성분과 내적
7이때 오른쪽 그림과 같이 OP”가
07 벡터의 내적
1 ⑴ 4 ⑵ -4 ⑶ 4 ⑷ 0 ⑸ 8 ⑹ -4 2 ⑴ -2 ⑵ 0 3 ⑴ 1 ⑵ 4 4 5 ⑴ 2 ⑵ 8 6 6p
80 9
유제 pp. 224~226
⑴ △ABC에서 AB”=2, BC”=2이므로 AC”를 구하면
⑴ AC”=øπAB”¤ +BC”¤
="√2¤ +2¤ =2'2
⑴따라서 AB≥와 AC≥가 이루는 각의 크기가 45˘이고,
|AB≥|=2, |AC≥|=2'2이므로 AB≥∑AC≥=|AB≥||AC≥| cos 45˘
=2_2'2_ =4
⑵ AE≥와 GC≥는 방향이 반대이므로 AE≥와 GC≥가 이루 는 각의 크기는 180˘이고, |AE≥|=|GC≥|=2이므로
AE≥∑GC≥=|AE≥||GC≥| cos 180˘
=2_2_(-1)=-4
⑶ AC”=AF”=CF”이므로 △AFC는 정삼각형이다.
따라서 AC≥, AF≥가 이루는 각의 크기는 60˘이고,
|AC≥|=|AF≥|=2'2이므로 AC≥∑AF≥=|AC≥||AF≥| cos 60˘
=2'2_2'2_ =4
⑷ CG≥=BF≥이고 BD≥와 BF≥가 이루는 각의 크기가 90˘
이므로
BD≥∑CG≥=BD≥∑BF≥
=|BD≥||BF≥| cos 90˘
=0
⑸ AC≥와 AG≥를 오른쪽 그림과 같이 나타내면 △AGC에서
AC”=2'2 AG”="√(2'2)¤ +2¤
=2'3
∠ACG=90˘
이때 AC≥와 AG≥가 이루는 각의 크기를 h라 하면 cos h= = =
∴ AC≥∑AG≥=|AC≥||AG≥| cos h
=2'2_2'3_'2=8 '3 '2 '3 2'2 2'3 AC”
AG”
H F E
A B
C
G D
h 1
2 '2
2
1
Ⅳ벡터125 4_3¤ -4a¯∑b¯+1¤ =25
∴ a¯∑b¯=3
|a¯-2b¯|¤ 의 값을 구하면
|a¯-2b¯|¤ =|a¯|¤ -4 a¯∑b¯+4|b¯|¤
=3¤ -4_3+4_1¤ =1
∴ |a¯-2b¯|=1 (∵ |a¯-2b¯|æ0)
⑵ a¯∑b¯ 를 구하면
a¯∑b¯=|a¯||b¯| cos 60˘
=|a¯|_1_ = |a¯| yy㉠
|a¯-3b¯|='ß13의 양변을 제곱하면
|a¯-3b¯|¤ =|a¯|¤ -6a¯∑b¯+9|b¯|¤
|a¯-3b¯|¤=|a¯|¤ -6_ |a¯|+9_1¤ (∵ ㉠)
|a¯-3b¯|¤=13
|a¯|¤ -3|a¯|-4=0 (|a¯|-4)(|a¯|+1)=0
∴ |a¯|=4 (∵ |a¯|æ0)
AB≥=a¯, AC≥=b¯라 하면
|a¯|=4, |b¯|=3 yy`㉠ㅇ
이때 두 벡터 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 60˘이므로 a¯∑b¯를 구하면
a¯∑b¯=|a¯||b¯| cos 60˘=4_3_ =6 yy`㉡ㅇ 점 D는 BC”를 1：2로 내분한 점이므로
AD≥= = = a¯+ b¯
또 점 E는 BC”를 2：1로 내분한 점이므로
AE≥= = = a¯+ b¯
따라서 AD≥∑AE≥를 구하면
AD≥∑AE≥={ a¯+ b¯}∑{ a¯+ b¯ }
= a¯∑a¯+ a¯∑b¯+ a¯∑b¯+ b¯∑b¯
= |a¯|¤ + a¯∑b¯+ |b¯|¤
= _4¤ + _6+ _3¤ (∵ ㉠, ㉡)
=
⑴ a¯∑b¯를 구하면
(2, x-1)∑(-3, x+2)
=-6+(x-1)(x+2)=x¤ +x-8
5
80 9
2 9 5 9 2
9
2 9 5
9 2
9
2 9 1
9 4
9 2
9
2 3 1 3 1 3 2 3
2 3 1 3 2b¯+a¯
3 2AC≥+AB≥
2+1
1 3 2 3 b¯+2a¯
3 AC≥+2AB≥
1+2
1 2
4
1 2 1 2 1 2
⑹ AF≥와 ED≥는 시점이 일치하 지 않으므로 주어진 정육면체 를 세로로 연결하여 오른쪽 그 림과 같이 나타내면
AF≥=E’F'≥
따라서 두 벡터 E’F'≥과 E’D≥
가 이루는 각의 크기를 h라
하면 △EF'D에서 제이코사인법칙에 의하여 D’F'”¤ =ED”¤ +E’F'”¤ -2ED”_E’F'”_cos h
yy`㉠ㅇ 이때 D’F'”은 직육면체 ABCD2E'F'G'H'의 대각선 이므로
D’F'”=øπAB”¤ +AD”¤ +B’F'”¤
="√2¤ +2¤ +4¤ =2'6
이를 ㉠에 대입하여 cos h의 값을 구하면
(2'6)¤ =(2'2)¤ +(2'2)¤ -2_2'2_2'2 cos h
∴ cos
h=-∴ AF≥∑ED≥=E’F'≥∑ED≥
=|E’F'≥||ED≥|cos h
=2'2_2'2_{- }=-4
⑴ OB≥ 와 BC≥ 는 시점이 일치하지 않으므로 오른쪽 그림과 같이 BC≥ 를 평행이동하여 시점을 일 치시키면
BC≥=O’C'≥
이때 OB≥와 O’C'≥이 이루는 각의 크기가 120˘이고
|OB≥|=|O’C'≥|=2이므로 OB≥∑BC≥=OB≥∑O’C'≥
=|OB≥||O’C'≥|cos 120˘
=2_2_{- }=-2
⑵ 정사면체에서 꼬인 위치에 있는 두 모서리가 이루는 각 의 크기는 90˘이므로 OB≥와 AC≥가 이루는 각의 크기 는 90˘이다.
∴ OB≥∑AC≥=|OB≥||AC≥| cos 90˘=0
⑴ |2a¯-b¯|=5의 양변을 제곱하면
|2a¯-b¯|¤ =25
∴ 4|a¯|¤ -4a¯∑b¯+|b¯|¤ =25
|a¯|=3, |b¯|=1이므로
3
1 2
C C'
O
B 120˘
2
1 2 1
2
A B
D C
E F
G
E' F'
H' G' h H
08
두 벡터가 이루는 각7 ⑴ p ⑵ 3'3 8 9 10
11 5 12 ⑴ - ⑵ x=3, y=-2, z=4
13 (-1, 3, -1) 14 - 15
16 해설 참조 17 해설 참조
7 2 5
9 1 2
11'2 2 1
2 p
3 2
3
유제 pp. 229~232
주어진 조건에서 a¯∑b¯=-2이므로 x¤ +x-8=-2, x¤ +x-6=0
(x+3)(x-2)=0 ∴ x=2 (∵ x>0)
⑵ a¯=(2, x-1, x+2)에서 |a¯|의 값을 구하면
|a¯|="√2¤ +(x-1)¤ +(x+√2)¤
="√2x¤ +2x+9
이때 주어진 조건에서 |a¯|='1å3이므로
"√2x¤ +2x+9='1å3 양변을 제곱하면
2x¤ +2x+9=13, x¤ +x-2=0
(x+2)(x-1)=0 ∴ x=1 (∵ x>0) 한편 a¯=(2, x-1, x+2), b¯=(2-x, x, 2)에 x=1을 대입하면
a¯=(2, 0, 3), b¯=(1, 1, 2)
∴ a¯∑b¯=2¥1+0¥1+3¥2=8
위치벡터를 이용하여 AC≥와 BC≥를 성분으로 나타내면 AC≥=OC≥-OA≥=(x, y, 0)-(-2, 0, 1)
=(x+2, y, -1)
BC≥=OC≥-OB≥=(x, y, 0)-(0, 4, 3)
=(x, y-4, -3)
주어진 조건에서 AC≥∑BC≥=7이므로
AC≥∑BC≥=(x+2, y, -1)∑(x, y-4, -3)
=x(x+2)+y(y-4)+3=7
∴ (x+1)¤ +(y-2)¤ =9
점 C의 x좌표, y좌표가 위의 식을 만족하므로 점 C는 좌표공간의 xy평면에서 중심의 좌표가 (-1, 2, 0)이고 반지름의 길이가 3인 원 위를 움직인다.
따라서 구하는 자취의 길이는 2p_3=6p
6
정답과해설126
⑴ 두 벡터 a¯-2b¯, 2a¯+3b¯의 성분을 각각 구하면 a¯-2b¯=(1, 1, 0)-2(0, -1, -1)
=(1, 3, 2)
2a¯+3b¯=2(1, 1, 0)+3(0, -1, -1)
=(2, -1, -3)
a¯-2b¯, 2a¯+3b¯가 이루는 각의 크기를 h(0…h…p) 라 하면
cos h=
=
=-따라서 h의 값을 구하면
h= p(∵ 0…h…p)
⑵ 두 벡터 a¯=(1, '3), b¯=(-3, k)의 크기를 각각 구하면
|a¯|="√1¤ +('3)¤ =2
|b¯|="√(-3)¤ +k¤ ="√k¤ +9 a¯∑b¯=|a¯||b¯| cos 이므로
a¯∑b¯=2"√k¤ +9¥ ="√k¤ +9 yy`㉠ㅇ a¯∑b¯를 성분을 이용하여 구하면
a¯∑b¯=(1, '3)∑(-3, k)
=1¥(-3)+'3k='3k-3 yy`㉡ㅇ
㉠=㉡에서 양수 k의 값을 구하면
"√k¤ +9='3k-3, 2k¤ -6'3k=0 k(k-3'3)=0
∴ k=3'3 (∵ k>0)
∠BAC는 두 벡터 AB≥, AC≥가 이루는 각이므로 AB≥, AC≥의 성분을 각각 구하면
AB≥=OB≥-O’A≥=(2, -1, -1)-(1, 2, 1)
=(1, -3, -2)
AC≥=OC≥-O’A≥=(4, 0, 2)-(1, 2, 1)
=(3, -2, 1)
이때 |AB≥|, |AC≥|, AB≥∑AC≥를 각각 구하면
|AB≥|="√1¤ +(-3)¤ +(-2)¤ ='ß14
|AC≥|="√3¤ +(-2)¤ +1¤ ='ß14 AB≥∑AC≥=(1, -3, -2)∑(3, -2, 1)
=3+6-2=7
8
1 2 p 3 2
3 1 2
1¥2+3¥(-1)+2¥(-3)
"√1¤ +3¤ +2¤ "√2¤ +(-1)¤ +(-3)¤
(a¯-2b¯)`∑`(2a¯+3b¯)
|a¯-2b¯||2a¯+3b¯|
7
Ⅳ벡터127 AB≥∑AC≥=(-3, 4, 3)∑(-3, 4, 1)
=9+16+3=28 따라서 △ABC의 넓이를 구하면
△ABC= øπ|AB≥|¤ |AC≥|¤ -π(AB≥∑AC≥)¤
= "√34_26-28¤ = _10=5
⑴ 두 벡터 a¯+kb¯, 2a¯-b¯를 각각 성분으로 나타내면 a¯+kb¯=(1, -3)+k(-1, 0)=(1-k, -3) 2a¯-b¯=2(1, -3)-(-1, 0)=(3, -6) (a¯+kb¯)//(2a¯-b¯)일 때
a¯+kb¯=t(2a¯-b¯)(t+0인 실수) 이므로
(1-k, -3)=t(3, -6)=(3t, -6t) 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
1-k=3t, -3=-6t
∴ t= ,
k=-⑵ 세 벡터 a¯, b¯, c¯가 서로 수직이면 a¯⊥b¯, b¯⊥c¯, c¯⊥a¯
a¯⊥b¯에서 a¯∑b¯=0이므로 (x, 2, 1)∑(1, y, 1)=0
∴ x+2y+1=0 yy㉠
b¯⊥c¯에서 b¯∑c¯=0이므로 (1, y, 1)∑(-2, 1, z)=0 -2+y+z=0
∴ y+z-2=0 yy㉡
c¯ ⊥a¯에서 c¯∑a¯=0이므로 (-2, 1, z)∑(x, 2, 1)=0 -2x+2+z=0
∴ 2x-z-2=0 yy㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 x=3, y=-2, z=4
b¯ // c¯ 일 때, c¯=kb¯ (k+0인 실수)이므로
c¯=k(1, -2, -1)=(k, -2k, -k) yy㉠ a¯=c¯+d¯ 에서 d¯=a¯-c¯이므로
d¯=(-1, 1, 3)-(k, -2k, -k)
=(-1-k, 1+2k, 3+k) yy㉡ b¯⊥d¯일 때, b¯∑d¯=0이므로
(1, -2, -1)∑(-1-k, 1+2k, 3+k)
=-1-k-2-4k-3-k=-6k-6=0
∴ k=-1
3 1
1 2 1
2
2 1
1 2 1
2 1 2
∴ cos (∠BAC)=
= =
0…∠BAC…p이므로 ∠BAC=
|a¯+b¯|=2'7의 양변을 제곱하면
|a¯|¤ +2a¯∑b¯+|b¯|¤ =28 yy㉠ㅇ
|a¯-b¯|=2'3의 양변을 제곱하면
|a¯|¤ -2a¯∑b¯+|b¯|¤ =12 yy㉡ㅇ
㉠-㉡을 하면
4a¯∑b¯=16 ∴ a¯∑b¯=4
㉠+㉡을 하면 2|a¯|¤ +2|b¯|¤ =40
∴ |a¯|¤ +|b¯|¤ =20 yy㉢ㅇ 한편 (a¯+b¯)∑(a¯-b¯)=12를 변형하면
|a¯|¤ -|b¯|¤ =12 yy㉣ㅇ
㉢, ㉣을 연립하여 |a¯|, |b¯|의 값을 각각 구하면
|a¯|¤ =16, |b¯|¤ =4 Δ |a¯|=4, |b¯|=2 따라서 cos h의 값을 구하면
cos h= = =
|O’A≥|¤ , |OB≥|¤ , O’A≥∑OB≥의 값을 각각 구하면
|O’A≥|¤ =(2'2)¤ +(-1)¤ =9
|OB≥|¤ =('2)¤ +5¤ =27 O’A≥∑OB≥
=(2'2, -1)∑('2, 5)
=4-5=-1
따라서 △OAB의 넓이를 구하면
△OAB= øπ|O’A≥|¤ |OB≥|¤ -π(O’A≥∑OB≥)¤
= "√9_27-(-1)¤ =
A(2, -2, -1), B(-1, 2, 2), C(-1, 2, 0)에서 AB≥ 와 AC≥를 각각 구하면
AB≥=OB≥-OA≥=(-3, 4, 3) AC≥=OC≥-OA≥=(-3, 4, 1)
|AB≥|¤ , |AC≥|¤ , AB≥∑AC≥의 값을 각각 구하면
|AB≥|¤ =(-3)¤ +4¤ +3¤ =34
|AC≥|¤ =(-3)¤ +4¤ +1¤ =26
1 1
11'2 2 1
2 1 2
y
A x 5 B
-1O
'2 2'2
0 1
1 2 4 4¥2 a¯∑b¯
|a¯||b¯|
9
p 3 1 2 7 'ß14'ß14
AB≥∑AC≥
|AB≥||AC≥¯|
k=-1을 ㉠, ㉡에 각각 대입하여 c¯, d¯를 구하면 c¯=(-1, 2, 1), d¯=(0, -1, 2)
따라서 c¯-d¯의 성분을 구하면
c¯-d¯=(-1, 2, 1)-(0, -1, 2)
=(-1, 3, -1)
(2a¯+b¯)⊥(a¯-2b¯)이므로 (2a¯+b¯ )∑(a¯-2b¯ )=0
∴ 2|a¯|¤ -3a¯∑b¯ -2|b¯|¤ =0 이때 |a¯|=2, |b¯|=3이므로
2¥2¤ -3a¯∑b¯ -2¥3¤ =0
∴ a¯∑b¯
=-따라서 a¯, b¯가 이루는 각의 크기가 h이므로
cos h= =
=-|a¯-b¯|=3의 양변을 제곱하면
|a¯-b¯|¤ =9 ∴ |a¯|¤ -2a¯∑b¯+|b¯|¤ =9 이때 |a¯|=3, |b¯|=2이므로
3¤ -2a¯∑b¯+2¤ =9 ∴ a¯∑b¯=2 yy㉠ㅇ (a¯+mb¯)⊥(a¯-b¯)이므로
(a¯+mb¯)∑(a¯-b¯)=0
|a¯|¤ +(m-1)a¯∑b¯-m|b¯|¤ =0 9+2(m-1)-4m=0(∵ ㉠) 7-2m=0
∴ m=
오른쪽 그림과 같이 O’A≥=a¯, OB≥=b¯, OC≥=c¯라 하자.
도형 O-ABC는 정사면체이므로
|O’A≥|=|OB≥|=|OC≥|
Δ |a¯|=|b¯|=|c¯|
BC≥ 를 구하면
BC≥=OC≥-OB≥=c¯-b¯
O’A≥∑BC≥를 구하면
O’A≥∑BC≥=a¯∑(c¯-b¯)=a¯∑c¯-a¯∑b¯
이때 |a¯|=|b¯|=|c¯|이고 a¯, b¯, c¯ 중 어느 두 벡터가 이루는 각의 크기도 60˘이므로
a¯∑c¯-a¯∑b¯=|a¯||c¯| cos 60˘-|a¯||b¯| cos 60˘=0 따라서 O’A≥∑BC≥=0이므로 OA”⊥ BC”이다.
O
A
B C c a
b
6 1
7 2
5 1
5 9 -:¡3º:
2¥3 a¯∑b¯
|a¯||b¯|
10 3
4 1
정답과해설128
오른쪽 그림과 같이 △ABC에서 AB≥=b¯, AC≥=c¯
라 하면 점 M은 BC”의 중점이므로 A’M≥=
B’M”= BC”이므로
B’M≥= B’C≥= (c¯-b¯)
∴ |A’M≥|¤ +|B’M≥|¤
= +
=
= (|b¯|¤ +|c¯|¤ )
= (|AB≥|¤ +|AC≥|¤ )
∴ |AB≥|¤ +|AC≥|¤ =2(|A’M≥|¤ +|B’M≥|¤ )
∴ AB”¤ +AC”¤ =2(A’M”¤ +B’M”¤ ) 1
2 1 2
|b¯|¤ +2b¯∑c¯+|c¯|¤ +|c¯|¤ -2c¯∑b¯+|b¯|¤
4
|c¯-b¯|¤
4
|b¯+c¯|¤
4
1 2 1 2 1 2
b¯+c¯
2 B
A
M C b c
7 1
1 ② 2 '7 3 4 ④
5 (1, -2, 2) 또는 (-1, 2, -2) 6 ①
7 ③ 8 - 9 C{0, , }
10 중심이 원점이고, 반지름의 길이가 1인 원 11 ⑤
12 { , } 13 - 14 2
3 1
3 7
5 14
5
3 2 3 'ß33 2
33 1 2
pp. 233~235
연습 문제
AB≥=(-1, 2)-(1, 1)=(-2, 1) AC≥=(3, -2)-(1, 1)=(2, -3)
∴ AB≥∑AC≥=(-2, 1)∑(2, -3)
=-4-3=-7
|a¯+b¯|=2의 양변을 제곱하면
|a¯+b¯|¤ =4
|a¯|¤ +2a¯∑b¯+|b¯|¤ =4 이때 |a¯|='2, |b¯|=1이므로
('2)¤ +2a¯∑b¯+1¤ =4
∴ a¯∑b¯=1 yy㉠ㅇ
2
2
1
Ⅳ벡터129 a¯∑b¯를 구하면
a¯∑b¯=|a¯||b¯| cos =
한편 a¯+b¯와 a¯-2b¯가 이루는 각의 크기가 h이므로
cos h= yy㉠
이때 |a¯+b¯|와 |a¯-2b¯|의 값을 각각 구하면
|a¯+b¯|¤ =|a¯|¤ +2a¯∑b¯+|b¯|¤
=1¤ +2_ +1¤ =3
∴ |a¯+b¯|='3 (∵ |a¯+b¯|æ0) yy㉡
|a¯-2b¯|¤ =|a¯|¤ -4a¯∑b¯+4|b¯|¤
=1¤ -4_ +4_1¤ =3
∴ |a¯-2b¯|='3 (∵ |a¯-2b¯|æ0) yy㉢ 또 (a¯+b¯)∑(a¯-2b¯)의 값을 구하면
(a¯+b¯)∑(a¯-2b¯)=|a¯|¤ -a¯∑b¯-2|b¯|¤
=1¤ - -2_1¤
=- yy㉣
㉠에 ㉡, ㉢, ㉣을 대입하면
cos h=
=-△ABC에서 ∠B=90˘이므로
BA≥⊥BC≥ ∴ BA≥∑BC≥=0 yy`㉠ㅇ 이때 BA≥, BC≥의 성분을 구하면
BA≥=OA≥-OB≥=(x, 3x, 9)-(1, 2, 3)
=(x-1, 3x-2, 6)
BC≥=OC≥-OB≥=(-1, 4, 2)-(1, 2, 3)
=(-2, 2, -1)
이를 ㉠에 대입하여 x의 값을 구하면 (x-1, 3x-2, 6)∑(-2, 2, -1)
=-2x+2+6x-4-6=4x-8=0
∴ x=2
△ABC의 무게중심 G의 좌표를 구하면
G{ , , }
∴ G{ , , }
△ABD의 무게중심 H의 좌표를 구하면
H{ , , }0+1+1
3 1+1+1
3 1+0+1
3 2 3 2 3 2 3
0+1+1 3 1+1+0
3 1+0+1
3
8 7
1 2 -;2#;
'3_'3 3 2 1 2 1 2 1 2 (a¯+b¯)∑(a¯-2b¯)
|a¯+b¯||a¯-2b¯|
1 2 p 3
6
내적의 연산법칙을 이용하여 |2a¯-b¯|¤ 을 변형하면
|2a¯-b¯|¤ =4|a¯|¤ -4a¯∑b¯+|b¯|¤
=4_('2)¤ -4_ +1¤ (∵ ㉠)
=8-2+1=7
∴ |2a¯-b¯|='7 (∵ |2a¯-b¯|æ0)
|O’A≥|¤, |OB≥|¤ , O’A≥∑OB≥의 값을 각각 구하면
|O’A≥|¤ =1¤ +2¤ =5
|OB≥|¤ =2¤ +3¤ =13
O’A≥∑OB≥=(1, 2)∑(2, 3)=2+6=8 따라서 △OAB의 넓이를 구하면
△OAB= øπ|O’A≥|¤ |OB≥|¤ -π(O’A≥∑OB≥)¤
= "√5_13-8¤ =
△ABC와 △BCD는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로 MÚAÚ=MÚDÚ= _2='3
또 AD”=2이므로 △AMD에서 ∠AMD=h라 하면 코사인법칙에 의하여
cos h=
= =
∴ MÚA≥∑MÚD≥=|MÚA≥||MÚD≥| cos h
='3_'3_ =1
구하는 벡터를 v¯=(x, y, z)라 하면 a¯⊥v¯에서 a¯¯∑v¯=0이므로
(2, 2, 1)∑(x, y, z)=0
∴ 2x+2y+z=0 yy㉠
또 b¯⊥v¯에서 b¯∑v¯=0이므로 (2, -3, -4)∑(x, y, z)=0
∴ 2x-3y-4z=0 yy㉡
주어진 조건에서 |v¯|=3이므로
|v¯|="√x¤ +y¤ +z¤ =3
∴ x¤ +y¤ +z¤ =9 yy㉢
㉠, ㉡에서 x= , y=-z 이를 ㉢에 대입하면 z=—2
∴ x=—1, y=–2, z=—2 (복부호 동순)
∴ v¯=(1, -2, 2) 또는 v¯=(-1, 2, -2) z
2
5
1 3
1 3 ('3)¤ +('3)¤ -2¤
2_'3_'3 MÚAÚ ¤ +MÚDÚ ¤ -A’DÚ ¤
2_MÚAÚ _MÚDÚ '3
2
4
1 2 1
2 1 2
3
1 2
H{ , 1, } c¯=a¯-b¯=(x¡-x™, y¡-y™) 주어진 조건에서 a¯∑b¯=0이므로
|OP≥|="√(x¡+x™)¤ +(y¡+y™≈)¤
="√x¡¤ +x™¤ +y¡¤ +y™¤ +√2(x¡x™+y¡y™)
Ⅳ벡터131 오른쪽 그림과 같이 주어진 정육
면체를 꼭짓점 H가 원점, HE”, HG”, H’D”가 각각 x축, y축, z 축에 오도록 좌표공간에 놓으면 점 A, B, F, H의 좌표는
A(1, 0, 1), B(1, 1, 1) F(1, 1, 0), H(0, 0, 0)
이때 점 P는 대각선 BH 위의 한 점이므로 HP≥=kHB≥ (단, 0…k…1인 실수)
∴ HP≥=k(1, 1, 1)=(k, k, k) 이때 AP≥, FP≥를 구하면
AP≥=HP≥-H’’A≥=(k, k, k)-(1, 0, 1)
=(k-1, k, k-1)
FP≥=HP≥-HF≥=(k, k, k)-(1, 1, 0)
=(k-1, k-1, k) 따라서 AP≥∑F’P≤를 구하면
AP≥∑F’P≤=(k-1, k, k-1)∑(k-1, k-1, k)
=(k-1)¤ +k(k-1)+(k-1)k
=3{k }2
-그런데 0…k…1이므로 k= 일 때, AP≥∑F’P≤는 최솟 값 - 을 갖는다.
다음 그림과 같이 O’A≥=a¯, OB≥=b¯라 하고 점 A에서 직 선 OB에 내린 수선의 발을 H라 하자.
O’A≥의 직선 OB 위로의 정사영의 크기는
|OH≥|=|O’A≥| cos h=|a¯| cos h
이때 a¯∑b¯=|a¯||b¯| cos h 에서 cos h= 이므로
|OH≥|=|a¯| = yy㉠ㅇ
a¯∑b¯, |b¯|의 값을 구하면
a¯∑b¯=(-2, 3, 1)∑(1, 2, -2)
=-2+6-2=2
|b¯|="√1¤ +2¤ +(-2)¤ =3 이를 ㉠에 대입하면 |OH≥|=2
3 a¯∑b¯
|b¯|
a¯∑b¯
|a¯||b¯|
a¯∑b¯
|a¯||b¯|
h B(1, 2, -2)
A(-2, 3, 1)
O H
b a
4 1
1 3
2 3 1 3 2 3
H F E
A B
C
G 1 1
1 D
O P
x
y
3
z A(1, 0, 1), G(0, 2, 0)1
C(0, 2, 1), F(1, 2, 0) 이때 AG≥와 CF≥의 성분을 구하면
AG≥=H’G≥-H’A≥=(-1, 2, -1) CF≥=H’F≥-H’C≥=(1, 0, -1) 따라서 AG≥와 CF≥가 이루는 각의 크기를 h(0˘…h…180˘)라 하면
cos h=
=
= = =0
∴ h=90˘ (∵ 0˘…h…180˘)
`다른 풀이`
주어진 직육면체를 가로로 연결하여 오른쪽 그림과 같이 나타내면 CF≥=A’E'≥
이고 AG≥와 A’E'≥이 이루 는 각의 크기를
h(0˘…h…180˘)라 하면
△AE'G에서 제이코사인법칙에 의하여
E’'G”¤ =A’E'”¤ +AG”¤ -2A’E'”¥AG” cos h yy`㉠ㅇ 이때 A’E'”, AG”, E’'G”의 길이를 각각 구하면
A’E'”="√1¤ +1¤ ='2, AG”="√1¤ +2¤ +1¤ ='6 E’'G”="√2¤ +2¤ =2'2
이를 ㉠에 대입하면
(2'2)¤ =('2)¤ +('6)¤ -2'2¥'6 cos h 8=2+6-4'3 cos h ∴ cos h=0
∴ h=90˘ (0˘…h…180˘)
점 H는 OQ” 위의 점이므로 OH≥=k OQ≥=(4k, 2k)
(단, 0…k…1인 실수) 이때 HP≥를 구하면
HP≥=OP≥-OH≥
=(2, 3)-(4k, 2k)
=(2-4k, 3-2k)
따라서 HP≥⊥OQ≥일 때, HP≥∑OQ≥=0이므로 (2-4k, 3-2k)∑(4, 2)
=4(2-4k)+2(3-2k)=0 ∴ k=
∴ OH≥=(4k, 2k)={ , 7} 5 14
5
7 10 y
x H(4k, 2k) Q(4, 2) P(2, 3)
O
2 1
H
F F' E
h
E' A A'
1 1
1
B B'
C
G
D 2
'6
2'2 0
2'3 -1+0+1
'6_'2
(-1, 2, -1)∑(1, 0, -1)
"√(-1)¤ +2¤ +(-1)¤ "√1¤ +0¤ +(-1)¤
AG≥∑CF≥
|AG≥||CF≥|
직선 g의 방정식의 각 변을 6으로 나누면
= =
이때 직선 g의 방향벡터를 구하면 (2, -1, 3)
`직선 g에 평행한 직선의 방향벡터를 u¯라 하면 u¯=(2, -1, 3)
따라서 점 A(1, -3, 5)를 지나고, 방향벡터가 u¯=(2, -1, 3)인 직선의 방정식은
= =
∴ =-(y+3)=z-5
3 x-1
2
z-5 3 y-(-3)
-1 x-1
2
z+1 3 y+2
-1 x-2
2
1
정답과해설132
Ⅳ 벡터 3 직선과
평면의 방정식
y축의 방향벡터를 단위벡터 e™≤=(0, 1, 0)으로 놓고 y 축에 평행한 직선의 방향벡터를 u¯라 하면u¯=(0, 1, 0)
따라서 점 (2, 4, -3)을 지나고, 방향벡터가 u¯=(0, 1, 0)인 직선의 방정식을
= =
과 같이 놓으면 구하는 직선의 방정식은 x=2, z=-3
직선 g에 평행한 직선의 방향벡터를 u¯라 하면 u¯=(3, -2, 0)
점 (3, 2, 5)를 지나고, 방향벡터가 u¯=(3, -2, 0)인 직선의 방정식을
= =
와 같이 놓으면 직선의 방정식은
= , z=5 yy`㉠ㅇ
이때 직선 ㉠과 zx평면과의 교점의 y좌표는 0이므로 y=0을 ㉠에 대입하면
= , z=5
-2(x-3)=-6, y=0, z=5
∴ x=6, y=0, z=5
따라서 zx평면과의 교점은 (6, 0, 5)이므로 a+b+c=11
두 점 A(1, -3, 2), B(2, 4, 5)를 지나는 직선 AB의 방정식은
= =
∴ x-1= =
이때 점 C(3, 11, a)는 직선 AB 위에 있으므로
3-1= = ∴ a=8
`다른 풀이`
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때
AC≥=kAB≥ (k+0인 실수) yy㉠ㅇ 가 성립하므로 AB≥, AC≥의 성분을 각각 구하면
a-2 3 11+3
7
z-2 3 y+3
7
z-2 5-2 y-(-3) 4-(-3) x-1
2-1
4
0-2 -2 x-3
3
y-2 -2 x-3
3
z-5 0 y-2
-2 x-3
3
3
z+3 0 y-4
1 x-2
0
2
1 =-(y+3)= 2 x=2, z=-3
3 11 4 8
5 ⑴ x=0, z=0 ⑵ x=3, y=0
⑶ x=3, y=6 ⑷ y=6, z=4
⑸ x=0, = ⑹ x-3=- , z=0
6 (5, 3, 8) 7
8 (1, 1, -1), { , - , -17} 11 7 11 5 11
1 3
y 2 z
2 y 3
z-5 3 x-1
2
유제 pp. 239~241
⑴ 주어진 직선의 방정식
= =z-1
의 방향벡터를 u¯라 하면 u¯=(2, 3, 1)
⑵ 주어진 직선의 방정식
=z+1, y=2 의 방향벡터를 u¯라 하면
u¯=(-3, 0, 1) x-1
-3
y-1 3 x+1
2