성분과 내적
06 공간벡터의 성분
17 ⑴ (10, 5, -6), '∂161 ⑵ 6
18 D(3, -2, -1) 19 최솟값： , 최댓값：'6 20 2 21 5 22 4
'ß42 3
유제 pp. 216~217
⑴ 2(a¯+b¯)-(a¯-b¯+c¯)를 간단히 한 후 주어진 조건을 이용하여 성분으로 나타내면
2(a¯+b¯)-(a¯-b¯+c¯)
=a¯+3b¯-c¯
=(3, 1, -2)+3(1, 2, -1)-(-4, 2, 1)
=(10, 5, -6) 또 a¯+3b¯-c¯의 크기를 구하면
|a¯+3b¯-c¯|="√10¤ +5¤ +(-6)¤ ='∂161
⑵ 네 점 P, A, B, C의 위치벡터를 성분으로 나타내면
7 1
점 P의 좌표를 P(x, y)로 놓고, 네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 성분으로 나타내면
O’A≥=(2, 3), OB≥=(4, 0) OC≥=(0, -1), OP≥=(x, y)
PA≥+PB≥+PC≥ 를 변형한 후 성분으로 나타내면 PA≥+PB≥+PC≥
=(O’A≥-OP≥)+(OB≥-OP≥)+(OC≥-OP≥)
=O’A≥+OB≥≥+OC≥-3OP≥
=(2, 3)+(4, 0)+(0, -1)-3(x, y)
=(6-3x, 2-3y)
주어진 조건에서 |PA≥+PB≥+PC≥|=6이므로
"√(6-3x)¤ +(2√-3y)¤ =6 æ≠9(x-2)¤ +9{y≠- }¤ =6 9(x-2)¤ +9{y- }¤ =36
∴ (x-2)¤ +{y- }¤ =4
즉 점 P가 그리는 도형은 중심이 {2, }이고 반지름의 길이가 2인 원이다.
따라서 점 P가 그리는 도형의 길이는 2p¥2=4p
2 3 2
3 2 3 2 3
6
1
ka¯+c¯와 b¯+c¯를 성분으로 나타내면 ka¯+c¯=k(-1, 2, 1)+(1, -3, -1)
=(-k+1, 2k-3, k-1) b¯+c¯=(-3, 5, 3)+(1, -3, -1)
=(-2, 2, 2)
(ka¯+c¯) // (b¯+c¯)이므로 ka¯+c¯와 b¯+c¯의 각 성분의 비가 일정함을 이용하면
= =
-2(2k-3)=2(-k+1), 2(k-1)=2(2k-3)
∴ k=2
`다른 풀이`
(ka¯+c¯) // (b¯+c¯)이므로 벡터의 평행 조건에서 (ka¯+c¯)=t(b¯+c¯) (단, t+0인 실수)
ka¯+c¯=(-k+1, 2k-3, k-1), b¯+c¯=(-2, 2, 2) 이므로
(-k+1, 2k-3, k-1)=t(-2, 2, 2)
=(-2t, 2t, 2t) 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
-k+1=-2t, 2k-3=2t, k-1=2t
∴ t= , k=2
세 점 A, B, C의 위치벡터를 성분으로 나타내면 O’A≥=(1, 5, -2), OB≥=(2, 4, 1) OC≥=(a, 3, b+2)
AB≥와 AC≥를 성분으로 나타내면
AB≥=OB≥-O’A≥=(2, 4, 1)-(1, 5, -2)
=(1, -1, 3)
AC≥=OC≥-O’A≥=(a, 3, b+2)-(1, 5, -2)
=(a-1, -2, b+4)
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때, AB≥ //AC≥이므 로 AB≥와 AC≥의 각 성분의 비가 일정함을 이용하면
= =
a-1=2, b+4=6
∴ a=3, b=2 ∴ a+b=5
`다른 풀이`
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 AC≥=t AB≥ (단, t+0인 실수) 이를 성분으로 나타내면
(a-1, -2, b+4)=t(1, -1, 3)
=(t, -t, 3t) 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
3 b+4 -1 -2 1
a-1
1 2
1 2
2 k-1 2
2k-3 -2
-k+1
0 2
정답과해설120
a-1=t, -2=-t, b+4=3t
∴ t=2, a=3, b=2
∴ a+b=5
점 P의 좌표를 P(x, y, z)로 놓고, 두 점 A, P의 위치 벡터를 성분으로 나타내면
OA≥=('3, 0, 1), OP≥=(x, y, z) AP≥를 성분으로 나타내면
AP≥=OP≥-OA≥=(x, y, z)-('3, 0, 1)
=(x-'3, y, z-1)
주어진 조건에서 |OA≥||AP≥|=k이므로
"√('3 )¤ +0¤ +1¤ "√(x-'3 )¤ +y¤ +(z√-1)¤ =k 위의 식의 양변을 제곱하면
{('3)¤ +0¤ +1¤ } {(x-'3)¤ +y¤ +(z-1)¤ }=k¤
4 {(x-'3)¤ +y¤ +(z-1)¤ }=k¤
∴ (x-'3)¤ +y¤ +(z-1)¤ =
따라서 점 P가 그리는 도형은 중심이 ('3, 0, 1)이고 반지름의 길이가 (∵ k>0)인 구이다.
이때 주어진 조건에서 겉넓이가 16p 이므로 4p¥{k}¤ =16p ∴ k=4 (∵ k>0)
2 k 2
k¤
4
2 2
1 a¯+ b¯+ c¯ 2 ⑤ 3 {- , - , } 4 ② 5 4p 6 x=2, y=-2, 최솟값：'2 7 (1, -1, '2) 또는 (1, 1, '2) 8 ① 9 ④
10 11 AD≥+ AE≥
12 8 13 ② 14 ③ 3 7 6 7 2'ß30
5
2 3 1 3 2 3 2
3 2 9 1 9
pp. 219~221
연습 문제
점 P는 AB”를 2: 1로 내분하는 점이므로 점 P의 위치벡터 p¯는
p¯= = a¯+ b¯
yy㉠ 점 Q는 CP”를 1 : 2로 내분하는 점이므로 점 Q의 위치벡터 q¯는
q¯= = p¯+2c¯
3 1 3 p¯+2c¯
1+2
2 3 1 3 2b¯+a¯
2+1
C A
B P
Q O a
p q b
c 2 1 2
1
1
Ⅳ벡터121
`다른 풀이`
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 AC≥=t AB≥(단, t+0인 실수) 이를 성분으로 나타내면
(2, -3, q-6)=t(3, p-5, -3)
=(3t, tp-5t, -3t) 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
2=3t, -3=tp-5t, q-6=-3t
∴ t= , p= , q=4 ∴ pq=2
점 P의 좌표를 P(x, y, z)로 놓고, 네 점 A, B, C, P 의 위치벡터를 성분으로 나타내면
OA≥=(1, 2, 3), OB≥=(3, -1, -2) OC≥=(-1, -2, -1), OP≥=(x, y, z) PA≥+PB≥+PC≥ 를 변형한 후 성분으로 나타내면
PA≥+PB≥+PC≥
=(OA≥-OP≥)+(OB≥-OP≥)+(OC≥-OP≥)
=OA≥+OB≥+OC≥-3 OP≥
=(1, 2, 3)+(3, -1, -2)+(-1, -2, -1) -3(x, y, z)
=(3-3x, -1-3y, -3z)
주어진 조건에서 |PA≥+PB≥+PC≥|=3이므로
"√(3-3x)¤ +(-√1-3y)¤ +(-3z)¤ =3 양변을 제곱하면
9(x-1)¤ +9 {y+ }¤ +9z¤ =9
∴ (x-1)¤ +{y+ }¤ +z¤ =1
즉 점 P가 그리는 도형은 중심이 {1, - , 0}이고, 반 지름의 길이가 1인 구이다.
따라서 점 P가 그리는 도형의 겉넓이는 4p_1¤ =4p
xa¯+yb¯+c¯ 를 성분으로 나타내면 xa¯+yb¯+c¯
=x(1, 2, 1)+y(2, 1, 2)+(1, -2, 3)
=(x+2y+1, 2x+y-2, x+2y+3)
|xa¯+yb¯+c¯ |를 구하면
|xa¯+yb¯+c¯ |
="√(x+2y+1)¤ +√(2x+y-2)¤ +√(x+2y+3)¤
="√6x¤ +12xy+9√y¤ +12y+14
="√6(x+y)¤ +3(y√+2)¤ +2
6
1 3 1
3 1 3
5
1 2 2 3
= { a¯+ b¯}+ c¯ (∵ ㉠)
= a¯+ b¯+ c¯
B’P¡” : P’¡C”=1 : 2이므로
A’P¡≥= = AB≥+ AC≥
∴ l= , m=
B’P™” : P™ÚC”=2 : 1이므로
AP≥™= = AB≥+ AC≥
∴ n= , k=
∴ l+m+n+k=2
a¯=(2, 3, 4), b¯=(2, 4, 7)이므로
3a¯-2b¯=3(2, 3, 4)-2(2, 4, 7)=(2, 1, -2) 이때 |3a¯-2b¯|를 구하면
|3a¯-2b¯|="√2¤ +1¤ +(-2)¤ =3
따라서 3a¯-2b¯와 방향이 반대이고 크기가 1인 벡터는 - = (-2, -1, 2)
={- , - , }
세 점 A, B, C의 위치벡터를 성분으로 나타내면 OA≥=(-1, 5, 6), OB≥=(2, p, 3) OC≥=(1, 2, q)
AB≥와 AC≥를 성분으로 나타내면 AB≥=OB≥-OA≥
=(2, p, 3)-(-1, 5, 6)
=(3, p-5, -3) AC≥=OC≥-OA≥
=(1, 2, q)-(-1, 5, 6)
=(2, -3, q-6)
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때, AB≥ //AC≥이므 로 AB≥와 AC≥의 각 성분의 비가 일정함을 이용하면
= =
2(p-5)=-9, 3(q-6)=-6
∴ p= , q=4
∴ pq=2 1 2
-3 q-6 p-5
-3 3 2
4
2 3 1 3 2 3 1 3 3a¯-2b¯
|3a¯-2b¯|
3
2 3 1 3
2 3 1
3 2 AC≥+AB≥
2+1 1 3 2
3
1 3 2
3 AC≥+2 AB≥
1+2
2
2 3 2 9 1 9
2 3 2 3 1 3 1 3
이때 x, y는 실수이므로 (x+y)¤ æ0, (y+2)¤ æ0
따라서 x+y=0, y+2=0일 때, |xa¯+yb¯+c¯|는 최솟 값을 가지므로
x=2, y=-2일 때, 최솟값：'2
a¯의 성분을 (a¡, a™, a£)으로 놓으면 크기가 2이므로
|a¯|="√a¡¤ +a™¤ +a£¤ =2
∴ a¡¤ +a™¤ +a£¤ =4 yy`㉠ㅇ 한편 a¯가 x축의 양의 방향과 이
루는 각의 크기가 60˘이므로 cos 60˘=
a¡=2 cos 60˘
∴ a¡=1 yy`㉡ㅇ
또 a¯가 z축의 양의 방향과 이 루는 각의 크기가 45˘이므로
cos 45˘=
a£=2 cos 45˘
∴ a£='2 yy`㉢ㅇ
㉠에 ㉡, ㉢을 대입하면 1¤ +a™¤ +('2)¤ =4, a™¤ =1
∴ a™=—1
따라서 구하는 a¯의 성분은
(1, -1, '2) 또는 (1, 1, '2)
`다른 풀이`
공간벡터 a¯가 y축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h 라 하고 a¯와 방향이 같은 단위벡터를 성분으로 나타내면
(cos 60˘, cos h, cos 45˘) 이때 벡터의 크기가 1이므로
cos¤ 60˘+cos¤ h+cos¤ 45˘
={ }2 +cos¤ h+{ }2 =1
∴ cos h=—
a¯=(a¡, a™, a£)이라 하면 a¡=|a¯|cos 60˘=2_ =1 a™=|a¯|cos h=2_{— }=—1
a£=|a¯|cos 45˘=2_ ='2 따라서 벡터 a¯의 성분을 구하면
(1, -1, '2) 또는 (1, 1, '2) '2
2 1 2 1 2 1 2
'2 2 1
2 a£
|a¯|
|a|
O a£ z
(a¡, a™, a£)
45˘
a¡
|a¯|
|a|
60˘
O a¡ x
(a¡, a™, a£)
7
정답과해설122
3 P’A≥+3 PB≥+4 PC≥=0¯ 에서 -3 P’A≥=3 P’B≤+4 P’C≤
∴ 3AP≥=7¥ =7¥
이때 =PD≥라 하면 점 D는 BC”를 4: 3으 로 내분하는 점이다.
또 3AP≥=7PD≥에서
|AP≥| : |PD≥|=7 : 3
이므로 점 P는 AD”를 7: 3으로 내분하는 점이다.
이를 그림으로 나타내면 오른쪽 과 같으므로 △PCD의 넓이를 3S라 하면
△PBD=4S
△PAC=7S
∴ △PAC : △PBC
=△PAC : (△PBD+△PCD)
=7S : (4S+3S)=1 : 1
m+n…3에서
+ …1 yy`㉠ㅇ
주어진 식 OP≥=mO’A≥+nOB≥를 변형하면
OP≥= (3O’A≥)+ (3OB≥) yy`㉡ㅇ
㉠, ㉡에서 점 P가 존재하는 영역은 다음 그림과 같이 3OA”, 3OB”를 두 변으로 하는 삼각형의 둘레와 내부이다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는 _(9-3)_3=9
|O’A≥|, |OB≥|의 값을 구하면
|O’A≥|="ç2¤ =2
|OB≥|="√('5)¤ +2¤ =3
0 1
1 2
O 1 3
1 3
A B
9 y
x n
3 m
3 n 3 m
3
9
A B
P D C
4 7
3 3 4 P’C≤+3 P’B≤
7
4 PC≥+3 PB≥
4+3 4 PC≥+3 PB≥
7
8
Tip 좌표축과 이루는 각의 크기에 따른 벡터의 성분
영벡터가 아닌 공간벡터 a¯=(a¡, a™, a£)이 x축, y축, z축 의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 a, b, c라 하면
a¡=|a¯| cos a, a™=|a¯| cos b, a£=|a¯| cos c
Ⅳ벡터123
∴ AP≥=kAE≥+(1-k)AB≥
=k AE≥+(1-k)¥ AD≥
= (1-k)AD≥+k AE≥ yy㉠ 또 세 점 C, P, D가 한 직선 위에 있으므로
CP≥=l CD≥ (단, l+0인 실수) AP≥-AC≥=l(AD≥-AC≥)
∴ AP≥=lAD≥+(1-l)AC≥
=l AD≥+(1-l)¥3 AE≥
=l AD≥+3(1-l)AE≥ yy㉡
㉠, ㉡에서 AD≥∦AE≥, AD≥+0¯, AE≥+0¯이므로 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
(1-k)AD≥+k AE≥=lAD≥+3(1-l)AE≥
(1-k)=l, k=3(1-l)
∴ k= , l=
=nAD≥+3(1-n)AE≥ yy㉡
㉠, ㉡에서 AD≥∦AE≥, AD≥+0¯, AE≥+0¯이므로 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
(1-m)AD≥+mAE≥=nAD≥+3(1-n)AE≥
(1-m)=n, m=3(1-n)
∴ m= , n=6
AB”：AC”=BP”：PC” B C
P A