02 여러 가지 일차변환

⑴ 닮음변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌 표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (4, 2)

⑵ 닮음변환 f에 의하여 점 (-2, 3)이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (-4, 6)

⑴ 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 나타내 는 행렬은

=

이고, 회전변환에 의하여 점 (2, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •=¶ • ∴ ('3, 1)

⑵ 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 나타내 는 행렬은

=

이고, 회전변환에 의하여 점 (2, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •=¶ •'2 ∴ ('2, '2) '2

2

º

0 -12'22

12'22 12'22 12'22

ª

º

-12'22 12'22 12'22 12'22

ª

-sin ;4“;º cos ;4“;

cos ;4“;

sin ;4“;

ª

p 4

'3 1 2

º

0 -112

12'32 12'32

112

ª

º

-112 12'32 12'32

112

ª

-sin ;6“;º cos ;6“;

cos ;6“;

sin ;6“;

ª

p

3

6

-4 6 -2

3 2 0 0 2

4 2 2 1 2 0 0 2 2 0 0 2

2

1 -2 2 -1 0 -1 -1 0

⑴ x축에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은

¶ •

따라서 x축에 대한 대칭변환에 의하여 점 (2, -1) 이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (2, 1)

⑵ y축에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은

¶ •

따라서 y축에 대한 대칭변환에 의하여 점 (2, -1) 이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (-2, -1)

⑶ 원점에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은

¶ •

따라서 원점에 대한 대칭변환에 의하여 점 (2, -1) 이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (-2, 1)

⑷ 직선 y=x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은

¶ •

따라서 직선 y=x에 대한 대칭변환에 의하여 점 (2, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (-1, 2)

⑸ 직선 y=-x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은

¶ •

따라서 직선 y=-x에 대한 대칭변환에 의하여 점 (2, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는

0 -1 -1 0

-1 2 2 -1 0 1 1 0 0 1 1 0

-2 1 2 -1 -1 0

0 -1 -1 0 0 -1

-2 -1 2 -1 -1 0

0 1 -1 0 0 1

2 1 2 -1 1 0 0 -1 1 0 0 -1

1

개념check

1 ⑴ (2, 1) ⑵ (-2, -1) ⑶ (-2, 1)

⑷ (-1, 2) ⑸ (1, -2) 2 ⑴ (4, 2) ⑵ (-4, 6) 3 ⑴ ('3, 1) ⑵ ('2, '2)

02

^{여러 가지 일차변환}

p. 12

Ⅰ일차변환과행렬011

⑤ 원점을 중심으로 h만큼 회전하는 회전변환을 나타낸 것이고, 이를 변환식으로 나타내면

[

이때 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식이므 로 일차변환이다.

따라서 보기의 변환에서 일차변환이 아닌 것은 ④이다.

변환식에서 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식으로 나타내어지면 일차변환이다.

ㄱ. x축에 내린 수선의 발은 오른 쪽 그림과 같이 좌표평면 위 의 점 P(x, y)를 점 P'(x, 0)으로 옮기므로 이를 변환식으로 나타내면

[

이때 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식이 므로 일차변환이다.

ㄴ. 직선 y=1에 대한 대칭이동은 오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 점 P(x, y)를 점 P'(x, 2-y)로 옮기므로 이를 변환식으로 나타내면

[

이때 y'=2-y에서 y'이 상수항을 포함하므로 일차 변환이 아니다.

ㄷ. y축의 방향으로 -1만큼 평행이동을 나타내는 변환 식은

[

이때 y'=y-1에서 y'이 상수항을 포함하므로 일차 변환이 아니다.

ㄹ. 원점을 중심으로 -30˘만큼 회전하는 회전변환을 나 타내는 변환식은

[

∴

x'= x+ y

y'=- x+'3y 2 1 2

1 2 '3

‡

2

x'=x cos (-30˘)-y sin (-30˘) y'=x sin (-30˘)+y cos (-30˘) x'=x

y'=y●^-1 x'=x y'=●2-y

y

1

O

P'(x', y')

P(x, y)

y=1 1-y

x 1-y x'=x

y'=0

y

O x

P(x, y)

P'(x, 0)

2

x'=x cos h-y sin h y'=x sin h+y cos h

주어진 변환에 대한 그래프를 변환식으로 나타내었을 때, x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식으로 나타내어지면 일차변환이다.

① 직선 y=x에 대한 대칭변환을 나타낸 것이고, 이를 변 환식으로 나타내면

[

이때 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식이므 로 일차변환이다.

② y축에 대한 대칭변환을 나타낸 것이고, 이를 변환식으 로 나타내면

[

이때 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식이 므로 일차변환이다.

③ y축에 내린 수선의 발을 나타낸 것이므로 점 P'의 좌 표는 (0, y)이고, 이를 변환식으로 나타내면

[

이때 x', y'이 상수항이 없는 x, y에 대한 일차식이 므로 일차변환이다.

④ x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이 동을 나타낸 것이고, 이를 변환식으로 나타내면

[

이때 x'=x+a, y'=y+b에서 x', y'이 상수항을 포 함하므로 일차변환이 아니다.

x'=x●+a y'=y●^+b

x'=0 y'=y x'=-x y'=y x'=y y'=x

1

1 ④ 2 ㄱ, ㄹ 3 ② 4 2

5 ③ 6 ④ 7 ª º 8 2'2

9 6 10 (2, 2) 11 ⑤ 12 ④

13 {-1, } 14 (1-'3, -1-'3 ) 15 -16 D(2-'3, 1+2'3) 17 -2 18 5

19 ª º 또는 ª º 20 ④

21 16 22 655 m 23 y=x-1

24 (4-'3, 3+'3) 25 ④ 26 25'3 4 0

;2!;

;2!;

0 0

-;2!;

-;2!;

0

5'3 4 1

3

;2#;

;2!;

;2!;

;2#;

유형Training

pp. 12~17

정답과해설012

△PQR=1_2_2=2

2 ^-2

∴ x'-2y'=-x+2y yy`㉠

Ⅰ일차변환과행렬013

∴ X=

행렬 ¶ •로 나타내어지는 닮음변환을 f라 하면 f에 의하여 점 A(1, 2), B(2, 3)이 옮겨지는 점 C, D 의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ C(-2, -4)

¶ •¶ •=¶ • ∴ D(-4, -6)

∴ CD”="√{-4-(-2)}¤ √+{-6-(-4)}¤

='ƒ4+4=2'2

원점을 중심으로 하는 닮음변환 f를 나타내는 행렬을 A=¶ • (k+0인 실수)

라 하면 f에 의하여 점 (-3, 6)이 점 (1, -2)로 옮겨 지므로

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴

k=-∴ A=

한편 닮음변환 f에 의하여 점 (a, b)는 점 (1, -3)으 로 옮겨지므로

¶ •= ¶ •=

∴ a=-3, b=9

∴ a+b=6

직선 y=-x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬 A는

A=¶ •

또 원점을 중심으로 하고 점 (1, 2)를 점 (2, 4)로 옮기 는 닮음변환을 나타내는 행렬 B는

B=¶2 0• 0 2

0 -1 -1 0

0 1

-;3A;º -;3B;

a ª º b -0 -;3!;

-;3!;

ª-0 1 -3

-0º -;3!;

-;3!;

ª -0 1 3

-3k 6k -3

6 k 0 0 k 1

-2 k 0 0 k

9

-4 -6 2 3 -2 0

0 -2

-2 -4 1 2 -2 0

0 -2 -2 0

0 -2

8

;2#;ºº

;2!;

;2!;

;2#;

ªª 이때 두 점 A, A'은 직선 y=3x에 대하여 대칭이므로

중점 M은 직선 y=3x 위의 점이다.

∴ a+b=3¥

∴ 2a+5b=18 yy`㉠⋯

한편 직선 AA'의 기울기는 =

또 직선 AA'은 직선 y=3x와 서로 수직이므로 _3=-1

∴ -6a+b=2 yy`㉡⋯

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a= , b= ∴ a+b=

C(a, b)라 하면 점 C는 직선 y=-x+4 위의 점이므로

b=-a+4 yy`㉠ 또 두 점 A, C를 지나는 직 선은 직선 y=-x+4와 수 직이므로

_(-1)=-1

∴ b=a-2 yy`㉡⋯

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

a=3, b=1 ∴ C(3, 1)

같은 방법으로 D(c, d)라 하면 점 D는 직선 y=-x+4 위의 점이므로

d=-c+4 yy`㉢⋯

또 두 점 B, D를 지나는 직선은 직선 y=-x+4와 수 직이므로

_(-1)=-1

∴ d-2=c yy`㉣⋯

㉢, ㉣을 연립하여 풀면

c=1, d=3 ∴ D(1, 3)

일차변환 f를 나타내는 행렬을 X라 하면 f에 의하여 점 A(2, 0)이 점 D(1, 3)으로, 점 B(0, 2)가 점 C(3, 1) 로 옮겨지므로

¶ •=X¶ • y`㉤, ¶ •=X¶ • y`㉥

㉤, ㉥에 의하여

¶ •=X¶ •, ¶1 3•=2X 3 1 2 0

0 2 1 3

3 1

0 2 3

1 2

0 1

3 d-2 c-0 b-0 a-2

y

y=-x+4

O A(2, 0) C(a, b) D(c, d)

4 4

B(0, 2)

x

7

15 4 7

2 1 4 2a 2-b

2a 2-b 2a+b-b

4-b-2 6-b

2

정답과해설014 a=2+'2, b=1+2'2

∴ a+b=3+3'2 122222222 a'2+2'2 122222222 a

ª

Ⅰ일차변환과행렬015

⁄ 0<h<2p에서

cos h=- 을 만족하 는 h의 값은 오른쪽 그 래프에서

h= p또는 h= p

¤ 0<h<2p에서 sin h= 을 만족하 -sin ;6&;p

cos ;6&;p cos ;6&;p

sin ;6&;p ª BCD, ODE에서

∠A=∠C=∠E= p

OA”=AB”=BC”=CD”=DE”=OE”

이므로

△OAB™△BCD™△DEO(SAS 합동)

∴ OB”=BD”=OD” yy`㉠⋯

정답과해설016

= ¶ •=¶ •

∴ D(2-'3, 1+2'3)

원점에 대한 대칭변환에 의하여 직선 2x-y=4 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ x'=-x, y'=-y Δ x=-x', y=-y' yy`㉠⋯

㉠을 직선의 방정식 2x-y=4에 대입하면 2¥(-x')-(-y')=4

∴ -2x'+y'=4

이때 점 (x', y')은 직선 -2x+y=4 위의 점이므로 원 점에 대한 대칭변환에 의하여 옮겨지는 직선의 방정식은

-2x+y=4 yy`㉡⋯

㉡은 직선 ax+by=4와 일치하므로 a=-2, b=1

또 x축에 대한 대칭변환에 의하여 직선 2x+3y=4 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

x'=x, y'=-y Δ x=x', y=-y' yy`㉢⋯

㉢을 직선의 방정식 2x+3y=4에 대입하면 2x'+3¥(-y')=4

∴ 2x'-3y'=4

이때 점 (x', y')은 직선 2x-3y=4 위의 점이므로 x축 에 대한 대칭변환에 의하여 옮겨지는 직선의 방정식은

2x-3y=4 yy`㉣⋯

㉣은 직선 cx+dy=4와 일치하므로 c=2, d=-3

∴ a+b+c+d=-2+1+2-3=-2

원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환에 의하여 직 선 2x+y=1 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y') 이라 하면

¶ •= ¶ •x

º y -sin ;4“;

cos ;4“;

cos ;4“;

sin ;4“;

x' ª y'

p

8

4

1

x -y x y 1 0 0 -1 x'

y'

-x -y x

y -1 0

0 -1 x'

y'

7 1

2-'3 1+2'3 4

º

2 -12'32

2312 2312 12'32

ª

⁼ ¶ •=

∴ x'= , y'= yy`㉠⋯

이때 점 (x', y')은 직선 ax+by='2 위의 점이므로

ax'+by'='2 yy`㉡⋯

㉠을 ㉡에 대입하면

+ ='2

∴ x- y=1 yy`㉢⋯

㉢은 직선 2x+y=1과 일치하므로

=2, =-1 a+b=4, a-b=-2 위의 두 식을 연립하여 풀면

a=1, b=3

또 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선

y= x+1위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이 라 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ x'=x+y, y'=2x+y yy`㉣⋯

이때 점 (x', y')은 직선 y=mx+n 위의 점이므로

y'=mx'+n yy`㉤⋯

㉣을 ㉤`에 대입하면 2x+y=m(x+y)+n (m-1)y=(2-m)x-n

∴ y= x+ yy`㉥⋯

㉥은 직선 y= x+1과 일치하므로

= , =1

위의 두 식을 연립하여 풀면 m= ,

n=-∴ a+b+m+n=1+3+ - =5

`다른 풀이`

직선 y=mx+n은 다음과 같이 직선 위의 두 점을 이용 하여 구할 수 있다.

2 3 5 3 2

3 5

3

n 1-m 1 2 2-m m-1

1 2

n 1-m 2-m

m-1

x+y 2x+y x

y 1 1 2 1 x'

y' 1 2

1 1 2 1

a-b 2 a+b

2

a-b 2 a+b

2

'2b(x+y) 2 '2a(x-y)

2

'2(x+y) 2 '2(x-y)

2

º

'2(x-y) 122222222 '2(x+y) 122222222 x

ª

º

y -12'22

12'22 12'22 12'22

ª

Ⅰ일차변환과행렬017 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환을 f라 하면 f에

의하여 직선 y= x+1이 직선 y=mx+n으로 옮겨

지므로 직선 y= x+1위의 두 점 (0, 1), (-2, 0)

은 일차변환 f에 의하여 직선 y=mx+n 위의 두 점으로 옮겨진다.

점 (0, 1)이 일차변환 f에 의하여 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •

∴ (1, 1)

또 점 (-2, 0)이 일차변환 f에 의하여 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •

∴ (-2, -4)

위의 두 점 (1, 1), (-2, -4)는 직선 y=mx+n 위 의 점이므로

1=m+n yy`㉠, -4=-2m+n yy`㉡⋯

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m= ,

n=-닮음변환 f를 나타내는 행렬을

¶ • (a+0인 실수) 라 하자.

닮음변환 f에 의하여 도형 2|x|+|y|=4 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ x'=ax, y'=ay Δ x= , y= y`㉠⋯

㉠을 도형의 방정식 2|x|+|y|=4에 대입하면 2| |+| |=4

∴ 2|x'|+|y'|=4|a|

이때 점 (x', y')은 2|x|+|y|=4|a| 위의 점이므로 도형 2|x|+|y|=4가 옮겨지는 도형의 방정식은

2|x|+|y|=4|a| y`㉡⋯

y' a x'

a

y' a x'

a ax ay x y a 0 0 a x'

y' a 0 0 a

9 1

2 3 5

3

-2 -4 -2

0 1 1 2 1

1 1 0 1 1 1 2 1

1 2 1 2 1 1 2 1

㉡을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같이 네 점 A(2|a|, 0), B(0, 4|a|), C(-2|a|, 0), D(0, -4|a|) 를 꼭짓점으로 하는 사각형이고, 그 넓이는 4이므로

_4|a|_8|a|=4 16|a|¤ =4, |a|¤ =

∴ a=- 또는 a=

따라서 닮음변환 f를 나타내는 행렬은

또는

`<sup>다른 풀이</sup>`

도형 2|x|+|y|=4를 좌표평 면 위에 나타내면 오른쪽 그림 과 같고, 그 넓이는

_4_8=16

이때 닮음변환 f의 닮음비를 k (k+0인 실수)라 하면

넓이의 비Δ 1：k¤

한편 닮음변환 f에 의하여 도형 2|x|+|y|=4가 옮겨 지는 도형의 넓이는 4이므로

1：k¤ =16：4 16k¤ =4, k¤ =

∴ k=- 또는 k=

따라서 닮음변환 f를 나타내는 행렬은

또는

오른쪽 그림에서 점 F의 좌 표를

(-a, b) (a>0, b>0, a+b)라 하고, 나머지 점 A, B, C, D, E, F의 좌 표를 구해 보자.

점 A는 점 F와 직선 y=-x에 대하여 대칭이므로 y=-x y

O F

E D

B C A

x

0 2

0 ºº

;2!;

;2!;

0 ªª -0 ºº

-;2!;

-;2!;

-0 ªª

1 2 1

2 1 4 1

2

y

O 4

-4

-2 2 x

0 ºº

;2!;

;2!;

0 ªª -0 ºº

-;2!;

-;2!;

-0 ªª

1 2 1

2

1 4 1

2

y

O B

D

C A

4|a|

-4|a|

2|a|

-2|a| x

정답과해설018

A(-b, a)

점 B는 점 F와 y축에 대하여 대칭이므로 B(a, b)

점 C는 점 B에서 x축에 내린 수선의 발이므로 C(a, 0)

점 D는 점 B와 x축에 대하여 대칭이므로 D(a, -b)

점 E는 점 F와 x축에 대하여 대칭이므로 E(-a, -b)

행렬 ¶ •`(k+0인 실수)로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 F가 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •

∴ (-ak, bk)

이때 k=-1이면 점 F가 옮겨지는 점의 좌표는 (a, -b)

따라서 구하는 점은 D이다.

일차변환 f를 나타내는 행렬은

¶ •=

이므로 f는 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환 이다. 이때 오른쪽 그림과 같

이 정팔각형은 8개의 이등 변삼각형으로 나누어지므로

∠P¡OP™=∠P™OP£

= ⋯

=∠P•OP¡

=

따라서 ∠P¡OP£= 이므로 회전변환 f에 의하여 점 P¡이 옮겨지는 점은 P£이다.

∴ a=3

또 행렬¶ •로 나타내어지는 일차변환 g는 x축에 대한 대칭변환이고, 대칭변환 g에 의하여 점 P¡이 옮겨지 는 점은 P¶이다.

∴ b=7

또 일차변환 h를 나타내는 행렬은 1 0

0 -1 p 2 p 4

y

O-4p -4p

P¡

P™

P£

P¢

P∞

P§ P¶

P•

x p

2 -sin ;2“;º

cos ;2“;

cos ;2“;

sin ;2“;

0 -1 ª 1 0

1 2

-ak bk -a

b k 0 0 k k 0 0 k

=

이므로 h는 원점을 중심으로 p=p+ 만큼 회전하 는 회전변환이다.

따라서 회전변환 h에 의하여 점 P¡이 옮겨지는 점은 P§이다.

∴ c=6

∴ a+b+c=3+7+6=16

오른쪽 그림과 같이 갑이 서 있는 곳을 원점, 화단과 평 행하고 갑을 지나는 직선의 오른쪽을 x축의 양의 방향, 화단과 수직이고 갑을 지나 는 직선의 위쪽 방향을 y축 의 양의 방향으로 좌표축을 잡자.

이때 갑과 화단 사이의 거리는 400 m이므로 화단을 나타 내는 방정식은 y=400

또 갑과 을 사이의 거리는 300 m이므로 점 P의 좌표는 (0, 300)

한편 P지점은 원점을 중심으로 을이 처음 서 있던 지점을 150˘만큼 회전한 위치이므로 을이 처음에 있던 위치를 (a, b)라 하면

¶ •=¶ •¶ •

= ¶ •=

∴

- =0 yy`㉠⋯

=300 yy`㉡⋯

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=150, b=-150'3

따라서 을의 위치는 (150, -150'3)이므로

400-(-150'3)=400-(-255) (∵ '3=1.7)

=655 (m)

행렬 ¶2 3•로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 직선

3

1 2

2

a-'3b 2 '3a+b

‡

2

º

'3a+b -1222232 a-'3b 23222222 a

ª

º

b -2312 -12'32 -12'32

2312

ª

a b cos 150˘ -sin 150˘

sin 150˘ cos 150˘

0 300

갑

을 300 400

300 150˘

y

x P

A

O

2 2

p 4 5

4

-sin ;4%;pº cos ;4%;p cos ;4%;p

sin ;4%;p

º

ª -121

'2 -121

'2 -121

'2 -121

'2

ª

Ⅰ일차변환과행렬019 l¡이 직선 l™로 옮겨지고, 두 직선의 교점이 (2, 1)이므

로 두 직선 l¡, l™를 각각

l¡：y=a(x-2)+1 (a+0인 실수) yy`㉠⋯

l™：y=b(x-2)+1 (b+0인 실수) yy`㉡⋯

로 놓을 수 있다.

이때 직선 l¡ 위의 점 (2, 1)이 일차변환 f에 의하여 옮 겨지는 점을 (x, y)라 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ (7, 4)

이때 점 (7, 4)는 직선 l™ 위의 점이므로 4=b(7-2)+1 ∴ b=

b= 을 ㉡에 대입하면 y= (x-2)+1

∴ l™：y= x- yy`㉢⋯

또 직선 l¡ 위의 점 (0, -2a+1)이 일차변환 f에 의하 여 옮겨지는 점을 P(x', y')이라 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ P(-6a+3, -4a+2)

이때 점 P는 직선 l™ 위의 점이므로 ㉢에 대입하면 -4a+2=

(-6a+3)-∴ a=1 a=1을 ㉠에 대입하면

y=x-2+1 ∴ l¡：y=x-1

오른쪽 그림과 같이 점 A(3, 2)를 중심으로 점 B(5, 4)를

h {0<h < }만큼 회전한 점이 C이므로

AB”=AC”

주어진 조건에서 AB”=BC”이므로 AB”=AC”=BC”

따라서 삼각형 ABC는 정삼각형이므로

∠BAC=h=

한편 점 C의 좌표를 (a, b)라 하고, 점 A(3, 2)가 원 점이 되도록 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로

p 3 p 2

y

O 2 4

3 5

A B C

x h

4 2

1 5 3

5

-6a+3 -4a+2 0

-2a+1 2 3

1 2 x'

y'

1 5 3 5 3 5 3 5

3 5 7 4 2 1 2 3 1 2 x

y

-2만큼 평행이동하자.

이때 세 점 A, B, C를 x축의 방향으로 -3만큼, y축 의 방향으로 -2만큼 평행이동한 점을 각각 A', B', C' 이라 하면

A'(3-3, 2-2), B'(5-3, 4-2), C'(a-3, b-2) Δ A'(0, 0), B'(2, 2), C'(a-3, b-2) 따라서 점 C'은 점 B'을 원점을 중심으로 만큼 회전 한 점이므로

¶ •= ¶ •

= ¶ •=¶ •

∴ [ Δ a=4-'3, b=3+'3 따라서 점 C의 좌표는 C(4-'3, 3+'3)

일차변환 f를 나타내는 행렬 ¶ •에서 삼 각함수의 각의 변환에 의하여

cos {h+ p}=sin h, sin {h+ p}=-cos h 이므로

¶ •

=

따라서 일차변환 f는 원점을 중심으로 h+ p만큼 회전 하는 회전변환이다.

0…h… 일 때, 점 A(2, 2) 가 나타내는 점의 자취는 오른 쪽 그림과 같다.

0…h… 일 때, 점 A(2, 2) 가 나타내는 점의 자취는 오른 쪽 그림과 같다.

문서에서 개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설 (페이지 167-178)