15 ⑴ k<- 또는 k> ⑵ k=—
⑶ - <k< 16 3개
17 y= x— 18 y=-3x+6 또는 y=-3x-8
19 5'2 20
21 y=-'2x+'2 또는 y='2x-'2 22 4 23 12 24 5
9 2 '3å3
3 '3
3
'1å0 2 '1å0
2
'1å0 2 '1å0
2 '1å0
2
유제 pp. 88~92
타원의 방정식 2x¤ +y¤ =4와 직선의 방정식 y=kx+3 을 연립하여 x에 대한 이차방정식으로 나타내면
⋯ ⋯2x¤ +(kx+3)¤ =4
⋯ ⋯∴ (k¤ +2)x¤ +6kx+5=0 yy`㉠⋯
이차방정식 ㉠`의 판별식을 D라 하면
⋯ ⋯ =(3k)¤ -5(k¤ +2)
=4k¤ -10
=4 {k- } {k+ }
⑴ 타원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 교점이 2개이어야 하므로 D의 부호는
⋯ ⋯D>0 Δ =4 {k- } {k+ }>0
⋯ ⋯∴ k<- 또는 k>
⑵ 타원과 직선이 접하려면 교점이 1개이어야 하므로 D 의 부호는
⋯ ⋯D=0 Δ =4 {k- } {k+ }=0
⋯ ⋯∴ k=—
⑶ 타원과 직선이 만나지 않으려면 교점이 없어야 하므로 D의 부호는
⋯ ⋯D<0 Δ =4 {k- } {k+ }<0
⋯ ⋯∴ - <k< '1å0 2 '1å0
2
'1å0 2 '1å0
2 D
4 '1å0
2
'1å0 2 '1å0
2 D
4
'1å0 2 '1å0
2
'1å0 2 '1å0
2 D
4
'1å0 2 '1å0
2 D
4
5 1
타원의 방정식 x¤ +2y¤ =2와 직선의 방정식 y=x+k를 연립하여 x에 대한 이차방정식으로 나타내면
6
1
정답과해설054
⋯ ⋯x¤ +2(x+k)¤ -2=0
⋯ ⋯∴ 3x¤ +4kx+2k¤ -2=0 yy`㉠⋯
직선과 타원이 만나려면 교점이 1개 또는 2개이어야 하 므로 이차방정식 ㉠의 판별식 D의 부호는
⋯ ⋯Dæ0 Δ =(2k)¤ -3(2k¤ -2)æ0, k¤ …3
⋯ ⋯∴ -'3…k…'3
따라서 구하는 정수 k는 -1, 0, 1로 3개이다.
D 4
타원 + =1에 접하고, 기울기가 m인 접선의 방정 식은
⋯ ⋯y=mx—"√a¤ m¤ ç+≈b¤ yy`㉠⋯
타원의 방정식 3x¤ +2y¤ =6을 + =1의 꼴로 나 타내면
⋯ ⋯ + =1 Δ a¤ =2, b¤ =3 yy`㉡⋯
x축의 양의 방향과 30˘의 각을 이루는 접선의 기울기 m은
⋯ ⋯tan 30˘= Δ m= yy`㉢⋯
㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 y= x—æ2≠_{≠ }¤–+3
∴ y= x —'3å3 3 '3
3
'3 3 '3
3
'3 3 '3
3 y¤
3 x¤
2
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
b¤
x¤
7
a¤1
타원 + =1에 접하고, 기울기가 m인 접선의 방정 식은
⋯ ⋯y=mx—"√a¤ m¤ +b¤ yy`㉠⋯
또한 + =1에서
⋯ ⋯a¤ =5, b¤ =4 yy`㉡⋯
직선 x-3y+1=0, 즉 y= x+ 과 수직인 접선의 기울기 m은
⋯ ⋯ _m=-1 Δ m=-3 yy`㉢⋯
㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면
⋯ ⋯y=-3x—"√5_(-3)¤ +4
⋯ ⋯∴ y=-3x—7 yy`㉣⋯
이때 접선 ㉣은 타원 + =1에 접하는 접선의 방정
식이므로 타원 + =1에 접하는 접선
의 방정식을 구하려면 접선 ㉣을 x축의 방향으로 -1만 (y-2)¤
4 (x+1)¤
5 y¤
4 x¤
5 1
3
1 3 1 3 (y-2)¤
4 (x+1)¤
5 y¤
b¤
x¤
8
a¤1
큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동해야 한다. 즉 y-2=-3(x+1)—7
∴ y=-3x+6 또는 y=-3x-8
직선 y=x+6에 평행한 접선의 기울기 m은⋯ ⋯m=1 타원의 방정식 + =1은 + =1의 꼴에서
⋯ ⋯a¤ =9, b¤ =7
타원 + =1에 접하고 기울기 m=1인 접선의 방 정식은
⋯ ⋯y=mx—"√a¤ m¤ +b¤ Δ y=x—"√9¥1¤ +7
⋯ ⋯∴ y=x—4 yy`㉠⋯
주어진 타원과 직선 y=x+6, 접선 ㉠을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같으므로 최대 거리는 접선 y=x-4와 직선 y=x+6 사이의 거리이다.
이때 두 직선 y=x-4와 y=x+6 사이의 거리 d는 직선 y=x+6 위의 한 점 (0, 6)에서 직선 y=x-4, 즉 x-y-4=0까지의 거리와 같으므로
d= =10=5'2
'2
|-6-4|
"√1¤ +√(-1≈)¤
x y
O
+ =1 x™
9 y™ 7 y=x+6 y=x+4
y=x-4
3 6
-3 7
7
-최대 거리
y¤
7 x¤
9
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
7 x¤
9
9 1
타원 2x¤ +y¤ =6 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은
⋯ ⋯2x¡x+y¡y=6 yy`㉠⋯
㉠에 x¡=1, y¡=-2를 대입하면
⋯ ⋯2x+(-2)y=6
이때 접선의 방정식은⋯ ⋯y=x-3 yy`㉡⋯
㉡`에 y=0을 대입하여 x축과 만나는 점 P를 구하면
⋯ ⋯0=x-3⋯ ⋯∴ x=3⋯ ⋯∴ P(3, 0)
㉡`에 x=0을 대입하여 y축과 만나는 점 Q를 구하면
⋯ ⋯y=0-3⋯ ⋯∴ y=-3⋯ ⋯∴ Q(0, -3) 따라서 △POQ의 넓이는
⋯ ⋯△POQ
= _PO”_OQ”
= _3_3
=9 2 1 2 1 2
- 6 - 3
6
3 x y
O
Q(0, -3) (1, -2)
P(3, 0) y=x-3 2x™
+y™
=6
0
2
Ⅱ이차곡선055
기울기가 주어질 때의 공식 이용
타원의 방정식 2x¤ +y¤ =1을 + =1의 꼴로 나타 내면
+y¤ =1 Δ a¤ = , b¤ =1
a¤ = , b¤ =1이고, 기울기가 m인 접선의 방정식은
y=mx—æ≠ m¤ +1 yy`㉠⋯
접선 ㉠이 점 (1, 0)을 지나므로
0=m—æ≠ m¤ +1 ∴ m=—'2 m=—'2를 ㉠에 대입하면
y='2x—'2 또는 y=-'2x—'2
이때 y='2x+'2와 y=-'2x-'2는 점 (1, 0)을 지 나지 않으므로 구하는 접선의 방정식은
⋯ ⋯y=-'2x+'2 또는 y='2x-'2 접점이 주어질 때의 공식 이용 접점을 (x¡, y¡)이라 하면 접선의 방정식은
⋯ ⋯2x¡x+y¡y=1 yy`㉠⋯
접선 ㉠이 점 (1, 0)을 지나므로
⋯ ⋯2x¡=1⋯ ⋯∴ x¡= yy`㉡⋯
접점 (x¡, y¡)이 타원 위의 점이므로
⋯ ⋯2x¡¤ +y¡¤ =1 yy`㉢⋯
㉡, ㉢을 연립하여 풀면
x¡= , y¡= 또는 x¡= ,
y¡=-⁄ x¡= , y¡= 를 ㉠에 대입하면
x+ y=1 ∴ y=-'2x+'2
¤ x¡= , y¡=- 를 ㉠에 대입하면
x- y=1 ∴ y='2x-'2 판별식 이용
점 (1, 0)을 지나고, 기울기가 m인 직선의 방정식은
⋯ ⋯y=m(x-1)
⋯ ⋯∴ y=mx-m yy`㉠⋯
타원의 방정식 2x¤ +y¤ =1과 직선의 방정식 ㉠을 연립하면
⋯ ⋯2x¤ +(mx-m)¤ =1
⋯ ⋯∴ (2+m¤ )x¤ -2m¤ x+m¤ -1=0 yy`㉡⋯
타원 2x¤ +y¤ =1과 직선 ㉠이 접하려면 교점이 1개이어 '2
2 '2
2 1
2 '2
2 '2
2 1
2
'2 2 1
2 '2
2 1 2
1 2 1 2 1 2 1
2
1 2 x¤
1 2
y¤
b¤
x¤
a¤
1
2
야 하므로 이차방정식 ㉡의 판별식 D의 부호는⋯ ⋯D=0 Δ =(-m¤ )¤ -(2+m¤ )(m¤ -1)=0
⋯ ⋯m¤ =2⋯ ⋯∴ m=—'2 m=—'2를 ㉠에 대입하면
⋯ ⋯y=-'2x+'2 또는 y='2x-'2 D
4
방법1
방법2
방법3
타원의 방정식 kx¤ +y¤ =k를 + =1의 꼴로 나타 내면
⋯ ⋯x¤ + =1 Δ a¤ =1, b¤ =k
a¤ =1, b¤ =k이고, 기울기가 m인 접선의 방정식은
⋯ ⋯y=mx—"√m¤ +k yy`㉠⋯
접선 ㉠`이 점 (2, 1)을 지나므로
⋯ ⋯1=2m—"√√m¤ +k, 1-2m=—"√√m¤ +k 양변을 제곱하면
⋯ ⋯1-4m+4m¤ =m¤ +k
⋯ ⋯∴ 3m¤ -4m+1-k=0 yy`㉡⋯
이차방정식 ㉡`의 두 근을 m¡, m™라 하면 두 접선이 수직이 므로
⋯ ⋯m¡m™=-1
이차방정식 ㉡`에서 근과 계수의 관계에 의하여 m¡m™=1-k=-1 ∴ k=4
3 y¤
k
y¤
b¤
x¤
2
a¤2
x¡>0, y¡>0이라 하면 타원 + =1 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은
⋯ ⋯ + =1 yy`㉠⋯
접선 ㉠의 x절편은 이고,
y절편은 이므로 구하는 삼각형의 넓이 S는
⋯ ⋯S= _ _
=
이때 점 (x¡, y¡)은 타원 위의 점이므로
⋯ ⋯ + =1
>0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
y¡¤
9 x¡¤
16
y¡¤
9 x¡¤
16 72 x¡y¡
9 y¡
16 x¡
1
2 x
y
O + =1 x™ 16
y™ 9
16 x¡
9 y¡
-4
-3 (x¡, y¡)
4 3 9
y¡
16 x¡
y¡y 9 x¡x
16
y¤
9 x¤
3
162
정답과해설056
⋯ ⋯1= + æ2æ≠ ≠_ =
{단, 등호는 = 일 때 성립}
⋯ ⋯∴ x¡y¡…6
⋯ ⋯∴ S= æ =12
따라서 구하는 삼각형의 넓이의 최솟값은 12이다.
`다른 풀이`
타원 + =1은 + =1 (a>0, b>0)의 꼴 에서
⋯ ⋯a=4, b=3
따라서 구하는 삼각형의 넓이의 최솟값은
⋯ ⋯ab=4_3=12
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
9 x¤
16
72 6 72 x¡y¡
y¡¤
9 x¡¤
16 x¡y¡
6 y¡¤
9 x¡¤
16 y¡¤
9 x¡¤
16
타원의 방정식 + =1은 + =1의 꼴에서
⋯ ⋯a¤ =4, b¤ =9
a¤ =4, b¤ =9이고, 기울기가 m인 접선의 방정식은
⋯ ⋯y=mx—"√4m¤ +9
두 접선 중 접선 y=mx+"√4m¤ +9가 x축과 만나는 점 을 A, y축과 만나는 점을 B라 하면
⋯ ⋯A{- , 0}, B(0, "√4m¤ +9) 따라서 선분 AB의 길이는
⋯ ⋯AB”=æ≠ ≠+4m¤ +9
=æ≠13+4m¤ +
이때 4m¤ >0, >0이므로 산술평균과 기하평균의 관 계에 의하여
⋯ ⋯4m¤ + æ2æ≠4m¤ _ =12
⋯ ⋯{단, 등호는 4m¤ = 일 때 성립}
⋯ ⋯∴ AB”=æ≠13+4m¤ + æ"√13+12=5 따라서 선분 AB의 길이의 최솟값은 5이다.
9 m¤
9 m¤
9 m¤
9 m¤
9 m¤
9 m¤
4m¤ +9 m¤
"√4m¤ +9 m
y¤
b¤
x¤
a¤
y¤
9 x¤
4
42
1 + =1 2 + =1
3 ④ 4 2'5 5 ② 6 16x+9y=16
7 8 '3 9 9 10 ②
11 12 y= x {단, - <x< }
13 5'3 14 ④ 2
3'5 5 3'5
5 2
3 2+4'3å4
5 25
6
y¤
169 x¤
144 (y+2)¤
5 (x-1)¤
9
pp. 93~95
연습 문제
점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
⋯ ⋯P’AÚ+PB”=6
⋯ ⋯"√(x+1)¤ √+(y+2)¤ +"√(x-3)¤ √+(y+2)¤ =6
⋯ ⋯∴ "√(x+1)¤ √+(y+2)¤ =6-"√(x-3)¤ √+(y+2)¤
yy`㉠⋯
㉠`의 양변을 제곱하여 정리하면
3"√(x-3)¤ √+(y+2)¤ =-2x+11 yy`㉡⋯
㉡`의 양변을 제곱하여 정리하면 5(x-1)¤ +9(y+2)¤ =45
∴ +(y+2)¤ =1
5 (x-1)¤
9
1
타원의 방정식 36x¤ +11y¤ =396을
+ =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
⋯ ⋯ + =1⋯ ⋯∴ + =1
a='∂11, b=6에서 b>a>0이므로 초점은 y축 위에 있 고, 두 초점의 좌표를 F(0, c), F'(0, -c)(c>0)라 하 면 초점 구하는 공식에 의하여
⋯ ⋯c¤ =b¤ -a¤ Δ c¤ =6¤ -('∂11)¤ =25⋯ ⋯∴ c=5
⋯ ⋯∴ F(0, 5), F'(0, -5)
두 초점 F(0, 5), F'(0, -5)는 y축 위의 점이므로 구 하는 타원의 방정식은
⋯ ⋯ + =1 (단, q>p>0) 초점 구하는 공식에 의하여
⋯ ⋯c¤ =q¤ -p¤ Δ 5¤ =q¤ -p¤
⋯ ⋯∴ 25=(q+p)(q-p) yy`㉠⋯
또한 장축과 단축의 길이의 차가 2이므로
⋯ ⋯2q-2p=2 ∴ q-p=1 yy`㉡⋯
㉡`을 ㉠`에 대입하여 정리하면
⋯ ⋯25=q+p yy`㉢⋯
㉡`과 ㉢`을 연립하여 풀면 y¤
q¤
x¤
p¤
y¤
6¤
x¤
('∂11)¤
y¤
36 x¤
11 y¤
b¤
x¤
a¤
2
Ⅱ이차곡선057
⋯ ⋯p=12, q=13
따라서 구하는 타원의 방정식은
⋯ ⋯ + y¤ =1 169 x¤
144
타원의 방정식 4x¤ +9y¤ +8x-36y+4=0을 + =1의 꼴로 변형하면
⋯ ⋯4(x¤ +2x+1)+9(y¤ -4y+4)=36
⋯ ⋯4(x+1)¤ +9(y-2)¤ =36
⋯ ⋯∴ + =1 yy`㉠⋯
타원 ㉠은 타원 + =1을 x축의 방향으로 -1만 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로
⋯ ⋯m=-1, n=2
타원을 평행이동하여도 장축과 단축의 길이는 변하지 않 으므로
⋯ ⋯ (장축의 길이)=2_3=6
⋯ ⋯ (단축의 길이)=2_2=4
⋯ ⋯∴ p=6, q=4
⋯ ⋯∴ m+n+p+q=(-1)+2+6+4=11 y¤
4 x¤
9
(y-2)¤
4 (x+1)¤
9 (y-n)¤
b¤
(x-m)¤
a¤
3
이때 두 점 F(0, 1), C(0, -1)이 주어진 타원의 초점 이고 두 점 A, B는 타원 위의 점이므로 △ABC는 다음 그림과 같다.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
타원의 정의에 의하여
AC”+AF”=(장축의 길이)=2_2=4 BC”+BF” =(장축의 길이)=2_2=4 따라서 △ABC의 둘레의 길이는
AB”+BC”+AC”=(AF”+BF”)+BC”+AC”
=(AC”+AF”)+(BC”+BF”)
=4+4=8 x y
- 3 O 3
B F(0, 1) 2 A
-2 C(0, -1) 4x™
+3y™
=12
주어진 조건을 그림으로 나타내 면 오른쪽과 같다.
y= -1에 y=0을 대입하면
⋯ ⋯x=2 Δ F(2, 0) y= -1에 x=0을 대입하면
⋯ ⋯y=-1 Δ A(0, -1)
△OAF는 직각삼각형이므로
⋯ ⋯AF”="√OA”¤ +OF”¤ ="√1¤ +2¤ ='5 따라서 타원의 장축의 길이는
⋯ ⋯2AF”=2'5 x
2 x
2 x
y
O A
F y=--1
2
4
x타원의 방정식 4x¤ +3y¤ =12를
+ =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
⋯ ⋯ + =1, + =1
⋯ ⋯∴ a='3<b=2 Δ 상하로 긴 타원
b>a>0이므로 초점은 y축 위에 있고, 두 초점의 좌표를 (0, —c)(c>0)라 하면 초점 구하는 공식에 의하여
⋯ ⋯c¤ =b¤ -a¤ Δ c¤ =2¤ -('3)¤ =1⋯ ⋯∴ c=1
⋯ ⋯∴ (0, 1), (0, -1) y¤
2¤
x¤
('3)¤
y¤
4 x¤
3 y¤
b¤
x¤
a¤
5
두 접점 A, B의 좌표를 각각 A(x¡, y¡), B(x™, y™)라 하 면 두 접선의 방정식은
⋯ ⋯4x¡x+3y¡y=16, 4x™x+3y™y=16 yy`㉠⋯
두 접선 ㉠`이 점 (4, 3)을 지나므로
⋯ ⋯16x¡+9y¡=16, 16x™+9y™=16 yy`㉡⋯
이때 ㉡`은 직선 16x+9y=16이 두 점
⋯ ⋯A(x¡, y¡), B(x™, y™)
를 지남을 의미하는데 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직 선은 오직 하나뿐이므로 직선 AB의 방정식은
⋯ ⋯16x+9y=16
6
타원의 방정식 5x¤ +9y¤ =45를
+ =1 (a>0, b>0)의 꼴로 나타내면
⋯ ⋯ + =1
⋯ ⋯∴ a=3>b='5 Δ 좌우로 긴 타원
a>b>0이므로 초점은 x축 위에 있고, 두 초점의 좌표를 F(c, 0), F'(-c, 0)(c>0)이라 하면 초점 구하는 공식 에 의하여
⋯ ⋯c¤ =a¤ -b¤ Δ c¤ =3¤ -('5 )¤ =4 ∴ c=2
⋯ ⋯∴ F(2, 0), F'(-2, 0)
한 초점 F(2, 0)을 지나고, x축에 수직인 직선 l은
⋯ ⋯l：x=2
타원 5x¤ +9y¤ =45에 x=2를 대입하여 y의 값을 구하면
⋯ ⋯5¥2¤ +9y¤ =45 ∴ y=—
따라서 직선 l과 타원의 두 교점 A, B를 5 3 y¤
('5 )¤
x¤
3¤
y¤
b¤
x¤
a¤
7
정답과해설058
⋯ ⋯△PFF'= _mn_sin
= _4_'3='3
⋯ ⋯PF”+P’F'”+F’F'”=18
⋯ ⋯2a+2"√a¤ -9=18 (∵ ㉠, ㉡)
Ⅱ이차곡선059
⋯ ⋯100=64+2ab⋯ ⋯∴ ab=18
⋯ ⋯∴ △PFF'= ¥PF”¥P’F'”=1ab=9
⋯ ⋯PA”+PB”=2a=2_5=10
이때 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
정답과해설060
장축의 길이가 16이고, 단축 의 길이가 10인 주어진 반 타원을 중심이 원점이 되도 록 좌표평면 위에 올려 놓으 면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 반타원의 방정식은
⋯ ⋯ + =1(단, yæ0) yy`㉠⋯
이때 이 반타원에 내접하도록 직사각형을 그려 넣으려면 직사각형의 한 변의 중점이 원점에 있어야 한다.
따라서 주어진 직사각형의 한 변의 길이가 8이므로 직사 각형의 가로의 끝점의 x좌표는 —4이다.
㉠에서 x=4일 때 y의 값은
⋯ ⋯ + =1, y¤ = _25=75 4 3
4 y¤
5¤
4¤
8¤
y¤
5¤
x¤
8¤
x y
-8 -4 O
-5 4 5
8
3 1
핼리 혜성의 궤도인 타원을 다음 그림과 같이 좌표평면에 나타내고, 장축의 길이를 8a, 단축의 길이를 2a, 태양의 위치를 (c, 0)(c>0)이라 하자.
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
이때 핼리 혜성과 태양이 가장 멀리 떨어져 있을 때의 거 리는 4a+c, 가장 가까이 떨어져 있을 때의 거리는 4a-c 이다.
이때 태양의 위치 (c, 0)은 타원의 초점이므로
⋯ ⋯c¤ =(4a)¤ -a¤ =15a¤
⋯ ⋯∴ c='1å5a yy`㉠⋯
한편 핼리 혜성이 태양과 가장 멀리 떨어져 있을 때의 거 리가 53억 km이므로
⋯ ⋯4a+c=53⋯ ⋯∴ c=53-4a yy`㉡⋯
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면
⋯ ⋯'1å5a=53-4a, (4+'1å5)a=53
⋯ ⋯∴ a=53(4-'1å5)
따라서 핼리 혜성이 태양과 가장 가까이 있을 때의 거리는
⋯ ⋯4a-c=4a-(53-4a)
=8a-53
=8_53(4-'1å5)-53
=53(31-8'1å5)억(km) x y
O a
-a
-4a 53
가장 멀리
4a 가장 가까이
태양의 위치 c
4 1
⋯ ⋯∴ y=
따라서 구하는 직사각형의 다른 한 변의 길이는 5'3이다.
2 5'3
⋯ ⋯y= x 2
그런데 타원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 교점 이 2개이어야 하므로 이차방정식 ㉠의 판별식 D의 부호는
⋯ ⋯D>0 Δ =(-3k)¤ -5¥3(k¤ -2)>0
⋯ ⋯∴ k¤ <5
⋯ ⋯∴ -'5<k<'5 따라서 x의 값의 범위는
⋯ ⋯- <x= k<
이므로 구하는 자취의 방정식은
⋯ ⋯y= x {단, - <x<3'5} 5 3'5
5 2
3
3'5 5 3 5 3'5
5 D
4 2 3
Ⅱ이차곡선061