+ =1
6
>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
⋯ ⋯1= + æ2æ≠ _ =
⋯ ⋯{단, 등호는 = 일 때 성립}
⋯ ⋯∴ ab…6 yy`㉡⋯
한편 직사각형의 넓이를 S라 하면
⋯ ⋯S=2a_2b=4ab…4_6=24(∵ ㉡)
따라서 구하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 24이다.
b¤
4¤
a¤
3¤
ab 6 b¤
4¤
a¤
3¤
b¤
4¤
a¤
3¤
b¤
4¤
a¤
3¤
05
타원의 평행이동7 + =1
8 + =1
9 초점의 좌표(1, '7-2), (1, -'7-2)
꼭짓점의 좌표 (4, -2), (-2, -2), (1, 2), (1, -6) 중심의 좌표(1, -2), (장축의 길이)`=8, (단축의 길이)`=6 그래프는 해설 참조
10 25 11 + =1
12 + =1
13 + =1 14 x¤ +y¤ =1
4 y¤
8 (x-1)¤
9
(y-1)¤
20 (x+5)¤
36
y¤
100 x¤
36 (y-1)¤
12 (x+1)¤
16
(y-3)¤
36 (x-2)¤
20
유제 pp. 82~85
두 초점 F(2, 7), F'(2, -1)로부터 거리의 합이 12인 타원의 개형은 다음 그림과 같다.
타원의 정의 이용
타원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 초 점 F, F'으로부터 거리의 합이 12이므로
⋯ ⋯PF”+P’F'”=12
x y
P(x, y)
F'(2, -1) F(2, 7)
O
7
방법1
Ⅱ이차곡선051
⋯ ⋯"√(x-2)¤ +(y-7)¤ +"√(x-2)¤ +(y+1)¤ =12
⋯ ⋯∴ "√(x-2)¤ +(y-7)¤ =12-"√(x-2)¤ +(y+1)¤
yy`㉠⋯
㉠의 양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯3"√(x-2)¤ √+(y+1)¤ =2y+12 yy`㉡⋯
㉡의 양변을 제곱하여 타원의 방정식을 구하면
⋯ ⋯9(x-2)¤ +5(y-3)¤ =180
⋯ ⋯∴ + =1
타원의 방정식 공식 이용
두 초점의 좌표가 y축과 평행한 직선 위에 있으므로 타원 의 방정식은
⋯ ⋯ + =1 (단, b>a>0) 타원의 중심 (m, n)은 FF”'Ú의 중점이므로
⋯ ⋯m= =2, n= =3
⋯ ⋯∴ m=2, n=3
중심과 초점 사이의 거리를 c라 하면
⋯ ⋯c=|3-(-1)|=4
장축의 길이는 거리의 합과 같으므로
⋯ ⋯2b=12 ∴ b=6 초점 구하는 공식에 의하여
⋯ ⋯c¤ =b¤ -a¤ Δ 4¤ =6¤ -a¤ ∴ a¤ =20 따라서 구하는 타원의 방정식은
⋯ ⋯ +(y-3)¤ =1 36 (x-2)¤
20
7+(-1) 2 2+2
2
(y-n)¤
b¤
(x-m)¤
a¤
(y-3)¤
36 (x-2)¤
20
⋯ ⋯2"√(x+3)¤ √+(y-1)¤ =x+9 yy`㉡⋯
㉡의 양변을 제곱하여 타원의 방정식을 구하면
⋯ ⋯3(x+1)¤ +4(y-1)¤ =48
⋯ ⋯∴ + =1
타원의 방정식 공식 이용
두 초점의 좌표가 x축과 평행한 직선 위에 있으므로 타원 의 방정식은
⋯ ⋯ + =1 (단, a>b>0) 타원의 중심 (m, n)은 FF”'Ú의 중점이므로
⋯ ⋯m= =-1, n= =1
⋯ ⋯∴ m=-1, n=1
중심과 초점 사이의 거리를 c라 하면
⋯ ⋯c=|1-(-1)|=2
장축의 길이는 거리의 합과 같으므로
⋯ ⋯2a=8⋯ ⋯∴ a=4 초점 구하는 공식에 의하여
⋯ ⋯c¤ =a¤ -b¤ Δ 2¤ =4¤ -b¤ ∴ b¤ =12 따라서 구하는 타원의 방정식은
⋯ ⋯ +(y-1)¤ =1 12 (x+1)¤
16
1+1 2 1+(-3)
2
(y-n)¤
b¤
(x-m)¤
a¤
(y-1)¤
12 (x+1)¤
16
타원의 방정식 16x¤ +9y¤ -32x+36y-92=0을
+ =1의 꼴로 변형하면
16(x¤ -2x+1)+9(y¤ +4y+4)=144 16(x-1)¤ +9(y+2)¤ =144
∴ + =1 yy`㉠⋯
타원 ㉠은 타원 + =1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이므로 타원
+ =1을 이용하여 타원 ㉠`의 초점의 좌표, 꼭짓점 의 좌표, 중심의 좌표, 장축의 길이, 단축의 길이를 구하고 그래프를 그리면 다음과 같다.
y¤
16 x¤
9
y¤
16 x¤
9
(y+2)¤
16 (x-1)¤
9 (y-n)¤
b¤
(x-m)¤
a¤
9
두 초점의 좌표가 F(1, 1), F'(-3, 1)이고, 한 점 A(3, 1)을 지나므로 두 초점으로부터 거리의 합은
⋯ ⋯AF”+A’F'”="√(3-1)¤ +"√{3-(-3)}¤ =8 이때 타원의 개형은 다음 그림과 같다.
타원의 정의 이용
타원 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하면 점 P에서 두 초 점 F, F'으로부터 거리의 합이 8이므로
⋯ ⋯PF”+P’F'”=8
⋯ ⋯"√(x-1)¤ +(y-1)¤ +"√(x+3)¤ +(y-1)¤ =8
⋯ ⋯∴ "√(x-1)¤ +(y-1)¤ =8-"√(x+3)¤ +(y-1)¤
yy`㉠⋯
㉠의 양변을 제곱하여 정리하면 F(1, 1)
P(x, y) A(3, 1)
F'(-3, 1) x
y
O
8
방법2
방법2
방법1
초점의 좌표 (0, '7 ), (0, -'7 ) 꼭짓점의 좌표 (3, 0), (-3, 0)
(0, 4), (0, -4) 중심의 좌표 (0, 0)
(장축의 길이)=2_4=8 (단축의 길이)=2_3=6
·
| {
| ª
+y¤ =1 16 x¤
9
정답과해설052
⋯ ⋯PF”：PH”=2：3
⋯ ⋯"√(x+1)¤ √+(y-1)¤ ：|4-x|=2：3
Ⅱ이차곡선053 두 원 x¤ +y¤ =25와
(x-2)¤ +y¤ =1의 중심 을 각각 O, O'이라 하면
⋯ ⋯O(0, 0), O'(2, 0) 따라서 세 원 O, O', C 를 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
이때 원 C의 중심을
C(x, y), 반지름의 길이를 r라 하면
⋯ ⋯OC”=5-r yy`㉠⋯
⋯ ⋯O’'C”=1+r yy`㉡⋯
㉠+㉡을 하면
⋯ ⋯OC”+O'C”=6 yy`㉢⋯
따라서 점 C의 자취는 두 초점 O, O'으로부터 거리의 합 이 6인 타원이다.
㉢에 의하여
⋯ ⋯"√x¤ +≈y¤ +"(√x-2√)¤ +≈y¤ =6
⋯ ⋯∴ "√x¤ +≈y¤ =6-"(√x-2√)¤ +≈y¤
양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯3"(√x-2√)¤ +≈y¤ =-x+10 양변을 제곱하여 정리하면
⋯ ⋯8(x-1)¤ +9y¤ =72
⋯ ⋯∴ +y¤ =1 8 (x-1)¤
9
-5 O
-5 5
5 r C(x, y)
x y
2 1 3
O'
3 1
원 x¤ +y¤ =1 위의 점 P(x, y)를 x축의 방 향으로 2배 확대한 도형 위의 점을 P'(x', y')이 라 하면
x'=2x
∴ x= x' y'=y
∴ y=y'
한편 점 P는 원 x¤ +y¤ =1 위의 점이므로 { x'}¤
+y'¤ =1
∴ x'¤ +y'¤ =1
점 P'(x', y')은 타원 x¤ +y¤ =1 위의 점이므로 구하 는 도형의 방정식은
+y¤ =1 x¤
4
1 4 1
4 1 2
1 2
4 1
x y
O
P'(x', y') P(x, y)
-1 -2
-1 1 2 1
x™ +y™
=1