⑵ f：(x, y) 1⁄ (2x-y, x+3y)
[ HjK [
∴¶¶ ••
⑴ ¶ •¶ •=¶ • ∴ (-2, 2)
⑵ ¶ •¶ •=¶ 4• ∴ (4, -1) -1
3 2 2 -1 -1 1
-2 2 0
2 2 -1 -1 1
3
2 -1 1 3
x'=2¥x-1¥y y'=1¥x+3¥y x'=2x-y
y'=x+3y 0 -2 3 0
x'=0¥x-2¥y y'=3¥x+0¥y x'=-2y
y'=3x
2
x'=ax+by y'=cx+dy
1
f(P)=¶ •, f(Q)=¶ •이므로
⑴ f(2Q)=2f(Q)=2¶ •=¶¶ ••
⑵ f(2P-Q)=2f(P)-f(Q)
=2¶ •-¶ •
=¶ •=¶¶ ••0 3 2-2 2+1
2 -1 1
1
4 -2 2
-1 2 -1 1
4
1① f：(x, y) 1⁄ (x, -y)에서 [
즉 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일 차변환이다.
② f：(x, y) 1⁄ (x+y, -3x+2y)에서 [
즉 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일 차변환이다.
③ f：(x, y) 1⁄ (-y, 2y)에서 [
즉 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일 차변환이다.
④ f：(x, y) 1⁄ (-y, -3xy)에서 [
즉 y'=-3xy에서 y'이 x, y의 일차식이 아니므로 일차변환이 아니다.
⑤ f：(x, y) 1⁄ (0, -2x+y) [
x'=0 y'=-2x+y x'=-y y'=-3xy
x'=-y y'=2y x'=x+y
y'=-3x+2y
x'=x y'=-y
1
유형Training 개념check
1 ㄷ, ㄹ 2 ⑴¶ • ⑵ ¶ •
3 ⑴ (-2, 2) ⑵ (4, -1) 4 ⑴¶ • ⑵¶ •0
3 4
-2
2 -1 1 3 0 -2
3 0
01
일차변환과 행렬p. 7
pp. 7~10
1 ④ 2 3 3 (-1, 1) 4 ②
5 '3 6 ③ 7 2
8 (10, -5) 9 (3, 1) 10 (-1, -1)11 ④ 12 ¶ • 13 ② 14 ¶ • 15 ¶ •
16 ¶ • 17 18 (-1, -6)19 ③
20 3 21 ③
7 5 -1
-4
4 2 2
1 0 -1
1 -1
Ⅰ일차변환과행렬003 즉 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식이므로 일
차변환이다.
따라서 보기에서 일차변환이 아닌 것은 ④이다.
주어진 변환 f에서
f：(x, y) 1⁄ (2y-a+2, 2x+a-2b) HjK [
일차변환은 변환식에서 x', y'이 상수항이 없는 x, y의 일차식으로 표현되어지므로
-a+2=0, a-2b=0
∴ a=2, b=1
∴ a+b=3
행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환을 f라 하면 f에 의하여 점 A(-1, -1)이 옮겨지는 점 A'의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(0, 1) 또 일차변환 f에 의하여 점 B(2, 5)가 옮겨지는 점 B' 의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(-3, 1) 따라서 선분 A'B'을 1 : 2로 내분하는 점의 좌표는
{ , } ∴ (-1, 1)
`다른 풀이`
좌표평면 위의 두 점 A, B가 일차변환 f에 의하여 각각 옮겨진 두 점을 A', B'이라 할 때, 선분 AB를 m : n으 로 내분하는 점은 일차변환에 의하여 선분 A'B'을 m : n으로 내분하는 점으로 옮겨진다.
선분 AB를 1 : 2로 내분하는 점의 좌표는
{ , }
∴ (0, 1)
따라서 일차변환 f에 의하여 점 (0, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ (-1, 1)
일차변환 f：¶ •=¶ •¶ •에서
¶ •=¶ •¶ •=¶ y •
-x-2y x
y 0 1 -1 -2 x'
y'
x y 0 1 -1 -2 x'
4
y'-1 1 0
1 1 -1 -2 1
1¥5+2¥(-1) 1+2 1¥2+2¥(-1)
1+2
1¥1+2¥1 1+2 1¥(-3)+2¥0
1+2
-3 1 2
5 1 -1 -2 1
0 1 -1 -1 1 -1 -2 1 1 -1 -2 1
3
x'=2y-a+2 y'=2x+a-2b
2
∴ [
이때 일차변환 f에 의하여 좌표평면 위의 점이 자기 자신 으로 옮겨지므로
[
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=0, y=0
따라서 구하는 점의 개수는 원점으로 오직 1개이다.
일차변환 f : (x, y)1⁄ (px, x+2y)에서
‡ HjK ¶ •=¶ •¶ •
따라서 행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환 f에 의하 여 점 A(0, 0)이 옮겨지는 점 A'의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(0, 0)
일차변환 f에 의하여 점 B(1, 0)이 옮겨지는 점 B'의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(p, 1)
일차변환 f에 의하여 점 C(0, 1)이 옮겨지는 점 C'의 좌 표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ C'(0, 2) 이때 세 선분 A'B', B'C', C'A'의 길이를 구해 보면
A'B'”="√p¤ +1
B'C'”="√p¤ +(2-1)¤ ="√p¤ +1 C'A'”="√0¤ +2¤ =2
그런데 조건에서 삼각형 A'B'C'이 정삼각형이 되어야 하 므로
A'B'”=B'C'”=C'A'”
∴ "√p¤ +1=2 yy`㉠⋯
㉠의 양변을 제곱하여 정리하면 p¤ +1=4, p¤ =3
∴ p='3 (∵ p>0)
행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 점 O(0, 0)이 옮겨지는 점 O'의 좌표는
¶ •¶ •=¶ •0 ∴ O'(0, 0) 0
0 0 1 0 p q 1 0
6
p q0 2 0 1 p 0 1 2
p 1 1 0 p 0 1 2
0 0 0 0 p 0 1 2
p 0 1 2
x y p 0 1 2 x'
y' x'=px
y'=x+2y
5
x=y yy`㉠
y=-x-2y yy`㉡
x'=y y'=-x-2y
정답과해설004
∴ [
또 일차변환 f에 의하여 점 (2, 3)이 점 (2, 1)로 옮겨 지므로
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ [
㉠, ㉢을 연립하여 풀면 a=7, b=-4
㉡, ㉣을 연립하여 풀면 c=-4, d=3
따라서 일차변환 f를 나타내는 행렬은 ¶ •이므 로 일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌 표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ (10, -5)
`풀이 2
일차변환 f를 나타내는 행렬을 A라 하면 f에 의하여 점 (1, 1)이 점 (3, -1)로 옮겨지므로
¶ •=A¶ • yy`㉠⋯
일차변환 f에 의하여 점 (2, 3)이 점 (2, 1)로 옮겨지 므로
¶ •=A¶ • yy`㉡⋯
㉠, ㉡에 의하여
¶ •=A¶ •
∴ A=¶ •¶ •—⁄
=¶ •¶ •=¶ •
따라서 일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ (10, -5)
`풀이 1
일차변환 f에 의하여 두 점 A(1, 2), B(3, 3)이 두 점 C(-1, 2), D(-2, -3)으로 옮겨지는 것은 다음과 같 이 2가지 경우를 생각할 수 있다.
⁄점 A가 점 C로, 점 B가 점 D로 옮겨지는 경우
9
10 -5 2
1 7 -4 -4 3
7 -4 -4 3 3 -2
-1 1 3 2
-1 1 1 2 1 3 3 2 -1 1
1 2 1 3 3 2
-1 1 2 3 2 1
1 1 3 -1
10 -5 2
1 7 -4 -4 3
7 -4 -4 3
2a+3b=2 yy`㉢
2c+3d=1 yy`㉣
2a+3b 2c+3d 2
3 a b c d 2
1
a+b=3 yy`㉠
c+d=-1 yy`㉡
일차변환 f에 의하여 점 A(0, 1)이 옮겨지는 점 A'의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(0, q) 일차변환 f에 의하여 점 B(2, 5)가 옮겨지는 점 B'의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(2, 2p+5q) 일차변환 f에 의하여 점 C(2, 3)이 옮겨지는 점 C'의 좌 표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ C'(2, 2p+3q) 따라서 좌표평면 위의 네 점
O', A', B', C' (q>0)을 꼭짓점으로 하는 사각형은 오 른쪽 그림과 같은 사다리꼴이 고 사각형 O'A'B'C'의 넓이 는 9이므로
{(q+2q)_2}_ =9 3q=9 ∴ q=3
행렬 ¶ •로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 점 A(1, 2)가 옮겨지는 점 A'의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(3, 7)
직선 y=-x+1 위를 움직이는 점을 P(x, -x+1)이 라 하면 일차변환 f에 의하여 점 P가 옮겨지는 점 P'(x', y')의 좌표는
¶ •=¶ •¶ •=¶ •
∴ P'(1, x+2)
∴ A'P'”="√(1-3)¤ +(x+2√-7)¤
="√(x-5)¤ +4
따라서 A'P'”의 최솟값은 x=5일 때이므로 2이다.
`풀이 1`
일차변환 f를 나타내는 행렬을¶ •라 하면 f에 의하 여 점 (1, 1)이 점 (3, -1)로 옮겨지므로
¶ •=¶ •¶ •=¶a+b• c+d 1
1 a b c d 3
-1
a b c d
8
1 x+2 x
-x+1 1 1
3 2 x'
y'
3 7 1 2 1 1 3 2 1 1
7
3 21 2
y
O' O
C' B'
2 2p+5q
2p+3q q
x A'
2 2p+3q 2
3 1 0 p q
2 2p+5q 2
5 1 0 p q
0 q 0 1 1 0 p q
Ⅰ일차변환과행렬005
정답과해설006
A¤ -{1+(-1)}A+{1¥(-1)-2¥(-1)}E=O A¤ +E=O ∴ A¤ =-E yy`㉤⋯
A¤ -{1+(-1)}A+{1¥(-1)-2¥(-1)}E=O A¤ +E=O ∴ A¤ =-E yy`㉢⋯
Ⅰ일차변환과행렬007 f(2P-Q)=2 f(P)-f(Q) 이때 f(P)=¶ •, f(Q)=¶ •이므로
f(2P-Q)=2¶ •-¶ •=¶ •=¶ •
∴ a=0, b=-1
∴ a+b=-1
일차변환의 성질에 의하여
2 f(P)+f(-Q)=f(2P-Q) P=¶ •, Q=¶ •이므로
∴ f(2B)-f(C)=f(2B-C)=f(2A)
=2 f(A)=2B(∵ f(A)=B)
∴ f(A-2B)=f(A)-2f(B)
= -2 =¶¶ ••
정답과해설008 12244444-6+33 12244444-4+13
ª
1222442c+a3 1222442d+b3 x
ª
Ⅰ일차변환과행렬009
-a…-x'+y'…a, -a…x'…a 이때 (x', y')은 부등식의 영역
정답과해설010
¶ •¶ •=¶ • ∴ (1, -2)
원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 2인 닮음변환을 f 라 하면 f를 나타내는 행렬은
¶ •
⑴ 닮음변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌 표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ (4, 2)
⑵ 닮음변환 f에 의하여 점 (-2, 3)이 옮겨지는 점의 좌표는
¶ •¶ •=¶ • ∴ (-4, 6)
⑴ 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 나타내 는 행렬은
=
이고, 회전변환에 의하여 점 (2, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는
¶ •=¶ • ∴ ('3, 1)
⑵ 원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환을 나타내 는 행렬은
=
이고, 회전변환에 의하여 점 (2, 0)이 옮겨지는 점의 좌표는
¶ •=¶ •'2 ∴ ('2, '2) '2
2
º
0 -12'2212'22 12'22 12'22
ª
º
-12'22 12'22 12'22 12'22
ª
-sin ;4“;º cos ;4“;
cos ;4“;
sin ;4“;
ª
p 4
'3 1 2
º
0 -11212'32 12'32
112
ª
º
-112 12'32 12'32
112
ª
-sin ;6“;º cos ;6“;
cos ;6“;
sin ;6“;
ª
p
3
6-4 6 -2
3 2 0