1¤ +1¤ +1¤

P C(1, 0, -1) a H

4 2

18 3

|2¥1-2-2¥3-12|

"√2¤ +1¤ +(-2)¤

P C(1, -2, 3) a H

3 2

|2¥2-2¥1+d|

"√2¤ +(-1)¤ +(-2)¤

이때 구의 중심이 C(-3, 2, 1) 이므로 구하는 평면의 법선 벡터를 n¯이라 하면

n¯=CA≥

=O’A≥-OC≥

=(-2, 1, 4)-(-3, 2, 1)

=(1, -1, 3)

따라서 점 A(-2, 1, 4)를 지나고, 법선벡터가 n¯=(1, -1, 3)인 평면의 방정식은

(x+2)-(y-1)+3(z-4)=0

∴ x-y+3z-9=0

⑵ 벡터 n¯=(-3, 0, 1)에 수직인 평면의 방정식은 -3x+z+d=0 (단, d는 상수) yy`㉠ㅇ 주어진 구의 방정식을 완전제곱꼴로 나타내면

x¤ +y¤ +z¤ -2x+4y-6z+10=0

∴ (x-1)¤ +(y+2)¤ +(z-3)¤ =4 따라서 평면 ㉠이 주어진 구에 접할 때, 구의 중심 (1, -2, 3)과 평면 사이의 거리가 구의 반지름의 길 이 2와 같으므로

=2 ∴ d=—2'1å0 d=—2'1å0을 ㉠에 대입하면 구하는 평면의 방정식은

3x-z-2'1å0=0 또는 3x-z+2'1å0=0

벡터 (2, -1, -2)에 수직인 평면의 방정식은

2x-y-2z+d=0 (단, d는 상수) yy`㉠ㅇ 이때 평면 ㉠이 두 구 C¡, C™에 동시에 접하는 경우를 그 림으로 나타내면 다음과 같다.

⁄ 구 C¡：(x-2)¤ +(y+1)¤ +z¤ =4와 평면 ㉠이 접 하는 경우

중심 (2, -1, 0)에서 평면 2x-y-2z+d=0까지 의 거리는 반지름의 길이 2와 같으므로

|d+5|=6

∴ d=-11 또는 d=1

¤ 구 C™：(x-2)¤ +y¤ +(z-1)¤ =1과 평면 ㉠이 접 하는 경우

|2¥2-(-1)+d|

"√2¤ +(-1)¤ +(-2)¤

(2, -1, 0)

(2, 0, 1) C¡

C™ 2x-y-2z+d=0

2 2

|-3+3+d|

"√(-3)¤ +1¤

C(-3, 2, 1)

A(-2, 1, 4)

정답과해설146

x=t+1, y=2t+1, z=t+2 yy㉡ 직선 ㉡은 평면 ㉠ 위에 있으므로 ㉡을 ㉠에 대입하면

a(t-1)+b(2t)+c(t+3)=0

∴ t(a+2b+c)+(-a+3c)=0 yy㉢

㉢은 임의의 실수 t에 대하여 성립하므로 a+2b+c=0, -a+3c=0

∴ a=3c, b=-2c 이를 ㉠에 대입하면

3c(x-2)-2c(y-1)+c(z+1)=0 3(x-2)-2(y-1)+(z+1)=0(∵ c+0)

∴ 3x-2y+z-3=0

따라서 보기 중 평면 위에 있지 않은 점은 ④ (2, 3, 1) 이다.

점 (1, 0, 3)을 지나고, 법선벡터가 n¯=(a, b, c)인 평 면 a의 방정식은

a(x-1)+by+c(z-3)=0

평면 a는 평면 2x+y-z-1=0에 수직이므로 (2, 1, -1)`^∑`(a, b, c)=0

∴ 2a+b-c=0 yy㉠

평면 a는 평면 x-y-5z+2=0에 수직이므로 (1, -1, -5)`^∑`(a, b, c)=0

∴ a-b-5c=0 yy㉡

㉠, ㉡에서 a, b를 c로 나타내면 a=2c, b=-3c

따라서 평면 a의 방정식은

2c(x-1)-3cy+c(z-3)=0 2(x-1)-3y+z-3=0(∵ c+0)

∴ 2x-3y+z-5=0

주어진 직선과 x축의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(1, 1, '2), u’™≤=(1, 0, 0)

주어진 직선과 x축을 포함하는 평면의 법선벡터를 n’¡≤=(a, b, c)라 하면 u’¡≤⊥n’¡≤, u’™≤⊥n’¡≤이므로

u’¡≤`^∑`n’¡≤=a+b+'2c=0 yy`㉠ㅇ u’™≤`^∑`n’¡≤=a=0 yy`㉡ㅇ

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-'2c

∴ n’¡≤=(0, -'2c, c)=(0, -'2, 1) 한편 xy평면의 법선벡터를 n’™≤라 하면

n’™≤=(0, 0, 1)

따라서 주어진 직선과 x축을 포함하는 평면이 xy평면과 이루는 각의 크기 h에 대하여

6 5

1 x+y-z+3=0 또는 x+y-z-3=0 2 6x-y+4z-2=0 3 ③ 4 ④

5 2x-3y+z-5=0 6 7 ④

8 {- , , - } 9 10p 10 ②

11 12 ⑤ 13 3'2 14 ③ 2

'6 6

2 3 5 3 1 3

'3 3

pp. 265~267

연습 문제

구하는 평면의 방정식을 ax+by+cz+d=0이라 하면 법선벡터가 n¯=(1, 1, -1)이므로

x+y-z+d=0

이때 원점과 평면 사이의 거리가 '3이므로

='3

|d|=3 ∴ d=—3

∴ x+y-z+3=0 또는 x+y-z-3=0

주어진 두 평면의 교선을 포함하는 평면의 방정식은 3x+2y+z+1+k(x-y+z-1)=0 (단, k는 실수) 이때 위의 평면이 점 (1, 0, -1)을 지나므로

3¥1+2¥0+(-1)+1+k {1-0+(-1)-1}=0

∴ k=3

따라서 구하는 평면의 방정식은 6x-y+4z-2=0

직선 = = =t (t는 실수)로 놓으면

x=2t+1, y=-3t-2, z=2t-1 yy㉠ 직선과 평면이 만나므로 ㉠을 평면 3x-y-4z-7=0에 대입하면

3(2t+1)-(-3t-2)-4(2t-1)-7=0

∴ t=-2

t=-2를 ㉠에 대입하면 x=-3, y=4, z=-5

따라서 교점의 좌표는 (-3, 4, -5)이므로 p+q+r=-3+4-5=-4

점 (2, 1, -1)을 지나고, 법선벡터가 n¯=(a, b, c)인 평면의 방정식은

a(x-2)+b(y-1)+c(z+1)=0 yy㉠ 직선 x-1=y-1=z-2=t (t는 실수)로 놓으면

4

z+1 2 y+2

-3 x-1

3

2

|d|

"√1¤ +1¤ +(-1)¤

1

Ⅳ벡터147

cos h= = =

평면 x+y+z=8의 법선벡 터를 n¯이라 하면

n¯=(1, 1, 1) 오른쪽 그림과 같이 직선 AH와 주어진 평면은 수직이

문서에서 개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설 (페이지 139-158)