숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서2 2 해설

해설 BOOK

•개념 BOOK 002 •테스트 BOOK 042

튼튼한

개념

흔들리지 않는

실력

!

중학수학

개념기본서

2

2

Ⓡ

0

1

⑴ 3보다 작은 수의 눈이 나오는 경우 : 1, 2 Δ2가지 ⑵ 소수의 눈이 나오는 경우 : 2, 3, 5 Δ 3가지

0

2

3의 배수인 경우 : 3, 6, 9, 12 Δ 4가지 5의 배수인 경우 : 5, 10 Δ2가지 따라서 구하는 경우의 수는 4+2=6

0

3

눈의 수의 합이 3인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 2), (2, 1)의 2가지 눈의 수의 합이 9인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)의 4가지 따라서 구하는 경우의 수는 2+4=6

0

4

가위바위보를 할 때, 한 사람이 낼 수 있는 경우의 수 는 3이므로 구하는 경우의 수는 3_3_3=27

0

5

4_5=20

0

1

A를 제외한 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므 로 4_3_2_1=24 025쪽

개념

CHECK

01⑴ 2 ⑵ 3 026 036 0427 0520 033~035쪽

유형

EXERCISES

유형01 6 1-1 3 1-2 6 1-3 6 유형02 8 2-1 7 2-2 8 2-3 6 유형03 12 3-1 36 3-2 12개 3-3 9 3-4 9 유형04 48 4-1 120 4-2 48 4-3 24 유형05 12개 5-1 9개 5-2 8개 5-3 24개 유형06 120 6-1 140 6-2 6 6-3 21 6-4 10개 유형

0

1

눈의 수의 차가 3인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지 이다.

1

-1 500원짜리 동전의 개수를 a개, 100원짜리 동전의 개수를 b개라고 할 때, 2100원을 지불하는 방법을 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (4, 1), (3, 6), (2, 11) 의 3가지이다.

1

-2 동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 하고 앞면이 2개, 뒷면이 2개가 나오는 경우를 순서쌍으로 나타내면

확률

1. 경우의 수

V

032쪽

개념

CHECK

0124 0248 03⑴ 6 ⑵ 16 0412 0510 S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

>

개념

BOOK

>

>

>

01. 사건과 경우의 수 02. 여러 가지 경우의 수

0

2

지현이와 현아를 하나로 묶어서 생각하면 4명이 한 줄 로 서는 경우의 수에 지현이와 현아가 서로 자리를 바 꾸는 경우의 수를 곱하면 되므로 구하는 경우의 수는 (4_3_2_1)_2=48

0

3

⑴ 3_2=6 ⑵ 4_4=16

0

4

4_3=12

0

5

2115_4 =10 2

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지002 DK

개념 BOOK (H, H, T, T), (H, T, H, T), (H, T, T, H), (T, H, H, T), (T, H, T, H), (T, T, H, H)의 6가지이다.

1

-3 눈의 수의 합이 5인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)의 6가지이다. 유형

0

2

눈의 수의 합이 4인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 3가지 눈의 수의 합이 8인 경우를 순서쌍으로 나타내면 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)의 5가지 따라서 구하는 경우의 수는 3+5=8

2

-1 2+5=7

2

-2 3의 배수가 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18의 6 가지, 7의 배수가 나오는 경우는 7, 14의 2가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 6+2=8

2

-3 소수가 나오는 경우는 2, 3, 5, 7의 4가지이고, 4의 배수가 나오는 경우는 4, 8의 2가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 4+2=6 유형

0

3

6_2=12

3

-1 투수는 9명, 포수는 4명 있으므로 투수와 포수를 각 각 한 명씩 선발하는 경우의 수는 9_4=36

3

-2 4_3=12(개)

3

-3 두 눈의 수의 곱이 홀수가 되는 경우는 (홀수)_(홀수)이고, 한 개의 주사위에서 나올 수 있는 홀수는 1, 3, 5의 3가지이므로 구하는 경우의 수는 3_3=9 유형

0

4

부모님을 1명으로 생각하여 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수를 구하면 4_3_2_1=24 이때, 부모님이 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 경우 의 수는 24_2=48

4

-1 5명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 5_4_3_2_1=120

4

-2 부모님을 양 끝에 세운 후 부모님을 제외한 가족 4명 을 한 줄로 세우는 경우의 수는 4_3_2_1=24 이때, 부모님이 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 구하 는 경우의 수는 24_2=48

4

-3 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색 은 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 1가지이므로 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24

3

-4 ⁄A⁄ B ⁄ C로 가는 경우의 수는 4_2=8 ¤A⁄ C로 가는 경우의 수는 1 ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 8+1=9 유형

0

5

십의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 3, 4의 3개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 십의 자리의 숫자를 제외한 4개이다. 따라서 구하는 20 이상인 자연수의 개수는 3_4=12(개)

5

-1 ⁄백의 자리의 숫자가 4일 때 : 435, 452, 453의 3개 ¤백의 자리의 숫자가 5일 때 : 5 인 경우이므 로 3_2=6(개) ⁄, ¤에 의하여 구하는 432보다 큰 수의 개수는 3+6=9(개)

5

-2 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 2, 4의 2개, 십의 자 리에 올 수 있는 숫자는 일의 자리의 숫자를 제외한 4개이다.

0

1

한 개의 주사위를 던질 때 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이다.

0

2

두 접시를 각각 A, B라고 하면 과자 12개를 다음 표와 같이 나누어 담을 수 있다. 따라서 구하는 경우의 수는 11이다.

0

3

⁄은 합의 법칙이므로 ㈎ m+n, ¤는 곱의 법칙이므 로 ㈏ mn이다.

0

4

두 수의 곱이 짝수가 되려면 두 수 중 적어도 하나는 짝수이어야 한다. 그런데 B주머니에는 짝수가 적힌 공 이 없으므로 반드시 A주머니에서 짝수가 적힌 공을 뽑아야 한다. 두 수의 곱이 짝수가 되는 경우를 (A주머니의 수, B주머니의 수)로 나타내면 (2, 1), (2, 3)`, (2, 7), (4, 1), (4, 3), (4, 7) 의 6가지이다.

0

5

(-3, -1), (-3, 1), (-2, -2), (-2, 2), (-1, -3), (-1, 3), (1, -3), (1, 3), (2, -2), (2, 2), (3, -1), (3, 1)의 12가지이다.

0

6

_{;aB;>1, 즉 b>a인 경우를 순서쌍 (a, b)로 나타내면} (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6) 의 15가지이다. 036~038쪽

실력

EXERCISES

013 0211 03⑤ 046 05④ 06④ 077 0816 0912 1010 11 8 12 6 13720 145 15 ⑤ 16 12 17 6개 1852개 1910개 20⑴ 4 ⑵ 3개 A접시 11개 10개 y 2개 1개 B접시 1개 2개 y 10개 11개 따라서 구하는 짝수의 개수는 2_4=8(개)

5

-3 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 1, 2, 3의 3개, 십의 자리에는 모두 올 수 있으므로 4개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 3의 2개이다. 따라서 구하는 홀수의 개수는 3_4_2=24(개) 유형

0

6

회장을 뽑는 경우의 수는 6, 부회장을 뽑는 경우의 수는 5, 총무를 뽑는 경우의 수는 4이므로 구하는 경우의 수는 6_5_4=120

6

-1 남자 대의원 1명과 여자 대의원 1명을 뽑는 경우의 수는 4_5=20 대의원 2명을 제외한 7명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 7 따라서 구하는 경우의 수는 20_7=140 ■ 다른 풀이 ■ ⁄회장이 남학생인 경우 : 4_(3_5)=60(가지) ¤회장이 여학생인 경우 : 5_(4_4)=80(가지) ⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 60+80=140

6

-2 A를 제외한 B, C, D, E의 4명의 후보 중에서 2명 의 대표를 뽑아야 하므로 구하는 경우의 수는 =6

6

-3 7권 중에서 순서를 생각하지 않고 2권을 뽑는 경우 의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 =21

6

-4 5개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 2개의 점을 선택하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 =10(개) 5_4 112₂ 7_6 112₂ 4_3 112₂

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지004 DK

개념 BOOK

0

7

3+4=7

0

8

1에서 60까지의 수 중 5의 배수인 경우는 5, 10, y, 60의 12가지, 11의 배수인 경우는 11, 22, y, 55의 5가지이다. 이때, 55는 두 가지 경우 에 모두 포함되므로 구하는 경우의 수는 12+5-1=16

0

9

수학 문제집을 고르는 경우의 수는 4, 영어 문제집을 고르는 경우의 수는 3이므로 수학, 영어 문제집을 각각 한 권씩 짝지어 살 수 있는 경우의 수는 4_3=12

10

2_5=10

11

집에서 우체통까지 가장 짧 은 거리로 가는 경우의 수 는 2, 우체통에서 학교까지 가장 짧은 거리로 가는 경 우의 수는 4이다. 따라서 구하는 경우의 수는 2_4=8

12

A선수는 첫 주자로 정해졌으므로 B, C, D 세 명의 선 수가 뛰는 순서를 정하면 된다. 따라서 구하는 경우의 수는 3_2_1=6

13

여학생 3명을 하나로 묶어서 생각하면 5명을 한 줄로 세우는 것과 같으므로 5_4_3_2_1=120 yy`㉠ 이웃한 여학생 3명이 서로 자리를 바꾸어 서는 경우의 수는 3_2_1=6 yy`㉡ 따라서 ㉠의 경우와 ㉡의 경우가 동시에 일어나므로 120_6=720

14

5개의 티셔츠 중에서 4개를 고르는 것은 제외할 1개의 티셔츠를 선택하는 경우의 수와 같으므로 5이다.

15

① 2_6=12 ② 3_3=9 우체통 1 1 2 1 1 1 4 1 2 3 집 학교 ③ 2_2=4 ④ =6 ⑤ 짝수가 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지

16

A에 칠할 수 있는 색은 3가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 2가지, C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 2가지이다. 따라서 구하는 경우의 수는 3_2_2=12

17

십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 8, 9의 2개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 1, 2의 3개이므로 구 하는 자연수의 개수는 2_3=6(개)

18

짝수가 되기 위해 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 0, 2, 4이다. ⁄ ` `0인 경우 : 5_4=20(개) ¤ ` `2인 경우 : 4_4=16(개) ‹ ` `4인 경우 : 4_4=16(개) ⁄, ¤, ‹에서 구하는 세 자리의 짝수의 개수는 20+16+16=52(개)

19

5개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개의 점을 선 택하는 경우의 수와 같으므로 =10(개)

20

⑴ 4개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개의 점을 선택하는 경우의 수는 ⑴ =4 ⑵ 3개의 점을 연결하여 삼각형을 만들려면 점 A는 반 드시 선택해야 한다. 따라서 남은 세 점 B, C, D 중 에서 순서를 생각하지 않고 두 점을 선택하는 경우 의 수와 같으므로 ⑴ =3(개) ■ 다른 풀이 ■ ⑴에서 구한 4가지 경우 중에서 세 점 B, C, D를 선 택하는 경우는 삼각형을 만들 수 없으므로 이를 제외 하면 구하는 경우의 수는 4-1=3(개) 3_2 113₂ 4_3_2 112222_{3_2_1} 5_4_3 112222_{3_2_1} 4_3 112₂

0

1

주사위 A, B를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36 ⁄눈의 수의 차가 3인 경우는 (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)의 6가지이므로 눈의 수의 차가 3일 확률은 ;3§6;=;6!; ¤눈의 수의 차가 4인 경우는 (1, 5), (2, 6), (5, 1), (6, 2)의 4가지이므로 눈 의 수의 차가 4일 확률은 ;3¢6;=;9!; 따라서 나온 눈의 수의 차가 3 또는 4일 확률은 ;6!;+;9!;=;1∞8;

0

2

처음에 짝수의 눈이 나오는 경우는 2, 4, 6의 3가지 이므로 짝수의 눈이 나오는 확률은 ;6#;=;2!; 나중에 소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 소수의 눈이 나오는 확률은 ;6#;=;2!; ∴ (구하는 확률)=;2!;_;2!;=;4!;

0

3

두 야구 선수가 각각 안타를 치지 못할 확률은 각각 0.8, 0.7이므로 두 야구 선수가 모두 안타를 치지 못할 확률은 0.8_0.7=0.56 따라서 적어도 한 선수는 안타를 칠 확률은 1-0.56=0.44

0

4

⑴ 1부터 6까지의 자연수 중 소수는 2, 3, 5이다. 재석 이가 소수가 적힌 카드를 꺼낼 확률은 ;6#;=;2!;, 현아 가 소수가 적힌 카드를 꺼낼 확률은 ;6#;=;2!;이므로 구하는 확률은 ;2!;_;2!;=;4!; ⑵ 재석이가 소수가 적힌 카드를 꺼낼 확률은 ;6#;=;2!;, 현아가 소수가 적힌 카드를 꺼낼 확률은 ;5@;이므로 구하는 확률은 ;2!;_;5@;=;5!; 053쪽

개념

CHECK

01 ;1∞8; 02 ;4!; 030.44 04_{⑴ ;4!; ⑵ ;5!;} 02. 확률의 계산

0

1

4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20의 5개이므로 구하는 확률 은 ;2∞0;=;4!;

0

2

모든 경우의 수가 100, A형을 뽑는 경우의 수가 35이 므로 구하는 확률은 ;1£0∞0;=;2¶0;

0

3

모든 경우의 수는 10 ⑴ 흰 공이 나오는 경우의 수가 4이므로 구하는 확률은 ⑴;1¢0;=;5@; ⑵ 반드시 흰 공 또는 검은 공이 나오므로 구하는 확률 은 1 ⑶ 노란 공은 절대로 나올 수 없으므로 구하는 확률은 0

0

4

⑴ 1-0.6=0.4이므로 비가 오지 않을 확률은 40 % ⑵ 1-;4#;=;4!; ⑶ 3의 배수의 눈이 나올 확률이 ;6@;=;3!;이므로 구하는 ⑶확률은 1-;3!;=;3@;

0

5

일어날 수 있는 모든 경우의 수는 2_2_2=8이고 모 두 뒷면이 나오는 경우의 수는 1이므로 구하는 확률은 1-;8!;=;8&; 047쪽

개념

CHECK

01 ;4!; 02 ;2¶0; 03_{⑴ ;5@; ⑵ 1 ⑶ 0} 04_{⑴ 40 % ⑵ ;4!; ⑶ ;3@;} 05 ;8&;

2. 확률

01. 확률의 뜻과 성질

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지006 DK

개념 BOOK 054~057쪽

유형

EXERCISES

유형01 ;9!; 1-1 ;5!; 1-2 3개 1-3 ;3!; 유형02 0 2-1 0 2-2 ⑴ ;5#; ⑵ 0 ⑶ 1 2-3 1 유형03 ;6%; 3-1 ;3@; 3-2 ;4#; 3-3 ;3#6%; 유형04 ;3!6!; 4-1 ;9%; 4-2 ;2!; 4-3 ;1!2!; 유형05 _;1!6#; 5-1 _;9@; 5-2 _;3∞6; 5-3 _;4#; 유형06 _;9@; 6-1 ;5@; 6-2 ;2§5; 6-3 ;3@; 유형07 ;1¶5; 7-1 ;2!; 7-2 ;1!6! 7-3 ;4#; 유형08 ;5#; 8-1 ;2ª5; 8-2 ;1¡5; 8-3 ;5#; 유형

0

1

모든 경우의 수는 6_6=36 두 눈의 수의 합이 5가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지이다. 따라서 구하는 확률은 ;3¢6;=;9!;

1

-1 ;2¢0º0;=;5!;

1

-2 빨간 공을 꺼낼 확률은 =;3!; ∴ n=6 따라서 노란 공의 개수는 6-(1+2)=3(개)

1

-3 12등분 중 색칠한 부분은 4부분이므로 구하는 확률은 ;1¢2;=;3!; 2 1_n

2

-2 ⑴ 소수가 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 구 ⑴하는 확률은 ;5#;이다. ⑵ 6의 배수는 나올 수 없으므로 구하는 확률은 0이다. ⑶ 1부터 5까지의 자연수는 모두 60의 약수이므로 구하는 확률은 1이다.

2

-3 항상 x+y…12이므로 구하는 확률은 1이다. 유형

0

2

두 눈의 수의 합은 항상 2 이상이므로 구하는 확률은 0이다.

2

-1 11의 배수는 만들 수 없으므로 구하는 확률은 0이다. 유형

0

3

모든 경우의 수는 6_6=36 나오는 두 눈의 수가 서로 같을 경우는 (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)의 6가지이므로 두 눈의 수가 서로 같을 확률은 ;3§6;=;6!; 따라서 두 눈의 수가 서로 다를 확률은 1-;6!;=;6%;

3

-1 모든 경우의 수 3_3=9 비기는 경우는 (가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지이므로 두 사람이 비길 확률은 ;9#;=;3!; 따라서 승부가 결정될 확률은 1-;3!;=;3@;

3

-2 모든 경우의 수는 4_3=12 두 자리의 자연수가 40 이상일 경우는 41, 42, 43의 3가지이므로 40 이상일 확률은 ;1£2;=;4!; 따라서 40 미만일 확률은 1-;4!;=;4#;

3

-3 모든 경우의 수는 6_6=36 눈의 수의 합이 3 미만일 경우는 (1, 1)의 1가지이므 로 그 확률은 ;3¡6;이다. 따라서 3 이상일 확률은 1-;3¡6;=;3#6%; 유형

0

4

모든 경우의 수는 6_6=36 6의 눈이 나오지 않는 경우의 수는 5_5=25이므로 그 확률은 ;3@6%;이다. 따라서 구하는 확률은 1-;3@6%;=;3!6!;

4

-1 모든 경우의 수는 3_3=9 직선 도로를 한 번도 이용하지 않는 경우의 수는 2_2=4이므로 그 확률은 ;9$;이다. 따라서 구하는 확률은 1-;9$;=;9%;

4

-2 모든 경우의 수는 4_3_2_1=24 부모님이 이웃하여 서는 경우의 수는 (3_2_1)_2=12이므로 그 확률은 ;2!4@;=;2!;이다. 따라서 구하는 확률은 1-;2!;=;2!;

4

-3 모든 경우의 수는 3_2_2_2=24 노란색, 파란색으로만 색을 칠하는 경우의 수는 2이므로 그 확률은 ;2™4;=;1¡2;이다. 따라서 구하는 확률은 1-;1¡2;=;1!2!; 유형

0

5

모든 경우의 수는 4_4=16 ⁄두 자리의 자연수가 20 이하인 경우는 10, 12, 13, 14, ⁄_{20의 5가지이므로 그 확률은 ;1∞6;} ¤두 자리의 자연수가 30 이상인 경우는 30, 31, 32, 34, ⁄_{40, 41, 42, 43의 8가지이므로 그 확률은 ;1•6;} ⁄_{, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;1∞6;+;1•6;=;1!6#;}

5

-1 모든 경우의 수는 6_6=36 ⁄두 자리의 자연수가 30 이하의 3의 배수인 경우는 ⁄_{12, 15, 21, 24의 4가지이므로 그 확률은 ;3¢6;} ¤두 자리의 자연수가 40 이상의 4의 배수인 경우는 ⁄_{44, 52, 56, 64의 4가지이므로 그 확률은 ;3¢6;} ⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;3¢6;+;3¢6;=;3•6;=;9@;

5

-2 주사위에서 나온 수를 순서쌍 (a, b)로 나타내면 ⁄x=2일 때, 즉 2a=b를 만족하는 경우는 ⁄_{(1, 2), (2, 4), (3, 6)이므로 그 확률은 ;3£6;} ¤x=3일 때, 즉 3a=b를 만족하는 경우는 ⁄_{(1, 3), (2, 6)이므로 그 확률은 ;3™6;} ⁄_{, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;3£6;+;3™6;=;3∞6;}

5

-3 ⁄동전을 3번 던지므로 모든 경우의 수는 2_2_2=8 ⁄점 P의 좌표가 1이 되려면 앞면이 2번, 뒷면이 1 번 나와야 하므로 구하는 경우는 (앞, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 앞)의 3가지이고, 그 확률은 ⁄_;8#;이다. ¤점 P의 좌표가 -1이 되려면 앞면이 1번, 뒷면이 2번 나와야 하므로 구하는 경우는 (뒤, 뒤, 앞), (뒤, 앞, 뒤), (앞, 뒤, 뒤)의 3가지이고, 그 확률은 ⁄_;8#;이다. ⁄_{, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;8#;+;8#;=;8^;=;4#;} 유형

0

6

6의 약수의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 6의 4가지이므로 그 확률은 ;6$;, 3의 배수의 눈이 나오는 경우는 3, 6의 2가 지이므로 그 확률은 ;6@;이다. 따라서 구하는 확률은 ;6$;_;6@;=;9@;

6

-1 ;5#;_;3@;=;5@;

6

-2 통로가 갈라지는 각 지점에서 로봇이 오른쪽으로 갈 확률은 1-;5#;=;5@; 로봇이 A에서 출발하여 D로 나오려면 오른쪽으로 한 번, 왼쪽으로 한 번 가야 하므로 구하는 확률은 ;5@;_;5#;=;2§5;

6

-3 원판 A에서 바늘이 멈춘 수가 4 이하일 확률은 ;6$;=;3@;, 원판 B에서 바늘이 멈춘 수가 4 이하일 확 률은 ;4@;=;2!;이므로 바늘이 멈춘 두 수가 모두 4 이

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지008 DK

개념 BOOK 하일 확률은 ;3@;_;2!;=;3!;이다. 따라서 구하는 확률은 1-;3!;=;3@; 유형

0

7

⁄_{꺼낸 공이 모두 흰 공일 확률은 ;5#;_;3!;=;1£5;} ¤_{꺼낸 공이 모두 검은 공일 확률은 ;5@;_;3@;=;1¢5;} ⁄_{, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;1£5;+;1¢5;=;1¶5;}

7

-1 a+b가 짝수이려면 a`, `b가 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. ⁄_{뽑은 카드가 모두 짝수일 확률은 ;3!;_;4@;=;6!;`} ¤_{뽑은 카드가 모두 홀수일 확률은 ;3@;_;4@;=;3!;} ⁄_{, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;6!;+;3!;=;2!;}

7

-2 2문제 미만 맞힐 확률은 1문제만 맞히거나 모두 틀 릴 확률이므로 ;2!;_;2!;_;2!;_;2!;_4+;2!;_;2!;_;2!;_;2!; =;1¢6;+;1¡6;=;1∞6; ∴ (4문제 중 2문제 이상 맞힐 확률) ∴=1-(1문제만 맞히거나 모두 틀릴 확률) ∴=1-;1∞6;=;1!6!;

7

-3 A가 한 번만 더 이기면 되므로 A가 승리하는 각각 의 경우의 확률은 다음과 같다. 따라서 A가 승리할 확률은 ;2!;+;4!;=;4#; 4회 5회 확률 A승 ;2!; B승 A승 ;2!;_;2!;=;4!; 유형

0

8

(한 사람만 당첨될 확률) =(A만 당첨될 확률)+(B만 당첨될 확률) =;5@;_;4#;+;5#;_;4@;=;5#;

8

-1 ;5#;_;5#;=;2ª5;

8

-2 1부터 10까지의 자연수 중 3의 배수는 3, 6, 9이므 로 구하는 확률은 ;1£0;_;9@;=;1¡5;

8

-3 A가 이기는 각각의 경우의 확률은 다음과 같다. 따라서 A가 이길 확률은 ;5@;+;5!;=;5#; A B A 확률 흰 공 ;5@; 검은 공 검은 공 흰 공 ;5#;_;4@;_;3@;=;5!;

0

1

12의 약수가 나오는 경우는 1, 2, 3, 4, 6, 12의 6가지 이므로 12의 약수를 뽑을 확률이 ;3!;이 되려면 =;3!; ∴ n=18

0

2

모든 경우의 수는 6_6=36 처음보다 한 계단 위에 있으려면 짝수가 홀수보다 1 큰 수이어야 하므로 가능한 경우를 순서쌍으로 나타내면 (1, 2), (2, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)의 6가 지이다. 따라서 구하는 확률은 ;3§6;=;6!; 6 15_n 058~060쪽

실력

EXERCISES

0118 02_;6!; 03_;1¡8; 04_;1¡2; 05_;3!; 06_;1¶8; 07_;1∞6; 08②, ⑤ 09;9%; 10;1¶0; 11 ;3¶6; 12 ;2¶4; 13;3@; 14;5¡0; 15;4#; 16;1•5; 17_;4#9!; 18_;2ª5; 19_;3!0(; 20_;5@; 21 _;5@; 22_;6!;

0

9

모든 경우의 수는 3_3=9 두 자리의 자연수가 짝수인 경우는 ⁄일의 자리의 숫자가 0인 경우 : 0Δ3가지 ¤일의 자리의 숫자가 2인 경우 : 2Δ2가지 ∴ 3+2=5 따라서 구하는 확률은 ;9%;

10

한 자리의 자연수 중 홀수인 경우의 수는 5이다. 두 자 리의 자연수 중 각 자리의 숫자가 모두 홀수인 경우의 수는 5_5=25이므로 각 자리의 숫자가 모두 홀수인 경우의 수는 5+25=30이다. 즉, 각 자리의 숫자가 모두 홀수일 확률은 ;1£0º0;=;1£0; 이다. 따라서 구하는 확률은 1-;1£0;=;1¶0;

11

a=1일 때, b>1인 경우의 수는 5, a=2일 때, b>4인 경우의 수는 2이다. 따라서 구하는 확률은 ;3∞6;+;3™6;=;3¶6;

12

12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 두 수의 합이 1이 되는 경우는 없다. 1이 아닌 12의 약수가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내면 2가 되는 경우는 (1, 1) : 1가지 3이 되는 경우는 (1, 2), (2, 1) : 2가지 4가 되는 경우는 (1, 3), (2, 2), (3, 1) : 3가지 6이 되는 경우는 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) : 5가지 12가 되는 경우는 (4, 8), (5, 7), (6, 6) : 3가지 따라서 구하는 확률은 =;4!8$;=;2¶4;

13

세 사람이 가위바위보를 할 때 나올 수 있는 모든 경우 의 수는 27이다. 이 중 세 사람이 모두 같은 것을 내는 경우의 수는 3, 세 사람이 모두 다른 것을 내는 경우의 수는 3_2_1=6이므로 이기는 사람이 나오지 않을 확률 은 ;2£7;+;2§7;=;2ª7;=;3!; 따라서 구하는 확률은 1-;3!;=;3@; 1+2+3+5+3 15151515121_{6_8}

0

3

모든 경우의 수는 6_6=36 일차함수 y=2x+1의 그래프 위의 점이 되는 경우는 (1, 3), (2, 5)의 2가지이므로 구하는 확률은 ;3™6;=;1¡8;

0

4

모든 경우의 수는 6_6=36 점 P(a, b)와 원점 O(0, 0)을 지나는 직선의 방정식 은 y=;aB;x이므로 ;aB;>3, 즉 b>3a일 확률을 구하면 된다. b>3a를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 4), (1, 5), (1, 6)이므로 구하는 확률은 ;3£6;=;1¡2;

0

5

모든 경우의 수는 6_6=36 x=1일 때 주어진 부등식은 y…6 : y의 값은 6개 x=2일 때 주어진 부등식은 y…4 : y의 값은 4개 x=3일 때 주어진 부등식은 y…2 : y의 값은 2개 x=4, 5, 6일 때는 부등식을 만족하는 y의 값이 존재 하지 않는다. 따라서 구하는 확률은 ;3!6@;=;3!;

0

6

만들 수 있는 직사각형의 개수는 _ =36(개) 이 중 정사각형의 개수는 9+4+1=14(개) 따라서 구하는 확률은 ;3!6$;=;1¶8;

0

7

원판 전체의 넓이는 16p 2…OP”…3을 만족하는 점 P를 잡을 수 있는 영역의 넓이는 9p-4p=5p 따라서 구하는 확률은 =;1∞6;

0

8

① 0…p…1 ③ p=1이면 q=0이다. ④ q=1이면 사건 A는 절대로 일어나지 않는다. 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. 5p 25155_16p 4 O 4_3 1515₂ 4_3 1515₂

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지010 DK

개념 BOOK ■ 다른 풀이 ■ 한 명이 이기는 경우의 수는 9, 두 명이 이기는 경우의 수 는 9이므로 적어도 한 명은 이기는 사람이 나올 확률은 ;2ª7;+;2ª7;=;3@;

14

;1¡0º0;_;1™0º0;=;5¡0;

15

세 사람이 모두 목표물을 맞히지 못할 확률은 ;2!;_;3@;_;4#;=;4!;이므로 적어도 한 명은 목표물을 맞 힐 확률은 1-;4!;=;4#;

16

a+b가 짝수가 되려면 a, b가 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. a, b가 모두 짝수일 확률은 ;3!;_;5@;=;1™5; a, b가 모두 홀수일 확률은 ;3@;_;5#;=;5@; 따라서 구하는 확률은 ;1™5;+;5@;=;1•5;

17

⁄처음 꺼낸 공이 흰 공이고 두 번째 꺼낸 공이 흰 공이 ⁄_{아닐 확률은 ;7#;_;7%;=;4!9%;} ¤처음 꺼낸 공이 검은 공이고 두 번째 꺼낸 공이 검은 ⁄_{공이 아닐 확률은 ;7$;_;7$;=;4!9^;} ⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;4!9%;+;4!9^;=;4#9!;

18

비가 온 것을 , 비가 오지 않 은 것을 _로 나타내면 오른쪽 표와 같다. 따라서 월요일에 비가 왔을 때, 수요일에도 비가 올 확률은 {1-;5@;}_;3!;+;5@;_;5@;=;5!;+;2¢5;=;2ª5;

19

⁄A팀과 B팀의 경기에서 A팀이 이기고, A팀과 C ⁄팀의 경기에서 C팀이 이길 확률은 ;3!;_;5@;=;1™5; 월 화 수 _ ¤A팀과 B팀의 경기에서 B팀이 이기고, B팀과 C팀 ⁄의 경기에서 C팀이 이길 확률은 ⁄{1-;3!;}_{1-;4!;}=;2!; ⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;1™5;+;2!;=;3!0(;

20

⁄A와 B가 모두 당첨 제비를 뽑을 확률은 ⁄;5@;_;4!;=;1¡0; ¤A는 당첨 제비를 뽑지 못하고 B만 당첨 제비를 뽑 ⁄을 확률은 ;5#;_;4@;=;1£0; ⁄, ¤_{에 의하여 구하는 확률은 ;1¡0;+;1£0;=;1¢0;=;5@;}

21

C가 흰 공을 꺼내는 각각의 경우의 확률은 다음과 같다. 따라서 구하는 확률은 ;1¡0;+;1¡0;+;5!;=;5@;

22

⁄_{2번에 끝날 확률 : ;9@;_;8!;=;3¡6;} ¤3번에 끝날 확률 : ¤_{;9@;_;8&;_;7!;+;9&;_;8@;_;7!;=;1¡8;} ‹4번에 끝날 확률 : ¤_{;9@;_;8&;_;7^;_;6!;+;9&;_;8@;_;7^;_;6!;} ¤_{+;9&;_;8^;_;7@;_;6!;=;1¡2;} ⁄, ¤, ‹에 의하여 구하는 확률은 ;3¡6;+;1¡8;+;1¡2;=;6!; A B C 확률 흰 공 검은 공 흰 공 ;5@;_;4#;_;3!;=;1¡0; 검은 공 흰 공 흰 공 ;5#;_;4@;_;3!;=;1¡0; 검은 공 검은 공 흰 공 ;5#;_;4@;_;3@;=;5!;

062~065쪽

대단원

EXERCISES

013 0212 036 0417 0520가지 0648 07 12개 086 09⑤ 1045회 1143개 12;9!; 13;9@; 14ㄱ, ㄴ 15 ;5$; 16 ;4#; 17 방 A에 들어갈 확률 : ;8#;, 방 B에 들어갈 확률 : ;8%; 18;9%; 19 ;6%; 20 ;6#4(; 21 ;3@; 22 ;1∞2; 23 ;1!2!5&; 24 ;5!; 25 72 26 ;2¡1ª6; 27 ;9@;

0

1

y=1일 때, x의 값은 없다. y=2일 때, x=5 y=3일 때, x=3 y=4일 때, x=1 y=5, 6일 때, x의 값은 없다. 따라서 x+2y=9인 경우의 수는 3이다.

0

2

소수의 눈이 나오는 경우는 2, 3, 5의 3가지이므로 a=3 7 이상의 눈이 나오는 경우는 없으므로 b=0 5 이하의 눈이 나오는 경우는 1, 2, 3, 4, 5의 5가지이 므로 c=5 1의 눈 또는 4 이상의 눈이 나오는 경우는 1, 4, 5, 6 의 4가지이므로 d=4 ∴ a+b+c+d=3+0+5+4=12

0

3

두 눈의 수의 합이 5가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내 면 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4가지, 두 눈의 수의 합이 11이 되는 경우는 (5, 6), (6, 5)의 2가지 이므로 구하는 경우의 수는 4+2=6

0

4

3의 배수가 나오는 경우의 수는 11, 4의 배수가 나오 는 경우의 수는 8, 3과 4의 공배수, 즉 12의 배수가 나 오는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는 11+8-2=17

0

5

올라갈 때 선택할 수 있는 등산로는 5가지이고, 내려올 때 선택할 수 있는 등산로는 4가지이므로 모두 5_4=20(가지)의 코스가 있다.

0

6

A에 색을 칠하는 경우의 수는 4, B에 색을 칠하는 경 우의 수는 3, C에 색을 칠하는 경우의 수는 2, D에 색 을 칠하는 경우의 수는 2이므로 깃발에 색을 칠하는 경 우의 수는 4_3_2_2=48

0

7

분모에 올 수 있는 숫자는 4개, 분자에 올 수 있는 숫자 는 3개이므로 만들 수 있는 분수의 개수는 4_3=12(개)

0

8

4명의 여학생 중에서 두 명의 대표를 뽑는 경우의 수와 같으므로 =6

0

9

7개의 점 중에서 순서를 생각하지 않고 3개를 선택하 는 경우와 같다. 따라서 만들 수 있는 삼각형의 개수는 =35(개)

10

10명 중에서 순서를 생각하지 않고 2명을 선택하는 경 우와 같으므로 =45(회)

11

처음 주머니에 들어 있던 흰 공의 개수를 m개, 검은 공의 개수를 n개라고 하면 =;6!;, =;5!; 따라서 m+n-1=6m-6에서 5m-n=5, m+n-3=5m에서 4m-n=-3이므로 m=8, n=35이다. 따라서 처음 주머니에 들어 있던 공의 개수는 8+35=43(개)이다.

12

두 직선의 방정식에 x=1을 각각 대입하면 y=2-a, y=-3+b이므로 2-a=-3+b ∴ a+b=5 따라서 두 개의 주사위를 던졌을 때, 나오는 두 눈의 수 의 합이 5가 될 확률은 ;3¢6;=;9!; m 1155522255_m+n-3 m-1 1155522255_m+n-1 10_9 115552₂ 7_6_5 1155512_{3_2_1} 4_3 11555₂

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지012 DK

개념 BOOK

13

⁄앞면이 나오는 경우 ⁄_{;2!;_;6!;=;1¡2;} ¤뒷면이 나오는 경우 ⁄_{;2!;_;6!;_;6%;+;2!;_;6%;_;6!;=;3∞6;} ⁄_{, ¤에서 구하는 확률은 ;1¡2;+;3∞6;=;9@;}

14

ㄷ. 어떤사건이일어날확률은 0 이상 1 이하이다. (거짓) ㄹ. 어떤 사건이 일어날 확률이 ;3!;이면 일어나지 않을 ㄹ. 확률은 1-;3!;=;3@;이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

15

카드에 적힌 두 수가 연속하는 자연수인 경우를 순서 쌍으로 나타내면 (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10) 과 각각 순서를 바꾼 경우가 존재하므로 18가지이다. 따라서 두 수가 연속하는 자연수가 아닐 확률은 1- _=;5$;

16

2장의 그림이 같으면 나머지 하나는 무조건 달라진다. 2장이 _{일 확률은 ;2!;_;2!;=;4!;} 2장이 _{일 확률은 ;2!;_;2!;=;4!;} 2장이 일 확률은 ;2!;_;2!;=;4!; 따라서 구하는 확률은 ;4!;+;4!;+;4!;=;4#;

17

방 A에 들어갈 확률은 ;2!;_;2!;+;2!;_;2!;_;2!;=;8#; 방 B에 들어갈 확률은 1-;8#;=;8%;

18

A상자에서 노란 공이 나올 확률은 ;3!;_1=;3!; B상자에서 노란 공이 나올 확률은 ;3!;_;3@;=;9@; C상자에서 노란 공이 나올 확률은 ;3!;_0=0 18 1555222_{10_9} 따라서 구하는 확률은 ;3!;+;9@;+0=;9%;

19

당첨 제비를 1개도 뽑지 못할 확률은 ;1§0;_;9%;_;8$;=;6!; 따라서 구하는 확률은 1-;6!;=;6%;

20

형과 동생 모두 경품을 받지 못할 확률은 ;8%;_;8%;=;6@4%; 따라서 구하는 확률은 1-;6@4%;=;6#4(;

21

전구에 불이 들어올 확률은 ;2!;_;3@;=;3!; 따라서 구하는 확률은 1-;3!;=;3@;

22

A만 시험에 합격할 확률은 ;3!;_;4#;=;4!; B만 시험에 합격할 확률은 ;3@;_;4!;=;6!; 따라서 구하는 확률은 ;4!;+;6!;=;1∞2;

23

치료율이 ;1§0º0;=;5#;이므로 3명 모두 치료되지 못할 확률은 ;5@;_;5@;_;5@;=;12*5; 따라서 구하는 확률은 1-;12*5;=;1!2!5&;

24

15장 중에서 짝수인 카드는 7장이므로 구하는 확률은 ;1¶5;_;1§4;=;5!;

25

x=5_4_3_2_1=120 ……❶ y=(4_3_2_1)_2=48 ……❷ ∴ x-y=120-48=72 ……❸ ❶x의 값 구하기 ❷y의 값 구하기 ❸x-y의 값 구하기 40 % 50 % 10 % 채점 기준 배점

26

모든 경우의 수는 6_6_6=216 a+b가 c의 약수이어야 하므로 c의 값에 따른 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수는 다음과 같다. c=2일 때, a+b=2Δ(1, 1)의 1개 c=3일 때, a+b=3Δ(1, 2), (2, 1)의 2개 c=4일 때, a+b=2 또는 a+b=4 Δ(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)의 4개 c=5일 때, a+b=5 Δ (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)의 4개 c=6일 때, a+b=2 또는 a+b=3 또는 a+b=6

이고, a+b=6은 (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)의 5개Δ 1+2+5=8(개) ……❶ 따라서 구하는 확률은 ;21!6;+;21@6;+;21$6;+;21$6;+;21*6;=;2¡1ª6; ……❷

27

바둑돌이 꼭짓점 C에 있으려면 두 눈의 수의 합이 2 또는 7 또는 12이어야 한다. ⁄두 눈의 수의 합이 2인 경우는 (1, 1)의 1가지 ¤두 눈의 수의 합이 7인 경우는 ¤(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지 ‹두 눈의 수의 합이 12인 경우는 (6, 6)의 1가지 ……❶ 따라서 구하는 확률은 ;3¡6;+;3§6;+;3¡6;=;9@; ……❷ ❶1322_a+bc 가 정수가 되는 각각의 경우의 수 구하기 80 % ❷1322_a+bc 가 정수가 될 확률 구하기 20 % 채점 기준 배점 ❶꼭짓점 C에 있게 되는 경우의 수 구하기 ❷꼭짓점 C에 있게 될 확률 구하기 50 % 50 % 채점 기준 배점

01

⑴ 펭귄의 위치는 고정이므로 나머지 3개를 한 줄로 나 열하는 경우만 생각하면 된다. ⑵따라서 구하는 경우의 수는 3_2_1=6이다. ⑵ 고양이와 달팽이의 위치는 고정이므로 나머지 2개 를 한 줄로 나열하는 경우만 생각하면 된다. ⑵따라서 구하는 경우의 수는 2_1=2 ⑶ 거북과 펭귄을 하나로 생각하여 3개를 한 줄로 세우 는 경우의 수를 구하면 3_2_1=6이다. 이때, 거북과 펭귄의 자리를 바꾸는 경우의 수가 2 이므로 구하는 경우의 수는 6_2=12이다.

02

⑴ A 지점에서 B 지점까지 가려면 가로로 3번, 세로 로 1번 가야 한다. 즉, ⑴(가로), (가로), (가로), (세로) ⑴를 한 줄로 나열하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 4_3_2_1÷6=4이다. ⑵ A 지점에서 B 지점까지 가려면 가로로 3번, 세로 로 2번 가야 한다. 즉, ⑴(가로), (가로), (가로), (세로), (세로) 를 한 줄로 나열하는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 5_4_3_2_1÷6÷2=10이다. 066~067쪽

Advanced Lecture

[유제] 01⑴ 6 ⑵ 2 ⑶ 12 02⑴ 4 ⑵ 10

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지014 DK

개념 BOOK

0

2

_{⑴ ∠x=;2!;(180˘-76˘)=52˘} ⑵ ∠B=∠ACB=180˘-117˘=63˘이므로 ⑵∠x=180˘-(63˘+63˘)=54˘

0

3

∠BCA=∠FDE=90˘, AB”=EF”=10 cm, ∠BAC=180˘-(60˘+90˘)=30˘이므로 △ABC™△EFD (RHA 합동) DF”=CB”이므로 x=5

0

4

⑤ ∠COD+∠DPC=180˘이지만 ⑤∠COD=∠DPC라고 할 수 없다.

0

1

ㄴ. 삼각형의 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같 으므로 OA”=OB”=OC” ㄹ. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이 므로 AD”=BD” ㅁ. △OAF와 △OCF에서

AF”=CF”, ∠OFA=∠OFC=90˘, OF”는 공통

ㅁ. ∴ △OAF™△OCF (SAS 합동)

0

2

⑴ ∠x+45˘+30˘=90˘ ∴ ∠x=15˘ ⑵ ∠x=2_70˘=140˘

0

3

ㄱ. △IEC와 △IFC에서

ㄱ. ∠IEC=∠IFC=90˘, ∠ICE=∠ICF, IC”는 공통

ㄱ. ∴ △IEC™△IFC (RHA 합동) ㄱ. ∴ CE”=CF” ㄴ. 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ID”=IE”=IF” ㄹ. ㄱ과 같은 방법으로 하면 ㄷ. △IAD™△IAF (RHA 합동)

0

4

⑴ ∠x+30˘+40˘=90˘ ∴ ∠x=20˘ ⑵ ∠x=90˘+;2!;_70˘=125˘ 081쪽

개념

CHECK

01㈎ AC”, ㈏ ∠CAD, ㈐ AD”, ㈑ SAS 02⑴ 52˘ ⑵ 54˘ 035 04⑤ 095~099쪽

유형

EXERCISES

유형01 35˘ 1-1 50˘ 1-2 40˘ 1-3 55˘ 유형02 ⑤ 2-1 ㈎ AC”, ㈏ SAS, ㈐ CM”, ㈑ 180˘ 유형03 123˘ 3-1 20˘ 3-2 20˘ 3-3 63˘ 유형04 12 cm 4-1 ③ 4-2 ④ 유형05 ⑤ 5-1 ④ 5-2 ㄱ, ㄴ 유형06 ⑴ 8 cm ⑵ 32 cm¤ 6-1 ③ 6-2 8 cm¤ 유형07 ④ 7-1 60˘ 7-2 24˘ 7-3 48˘ 유형08 ② 8-1 105˘ 8-2 6˘ 8-3 114˘ 유형09 ;2(; 9-1 1 cm 9-2 :¡3º: 9-3 10 cm 유형10 64˘ 10-1 ⑤ 10-2 150˘ 10-3 15˘ 유형

0

1

△ABC는 AB”=AC”이므로 ∠B=;2!;(180˘-40˘)=70˘ ∴ ∠ABD=;2!;_70˘=35˘

1

-1 ∠C=∠B=65˘ ∴ ∠A=180˘-(65˘+65˘)=50˘

1

-2 △ACD는 AC”=DC”이므로 ∠CAD=∠CDA=50˘ 따라서 △ABC에서 ∠x=180˘-(90˘+50˘)=40˘

1

-3 △ABC는 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;(180˘-70˘)=55˘ 이때, ∠EAD=∠B (동위각)이므로 ∠EAD=55˘

도형의 성질

1. 삼각형의 성질

VI

094쪽

개념

CHECK

01ㄴ, ㄹ, ㅁ 02⑴ 15˘ ⑵ 140˘ 03ㄱ, ㄴ, ㄹ 04⑴ 20˘ ⑵ 125˘ 01. 이등변삼각형과 직각삼각형 02. 삼각형의 외심과 내심

유형

0

4

△ABC는 이등변삼각형이므로 ∠ABC=∠C=;2!;(180˘-36˘)=72˘ ∴ ∠ABD=;2!;∠ABC=;2!;_72˘=36˘ 또, △DAB에서 ∠BDC=36˘+36˘=72˘ 따라서 ∠BCD=∠BDC=72˘이므로 △BCD는 BC”=BD”인 이등변삼각형이다. ∴ BD”=BC”=12 cm

4

-1 ∠A=96˘-48˘=48˘

즉, ∠B=∠A이므로 △CAB는 AC”=BC”인 이등 변삼각형이다. ∴ BC”=AC”=6 cm

4

-2 ① ∠A=∠C=45˘ ② △ABC는 이등변삼각형이므로 BM”⊥AC” ③, ⑤ ∠ABM=∠MBC=;2!;_90˘=45˘ ①△ABM과 △MBC가 이등변삼각형이므로 ①AM”=BM”=CM” A D B _12`cm C 36æ 36æ 72æ 72æ 유형

0

3

△ABC에서 ∠B=∠ACB=;2!;(180˘-98˘)=41˘ △CAD에서 ∠CDA=∠CAD=180˘-98˘=82˘ 따라서 △DBC에서 ∠x=82˘+41˘=123˘

3

-1 ∠DCA=∠DCE=55˘이므로 ∠ACB=180˘-(55˘+55˘)=70˘ 이때, AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB=70˘ ∴ ∠DBC=;2!;∠ABC =;2!;_70˘=35˘ 따라서 △DBC에서 ∠BDC=55˘-35˘=20˘

3

-2 ∠A=∠x라고 하면 AB”=BC”이므로 ∠BCA=∠A=∠x △ABC에서 ∠DBC=∠x+∠x=2∠x △DBC에서 BC”=CD”이므로 ∠BDC=∠DBC=2∠x △DAC에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x △DCE에서 DC”=DE””이므로 ∠DEC=∠DCE=3∠x △DAE에서 ∠x+3∠x+100˘=180˘ 즉, 4∠x=80˘이므로 ∠x=20˘ ∴ ∠A=20˘

3

-3 BA”∥CD”이므로 ∠BAC=∠ACD =∠x (엇각) ∠BCA=∠ACD ∠BCA=∠x (접은 각) 따라서 △ABC에서 AB”=BC”이므로 ∠x=;2!;(180˘-54˘)=63˘ A D 54æ B C x xx A _D B C E 35æ 70æ55æ55æ 35æ 유형

0

2

① BD”=CD”=3 cm ② △ABD에서 ∠BAD=180˘-(90˘+70˘)=20˘ ⑤ ∠ABD=70˘이므로 △ABC는 정삼각형이 아니다. ∴ AB”+6 cm 유형

0

5

① RHS 합동 ② SAS 합동 ③ RHA 합동 ④ RHA 합동 ⑤ 모양은 같으나 크기가 같다고 할 수 없으므로 합동이 아 니다.

5

-1 RHS 합동이 되려면 빗변의 길이와 다른 한 변의 길 이가 같아야 한다.

5

-2 ㄱ. 삼각형의 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ㄱ. 나머지 한 각의 크기는 180˘-(90˘+30˘)=60˘ 따라서 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 같은 두 직 각삼각형 ㄱ, ㄴ은 서로 합동이다. (RHA 합동) 유형

0

6

⑴ △ABD™△CAE (RHA 합동)이므로 ⑴DE”=AD”+AE”=CE”+BD”=8(cm)

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:26 AM 페이지016 DK

개념 BOOK 2(26˘+40˘+∠x)=180˘ 66˘+∠x=90˘ ∴ ∠x=24˘

7

-3 ∠AOB=2∠C=2_42˘=84˘ 따라서 △AOB에서 OA”=OB”이므로 ∠x=;2!;(180˘-84˘)=48˘ 유형

0

8

① 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ID”=IE”=IF” ③ 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 ∠IAD=∠IAF ④, ⑤ △IBD와 △IBE에서 ③∠IDB=∠IEB=90˘ ③∠IBD=∠IBE, IB”는 공통이므로 ③△IBD™△IBE (RHA 합동) ③∴ BD”=BE”

8

-1 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠ABI=40˘, ∠ICB=∠ACI=35˘ 따라서 △IBC에서 ∠BIC=180˘-(40˘+35˘)=105˘

8

-2 ∠IAB=∠IAC이므로 ∠x=30˘ 30˘+∠y+36˘=90˘이므로 ∠y=24˘ ∴ ∠x-∠y=30˘-24˘=6˘

8

-3 _{∠BIC=90˘+;2!;∠BAC} ∠BIC=90˘+24˘=114˘ ⑵ DBCE=;2!;_(BD”+CE”)_DE” ⑵ DBCE=;2!;_(5+3)_8=32(cm¤ )

6

-1 △ADE와 △ACE에서 ∠ADE=∠ACE=90˘, AD”=AC”, AE”는 공통이므로 △ADE™△ACE (RHS 합동) 이때, ∠EAD=90˘-55˘=35˘이므로 ∠A=2∠EAD=70˘ ∴ ∠B=90˘-70˘=20˘

6

-2 △ABD와 △AED에서 ∠ABD=∠AED=90˘, ∠BAD=∠EAD, AD”는 공통이므로 △ABD™△AED (RHA 합동) ∴ DE”=DB”=2 cm ∴ △ADC=;2!;_AC”_DE” ∴ △ADC=;2!;_8_2=8(cm¤ ) 유형

0

7

① 삼각형의 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다. ①∴ OA”=OB”=OC” ② 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로 ①BE”=CE” ③, ⑤ △OAD와 △OBD에서

①∠ODA=∠ODB=90˘, OA”=OB”, OD”는 공통이므로 △OAD™△OBD (RHS 합동) ①∴ ∠OAD=∠OBD

7

-1 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로 AM”=BM”=CM” 즉, △MAB는 이등변삼각형이므로 ∠MAB=∠MBA=30˘ 따라서 △ABM에서 ∠AMC=30˘+30˘=60˘

7

-2 ∠OCB=∠OBC=26˘, ∠OAC=∠OCA=40˘ ∠OAB=∠OBA=∠x이므로 B _M C A 30æ 30æ 유형

0

9

CD”=CE”=x라고 하면 AF”=AE”=8-x BF”=BD”=10-x AB”=AF”+BF”이므로 9=(8-x)+(10-x) ∴ x=;2(;

9

-1 △ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC=;2!;_r_(3+4+5)=;2!;_3_4 ∴ r=1(cm) B D E F C 10-x 10-x 8-x 8-x x x I A

0

1

AB”=AC”이므로 ∠C=∠B=3∠x-15˘ 따라서 △ABC에서 ∠x+(3∠x-15˘)+(3∠x-15˘)=180˘ 7∠x=210˘ ∴ ∠x=30˘

0

2

AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠ABC=50˘ △NMC에서 ∠MNC=180˘-(90˘+50˘)=40˘

0

3

∠BAC=∠x라고 하면 AD”=BD”이므로 ∠ABD=∠BAD=∠x 이때, ∠DBC=∠ABD=∠x이므로 ∠ABC=2∠x AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠ABC=2∠x △ABC의 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠A+∠B+∠C=∠x+2∠x+2∠x=180˘ 5∠x=180˘ ∴ ∠x=36˘ ∴ ∠C=2∠x=72˘

0

4

_{∠ACD=;2!;(180˘-72˘)=54˘이므로} ∠DBC=∠D=;2!;(180˘-72˘-54˘)=27˘ 이때, ∠ABC=∠ACB=72˘이므로 ∠x=∠ABC-∠DBC=72˘-27˘=45˘

0

5

BC”∥AD”이므로 ∠CAD=∠BCA=28˘ (엇각) ∴ ∠ADC=;2!;(180˘-28˘)=76˘ 이때, AD”=ED”이므로 ∠DAE=∠DEA=∠x 따라서 △DAE에서 ∠x+∠x=76˘ ∴ ∠x=38˘ 100~102쪽

실력

EXERCISES

01④ 02⑤ 0372˘ 0445˘ 05③ 0658˘ 078 cm¤ 08③ 0930 cm 1030˘ 11 ③ 12110˘ 13150˘ 14 54˘ 15 19 cm 16⑤ 1729p cm¤ 1824˘

9

-2 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC=;2!;_r_(AB”+BC”+CA”) 60=;2!;_r_36 ∴ r=:¡3º:(cm)

9

-3 AB”=AC”인 이등변삼각형 ABC의 둘레의 길이가 30 cm이므로 2AB”+10=30 ∴ AB”=10(cm)

점 I는 △ABC의 내심이고 DE”∥BC”이므로 ∠DBI=∠IBC=∠DIB ∴ DB”=DI” ∴ AD”+DI”=AD”+DB”=AB”=10(cm) B D E C 10`cm I A 유형

10

∠BOC=2∠A=104˘이므로 ∠A=52˘ ∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+26˘=116˘ 따라서 ∠BIC와 ∠A의 크기의 차는 116˘-52˘=64˘

10

-1정삼각형의 외심과 내심은 일치한다.

10

-2△ABC에서 ∠B=180˘-(90˘+70˘)=20˘ 이때, 점 O는 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” ∴ ∠OCB=∠OBC=20˘ 이때, ∠IBC=;2!;∠B=;2!;_20˘=10˘이므로 ∠BPC=180˘-(10˘+20˘)=150˘

10

-3점 O는 △ABC의 외심이므로 ∠BOC=2∠A=2_40˘=80˘ 이때, OA”=OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=;2!;(180˘-80˘)=50˘ 또, 점 I는 △ABC의 내심이고 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB=;2!;(180˘-40˘)=70˘

∴ ∠ABI=∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_70˘=35˘ ∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=50˘-35˘=15˘

개념 BOOK

0

6

△BDF와 △CED에서 BF”=CD”, BD”=CE” △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C ∠B=;2!;(180˘-52˘)=64˘ ∴ △BDF™△CED (SAS 합동)

∴ ∠BFD=∠CDE, ∠BDF=∠CED, DF”=ED” ∠BDF=a, ∠BFD=b라고 하면 a+b=180˘-64˘=116˘ ∴ ∠FDE=180˘-(a+b) ∴ ∠FDE=180˘-116˘=64˘ 따라서 △DEF에서 DF”=DE”이므로 ∠DEF=∠DFE ∴ ∠x=;2!;(180˘-64˘)=58˘

0

7

△AED와 △AEC에서

AD”=AC”, AE”는 공통, ∠ADE=∠ACE=90˘ 이므로 △AED™△AEC(RHS 합동) ∴ DE”=CE”=4 cm 직각이등변삼각형 ABC에서 ∠B=45˘이므로 ∠DEB=90˘-45˘=45˘ 따라서 △BDE에서 DB”=DE”=4 cm이므로 △_{BDE=;2!;_4_4=8(cm¤ )}

0

8

△ADB와 △CEA에서 ∠D=∠E=90˘, AB”=AC”, ∠BAD=90˘-∠CAE=∠ACE 이므로 △ADB™△CEA(RHA 합동) ∴ AD”=CE” 또, ∠BAD+∠CAE=180˘-90˘=90˘

0

9

BD”=AD”=6 cm, AF”=CF”=5 cm, CE”=BE”=4 cm이므로 △ABC의 둘레의 길이는 2_(6+5+4)=30(cm)

10

점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”=8 cm 따라서 △AOC는 정삼각형 이므로 ∠BAC=60˘ A B C E F D 52æ x a a b b 64æ 64æ 64æ ∴ ∠B=180˘-(60˘+90˘)=30˘

11

주어진 원은 △ABC의 외접원이므로 외심을 찾으면 된다. 외심은 세 선분의 수직이등분선의 교점이므로 ③이다.

12

OA”를 그으면OA”=OB” 이므로 ∠OAB=∠OBA=50˘ 또, OB”=OC”이므로 ∠OCB=∠OBC=20˘ 이때, ∠BCA=∠x라고 하면OA”=OC”이므로 ∠OAC=∠OCA=∠x+20˘ △ABC의 세 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180˘ (50˘+∠x+20˘)+30˘+∠x=180˘ 100˘+2∠x=180˘ ∴ ∠x=40˘ ∴ ∠A=50˘+40˘+20˘=110˘

13

∠IBC=∠IBA=30˘, ∠ICB=∠ICA=40˘이므로 ∠y=180˘-(30˘+40˘)=110˘ 110˘=90˘+;2!;∠x이므로 ∠x=40˘ ∴ ∠x+∠y=40˘+110˘=150˘

14

∠BAD=∠CAD=∠a, ∠ABE=∠CBE=∠b라고 하면

△ABE에서 2∠a+∠b=180˘-87˘=93˘ yy`㉠ △ABD에서 ∠a+2∠b=180˘-84˘=96˘ yy`㉡

㉠+㉡을 하면 3∠a+3∠b=189˘ ∴ ∠a+∠b=63˘ 따라서 △ABC에서 ∠C=180˘-2(∠a+∠b)=180˘-126˘=54˘

15

DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠IBC (엇각) 점 I가 △ABC의 내심 이므로 ∠DBI=∠IBC ∴ ∠DIB=∠DBI 즉, △DBI는DB”=DI”인 이등변삼각형이다. A B C D I E 9`cm 10`cm 11`cm A B C O 30æ 50æ x+20æ x 20æ 20æ A B C O 8`cm 8`cm 8`cm

같은 방법으로 하면 △EIC도EI”=EC”인 이등변삼 각형이다. 따라서 △ADE의 둘레의 길이는 AD”+DE”+EA”=AD”+(DB”+EC”)+EA” AD”+DE”+EA”=AB”+AC” AD”+DE”+EA=9+10=19(cm)

16

정삼각형의 외심과 내심은 일치한다. 따라서 외접원의 반지름의 길이는 AI”=9-3=6(cm)

17

_{(외접원의 반지름의 길이)=;2!;}BC”=;2!;_10=5(cm) 이때, 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 △ABC의 넓이는 ;2!;_r_(10+6+8)=;2!;_6_8 ∴ r=2 따라서 외접원과 내접원의 넓이의 합은 p_5¤ +p_2¤ =29p(cm¤ )

18

점 O는 △ABC의 외심이므로 ∴ ∠BOC=2∠A=2_28˘=56˘ ∠_{OBC=;2!;(180˘-56˘)=62˘} AB”=AC”이므로 ∠_{ABC=;2!;(180˘-28˘)=76˘} 점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠_{IBC=;2!;_76˘=38˘} ∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC

∴ ∠OBI=62˘-38˘=24˘

0

1

⑴ 평행사변형에서 대변의 길이와 대각의 크기가 각각 같으므로 a=10, b=120 ⑵ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분 하므로 a=5, b=3

0

1

⑴ 직사각형은 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것 을 이등분하므로 △ODA는 이등변삼각형이다. ⑴∴ y=6, ∠ADO=30˘ ⑴△ABD에서 ∠ADO=30˘이므로 ⑴∠ABD=180˘-(90˘+30˘)=60˘ ⑴∴ x=60 ⑵ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분 하므로 x=3 ⑴△ABO에서 ∠AOB=90˘이므로 ⑴∠ABO=180˘-(50˘+90˘)=40˘ ⑴∴ y=40 ⑶ 정사각형의 두 대각선은 길이가 같고, 서로 다른 것을 ⑴수직이등분하므로 x=8_;2!;=4 ⑴AC”⊥BD”이므로 ∠BOC=90˘ ⑴△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로 ⑴∠OCB=;2!;(180˘-90˘)=45˘

0

3

AD”∥BC”이므로 △ABC=△DBC △OBC=△ABC-△ABO △OBC=△DBC-△ABO △OBC=20-6=14(cm¤ ) 112쪽

개념

CHECK

01⑴ a=10, b=120 ⑵ a=5, b=3 02⑴ DC”, BC” ⑵ DC”, BC” ⑶ ∠C, ∠D ⑷ OC”, OD” ⑸ DC”, DC” 03㈎ ∠EDF, ㈏ ∠DFC, ㈐ ∠BFD

2. 사각형의 성질

124쪽

개념

CHECK

01⑴ x=60, y=6 ⑵ x=3, y=40 ⑶ x=4, y=45 02㈎ ㄱ 또는 ㄷ, ㈏ ㄴ 또는 ㄹ 0314 cm¤

01. 평행사변형

02. 여러 가지 사각형

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.9 4:56 PM 페이지020 DK

개념 BOOK 유형

0

2

△DCE와 △FBE에서 CE”=BE”, ∠DCE=∠FBE (엇각) ∠DEC=∠FEB (맞꼭지각)이므로 △DCE™△FBE (ASA 합동) ∴ BF”=CD”=4 cm 또, AB”=CD”=4 cm이므로 AF”=AB”+BF”=4+4=8(cm)

2

-1 AB”=CD”이므로 3x=x+6 ∴ x=3 이때, BC”=2x+1=2_3+1=7이므로 AD”=BC”=7

2

-2 ③ OA”=OC”, OB”=OD”

2

-3 AD”∥BC”이므로 ∠DAE=∠AEB=55˘ (엇각) ∴ ∠A=2_55˘=110˘ 이때, ∠A+∠D=180˘이므로 ∠x=180˘-110˘=70˘

2

-4 ∠A : ∠B=5 : 4이고, ∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=;9%;_180˘=100˘ ∴ ∠C=∠A=100˘

2

-5 ∠ADC=∠B=64˘이므로 ∠ADF=;2!;_64˘=32˘ △ADF에서 ∠DAF=180˘-(90˘+32˘)=58˘ ∠A+∠B=180˘이므로 (∠x+58˘)+64˘=180˘ ∴ ∠x=58˘ 125~130쪽

유형

EXERCISES

유형01 84˘ 1-1 4 cm 1-2 87˘ 유형02 8 cm 2-1 7 2-2 ③ 2-3 70˘ 2-4 ② 2-5 ③ 유형03 ③ 3-1 ㈎ DA”, ㈏ SSS, ㈐ ∠DCA, ㈑ ∠CAD 3-2 16 cm 3-3 ③

3-4 ABFC, ACED, BFED

유형04 18 cm¤ 4-1 48 cm¤ 4-2 10 cm¤ 유형05 31 5-1 ④ 5-2 ④ 유형06 120˘ 6-1 ∠x=30˘, ∠y=60˘ 6-2 ①, ④ 6-3 ①, ③ 유형07 25˘ 7-1 ④ 7-2 ③, ⑤ 유형08 35˘ 8-1 ③ 8-2 ⑤ 유형09 직사각형 9-1 ⑤ 9-2 ④ 9-3 ② 유형10 32 cm¤ 10-1② 10-2②, ④ 유형

0

1

AD”∥BC”이므로 ∠DAC=∠x (엇각) AB”∥DC”이므로 ∠ABD=∠y (엇각) 이때, △ABD에서 (70˘+∠x)+∠y+26˘=180˘ ∴ ∠x+∠y=84˘

1

-1 AB”∥DC”이므로 ∠BEC=∠DCE (엇각) 즉, △BEC가 이등변삼각형 이므로 BE”=BC”=12 cm ∴ AE”=BE”-AB” ∴ AE”=12-8=4(cm)

1

-2 ∠CDB=∠ABD=32˘이므로 △DOC에서 ∠AOD=32˘+55˘=87˘ A E B D C 12`cm 8`cm 유형

0

3

① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ② 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다. ③ ∠B=∠C=60˘이면 동측내각의 합이 180˘가 아니므 로 AB”와 DC”는 평행하지 않다. 따라서 평행사변형이 아니다. ④ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변 형이다. ⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형 이다.

3

-2 ∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=180˘-60˘=120˘ ∴ ∠BAE=∠DAE=60˘ AD”∥BC”이므로 ∠BEA=∠FAE=60˘ (엇각) 따라서 △ABE는 정삼각형이므로 BE”=AE”=AB”=6 cm ∴ EC”=8-6=2(cm) CD”=AB”=6 cm이고, 같은 방법으로 하면 △CDF는 정삼각형이므로 DF”=FC”=CD”=6 cm ∴ AF”=8-6=2(cm) 따라서 AECF의 둘레의 길이는 AE”+EC”+CF”+FA”=6+2+6+2=16(cm)

3

-3 △ABE와 △CDF에서 AB”=CD”, ∠BAE=∠DCF (엇각) ∠AEB=∠CFD=90˘이므로 △ABE™△CDF (RHA 합동) 따라서 ① AE”=CF”, ④ ∠ABE=∠CDF, ⑤ △ABE™△CDF 또, ∠BEF=∠DFE=90˘ (엇각)이므로 ② BE”∥DF” 유형

0

4

△PAB+△PCD=△PAD+△PBC이므로 16+14=12+△PBC ∴ △PBC=18 cm¤

4

-1 △BCD=2△ABO=2_6=12(cm¤ ) 이때, BC”=CE”, DC”=CF”이므로 BFED는 평행사변형이다. ∴ BFED=4△BCD=4_12=48(cm¤ )

4

-2 △AOP와 △COQ에서 AO”=CO”, ∠PAO=∠QCO (엇각), ∠AOP=∠COQ (맞꼭지각) ∴ △AOP™△COQ (ASA 합동) ∴ △AOP+△DOQ=△COQ+△DOQ

∴ △AOP+△DOQ=△COD=;4!; ABCD

∴ △AOP+△DOQ=;4!;_40=10(cm¤ ) 유형

0

5

직사각형은 두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 이등 분하므로 △OBC는 이등변삼각형이다. 즉, OB”=OC”=;2!;_10=5(cm)이므로 x=5 △ABC에서 ∠B=90˘이므로 ∠ACB=180˘-(64˘+90˘)=26˘ 즉, ∠DBC=∠ACB=26˘이므로 y=26 ∴ x+y=5+26=31

5

-1 ④ AB”=AD”인 경우에만 성립한다.

5

-2 ① ∠DAB+∠ABC=180˘이므로 ①∠DAB=∠ABC이면 ∠DAB=∠ABC=90˘ ③ AO”=;2!; AC”, DO”=;2!; BD”이므로

①AO”=DO”이면 AC”=BD” ④ AC”⊥BD”이면 마름모가 된다. ⑤ ∠DAO=∠ADO이면 △AOD가 이등변삼각 형이므로 AO”=DO” ①∴ AC”=BD” 유형

0

6

△BCD가 이등변삼각형이므로 ∠CBD=∠CDB=30˘ ∴ ∠C=180˘-2_30˘=120˘ 이때, 마름모는 대각의 크기가 각각 같으므로 ∠A=∠C=120˘

6

-1 ∠DBC=∠ADB=30˘ (엇각)이므로 △BOC에서 ∠BOC=90˘ 따라서 두 대각선이 수직으로 만나므로 ABCD는 마름모이다. 이때, 마름모의 두 대각선은 내각을 이 등분하므로 ∠x=∠DBC=30˘ ∠y=∠BCA=60˘

6

-2 ⑤ 마름모는 평행사변형이므로 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

6

-3 평행사변형의 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대 각선이 수직으로 만나면 마름모가 된다. A B C D 30æ 30æ 120æ

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:27 AM 페이지022 DK

개념 BOOK 따라서 EFGH는 직사각형이다.

9

-1 △DEO와 △BFO에서 DO”=BO”, ∠EDO=∠FBO (엇각), ∠DOE=∠BOF=90˘이므로 △DEO™△BFO (ASA 합동) ∴ EO”=FO” (②) 따라서 EBFD는 두 대각선이 서로 다른 것을 수 직이등분하므로 마름모이다. ① △EBF가 이등변삼각형이므로 ∠EBO=∠FBO ③ 마름모는 네 변의 길이가 같으므로 BE”=DE” ④ 마름모는 평행사변형이므로 BE”∥DF”

9

-2 평행사변형에 포함되는 사각형은 대각선이 서로 다 른 것을 이등분한다. ④ 등변사다리꼴의 대각선은 서로 길이가 같다.

9

-3 ② 등변사다리꼴 - 마름모 유형

0

7

△ABE™△ADE (SAS 합동)이므로 ∠AEB=∠AED=70˘ 따라서 △EBC에서 ∠EBC+45˘=70˘ ∴ ∠EBC=25˘

7

-1 AC”⊥BD”이고 OA”=OB”=OC”=OD”=3 cm이므로 ABCD=2△ABC ABCD={;2!;_6_3}_2=18(cm¤ )

7

-2 ① ABCD는 직사각형이다. ②, ④ ABCD는 마름모이다. ③ AB”=BC”이면 평행사변형 ABCD는 마름모이 다. OB”=OC”이면 마름모 ABCD는 정사각형이다. ⑤ ∠ABC=90˘이면 평행사변형 ABCD는 직사각 형이다. ⑤AC”⊥BD”이면 직사각형 ABCD는 정사각형이다. 유형

0

8

∠DCB=∠B=75˘, ∠BCA=∠DAC=40˘ (엇각) ∴ ∠ACD=75˘-40˘=35˘

8

-1 AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠DBC=40˘ (엇각) AB”=AD”이므로 ∠ABD=∠ADB=40˘ 따라서 ∠ABC=40˘+40˘=80˘이므로 ∠C=∠ABC=80˘

8

-2 ① △ABC=△DBC이므로 △AOB=△DOC ②, ④ △ABC™△DCB (SAS 합동)이므로 ①∠DBC=∠ACB, AC”=DB” ⑤ AB”=AD”인지 알 수 없다. 유형

0

9

ABCD는 평행사변형이므로 ∠A+∠B=180˘ ∴ ∠EAB+∠EBA=;2!; (∠A+∠B)=90˘ △ABE에서 ∠AEB=180˘-90˘=90˘ ∴ ∠HEF=∠AEB=90˘ 같은 방법으로 하면 ∠EFG=∠FGH=∠GHE=90˘ 유형

10

ABCD=△ABC+△ACD=△ABC+△ACE ABCD=20+12=32(cm¤ )

10

-1AD”∥BC”이므로 △DBC=△ABC=35(cm¤ ) ∴ △DOC=△DBC-△OBC =35-20=15(cm¤ )

10

-2AB”∥DC”이므로 △ADF=△BDF AE”∥BC”이므로 △DBE=△DCE ∴ △BDF=△CEF 131~133쪽

실력

EXERCISES

014 cm 0270˘ 03100˘ 04④ 05145˘ 06직사각형 07 65˘ 08 ⑤ 0985˘ 10③ 11 ① 12△DBE, △DBF, △DAF 13② 1424 cm¤ 15마름모 16 ② 1724 cm¤ 18 4 cm¤

0

1

AD”∥BC”이므로 ∠ADF=∠CFD (엇각) 따라서 △CDF가 이등변삼각형이므로 CF”=CD”=AB”=6 cm ∴ BF”=BC”-CF”=8-6=2(cm) △AGD에서 ∠DAG+∠ADG=90˘이고 평행사변형 ABCD에서 ∠A+∠D=180˘이므로 ∠BAG=∠DAG 따라서 ∠DAE=∠BEA (엇각)에서 △BAE도 이등 변삼각형이므로 BE”=AB”=6 cm ∴ EF”=BE”-BF”=6-2=4(cm)

0

2

∠B+∠C=180˘이므로 ∠C=180˘-∠B=180˘-70˘=110˘ ∴ ∠EAF=360˘-(90˘+90˘+110˘)=70˘

0

3

∠FDB=∠BDC=40˘ (접은 각) ∠FBD=∠BDC=40˘ (엇각) 즉, ∠FBD=∠FDB=40˘이므로 △FBD에서 ∠BFD=180˘-2_40˘=100˘

0

4

AM”∥NC”, AM”=NC”이므로 ANCM은 평행사 변형이다. 또한, MD”∥BN”, MD”=BN”이므로 MBND도 평행사변형이다. 따라서 PN”∥MQ”, MP”∥QN”이므로 MPNQ는 평행사변형이다.

0

5

GB”∥DC”이므로 ∠DCG=∠BGC=55˘ (엇각) ∴ ∠BCG=∠DCG=55˘ △BCG에서 ∠BGC=∠BCG=55 ˘이므로 ∠CBG=180˘-(55˘+55˘)=70˘ AD”∥BC”이므로 ∠FEB=∠EBC=;2!;_70˘=35 ˘ (엇각) ∴ ∠BED=180˘-35˘=145˘

0

6

△ABM™△DCM (SSS 합동)이므로 ∠A=∠D …… ㉠ ABCD는 평행사변형이므로 ∠A+∠D=180˘ …… ㉡ ㉠, ㉡`에서 ∠A=∠D=90˘ 따라서 ABCD는 직사각형이다.

0

7

ABCD는 마름모이므로 ∠A+∠B=180˘ ∴ ∠A=180˘-70˘=110˘ 정삼각형 ABP에서 ∠BAP=60˘이므로 ∠PAD=∠A-∠BAP=110˘-60˘=50˘ 또한, ABCD는 마름모이고 △ABP는 정삼각형이 므로 AB”=AP”=AD” 따라서 △APD가 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

0

8

오른쪽 그림과 같이 CD”의 연장 선 위에 BP”=DR”가 되도록 점 R를 잡으면 △ABP™△ADR (SAS 합동) 이때, ∠BAP=∠DAR이므로 ∠RAQ=∠DAR+∠DAQ ∠RAQ=∠BAP+∠DAQ ∠RAQ=90˘-45˘=45˘ △APQ와 △ARQ에서 AP”=AR”, ∠PAQ=∠RAQ=45˘, AQ”는 공통이므로 △APQ™△ARQ (SAS 합동) ∴ ∠x=∠AQP=180˘-(45˘+65˘)=70˘

0

9

AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠CBD=25˘ 이때, ∠D=∠A=110˘이므로 ∠BDC=110˘-25˘=85˘

10

OA” : OC”=1 : 2이므로

△OAD : △OCD=1 : 2, 2 : △OCD=1 : 2 ∴ △OCD=4 cm¤

이때, AD”∥BC”이므로 △ABD=△ACD ∴ △OAB=△OCD=4 cm¤

OA” : OC”=1 : 2이므로

△OAB : △OBC=1 : 2, 4 : △OBC=1 : 2 ∴ △OBC=8 cm¤ ∴ ABCD ∴=△OAD+△OAB+△OBC+△OCD ∴=2+4+8+4=18(cm¤ ) D R Q P A B C 45æ 65æ x

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:27 AM 페이지024 DK

개념 BOOK

11

△ABM=;2!;△ABC=;4!; ABCD △ABM=;4!;_16=4(cm¤ ) △CMN=;2!;△CMD=;2!;△ABM △CMN=;2!;_4=2(cm¤ ) △AND=;2!;△ACD=;4!; ABCD △AND=;4!;_16=4(cm¤ ) ∴ △AMN ∴= ABCD-(△ABM+△CMN+△AND) ∴=16-(4+2+4)=6(cm¤ )

12

△ABE=△DBE=△DBF=△DAF

13

② 이웃하는 두 내각의 크기가 같은 평행사변형은 직 사각형이다.

14

△APS™△BPQ™△CRQ™△DRS (SAS 합동) 이므로 PS”=PQ”=RQ”=RS” 따라서 PQRS는 마름모이므로 그 넓이는 ;2!;_6_8=24(cm¤ )

15

∠AFB=∠EBF (엇각)이므로 ∠ABF=∠AFB ∴ AB”=AF” 또, ∠BEA=∠FAE (엇각)이므로 ∠BAE=∠BEA ∴ AB”=BE” 따라서 AF”=BE”이고 AF”∥BE”이므로 ABEF는 평행사변형이다. ∴ AB”∥FE” ∠ABF=∠EFB (엇각)이므로 ∠EBF=∠EFB ∴ BE”=EF”” 따라서 AB”=BE”=EF”=AF”이므로 ABEF는 마름모이다.

16

BM” : QM”=2 : 3이므로 △PBM : △PMQ=2 : 3 6 : △PMQ=2 : 3 ∴ △PMQ=9 cm¤ ∴ APMC=△PMC+△PCA ∴ APMC=△PMC+△PCQ ∴ APMC=△PMQ=9(cm¤ )

17

△DPC=△DPM+△DMC △DPC=△DAM+△DMC △DPC=△AMC=△ABM △DPC=;2!;_6_8=24(cm¤ )

18

AB”∥DC”이고 AB”=DC”이므로 △ABE=△DBC 즉, △ABF+△FBE=△DEF+△FBE+△EBC 이므로 △ABF=△DEF+△EBC 16=△DEF+12 ∴ △DEF=4 cm¤ 136~139쪽

대단원

EXERCISES

01② 02③ 03② 0426˘ 057 cm 06② 07 ④ 08① 09③ 10① 11② 12③ 13D(9, 5) 14 ④ 15 ⑤ 16 ③ 17 ③ 18 마름모 19 ②, ③ 20 ③ 21 27 cm¤ 22 6˘ 23 18˘ 24 9 cm

0

1

△AEC에서 EA”=EC”이므로 ∠EAC=∠ECA=∠a라고 하면 △ABC에서 180˘=90˘+3∠a 3∠a=90˘ ∴ ∠a=30˘ 따라서 △ABE에서 ∠x=180˘-(90˘+30˘)=60˘

0

2

①, ② 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 ②수직이등분하므로 PD”⊥BC”, BD”=CD” ④ △ABP와 △ACP에서

AB”=AC”, ∠BAP=∠CAP, AP”는 공통 ∴ △ABP™∠ACP (SAS 합동) ⑤ △PBC에서 PB”=PC”이고

②PD””⊥BC”, BD”=CD”이므로

0

3

△DBC에서 BD”=BC”이므로 ∠BDC=∠C=70˘ ∴ ∠DBC=180˘-(70˘+70˘)=40˘ △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=70˘ ∴ ∠ABD=∠B-∠DBC=70˘-40˘=30˘

0

4

∠ABC=∠ACB=;2!;(180˘-52˘)=64˘이므로 ∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_64˘=32˘ ∠DCE=;2!;∠ACE=;2!;(180˘-64˘)=58˘ ∴ ∠BDC=∠DCE-∠DBC=58˘-32˘=26˘

0

5

△ABD와 △CAE에서 ∠ADB=∠CEA=90˘, AB”=CA” ∠ABD=90˘-∠BAD=∠CAE이므로 △ABD™△CAE (RHA 합동) 따라서 AD”=CE”=5 cm, AE”=BD”=12 cm이므로 DE”=AE”-AD”=12-5=7(cm)

0

6

△POQ와 △POR에서 OP”는 공통, ∠PQO=∠PRO=90˘, ∠QOP=∠ROP이므로 △POQ™△POR (RHA 합동) ∴ PQ”=PR”

0

7

OA”=OB”이므로 ∠OAB=∠OBA=42˘ ∴ ∠A=42˘+∠x 2(42˘+∠x)=136˘, 42˘+∠x=68˘ ∴ ∠x=26˘

0

8

△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 (6-r)+(8-r)=10 ∴ r=2 따라서 색칠한 부분의 넓이는 2_2-;4!;_p_2¤ =4-p(cm¤ )

0

9

AD”=AF”=x cm라고 하면 BE”=BD”=10-x(cm), CE”=CF”=13-x(cm) BE”+CE”=BC”이므로 (10-x)+(13-x)=15 2x=8 ∴ x=4 ∴ AD”=4 cm

10

BI”, CI”는 각각 ∠B, ∠C의 이등분선이므로 ∠DBI=∠CBI, ∠ECI=∠BCI 이때, DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠CBI (엇각), ∠EIC=∠BCI (엇각) ∴ ∠DBI=∠DIB, ∴∠ECI=∠EIC 따라서 △DBI, △ECI는 이등변삼각형이다. 즉, DI”=DB”, EI”=EC”이므로 △ADE의 둘레의 길이는 AD”+DE”+EA”=AB”+AC”=6+9=15(cm) 이때, △ADE의 내접원의반지름의길이가2 cm이므로 △ADE=;2!;_2_15=15(cm¤ )

11

∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=180˘-60˘=120˘ ∠FAD=;2!;_120˘=60˘이고, ∠D=∠B=60˘ 또, AD”∥FC”이므로 ∠EFC=∠FAD=60˘ (동위각), ∠ECF=∠D=60˘ 따라서 △ADE, △FEC는 정삼각형이다. DE”=AD”=9 cm, CD”=AB”=5 cm이므로 CE”=DE”-DC”=9-5=4(cm) 따라서 정삼각형 FEC의 둘레의 길이는 4_3=12(cm)

12

∠B, ∠C의 크기를 각각 ∠b, ∠c라고 하면 ∠b+∠c=180˘ 두 이등변삼각형 ABE, CEF에서 ∠AEB=;2!;_(180˘-∠b) ∠CEF=;2!;_(180˘-∠c) ∴ ∠x=180˘-(∠AEB+∠CEF) ∴ ∠x=180˘-;2!;_{(180˘-∠b)+(180˘-∠c)} ∴ ∠x=;2!;_(∠b+∠c)=;2!;_180˘=90˘

13

AD”가 x축과 평행해야 하므로 점 D는 직선 y=5 위 에 있어야 한다. 또, AD”=BC”=7이므로 D(2+7, 5)=D(9, 5) B C D A E I 9`cm 6`cm

#해(001~041)중2-2유형 2014.6.4 10:27 AM 페이지026 DK