개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설

정답과 해설

개

념

편

정답과 해설

002

Ⅰ

일차변환과 행렬

_{1 일차변환과}

행렬

두 점 A(2, 0), B(1, -1)에 대하여 선분 AB를 2 : 1 로 내분하는 점 P의 좌표는 { , } ∴ P{ , - } 따라서 일차변환 f에 의하여 점 P가 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ • =¶ • ∴ (0, 2) `다른 풀이` 좌표평면 위의 두 점 A, B가 일차변환 f에 의하여 각각 두 점 A', B'으로 옮겨질 때, 선분 AB를 m : n으로 내 분하는 점은 일차변환 f에 의하여 선분 A'B'을 m : n으 로 내분하는 점으로 옮겨진다. 일차변환 f에 의하여 점 A(2, 0)이 옮겨지는 점을 A' 이라 하면 ¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(2, 4) 일차변환 f에 의하여 점 B(1, -1)이 옮겨지는 점을 B' 이라 하면 ¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(-1, 1) 따라서 선분 A'B'을 2 : 1로 내분하는 점은 { , } ∴ (0, 2) 일차변환 f：(x, y) 1⁄ (2x+ay, bx-y)에서 [ HjK ¶ •= ≥ ¶ •¶ • 일차변환 f를 나타내는 행렬 따라서 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 점 (1, 1)로 옮겨지므로 이를 행렬 을 이용하여 나타내면 ¶ •=¶ •¶ • ∴ ¶ •=¶ • 두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 1=4+a, 1=2b-1 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=1 4+a 2b-1 1 1 2 1 2 a b -1 1 1 2 a b -1 x y 2 a b -1 x' y' x'=2x+ay y'=bx-y

2

2¥1+1¥4 2+1 2¥(-1)+1¥2 2+1 -1 1 1 -1 1 2 2 1 2 4 2 0 1 2 2 1 0 2 º ;3$; -;3@; ª 1 2 2 1 2 3 4 3 2¥(-1)+1¥0 2+1 2¥1+1¥2 2+1

1

변환 f：(x, y) 1⁄ (x', y')이 [ (a, b, c, d는 상수) 와 같이 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이면 변환 f는 일차변환이다. ㄱ. x'=x-1, y'=y+2에서 x', y'이 상수항을 포함하 므로 일차변환이 아니다. ㄴ. x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일차변 환이다. [ ∴¶¶` `••=¶¶` `••¶¶` `•• ㄷ. x'=x¤ -y에서 x'이 x, y의 일차식이 아니므로 일 차변환이 아니다. ㄹ. x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일차변 환이다. [ ∴¶¶` `••=¶¶ ••¶¶` `•• 따라서보기에서 일차변환인 것은 ㄴ, ㄹ이다. ⑴¶ •¶ •=¶ • ∴ (0, 0) ⑵¶ •¶ •=¶ 4• ∴ (4, -3) -3 2 1 1 2 -2 1 0 0 0 0 1 2 -2 1

2

x y -1 0 0 -1 x' y' x'=-x y'=-y x y 3 -2 1 -2 x' y' x'=3x-2y y'=x-2y x'=ax+by y'=cx+dy

1

01

일차변환과 행렬

p. 13 1 (0, 2) 2 a=-3, b=1 3 (4, 13) 4 (3, 2) 5 (3, 1) 6 2 7 ⑴ 2 ⑵¶ 2• -6 유제 pp. 13~16 개념check | 1 ㄴ：¶ •=¶ •¶ • ㄹ：¶ •=¶ •¶ • 2 ⑴ (0, 0) ⑵ (4, -3) x y -1 0 0 -1 x' y' x y 3 -2 1 -2 x' y'

Ⅰ 일차변환과 행렬

003

= ¶ •¶ •= 따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬이 일 때, f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •=¶ • ∴ (4, 13) `풀이 1` 일차변환 f를 나타내는 행렬 A를 A=¶ •라 하자. A¶ •=¶ •에서 ¶ •¶ •=¶ •=¶ • ∴ [ A¤¶ •=¶ •이고 A¶ •=¶ •이므로 A¤¶ •=AA¶ •=A¶ •=¶ •

∴ ¶ •¶ •=¶ •=¶ • ∴ [ ㉠, ㉢을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 ㉡, ㉣을 연립하여 풀면 c=0, d=1 ∴ A=¶ • 한편 케일리-해밀턴 정리에 의하여 A¤ -(-1+1)A+{(-1)¥1-3¥0}E=O A¤ =E ∴ A› =E 따라서 행렬 A› 으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 (3, 2)가 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (3, 2) `풀이 2 일차변환 f를 나타내는 행렬 A에 대하여 3 2 3 2 1 0 0 1 -1 3 0 1 a+b=2 yy`㉢ c+d=1 yy`㉣ 2 1 a+b c+d 1 1 a b c d 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2a+b=1 yy`㉠ 2c+d=1 yy`㉡ 1 1 2a+b 2c+d 2 1 a b c d 1 1 2 1 a b c d

4

4 13 2 1 º 3 4 ;2!; ;2(; ª º 3 4 ;2!; ;2(; ª º 3 4 ;2!; ;2(; ª 1 2 1 0 3 -2 4 5 1 2 `풀이 1` 일차변환 f를 나타내는 행렬을¶ •라 하면 f에 의하 여 점 (0, 1)이 점 (3, 4)로 옮겨지므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ [ 또 일차변환 f에 의하여 점 (2, -1)이 점 (-2, 5)로 옮겨지므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ [ ㉠을 ㉢에 대입하면 2a-3=-2 ∴ a= ㉡을 ㉣에 대입하면 2c-4=5 ∴ c= 따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은 이고, 이 일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌 표는 ¶ •=¶ • ∴ (4, 13) `풀이 2 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 f에 의하여 점 (0, 1)이 점 (3, 4)로 옮겨지므로 ¶ •=A¶ • yy`㉠⋯ 또 일차변환 f에 의하여 점 (2, -1)이 점 (-2, 5)로 옮겨지므로 ¶ •=A¶ • yy`㉡⋯ ㉠, ㉡에 의하여 ¶ •=A¶ • 행렬 ¶ •에서 0¥(-1)-2¥1=-2+0이므로 역 행렬이 존재하고, 이 역행렬을 이용하여 행렬 A를 구하면 A=¶ •¶0 2•—⁄ 1 -1 3 -2 4 5 0 2 1 -1 0 2 1 -1 3 -2 4 5 2 -1 -2 5 0 1 3 4 4 13 2 1 º 3 4 ;2!; ;2(; ª º 3 4 ;2!; ;2(; ª 9 2 1 2 2a-b=-2 yy`㉢ 2c-d=5 yy`㉣ 2a-b 2c-d 2 -1 a b c d -2 5 b=3 yy`㉠ d=4 yy`㉡ b d 0 1 a b c d 3 4 a b c d

3

정답과

해설

004

A¶ •=¶ • yy`㉠⋯

이고, A¤¶ •=¶ •에서

A¤¶ •=AA¶ •=A¶ •=¶ • (∵ ㉠)

∴ A¶ •=¶ • yy`㉡⋯ ㉠, ㉡에 의하여 A¶ •=¶ • 행렬 ¶ •에서 2¥1-1¥1=1+0이므로 역행렬이 존 재하고, 이 역행렬을 이용하여 행렬 A를 구하면 A=¶ •¶ •—⁄ =¶ •¶ •=¶ • 한편 케일리-해밀턴 정리에 의하여 A¤ -(-1+1)A+{(-1)¥1-3¥0}E=O A¤ =E ∴ A› =E 따라서 행렬 A› 으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 (3, 2)가 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (3, 2) 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (a, c), (b, d)로 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬은 ¶ • 이므로 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 (1, 0), (1, 1)로 옮기는 일차변환 f를 나타내는 행렬은 ¶ • 따라서 일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (3, 1) 두 점 (1, 0), (0, 1)을 각각 두 점 (a, c), (b, d)로 옮기는 일차변환을 나타내는 행렬은 ¶a b_{c d}•

6

3 1 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 a b c d

5

3 2 3 2 1 0 0 1 -1 3 0 1 1 -1 -1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 이므로 두 점 A(1, 0), B(0, 1)을 각각 두 점 B(0, 1), C(p, q)로 옮기는 일차변환 f를 나타내는 행렬은 ¶ • 이때 일차변환 f에 의하여 점 C(p, q)가 점 A(1, 0) 으로 옮겨지므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ [ ㉡에서 p=-q¤ 이므로 이를 ㉠에 대입하면 1=-q‹ , (q+1)(q¤ -q+1)=0 ∴ q=-1 (∵ q는 실수) q=-1을 ㉠에 대입하면 p=-1 ∴ p¤ +q¤ =2 ⑴ 일차변환의 성질에 의하여

f(pA+qB)=p f(A)+q f(B)=¶ • y`㉠⋯

이때 A=¶ •, B=¶ •이므로 f(A)=B=¶ • y`㉡⋯ f(B)=A+B=¶ •+¶ •=¶ • y`㉢⋯ ㉠에 ㉡, ㉢을 대입하면 f(pA+qB)=p¶ •+q¶ • =¶ •=¶ • ∴ p+3q=0, p+q=1 위의 두 식을 연립하여 풀면 p= , q=-∴ p-q=2 ⑵ 일차변환의 성질에 의하여

3 f(A)-5 f(B)=f(3A-5B) yy`㉠⋯

이때 A=¶ •, B=¶ •, C=¶ •이므로 3A-5B=3¶ •-5¶ • =¶ •=2C4 yy`㉡⋯ 0 1 -3 3 -5 2 0 1 -3 3 -5 1 2 3 2 0 1 p+3q p+q 3 1 1 1 3 1 1 1 2 0 1 1 1 1 2 0 0 1

7

1=pq yy`㉠ 0=p+q¤ yy`㉡ pq p+q¤ p q 0 p 1 q 1 0 0 p 1 q

Ⅰ 일차변환과 행렬

005

02

여러 가지 일차변환

p. 20 ⑴ x축에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 ¶ • 이므로 점 (3, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (3, 1) ⑵ y축에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 ¶ • 이므로 점 (3, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (-3, -1) ⑶ 원점에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 ¶ • 이므로 점 (3, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (-3, 1) ⑷ 직선 y=x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 ¶ • 이므로 점 (3, -1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶-1• ∴ (-1, 3) 3 3 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 -3 1 3 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -3 -1 3 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 3 1 3 -1 1 0 0 -1 1 0 0 -1

1

㉠, ㉡에 의하여 3 f(A)-5 f(B)=f(3A-5B)=f (2C) =2 f(C) =2B (∵ f(C)=B) =2¶ •=¶¶ 2•• -6 1 -3 개념check | 1 ⑴ (3, 1) ⑵ (-3, -1) ⑶ (-3, 1) ⑷ (-1, 3) 2 ⑴ (1, 2) ⑵ (-3, 1) 3 ⑴ {- , - _} ⑵ {1-2'3₂ , 2+'3₂ } '2 2 3'2 2 원점을 중심으로 하고 닮음비가 인 닮음변환을 f라 하 면 f를 나타내는 행렬은 ⑴ 닮음변환 f에 의하여 점 (2, 4)가 옮겨지는 점의 좌 표는 ¶ •=¶ • ∴ (1, 2) ⑵ 닮음변환 f에 의하여 점 (-6, 2)가 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •=¶ • ∴ (-3, 1) 원점을 중심으로 각 h만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬은 ¶ • ⑴ 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 (-2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ • = ¶ •= ∴ {- , - _} ⑵ 원점을 중심으로 - 만큼 회전하는 회전변환에 의 하여 점 (-2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ • = ¶ •= ∴ { , 2+'3_} 2 1-2'3 2

º

1-2'3 122223₂ 2+'3 122333₂

ª

-2 1

º

1 1₂ '3 12₂ '3 12₂ 1 -1 2

ª

-2 1

º

-sin {-;6“;} cos {-;6“;} cos {-;6“;} sin {-;6“;}

ª

p 6 '2 2 3'2 2

º

3'2 -122₂ '2 -12 2

ª

-2 1

º

'2 -12₂ '2 12₂ '2 12₂ '2 12₂

ª

-2 1 º -sin ;4“; cos ;4“; cos ;4“; sin ;4“; ª p 4 cos`h -sin`h sin`h cos`h

3

-3 1 -6 2 º 0 ;2!; ;2!; 0 ª 1 2 2 4 º 0 ;2!; ;2!; 0 ª º 0 ;2!; ;2!; 0 ª 1 2

2

나므로 =3¥ ∴ 3x'-y'=-3x+y yy`㉠⋯ 직선 PP'의 기울기를 구하면 직선 y=3x와 직선 PP'은 서로 수직이므로 수직 조건에 의하여 _3=-1 ∴ x'+3y'=x+3y yy`㉡⋯ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x'=- x+ y, y'= x+ y yy`㉢⋯ ㉢을 행렬을 이용하여 나타내면 ¶ •= ¶ • 따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은 이 고, 이 행렬의 모든 성분의 합은 - + + + = `다른 풀이` 직선 y=mx에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬은 yy㉠⋯ ㉠에 m=3을 대입하면 ∴ 따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 - + + + = 점 P(x, y)에서 직선 y=2x에 내린 수선의 발을 H(x', y')이라 하자. 이때 점 H는 직선 y=2x 위의 점이므로 y'=2x' yy`㉠⋯

0

1

6 5 4 5 3 5 3 5 4 5 º ;5#; ;5$; -;5$; ;5#; ª

º

2¥3 1213_{3¤ +1} 3¤ -1 1213_{3¤ +1} 3¤ -1 -1213 3¤ +1 2¥3 1213_{3¤ +1}

ª

º

2m 1212_{m¤ +1} m¤ -1 1212_{m¤ +1} m¤ -1 -1212 m¤ +1 2m 1212_{m¤ +1}

ª

6 5 4 5 3 5 3 5 4 5 º ;5#; ;5$; -;5$; ;5#; ª x y º ;5#; ;5$; -;5$; ;5#; ª x' y' 4 5 3 5 3 5 4 5 y'-y x'-x y'-y x'-x x+x' 2 y+y' 2 정답과 해설

006

8 (1, 2) 9 ② 10 11 9 12 13 p _{14 B(2-'3, 1+2'3)} 15 ⑴ 2x-y-1=0 ⑵ a= , b= 16 1 5 1-'3 2 1+'3 2 3 4 3 2

º

;5@; ;5$; ;5!; ;5@;

ª

유제 pp. 20~24 x축에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬 A는 A=¶ • y축에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬 B는 B=¶ • 직선 y=x에 대한 대칭변환을 나타내는 행렬 C는 C=¶ • 이때 행렬 A+C는 A+C=¶ •+¶ •=¶ • 또 행렬 B+C는 B+C=¶ •+¶ •=¶ • 따라서 행렬 A+C로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점 P의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ P(3, 1) 또 행렬 B+C로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점 Q의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ Q(-1, 3) 따라서 구하는 선분 PQ의 중점의 좌표는 { , } ∴ (1, 2) 일차변환 f에 의하여 점 P(x, y)가 옮겨지는 점을 P'(x', y')이라 하면 선분 PP'의 중점 M의 좌표는 M{ , } 직선 y=3x가 중점 M을 지 y+y' 2 x+x' 2 y P'(x', y') P(x, y) y=3x O M x

9

1+3 2 3-1 2 -1 3 2 1 -1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 1 1 0 -1 0 0 1 1 1 1 -1 0 1 1 0 1 0 0 -1 0 1 1 0 -1 0 0 1 1 0 0 -1

8

Ⅰ 일차변환과 행렬

007

직선 y=2x와 직선 PH는 서로 수직이므로 수직 조건에 의하여 _2=-1 ∴ x'+2y'=x+2y yy`㉡⋯ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x'= x+ y, y'= x+ y yy`㉢⋯ ㉢을 행렬을 이용하여 나타내면 ¶ •= ¶ • 따라서 구하는 일차변환 f를 나타내는 행렬은 닮음변환 f를 나타내는 행렬을 A=¶ • (k+0인 실수) 라 하면 f에 의하여 점 (-1, 1)이 점 (-3, 3)으로 옮 겨지므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ k=3 ∴ A=¶ • 닮음변환 f에 의하여 두 점 P, Q가 옮겨지는 점 P', Q' 의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ P'(3, 0) ¶ •¶ •=¶ • ∴ Q'(9, -6) 따라서 오른쪽 그림과 같이 세 점 O, P', Q'을 꼭짓점으로 하는 삼각형 OP'Q'의 넓이는 _3_6=9 `다른 풀이` 닮음변환 f가 점 (-1, 1)을 점 (-3, 3)으로 옮기므로 f는 닮음의 중심이 원점이고, 닮음비가 3인 닮음변환이 다. 1 2 O 3 P' Q' 9 -6 y x 9 -6 3 -2 3 0 0 3 3 0 1 0 3 0 0 3 3 0 0 3 -k k -1 1 k 0 0 k -3 3 k 0 0 k

1

1

ºº ;5@; ;5$; ;5!; ;5@; ªª x y º ;5@; ;5$; ;5!; ;5@; ª x' y' 4 5 2 5 2 5 1 5 y-y' x-x' y x O P(x, y) H(x', y') y=2x 따라서 오른쪽 그림과 같이 삼 각형 OPQ와 삼각형 OP'Q' 은 서로 닮은 도형이고, 닮음 비가 1：3이므로 두 삼각형 의 넓이의 비는 △OPQ：△OP'Q'=1：9 ∴ △OP'Q'=9△OPQ yy`㉠⋯ 이때 삼각형 OPQ의 넓이는 △OPQ= _1_2=1 따라서 ㉠에 의하여 삼각형 OP'Q'의 넓이는 9이다. 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 p인 닮음변환을 f 라 하면 f를 나타내는 행렬은 ¶ • 닮음변환 f에 의하여 점 A(1, 2)가 옮겨지는 점 A'의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(p, 2p) 닮음변환 f에 의하여 점 B(3, -1)이 옮겨지는 점 B'의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(3p, -p) 닮음변환 f에 의하여 점 C(2, 5)가 옮겨지는 점 C'의 좌 표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ C'(2p, 5p) 이때 삼각형 A'B'C'의 무게중심의 좌표는 (3, 3)이므로 =3, =3 2p=3 ∴ p= `다른 풀이` 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 p인 닮음변환을 f 라 하면 f를 나타내는 행렬은 ¶ • 한편 세 점 A(1, 2), B(3, -1), C(2, 5)에 대하여 삼 각형 ABC의 무게중심 G의 좌표는 { , } ∴ G(2, 2) 따라서 닮음변환 f에 의하여 점 G가 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ •2p ∴ (2p, 2p) yy`㉠⋯ 2p 2 2 p 0 0 p 2-1+5 3 1+3+2 3 p 0 0 p 3 2 2p-p+5p 3 p+3p+2p 3 2p 5p 2 5 p 0 0 p 3p -p 3 -1 p 0 0 p p 2p 1 2 p 0 0 p p 0 0 p

2

1

1 2 O P' P Q' Q -2 y x 3 1

오른쪽 그림과 같이 정삼각형 OAB에서 ∠AOB=60˘이고, OA”=OB”이므로 점 B는 점 A를 원점을 중심으로 60˘만큼 회전한 점이다. 이때 원점을 중심으로 60˘만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬은 ¶ •= 따라서 점 B의 좌표를 구하면 ¶ •=¶ • ∴ B(2-'3, 1+2'3) ⑴ 원점에 대한 대칭변환에 의하여 직선 2x-y+1=0 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ x'=-x, y'=-y Δ x=-x', y=-y' yy`㉠⋯ ㉠을 직선의 방정식 2x-y+1=0에 대입하여 정리 하면 -2x'-(-y')+1=0 ∴ 2x'-y'-1=0 따라서 점 (x', y')은 직선 2x-y-1=0 위의 점이 므로 직선의 방정식은 2x-y-1=0 ⑵ 원점을 중심으로 30˘만큼 회전하는 회전변환에 의하 여 직선 x-y+2=0 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점 을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ • = ¶ •= ∴ x'= , y'= y`㉠⋯ 이때 점 (x', y')은 직선 ax+by+2=0 위의 점이므로 ax'+by'+2=0 y`㉡⋯ ㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 x+'3y 2 '3x-y 2

º

'3 x-y 12122₂ x+'3y 12122₂

ª

x y

º

1 -1₂ '3 12₂ '3 12₂ 1 12₂

ª

x y cos 30˘ -sin 30˘ sin 30˘ cos 30˘ x' y' -x -y x y -1 0 0 -1 x' y'

5

1

2-'3 1+2'3 4 2

º

'3 -12₂ 1 23₂ 1 23₂ '3 12₂

ª

º

'3 -12₂ 1 23₂ 1 23₂ '3 12₂

ª

cos 60˘ -sin 60˘ sin 60˘ cos 60˘ O y x 2 60˚ 4 A B

4

1

정답과 해설

008

㉠은 점 (3, 3)과 일치하므로 p= 원점을 중심으로 h만큼 회전하는 회전변환에 의하여 점 (2'2, 2'2)가 점 (-4, 0)으로 옮겨지므로 ¶ •=¶ •¶ • =¶ • ∴ [ ㉠+㉡을 하면 4'2 cos 4 ∴ cos h=-㉠-㉡을 하면 -4'2 sin h=-4 ∴ sin h= ⁄ 0<h<2p에서 cos h=- 을 만족하 는 h의 값은 오른쪽 그래 프에서 h= p또는 h= p ¤ 0<h<2p에서 sin h= 을 만족하는 h 의 값은 오른쪽 그래프에서 h= 또는 h= p ⁄, ¤를 동시에 만족하는 h의 값은 h=3p 4 3 4 p 4 1 '2 y=sin h y h O -1 1 p 2p p 2 p 4 3 2p 3 4p 1 '2 5 4 3 4 1 '2 y=cos h p 2 2p y h O 3 2p p 3 4p 5 4p -1 1 1 '2 -1 '2 1 '2

2'2 cos`h-2'2 sin`h=-4 yy`㉠

2'2 sin`h+2'2 cos`h=0 yy`㉡

2'2 cos`h-2'2 sin`h 2'2 sin`h+2'2 cos`h 2'2 2'2 cos`h -sin`h sin`h cos`h -4 0

3

1

3 2 Tip _{일차변환에 의한 삼각형의 무게중심} 세 점 A, B, C에 대하여 선분 BC 의 중점을 M이라 할 때, 선분 AM 을 2 : 1로 내분하는 점이 무게중심 G이다. 즉 삼각형의 무게중심에서도 일차변 환에 의한 선분의 내분점에서와 같은 성질이 성립한다. 따라서 세 점 A, B, C가 일차변환 f에 의하여 옮겨진 점을 각각 A', B', C'이라 할 때, 삼각형 ABC의 무게중심 G가 일차변환 f에 의하여 옮겨진 점의 좌표는 삼각형 A'B'C'의 무게중심의 좌표와 같다. M G 2 1 A B C

Ⅰ 일차변환과 행렬

009

a{ }+b{ }+2=0 ∴ { } x-{ } y+2=0 y`㉢⋯ ㉢은 직선 x-y+2=0과 일치하므로 =1, =1 위의 두 식을 연립하여 풀면 a= , b= 닮음의 중심이 원점이고 닮음비가 p인 닮음변환에 의하 여 원 (x-4)¤ +(y-3)¤ =25 위의 점 (x, y)가 옮겨지 는 점을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • x'=px, y'=py Δ x= x', y= y' y`㉠⋯ ㉠을 원의 방정식 (x-4)¤ +(y-3)¤ =25에 대입하면 { x'-4}2 +{ y'-3}2 =25 ∴ (x'-4p)¤ +(y'-3p)¤ =25p¤ 이때 점 (x', y')은 원 (x-4p)¤ +(y-3p)¤ =25p¤ 위 의 점이므로 원 (x-4)¤ +(y-3)¤ =25가 닮음변환에 의하여 옮겨지는 원의 방정식은 (x-4p)¤ +(y-3p)¤ =25p¤ 즉 원의 중심이 (4p, 3p)이고, 반지름의 길이가 5p인 원이다. 따라서 원 (x-4p)¤ +(y-3p)¤ =25p¤ 의 넓이가 p이 므로 p_(5p)¤ =p ∴ p=1₅ (∵ p>0) 1 p 1 p 1 p 1 p px py x y p 0 0 p x' y'

6

1

1-'3 2 1+'3 2 a-'3b 2 '3a+b 2 a-'3b 2 '3a+b 2 x+'3y 2 '3x-y 2 1 ⑤ 2 ¶ • 3 0 4 -5 x¤ +(y-8)¤ =4 6 ⑤ 7 (3, 3) 8 9 10 ④ 11 ⑤ 12 18.1 km 3'5 5

º

-;4#; ;4#; -;2#; -;2!;

ª

5 2 -5 2 pp. 25~27 연습 문제 일차변환은 변환 f：(x, y) ⁄ (x', y')에서 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식으로 나타내어진다. ㄱ. x축에 대한 대칭이동을 나타내는 변환식은 [ x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일차변 환이다. ㄴ. y축의 방향으로 1만큼 평행이동을 나타내는 변환식은 [

y'=y+1에서 y'이 상수항이 있는 y의 일차식이므로

일차변환이 아니다. ㄷ. 직선 y=x에 대한 대칭이동을 나타내는 변환식은 [ x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일차변 환이다. ㄹ. 원점을 중심으로 -45˘만큼의 회전이동을 나타내는 변환식은 [ ∴ x'= (x+y) y'= (-x+y) ㄹ.x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일차변 환이다. 따라서보기에서 일차변환인 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. 일차변환의 성질에 의하여 f(A+B)=f(A)+f(B)=¶ • yy`㉠⋯

f(2A-B)=2 f(A)-f(B)=¶ • yy`㉡⋯

㉠+㉡을 하면 3 f(A)=¶ • ∴ f(A)=¶ • f(A)=¶ •를 ㉠에 대입하면 ¶ •+f(B)=¶ • ∴ f(B)=¶ • 한편 f(A-2B)는 일차변환의 성질에 의하여 f(A-2B)=f(A)-2 f(B) 2 0 1 2 -1 2 -1 2 -1 2 -3 6 -4 4 1 2

2

1 '2 1 '2

‡

x'=x cos (-45˘)-y sin (-45˘) y'=x sin (-45˘)+y cos (-45˘)

x'=y y'=x x'=x y'=y+1 x'=x y'=-y

1

정답과 해설

010

=¶ •-2¶ •=¶¶ •• 점 (2, 1)을 점 (1, 2)로 옮기는 대칭변환은 f：(≤2, ≤1) 1⁄ (≤1, ≤2) x y y x 즉 직선 y=x에 대한 대칭변환이므로 A=¶ • 또 점 (2, 1)을 점 (-2, 1)로 옮기는 대칭변환은 f '：(≤2, ≤1) 1⁄ (≤-2, ≤1) x y -x y 즉 y축에 대한 대칭변환이므로 B=¶ • ∴ BA=¶ •¶ •=¶ • 따라서 행렬 BA의 모든 성분의 합은 0이다. 일차변환 f에 의하여 점 P(x, y)가 옮겨지는 점을 P'(x', y')이라 하면 선분 PP'의 중점 M의 좌표는 M{ , _} 중점 M은 직선 y=ax 위의 점이므로 =a¥ ∴ ax'-y'=-ax+y yy`㉠ 직선 PP'의 기울기는 이고, 직선 y=ax와 직선 PP'은 서로 수직이므로 수직 조건에 의하여 _a=-1 ∴ x'+ay'=x+ay yy`㉡⋯ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x'=- x+ y y'= x+ y x', y'을 행렬을 이용하여 나타내면 ¶ •= ≥ ≥ ¶ • 일차변환 f를 나타내는 행렬 x y

º

2a 1222_{a¤ +1} a¤ -1 1222_{a¤ +1} a¤ -1 -12224 a¤ +1 2a 1222_{a¤ +1}

ª

x' y' a¤ -1 a¤ +1 2a a¤ +1 2a a¤ +1 a¤ -1 a¤ +1 y'-y x'-x y'-y x'-x x+x' 2 y+y' 2 P(x, y) P'(x', y') O M y x y=ax y+y' 2 x+x' 2

4

0 -1 1 0 0 1 1 0 -1 0 0 1 -1 0 0 1 0 1 1 0

3

-5 2 2 0 -1 2 이때 행렬의 모든 성분의 합이 - 이므로 - + + + =

=-8a¤ +20a+8=0, (2a+1)(a+2)=0

∴ a=- 또는 a=-2 따라서 모든 상수 a의 값의 합은 - +(-2)=-원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환 f를 나타내 는 행렬은 = 한편 회전변환 f에 의한 원의 이동은 원의 중심의 좌표만 이동하고, 원의 반지름의 길이는 변하지 않는다. 즉 회전변환 f에 의하여 원 (x-4)¤ +(y-4'3)¤ =4의 중심 (4, 4'3)이 옮겨지는 점의 좌표를 구하면 ¶ •=¶ • ∴ (0, 8) 따라서 회전변환 f에 의하여 옮겨지는 원의 방정식은 x¤ +(y-8)¤ =4 닮음변환 f를 나타내는 행렬을 P=¶ • (k+0인 실수) 라 하면 f에 의하여 점 (6, 9)가 점 (8, 12)로 옮겨지 므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ k= ∴ P= 닮음변환 f에 의하여 두 점 A(3, 1), B(3, -2)가 각 각 옮겨지는 두 점 A', B'의 좌표를 구하면 ¶ •= º ∴ A'{4, 4₃} 4 ;3$; ª 3 1 º 0 ;3$; ;3$; 0 ª º 0 ;3$; ;3$; 0 ª 4 3 6k 9k 6 9 k 0 0 k 8 12 k 0 0 k

6

0 8 4 4'3

º

1 -23₂ '3 12₂ '3 12₂ 1 23₂

ª

º

1 -23 2 '3 12₂ '3 12₂ 1 23₂

ª

º -sin ;6“; cos ;6“; cos ;6“; sin ;6“; ª p 6

5

5 2 1 2 1 2 8 5 4a a¤ +1 a¤ -1 a¤ +1 2a a¤ +1 2a a¤ +1 a¤ -1 a¤ +1 8 5

Ⅰ 일차변환과 행렬

011

점 R는 직선 y=-x 위의 점이므로 q=-p yy`㉠⋯ 또 직선 y=-x와 직선 PR는 서로 수직이므로 수직 조 건에 의하여 _(-1)=-1 ∴ p-q=-3 yy`㉡⋯ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=- , q= ∴ R{- , } 두 점 P(-1, 2), Q(0, 2)를 각각 두 점 Q(0, 2), R{- , }으로 옮기는 일차변환 f를 나타내는 행렬 을¶ •라 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ [ =¶ •¶ •=¶ • ∴ b=- , d= b=- 을 ㉠에 대입하면 a=-d= 을 ㉡에 대입하면 c=-따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은 `풀이 2 두 점 P(-1, 2), Q(0, 2)를 각각 두 점 Q(0, 2), R{- , }으로 옮기는 일차변환 f를 나타내는 행렬 을 A라 하면 ¶ •=A¶ • yy`㉠⋯ =A¶ • yy`㉡⋯ ㉠, ㉡에 의하여 0 2 º -;2#; ;2#; ª -1 2 0 2 3 2 3 2 ºº -;4#; ;4#; -;2#; -;2!; ªª 1 2 3 4 3 2 3 4 3 4 3 4 2b 2d 0 2 a b c d º -;2#; ;2#; ª 0=-a+2b yy`㉠ 2=-c+2d yy`㉡ -a+2b -c+2d -1 2 a b c d 0 2 a b c d 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 q-2 p-(-1) ¶ •= ∴ B'{4, - } 이때 세 점 O, A, B와 두 점 A', B'을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으 므로 삼각형 OAB와 사각형 A'ABB'의 넓이를 각각 구 하면 △OAB= _(1+2)_3= □A'ABB'=△OA'B'-△OAB =[ _{ + }_4]- = 따라서 구하는 삼각형 OAB와 사각형 A'ABB'의 넓이 의 비는 9 : 7이다. 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 두 점 (a, 1), (2, b)가 일차변환 f에 의하여 각각 두 점 (2, 1), (1, -1)로 옮겨지므로

¶ •=A¶ • y`㉠, ¶ •=A¶ • y`㉡ 한편 일차변환 f에 의하여 점 (2a-2, -b+2)가 옮겨 지는 점의 좌표를 (x, y)라 하면

¶ •=A¶ • 일차변환의 성질에 의하여

¶ •=A¶ •=A¶ •+A¶ •

=2A¶ •-A¶ • =2¶ •-¶ • (∵ ㉠, ㉡) =¶ • 따라서 구하는 점의 좌표는 (3, 3)이다. `풀이 1` 점 P(-1, 2)에서 y축에 내린 수선의 발 Q의 좌표는 Q(0, 2) 점 P에서 직선 y=-x에 내린 수선의 발 R의 좌표를 (p, q)라 하면 y x O -1 Q P R 2 y=-x

8

3 3 1 -1 2 1 2 b a 1 -2 -b 2a 2 2a-2 -b+2 x y 2a-2 -b+2 x y 2 b 1 -1 a 1 2 1

7

7 2 9 2 8 3 4 3 1 2 9 2 1 2 y x O 1 -2 --₃8 -₃4 A 4 3 A' B B' 8 3 º 4 -;3*; ª 3 -2 º 0 ;3$; ;3$; 0 ª

=A¶ • ∴ A= ¶ •—⁄ = ¶ • = 일차변환 f：(x, y) 1⁄ (x-y, x+2y)를 행렬을 이용하여 나타내면 ¶ •=¶ •¶ • 따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은 ¶ • 한편 일차변환 f에 의하여 점 A(1, 1)이 옮겨지는 점 A'의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(0, 3) 또 y축 위를 움직이는 점 P의 좌표를 (0, a)라 하면 점 P가 일차변환 f에 의하여 옮겨지는 점 P'의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ P'(-a, 2a) 이때 두 점 A', P' 사이의 거리는 A'P'”="√(-a)¤ +√(2a-3)¤

A'P'”_{="√5a¤ -12a+9}

=æ≠5{a- }2 +

따라서 a= 일 때 A'P'”의 값이 최소이므로 (A'P'”의 최솟값)= =

`다른 풀이`

일차변환 f에 의하여 옮겨진 두 점 A', P'의 좌표는 각각 A'(0, 3), P'(-a, 2a)

이때 점 P'(-a, 2a)는 직선 y=-2x 위의 점이므로 A'P'”의 최솟값은 점 A'(0, 3)과 직선 y=-2x 사이의 거리와 같다. ∴ (A'P'”의 최솟값)= = =3'5 5 3 '5 |2¥0+3| "√2¤ +1¤ 3'5 5 3 '5 6 5 9 5 6 5 -a 2a 0 a 1 -1 1 2 0 3 1 1 1 -1 1 2 1 -1 1 2 x y 1 -1 1 2 x' y'

9

ºº -;4#; ;4#; -;2#; -;2!; ªª -2 0 2 1 º -;2#; ;2#; 0 2 ª 1 2 -1 0 2 2 º -;2#; ;2#; 0 2 ª -1 0 2 2 º -;2#; ;2#; 0 2 ª 정답과 해설

012

주어진 조건에서 직선 l이 점 (3, 1)을 지나므로 직선 l을

y=a(x-3)+1 (a+0인 실수) yy`㉠⋯

로 놓을 수 있다.

직선 l 위의 점 (x, y)가 일차변환 f에 의하여 옮겨진 점을 (x', y')이라 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ x'=2x-y, y'=-x+2y yy`㉡⋯ 이때 일차변환 f에 의하여 직선 l이 자기 자신으로 옮겨 지므로 점 (x', y')은 직선 l 위의 점이다. ∴ y'=a(x'-3)+1 yy`㉢⋯ 따라서 ㉡을 ㉢에 대입하면 -x+2y=a(2x-y-3)+1 ∴ (a+2)y=(2a+1)x-3a+1 yy`㉣⋯ 한편 ㉠을 전개하면 y=ax-3a+1 yy`㉤⋯ 이고, 직선 ㉣은 직선 ㉤과 일치하므로 = = ∴ a=-1 ∴ l：y=-x+4 따라서 직선 l을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 직선 l과 x축 및 y축으로 둘러싸 인 삼각형의 넓이는 _4_4=8 오른쪽 그림과 같이 정팔 각형은 8개의 이등변삼 각형으로 나누어지므로 ∠P¡OP™=∠P™OP£ = ⋯ =∠P•OP¡ = = 이때 점 P¡(a, 0)(a>0)이라 하면 OP¡”=OP™”=a 이므로 점 P™의 좌표는

P™{a cos , a sin _{} ∴ P™{} , _} 같은 방법으로 P£, P¢, y, P•의 좌표를 구하면 P£(0, a), P¢{- , }, P∞(-a, 0) a '2 a '2 a '2 a '2 p 4 p 4 p 4 2p 8 y x P£ P™ P¢ P• P§ P¡ P∞ P¶ O a -p 4 '2 a '2 a '2 a -'2 a

1

1

1 2 O y x 4 4 _l:y=-x+4 -3a+1 -3a+1 a 2a+1 1 a+2 2x-y -x+2y x y 2 -1 -1 2 x' y'

0

1

Ⅰ 일차변환과 행렬

013

P§{- , - }, P¶(0, -a) P•{ , - } 한편 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 일차변환 f_{에 의하여 점 P¡(a, 0)이 점 P¢ {-} , }로, 점 P£(0, a)가 점 P∞(-a, 0)으로 옮겨지므로 =A¶ • yy`㉠⋯ ¶ •=A¶ • yy`㉡⋯ ㉠, ㉡에서 A¶ •= aA= 이때 a+0이므로 A= 따라서 일차변환 f에 의하여 점 P∞(-a, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •= ∴ P•{ , - _} 따라서 점 P∞가 옮겨지는 점은 점 P•이다. `다른 풀이` 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 일차변환 f에 의하여 점 P¡(a, 0)이 점 P¢{- , }로, 점 P£(0, a)가 점 P∞(-a, 0)으로 옮겨지므로 =A¶ •, ¶ •=A¶ • 따라서 일차변환 f에 의하여 점 P∞(-a, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는 0 a -a 0 a 0

º

a -12 '2 a 12 '2

ª

a '2 a '2 a '2 a '2

º

a 12 '2 a -12 '2

ª

-a 0

º

-1 0 1 -12 '2 1 12 '2

ª

º

-1 0 1 -12 '2 1 12 '2

ª

º

-a 0 a -12 '2 a 12 '2

ª

º

-a 0 a -12 '2 a 12 '2

ª

a 0 0 a 0 a -a 0 a 0

º

a -12 '2 a 12 '2

ª

a '2 a '2 a '2 a '2 a '2 a '2 A¶ •=-A¶ •=- = ∴ P•{ , - } 따라서 점 P∞가 옮겨지는 점은 점 P•이다. 등대를 원점, 등대를 지나 고 해안선과 평행한 직선을 x축, 등대를 지나고 해안선 과 수직인 직선을 y축으로 하여 주어진 조건을 좌표평 면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때 해안선은 등대보다 북쪽으로 20 km 위에 있으므로 해안선을 나타내는 방정식은 y=20 yy`㉠⋯ 또 배 A가 등대를 기준으로 동쪽으로 4 km, 남쪽으로 3 km의 위치에 있으므로 배 A의 위치는 A(4, -3) 한편 배 B는 등대를 기준으로 배 A와 60˘의 각을 이루 고, OA”=OB”이므로 배 B의 위치는 점 A를 원점을 중 심으로 60˘만큼 회전한 점이 된다. 따라서 배 B의 위치를 구하면 ¶ •¶ • = ¶ •= ∴ B{ , } 따라서 배 B에서 해안선까지의 거리는 20-{ } (∵ ㉠) = _-2'3 =21.5-2_1.7 (∵ '3=1.7) =18.1(km) 43 2 -3+4'3 2 -3+4'3 2 4+3'3 2

º

4+3'3 1222433₂ -3+4'3 1222433333₂

ª

4 -3

º

'3 -12 2 1 23₂ 1 23₂ '3 12₂

ª

4 -3 cos 60˘ -sin 60˘ sin 60˘ cos 60˘ 등대 해안선 남 동 서 북 배 A 배 B 20 km y y=20 x 4 60˘ -3 O

2

1

a '2 a '2

º

a 12 '2 a -12 '2

ª

º

a -12 '2 a 12 '2

ª

a 0 -a 0

정답과 해설

014

AB=¶ •¶ •=¶ • y`㉠⋯ 또 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬은 BA이므로 BA=¶ •¶ •=¶ • y`㉡⋯ 이때 fΩg=gΩf에서 ㉠=㉡이 성립하므로 ¶ •=¶ • 두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 3=a+4, 2a+b=a+2 1=b-2, a+b=b-1 위의 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=3 ∴ a+b=2 직선 y=x에 대한 대칭변환을 f라 하고 f를 나타내는 행 렬을 A라 하면 A=¶ • 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 g라 하고 g를 나타내는 행렬을 B라 하면 B= = x축에 대한 대칭변환을 h라 하고 h를 나타내는 행렬을 C라 하면 C=¶ • 이때 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 다음, 원점을 중심 으로 만큼 회전한 후, 다시 x축에 대하여 대칭이동하 는 일차변환은 합성변환 hΩgΩf이고, 이를 나타내는 행 렬은 CBA이므로 CBA=¶ • ¶ • = ¶ • = º -:2;'2 ;; :2;'2;; -:2;'2 ;; -:2;'2;; ª 0 1 1 0 º :2;'2;; -:2;'2;; -:2;'2 ;; -:2;'2;; ª 0 1 1 0 º :2;'2;; -:2;'2;; :2;'2;; :2;'2;; ª 1 0 0 -1 p 4 1 0 0 -1 º :2;'2;; -:2;'2;; :2;'2;; :2;'2;; ª º cos ;4p; -sin ;4p; sin ;4p; cos ;4p; ª p 4 0 1 1 0

3

a+2 b-1 a+4 b-2 3 2a+b 1 a+b a+2 b-1 a+4 b-2 2 1 1 1 2 a -1 b 3 2a+b 1 a+b 2 a -1 b 2 1 1 1

Ⅰ

일차변환과 행렬

2 일차변환의

합성과 역변환

03

일차변환의 합성

1 ① 2 ⑤ 3 Q(2, 0) 4 -1 5 (9, 3) 6 (8, 10) 7 (-1, -2) 8 점 D 유제 pp. 30~33 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A=¶ •, B=¶ • 라 하면 합성변환 fΩg를 나타내는 행렬은 AB이므로 AB=¶ •¶ •=¶ • 따라서 합성변환 fΩg에 의하여 점 P(-1, 2)가 옮겨지 는 점 Q의 좌표를 구해 보면 ¶ •¶ •=¶ • ∴ Q(-16, -4) 또 합성변환 gΩf를 나타내는 행렬은 BA이므로 BA=¶ •¶ •=¶ • 따라서 합성변환 gΩf에 의하여 점 Q(-16, -4)가 옮 겨지는 점 R의 좌표를 구해 보면 ¶ •¶ •=¶ • ∴ R(-104, 24) 따라서 선분 QR의 중점의 좌표는 { , } ∴ (-60, 10) 두 일차변환 f, g를 행렬을 이용하여 나타내면 f : (x, y)1⁄ (2x+y, x+y) Δ f :¶ •=¶ •¶ • g : (x, y)1⁄ (2x+ay, -x+by) Δ g :¶ •=¶ •¶ • 따라서 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B 라 하면 A=¶ •, B=¶ • 합성변환 fΩg를 나타내는 행렬은 AB이므로 2 a -1 b 2 1 1 1 x y 2 a -1 b x' y' x y 2 1 1 1 x' y'

2

-4+24 2 -16-104 2 -104 -24 -16 -4 6 2 -2 2 6 2 -2 2 2 0 1 -1 4 -2 0 -2 -16 -4 -1 2 8 -4 4 0 8 -4 4 0 4 -2 0 -2 2 0 1 -1 4 -2 0 -2 2 0 1 -1

1

Ⅰ 일차변환과 행렬

015

이때 점 (x', y')은 직선 2x-3y-1=0 위의 점이므로 합성변환 gΩf에 의하여 직선 3x+2y-1=0이 옮겨지 는 직선의 방정식은 2x-3y-1=0 yy`㉡⋯ ㉡은 ax+by-1=0과 일치하므로 a=2, b=-3 ∴ a+b=-1 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 f에 의하여 점 (2, -1)이 점 (3, 1)로 옮겨지므로 A¶ •=¶ • yy`㉠⋯ 또 fΩf를 나타내는 행렬은 A¤ 이고, fΩf=f이므로 A¤ =A Δ A=AA 이를 이용하여 ㉠의 행렬식을 변형해 보면 A¶ •=¶ • HjjK AA¶ •=¶ • HjjK A¶ •=¶ • (∵ ㉠) yy`㉡⋯ ㉠, ㉡에 의하여 A¶ •=¶ • ∴ A=¶ •¶ •—⁄ = ¶ •¶ •= ¶ • 따라서 일차변환 f에 의하여 점 (5, -5)가 옮겨지는 점 의 좌표를 구해 보면 ¶ •¶ •= ¶ •=¶ • ∴ (9, 3) 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 f에 의하여 점 (1, 3)이 점 (2, 4)로 옮겨지므로 A¶ •=¶ • yy`㉠⋯ 또 합성변환 fΩf를 나타내는 행렬은 A¤ 이고, fΩf에 의 하여 점 (1, 3)이 점 (0, 2)로 옮겨지므로 A¤¶ •=¶ • HjjK AA¶ •=¶ • HjjK A¶ •=¶ • (∵ ㉠) yy`㉡⋯ 0 2 2 4 0 2 1 3 0 2 1 3 2 4 1 3

6

9 3 45 15 1 5 5 -5 6 -3 2 -1 1 5 6 -3 2 -1 1 5 1 -3 1 2 3 3 1 1 1 5 2 3 -1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 2 3 -1 1 3 1 3 1 3 1 2 -1 3 1 2 -1 3 1 2 -1

5

따라서 합성변환 hΩgΩf에 의하여 점 P(-'2, '2)가 옮겨지는 점 Q의 좌표를 구해 보면 ¶ •=¶ • ∴ Q(2, 0) 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 f라 하고 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 A= =¶ • 원점에 대한 대칭변환을 g라 하고 g를 나타내는 행렬을 B라 하면 B=¶ • 이때 원점을 중심으로 만큼 회전한 후, 다시 원점에 대 하여 대칭이동하는 일차변환은 합성변환 gΩf이고, 이를 나타내는 행렬은 BA이므로 BA=¶ •¶ •=¶ • 이때 직선 3x+2y-1=0 위의 점 (x, y)가 합성변환 gΩf에 의하여 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ x'=y, y'=-x yy`㉠⋯ 이때 점 (x', y')은 직선 ax+by-1=0 위의 점이므로 ax'+by'-1=0 yy`㉡⋯ ㉠을 ㉡에 대입하면 ay+b¥(-x)-1=0 ∴ -bx+ay-1=0 yy`㉢⋯ ㉢은 직선 3x+2y-1=0과 일치하므로 a=2, b=-3 ∴ a+b=-1 `다른 풀이` 직선 3x+2y-1=0 위의 점 (x, y)가 합성변환 gΩf 에 의하여 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ x'=y, y'=-x Δ x=-y', y=x' yy`㉠⋯ ㉠을 직선의 방정식 3x+2y-1=0에 대입하면 3¥(-y')+2x'-1=0 ∴ 2x'-3y'-1=0 y -x x y 0 1 -1 0 x' y' y -x x y 0 1 -1 0 x' y' 0 1 -1 0 0 -1 1 0 -1 0 0 -1 p 2 -1 0 0 -1 0 -1 1 0 º cos ;2p; -sin ;2p; sin ;2p; cos ;2p; ª p 2

4

2 0 -'2 '2 º -:2;'2 ;; :2;'2;; -:2;'2 ;; -:2;'2;; ª

정답과 해설

016

일차변환 f를 나타내는 행렬 P에서 P= = 즉 일차변환 f는 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전 변환이다. 이때 행렬 P° 은 원점을 중심으로 _8=2p만큼 회전 하는 회전변환을 나타내는 행렬이므로 P° =¶ •=¶ •=E yy`㉠⋯ 즉 합성변환 f° 은 항등변환이다. 한편 합성변환 f⁄ ¤ ‹ 을 나타내는 행렬은 P⁄ ¤ ‹ 이므로 P⁄ ¤ ‹ =P8_15+3 =(P° )⁄ fi ¥P‹ =E¥P‹ =P‹ (∵ ㉠) yy`㉡⋯ 한편 오른쪽 그림과 같이 정팔 각형은 합동인 8개의 이등변 삼각형으로 나눌 수 있고, ∠HOA=∠AOB = ⋯ =∠GOH = = 이므로 일차변환 f에 의하여 A ⁄ B, B ⁄ C, y, H ⁄ A 로 옮겨진다. 따라서 ㉡에서 합성변환 f¡™£을 나타내는 행렬은 P‹ 과 같 으므로 합성변환 f¡™£에 의하여 점 A가 옮겨지는 점은 A ⁄ B ⁄ C ⁄ D 로 점 D이다. p 4 2p 8 x y O 4 -p A B C D E F G H 1 0 0 1 cos 2p -sin 2p sin 2p cos 2p p 4 p 4 º cos ;4p; -sin ;4p; sin ;4p; cos ;4p; ª º :: '2 ! :: -:: '2 ! :: :: '2 ! :: :: '2 ! :: ª

8

㉠, ㉡에 의하여 A¶ •=¶ • ∴ A=¶ •¶ •—⁄ = ¶ •¶ • =¶ • 따라서 일차변환 f에 의하여 점 (-2, 0)이 옮겨지는 점 의 좌표를 구해 보면 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (8, 10) 일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 A= = 즉 일차변환 f는 원점을 중심으로 - 만큼 회전하는 회 전변환이다. 이때 행렬 Afl 은 원점을 중심으로 - _6=-2p만큼 회전하는 회전변환을 나타내는 행렬이므로 Afl =¶ • =¶ •=E yy`㉠⋯ 즉 합성변환 ffl 은 항등변환이다. 한편 합성변환 f¤ ‡ 을 나타내는 행렬은 A¤ ‡ 이므로

A¤ ‡ =A6_4+3_{=(Afl )› ¥A‹ =E¥A‹ =A‹}

(∵ ㉠) 따라서 합성변환 f¤ ‡ 을 나타내는 행렬은 A‹ 과 같으므로 f ¤ ‡ 에 의하여 점 (1, 2)가 옮겨지는 점의 좌표를 구해 보면 A¤ ‡¶ •=A‹ ¶ • =¶ •¶ • =¶ •¶ •=¶ • ∴ (-1, -2) -1 -2 1 2 -1 0 0 -1 1 2 cos(-p) -sin(-p) sin(-p) cos(-p) 1 2 1 2 1 0 0 1 cos (-2p) -sin (-2p) sin (-2p) cos (-2p) p 3 p 3 º cos {-;3p;} -sin {-;3p;} sin {-;3p;} cos {-;3p;} ª º ;2!; :2;'3;; -:2;'3;; ;2!; ª

7

8 10 -2 0 -4 2 -5 3 -4 2 -5 3 -4 2 3 -1 2 0 4 2 1 2 1 2 3 4 2 0 4 2 2 0 4 2 1 2 3 4

04

일차변환의 역변환

p. 35 개념check | 1 ⑴ { } ⑵ { } 10 -3 3 -1 10 -3 3 -1 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하면 A=¶ •, B=¶-1 4• 2 -7 1 1 1 2

1

Ⅰ 일차변환과 행렬

017

=¶ •¶ •=¶ • ∴ (10, 7) ⑵ 일차변환 f의 역변환이 존재하지 않으려면 행렬 A의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 따라서 행렬 A=¶ •의 역행렬이 존재하 지 않으려면 (a-4)(a+8)-a(a+2)=0 a¤ +4a-32-a¤ -2a=0, 2a-32=0

∴ a=16 원점을 중심으로 - p만큼 회전하는 회전변환을 f라 하자. 이때 f의 역변환 f—⁄ 는 원점을 중심으로 p만큼 회전 하는 회전변환이므로 f—⁄ 를 나타내는 행렬은 = ¶ • 따라서 회전변환 f에 의하여 점 (2, 0)으로 옮겨지는 점 의 좌표는 역변환 f—⁄ 에 의하여 점 (2, 0)이 옮겨지는 점 의 좌표와 같으므로 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (-1, '3) (ax+by, abx+y)를 변형하면¶ •¶ •이므로 일 차변환 f를 나타내는 행렬은 ¶ • yy`㉠⋯ 한편 역변환 f—⁄ 에 의하여 점 (1, 0)이 점 (1, 1)로 옮 겨지므로 일차변환 f에 의하여 점 (1, 1)이 점 (1, 0)으 로 옮겨진다. 따라서 이를 ㉠을 이용하여 나타내면 ¶ •¶ •=¶ • ∴¶ •=¶ • 두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 a+b=1, ab+1=0 따라서 a+b=1, ab=-1이므로

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=1¤ -2¥(-1)=3 1 0 a+b ab+1 1 0 1 1 a b ab 1 a b ab 1 x y a b ab 1

1

1

-1 '3 2 0 -'3 -1 -1 '3 1 2 -'3 -1 -1 '3 1 2 º cos ;3@;p -sin ;3@;p sin ;3@;p cos ;3@;p ª 2 3 2 3

0

1

a+2 a+8 a-4 a 10 7 3 4 2 1 1 1 9 ⑴ (10, 7) ⑵ 16 10 (-1, '3) 11 3 12 (0, 1) 13 2 14 (0, -4) 15 (6, 5) 16 ⑴ x-y+1=0 ⑵ y=-2x ⑶ (1, -1) 17 4x¤ +8xy+5y¤ =4 18 6 19 18 20 y=-;3!;x 21 1 22 5 23 '5p 유제 pp. 36~42 ⑴ 일차변환 f에 의하여 점 (3, 4)로 옮겨지는 점의 좌 표를 (x, y)라 하면 A¶ •=¶ • yy`㉠⋯ 이때 행렬 A=¶ •에서 1¥2-(-1)¥(-1)=1+0 이므로 행렬 A의 역행렬이 존재한다. 따라서 ㉠에서 A¶ •=¶ • HjjK ¶ •=A—⁄ ¶ • 즉 일차변환 f에 의하여 점 (3, 4)로 옮겨지는 점의 좌표는 역변환 f —⁄ 에 의하여 점 (3, 4)가 옮겨지는 점의 좌표와 같으므로 ¶ •=A—⁄ ¶ •=¶ •—⁄ ¶ •3 4 1 -1 -1 2 3 4 x y 3 4 x y 3 4 x y 1 -1 -1 2 3 4 x y

9

⑴ fΩg를 나타내는 행렬은 AB이므로 AB=¶ •¶ •=¶ • 따라서 (fΩg)—⁄ 를 나타내는 행렬은 (AB)—⁄ 이므로 (AB)—⁄ =¶ •—⁄ =¶¶ ••` ⑵ g—⁄ 를 나타내는 행렬은 B—⁄ 이므로 B—⁄ =¶ •—⁄ =¶ • f —⁄ 를 나타내는 행렬은 A—⁄ 이므로 A—⁄ =¶ •—⁄ =¶ • 따라서 g—⁄ Ωf—⁄ 를 나타내는 행렬은 B—⁄ A—⁄ 이므로 B—⁄ A—⁄ =¶ •¶ •=¶¶10 -3••` 3 -1 2 -1 -1 1 7 4 2 1 2 -1 -1 1 1 1 1 2 7 4 2 1 -1 4 2 -7 10 -3 3 -1 1 -3 3 -10 1 -3 3 -10 -1 4 2 -7 1 1 1 2

정답과 해설

018

이때 역변환 f—⁄ 는 원점을 중심으로 - p만큼 회전하 는 회전변환이고, 이를 행렬로 나타내면 A—⁄ = = 또 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 2인 닮음변환 g를 나타내는 행렬을 B라고 하면 B=¶ • 한편 합성변환 f—⁄ Ωg를 나타내는 행렬은 A—⁄ B이므로 A—⁄ B= ¶ • =¶ • 따라서 합성변환 f—⁄ Ωg에 의하여 점 ('2, '2)가 옮겨 지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ • ∴ (0, -4) 역변환의 성질에 의하여 g—⁄ ΩhΩg=f hΩg=gΩf ∴ h=gΩfΩg—⁄ 이때 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하면 일차변환 h를 나타내는 행렬은 BAB—⁄ 이므로 BAB—⁄ =¶ •¶ •¶ •—⁄ =¶ •¶ •¶ • =¶ •¶ • =¶ • 따라서 일차변환 h에 의하여 점 (2, 3)이 옮겨지는 점의 좌표는 ¶ •¶ •=¶ •6 ∴ (6, 5) 5 2 3 -9 8 -20 15 -9 8 -20 15 2 -1 -1 1 -1 7 -5 10 2 -1 -1 1 3 4 -4 3 1 1 1 2 1 1 1 2 3 4 -4 3 1 1 1 2

5

1

0 -4 '2 '2 -'2 '2 -'2 -'2 -'2 '2 -'2 -'2 2 0 0 2 º -:2;'2;; :2;'2;; -:2;'2;; -:2;'2;; ª 2 0 0 2 º -:2;'2;; :2;'2;; -:2;'2;; -:2;'2;; ª º cos {-;4#;p} -sin {-;4#;p} sin {-;4#;p} cos {-;4#;p} ª 3 4 일차변환 f에 의하여 점 (-4, 2)가 점 (1, 2)로 옮겨 지므로 역변환 f—⁄ 에 의하여 점 (1, 2)가 점 (-4, 2)로 옮겨진다. 이때 역변환 f—⁄ 를 나타내는 행렬이¶ •이므로 ¶ •¶ •=¶ • ∴ ¶ •=¶ • 두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 -2+2a=-4 ∴ a=-1 b+2=2 ∴ b=0 따라서 역변환 f—⁄ 를 나타내는 행렬은 ¶ • 이므로 일차변환 f를 나타내는 행렬은 ¶ •—⁄ =- ¶ • 따라서 일차변환 f에 의하여 점 (-1, 1)이 옮겨지는 점 의 좌표를 구해 보면 - ¶ •¶ •=- ¶ •=¶ • ∴ (0, 1) 역변환의 성질에 의하여 gΩ(f—⁄ Ωg)—⁄ Ωg=gΩg—⁄ Ω(f—⁄ )—⁄ Ωg =fΩg (∵ gΩg—⁄ =I) 이때 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하면 합성변환 fΩg를 나타내는 행렬은 AB이므로 AB=¶ •¶ •=¶ • 따라서 합성변환 fΩg에 의하여 점 (1, -1)이 점 (0, 1)로 옮겨지므로 ¶ •=¶ •¶ • ∴¶ •=¶ • 두 행렬이 서로 같을 조건에 의하여 2-2a=0, 3-2b=1 ∴ a=1, b=1 ∴ a+b=2 원점을 중심으로 p만큼 회전하는 회전변환 f를 나타 내는 행렬을 A라고 하자. 3 4

4

1

2-2a 3-2b 0 1 1 -1 2-a 3-b 4-3a 6-3b 0 1 2-a 3-b 4-3a 6-3b 2 1 -3 -1 2 a 3 b

3

1

0 1 0 -2 1 2 -1 1 1 1 0 -2 1 2 1 1 0 -2 1 2 -2 -1 0 1 -2 -1 0 1 -4 2 -2+2a b+2 -4 2 1 2 -2 a b 1 -2 a b 1

2

1

Ⅰ 일차변환과 행렬

019

⑴ 행렬 ¶ •으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 직선 y=-2x+1 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ • yy`㉠⋯ ㉠의 양변의 왼쪽에¶ •—⁄ 를 곱하여 정리하면 ¶ •=¶ •—⁄ ¶ •=¶ •¶ • ∴ x=-3x'+2y', y=5x'-3y' yy`㉡⋯ ㉡을 직선의 방정식 y=-2x+1에 대입하여 정리하면 5x'-3y'=-2(-3x'+2y')+1 ∴ x'-y'+1=0 점 (x', y')은 직선 x-y+1=0 위의 점이므로 일차 변환 f에 의하여 직선 y=-2x+1이 옮겨지는 직선 의 방정식은 x-y+1=0이다. ⑵ 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환에 의하 여 직선 y=-2x+1 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점 을 (x', y')이라고 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴‡ ㉠, ㉡을 연립하면 y'=-2x' 이때 점 (x', y')은 직선 y=-2x 위의 점이다. 따라서 직선 y=-2x+1은 행렬 ¶ •로 나 타내어지는 일차변환에 의하여 직선 y=-2x로 옮 겨진다. ⑶ 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환에 의하 여 직선 y=-2x+1 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점 을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴‡ 이때 직선의 방정식 y=-2x+1에서 2x+y=1이 므로 x'=2x+y y'=-2x-y 2x+y -2x-y x y 2 1 -2 -1 x' y' 2 1 -2 -1 1 -2 -2 4 x'=x-2y yy`㉠ y'=-2x+4y yy`㉡ x-2y -2x+4y x y 1 -2 -2 4 x' y' 1 -2 -2 4 x' y' -3 2 5 -3 x' y' 3 2 5 3 x y 3 2 5 3 x y 3 2 5 3 x' y' 3 2 5 3

6

1

‡ ∴ (1, -1) 따라서 직선 y=-2x+1은 행렬 ¶ •로 나 타내어지는 일차변환에 의하여 점 (1, -1)로 옮겨 진다. 두 일차변환 f, g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하면 합성변환 gΩf가 나타내는 행렬은 BA이므로 BA=¶ •¶ •=¶ • 이때 원 x¤ +y¤ =4 위의 점 (x, y)가 gΩf의 역변환 (gΩf)—⁄ 에 의하여 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 ¶ •=(BA)—⁄ ¶ • yy`㉠⋯ ㉠의 양변의 왼쪽에 BA를 곱하여 정리하면 ¶ •=BA¶ • =¶ •¶ • =¶ •

∴ x=-2x'-2y', y=-y' yy`㉡⋯ ㉡을 원의 방정식 x¤ +y¤ =4에 대입하여 정리하면 (-2x'-2y')¤ +(-y')¤ =4 4x'¤ +8x'y'+4y'¤ +y'¤ =4 ∴ 4x'¤ +8x'y'+5y'¤ =4 이때 점 (x', y')은 도형 4x¤ +8xy+5y¤ =4 위의 점이 므로 합성변환 (gΩf)—⁄ 에 의하여 원 x¤ +y¤ =4가 옮겨 지는 도형의 방정식은 4x¤ +8xy+5y¤ =4 역변환이 존재하지 않는 일차변환에 의하여 직선은 원점 을 지나는 직선 또는 한 점으로 옮겨진다. 이때 행렬 ¶ •으로 나타내어지는 일차변환의 역 변환이 존재하지 않으려면 행렬 ¶ •의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 6¥(a-1)-3¥4=0 ∴ a=3 3 6 a-1 4 3 6 a-1 4

8

1

-2x'-2y' -y' x' y' -2 -2 0 -1 x' y' x y x y x' y' -2 -2 0 -1 4 3 2 1 -1 1 -1 2

7

1

2 1 -2 -1 x'=2x+y=1 y'=-2x-y=-(2x+y)=-1

정답과 해설

020

따라서 a=3일 때, 행렬¶ •으로 나타내어지는 일차 변환에 의하여 직선 2x+3y-1=0 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점이 (p, q)이므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴‡ 이때 점 (x, y)는 직선 2x+3y-1=0 위의 점이고, 2x+3y=1이므로 ‡ ∴ p=1, q=2 ∴ a+p+q=3+1+2=6 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환을 f라 하면 f 에 의하여 직선 x+2y=3 위의 점 (x, y)가 점 (c, d) 로 옮겨지므로 직선 x+2y=3 위의 두 점 (1, 1), (3, 0) 은 일차변환 f에 의하여 모두 점 (c, d)로 옮겨진다. ⁄ 일차변환 f에 의하여 점 (1, 1)이 점 (c, d)로 옮겨 지므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴‡ ¤ 일차변환 f에 의하여 점 (3, 0)이 점 (c, d)로 옮겨 지므로 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴‡ ㉢을 ㉠에 대입하면 12=4+a ∴ a=8 ㉣을 ㉡에 대입하면 3b=b-1 ∴ b=-b=- 을 ㉡에 대입하면 d=- -1=-∴ a+b+c+d=8-1₂+12-3₂=18 3 2 1 2 1 2 1 2 c=12 yy`㉢ d=3b yy`㉣ 12 3b 3 0 4 a b -1 c d c=4+a yy`㉠ d=b-1 yy`㉡ 4+a b-1 1 1 4 a b -1 c d 4 a b -1

9

1

p=2x+3y=1 q=4x+6y=2(2x+3y)=2 p=2x+3y q=4x+6y 2x+3y 4x+6y x y 2 3 4 6 p q 2 3 4 6 `다른 풀이` 직선의 방정식 x+2y=3에서 x+2y=3 HjK y=- x+ 이므로 직선 y=- x+ 위의 점을 {x, - x+ } 으로 놓을 수 있다. 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환을 f라 하면 f 에 의하여 직선 x+2y=3 위의 점 {x, - x+ }이 점 (c, d)로 옮겨지므로 ¶ •=¶ • = ∴ ㉠은 x에 대한 항등식이므로 4- =0, =c ∴ a=8, c=12 ㉡은 x에 대한 항등식이므로 b+ =0, - =d ∴ b=- , d=-∴ a+b+c+d=8- +12- =18 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환에 의하여 좌 표평면 위의 점 (x, y)가 옮겨지는 점을 (x', y')이라 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴‡ ㉠, ㉡을 연립하면 x'=-3x+6y yy`㉠ y'=x-2y yy`㉡ -3x+6y x-2y x y -3 6 1 -2 x' y' -3 6 1 -2

0

2

3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3a 2 a 2 c={4-;2A;}x+:23a: yy`㉠ d={b+;2!;}x-;2#; yy`㉡ ( { 9 º 4x-;2A;x+:23a: bx+;2!;x-;2#; ª

•

x -;2!;x+;2#;

¶

4 a b -1 c d 3 2 1 2 4 a b -1 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2

y'=- x' 이때 점 (x', y')은 직선 y=- x 위의 점이다. 따라서 좌표평면 위의 모든 점은 행렬 ¶ •로 나 타내어지는 일차변환에 의하여 직선 y=- x로 옮겨 진다. 역변환이 존재하지 않는 일차변환에 의하여 좌표평면은 원점을 지나는 직선으로 이동된다. 이때 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환의 역 변환이 존재하지 않으려면 행렬 ¶ •의 역행렬 이 존재하지 않아야 하므로 3¥a-(-2)¥(-3)=3a-6=0 ∴ a=2 따라서 a=2이므로 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환을 f라 할 때, 좌표평면 위의 점 (x, y)가 일차 변환 f에 의하여 점 (x', y')으로 옮겨진다고 하면 ¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴‡ ㉠, ㉡을 연립하면 y'=-x' 이때 점 (x', y')은 직선 y=-x 위의 점이다. 따라서 좌표평면 위의 모든 점이 일차변환 f에 의하여 직 선 y=-x로 옮겨지고, 이는 y=bx와 일치하므로 b=-1 ∴ a+b=2-1=1 일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 점이 자기 자신으로 옮겨지는 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 ¶ •=¶ •¶ • yy`㉠⋯ 점 P가 원점 이외에도 존재해야 하므로 ㉠은 x=0, y=0 이외의 해를 갖는다. 즉 해가 무수히 많다. 따라서 ㉠을 ¶ •¶ •=¶ •의 꼴로 나타내면 ¶a+1_{a a-1}3 •¶ •=¶x_y 1 0_{0 1}•¶ •x_y 0 0 x y p q r s x y 3 a-1 a+1 a x y

2

2

x'=3x-2y yy`㉠ y'=-3x+2y yy`㉡ 3x-2y -3x+2y x y 3 -2 -3 2 x' y' 3 -2 -3 2 3 -2 -3 a 3 -2 -3 a

1

2

1 3 -3 6 1 -2 1 3 1 3 Ⅰ 일차변환과 행렬

021

HjK ¶ •¶ •-¶ •¶ •=¶ • HjK ¶ •¶ •=¶ • yy`㉡⋯ ㉡이 x=0, y=0 이외의 해를 갖기 위해서는 행렬 ¶ •의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 a(a-2)-3a=0

∴ a¤ -5a=0 yy`㉢⋯

㉢에서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 a의 값의 합은 (모든 a의 값의 합)=- =5 일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 점이 자기 자신으로 옮겨지는 점을 P(x, y)라 하면 ¶ •=¶ •¶ • yy`㉠⋯ 이때 원점은 일차변환 f에 의하여 모두 원점으로 이동된 다. 그런데 주어진 조건에서 자기 자신으로 옮겨지는 점 P 가 2개 이상 존재한다는 것은 원점 이외에도 존재해야 하 므로 ㉠은 x=0, y=0 이외의 해를 갖는다. 즉 해가 무 수히 많다. 따라서 ㉠을 ¶ •¶ •=¶ •의 꼴로 나타내면 ¶ •¶ •=¶ •¶ • HjK ¶ •¶ •-¶ •¶ •=¶ • HjK ¶ •¶ •=¶ • yy`㉡⋯ ㉡이 x=0, y=0 이외의 해를 갖기 위해서는 행렬 ¶ •의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

a(a-2)-b(1-b)=0, a¤ -2a+b¤ -b=0

∴ (a-1)¤ +{b- }¤ = yy`㉢⋯ ㉢은 중심의 좌표가 {1, }이고, 반지름의 길이가 인 원이다. 따라서 구하는 점 (a, b)의 자취의 길이는 2p_'5_='5p 2 '5 2 1 2 5 4 1 2 b a-2 a 1-b 0 0 x y b a-2 a 1-b 0 0 x y 1 0 0 1 x y b a-1 a+1 1-b x y 1 0 0 1 x y b a-1 a+1 1-b 0 0 x y p q r s x y b a-1 a+1 1-b x y

3

2

-5 1 3 a-2 a a 0 0 x y 3 a-2 a a 0 0 x y 1 0 0 1 x y 3 a-1 a+1 a