구의 방정식 - 2 공간좌표 - 개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설

2 공간좌표

07 구의 방정식

1

1 2

이므로

=2, =0, =4

∴ a=7, b=-1, c=3 또한 대각선 BD의 중점의 좌표는

{ , , }

이므로

=2, =0, =4

∴ d=3, e=2, f=11 따라서 두 점 C, D의 좌표는

C(7, -1, 3), D(3, 2, 11)

오른쪽 그림과 같이 AC”의 중점이 B이므로 △ACD의 무게중심 G는 DB”를 2：1로 내분하는 점이다.

이때 점 D의 좌표를 D(a, b, c)라 하면 점 G의 좌표는

G { , , }

이고 주어진 조건에서 G(-1, 1, 6)이므로

=-1, =1, =6

∴ a=-19, b=-5, c=14

따라서 점 D의 좌표는 D(-19, -5, 14) c+4

3 b+8

3 a+16

2¥2+1¥c 2+1 2¥4+1¥b

2+1 2¥8+1¥a

2+1

2 1

A B C

3 1

-3+f 2 -2+e

2 1+d

-3+f 2 -2+e

2 1+d

5+c 2 1+b

2 -3+a

07

^{구의 방정식}

14 ⑴ (x-3)¤ +(y+2)¤ +(z-1)¤ =22

⑵ (x-1)¤ +(y-2)¤ +(z-1)¤ =29 15 (x-3)¤ +(y-3)¤ +(z+4-'7)¤ =9

또는 (x-3)¤ +(y-3)¤ +(z+4+'7)¤ =9 16 (x-5'2)¤ +(y-5'2)¤ +(z-5'2)¤ =100 17 x¤ +y¤ +z¤ -4x-2y+8z-5=0

18 ⑴ x¤ +y¤ +z¤ + y+2z- =0

⑵ {x+ }2 +(y-2)¤ +{z- }2 = 19 x¤ +(y-2)¤ +(z-3)¤ =12

1 9 1 3 10

5 3 8

유제 pp. 166~168

정답과해설096

⑴ 반지름의 길이를 r라 하면 구의 중심이 C(3, -2, 1) 이므로 구하는 구의 방정식은

(x-3)¤ +(y+2)¤ +(z-1)¤ =r¤ yy`㉠⋯

㉠은 점 (0, 1, 3)을 지나므로 (0-3)¤ +(1+2)¤ +(3-1)¤ =r¤

∴ r¤ =22

r¤ =22를 ㉠에 대입하면 구하는 구의 방정식은 (x-3)¤ +(y+2)¤ +(z-1)¤ =22

⑵ 두 점 A(-2, 0, 5), B(4, 4, -3)이 지름의 양 끝 점일 때, 구의 중심을 C라 하면 점 C는 AB”의 중점이 므로

C { , , }

∴ C(1, 2, 1)

이때 구의 반지름의 길이를 r라 하면 r는 AB”의 길이

의 이므로

r= "{√4-(√-2)√}¤ +√(4-√0)¤ √+(√-3√-5)¤

r='2å9

따라서 중심이 C(1, 2, 1)이고, 반지름의 길이가 '2å9 인 구의 방정식은

(x-1)¤ +(y-2)¤ +(z-1)¤ =29

오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B와 구의 중심이 yz평면, zx 평면에 대하여 각각 같은 영역 에 존재해야 하므로 구의 중심 을 C(a, b, c)라 하면

a>0, b>0

이때 구의 반지름의 길이를 r라 하면 yz평면, zx평면에 동시에 접하므로

|중심의 x좌표|=a=r

|중심의 y좌표|=b=r 따라서 구하는 구의 방정식은

(x-r)¤ +(y-r)¤ +(z-c)¤ =r¤ yy`㉠⋯

㉠`이 두 점 A(2, 2, -4), B(4, 2, -4)를 지나므로 (2-r)¤ +(2-r)¤ +(-4-c)¤ =r¤ yy`㉡⋯

(4-r)¤ +(2-r)¤ +(-4-c)¤ =r¤ yy`㉢⋯

㉡, ㉢`을 연립하면 r=3, c=-4—'7

이를 ㉠`에 대입하면 구하는 구의 방정식은 (x-3)¤ +(y-3)¤ +(z+4-'7)¤ =9 또는 (x-3)¤ +(y-3)¤ +(z+4+'7)¤ =9

y z

A B

x C

5 1

1 2 1 2

5+(-3) 2 0+4

2 -2+4

4

1

구가 x축, y축, z축에 모두 접

할 때, 오른쪽 그림과 같이 구의 중심에서 x축, y축, z축에 이 르는 거리가 모두 같다.

따라서 구의 중심을 C라 하면 구의 중심의 좌표는 모두 양수 이므로

C(a, a, a) (단, a>0)

이때 구의 반지름의 길이가 10이므로 구하는 구의 방정식은 (x-a)¤ +(y-a)¤ +(z-a)¤ =10¤ yy`㉠⋯

한편 구가 x축에 접하는 점을 H라 하면 점 H는 구의 중 심 C에서 x축에 내린 수선의 발과 같으므로

H(a, 0, 0)

이때 CH”의 길이는 구의 반지름의 길이와 같으므로 CH”="√(a-a)¤ +(a-0)¤ +√(a-0)¤

=10

∴ a=5'2 (∵ a>0)

a=5'2를 ㉠`에 대입하면 구하는 구의 방정식은 (x-5'2)¤ +(y-5'2)¤ +(z-5'2)¤ =100

구가 지나는 네 점의 좌표가 주어졌으므로 구하는 구의 방 정식을 일반형으로 놓으면

x¤ +y¤ +z¤ +Ax+By+Cz+D=0 이 구가 네 점 P, Q, R, S를 지나므로

P(1, 1, 1)Δ3+A+B+C+D=0 y`㉠⋯

Q(2, 2, 1)Δ9+2A+2B+C+D=0 y`㉡⋯

R(3, 1, 1)Δ11+3A+B+C+D=0 y`㉢⋯

S(3, 4, 0)Δ25+3A+4B+D=0 y`㉣⋯

㉡-㉠``을 하면

6+A+B=0 y`㉤⋯

㉢-㉡``을 하면

2+A-B=0 y`㉥⋯

㉤, ㉥``을 연립하면

A=-4, B=-2 y`㉦⋯

㉦``을 ㉣``에 대입하면

D=-5 y`㉧⋯

㉦, ㉧``을 ㉠``에 대입하면 C=8

따라서 구하는 구의 방정식은

x¤ +y¤ +z¤ -4x-2y+8z-5=0

⑴ 두 점 A, B에서 점 P에 이르는 거리의 비가 2：1이 므로

8 1

7 1

C(a, a, a) z

x O y H

6

1

Ⅲ공간도형과공간좌표097 AP”：BP”=2：1 Δ AP”=2 BP”

∴ AP”¤ =4BP”¤ yy`㉠⋯

점 P의 좌표를 P(x, y, z)라 하고 AP”¤ , BP”¤ 을 각 각 구하면

AP”¤ =x¤ +y¤ +(z-3)¤ yy`㉡⋯

BP”¤ =x¤ +(y+1)¤ +z¤ yy`㉢⋯

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하여 점 P의 자취의 방정식을 구 하면

x¤ +y¤ +(z-3)¤ =4{x¤ +(y+1)¤ +z¤ }

∴ x¤ +y¤ +z¤ + y+2z- =0

⑵ 구 (x-2)¤ +y¤ +(z-1)¤ =1 위를 움직이는 점 P의 좌표를 P(a, b, c)라 하면

(a-2)¤ +b¤ +(c-1)¤ =1 yy`㉠⋯

또 AP”를 1：2로 내분하는 점을 Q(x, y, z)라 하면

⑵⑵Q { , , }

⑵⑵∴ x= , y= , z=

⑵⑵∴ a=3x+12, b=3y-6, c=3z yy`㉡⋯

㉡``을 ㉠``에 대입하여 자취의 방정식을 구하면 (3x+10)¤ +(3y-6)¤ +(3z-1)¤ =1

∴ {x+ }2`+(y-2)¤ +{z- }2`=

∠APB=90˘이므로 세 점 A, P, B를 꼭짓점으로 하는

△APB는 다음 그림과 같이 직각삼각형이다.

∴ AP”¤ +BP”¤ =AB”¤ yy㉠⋯

점 P의 좌표를 P(x, y, z)라 하고 AP”¤ , BP”¤ , AB”¤ 을 각각 구하면

AP” ¤ =(x-2)¤ +y¤ +(z-5)¤

BP” ¤ =(x+2)¤ +(y-4)¤ +(z-1)¤

AB” ¤ =(-2-2)¤ +4¤ +(1-5)¤

=48 이를 ㉠`에 대입하면

(x-2)¤ +y¤ +(z-5)¤

+(x+2)¤ +(y-4)¤ +(z-1)¤ =48

∴ x¤ +(y-2)¤¤ +(z-3)¤ =12 A(2, 0, 5) B(-2, 4, 1)

P(x, y, z)

9 1

1 9 1 3 10

c 3 b+6

3 a-12

1¥c+2¥0 1+2 1¥b+2¥3

1+2 1¥a+2¥(-6)

1+2

5 3 8

08

구와 평면의 위치 관계

20 65 또는 -15 21 ⑴ 4 ⑵ 8p 22

23 7p 24 22 25 28p

11 '2å9

유제 pp. 170~172

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ -2x-4y-6z-2=a를 완전제 곱꼴로 변형하면

(x¤ -2x+1)+(y¤ -4y+4)+(z¤ -6z+9)=a+16

∴ (x-1)¤ +(y-2)¤ +(z-3)¤ =a+16 이 구의 중심을 O, 반지름의 길이를 r라 하면

O(1, 2, 3), r='ƒa+16

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ -2x+4y-11=0을 완전제곱 꼴로 변형하면

(x¤ -2x+1)+(y¤ +4y+4)+z¤ =16

∴ (x-1)¤ +(y+2)¤ +z¤ =16

이 구의 중심을 O', 반지름의 길이를 r'이라 하면 O'(1, -2, 0), r'=4

두 구의 중심거리 d를 구하면

d=O’O'”="√(1-1)¤ +(-2√-2)¤ +(0-3)¤ =5 이때 두 구가 접하는 경우는 내접하는 경우와 외접하는 경 우의 두 가지가 있다.

⁄내접하는 경우 내접할 조건은

|r-r'|=d이므로 'ƒa+16-4=5 'ƒa+16=9

∴ a=65

¤외접하는 경우 외접할 조건은 r+r'=d이므로

'ƒa+16+4=5 'ƒa+16=1

∴ a=-15

⑴ 구와 y축이 만날 때, y축 위의 점의 x, z좌표는 0이므 로구의방정식에 x=0, z=0을대입하면

(0+1)¤ +(y-1)¤ +(0-2)¤ =9 y¤ -2y-3=0, (y+1)(y-3)=0

∴ y=-1 또는 y=3

1 2

O(1, 2, 3)

O'(1, -2, 0) a+16

5 4

5 4 a+16 O(1, 2, 3)

O'(1, -2, 0)

0

2

정답과해설098

⑴따라서 두 점 A, B의 좌표는

⑴ (0, -1, 0), (0, 3, 0)

⑴ ∴ AB”=|3-(-1)|=4

⑵ 구와 yz평면이 만나서 생기는 도형은 yz평면 위에 존 재하고, yz평면 위의 점의 x좌표는 0이므로 구의 방 정식에 x=0을 대입하면

(0+1)¤ +(y-1)¤ +(z-2)¤ =9

∴ (y-1)¤ +(z-2)¤ =8

따라서 구와 yz평면이 만나서 생기는 도형은 중심이 (0, 1, 2)이고, 반지름의 길이가 '8인 원이므로 그 넓이는

p_('8)¤ =8p

구와 x축이 만날 때, x축 위의 점의 y, z좌표는 0이므 로 구의 방정식에 y=0, z=0을 대입하면

(x+1)¤ +(0-1)¤ +(0+2)¤ =r¤

∴ x¤ +2x+6-r¤ =0 yy`㉠⋯

x에 대한 이차방정식 ㉠의 두 근을 a, b라 하면 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 3이므로

|a-b|=3 yy`㉡⋯

또 ㉠`에서 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-2, ab=6-r¤ yy`㉢⋯

이때 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab이므로 ㉡, ㉢`에 의하여 3¤ =(-2)¤ -4(6-r¤ )

r¤ = ∴ r= (∵ r>0)

구의 중심을 C(a, b, c) (c>0)라 하면 반지름의 길이 가 4인 구의 방정식은

(x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =16 yy㉠⋯

구와 xy평면이 만나서 생기는 도형은 xy평면 위에 존재 하고, xy평면 위의 점의 z좌표는 0이므로 ㉠`에 z=0을 대입하면

(x-a)¤ +(y-b)¤ =16-c¤

위의 방정식이 (x-2)¤ +(y-3)¤ =12와 같으므로 a=2, b=3, 16-c¤ =12

∴ a=2, b=3, c=2 (∵ c>0) yy㉡⋯

㉡`을 ㉠`에 대입하면 구의 방정식은

(x-2)¤¤ +(y-3)¤¤ +(z-2)¤¤ =16 yy㉢⋯

한편 구와 zx평면이 만나서 생기는 도형은 zx평면 위에 존재하고, zx평면 위의 점의 y좌표는 0이므로 ㉢`에 y=0을 대입하면

(x-2)¤¤ +(z-2)¤¤ =7

3 2

'2å9 2 29

2 2

따라서 구와 zx평면이 만나서 생기는 도형은 중심이 (2, 0, 2)이고, 반지름의 길이가 '7인 원이므로 그 넓이는

p_('7)¤ =7p

주어진 구의 방정식을 완전제곱꼴로 변형하면

(x¤ -2x+1)+(y¤ -12y+36)+(z¤ -4z+4)=16

∴ (x-1)¤ +(y-6)¤ +(z-2)¤ =4¤

점 A(2, 7, -4)에서 구의 중심 (1, 6, 2)까지의 거리 를 d라 하면

d="(√1-2)¤ +(6-7√)¤ +{2-(-4)}¤ ='3å8 또 구의 반지름의 길이를 r라 하면 r=4

이때 AP”의 길이가 최대 또는 최소가 되는 경우의 점 P 의 위치는 다음 그림과 같다.

따라서 AP”의 길이의 최댓값 M과 최솟값 m을 구하면 M=d+r='3å8+4

m=d-r='3å8-4

∴ Mm=('3å8+4)('3å8-4)=22

구 (x-1)¤ +(y-5)¤ +z¤ =4의 중심을 C, 반지름의 길 이를 r라 하면

C(1, 5, 0), r=2

다음 그림과 같이 점 A에서 구에 접선을 그었을 때 생기 는 접점을 P라 하면 점 P가 그리는 도형은 원이다.

△CAP는 ∠CPA=90˘인 직각삼각형이므로 PA”=øπC’A”¤ -CP”¤ yy㉠⋯

CP”, CA”의 길이를 각각 구하면

CP”=r=2 yy㉡⋯

C’A”="(√-2√-1√)¤ +√(6-√5)¤ √+(√-1-0)¤

='1å1 yy㉢⋯

㉡, ㉢`을 ㉠`에 대입하면 PA”="(√'1å1)¤ -2¤ ='7

또한 점 P에서 CA”에 내린 수선의 발을 H라 하고 직각 삼각형 CAP의 넓이를 이용하여 PH”의 길이를 구하면

¥CP” ¥ PA”=1¥C’A” ¥ PH”

2 1

H P

A(-2, 6, -1) C(1, 5, 0)

5 2

(1, 6, 2)

4 4 A(2, 7, -4)

최대점

최소점

P 38

4

2

Ⅲ공간도형과공간좌표099

¥2 ¥'7= ¥ '1å1¥ PH”

∴ PH”=

따라서 접점이 그리는 도형은 반지름의 길이가 인 원이므로 구하는 도형의 넓이는

p¥{ }2 =28p 11 2'7 '1å1

2'7 '1å1 2'7

'1å1 1 2 1

1 ③ 2 3 - 4 ④

5 (x-3)¤ +y¤ +(z+4)¤ =4 6 ③ 7 P(2, 1, 0) 8 99 9 ③ 10 최댓값：20, 최솟값：6

11 p 12 p 13 14 p

15 30 m

16 3 2'1å0

3 5

6 7

2 3 '2

pp. 173~175

연습 문제

두 점 A(3, -1, 2), B(3, 5, 4)로부터 같은 거리에 있는 y축 위의 점을 P(0, b, 0)이라 하면

AP”=BP” ∴ AP”¤ =BP”¤

AP”¤ , BP”¤ 을 각각 구하면

AP”¤ =(0-3)¤ +{b-(-1)}¤ +(0-2)¤

=b¤ +2b+14 yy`㉠⋯

BP”¤ =(0-3)¤ +(b-5)¤ +(0-4)¤

=b¤ -10b+50 yy`㉡⋯

㉠=㉡`이므로

b¤ +2b+14=b¤ -10b+50, 12b=36

∴ b=3

따라서 구하는 점의 좌표는 (0, 3, 0)

두 점 A(1, 1, 2), B(1, -1, 1)과 원점 O에 대하여 O’A”, OB”, AB”의 길이를 각각 구하면

OA”="√1¤ +1¤ +2¤ ='6 OB”="√1¤ +(-1)¤ +1¤ ='3

AB”="√(1-1)¤ +(-1-√1)¤ +(1-2)¤ ='5 세 점 O, A, B를 꼭짓점으로 하는 △OAB에서

∠AOB=h이므로 코사인법칙에 의하여

2 1

cos h=

점 P(4, 3, 7)과

xy평면에 대하여 대칭인 점은 z좌표의 부호가 바뀌므로 A(4, 3, -7)

yz평면에 대하여 대칭인 점은 x좌표의 부호가 바뀌므로 B(-4, 3, 7)

y축에 대하여 대칭인 점은 x, z좌표의 부호가 바뀌므로 C(-4, 3, -7)

이때 △ABC의 무게중심이 G(a, b, c)이므로

=-b= =3

=-∴

a+b+c=-다음 그림과 같이 점 A의 z좌표가 0이므로 점 A는 xy 평면 위에 있다.

점 B에서 xy평면에 내린 수선의 발을 B'이라 하면 B'(4, 1, 0)

직선 AB와 xy평면이 이루는 각의 크기가 60˘이므로 A’B'Ú=AB” cos 60˘

∴ A’B'Ú= AB” yy`㉠⋯

이때 AB”, A’B'”의 길이를 각각 구하면

AB”="{√4-(√-3)√}¤ +√(1-√2)¤ ç+≈c¤ ="√c¤ +50 A’B'Ú="{√4-(√-3)√}¤ +√(1-ç2)¤ =5'2 이를 ㉠``에 대입하면

5'2= "√c¤ +≈5Ω0, "√c¤ +50=10'2 c¤ +50=200

∴ c=5'6 (∵ c>0) 1

2 1 2 xy_평면

B(4, 1, c)

B'(4, 1, 0) 60。 A(-3, 2, 0)

4

2 3

7 3 (-7)+7+(-7)

3 3+3+3

4 3 4+(-4)+(-4)

3

'2 3

('6 )¤ +('3 )¤ -('5 )¤

2¥'6¥'3 O’A”¤ +OB”¤ -AB”¤

2¥OA”¥OB”

정답과해설100

중심이 C(3, 0, -4)인 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 방정식은 (x-3)¤ +y¤ +(z+4)¤ =r¤

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ -2x-8y+1=0을 완전제곱꼴 로 변형하면

(x¤ -2x+1)+(y¤ -8y+16)+z¤ =16

∴ (x-1)¤ +(y-4)¤ +z¤ =4¤

이 구의 중심을 C', 반지름의 길이를 r'이라 하면 C'(1, 4, 0), r'=4

이때 두 구의 중심거리를 d라 하면

d=C’C'”="√(3-√1)¤ √+(√-4)√¤ √+(√-4)¤ =6 두 구가 외접할 조건은 r+r'=d이므로

r+4=6 ∴ r=2 따라서 구하는 구의 방정식은

(x-3)¤ +y¤ +(z+4)¤ =4

중심이 (2, 6, -3)인 구의 반지름의 길이를 r라 하면 구의 방정식은

(x-2)¤ +(y-6)¤ +(z+3)¤ =r¤ yy`㉠⋯

구와 x축이 만날 때, x축 위의 점의 y, z좌표는 0이므 로 ㉠`에 y=0, z=0을 대입하면

(x-2)¤ +(0-6)¤ +(0+3)¤ =r¤

∴ x¤ -4x+49-r¤ =0 yy`㉡⋯

x에 대한 이차방정식 ㉡`의 두 근을 a, b라 하면 잘린 x축의 길이가 8이므로 |a-b|=8

또 ㉡`에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=49-r¤

이때 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab이므로 8¤ =4¤ -4(49-r¤ ), r¤ =61

∴ r='6å1 (∵ r>0)

두 점 A(6, 4, 2), B(-2, -2, -2)에서 xy평면에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라 하면

A'(6, 4, 0), B'(-2, -2, 0)

다음 그림과 같이 △AA'P와 △BB'P가 서로 닮음이므로

AP” : BP”=A’A'” : B’B'”=2 : 2=1 : 1 따라서 점 P는 AB”의 중점이므로

P { , , }

∴ P(2, 1, 0)

2+(-2) 2 4+(-2)

2 6+(-2)

2 P

B(-2, -2, -2) A'(6, 4, 0)

A(6, 4, 2)

B'(-2, -2, 0) xy평면

7 6

5

두 점 A, B의 y좌표와 z좌표의 부호가 각각 +로 같으

므로 zx평면, xy평면에 대하여 두 점 A, B는 각각 같은 영역에 존재한다.

점 A와 zx평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 점 A'은 y좌표의 부호가 바뀌므로 A'(2, -3, 5) 점 B와 xy평면에 대하여 대칭인 점을 B'이라 하면 점 B'은 z좌표의 부호가 바뀌므로 B'(1, 4, -2) 따라서 주어진 조건과 두 점 A', B'을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

그런데 대칭이동의 성질에 의하여 AP”=A’'P”, QB”=Q’B’'”

이므로

AP”+PQ”+QB”=A’'P”+PQ”+Q’B'”

이때 위의 그림과 같이 A’'P”+PQ”+Q’B'”의 값이 최소일 때, 두 점 P, Q의 위치는 A’'B'” 위의 점일 때이므로

A’'P”+PQ”+Q’B'”æA’'B'”

따라서 AP”+PQ”+QB”의 최솟값은 A’'B'”의 길이와 같으 므로

A’'B'”="√(2-1)¤ +(-3-4)¤ √+{5-(-2)}¤

='9å9='k

∴ k=⁹⁹

구의 중심을 C(a, b, c)라 하면 구의 방정식은 (x-a)¤ +(y-b)¤ +(z-c)¤ =25 yy㉠⋯

이 구를 xy평면으로 자른 단면은 xy평면 위에 존재하고, xy평면 위의 점의 z좌표는 0이므로 ㉠`에 z=0을 대입하면

(x-a)¤ +(y-b)¤ =25-c¤

yz평면으로 자른 단면은 yz평면 위에 존재하고, yz평면 위의 점의 x좌표는 0이므로 ㉠`에 x=0을 대입하면

(y-b)¤ +(z-c)¤ =25-a¤

zx평면으로 자른 단면은 zx평면 위에 존재하고, zx평면 위의 점의 y좌표는 0이므로 ㉠`에 y=0을 대입하면

(x-a)¤ +(z-c)¤ =25-b¤

주어진 조건에서 xy평면, yz평면, zx평면으로 자른 단 면의 넓이가 각각 12p, 8p, 6p이므로

(25-c¤ )p=12p ∴ c¤ =13 (25-a¤ )p=8p ∴ a¤ =17 (25-b¤ )p=6p ∴ b¤ =19

9

Q P

Q A'(2, -3, 5)

A(2, 3, 5) B(1, 4, 2)

B'(1, 4, -2) zx평면

xy평면

8

Ⅲ공간도형과공간좌표101 따라서 원점에서 구의 중심 C(a, b, c)까지의 거리는

"√a¤ +b¤ +c¤ ='ƒ17+19+13=7

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ +4x+12y-2z+32=0을 완전 제곱꼴로 변형하면

(x¤ +4x+4)+(y¤ +12y+36)+(z¤ -2z+1)=9

∴ (x+2)¤ +(y+6)¤ +(z-1)¤ =3¤

이 구의 중심을 C, 반지름의 길이를 r라 하면 C(-2, -6, 1), r=3

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ -2x-12y+6z+30=0을 완전 제곱꼴로 변형하면

(x¤ -2x+1)+(y¤ -12y+36)+(z¤ +6z+9)=16

∴ (x-1)¤ +(y-6)¤ +(z+3)¤ =4¤

이 구의 중심을 C', 반지름의 길이를 r'이라 하면 C'(1, 6, -3), r'=4

두 구의 중심거리를 d라 하면 d=C’C'”

="√{1-(-2)}¤ +{6-(√-6)}¤ +(-3-1)¤ =13 PQ”의 길이가 최대 또는 최소일 때, 두 점 P, Q의 위치는 다음 그림과 같다.

따라서 PQ”의 길이의 최댓값과 최솟값을 구하면 (최댓값)=13+(3+4)=20

(최솟값)=13-(3+4)=6

평면과 구가 만나서 생기는 단면은 원이다.

오른쪽 그림과 같이 단면인 원의 반지름의 길이를 각각 r¡, r™라 하 고 구의 중심 O에서 한 단면까지 의 거리를 x라 하면 다른 단면까 지의 거리는 3-x이므로 피타고 라스 정리에 의하여

r¡¤ =2¤ -x¤

r™¤ =2¤ -(3-x)¤ =-x¤ +6x-5 이때 두 단면의 넓이의 합은

pr¡¤ +pr™¤ =p(4-x¤ -x¤ +6x-5)

=p(-2x¤ +6x-1)

=p[-2{x- }2 +7] 2 3 2

O x 3-x

r™

r¡

2 2

1 1

3 3 4 4

C(-2, -6, 1)

P P Q Q

C'(1, 6, -3) 최대점

최소점 최소점 최대점

0 1

따라서 x= 일 때, 두 단면의 넓이의 합이 최대이고 그

최댓값은 p이다.

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ +2x+2y+2z-6=0을 완전제 곱꼴로 변형하면

(x¤ +2x+1)+(y¤ +2y+1)+(z¤ +2z+1)=9

∴ (x+1)¤ +(y+1)¤ +(z+1)¤ =9

구의 방정식 x¤ +y¤ +z¤ +4y-2z+4=0을 완전제곱꼴로 변형하면

x¤ +(y¤ +4y+4)+(z¤ -2z+1)=1

∴ x¤ +(y+2)¤ +(z-1)¤ =1 두 구의 중심을 각각 O, O'이라 하면

O(-1, -1, -1), O'(0, -2, 1)

이때 다음 그림과 같이 두 구가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 A라 하면

O’A”=3, O’'A”=1

O’O'”="√1¤ +√(-1√)¤ +2¤ ='6

또 ∠AOO'=h라 하면 코사인법칙에 의하여 cos h=

cos h=

cos h= yy㉠⋯

한편 위의 그림과 같이 점 A에서 O’O'”에 내린 수선의 발 을 H라 하면

AH”=O’A” sin h

=O’A”¥"√1-cos¤ h AH”=3Æ…1-{ }2 (∵ ㉠)

=3¥

따라서 두 구가 만나서 생기는 원의 반지름의 길이는 AH”= 이므로 구하는 원의 넓이는

p¥{ }2 =5 p 6 '5 '6 '5 '6

'5 '6

'5 3'6

7 3'6 7 3'6

3¤ +('6 )¤ -1¤

2¥3¥'6 O’A” ¤ +O’’O'” ¤ -O’'A” ¤

2¥O’A”¥O’O'”

O' H O

3 1

2 1

7 2 3 2

정답과해설102

다음 그림과 같이 밑면의 중심 O를 원점, 직선 QR를 x축, 직선 OP를 z축, 점 O를 지나고 두 직선 QR와 OP에 동시에 수직인 직선을 y축으로 하여 △PQR를 좌 표공간에 놓으면

문서에서 개념플러스유형 기하와 벡터-정답과 해설 (페이지 95-109)