p. 99
⑴ 쌍곡선의 방정식 - =1을
- =1(a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
- =1 Δ좌우로 놓여진 쌍곡선
∴ a=3, b=4
꼭짓점의 좌표는 (—a, 0)이므로
(3, 0), (-3, 0) ◀꼭짓점
우변이 1일 때, 초점은 x축 위에 있으므로 초점의 좌 표를 (—c, 0)(c>0)이라 하면 초점 구하는 공식에 의하여
c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =3¤ +4¤ =25 ∴ c=5
∴ (5, 0), (-5, 0) ◀초점 주축의 길이는 2a이므로
2a=2_3=6 ◀주축의 길이
점근선의 방정식은 y=— x이므로
y=— x ◀점근선의 방정식
따라서 그래프는 다음 그림과 같다.
⑵ 쌍곡선의 방정식 - =-1을
-y¤ =-1(a>0, b>0)의 꼴로 나타내면 b¤
x¤
a¤
y¤
4 x¤
5
x y=- x4 y
3 y= x4
3
-3 3 O
(-5, 0) (5, 0) - =1 x™ 9
y™ 16 4
3
b a y¤
4¤
x¤
3¤
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
16 x¤
1
9- =-1 Δ상하로 놓여진 쌍곡선
∴ a='5, b=2⋯
꼭짓점의 좌표는 (0, —b)이므로
(0, 2), (0, -2) ◀꼭짓점
우변이 -1일 때, 초점은 y축 위에 있으므로 초점의 좌표를 (0, —c)(c>0)라 하면 초점 구하는 공식에 의하여
c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =('5)¤ +2¤ =9 ∴ c=3
∴ (0, 3), (0, -3) ◀초점
주축의 길이는 2b이므로
2b=2_2=4 ◀주축의 길이
점근선의 방정식은 y=— x이므로
y=— x
∴ y=— x ◀점근선의 방정식
따라서 그래프는 다음 그림과 같다.
x y
5x y=-25
5 y=25 x (0, 3)
O (0, -3)
-2 2
- =-1
x™ 5
y™ 4 2'5
5 2 '5
b a y¤
2¤
x¤
('5)¤
방법1
정답과해설062
⋯ ⋯|PF”-P’F'”|=6
⋯ ⋯|"√(x-√2'3)¤ +y¤ -"√(x+√2'3)¤ +y¤ |=6
⋯ ⋯∴ "√(x-√2'3)¤ +y¤ =—6+"√(x+√2'3)¤ +y¤
yy`㉠⋯
㉠의 양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯-2'3x-9=—3"√(x+√2'3)¤ +y¤ yy`㉡⋯
㉡의 양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯3x¤ -9y¤ =27
따라서 구하는 자취의 방정식은
⋯ ⋯ - =1
쌍곡선의 방정식 공식 이용
두 초점 (c, 0), (-c, 0)으로부터 거리의 차가 2a 인 쌍곡선의 방정식은
⋯ ⋯ - =1 (단, c>a>0) yy`㉠⋯
두 초점이 F(2'3, 0), F'(-2'3, 0)이고 x축 위에 있으므로
⋯ ⋯c=2'3 Δ b¤ =c¤ -a¤ ⋯ ⋯∴ b¤ =12-a¤
yy`㉡⋯
거리의 차가 6이므로⋯ ⋯2a=6
⋯ ⋯∴ a=3
a=3을 ㉡에 대입하면
⋯ ⋯b¤ =12-9=3
a¤ =9, b¤ =3을 ㉠에 대입하면
⋯ ⋯ - =1
⑵ 두 점 F(0, 4), F'(0, -4) 로부터 거리의 차가 4인 점의 좌표를 P(x, y)라 하면 점 P의 자취는 오른쪽 그림과 같 은 쌍곡선이다.
쌍곡선의 정의 이용
위 그림의 점 P에서 두 점 F, F'으로부터 거리의 차 가 4이므로
⋯ ⋯|PF”-P’F'”|=4
⋯ ⋯|"√x¤ +(y-4)¤ -"√x¤ +(y+4)¤ |=4
⋯ ⋯∴ "√x¤ +(y-4)¤ =—4+"√x¤ +(y+4)¤
yy`㉠⋯
㉠의 양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯-2y-2=—"√x¤ +(y+4)¤ yy`㉡⋯
㉡의 양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯x¤ -3y¤ =-12
x y
F(0, 4) P(x, y)
F'(0, -4) O y¤
3 x¤
9 y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
3 x¤
9
⑴ 두 꼭짓점이 x축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식은
⋯ ⋯ - =1 (단, a>0, b>0) 꼭짓점의 좌표가 (1, 0), (-1, 0)이므로
⋯ ⋯a¤ =1¤
⋯ ⋯∴ x¤ - =1 yy`㉠⋯
쌍곡선 ㉠`은 점 (2, '6)을 지나므로
⋯ ⋯2¤ - =1⋯ ⋯∴ b¤ =2 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은
⋯ ⋯x¤ - =1
⑵ 한 점 (2, 0)을 지나고, 점근선의 방정식이
⋯ ⋯-3x+4y=0, 3x+4y=0 Δ y=— x 인 쌍곡선은 다음 그림과 같다.
따라서 이 쌍곡선의 방정식의 꼴은
⋯ ⋯ -y¤ =1 (단, a>0, b>0) yy`㉠⋯
b¤
x¤
a¤
x y
O
(2, 0) y= x3 y=- x3 4
4
3 4 y¤
2 ('6)¤
b¤
y¤
b¤
y¤
b¤
x¤
a¤
2
따라서 구하는 자취의 방정식은
⋯ ⋯ - =-1
쌍곡선의 방정식 공식 이용
두 초점 (0, c), (0, -c)로부터 거리의 차가 2b인 쌍곡선의 방정식은
⋯ ⋯ - =-1 (단, c>b>0) yy`㉠⋯
두 초점이 F(0, 4), F'(0, -4)이고 y축 위에 있으 므로
⋯ ⋯c=4 Δ a¤ =c¤ -b¤
⋯ ⋯∴ a¤ =16-b¤ yy`㉡⋯
거리의 차가 4이므로⋯ ⋯2b=4
⋯ ⋯∴ b=2
b=2를 ㉡에 대입하면
⋯ ⋯a¤ =16-4=12
a¤ =12, b¤ =4를 ㉠에 대입하면
⋯ ⋯ -y¤ =-1 4 x¤
12 y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
4 x¤
12
방법2
방법1
방법2
Ⅱ이차곡선063 점근선의 방정식이 y=— x이므로
⋯ ⋯ = ⋯ ⋯∴ 9a¤ =16b¤ yy`㉡⋯
쌍곡선 ㉠이 점 (2, 0)을 지나므로
⋯ ⋯ - =1⋯ ⋯∴ a¤ =4 yy`㉢⋯
㉢을 ㉡에 대입하여 b¤ 의 값을 구하면
⋯ ⋯9_4=16b¤ ∴ b¤ = 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은
⋯ ⋯ -4y¤ =1 9 x¤
4
9 4 0
b¤
2¤
a¤
3 4 b a
3 4
이므로
⋯ ⋯2b=8⋯ ⋯∴ b=4 b=4를 ㉠에 대입하면⋯ ⋯a=4 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은
⋯ ⋯ -y¤ =-1⋯ ⋯∴ x¤ -y¤ =-16 4¤
x¤
4¤
점근선이 원점을 지나는 쌍곡선의 개형은 다음 그림과 같 이 두 가지가 있다.
따라서 쌍곡선의 방정식을
⋯ ⋯ - =1 또는 - =-1
로 놓을 수 있다. (단, a>0, b>0) 이 쌍곡선의 점근선의 방정식은
⋯ ⋯y= x, y=- x 이때 두 점근선이 서로 수직이므로
⋯ ⋯ _{- }=-1 Δ a¤ =b¤
⋯ ⋯∴ a=b (∵ a>0, b>0) yy`㉠⋯
⁄쌍곡선의 방정식이 - =1인 경우
이 쌍곡선의 주축은 x축 위에 있고, 주축의 길이가 8 이므로
⋯ ⋯2a=8⋯ ⋯∴ a=4 a=4를 ㉠에 대입하면⋯ ⋯b=4 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은
⋯ ⋯ - =1⋯ ⋯∴ x¤ -y¤ =16
¤쌍곡선의 방정식이 - =-1인 경우
이 쌍곡선의 주축은 y축 위에 있고, 주축의 길이가 8 y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
4¤
x¤
4¤
y¤
b¤
x¤
a¤
b a b a
b a b
a
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
b¤
x¤
a¤
x b
-b y
- =-1
x™ a™ y™
b™ a
y=--xb y=-xab O
x y
-a a
- =1 x™ a™ y™
b™ a
y=--xb a
y=-xb
O
3
쌍곡선의 방정식 - =1을
- =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
- y¤ =1 Δ좌우로 놓여진 쌍곡선 6¤
x¤
8¤
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
36 x¤
5
64쌍곡선의 방정식 x¤ -y¤ =4를
- =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
- =1 Δ좌우로 놓여진 쌍곡선
∴ a=2, b=2
우변이 1일 때, 초점은 x축 위에 있으므로 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)
이라 하면 초점 구하는 공식에 의하여
c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =2¤ +2¤ =8 ∴ c=2'2
∴ F(2'2, 0), F'(-2'2, 0) 두 초점 F, F' 사이의 거리 F’F'”은
F’F'”=4'2 주축의 길이는 2a이므로
2a=2_2=4
주어진 조건에서 P’F'”=3PF”이므로 P’F'”=3k, PF”=k (k>0) 라 할 때, 쌍곡선의 정의에 의하여
P’F'”-PF”=3k-k=4 ∴ k=2
∴ P’F'”=6, PF”=2
이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.
따라서 △PF'F에서 코사인법칙에 의하여 cos h=
= =1
3 6¤ +2¤ -(4'2)¤
2_6_2 P’F'” ¤ +PF” ¤ -F’F'” ¤
2_P’F'”_PF”
x y
-2 O 2
2 6
F(2 2,0) F'(-2 2,0)
P
x™ -y™
=4 h y¤
2¤
x¤
2¤
y¤
b¤
x¤
a¤
4
정답과해설064
∴ a=8, b=6
우변이 1일 때, 초점은 x축 위에 있으므로 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)
이라 하면 초점 구하는 공식에 의하여
c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =8¤ +6¤ =100 ∴ c=10
∴ F(10, 0), F'(-10, 0) 두 초점 F, F' 사이의 거리 F’F'”은
F’F'”=20
주축의 길이는 2a이므로 2a=2_8=16
따라서 P’F'”=m, PF”=n이라 하고 주어진 조건을 그림 으로 나타내면 다음과 같다.
쌍곡선의 정의에 의하여 |m-n|=16 yy`㉠⋯
△PF'F의 둘레의 길이가 48이므로 m+n+20=48
∴ m+n=28 yy`㉡⋯
㉠, ㉡과 곱셈 공식의 변형에 의하여 (m-n)¤ =(m+n)¤ -4mn 16¤ =28¤ -4mn ∴ mn=132
∴ PF'” ¤ +PF”¤ =m¤ +n¤
=(m+n)¤ -2mn
=28¤ -2_132
=520 y
F(10, 0)x F'(-10, 0)
- =1 x™ 64
y™ 36 O
20 m P
n
쌍곡선의 방정식 - =1을
- =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
- =1 Δ좌우로 놓여진 쌍곡선
∴ a=3, b=5
우변이 1일 때, 초점은 x축 위에 있으므로 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)
이라 하면 초점 구하는 공식에 의하여
c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =3¤ +5¤ =34 ∴ c='3å4
∴ F('3å4, 0), F'(-'3å4, 0) 두 초점 F, F' 사이의 거리 F’F'”은
F’F'”=2'3å4 y¤
5¤
x¤
3¤
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
25 x¤
6
9주축의 길이는 2a이므로 2a=2_3=6
따라서 PF'”=m, PF”=n이라 하고 주어진 조건을 그림 으로 나타내면 다음과 같다.
쌍곡선의 정의에 의하여 |m-n|=6 양변을 제곱하면
m¤ -2mn+n¤ =36 yy`㉠⋯
△PF'F에서 제이코사인법칙에 의하여
F’F'”¤ =P’F'”¤ +PF”¤ -2_P’F'”_PF”_cos 60˘
(2'3å4)¤ =m¤ +n¤ -2mn cos 60˘
∴ m¤ +n¤ -mn=136 yy`㉡⋯
㉡-㉠을 하면 mn=100 따라서 △PF'F의 넓이는
△PF'F= mn sin 60˘
= _100_'3=25'3 2
1 2 1 2
x y
m n
y™ - =1 x™
9 25 O
P 60˘
F'( , 0)-34 F( , 0)34
쌍곡선의 방정식 - =1을
- =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
⋯ ⋯ - =1 Δ좌우로 놓여진 쌍곡선
⋯ ⋯∴ a=4, b=3
우변이 1일 때, 초점은 x축 위에 있으므로 초점의 좌표를
⋯ ⋯A(-c, 0), B(c, 0)(c>0) 이라 하면 초점 구하는 공식에 의하여
⋯ ⋯c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =4¤ +3¤ =25⋯ ⋯∴ c=5
⋯ ⋯∴ A(-5, 0), B(5, 0) 두 초점 A, B 사이의 거리 AB”는
⋯ ⋯AB”=10 yy`㉠⋯
따라서 쌍곡선 - =1 과 △PAB를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
△PAB의 둘레의 길이가 22 이므로
x y
- =1 x™ 16
y™ 9 O
P B(5, 0) A(-5, 0)
y¤
9 x¤
16 y¤
3¤
x¤
4¤
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
9 x¤
7
16Ⅱ이차곡선065 두 초점이 F(3, 2),
F'(-5, 2)이고 주 축의 길이가 4인 쌍 곡선의 개형은 오른 쪽 그림과 같다.
쌍곡선의 정의 이용
쌍곡선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 초점 F, F'으로부터 거리의 차는 주축의 길이 4와 같으 므로
|PF”-P’F'”|=4
øπ(x-3)¤ π+(y-2)¤ -øπ(x+5)¤ π+(y-2)¤ =—4
∴ øπ(x-3)¤ +(y-2)¤ =øπ(x+5)¤ +(y-2)¤ —4 yy`㉠⋯
㉠의 양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯-2x-4=—"√(x+5)¤ √+(y-2)¤ yy`㉡⋯
㉡의 양변을 제곱하여 쌍곡선의 방정식을 구하면 3(x+1)¤ -(y-2)¤ =12
∴ - =1
쌍곡선의 방정식 공식 이용
두 초점이 x축과 평행한 직선 위에 있으므로 구하는 쌍곡 선의 방정식은
(y-2)¤
12 (x+1)¤
4
y
F'(-5, 2) F(3, 2) O x
P(x, y)
9
㉡의 양변을 제곱하여 쌍곡선의 방정식을 구하면 4(x-4)¤ -5(y-3)¤ =-80
∴ - =-1
쌍곡선의 방정식 공식 이용
두 초점이 y축과 평행한 직선 위에 있으므로 구하는 쌍곡 선의 방정식은
- =-1 (단, a>0, b>0) 쌍곡선의 중심 (m, n)은 FF'”의 중점이므로
m= =4, n= =3
중심과 초점 사이의 거리를 c라 하면 c=|3-(-3)|=6
주축의 길이는 거리의 차와 같으므로 2b=8 ∴ b=4
초점 구하는 공식에 의하여
c¤ =a¤ +b¤ Δ 6¤ =a¤ +4¤ ∴ a¤ =20 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은
-(y-3)¤ =-1 16
(x-4)¤
20
9+(-3) 2 4+4
2
(y-n)¤
b¤
(x-m)¤
a¤
(y-3)¤
16 (x-4)¤
20
방법1
방법2
⋯ ⋯PA”+PB”+AB”=22
⋯ ⋯∴ PA”+PB”=12 (∵ ㉠) yy`㉡⋯
쌍곡선의 정의에 의하여
⋯ ⋯|PA”-PB”|=8
⋯ ⋯∴ PA”-PB”=8 (∵ PA”>PB”) yy`㉢⋯
㉡, ㉢에서
⋯ ⋯PA”¤ -PB”¤ =(PA”+PB”)(PA”-PB”)=96