=
오른쪽 그림과 같이 BC”의 중점 을 M이라 하면 △ABC,
△FCB는 정삼각형이므로 A’M”⊥BC”, F’M”⊥BC”
따라서 평면 ABC와 평면 FCB가 이루는 각의 크기 h는
∠AMF의 크기와 같다.
이때 정팔면체의 한 모서리의 길이를 2a라 하면 A’M”=øπAB” ¤ -B’M”” ¤
="√(2a)¤ -a¤ ='3a F’M”=øπFB” ¤ -B’M”” ¤
="√(2a)¤ -a¤ ='3a
한편 □ABFD는 정사각형이고, 선분 AF는 정사각형 ABFD의 대각선이므로
AF”=øπAB” ¤ +B’F”” ¤ ="√(2a)¤ +(2a)¤ =2'2a 따라서 △AMF에서 코사인법칙에 의하여
cos h=
= =-1
3 ('3a)¤ +('3a)¤ -(2'2a)¤
2_'3a_'3a A’M” ¤ +F’M” ¤ -AF” ¤
2_A’M”_F’M”
A
F D C
h M
B 2a
a E
8 1
'3 3
('3a)¤ +(2a)¤ -('3a)¤
2_'3a_2a A’M”¤ +MÚN”¤ -AN”¤
2_A’M”_MÚN”
2a
2a a
h M
N A
D
C B
a E
7 1
2a '3a '3a
A
M h N
03
정사영19 20 21 2'2, 4 22 2'2 23 325
24 1 25 5'3å4p 26 27 28 3'5 29 '1å3 30 3'3å1
'6 6 '2
4 '3
2 '1å3
13
유제 pp. 144~148
오른쪽 그림과 같이 점 M의 평면 DEF 위로의 정사영을 H라 하면 직선 MG와 평면 DEF가 이루는 각의 크기 h는 MG”와 HG”가 이루 는 ∠MGH의 크기와 같으므로
h=∠MGH
이때 점 M은 AB”의 중점이므로 점 H는 DE”의 중점이다.
따라서 FH”는 무게중심 G를 지나고 FH”는 정삼각형 DEF의 높이이므로
FH”= _6=3'3 FG”：GH”=2：1이므로
GH”= _FH”= _3'3='3
또한 MH”=6이고 △MHG는 직각삼각형이므로 MG”=øπM’H” ¤ +GH” ¤ =øπ6¤ +('3)¤ ='3å9 cos h= = =
오른쪽 그림과 같이 DE”의 중점 을 M이라 하면 △AED는 이 등변삼각형이므로
A’M”⊥D’M”
이때 주어진 정육면체의 한 모 서리의 길이를 a라 하면
AC”="√a¤ +a¤ ='2a yy㉠ A’M”= AH”= AC”= a yy㉡
AH”=DE”이므로 D’M”=A’M”= a
또 □DEFC는 직사각형이므로 직각삼각형 CDM에 의 하여
C’M”=øπCD” ¤ +D’M” ¤
=æ≠a¤ +{ a}2 ='6a yy㉢ 2
'2 2
'2 2 '2
2 1
2 1
2
A
a
D C
B h
E F
H G M
0 2
'1å3 13 '3 '3å9 GH”
MG”
1 3 1
3 '3
2
M A
D H
6 B C
E F
h G
9
1
Ⅲ공간도형과공간좌표087
㉡, ㉢`에서
A’M” ¤ +C’M” ¤ ={ a}2 +{ a}2 =2a¤ yy ㉣
㉠, ㉣``에 의하여 A’M” ¤ +C’M” ¤ =AC” ¤
즉 △AMC는 ∠AMC=90˘인 직각삼각형이므로 A’M”⊥MC”
따라서 직선 AC와 평면 CDEF가 이루는 각의 크기는 두 직선 AC와 CM이 이루는 ∠ACM의 크기와 같다.
따라서 구하는 cos h의 값은
cos h= = =
원 S의 평면 b 위로의 정사영이 타원 S'이 될 때 타원 S'의 장축의 길이는 원 S의 지름의 길이와 같으므로 원 S의 반지름의 길이는
4'2_ =2'2
이때 타원 S'의 단축의 길이는 원 S의 지름의 길이를 주 어진 각도만큼 정사영한 길이와 같으므로 타원 S'의 단축 의 길이는
4'2 cos 45˘=4'2_ =4
오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이 가 2인 정육면체에서 대각선 AG의 평면 EFGH 위로의 정사영은 선분 EG이므로 구하는 정사영의 길이는
EG”=øπEF” ¤ +FG” ¤
="√2¤ +2¤ =2'2
다음 그림과 같이 평면 a 위에 AC”//l, BC”⊥l이 되도록 점 C를 잡고 AB”, BC”의 평면 b 위로의 정사영을 각각 A’'B'”, B’'C'”이라 하자.
이때 △ABC는 직각삼각형이므로 AC”=AB”¥cos 60˘=10¥ =5
BC”=AB”¥sin 60˘=10¥'3=5'3 2 1 2 A
A' 60˘
60˘
30˘
B
B' C' C
l a
b
3 2
A
D C
B
E F
H G
2 2
1 '2 1
2
1 2
'3 2 12a'62 112'2a C’M”
AC”
'6 2 '2
2
또 △A'B'C'은 △ABC의 평면 b 위로의 정사영이므로 A’'C'”=AC”¥cos 0˘=5
B’'C'”=BC”¥cos 30˘=5'3¥ =
△A'B'C'은 직각삼각형이므로
A’'B'”=øπA’'C'”¤ +B’'C'”¤ =Æ…5¤ +{ }2 =Æ…
따라서 k=Æ… 이므로 4k¤ =325
오른쪽 그림과 같이 BC”, DE”의 중점을 각각 M, N이라 하면
A’M”⊥BC”, A’N”⊥DE”
이때 △ABM, △ADN은 직각 삼각형이므로
AM”=AN”=øπAB” ¤ -B’M” ¤
="√3¤ -1¤ =2'2
CD” // MN”이므로 MN”=CD”=2
한편 두 평면 ABC, BCDE가 이루는 각의 크기는
∠AMN이므로 ∠AMN=h라 하면
△AMN에서 코사인법칙에 의하여 cos h=
= = =
따라서 △ABC의 넓이를S, 정사영의 넓이를S'이라 하면 S'=S cos h={ ¥2¥2'2}¥ =1
`다른 풀이`
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 서 □BCDE에 내린 수선의 발 을 H라 하면 점 H는 □BCDE 의 두 대각선의 교점이 된다.
따라서 △ABC의 평면 BCDE 위로의 정사영은 △BCH이고
△BCH= □BCDE 이므로 △BCH의 넓이는
△BCH= □BCDE= _2¤ =1
오른쪽 그림과 같이 △ABC는 직각삼각형이므로
AB”="1√0¤ +≈6¤ =2'3å4
6 B 10
A
h C
5 2
1 4 1
4 1 4
A
B E
H 3 3 D
2 C '2
4 1
2
'2 4 1 2'2 (2'2)¤ +2¤ -(2'2)¤
2_2'2_2 A’M” ¤ +M’N” ¤ -AN” ¤
2_A’M”_M’N”
A
B
3 3 D
M C 1
Eh N
4 2
325 4
325 4 15
2 15
2 '3
2
정답과해설088 MN”=CF”="√4¤ +4¤ =4'2 마름모 AMGN의 넓이를 S라 하면
S= _AG”_M’N”
=1_4'3_4'2=8'6 2
A’A'”=4, A’'M”=1, ∠AA'M=60˘
이므로 코사인법칙에 의하여
A’M”=øπA’A'”¤ +A’'M”¤ π-2¥A’A'”¥A’'M” π¥cos 60˘
=æ≠4¤ +1¤ -2¥4¥1≠¥ ='1å3
PQ”=Æ…OP”¤ +OQ”¤ -2¥OP”¥…OQ”¥cos p
=Æ…15¤ +3¤ -2¥15¥3¥{…- }
Ⅲ공간도형과공간좌표089
1 ① 2 ② 3 3'3 4 4'5 5
6 7 8 '1å9 9 6개 10 ④
11 25 12 16+4'3p 13 1 4 2
3 '3
3
'2å1 3 pp. 149~151
연습 문제
주어진 세 점 A, H, I와 모서리 EF로 평면이 결정되는 경우는 다음 두 가지로 나누어 생각할 수 있다.
⁄세 점으로 결정되는 평면의 개수 1개
¤한 점과 한 직선으로 결정되는 평면의 개수
£C¡_1=3(개)
⁄, ¤에서 만들 수 있는 서로 다른 평면의 개수는 1+3=4(개)
ㄱ. [반례] 오른쪽 그림에서 l // a, l // b이지만 a \// b 이다. (∴ 거짓)
ㄴ. 오른쪽 그림에서 l⊥a, l⊥b이면 a //b 이다. (∴ 참)
ㄷ. [반례] 오른쪽 그림에서 l // a, m // b, l // m이지만 a// b 이다. (∴ 거짓)\
따라서보기에서 옳은 것은 ㄴ이다.
`다른 풀이`
ㄱ. [반례] 오른쪽 그림에서 l // a, l // b 이지만 a \// b 이다. (∴ 거짓)
ㄴ. 오른쪽 그림에서 l⊥a, l⊥b이면 a// b이다. (∴ 참)
ㄷ. [반례] 오른쪽 그림에서 l // a, m // b, l // m이지 만 a \// b 이다. (∴ 거짓) 따라서보기에서 옳은 것은 ㄴ이다.
m
a
l b
l
a
b
l a
b
m al
b l
a b
l
a b
2 1
주어진 조건에서 AD”⊥a, DP”⊥BC”
이므로 삼수선의 정리에 의하여 AP”⊥BC”
따라서 △ABP는 직각삼각형 이므로
AP”=øπAB”¤ -BP”¤ ="1√2¤ -≈9¤ =3'7 또한 △APD도 직각삼각형이므로
PD”=øπAP”¤ -AD”¤ =øπ(3'7)¤ -6¤ =3'3
오른쪽 그림과 같이 △ABC 에서 ∠BAC=45˘이므로
AB”=BC”=4
또한 △BCD는 직각삼각형 이고 ∠BDC=30˘이므로
BD”= = =8
또한 AB”⊥a에서 AB”⊥BD”이므로 △ABD는 직각삼 각형이다.
∴ AD”=øπAB”¤ +BD”¤ ="√4¤ +8¤ =4'5
∠FCM=90˘이므로 직각삼각형 FMC에서
MÚFÚ=øπ FC” ¤ +MÚC” ¤
=æa¤ ≠+{ a}2 = a
∴ cos h= = =
∴ sec h= = =
오른쪽 그림과 같이 정사면체의 꼭 짓점 B에서 평면 ACD 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 직선 AB 와 평면 ACD가 이루는 각의 크기 는 두 직선 AB와 AH가 이루는
∠BAH의 크기와 같다.
∴ h=∠BAH
이때 CD”의 중점을 M이라 하면 점 H는 사면체의 성질 에 의하여 △ACD의 무게중심이므로 A’M” 위에 있다.
따라서 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 A
D M H
C h B
a
6
'2å1 3 '7 '3 1 cos h
'3 '7 12a'32 12a'72 MÚC’
MÚF’
'7 2 '3
2
a A
D
C
B E
M
F
h
'3 a2
5
4
;2!;
BC”
sin 30˘
B 4
8 4 C
D A
a
30˘
4
45˘12 6 9
A
C D B
a P
3
정답과해설090정답과해설090
A’M”= a
A’H”= A’M”= ¥ a= a
△ABH는 직각삼각형이므로
cos h= = =
평면 HFG와 평면 BEG가 이루는 각의 크기는 평면 EFGH와 평면 BEG가 이루는 각의 크기와 같다.
따라서 △BEG의 꼭짓점 B 에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 P라 하면
BF”⊥(평면 EFG), BP”⊥EG”
이므로삼수선의정리에의하여 PF”⊥EG”
즉 평면 EFGH와 평면 BEG가 이루는 각의 크기 h는 PF”와 BP”가 이루는 ∠BPF의 크기와 같다.
∴ h=∠BPF
이때 △EFG는 직각삼각형이므로 EG”=øπEF”¤ +GF” ¤
="√20¤ +10¤ =10'5 따라서 △EFG의 넓이를 이용하 여 PF”의 길이를 구하면
△EFG= ¥EF” ¥ FG”
= ¥EG” ¥ PF”
¥20¥10= ¥10'5¥ PF”
∴ PF”=4'5
따라서 △BPF는 직각삼각형이므로
BP”=øπP’F’¤ +BF”¤ ="(√4'5√)¤ +ç10¤ =6'5
∴ cos h= = =
오른쪽 그림과 같이 정사면체의 각 면은 정삼각형이므로
AE”⊥BC”, DE”⊥BC”
∴ AE”=DE”
= ¥6
=3'3 '3 2
3 6
A
B E
D F
C
8
2 3 4'5 6'5 PF”
BP”
1 2 1
2
1 2 1
2 20
10
E F
P G 5 10 A
P D 10 20
10
C B
E F
H G
h
7
'3 3 12a'33 112a AH”
AB”
'3 3 '3
2 2 3 2
3 '3
2
따라서 △ADE는 이등변삼각형이 므로 오른쪽 그림과 같이 AD”의 중 점을 G라 하면
AG”=DG”=3 AF”=6_ =2
∴ FG”=AG”-AF”=3-2=1 이때 △EAG는 직각삼각형이므로
EG”=øπAE”¤ -AG”¤
="(√3'3)¤ -3¤ =3'2 따라서 △EFG는 직각삼각형이므로
EF”=øπEG”¤ +FG”¤
="√(3'2)¤ +1¤ ='1å9
주어진 조건에서 두 평면 a, b가 한 직선을 공유하고, 두 평면 b, c가 수직일 때 나누어지는 공간의 개수는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.
⁄ 두 평면 a, b가 수직이 아닌 경우, 세 평면 a, b, c의 위치 관계가 오른쪽 그림과 같을 때 나누어지는 공간의 개수가 최 소이므로 그 개수는 6개이다.
¤ 두 평면 a, b가 수직인 경우, 세 평면 a, b, c의 위치 관 계가 오른쪽 그림과 같을 때 나누어지는 공간의 개수가 최소이므로 그 개수는 6개이 다.
⁄, ¤에 의하여 구하는 공간의 최소 개수는 6개
오른쪽 그림과 같이 모선 CA로 원뿔을 자른 전개도에 서 최단 거리는 직선 거리인 AB”의 길이와 같다.
이때 점 C에서 AB”에 가장
가까운 지점을 D라 하면 CD”⊥AB”이므로 점 A에서 점 D까지는 오르막길이고, 점 D에서 점 B까지는 내리막길 이 된다.
한편 ∠ACA'=h라 하면 부채꼴 CAA'의 호의 길이와 밑면인 원의 둘레의 길이가 같으므로
60h=2p¥20 ∴ h=2p 3
A
A' h D
50 60
C B
20
0 1
a c
b a b
c
9
1 3
A D
E
G F 3 3
6 3 3
Ⅲ공간도형과공간좌표091 이때 △ABC에서 코사인법칙에 의하여
AB”=Æ…AC”¤ +CB”¤ -2¥AC”…¥CB”¥cos p
=Æ…60¤ +50¤ -2¥60¥50¥…{- }
='ƒ9100=10'9å1
△ACB의 넓이를 이용하여 CD”의 길이를 구하면
△ACB= ¥AC”¥BC”¥sin p= ¥AB”¥CD”
¥60¥50¥ = ¥10'9å1¥CD”
∴ CD”=
따라서 △CDB는 직각삼각형이므로 BD”=øπBC”¤ -CD”¤
=æ≠50¤ -{ }2 =
오른쪽 그림과 같이 두 모서리 AC와 BD에 평행한 평면 PQRS로 정사면체를 잘랐을 때 생기는 단면은 직사각형이므로 그 넓이를 S라 하면
S=P’Q” ¥ P’S’ yy`㉠
한편 PS”//BD”이므로
∠APS=∠ABD=60˘
∠ASP=∠ADB=60˘
또한 PQ”//AC”이므로
∠BPQ=∠BAC=60˘
∠BQP=∠BCA=60˘
따라서 △APS와 △BPQ는 정삼각형이므로 P’S’=x라 하면
P’Q’=P’B’=10-AP”=10-P’S’=10-x
∴ S=x(10-x) (∵ ㉠)
=-x¤ +10x
=-(x-5)¤ +25
따라서 구하는 넓이의 최댓값은 P’S’=5일 때, 25이다.
오른쪽 그림과 같이 직원뿔 의 정사영의 넓이는 직원뿔 의 모선으로 만들어지는 삼 각형의 정사영의 넓이와 밑 면의 반원으로 만들어지는 정사영의 넓이의 합과 같다.
60˘
8
a 4
2 1
A
10 x
10-x P
Q R
S D
C B
1 1
400'9å1 91 150'3
'9å1 150'3
'9å1 1 2 '3
2 1
2
1 2 2 3 1
2
1 2
2 3
⁄삼각형의 정사영의 넓이
삼각형과 평면 a가 이루는 각의 크기가 60˘이므로 { ¥8¥8}¥cos 60˘=16
¤밑면인 반원의 정사영의 넓이
다음 그림과 같이 반원과 평면 a가 이루는 각의 크기 가 30˘이므로
{ ¥4¤ ¥p}¥cos 30˘=4'3p
⁄, ¤에 의하여 구하는 정사영의 넓이는 16+4'3p
다음 그림과 같이 점 P에서 평면 ADEB에 내린 수선의 발을 H라 하고, 선분 DE와 평행하고 점 H를 지나는 직 선이 선분 AD와 만나는 점을 R라 하자.
PH”⊥(평면 ADEB), HR”⊥AD”이므로 삼수선의 정리에 의하여
PR”⊥AD”
또 AC”⊥AD”이고 ∠CAP=60˘이므로
∠PAD=30˘
이때 AP”=a라 하면 △APR는 직각삼각형이므로 PR”=a¥sin 30˘=
또한 △PHR는 직각삼각형이므로 PH”=PR”¥sin 30˘= ¥ =
즉 AP”와 평면 ADEB가 이루는 각의 크기 h는 PA”와 AH”가 이루는 각 ∠PAH의 크기와 같다.
따라서 △PAH는 직각삼각형이므로
sin h= = =1 4 a 4 a PH”
PA”
a 4 1 2 a 2 a 2
A P
B C
D R
E F H
60˘
30˘ 30˘
30˘
h
3 1
1 2
60˘
8
a 30˘
60˘
1 2
두 점 A(4, -3, 1), B(-1, 3, -4)에 대하여
⑴ 점 P가 y축 위에 있으므로 P(0, b, 0) 점 P가 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있으므로
AP”=BP” ∴ AP”¤ =BP”¤
AP”¤ , BP”¤ 을 각각 구하면
AP”¤ =(0-4)¤ +{b-(-3)}¤ +(0-1)¤`
AP”¤=b¤ +6b+26 yy`㉠⋯
BP”¤ ={0-(-1)}¤ +(b-3)¤ +{0-(-4)}¤
BP”¤=b¤ -6b+26 yy`㉡⋯
㉠=㉡이므로
b¤ +6b+26=b¤ -6b+26 ∴ b=0 따라서 구하는 점 P의 좌표는 P(0, 0, 0)
⑵ 점 Q가 xy평면 위에 있으므로 Q(a, b, 0)
점 Q가 세 점 A, B, O로부터 같은 거리에 있으므로 OQ”=AQ”=BQ”
∴ OQ”¤ =AQ”¤ =BQ”¤ yy`㉠⋯
OQ” ¤ , AQ”¤ , BQ”¤ 을 각각 구하면 OQ” ¤ =a¤ +b¤
⑶ AQ” ¤ =(a-4)¤ +{b-(-3)}¤ +(0-1)¤
=(a-4)¤ +(b+3)¤ +1
⑶ BQ” ¤ ={a-(-1)}¤ +(b-3)¤ +{0-(-4)}¤
=(a+1)¤ +(b-3)¤ +16
⑶㉠에서 OQ”¤ =AQ”¤ 이므로
a¤ +b¤ =(a-4)¤ +(b+3)¤ +1
∴ 4a-3b=13 yy`㉡⋯
⑶㉠에서 OQ”¤ =BQ”¤ 이므로
a¤ +b¤ =(a+1)¤ +(b-3)¤ +16
∴ a-3b=-13 yy`㉢⋯
⑶㉡, ㉢을 연립하면
⑶ a= , b=
⑶따라서 구하는 점 Q의 좌표는 Q { , , 0}
점 C는 zx평면 위에 있으므로 C(a, 0, c)
△ABC는 정삼각형이므로
AC” ¤ =BC” ¤ =AB” ¤ yy㉠⋯
이때 AB”¤ 을 구하면
AB” ¤ =(2-1)¤ +(-1-1)¤ +(3-2)¤ =6
㉠`에 의하여 AC”¤ =BC”¤ =6이므로
AC” ¤ =(a-1)¤ +(0-1)¤ +(c-2)¤ =6
∴ (a-1)¤ +(c-2)¤ =5 yy㉡⋯
2
65 9 26
3 65
9 26
3
1
정답과해설092
1 ⑴ P(0, 0, 0) ⑵ Q{ , , 0}
2 C(0, 0, 4) 또는 C(3, 0, 1) 3 ⑴ 2'6 ⑵ 2'2å1 4 '2å2+'3å4 5 6 '1å0
10 '2
2 65
9 26
3
유제 pp. 156~158