91 방법1 - 개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설

Ⅱ이차곡선069 D=0 Δ

={2(m¤ -m)}¤ -(2-m¤ )(-4m¤ +8m)=0 m(3m-4)=0

∴ m=0 또는 m= yy`㉢⋯

㉢을 ㉠에 대입하면

y=2 또는 y= x-2 3 4 3

4 3 D

4 쌍곡선의 방정식 2x¤ -y¤ =-4를 - =-1의 꼴로

나타내면

- =-1 Δ a¤ =2, b¤ =4 yy`㉡⋯

㉡을 ㉠에 대입하면

y=mx—"√4-2m¤ yy`㉢⋯

접선 ㉢이 점 (2, 2)를 지나므로 2=2m—"√4-2m¤

∴ m=0 또는 m=

⁄ m=0을 ㉢에 대입하면 y=—2

¤ m= 를 ㉢에 대입하면 y= x—

그런데 두 직선 y=-2, y= x+ 는 점 (2, 2)를 지나지 않으므로 구하는 접선의 방정식은

y=2 또는 y=

x-접점이 주어질 때의 공식 이용 접점을 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은

2x¡x-y¡y=-4 yy`㉠⋯

점 (2, 2)는 접선 ㉠ 위의 점이므로 4x¡-2y¡=-4

∴ y¡=2x¡+2 yy`㉡⋯

접점 (x¡, y¡)이 쌍곡선 2x¤ -y¤ =-4 위의 점이므로

2x¡¤ -y¡¤ =-4 yy`㉢⋯

㉡, ㉢을 연립하여 풀면

x¡=0, y¡=2 또는 x¡=-4, y¡=-6

⁄ x¡=0, y¡=2를 ㉠에 대입하면 y=2

¤ x¡=-4, y¡=-6을 ㉠에 대입하면

x-판별식 이용

점 (2, 2)를 지나고, 기울기가 m인 직선의 방정식은 y=m(x-2)+2

∴ y=mx-2m+2 yy`㉠⋯

쌍곡선의 방정식 2x¤ -y¤ =-4와 직선의 방정식 ㉠을 연 립하면

2x¤ -(mx-2m+2)¤ =-4

∴ (2-m¤ )x¤ +4(m¤ -m)x-4m¤ +8m=0 yy`㉡⋯

쌍곡선 2x¤ -y¤ =-4와 직선 ㉠이 접하려면 교점이 1개 이어야 하므로 이차방정식 ㉡의 판별식 D의 부호는

2 3 4 3

2 3 4 3 4

4 3 y¤

4 x¤

y¤

b¤

x¤

a¤

방법3

방법2 1 - =1 2 - =-1

3 ④ 4 k>-1 5 -2…k…2 6 ④ 7 ④ 8 9 '2 10 '∂185-8

11 ③ 12 x¤ -y¤ =1 (단, x<0) 13 ③ 8

3 4

(y-1)¤

4 x¤

9 y¤

51 x¤

pp. 115~117

연습 문제

점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면

|PA”-PB”|=14

|"(√x-√10)¤ ç+≈y¤ -"(√x+1√0)¤ ç+≈y¤ |=14

∴ "(√x-√10)¤ ç+≈y¤ =—14+"(√x+1√0)¤ ç+≈y¤

yy`㉠⋯

㉠의 양변을 제곱하여 정리하면

-10x-49=—7"(√x+1√0)¤ ç+≈y¤ yy`㉡⋯

㉡의 양변을 제곱하여 정리하면 51x¤ -49y¤ =2499

따라서 점 P가 나타내는 도형의 방정식은 -y¤ =1

51 x¤

1

점근선의 방정식이

⋯ ⋯y= x+1, y=- x+1 yy`㉠⋯

이고 점 (0, 3)을 지나는 쌍곡선의 개형은 다음 그림과 같으므로 쌍곡선의 방정식은

⋯ ⋯ -(y-n)¤ =-1 (단, a>0, b>0) b¤

(x-m)¤

a¤

2 3 2

2

정답과해설070

쌍곡선의 방정식 3x¤ -y¤ -6x-4y=19를

- =—1의 꼴로 변형하면

3(x¤ -2x+1)-(y¤ +4y+4)=18 3(x-1)¤ -(y+2)¤ =18

∴ - =1 yy`㉠⋯

쌍곡선 ㉠은 쌍곡선 - =1을 평행이동한 것이므 로 쌍곡선 ㉠의 두 점근선이 이루는 각의 크기는 쌍곡선

- =1의 두 점근선이 이루는 각의 크기와 같다.

이때 쌍곡선 - =1의 점근선의 방정식은

y=— x=—'3x 그런데 tan 60˘='3이므로 x축의 양의 방향과 두 점근 선이 이루는 각의 크기는

60˘, 120˘

따라서 두 점근선이 이루는 예각의 크기 h는

x y=-'3xy y='3x

O 60˘ h60˘

'1å8 '6

y¤

18 x¤

6 y¤

18 x¤

y¤

18 x¤

6 (y+2)¤

18 (x-1)¤

6 (y-n)¤

b¤

(x-m)¤

a¤

3

방정식 x¤ -y¤ +2y+k=0을 변형하면 x¤ -(y¤ -2y+1)=-1-k x¤ -(y-1)¤ =-1-k

쌍곡선의 주축이 y축에 평행하려면 위의 식이

- =-1

의 꼴이어야 하므로

-1-k<0 ∴ k>-1 (y-1)¤

b¤

x¤

a¤

4

h=60˘

∴ sin h='3 2

쌍곡선 x¤ - =-1은 쌍곡선 x¤ - =-1을 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 쌍곡선 x¤ - =-1의 점근선은 쌍곡선 x¤ - =-1의 점근선 y=—2x를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한

⋯ ⋯y=—2x+3 Δ y=2x+3, y=-2x+3

이다. 이때 직선 y=kx+3이 쌍곡선과 만나지 않는 경우 는 두 점근선과 일치하거나 다음 그림과 같은 범위에 존재 할 때이다.

따라서구하는상수 k의값의범위는 -2…k…2

x y=-2x+3 y y=2x+3

y=kx+3

- =-1

x™ (y-3)™ 4

O 3

y¤

4 (y-3)¤

y¤

4 (y-3)¤

5

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

이때 쌍곡선의 중심 (m, n)이 (0, 1)과 일치하므로

⋯ ⋯m=0, n=1 따라서 쌍곡선의 방정식은

⋯ ⋯ - =-1 yy`㉡⋯

또한 점근선의 방정식은

⋯ ⋯y= x+1, y=- x+1 이는 ㉠과 일치하므로

⋯ ⋯ = ⋯ ⋯∴ 4a¤ =9b¤ yy`㉢⋯

쌍곡선 ㉡은 점 (0, 3)을 지나므로

⋯ ⋯0- =-1⋯ ⋯∴ b¤ =4 yy`㉣⋯

㉢, ㉣을 연립하면⋯ ⋯a¤ =9, b¤ =4

이를 ㉡에 대입하면⋯ ⋯ -(y-1)¤ =-1 4

x¤

9 (3-1)¤

b¤

2 3 b a

b a b

a (y-1)¤

b¤

x¤

a¤

x y

y=-x+1

3 3

y=--x+1₃² 1

오른쪽 그림과 같이

⋯ ⋯P’F¡”=a, P’F™”=b (a>b) 라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여

⋯ ⋯a-b=(주축의 길이)

=4 yy`㉠

오른쪽 그림과 같이

⋯ ⋯P’F£”=c, P’F¢”=d (d>c) 라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여

⋯ ⋯d-c=(주축의 길이)

=10 yy`㉡

㉠-㉡을 하면

⋯ ⋯(a-b)-(d-c)=-6

x c

d y

O P

F¢

F£

-5

a b

F¡ O F™

2 -2

6

Ⅱ이차곡선071

⋯ ⋯∴ (a+c)-(b+d)=-6 yy`㉢⋯

주어진 조건에서 P’F¡”+P’F£”=10이므로

⋯ ⋯a+c=10 이를 ㉢에 대입하면

⋯ ⋯10-(b+d)=-6⋯ ⋯∴ b+d=16

⋯ ⋯∴ P’F™”+P’F¢”=16

쌍곡선 - =1의 접점을 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은

- =1

이 접선이 점 P(0, 2)를 지나므로

0-y¡=1 ∴ y¡=-1 yy`㉠⋯

한편 접점 (x¡, y¡)은 쌍곡선 위의 점이므로

- =1 yy`㉡⋯

㉠을 ㉡에 대입하면

- =1 ∴ x¡=—3 즉 구하는 접점 A, B의 좌표는

A(-3, -1), B(3, -1)

따라서 주어진 조건을 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

∴ △PAB= _AB”_3

=1_6_3=9 2

1 2

x y

- =1 x™

6 y™

A(-3, -1) -1

B(3, -1) O

P(0, 2) (-1)¤

2 x¡¤

6 y¡¤

2 x¡¤

6 y¡y

2 x¡x

6 y¤

2 x¤

7

쌍곡선의 방정식 x¤ -y¤ =1은 - =1의 꼴에서 a¤ =1, b¤ =1

우변이 1일 때, 초점은 x축 위에 있으므로 초점의 좌표를 F'(-c, 0), F(c, 0)(c>0)

이라 하면 초점 구하는 공식에 의하여

c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =1+1=2 ∴ c='2

∴ F('2, 0), F'(-'2, 0) 두 초점 F, F' 사이의 거리 F’F'”은

FF'”=2'2

주어진 조건에서 AF'”：AF”=2：1이므로 AF'”=2k, AF”=k (k>0)

y¤

b¤

x¤

8

a¤

라 할 때, 쌍곡선의 정의에 의하여

|A’F'”-AF”|=(주축의 길이) 2k-k=2 ∴ k=2

∴ A’F'”=4, AF”=2

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

따라서 △AF'F에서 코사인법칙에 의하여 cos h=

cosh= =3

4 4¤ +2¤ -(2'2)¤

2_4_2 AF'” ¤ +AF” ¤ -F'F” ¤

2_AF'”_AF”

x y

x™ -y™

=1 4

h 2'2

O 2

F('2, 0) F'(-'2, 0)

타원 +y¤ =1 위의 점 P(x¡, y¡)에서의 접선의 방정 식은

+y¡y=1 Δ (접선의

기울기)=-또한 쌍곡선 x¤ - =1 위의 점 P(x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은

x¡x- =1 Δ (접선의 기울기)=

이때 두 접선이 서로 수직이므로

{- }_ =-1

∴ =

∴ y¡='2 (∵ x¡>0, y¡>0) x¡

1 2 x¡¤

y¡¤

2a¤ x¡

y¡

x¡

a¤ y¡

2a¤ x¡

y¡

y¡y 2a¤

y¤

2a¤

x¡

a¤ y¡

x¡x a¤

x¤

9

a¤

쌍곡선의 방정식 - =1은 - =1의 꼴에서

⋯ ⋯a¤ =16, b¤ =9

우변이 1일 때, 초점은 x축 위에 있으므로 초점의 좌표를

⋯ ⋯(-c, 0), (c, 0)(c>0) 이라 하면 초점 구하는 공식에 의하여

⋯ ⋯c¤ =a¤ +b¤ Δ c¤ =16+9=25⋯ ⋯∴ c=5

⋯ ⋯∴ (5, 0), (-5, 0)

즉 점 A(5, 0)은 쌍곡선의 한 초점이므로 나머지 한 초 점을 F(-5, 0)이라 하면 주어진 쌍곡선은 다음 그림과 같다.

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

9 x¤

0

1

정답과해설072

이때 쌍곡선의 정의에 의하여

⋯ ⋯PF”-PA”=8

⋯ ⋯∴ PF”=8+PA” yy`㉠⋯

세 점 B, P, F가 일직선 위에 있을 때 PF”+PB”의 값이 최소이므로

⋯ ⋯PF”+PB”æBF”

⋯ ⋯(8+PA”)+PB”æBF”(∵ ㉠)

⋯ ⋯∴ PA”+PB”æBF”-8 BF”="√13¤ +4¤ ='∂185이므로

⋯ ⋯PA”+PB”æ'∂185-8

따라서 PA”+PB”의 최솟값은⋯ ⋯'∂185-8 x y

O P

P B(8, 4) A(5, 0) F(-5, 0)

y™ 16

x™ - 9 =1

부등식 (9x¤ +16y¤ -144)(5x¤ -4y¤ +20)<0을 만족하 는 경우는

9x¤ +16y¤ -144>0, 5x¤ -4y¤ +20<0 또는 9x¤ +16y¤ -144<0, 5x¤ -4y¤ +20>0 이를 변형하면

+ >1, - <-1또는

+ <1, - >-1

⁄ + >1, - <-1인 경우

주어진 부등식의 영역은 타원 + =1의 외부와

쌍곡선 - =-1의 위와 아랫부분의 공통 부분 이므로 다음 그림의 어두운 부분과 같다.

(단, 경계선 제외)

¤ + <1, - >-1인 경우

주어진 부등식의 영역은 타원 +y¤ =1의 내부와 9

x¤

16 y¤

5 x¤

4 y¤

9 x¤

x y

O y¤

5 x¤

y¤

9 x¤

16 y¤

5 x¤

4 y¤

9 x¤

y¤

5 x¤

4 y¤

9 x¤

y¤

5 x¤

4 y¤

9 x¤

1 1

쌍곡선 - =-1의 사이 부분의 공통 부분이므 로 다음 그림의 어두운 부분과 같다. (단, 경계선 제외)

따라서 주어진 부등식을 만족하는 점 (x, y)가 존재하는 영역은 ⁄, ¤의 합집합이므로 ③과 같다.

x y

O y¤

5 x¤

주어진 두 원

⋯ ⋯C¡：(x-3)¤ +y¤ =9, C™：(x+3)¤ +y¤ =1 에 동시에 외접하는 원 C£의 반지름의 길이를 r라 하고, 원 C¡의 중심을 F, 원 C™의 중심을 F'이라 하면 다음 그 림과 같다.

점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면 위의 그림에서

⋯ ⋯PF”=r+3, P’F'”=r+1 Δ PF”>P’F'”

따라서 점 P는 y축의 왼쪽에 있어야 하므로

⋯ ⋯x<0 yy`㉠⋯

또한 PF”-P’F'”=(r+3)-(r+1)=2

즉 PF”-P’F'”의 값이 2로 일정하므로 쌍곡선의 정의에 의하여 점 P의 자취는 초점이 F(3, 0), F'(-3, 0)이 고 주축의 길이가 2인 쌍곡선의 일부이다.

x C™

C£

C¡

r r y

O 3

3 F F'

-3 1

2 1

쌍곡선의 부등식의 영역

다음 부등식이 나타내는 영역은 오른쪽 그림과 같다.

(단, 경계선 제외)

① - <1

② - >1

③ - <-1

④ -y¤ >-1 b¤

x¤

a¤

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

b¤

x¤

a¤

Tip

x y

- =1 x™ a™ y™

b™

② ① ②

x y

- =-1 x™ a™ y™

b™

③

④

Ⅱ이차곡선073 이때 초점이 x축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식의

꼴은

⋯ ⋯ - =1(단, a>0, b>0) 주축의 길이가 2이므로

⋯ ⋯2a=2⋯ ⋯∴ a=1

초점의 좌표가 F(3, 0), F'(-3, 0)이므로 초점 구하 는 공식에 의하여

⋯ ⋯c¤ =a¤ +b¤ Δ 9=1¤ +b¤ ⋯ ⋯∴ b¤ =8 따라서 점 P가 그리는 도형의 방정식은

⋯ ⋯x¤ -y¤ =1 (단, x<0) (∵ ㉠) 8

y¤

b¤

x¤

a¤

주어진 조건에서

⋯ ⋯|PA”-PB”|=80(m)

⋯ ⋯|QA”-QB”|=80(m)

따라서 두 점 P, Q는 두 점 A, B를 초점으로 하고 주축 의 길이가 80인 쌍곡선 위의 점이다.

이때 직선 AB를 x축, AB”의 중점을 원점으로 하여 쌍 곡선을 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같다.

초점이 x축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식의 꼴은

⋯ ⋯ - =1(단, a>0, b>0) 주축의 길이가 80이므로

2a=80 ∴ a=40

한편 초점의 좌표가 A(-50, 0), B(50, 0)이므로 초점 구하는 공식에 의하여

c¤ =a¤ +b¤ Δ 2500=40¤ +b¤ ∴ b¤ =900 따라서 쌍곡선의 방정식은

- =1 yy`㉠⋯

두 점 P, Q의 y좌표가 30이므로 y=30을 ㉠에 대입하면 x=—40'2

∴ P(-40'2, 30), Q(40'2, 30) 따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는

PQ”=80'2=80_1.4=112(m) 이므로 구하는 자동차의 속력은

=11.2(m/초) 112

10 y¤

900 x¤

1600 y¤

b¤

x¤

a¤

x y

30 Q

O P

A(-50, 0) B(50, 0) -40

3 1

01 ③ 02 + =1 03 ⑤

04 -2'2<k<2'2 05 y= x- 06 ④ 07 ⑤ 08 1 09 ⑤ 10 48 m¤ 11 48

12 13 12-'3å5 14 ② 15 ①

16 ④ 17 ④ 18 ⑤ 19 ① 20 8 21 10 22 200 23 32 24 ③ 25 ⑤ 26 + y¤ =1

135 x¤

144 28 15

8 3 4 3 y¤

10 x¤

대단원 실전 문제 pp. 120~124

포물선의 방정식 y¤ -6y-8x-7=0을 (y-n)¤ =4p(x-m)의 꼴로 변형하면

y¤ -6y+9=8x+16

∴ (y-3)¤ =8(x+2) yy`㉠⋯

포물선 ㉠은 포물선 y¤ =8x를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이므로 포물선 y¤ =8x를 이용하여 포물선 ㉠의 초점의 좌표, 준선의 방 정식을 구하면 다음과 같다.

∴ a=0, b=3, c=-4

∴ a+b+c=-1

1 0

방정식 y¤ =8x (y-3)¤ =8(x+2)

초점 (2, 0) (0, 3)

준선 x=-2 x=-4

x축：-2 y축：3

타원의 방정식 4x¤ +9y¤ =36을 + =1의 꼴로 나 타내면

+ =1 Δ a¤ =9, b¤ =4

타원 + =1에서 초점의 좌표를 (—c, 0)(c>0)이 라 하면 초점 구하는 공식에 의하여

c¤ =a¤ -b¤ Δ c¤ =9-4=5 ∴ c='5

∴ ('5, 0), (-'5, 0)

이때 구하는 타원의 방정식을 + =1(m>n>0) 이라 하면 초점의 좌표가 ('5, 0), (-'5, 0)이므로 초점 구하는 공식에 의하여

5=m¤ -n¤ yy`㉠⋯

또한 한 점 (3, 2)를 지나므로

+2¤ =1 yy`㉡⋯

n¤

3¤

m¤

y¤

n¤

x¤

m¤

y¤

4 x¤

9 y¤

4 x¤

y¤

b¤

x¤

2

a¤

0

정답과해설074

㉠, ㉡을 연립하면

+ =1, =1

13m¤ -45=m¤ (m¤ -5), (m¤ -3)(m¤ -15)=0

∴ m¤ =3 또는 m¤ =15

이때 m¤ =3이면 n¤ =-2가 되어 모순이므로 m¤ =15, n¤ =10

따라서 구하는 타원의 방정식은

+ =1

다른 풀이

타원 + =1에서 c¤ =9-4=5

∴ 초점Δ('5, 0), (-'5, 0)

이때 구하는 타원의 방정식을 + =1(m>n>0) 이라 하면 초점의 좌표가 ('5, 0), (-'5, 0)이므로 초 점 구하는 공식에 의하여

5=m¤ -n¤ yy`㉠⋯

또한 타원이 지나는 한 점을 A(3, 2), 두 초점을 F('5, 0), F'(-'5, 0)이라 하면 타원의 정의에 의하여

AF”+AF'”=2m

"(√3-'5)¤ +2¤ +"(√3+'5)¤ +2¤ =2m

"1√8-2ç'ç4å5+"1√8+2ç'ç4å5=2m ('1å5-'3)+('1å5+'3)=2m

∴ 2m=2'1å5

∴ m¤ =15 yy`㉡⋯

㉡을 ㉠에 대입하면 n¤ =10 따라서 구하는 타원의 방정식은

+y¤ =1 10 x¤

y¤

n¤

x¤

m¤

y¤

4 x¤

9 y¤

10 x¤

13m¤ -45 m¤ (m¤ -5) 4

m¤ -5 9

m¤

이차곡선 Ax¤ +By¤ +Cx+Dy+E=0이 쌍곡선이 되 기 위해서는 이차항의 계수 A, B의 부호가 달라야 하므 로 ⑤ AB<0이다.

3 0

점 (0, 2)를 지나는 직선의 기울기를 m이라 하면 y=mx+2 Δ mx=y-2 yy`㉠⋯

점 (0, -4)를 지나는 직선의 기울기를 n이라 하면 y=nx-4 Δ nx=y+4 yy`㉡⋯

㉠_㉡`을 하면

mnx¤ =(y-2)(y+4) 주어진 조건에서 mn=-3이므로

-3x¤ =y¤ +2y-8 3x¤ +(y+1)¤ =9

∴ + =1 yy`㉢⋯

따라서 타원의 방정식 ㉢은 + =1 꼴에서 a='3<b=3 Δ상하로 긴 타원

이때 초점의 좌표를 (0, —c)(c>0)라 하면 초점 구하는 공식에 의하여

c¤ =b¤ -a¤ Δ c¤ =3¤ -('3)¤ =6⋯ ⋯∴ c='6 따라서 두 초점 (0, '6), (0, -'6) 사이의 거리는 2'6 이다.

y¤

b¤

x¤

a¤

(y+1)¤

3¤

x¤

('3)¤

6 0

타원의 방정식 x¤ +4y¤ =4와 직선의 방정식 x+2y=k 를 연립하면

(-2y+k)¤ +4y¤ =4

∴ 8y¤ -4ky+k¤ -4=0 yy`㉠⋯

타원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 교점이 2개 이어야 하므로 이차방정식 ㉠의 판별식 D의 부호는

D>0 Δ =(-2k)¤ -8(k¤ -4)>0 -4k¤ +32>0, k¤ -8<0

D 4

4 0

(k-2'2)(k+2'2)<0

∴ -2'2<k<2'2

두 접점의 좌표를 A(x¡, y¡), B(x™, y™)라 하면 접선의 방정식은

y¡y=4(x+x¡), y™y=4(x+x™) yy`㉠⋯

두 접선 ㉠이 점 (-2, 3)을 지나므로

3y¡=4(x¡-2), 3y™=4(x™-2) yy`㉡⋯

이때 ㉡은 직선 3y=4(x-2)가 두 점 A(x¡, y¡), B(x™, y™)

를 지남을 의미하는데 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나뿐이므로 직선 AB의 방정식은

3y=4(x-2) ∴ y= x-8 3 4 3

5 0

쌍곡선의 방정식 - =1을

- =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면

- =1 Δ a=2, b=5 이때 점근선의 방정식은 y=— x이므로

y=— x

직선 y=mx가 쌍곡선과 만나지 않는 경우는 두 점근선 과 일치하거나 다음 그림과 같은 범위에 존재할 때이다.

5 2

b a y¤

5¤

x¤

2¤

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

25 x¤

7

0

Ⅱ이차곡선075

∴ m…- 또는 mæ

따라서 보기에서 m의 값이 될 수 있는 것은 ⑤ 3이다.

5 2 5

x y

- =1 x™

4 y™ 25 5

y=-2x

y=mx

5 y=2x

조건을 만족하는 포물선 위의 임의의 점을 P(x, y)라 하 면 포물선의 정의에 의하여

⋯ ⋯|x-k|="√(x-4)¤ √+(y-3)¤

양변을 제곱하면

⋯ ⋯(x-k)¤ =(x-4)¤ +(y-3)¤ yy`㉠⋯

㉠과 직선의 방정식 y=x+2를 연립하면

⋯ ⋯(x-k)¤ =(x-4)¤ +(x+2-3)¤

⋯ ⋯∴ x¤ +2(k-5)x-k¤ +17=0 yy`㉡⋯

포물선과 직선이 접하려면 교점이 1개이어야 하므로 이차 방정식 ㉡의 판별식 D의 부호는

⋯ ⋯D=0 Δ =(k-5)¤ -(-k¤ +17)=0

⋯ ⋯(k-1)(k-4)=0

⋯ ⋯∴ k=1 또는 k=4

그런데 직선 x=4는 초점 (4, 3)을 지나므로 준선이 될 수 없다.

따라서 k+4이므로⋯ ⋯k=1 D

8 0

타원 + =1에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정 식은

y=mx—"√a¤ m¤ +b¤ yy`㉠⋯

타원의 방정식 x¤ +4y¤ =4를 + =1의 꼴로 나타 내면

+y¤ =1 Δ a¤ =4, b¤ =1 yy`㉡⋯

㉡을 ㉠에 대입하면

y=mx—"4√m¤ ç+1 yy`㉢⋯

접선 ㉢은 점 (1, 2)를 지나므로

2=m—"4√m¤ ç+1, 2-m=—"4√m¤ ç+1 양변을 제곱하면

4-4m+m¤ =4m¤ +1

∴ 3m¤ +4m-3=0 yy`㉣⋯

x¤

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

b¤

x¤

9

a¤

0

이차방정식 ㉣의 두 근을 m¡, m™라 하면 근과 계수의 관 계에 의하여

m¡m™= =-1

따라서 두 직선의 기울기의 곱이 -1이므로 두 직선이 이 루는 각의 크기 h는 h=90˘

∴ sin`h=1 -3 3

타원 모양의 땅의 중심을 원점 O, 장축을 x축, 단 축을 y축으로 하여 좌표 평면에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 타원의 방정식은

+ =1

이때 타원과 직사각형의 한 교점을 P(x¡, y¡)(x¡>0, y¡>0) 이라 하면

+ =1

x¡>0, y¡>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 1= + æ2æ≠ _ =

{단, 등호는 = 일 때 성립}

∴ x¡y¡…12 yy`㉠⋯

이때 직사각형의 넓이 S는

S=2x¡_2y¡=4x¡y¡…4_12=48 (∵ ㉠) 따라서 구하는 화단의 최대 넓이는 48 m¤ 이다.

y¡¤

9 x¡¤

64 x¡y¡

12 y¡¤

9 x¡¤

64 y¡¤

9 x¡¤

64 y¡¤

9 x¡¤

64 y¤

9 x¤

0 1

x y

P(x¡, y¡)

-8 8

-3

오른쪽 그림과 같이 타원 + =1에 내접하는 마 름모를 PQRS, 외접하는 마 름모를 ABCD라 하자.

타원 + =1의 네 꼭 짓점의 좌표는

P(3, 0), Q(0, 4) R(-3, 0), S(0, -4)

이므로 직선 PQ의 기울기는 - 이다.

이때 마름모 ABCD와 마름모 PQRS는 닮음이므로 AB”// PQ”

따라서 직선 AB의 기울기도 -4이다.

3 4 3 y¤

16 x¤

9 y¤

16 x¤

1 1

x y

C O A

D B

S P R

+ =1 x™ 9

y™ 16

정답과해설076

타원 + =1에 접하고 기울기가 - 인 접선의 방 정식은

y=- x—Æ…9¥{- }2 +16=- x—4'2 따라서 두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식은

y=- x+4'2

이때 A(3'2, 0), B(0, 4'2)이므로 △OAB의 넓이는

△OAB= _3'2_4'2=12

∴ (마름모 ABCD의 넓이)=4_△OAB

=4_12=48 1

2 4 3

4 3 4

3 4

4 3 y¤

16 x¤

오른쪽 그림과 같이 포물선 y¤ =-2x 위의 임의의 점 P 로부터 직선 3x-4y-12=0 에 이르는 최단 거리는 직선 3x-4y-12=0에 평행하고 포물선 y¤ =-2x에 접하는 직선과 직선 3x-4y-12=0

문서에서 개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설 (페이지 68-82)