C D
O E
A F
B
1 1 1 1
C D
O E 1
1
A F
B 1
C D
O E 1
A F
B
C D
O E
1
1 ⑴ DC≥, EF≥, H’G≥
⑵ '1å4, FD≥, AG≥, GA≥, BH≥, HB≥, CE≥, EC≥
⑶ FG≥, AD≥, BC≥, EH≥
⑷ H’G≥=a¯, H’E≥=-b¯, GC≥=-c¯, EG≥=d¯
유제 p. 184
⑴ 서로 같은 벡터는 시점의 위치에 관계없이 크기와 방향이 같은 벡터이므로 AB≥와 크기와 방향이 같 은 벡터를 모두 찾으면
DC≥, EF≥, HG≥
⑵ DF≥의 크기는 세 모서리 의 길이가 각각 1, 2, 3 인 직육면체의 대각선 DF의 길이와 같으므로
⑵ |DF≥|=DF”
=øπE’H”¤ +EF”¤ +D’H”¤
="√2¤ +3¤ +1¤ ='∂14
⑵이때 직육면체의 대각선은 DF”, BH”, CE”, AG”이고, DF”=BH”=CE”=AG”='1å4
이므로 DF≥와 크기가 같 은 벡터는
⑵ FD≥
AG≥, GA≥, B’H≥, H’B≥, CE≥, EC≥
⑶ 역벡터는 크기가 같고 방 향이 반대인 벡터이므로 GF≥의 역벡터 및 역벡터와 같은 벡터를 모두 찾으면
FG≥, AD≥, BC≥, E’H≥
⑷ H’’G≥=AB≥=a¯
⑷H’’E≥=D’A≥=-AD≥=-b¯
⑷GC≥=E’A≥=-AE≥=-c¯
⑷EG≥=AC≥=d¯
A
D C
H G
E F
B A
D C
G
E F
B H
1 3
2 A
D C
G
E 3
2
2 F
B H 1
A
D C
H G
E F
B
1
⑴ a¯+b¯=AB≥+AD≥=AB≥+BC≥=AC≥=c¯
⑵ c¯-b¯=AC≥-AD≥=DC≥=AB≥=a¯
⑶ c¯-a¯=AC≥-AB≥=BC≥=AD≥=b ¯
1
01
벡터의 정의p. 183
개념check | 1 ⑴ FO≥, OC≥, ED≥
⑵ 2, D’A≥, BE≥, EB≥, CF≥, FC≥
⑶ DC≥, EO≥, OB≥, F’A≥
⑷ F’E≤=-a¯, CD≥=-b¯, DE≥=-c¯
02
벡터의 덧셈과 뺄셈p. 187
개념check | 1 ⑴ c¯ ⑵ a¯ ⑶ b¯
Ⅳ 벡터 1 벡터와
그 연산
정답과해설110
⑵ AB”=CD”이고, △AEO™△CFO,
△BEO™△DFO이므로
Ⅳ벡터111
△OMN에서 M”N≥을 구하면
M”N≥=O’N≥-O’M≥ yy㉠ㅇ 점 N은 OC”의 중점이므로
O’N≥= OC≥= c¯ yy㉡ㅇ
△OAB에서 AB≥를 구하면 AB≥=OB≥-O’A≥=b¯-a¯
이때 점 M은 AB”의 중점이므로 A’M≥= AB≥= (b¯-a¯) 따라서 △OAM에서 O’M≥을 구하면
O’M≥=OA≥+A’M≥
=a¯+ (b¯-a¯)= a¯+ b¯ yy㉢ㅇ
㉠에 ㉡, ㉢을 대입하면 MÚN≥=O’N≥-O’M≥
= c¯-{ a¯+ b¯}=- a¯- b¯+ c¯
이를 MÚN≥=ka¯+lb¯+mc¯와 비교하면 k=- , l=- , m=
∴
k+l+m=-⑴ 주어진 등식을 정리하면
3a¯+3b¯+3x¯=9b¯-6a¯-2x¯
5x¯=-9a ¯+6b ¯ ∴ x¯=- a¯+ b¯
⑵ 주어진 등식을 정리하면 7a¯-7x¯-2b¯-2c¯=2x¯-2c¯
9x¯=7a¯-2b¯ ∴ x¯= a¯- b¯
⑴g
㉠_2+㉡을 하면 x¯=2a¯-b¯
x¯=2a¯-b¯를 ㉠에 대입하면
2(2a¯-b¯ )-y¯=a¯ ∴ y¯=3a¯-2b¯
⑵g
㉠-2_㉡을 하면
7y¯=-3a¯-5b¯ ∴ y¯=- a¯- b¯
y¯=- a¯-5b¯ 를 ㉠에 대입하면 7
3 7
5 7 3 7
2x¯+y¯=a¯-3b¯ yy㉠
x¯-3y¯=2a¯+b¯ yy㉡
2x¯-y¯=a¯ yy㉠
-3x¯+2y¯=-b¯ yy㉡
1 1
2 9 7 9
6 5 9 5
0 1
1 2
1 2 1
2 1
2
1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2
9
⑷ △EBO에서 OE≥를 구하면 OE≥=OB≥+BE≥=-BO≥-EB≥
=-{- a¯+ b¯}- a¯ (∵ ⑶, ⑴)
=- a¯- b¯
△OST에서 O’S≤를 구하면
O’S≤=OT≥+TS≥ yy㉠ㅇ
한편 △OPQ에서 OQ≥를 구하면 OQ≥=OP≥+PQ≥=p¯+q¯
또 주어진 정육각형에서 2OP”=TQ”이므로 TQ≥=2OP≥=2p¯
따라서 △OQT에서 OT≥를 구하면 OT≥=OQ≥+QT≥
=OQ≥-TQ≥
=p¯+q¯-2p¯=-p¯+q¯ yy㉡ㅇ TS≥=PQ≥이므로 TS≥=q¯ yy㉢ㅇ
㉠에 ㉡, ㉢을 대입하면
O’S≤=OT≥+TS≥=(-p¯+q¯)+q¯=-p¯+2q¯
△ABC에서 AC≥를 구하면 AC≥=BC≥-BA≥=b¯-a¯
오른쪽 그림과 같이 BC”를 삼 등분하는 한 점을 E라 하면
BE≥= BC≥= b¯
이때 평행사변형 ABED에서 BD≥를 구하면
BD≥=B’A≥+BE≥
=B’A≥+ BC≥=a¯+ b¯
AC≥-BD≥=(b¯-a¯)-{a¯+ b¯}=-2a¯+ b¯
△AEM에서 A’M≥ 을 구하면 A’M≥ =AE≥+E’M≥
=AE≥+ EG≥=c¯+ EG≥ yy㉠ㅇ
△EFG에서 EG≥를 구하면
EG≥=EF≥+FG≥=AB≥+AD≥=a¯+b¯
이를 ㉠에 대입하면
A’M≥ =c¯+ EG≥=c¯+ (a¯+b¯ )
= a ≤+1b ≤+c ≤ 2 1 2
1 2 1
2
1 2 1
2
8
2 3 1
3 1 3 1
3 1 3 1
3 E
3b 1
A D
B C
b a
7 6
1 2 1 6
2 3 1 2 1 2
정답과해설112
2x¯+{- a¯- b¯}=a¯-3b¯
2x¯= a¯- b¯ ∴ x¯= a¯- b¯
⑴ 주어진 등식의 좌변을 벡터 x¯, y¯에 대하여 정리하면 (2p+q-1)x¯+(3p-2q-5)y¯=0¯
x¯+0¯, y¯+0¯, x¯∦y¯이고, 2p+q-1, 3p-2q-5는 실수이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 p=1, q=-1
⑵ 주어진 등식의 우변을 벡터 x¯, y¯에 대하여 정리하면 px¯+2qy¯=(2p+q)x¯+(p+q+2)y¯
x¯+0¯, y¯+0¯, x¯∦y¯이고, 2p+q, p+q+2는 실수이 므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
g ∴g
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 p=-1, q=1 p¯+q¯와 q¯-r¯ 를 각각 구하면
p¯+q¯=(3a¯-4b¯)+(-a¯+2b¯)=2a¯-2b¯
q¯-r¯=(-a¯+2b¯)-(ta¯-2b¯)=(-1-t)a¯+4b¯
이때 p¯+q¯ 와 q¯-r¯ 가 서로 평행하므로 q¯-r¯=k(p¯+q¯ )(단, k+0인 실수)
∴ (-1-t)a¯+4b¯=2ka¯-2kb¯
위의 식에서 a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯ 이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
-1-t=2k, 4=-2k ∴ k=-2, t=3 ma¯+3b¯를 구하면
ma¯+3b¯=m(x¯+2y¯)+3(3x¯-y¯)
=(m+9)x¯+(2m-3)y¯
이때 ma¯+3b¯와 x¯+y¯가 평행하므로 ma¯+3b¯=k(x¯+y¯ ) (단, k+0인 실수)
∴ (m+9)x¯+(2m-3)y¯=kx¯+ky¯
위의 식에서 x¯+0¯, y¯+0¯, x¯∦y¯ 이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
m+9=k, 2m-3=k 두 식을 연립하여 m의 값을 구하면
m+9=2m-3 ∴ m=12 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건은
AC≥=kAB≥ (단, k+0인 실수) yy㉠ㅇ 이때 AC≥, AB≥를 구하면
5 1
4 1
3 1
p+q=0 yy㉠ p-q=-2 yy㉡ p=2p+q
2q=p+q+2
2p+q-1=0 yy㉠
3p-2q-5=0 yy㉡
[
2 1
8 7 5 7 16
7 10
7
5 7 3 7
AC≥=OC≥-OA≥=(2a¯+mb¯ )-a¯=a¯+mb¯
AB≥=OB≥-OA≥=(3a¯+b¯ )-a¯=2a¯+b¯
이를 ㉠에 대입하면 a¯+mb¯=k(2a¯+b¯ )
∴ a¯+mb¯=2ka¯+kb¯
위의 식에서 a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯ 이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
1=2k, m=k ∴ m=;2!;
`다른 풀이`
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건은 OC≥=kOB≥+(1-k)O’A≥ (k+0인 실수) 이므로 주어진 조건을 대입하면
2a¯+mb¯=k(3a¯+b¯ )+(1-k)a¯
∴ 2a¯+mb¯=(1+2k)a¯+kb¯
위의 식에서 a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯ 이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
2=1+2k, m=k ∴ k= , m=
변 OA를 1：2로 내분하는 점이 M이므로
O’M≥= OA≥= a¯ yy㉠ㅇ
세 점 M, P, B가 한 직선 위에 있을 때 BP≥=tB’M≥(t+0인 실수) 가 성립하므로 위의 식을 변형하면
OP≥-OB≥=t(O’M≥-OB≥)
∴ OP≥=tO’M≥+(1-t)OB≥
= a¯+(1-t)b¯(∵ ㉠) yy`㉡ㅇ 또 변 OB의 중점이 N이므로
ON≥= OB≥= b¯ yy㉢ㅇ
세 점 A, P, N이 한 직선 위에 있을 때 NP≥=sN’A≥ (s+0인 실수) 가 성립하므로 위의 식을 변형하면
OP≥-ON≥=s(O’A≥-ON≥)
∴ OP≥=sOA≥+(1-s)ON≥
=sa¯+(1-s)¥ b¯(∵ ㉢) yy`㉣ㅇ
㉡=㉣이므로
a¯+(1-t)b¯=sa¯+(1-s)¥ b¯
위의 식에서 a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
=s, 1-t=1-s 2 t
3
1 2 t
3
1 2 1 2 1 2
t 3
1 3 1 3
6 1
1 2 1
2
Ⅳ벡터113
1 x¯=a¯¯, y¯=a¯- b¯ 2 ④
3 (가) C (나) BA≥ (다) 0¯ 4 5 ①
6 ㄱ, ㄷ 7 평행사변형 8 6 9 ①
10 ② 11 0 m/초 12 5 13 45 11
6 5 1
2
pp. 197~199
연습 문제
㉠+㉡을 하면
4x¯=4a¯ ∴ x¯=a¯
x¯=a¯를 ㉡에 대입하면
a¯+2y¯=3a¯-b¯ ∴ y¯=a¯- b¯
FE≥=BC≥, FD≥=AC≥이므로 △ABC에서 AB≥+FE≥+FD≥=(AB≥+BC≥)+AC≥
=AC≥+AC≥=2AC≥
이때 △ABC에서 AB”=BC”=2이고, ∠ABC=120˘
이므로 제이코사인법칙에 의하여
AC” ¤ =AB” ¤ +BC” ¤ -2AB” ¥ BC” cos 120˘
=2¤ +2¤ -2¥2¥2¥{- }=12
∴ AC”='1å2=2'3
∴ |AB≥+FE≥+FD≥|=|2AC≥|
=2|AC≥|
=2¥2'3=4'3
PB≥+PC≥+PD≥=PA≥에서 PC≥+PD≥=PA≥-PB≥
∴ PC≥+PD≥=
그런데 □ABCD는 직사각형이므로
=CD≥ ∴ PC≥+PD≥=CD≥
이때 CD≥=PD≥-PC≥이므로
PC≥+PD≥=PD≥-PC≥, PC≥=-PC≥
∴ PC≥+PC≥= (다)0¯
(나)B’A≥
(나)B’A≥
A D
B P C
3
1 2
2
1 2
3x¯-2y¯=a¯+b¯ yy`㉠
x¯+2y¯=3a¯-b¯ yy`㉡
1
[따라서 PC≥= 이므로 점 P는 꼭짓점 와 일 치한다.
세 점 C, D, E가 한 직선 위에 있을 때
CE≥=k CD≥ (k+0인 실수) yy㉠⋯
가 성립하므로 CE≥, CD≥를 구하면
CE≥=OE≥-OC≥=r(a¯+b¯)-3a¯=(r-3)a¯+rb¯
CD≥=OD≥-OC≥=2b¯-3a¯=-3a¯+2b¯
이를 ㉠에 대입하면
(r-3)a¯+rb¯=k(-3a¯+2b¯)
∴ (r-3)a¯+rb¯=-3ka¯+2kb¯
위의 식에서 a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
r-3=-3k, r=2k ∴ k= , r=
△ABM에서 B’M≥을 구하면
B’M≥=A’M≥-AB≥ yy`㉠ㅇ
△AHM에서 A’M≥을 구하면 A’M≥=A’H≥+H’M≥
=(AD≥+D’H≥)+ HF≥
=(A’D≥+AE≥)+ DB≥
=(A’D≥+AE≥)+ (AB≥-AD≥)
= AB≥+ AD≥+AE≥
위의 식을 ㉠에 대입하면
B’M≥={ AB≥+ AD≥+AE≥}-AB≥
=- a¯+ b¯+c¯
이를 B’M≥=la¯+mb¯+nc¯와 비교하면 l=- , m= , n=1
∴ l+m+n=- + +1=1
주어진 전개도로 정육면체를 만들면 다음과 같다.
A, I
D F
K C, E ,G J, L
H, M, N
B
6
1 2 1 2 1 2 1
2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
5
6 5 3 5
4
(가)C
(다)0¯
두 식을 연립하면 s= , t=
∴ O’P≤= a¯+2b¯
5 1 5
3 5 1 5
정답과해설114
OB≥=3a¯+2b¯
OC≥=a¯+3b¯
주어진 조건에서 OC≥=m O’A≥+n OB≥이므로 a¯+3b¯=m(-a¯+2b¯ )+n(3a¯+2b¯ )
∴ a¯+3b¯=(-m+3n)a¯+(2m+2n)b¯
위의 식에서 a¯+0¯, b¯+0¯, a¯∦b¯이므로 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
-m+3n=1, 2m+2n=3
∴ m= , n= ∴ m-n=
오른쪽 그림과 같이 점 D를
□OADB가 정사각형이 되도록 잡 으면 △OAD는 직각삼각형이므로
|a¯|=|OD≥|cos 45˘= |OD≥|
이때 |a¯|=|c¯|이고 세 점 O, C, D는 한 직선 위에 있 으므로
c¯= OD≥= (a¯+b¯)= a¯+ b¯
∴ m= , n=
∴ m¤ +n¤ = + =1
배의 진행 벡터를 O’A≥, 강 물의 진행 벡터를 OB≥라 하고, 이를 그림으로 나타 내면 오른쪽 그림과 같다.
이때 실제로 배가 진행하는 방향은 북쪽이므로 두 벡터 O’A≥, OB≥의 합을 OC≥라
하면 OC≥의 방향은 북쪽 방향이고 실제 배의 속력은 OC≥
의 크기이므로 직각삼각형 OBC에서
|OC≥|="√13¤ -5¤ =12 (m/초)
따라서 배와 무선 조정 비행기의 진행 방향과 속력은 각각 북쪽, 12 m/초로 같으므로 배 안에 있는 사람이 바라본 무 선 조정 비행기는 정지해 있는 것처럼 보인다.
즉 구하는 상대속력은 0 m /초이다.
세 점 O, M, P가 한 직선 위에 있을 때
OP≥=kO’M≥ (k+0인 실수) yy`㉠ㅇ 가 성립하므로 △OBP에서 OP≥를 구하면
OP≥=OB≥+BP≥
=OB≥+ BC≥=OB≥+ OA≥=2a¯+b¯
3 2 3 2
3
2 1
B A C
O 13 m/초
(북)
5 m/초 (동)
1 1
1 2 1 2
1 '2 1
'2
1 '2 1 '2 1
'2 1
'2
1 '2
D
O
45˘ A
C B
c a b
0 1
1 4 5
8 7 8
∴ AE≥=AC≥=AG≥
=IÆC≤=IÆE≤=IÆG≤
=JÆD≤=LD≥
따라서보기에서 AE≥와 같은 벡터는 ㄱ. AC≥, ㄷ. IÆC≤이다.
두 벡터의 차를 이용하여 주어진 식을 변형하면 OA≥+OC≥=OB≥+OD≥, OA≥-OD≥=OB≥-OC≥
∴ D’A≥=CB≥
D’’A≥=CB≥에서 두 벡터 D’’A≥, CB≥는 크기가 같고 한 벡터를 평행이동하여 다른 벡터에 겹칠 수 있으므로
BC”=AD”, BC” // AD”
따라서 사각형 ABCD는 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길 이가 같으므로 평행사변형이다.
벡터의 뺄셈을 이용하여 주어진 식의 좌변을 변형하면 A’P¡≥+A’P™≥+A’P£≥+A’P¢≥+A’P∞≥+A’P§≥
=(O’P¡≥-O’A≥)+(O’P™≥-O’A≥)+y+(O’P§≥-O’A≥)
=O’P¡≥+O’P™≥+y+O’P§≥-6OA≥ yy`㉠ㅇ 이때 오른쪽 그림과 같이 점 P¡, P™,
P£, y, P§은 원의 둘레를 6등분하 므로
O’P¡≥=-O’P¢≥
O’P™≥=-O’P∞≥
O’P£≥=-O’P§≥
∴ O’P¡≥+O’P™≥+y+O’P§≥=0¯
이를 ㉠에 대입하면
A’P¡≥+A’P™≥+A’P£≥+A’P¢≥+A’P∞≥+A’P§≥
=-6OA≥=6AO≥
따라서 구하는 실수 k의 값은 k=6
오른쪽 그림과 같이 영벡터 가 아니고 서로 평행하지 않 은 두 벡터 a¯, b¯ 를 잡고, O’A≥, OB≥, OC≥를 a¯, b¯를 이용하여 각각 나타내면
O’A≥=-a¯+2b¯
B C
A
O a b
9
P¡
P™
P£
P¢
P∞
P§
O
8
D A
C B
7
Tip 사각형이 평행사변형이 될 조건
⑴ 두 쌍의 대변이 각각 평행할 때
⑵ 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같을 때
⑶ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같을 때
⑷ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분할 때
⑸ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같을 때
Ⅳ벡터115
∴ O’M≥=(1-t)OA≥+tOQ≥
=(1-t)a¯+t¥ b¯ yy`㉢ㅇ
5…|AP≥|…10, 3…|AQ≥|…12
이므로 점 R가 존재하는 영역을 그림으로 나타내면 다음