성분과 내적
7이때 오른쪽 그림과 같이 OP”가
09 직선의 방정식
이때 직선 g의 방향벡터를 구하면 (2, -1, 3)
`직선 g에 평행한 직선의 방향벡터를 u¯라 하면 u¯=(2, -1, 3)
따라서 점 A(1, -3, 5)를 지나고, 방향벡터가 u¯=(2, -1, 3)인 직선의 방정식은
= =
∴ =-(y+3)=z-5
3 x-1
2
z-5 3 y-(-3)
-1 x-1
2
z+1 3 y+2
-1 x-2
2
1
정답과해설132
Ⅳ 벡터 3 직선과
평면의 방정식
y축의 방향벡터를 단위벡터 e™≤=(0, 1, 0)으로 놓고 y 축에 평행한 직선의 방향벡터를 u¯라 하면u¯=(0, 1, 0)
따라서 점 (2, 4, -3)을 지나고, 방향벡터가 u¯=(0, 1, 0)인 직선의 방정식을
= =
과 같이 놓으면 구하는 직선의 방정식은 x=2, z=-3
직선 g에 평행한 직선의 방향벡터를 u¯라 하면 u¯=(3, -2, 0)
점 (3, 2, 5)를 지나고, 방향벡터가 u¯=(3, -2, 0)인 직선의 방정식을
= =
와 같이 놓으면 직선의 방정식은
= , z=5 yy`㉠ㅇ
이때 직선 ㉠과 zx평면과의 교점의 y좌표는 0이므로 y=0을 ㉠에 대입하면
= , z=5
-2(x-3)=-6, y=0, z=5
∴ x=6, y=0, z=5
따라서 zx평면과의 교점은 (6, 0, 5)이므로 a+b+c=11
두 점 A(1, -3, 2), B(2, 4, 5)를 지나는 직선 AB의 방정식은
= =
∴ x-1= =
이때 점 C(3, 11, a)는 직선 AB 위에 있으므로
3-1= = ∴ a=8
`다른 풀이`
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 때
AC≥=kAB≥ (k+0인 실수) yy㉠ㅇ 가 성립하므로 AB≥, AC≥의 성분을 각각 구하면
a-2 3 11+3
7
z-2 3 y+3
7
z-2 5-2 y-(-3) 4-(-3) x-1
2-1
4
0-2 -2 x-3
3
y-2 -2 x-3
3
z-5 0 y-2
-2 x-3
3
3
z+3 0 y-4
1 x-2
0
2
1 =-(y+3)= 2 x=2, z=-3
3 11 4 8
5 ⑴ x=0, z=0 ⑵ x=3, y=0
⑶ x=3, y=6 ⑷ y=6, z=4
⑸ x=0, = ⑹ x-3=- , z=0
6 (5, 3, 8) 7
8 (1, 1, -1), { , - , -17} 11 7 11 5 11
1 3
y 2 z
2 y 3
z-5 3 x-1
2
유제 pp. 239~241
⑴ 주어진 직선의 방정식
= =z-1
의 방향벡터를 u¯라 하면 u¯=(2, 3, 1)
⑵ 주어진 직선의 방정식
=z+1, y=2 의 방향벡터를 u¯라 하면
u¯=(-3, 0, 1) x-1
-3
y-1 3 x+1
2
1
09
직선의 방정식p. 239
개념check | 1 ⑴ (2, 3, 1) ⑵ (-3, 0, 1)
Tip 좌표축의 방향벡터
⑴ x축의 방향벡터 e¡≤=(1, 0, 0)
⑵ y축의 방향벡터 e™≤=(0, 1, 0)
⑶ z축의 방향벡터 e£≤=(0, 0, 1)
Ⅳ벡터133 두 직선이 교점을 가지므로
2t+3=3s-1 Δ 2t-3s=-4 yy㉡
t+2=s+1 Δ t-s=-1 yy㉢
3t+5=6s-4 Δ t-2s=-3 yy㉣
㉡, ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 t=1, s=2
따라서 t=1을 ㉠에 대입하여 교점의 좌표를 구하면 (5, 3, 8)
직선
2x+a=y-2a= =t(t는 실수) 로 놓으면
x= , y=t+2a, z=
직선
x=y+2a= =s(s는 실수) 로 놓으면
x=s, y=s-2a, z=3s-2 두 직선이 서로 만나면 교점을 가지므로
=s Δ t-2s=a yy㉠
t+2a=s-2a Δ t-s=-4a yy㉡
=3s-2 Δ 3t-6s=1 yy㉢
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 t=-9a, s=-5a 이를 ㉢에 대입하면
3(-9a)-6(-5a)=1 3a=1 ∴ a=
직선
x-1= =z+1=t (t는 실수) 로 놓으면
x=t+1, y=3t+1, z=t-1 yy㉠ 이를 x¤ +y¤ +z¤ =3에 대입하면
(t+1)¤ +(3t+1)¤ +(t-1)¤ =3 11t¤ +6t=0, t(11t+6)=0
∴ t=0 또는
t=-t=0, t=- 을 각각 ㉠에 대입하여 교점의 좌표를 구 하면
(1, 1, -1), { , - , -17} 11 7 11 5 11 6 11
6 11 y-1
3
8
1 3 3t-5
2 t-a
2
z+2 3
3t-5 2 t-a
2
2z+5 3
7
AB≥=(2, 4, 5)-(1, -3, 2)=(1, 7, 3) AC≥=(3, 11, a)-(1, -3, 2)=(2, 14, a-2) 이를 ㉠에 대입하면
(2, 14, a-2)=k(1, 7, 3) 벡터가 서로 같을 조건에 의하여
k=2, 7k=14, 3k=a-2
∴ k=2, a=8
주어진 직육면체의 꼭짓점의 좌표를 모두 구하면 O(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4) D(3, 6, 0), E(0, 6, 4), F(3, 0, 4), G(3, 6, 4)
⑴ 두 점 O(0, 0, 0), B(0, 6, 0)을 지나는 직선의 방 정식은
x=0, z=0 ◀y축
⑵ 두 점 A(3, 0, 0), F(3, 0, 4)를 지나는 직선의 방 정식은
x=3, y=0 ◀z축과 평행
⑶ 두 점 D(3, 6, 0), G(3, 6, 4)를 지나는 직선의 방 정식은
x=3, y=6 ◀z축과 평행
⑷ 두 점 E(0, 6, 4), G(3, 6, 4)를 지나는 직선의 방 정식은
y=6, z=4 ◀x축과 평행
⑸ 두 점 O(0, 0, 0), E(0, 6, 4)를 지나는 직선의 방 정식은
x-0=0, =
∴ x=0, = ◀yz평면에 포함
⑹ 두 점 A(3, 0, 0), B(0, 6, 0)을 지나는 직선의 방 정식은
= , z-0=0
∴ x-3=- , z=0 ◀xy평면에 포함
직선
=y-2= =t(t는 실수) 로 놓으면
x=2t+3, y=t+2, z=3t+5 yy㉠ 직선
=y-1= =s (s는 실수) 로 놓으면
x=3s-1, y=s+1, z=6s-4 z+4
6 x+1
3
z-5 3 x-3
2
6
y 2 y-0 6-0 x-3 0-3
z 2 y 3
z-0 4-0 y-0 6-0
5
정답과해설134
⑴ 두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(3, 1, -2), u’™≤=(-1, 2, 1) 이때 구하는 직선을 g£이라 하고 g£의 방향벡터를 u’£≤=(l, m, n)이라 하면
g¡⊥g£에서 u’¡≤⊥u’£≤이므로 u’¡≤`∑`u’£≤=0 (3, 1, -2)`∑`(l, m, n)=0
∴ 3l+m-2n=0 yy㉠
g™⊥g£에서 u’™≤⊥u’£≤이므로 u’™≤`∑`u’£≤=0 (-1, 2, 1)`∑`(l, m, n)=0
∴ -l+2m+n=0 yy㉡
㉠+2_㉡을 하면 l=-5m
l=-5m을 ㉡에 대입하면 n=-7m
∴ u’£≤=(-5m, m, -7m)
따라서 점 A(3, 2, 1)을 지나고, 방향벡터가 u’£≤=(-5m, m, -7m)인 직선의 방정식은
= =
∴ = =
⑵ 직선 g¡의 방정식에서 각 변을 6으로 나누면
= =z-5
∴ g¡: = =
이때 직선 g¡의 방향벡터를 u’¡≤이라 하면 u’¡≤=(3, -2, 1)
또 직선 g™의 방정식에서 t를 소거하면
g™: = =
이때 직선 g™의 방향벡터를 u’™≤라 하면 u’™≤=(3, -b, 1)
두 직선이 일치하면 u’¡≤ //u’™≤이므로
= =
∴ b=2
또 두 직선이 일치하면 직선 g¡ 위의 점 (1, 2, 5)는 직선 g™ 위에 있으므로
= =
=- ,
5-c=-∴ a=- , c=
∴ a+b+c=- +2+11=5 2 5
2 11
2 5 2
1 2 1
2 1+a
3
5-c 1 2-1
-2 1+a
3
1 1 -2 -b 3 3
z-c 1 y-1
-b x+a
3
z-5 1 y-2
-2 x-1
3 2-y
2 x-1
3
z-1 7 y-2
-1 x-3
5
z-1 -7m y-2
m x-3 -5m
1
10
두 직선이 이루는 각1
9 10
11 ⑴ = = ⑵ 5 12 a+5
13 x-1=2-y=-z, '3
14 최댓값：'4å1+1, 최솟값：'4å1-1 15 2'2 3 z-1
7 y-2
-1 x-3
5 p 3 2'5
5
유제 pp. 243~246
두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(2, 2, -1), u’™≤=(2, 0, 1)
|u’¡≤|, |u’™≤|와 u’¡≤`∑`u’™≤의 값을 각각 구하면
|u’¡≤|="√2¤ +2¤ +(-1)¤ =3
|u’™≤|="√2¤ +0¤ +1¤ ='5
u’¡≤`∑`u’™≤=(2, 2, -1)`∑`(2, 0, 1)=3
따라서 두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로 cos h의 값을 구하면
cos h= = =
∴ sin h="√1-cos¤ h {∵ 0…h… }
=Æ…1- =
직선 g™의 방정식에서 각 변을 6으로 나누면 g™ : =y+3=
∴ g™ : = =
두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(1, 2, 3), u’™≤=(-3, 1, -2)
|u’¡≤|, |u’™≤|와 u’¡≤`∑`u’™≤의 값을 구하면
|u’¡≤|="√1¤ +2¤ +3¤ ='1å4
|u’™≤|="√(-3)¤ +1¤ +(-2)¤ ='1å4 u’¡≤`∑`u’™≤=(1, 2, 3)`∑`(-3, 1, -2)=-7
따라서 두 직선이 이루는 각의 크기를 h라 할 때, cos h 의 값을 구하면
cos h=
= =
∴ h= {∵ 0…h… } p 2 p
3
1 2
|-7|
'ß14 'ß14
|u’¡≤`∑`u’™≤|
|u’¡≤||u’™≤|
z-2 -2 y+3
1 x-1
-3
2-z 2 1-x
3
0 1
2'5 5 1 5
p 2 1 '5 3
3_'5
|u’¡≤`∑`u’™≤|
|u’¡≤||u’™≤|
9
Ⅳ벡터135 두 직선이 꼬인 위치에 있으면 평행하지도 않고 만나지도
않는다.
⁄ 두 직선이 평행하지 않은 경우
두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(2, -2, 1), u’™≤=(1, 2, -1) 두 방향벡터 u’¡≤, u’™≤에 대하여
+ =
∴ u’¡≤+ku’™≤ (단, k는 실수) 따라서 두 직선 g¡, g™는 평행하지 않다.
¤ 두 직선이 만나지 않는 경우
g¡ : = =z-2=t (t는 실수)로 놓으면 x=2t+3, y=-2t-1, z=t+2 y㉠⋯
또 g™ : x= =-z+4=s (s는 실수)로 놓으면 x=s, y=2s-a, z=-s+4 y㉡⋯
㉠, ㉡에서 x, y, z를 소거하면
2t+3=s Δ 2t-s=-3 y㉢⋯
-2t-1=2s-a Δ 2t+2s=a-1 y㉣⋯
t+2=-s+4 Δ t+s=2 y㉤⋯
이때 ㉢, ㉤을 연립하여 구한 t=- , s=
이 ㉣을 만족하지 않으면 직선 g¡, g™는 만나지 않으 므로
2 {- }+2¥ +a-1 ∴ a+5
주어진 조건을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
직선 g를 매개변수방정식으로 나타내면 x+1= = =t (단, t는 실수)
∴ x=t-1, y=2t+1, z=-t+2 점 H는 직선 g 위의 점이므로
H(t-1, 2t+1, -t+2) yy㉠ 이때 직선 g의 방향벡터를 u¯라 하면 A’H≥⊥u¯이므로
A’H≥`∑`u¯=0 yy㉡
A’H≥와 u¯를 각각 구하면 A’H≥=OH≥-O’A≥
=(t-1, 2t+1, -t+2)-(1, 2, 0)
=(t-2, 2t-1, -t+2) z-2
-1 y-1
2 A(1, 2, 0)
H
g:x+1= 2 = y-1
-1 z-2
3 1
7 3 1 3
7 3 1 3
y+a 2 y+1
-2 x-3
2
1 -1 -2
2 2 1
2
1
u¯=(1, 2, -1)이를 ㉡에 대입하면
(t-2, 2t-1, -t+2)`∑`(1, 2, -1)=0 (t-2)+2(2t-1)-(-t+2)=0 6t-6=0 ∴ t=1
t=1을 ㉠에 대입하여 점 H의 좌표를 구하면 H(0, 3, 1)
이때 두 점 A(1, 2, 0), H(0, 3, 1)을 지나는 직선 AH의 방정식은
= =
∴ x-1=2-y=-z
한편 점 A에서 직선 g에 내린 수선의 길이는 A’H”의 길 이와 같으므로 두 점 사이의 거리를 구하는 공식에 의하여
A’H”="√(0-1)¤ +(3-√2)¤ +(1-0)¤ ='3
구의 중심을 C, 구의 반지름의 길 이를 r라 하고, C에서 직선 g에 내린 수선의 발을 H, CH”=d라 할 때, 오른쪽 그림과 같이 구 위 의 임의의 점 P에서 직선 g에 이 르는 거리의 최댓값과 최솟값은
(최댓값)=d+r, (최솟값)=d-r
주어진 구의 중심 C와 반지름의 길이 r를 구하면 C(3, 6, 2), r=1
직선 g : =y+1= =t (t는 실수)로 놓으면 직선 g 위의 임의의 점 H는
H(2t, t-1, 4t)
이때 직선 g의 방항벡터를 u¯라 하면 CH≥⊥u¯이므로
CH≥`∑`u¯=0 yy㉠
CH≥와 u¯를 각각 구하면 CH≥=OH≥-OC≥
=(2t, t-1, 4t)-(3, 6, 2)
=(2t-3, t-7, 4t-2) yy㉡ u¯=(2, 1, 4)
이를 ㉠에 대입하면
(2t-3, t-7, 4t-2)`∑`(2, 1, 4)=0 2(2t-3)+(t-7)+4(4t-2)=0 21t-21=0 ∴ t=1
t=1을 ㉡에 대입하여 CH≥를 구하면 CH≥=(-1, -6, 2)
이때 d=|CH≥|이므로
|CH≥|="√(-1)¤ +(-6)¤ +2¤ ='ß41 z
4 x
2
C H P
P d r
g r 최대점
최소점
4 1
z-0 1-0 y-2 3-2 x-1
0-1
1 ④ 2 ⑤ 3 4 5 ⑤
6 P(-1, 4, 2) 7 해설 참조 8 {0, , - }
9 9 10 ④ 11 '5 12 40'3 2
13 2 1 2 4'3
3 p
6
pp. 247~249
연습 문제
두 점 A(2, -1, 4), B(1, -3, 6)을 지나는 직선 g의 방정식은
1
정답과해설136
따라서 구 위의 임의의 점 P와 직선 g 사이의 거리의 최 댓값과 최솟값을 구하면
(최댓값)='∂41+1 (최솟값)='∂41-1
g：x-1= = =t (t는 실수)로 놓으면 직선 g 위의 점 Q는
Q(t+1, 2t+1, 2t+1) yy`㉠ㅇ 이때 직선 g의 방향벡터를 u¯라 하면 OQ≥⊥u¯이므로
OQ≥∑u¯=0 yy`㉡ㅇ
OQ≥=(t+1, 2t+1, 2t+1), u¯=(1, 2, 2)이므로 이를
㉡에 대입하면
(t+1, 2t+1, 2t+1)∑(1, 2, 2)
=(t+1)+2(2t+1)+2(2t+1)=9t+5=0
∴
t=-t=- 를 ㉠에 대입하여 점 Q의 좌표를 구하면
Q{ , - , - } 이때 OQ”의 길이를 구하면
OQ”=æ≠{ }2 +{- }2 +{≠- }2 =
한편 주어진 직선 g의 방정식에 z=0을 대입하여 직선 g 와 xy평면의 교점 P의 좌표를 구하면
P{ , 0, 0}
∴ OP”=æ≠{ }2 +0¤ +0¤ =
따라서 ∠OQP=90˘이므로 직각삼각형 POQ에서 cos (∠POQ)의 값을 구하면
cos (∠POQ)= =2'2 3 OQ”
OP”
1 2 1
2 1
2
'2 3 1 9 1
9 4
9 1 9 1 9 4 9 5 9
5 9
z-1 2 y-1
5
21
= =
∴ = =
위의 직선이 xy평면과 만나는 점 P의 z좌표는 0이므로 z=0을 대입하면
= =-2
x-2=2, y+1=4, z=0
∴ x=4, y=3, z=0 따라서 P(4, 3, 0)이므로
a+b+c=7
주어진 두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’’¡≤=(2, -3, 5), u’™≤=(-1, 2, -4)
구하는 직선의 방향벡터를 u¯=(l, m, n)이라 하면 u’¡≤⊥u¯에서 u’¡≤`∑`u¯ =0이므로
(2, -3, 5)`∑`(l, m, n)=0
∴ 2l-3m+5n=0 yy㉠
u’™≤⊥u¯에서 u’™≤`∑`u¯ =0이므로 (-1, 2, -4)`∑`(l, m, n)=0
∴ -l+2m-4n=0 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 l=2n, m=3n
∴ u¯=(2n, 3n, n) 따라서 방향벡터
u¯=(2n, 3n, n)=(2, 3, 1)
이고, 점 A(5, 3, -4)를 지나는 직선의 방정식은
= =z+4
이므로 보기 중 위의 직선이 지나는 점은 ⑤ (9, 9, -2) 이다.
두 직선의 방정식에서 t를 소거하면
g¡: = =
g™: = =
두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(3, 4, 5), u’™≤=(-1, 7, 10)
|u’¡≤|, |u’™≤|와 u’¡≤`∑`u’™≤의 값을 구하면
|u’¡≤|="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2
|u’™≤|="√(-1)¤ +7¤ +10¤ =5'6 u’¡≤`∑`u’™≤=(3, 4, 5)`∑`(-1, 7, 10)=75 이때 두 직선이 이루는 각의 크기를 h 라 하면
z-1 10 y-3
7 x -1
z+2 5 y-1
4 x 3
3
y-3 3 x-5
2
2
y+1 -2 x-2
-1
z-4 2 y+1
-2 x-2
-1
z-4 6-4 y-(-1)
-3-(-1) x-2
1-2
Ⅳ벡터137 -3+a=6, 5-c=-2
∴ a=9, c=7
∴ a+b+c=18
점 A에서 직선에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 직선 x+1= =2-z=t (t는 실수)
로 놓으면 점 H는 직선 위의 점이므로
H(t-1, 2t+1, -t+2) yy`㉠ㅇ 이때 주어진 직선의 방향벡터를 u¯라 하면 AH≥⊥u¯이므로
AH≥`∑`u¯=0 yy`㉡ㅇ
AH≥와 u¯를 각각 구하면 AH≥=OH≥-O’A≥
=(t-1, 2t+1, -t+2)-(1, 2, 0)
=(t-2, 2t-1, -t+2) u¯=(1, 2, -1)
이를 ㉡에 대입하면
(t-2, 2t-1, -t+2)`∑`(1, 2, -1)=0 t-2+2(2t-1)-(-t+2)=0, 6t-6=0
∴ t=1
t=1을 ㉠에 대입하여 점 H의 좌표를 구하면 H(0, 3, 1)
이때 점 P의 좌표를 (a, b, c)라 하면 점 H는 AP”의 중 점이므로
=0, =3, =1
∴ a=-1, b=4, c=2
따라서 점 P의 좌표는 P(-1, 4, 2)이다.
세 점 A, B, P의 위치벡터를 각각 a¯, b¯, x¯라 하고, AP≥+BP≥를 구하면
AP≥+BP≥
=(OP≥-O’A≥)+(OP≥-OB≥)
=2 OP≥-O’A≥-OB≥
=2x¯-a¯-b¯
주어진 조건에서 |AP≥+BP≥|=6이므로
|2x¯-a¯-b¯|=6 2|x¯- |=6
∴ |x¯- |=3
따라서 점 P의 자취는 선분 AB의 중점을 원의 중심으로 하고, 반지름의 길이가 3인 원이다.
a¯+b¯
2 a¯+b¯
2
7
c+0 2 b+2
2 a+1
2
y-1 2
6
cos h= = = =
∴ h= {∵ 0…h… }
점 A와 직선 g 사이의 거리는 점 A 에서 직선 g에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, AH”의 길이와 같다.
g : = =z-2=t(t는 실수)로 놓으면 직선 g위의 점 H는
H(2t+3, -t-1, t+2)
이때 직선 g의 방향벡터를 u¯라 하면 AH≥⊥u¯이므로
AH≥`∑`u¯=0 yy㉠
AH≥ 와 u¯를 각각 구하면 AH≥=OH≥-O’A≥
=(2t+3, -t-1, t+2)-(1, -2, 3)
=(2t+2, -t+1, t-1) yy㉡ u¯=(2, -1, 1)
이를 ㉠에 대입하면
(2t+2, -t+1, t-1)`∑`(2, -1, 1)=0 2(2t+2)-(-t+1)+(t-1)=0 6t+2=0 ∴
t=-t=- 을 ㉡에 대입하여 A’H≥를 구하면 A’H ≥={ , , - }
∴ A’H”=|A’H≥|=æ≠{ }¤ +{ }¤ +≠{- }¤ =
직선 g¡의 방정식에서 t를 소거하면
g¡ : = =
직선 g™의 방정식에서 각 변을 6으로 나누면
g™ : = =
두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(3, b, -1), u’™≤=(3, 2, -1) 두 직선이 일치하면 u’¡≤ //u’™≤이므로
= = ∴ b=2
또 두 직선이 일치하면 직선 g™ 위의 점 (-3, 2, 5)가 직선 g¡ 위에 있으므로
= =5-c -1 2+2
2 -3+a
3
-1 -1 b 2 3 3
z-5 -1 y-2
2 x+3
3
z-c -1 y+2
b x+a
3
5
4'3 3 4 3 4
3 4 3 4 3 4 3 4 3 1 3
1 3 y+1
-1 x-3
2
4
p 2 p
6
'3 2 75 50'3 75
5'2¥5'6
|u’¡≤`∑`u’™≤|
|u’¡≤||u’™≤|
A(1, -2, 3) H
g
정답과해설138
주어진 직선 g : =y-1= 과 점 (3, 2, 1) 에 대하여 대칭이동한 직선은 서로 평행하므로 대칭이동 한 직선의 방향벡터를 u¯라 하면
u¯=(2, 1, 3)
또 직선 g 위의 한 점 (1, 1, 1)을 점 (3, 2, 1)에 대하 여 대칭이동한 점의 좌표를 (a, b, c)라 하면 점 (a, b, c)는 대칭이동한 직선 위의 점이다.
이때 점 (3, 2, 1)은 두 점 (1, 1, 1)과 (a, b, c)를 이 은 선분의 중점이므로
=3, =2, =1
∴ a=5, b=3, c=1
따라서 방향벡터가 u¯=(2, 1, 3)이고, 점 (5, 3, 1)을 지나는 직선의 방정식은
=y-3=
이때 위의 직선이 yz평면과 만나는 점의 x좌표는 0이므 로 x=0을 대입하면
=y-3=
x=0, 2(y-3)=-5, 2(z-1)=-15 x=0, y= ,
z=-∴ {0, , - }
직선 x-2a= =z-2a=t(t는 실수)로 놓으면 x=2a+t, y=a+2t, z=2a+t
구의 중심 O에서 직선에 내린 수선의 발을 H라 하면 점 H는 주어진 직선 위의 점이므로
H(2a+t, a+2t, 2a+t) yy`㉠ㅇ 이때 주어진 직선의 방향벡터를 u¯라 하면 OH≥⊥u¯이므로
OH≥`∑`u¯=(2a+t, a+2t, 2a+t)`∑`(1, 2, 1)
=(2a+t)+2(a+2t)+(2a+t)
=6a+6t=0
∴ t=-a
t=-a를 ㉠에 대입하면 H(a, -a, a)이므로 OH”="√a¤ +(-a)¤ +a¤ ="≈3a¤
이때 오른쪽 그림과 같이 직각삼각 형 OHA에서
AH”=ø πOA”¤ -OH”¤
="√9-3a¤
AB”=2AH”=2"√9-3a¤
O 3 A
'3a¤
B H y-a
9
213 2 1 2
13 2 1
2 z-1
3 0-5
2
z-1 3 x-5
2
c+1 2 b+1
2 a+1
2
z-1 3 x-1
8
2 따라서 △AOB의 넓이를 S라 하면S= ¥AB”¥OH”
= ¥2"√9-3a¤ "≈3a¤
=3"√3a¤ -a›
=3æ≠-{a¤ - }2 +
이때 S의 최댓값은 a¤ = 일 때 이다.
직선 g™의 방정식에서 각 변을 2로 나누면 g™ : =y=
두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 u’¡≤=(2, 1, -1), u’™≤=(2, 1, -1)
이때 두 직선 g¡, g™의 방향벡터 u’¡≤, u’™≤는 평행하므로 g¡ //g™
따라서 △ABC에서 AB”를 밑변이라 하면 높이 h는 두 직선 g¡, g™ 사이의 거리로 일정하다.
오른쪽 그림과 같이 직선 g™ 위 의 한 점 O(0, 0, 0)에서 직선 g¡에 그은 수선의 발을 H라 할 때, 직선
g¡ : =y-2= =t(t는 실수) 로 놓으면
x+2=2t, y-2=t, z-4=-t
∴ x=2t-2, y=t+2, z=-t+4 점 H는 직선 g¡ 위의 점이므로
H(2t-2, t+2, -t+4) yy㉠ 이때 O’H≥⊥u’¡≤이므로 O’H≥`∑`u’¡≤=0에서
(2t-2, t+2, -t+4)`∑`(2, 1, -1)
=2(2t-2)+t+2-(-t+4)=6t-6=0
∴ t=1
t=1을 ㉠에 대입하면 H(0, 3, 3)
∴ h=O’H”="√0¤ +3¤ +3¤ =3'2 따라서 △ABC의 넓이를 S라 하면
S= AB”¥h= ¥4¥3'2=6'2
두 직선 사이의 거리는 두 직선에 모두 수직인 공통 수선의 길이임을 이용한다.
두 직선 g¡, g™ 위의 임의의 점을 각각
P, Q라 하고 g¡
P
Q g™
1 1
1 2 1
2
z-4 -1 x+2
2
O C
A
H B
g™
g¡
h z
-1 x
2
0 1
9 2 3 2 9 4 3 2 1
2 1 2
Ⅳ벡터139 g¡ : = =z-2=t(t는 실수)
g™ : x= = =s (s는 실수) 로 놓으면
P(2t+3, -2t-1, t+2) yy㉠
Q(s, 2s, -s+4) yy㉡
이때 두 직선 g¡, g™의 방향벡터를 각각 u’¡≤, u’™≤라 하면 PQ≥⊥u’¡≤, PQ≥⊥u’™≤이므로
PQ≥`∑`u’¡≤=0 yy㉢
PQ≥`∑`u’™≤=0 yy㉣
PQ≥ 와 u’¡≤, u’™≤를 각각 구하면 PQ≥=OQ≥-OP≥
=(s, 2s, -s+4)-(2t+3, -2t-1, t+2)
=(s-2t-3, 2s+2t+1, -s-t+2) u’¡≤=(2, -2, 1), u’™≤=(1, 2, -1) 이를 ㉢, ㉣에 대입하면
(s-2t-3, 2s+2t+1, -s-t+2)`∑`(2, -2, 1)=0 2(s-2t-3)-2(2s+2t+1)+(-s-t+2)=0
∴ 3t+s+2=0 yy㉤
(s-2t-3, 2s+2t+1, -s-t+2)`∑`(1, 2, -1)=0 (s-2t-3)+2(2s+2t+1)-(-s-t+2)=0
∴ t+2s-1=0 yy㉥
㉤, ㉥을 연립하여 풀면 t=-1, s=1
t=-1, s=1을 ㉠, ㉡에 대입하여 두 점 P, Q의 좌표 를 구하면
P(1, 1, 1), Q(1, 2, 3)
따라서 두 직선 g¡, g™ 사이의 거리는 두 점 P, Q 사이의 거리와 같으므로
PQ”="(√1-1)¤ +(2-1)¤ √+(3-1)¤ ='5
오른쪽 그림과 같이 점 A에 서 직선 g에 내린 수선의 발 을 H라 할 때, 직선
g : x+1=
= =t (t는 실수) 로 놓으면
x+1=t, y+2=-t, z-1=2t
∴ x=t-1, y=-t-2, z=2t+1 점 H는 직선 g 위의 점이므로
H(t-1, -t-2, 2t+1)
직선 g의 방향벡터를 u’¡≤이라 하면 A’H≥⊥u’¡≤이므로 z-1
2 y+2