⁄, ¤에 의하여 만들 수 있는 평면의 최대 개수와 최소 개 수의 합은
45+1=46(개)
⑴ 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB 와 평행하지도 만나지도 않는 모서리이므로
CF”, DF”, EF” Δ 3개
⑵ 모서리 AB를 포함하는 면은 모서리 AB와 만나는 점 이 2개 이상인 면이므로
면 ABC, 면 ABED Δ 2개
⑶ 면 DEF와 평행한 모서리는 면 DEF와 만나지 않는 모서리이므로
AB”, BC”, AC” Δ 3개
⑷ 면 ABED와 만나지 않는 면은 없다.Δ 0개
4 3
5¥4¥3 3¥2¥1
2
정육면체의 꼭짓점과 모서리를 연장한 직선을 이용하여 서로 다 른 평면을 구할 때에는 평행한 두 직선에 의하여 만들어지는 평면 과 어느 두 점도 한 모서리 위에
있지 않은 세 점으로 만들어지는 평면의 경우로 나누어 구 한다.
⁄ 평행한 두 직선에 의하여 만들어지는 평면 평면 ABCD, 평면 EFGH, 평면 AEFB 평면 DHGC, 평면 BFGC, 평면 AEHD 평면 ABGH, 평면 BCHE, 평면 CDEF 평면 DAFG, 평면 AEGC, 평면 BFHD
∴ 12개
¤ 어느 두 점도 한 모서리 위에 있지 않은 세 점으로 만 들어지는 평면
A
D C
B
E F
H G
1
Ⅲ 공간도형과 공간좌표
1 공간도형
01
직선과 평면의 위치 관계1 20개 2 10개 3 46개
4 ⑴ 3개 ⑵ 2개 ⑶ 3개 ⑷ 0개 5 5 6 해설 참조 7 14
유제 pp. 129~131
ㄱ. 세 점 A, C, F는 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점이므로 평면을 결정한다.
ㄴ. 점 A와 직선 CD는 한 직선과 그 직선 위에 있지 않 은 한 점이므로 평면을 결정한다.
ㄷ. 직선 AB와 직선 CF의 위치 관계는 꼬인 위치에 있 다. 이때 꼬인 위치에 있는 두 직선은 한 평면 위에 있 지 않으므로 직선 AB와 직선 CF는 평면을 결정하지 못한다.
ㄹ. 직선 BE와 직선 EF는 한 점에서 만나는 두 직선이 므로 평면을 결정한다.
따라서보기에서 평면이 결정되는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
1
개념check | 1 ㄱ, ㄴ, ㄹ
p. 128
Ⅲ공간도형과공간좌표083 정팔면체는 모든 모서리의 길이가
같으므로
AB”=BF”=FD”=D’A”
따라서 □ABFD는 마름모이므로 모서리 AB와 평행한 모서리는
DF” ∴ a=1
모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는 모서리 AB와 평행하지도 만나지도 않는 모서리이므로
CD”, DE”, CF”, EF” ∴ b=4
∴ a+b=1+4=5
△ACD에서 두 점 P, Q는 각각 AD”, CD”의 중점이므 로 삼각형의 중점연결정리에 의하여
AC” // PQ”, PQ”= AC” yy`㉠ 또 △EFG에서 두 점 R, S는 각각 EF”, FG”의 중점이 므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여
EG” // RS”, RS”= EG” yy`㉡
한편 □AEGC는 직사각형이므로
AC” // EG”, AC”=EG” yy`㉢
㉠, ㉡, ㉢`에서
PQ”” // RS”, PQ”=RS”
따라서 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로
□PRSQ는 평행사변형이다.
사면체의 네 모서리 AB, BC, CD, DA의 중점이 각각 P, Q, R, S이므로 삼각형의 중점연결정리에 의하여
△ABC와 △ACD에서 PQ”=SR”
= AC”=4
△ABD와 △BCD에서 PS”=QR”
= BD”=3
따라서 사각형 PQRS의 둘레의 길이는 PQ”+QR”+SR”+PS”=14
1 2 1 2
A P
Q R
S D
C B
4 3
8 6
3 4
7
1 2 1 2
6
A
F D C B
E
5 02
직선과 평면의 평행과 수직8 ㄱ, ㄷ 9 ⑴ 90˘ ⑵ 45˘ ⑶ 60˘ ⑷
10 105˘ 11 6 12 13
14 15 16 56 17
18 - 1 3
'3 3 '2
2 '2
4
1 2 4'5
5
'2å1 7
유제 pp. 136~141
ㄱ. 오른쪽 그림에서 l⊥a, m//a 이면 l⊥m이다. (∴ 참)
ㄴ. [반례] 오른쪽 그림에서 a⊥b, b⊥c이지만 a \// c이다. (∴ 거짓)
ㄷ. 오른쪽 그림에서 l⊥a, l//m 이면 m⊥a이다. (∴ 참)
ㄹ. [반례] 오른쪽 그림에서 l//a, m // a이지만 l\// m이다. (∴ 거짓)
따라서보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
`다른 풀이`
ㄱ. 오른쪽 그림에서 l⊥a, m // a이면 l, m은 꼬인 위치에 있지만 l⊥m이다.
(∴ 참)
ㄴ. [반례] 오른쪽 그림에서 a⊥b, b⊥c이지만 a \// c이다.
(∴ 거짓)
ㄷ. 오른쪽 그림에서 l⊥a, l//m 이면 m⊥a이다. (∴ 참)
l m
a
a c b
l m
a
m l a
m l
a a b
c l m a
8
정답과해설084
ㄹ. [반례] 오른쪽 그림에서 l // a, m // a이지만 l\// m 이 다. (∴ 거짓)
따라서보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
⑴ 오른쪽 직육면체에서 HG” // EF”
이므로 AEÍ와 HGÍ가 이루는 각의 크기는 AEÍ와 EFÍ가 이 루는 각의 크기와 같다.
이때 □AEFB는 직사각형이
므로 AEÍ와 EFÍ가 이루는 각의 크기는 90˘이다.
⑵ 오른쪽 직육면체에서 CG” // D’H”
이므로 AHÍ와 CGÍ가 이루는 각의 크기는 AHÍ와 DHÍ가 이 루는 각의 크기와 같다.
이때 □AEHD는 정사각형이
고, △AHD는 직각이등변삼각형이므로 AHÍ와 DHÍ 가 이루는 각의 크기는 45˘이다.
⑶ 오른쪽 직육면체에서 AB” // EF”
이므로 ACÍ와 EFÍ가 이루는 각 의 크기는 ACÍ와 ABÍ가 이루 는 각의 크기와 같다.
이때 tan(∠CAB)= ='3에서
∠CAB=60˘
이므로 ACÍ와 ABÍ가 이루는 각의 크기는 60˘이다.
⑷ 오른쪽 직육면체에서 EH”// AD”
이므로 AGÍ와 EHÍ가 이루는 각의 크기는 AGÍ와 ADÍ가 이 루는 각의 크기와 같다.
이때 ADÍ⊥(평면 DHGC)이므
로 △ADG는 ∠ADG=90˘인 직각삼각형이다.
따라서 AD”, AG”의 길이를 구하면 AD”='3
AG”=øπAE” ¤ +EG” ¤ +FG” ¤ AG”="√3+1+3='7
△ADG에서 ∠DAG=h이므로 cos h= = = '2å1
7 '3 '7 AD”
AG”
'3 '3 A
D C
B
E F
H G
1 BC”
AB”
A
D C
B
E F
G H
'3 '3 1 A
D C
B
E F
H G '3 '3 1
9
l m
a
A
D C
B
E F
H G '3 '3 1
모서리 AB와 선분 BD가 이 루는 각의 크기는 △ABD에 서 두 변 AB와 BD가 이루는
∠ABD의 크기와 같다.
따라서 정사각뿔의 한 모서리
의 길이를 a라 하면 직각이등변삼각형 BCD에서 BD” ¤ =BC” ¤ +CD” ¤ =a¤ +a¤ =2a¤ yy㉠ 이때 △ABD에서
AB” ¤ +AD” ¤ =a¤ +a¤ =2a¤ yy㉡
㉠, ㉡`에 의하여 AB” ¤ +AD” ¤ =BD” ¤
따라서 피타고라스 정리에 의하여
∠BAD=90˘
이므로 △ABD는 AB”=AD”인 직각이등변삼각형이다.
∴ ∠ABD=45˘ Δ a=45˘
정사각형 BCDE에서 DE”// BC”이므로 두 모서리 AC 와 DE가 이루는 각의 크기는 두 모서리 AC와 BC가 이 루는 ∠ACB의 크기와 같다.
이때 △ABC는 정삼각형이므로
∠ACB=60˘ Δ b=60˘
∴ a+b=45˘+60˘=105˘
정사각형 BCDE의 한 변의 길이가 6이므로 대각선 BD의 길이는
BD”=øπBC”¤ +CD” ¤
="√6¤ +6¤
=6'2 yy`㉠
꼭짓점 A에서 면 BCDE에
내린 수선의 발을 H라 하면 AH”는 BD”를 수직이등분 한다.
따라서 △ABH는 직각삼각형이므로 AH”=øπAB”¤ -BH”¤
="√6¤ -(3'2)¤ =3'2
∴ AF”=2AH”=6'2 yy`㉡
한편 □ABFD에서 AB”=BF”=FD”=A’D”
이고, ㉠, ㉡`에서 두 대각선 AF, BD의 길이가 같으므로
□ABFD는 한 변의 길이가 6인 정사각형이다.
그런데 PQ”⊥AD”, PQ”⊥BF”에서 PQ”의 길이는 정사각 형 ABFD의 한 변의 길이와 같으므로
PQ”=6
A
D P
H 6
B Q
E
F C 6'2
1 1
A
D
C B
E
'2a a
a b
0
1
Ⅲ공간도형과공간좌표085
BC”=øπDC”¤ +DB”¤
="√1¤ +≈2¤ ='5 a⊥PO”, OH”⊥AB”
이므로 삼수선의 정리에 의
AH”⊥b, HB”⊥PB”
이므로 삼수선의 정리에 의하여 AB”⊥PB”
이때 △APH와 △HPB가 직각삼각형이므로 PA”=a라 하면
PH”=a¥cos 60˘=
PB”=PH”¥cos 45˘= ¥ = 따라서 △APB가 직각삼각형이므로
하면cos h= = = 주어진 조건에서
OC”⊥(평면 OAB), CH”⊥AB”
이므로 삼수선의 정리에 의하여 OH”⊥AB”
이때 △OAB는 직각삼각형이므로 AB”=øπOA” ¤ +OB” ¤ ="√1¤ +1¤ ='2
따라서 △OAB의 넓이를 이용하여 OH”의 길이를 구하면
△OAB= ¥OA”¥OB”= ¥AB”¥OH”
∴ OH”= = =
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 M이라 하면
BO”⊥(평면 OAC), B’M”⊥AC”
이므로 삼수선의 정리에 의하여 O’M”⊥AC”
이때 △OAC는 직각삼각형이므로 AC”=øπOC” ¤ +OA” ¤ ="√12¤ +4¤ =4'1å0
따라서 △OAC의 넓이를 이용하여 O’M”의 길이를 구하면
△OAC= ¥OC”¥OA”= ¥AC”¥O’M”
∴ O’M”= = =
또 △BOM도 직각삼각형이므로
B’M”=øπBO” ¤ +O’M” ¤ =æ≠8¤ +{ }2 = 따라서 구하는 △ABC의 넓이는
△ABC= ¥AC”¥B’M”
= ¥4'1å0¥14'1å0=56
□ABFD, □BCDE, □AEFC 는 모두 정사각형이다.
정답과해설086
오른쪽 그림과 같이 BC”와 DE”의 중점을 각각 M, N이 라 하면 △ABC, △AED는 정삼각형이므로
A’M”⊥BC”, AN”⊥ED”
이때 M’N”⊥BC”이므로 평면
ABC와 평면 BCDE가 이루는 각의 크기 h는 ∠AMN 의 크기와 같다.
이때 정사각뿔의 한 모서리의 길이를 2a라 하면 A’M”=øπAB” ¤ -B’M” ¤
="√(2a)¤ -a¤ ='3a A’N”=øπAE” ¤ -EN” ¤
="√(2a)¤ -a¤ ='3a MÚNÚ=CD”=2a
따라서 오른쪽 그림의 △AMN에 서 코사인법칙에 의하여
cos h=
=
=
오른쪽 그림과 같이 BC”의 중점 을 M이라 하면 △ABC,
△FCB는 정삼각형이므로 A’M”⊥BC”, F’M”⊥BC”
따라서 평면 ABC와 평면 FCB가 이루는 각의 크기 h는
∠AMF의 크기와 같다.
이때 정팔면체의 한 모서리의 길이를 2a라 하면 A’M”=øπAB” ¤ -B’M”” ¤
="√(2a)¤ -a¤ ='3a F’M”=øπFB” ¤ -B’M”” ¤
="√(2a)¤ -a¤ ='3a
한편 □ABFD는 정사각형이고, 선분 AF는 정사각형 ABFD의 대각선이므로
AF”=øπAB” ¤ +B’F”” ¤ ="√(2a)¤ +(2a)¤ =2'2a 따라서 △AMF에서 코사인법칙에 의하여
cos h=
= =-1
3 ('3a)¤ +('3a)¤ -(2'2a)¤
2_'3a_'3a A’M” ¤ +F’M” ¤ -AF” ¤
2_A’M”_F’M”
A
F D C
h M
B 2a
a E
8 1
'3 3
('3a)¤ +(2a)¤ -('3a)¤
2_'3a_2a A’M”¤ +MÚN”¤ -AN”¤
2_A’M”_MÚN”
2a
2a a
h M
N A
D
C B
a E
7 1
2a '3a '3a
A
M h N