매트랩 응용 Advanced MATLAB

(1)

한빛미디어 Engineering Numerical Analysis Learning by MATLAB 1^/50

CHAPTER 02

매트랩 응용

Advanced MATLAB

(2)

함수의 근 찾기

2.2

선형연립방정식

2.1

2.3

보간법

수치 적분법

2.4

수치 미분법

2.5

(3)

학습목표

수치해석에서 자주 사용하는 매트랩의 응용 방법을 배우고, 문제에 적용할 수 있다.

매트랩 심볼릭 도구상자로 수학적 계산 과정을 자세히 나타낼 수

있다. 공식으로 적분값을 근사시킬 수 있다 .

(4)

2.1.1 수학적 풀이 방법

2.1 선형연립방정식

연립일차방정식의 해

 일차방정식을 동시에 만족하는 x와 y의 값을 구한다.

 가감법, 대입법, 등치법을 이용

가감법(Addition and Subtraction method)

 두 일차방정식을 변끼리 더하거나 빼서 한 미지수를 소거하여 해를 구한다

 소거하려는 미지수는 계수의 절댓값이 동일

대입법(Substitution method)

 일차방정식 하나를 미지수 하나에 대해 푼다

 다른 일차방정식에 대입하여 해를 구함



(5)

2.1.1 수학적 풀이 방법

등치법(Equivalence method)

 주어진 두 방정식을 미지수 하나에 대하여 풀고 둘을 같다고 놓는다

 미지수 하나를 소거하여 해를 구함

가감법 이용하여 세 개의 연립방정식 풀기

 세 개의 미지수 중 z를 먼저 소거

 첫 번째 방정식에 3을 곱하고 두 번째 방정식에 더함

 첫 번째 방정식에 다시 -2를 곱하고 세 번째 방정식에 더함

 미지수 x와 y만 갖는 새로운 방정식 생성

(6)

2.1.1 수학적 풀이 방법

 첫 번째 방정식에 5를 곱하고 두 번째 방정식에 더하여 x를 소거

 y의 해로 2를 구함

 역계산에 의해서 차례대로 x = 1과 z = 3의 해를 구함

 n개의 미지수를 구하기 위해서는 번의 가감법이 필요

 미지수가 세 개인 이 경우에는 가감법이 3번이 필요

(7)

2.1.1 수학적 풀이 방법

매트랩을 이용한 연립방정식 해를 구하기

 벡터-행렬 표시의 행렬방정식

 일반화시킨 행렬방정식

 행렬 A는 계수 x, y, z에 차례대로 대응

 행렬식(determinant) |A|: 17세기 수학자 라이프니츠(Leibniz)가 처음 사용

 행과 열의 수가 같은 정방행렬에 수를 대응시키는 함수

 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정

 |A|가 0이 아닌 경우에만 연립방정식의 해가 존재

 매트랩에서 행렬식의 명령어는 det(A)

(8)

2.1.1 수학적 풀이 방법

 다음의 행렬 A에 대한 행렬식 구하기

 오른쪽 대각선 방향으로 차례대로 원소 3개씩 묶어서 곱하고 서로 더한다

 왼쪽 대각선 방향으로 차례대로 원소 3개씩 묶어서 곱한 것을 모두 빼준다

 행렬식은 다음과 같다

 왼쪽 나눗셈을 이용하여 행렬방정식 (2.1) 푸는 수식

 상수 벡터항 c를 행렬 A로 나누어 미지수 벡터 x를 구함

 왼쪽 나눗셈 방법은 가우스 소거법을 근거

(9)

2.1.1 수학적 풀이 방법

[그림 2-1] 왼쪽 나눗셈을 이용한 연립방정식 풀이 과정

 왼쪽 나눗셈 연산자 대신 오른쪽 나눗셈 연산자를 이용하면 오류 발생

(10)

2.1.1 수학적 풀이 방법

MATLAB 2-1

비정칙행렬 : 행렬 변환으로 풀 수 없는 연립방정식

매트랩을 이용하여 주어진 세 연립방정식의 해를 구하라. 그리고 그 결과를 설명하라.

Tip !

 세 연립방정식을 행렬방정식으로 표시

(11)

2.1.2 역행렬 계산

행렬 A에 대한 역행렬 A

^-1

 행렬 A는 정방행렬이고 정칙행렬

 역행렬과 행렬 자신을 곱하면 단위행렬 I가 생성

 식 (2.1)의 양변에 역행렬을 곱한 수식

 식 (2.4)에 식 (2.3)을 적용

 수학적으로 역행렬 표시 A^-1은 행렬 A를 분모로 전환한 형태

(12)

2.1.2 역행렬 계산

 식 (2.5)의 수학적 표시

 매트랩 형식으로 전환하면 식 (2.2)와 같이 왼쪽 나눗셈 연산자로 대치 [그림 2-3] 역행렬을 이용한 연립방정식 풀이 과정

 매트랩에서 역행렬 구하는 명령어는 inv(A)

(13)

2.1.3 크래머 법칙

행렬식으로 된 연립방정식을 체계적으로 풀 수 있다.

 크래머 법칙을 이용한 다음에 주어진 행렬식 풀기

① 행렬식을 찾는다

② 오른쪽 상수 벡터를 계수행렬 A의 첫 번째 열에 모두 대치한 행렬식 구한다

③ 오른쪽 상수 벡터를 계수행렬 A의 두 번째 열에 모두 대치한 행렬식 구한다

(14)

2.1.3 크래머 법칙

④ 과정 ②와 ③에서 구한 값들을 ①에서 구한 값으로 나눈다.

 다음과 같이 미지의 변숫값을 얻는다.

(15)

2.2.1 roots 함수

2.2 함수의 근 찾기

방정식의 근 찾기

: 응용 수학에서 흔히 다루는 문제로 간단한 수치적 방법을 활용하면 쉽게 해결

y = x +2에 대한 그래프

 출력변수 y와 독립적인 입력변수 x에 따라 2차원 평면에 직선으로 표시

 y는 x를 인수로 갖는 함수 f(x)로 표시하며 f(x) = x + 2로 사용 가능 [그림 2-4] 설명

 매트랩을 이용하여 -5~+5까지 1씩 증가하는 구간에 f(x) = x + 2 대한 그래프

 작은 동그라미는 x축의 -2를 통과할 때 f(x)축의 값이 0인 점을 표시

 f(x) = 0 을 만족하는 x의 집합이 근

 근은 그래프가 x축과 만나는 점의 x 좌표로 표시하고 x절편이라고 한다.

(16)

2.2.1 roots 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-4] f(x) = x + 2의 그래프

(17)

2.2.1 roots 함수

2.2 함수의 근 찾기

roots 함수

 매트랩에서 함수의 근을 찾을 때 사용

[그림 2-4] 설명

 매트랩 내장함수 roots는 소괄호 사용

 x차수의 계수값은 내림차순으로 입력하고 상숫값은 맨 마지막에 입력

 홀수차 실수계수 다항식의 모든 근은 실수

 짝수차 다항식의 경우 모든 근은 실수는 아님

 n차 다항식은 중근을 포함해서 n개의 복소수 근을 가짐

(18)

2.2.1 roots 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-5] roots 함수를 이용한 근 찾기

 1차 함수 f(x) = x + 2와 2차 다항식 f(x) = x² + 7x + 10의 근

(19)

2.2.1 roots 함수

2.2 함수의 근 찾기

MATLAB 2-2

roots 함수

roots 함수를 사용하여 다항식 f(x) = x⁴ + 7x + 10의 근을 찾아라.

Tip !

 x 차수의 계수가 0인 경우도 반드시 해당 차수 자리에 0을 입력

(20)

2.2.2 fzero 함수

2.2 함수의 근 찾기

fzero 함수

 다항식이 아닌 함수 f(x) = 2x + e^-x - 2와 같은 형태의 근을 찾을 때 유용

 구하려는 함수에 대한 사용자정의함수를 먼저 생성

 기본 형태

 function은 사용자정의함수명과 동일

 x0은 함수의 그래프를 그려본 후에 대충 근의 값에 접근하는 값 지정 [그림 2-7] 설명

 fzero 함수를 이용하여 다항식 f(x) = x² + 7x + 10의 근 찾기

 그래프는 fzero 함수를 실행하기 전에 다항식의 근의 대략적인 위치 추정에 이용

 다항식 f(x) = x² + 7x + 10의 사용자정의함수 스크립트 파일 F1.m

(21)

2.2.2 fzero 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-7] 다항식 f(x) = x² + 7x + 10의 그래프

(22)

2.2.2 fzero 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-8] fzero 함수를 이용한 f(x) = x² + 7x + 10의 근 찾기

 x0의 값을 -1과 -4로 지정하고 fzero 함수를 실행

(23)

2.2.2 fzero 함수

2.2 함수의 근 찾기

 fzero 함수를 이용하여 함수 f(x) = 2x + e^-x – 2의 근 찾기

 대략적인 근의 위치를 추정하기 위해서 함수의 그래프를 먼저 그려본다 [그림 2-9] 함수의 그래프를 그리기 위한 명령어 입력

[그림 2-10] 설명

 함수 f(x) = 2x + e^-x – 2의 사용자정의함수 스크립트 파일 F2.m

(24)

2.2.2 fzero 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-10] 함수 f(x) = 2x + e^-x - 2의 그래프

(25)

2.2.2 fzero 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-11] fzero 함수를 이용한 f(x) = 2x + e^-x – 2의 근 찾기

 fzero 함수를 이용하여 x0의 값을 0.5와 -1.5로 가정하여 얻은 결과

(26)

2.2.3 polyval 함수

2.2 함수의 근 찾기

다항식의 그림을 간편하게 그릴 수 있다.

polyval 함수를 이용하여 다항식 f(x) = x

³

– 2x

²

+ 2x + 1의 그래프 그리기

 x의 값은 -2~4까지 0.01의 일정한 간격으로 증가

 [그림 2-12]를 그리기 위한 명령어 입력

 차수의 계수를 내림차순으로 배열 a로 지정

 배열 연산자 사용에서 발생할 수 있는 실수를 방지

(27)

2.2.3 polyval 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-12] polyval 함수를 이용한 다항식 그리기

(28)

2.2.3 polyval 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-13] zeros 명령어 사용

(29)

2.2.3 polyval 함수

2.2 함수의 근 찾기

[그림 2-14] ones 명령어 사용

(30)

2.3.1 선형 보간법: interp 함수

2.3 보간법

보간법 (혹은 내삽법)

 측정이나 실험을 통해서 얻은 자료점들 이용

 자료점들 사이에 있는, 얻어지지 않은 자료점들의 평균을 추정

 주어진 자료점들을 다항식과 같은 형태로 표준화

interp1 함수

 변수가 한 개인 함수를 내삽

 기본 형태

 벡터 x는 독립변수 자료점

 벡터 y는 x 값에 따라 달라지는 의존적 변수 자료점

 x_int는 추정하려는 y 값에 상응하는 x 값을 지정하여 사용

(31)

2.3.1 선형 보간법: interp 함수

2.3 보간법

MATLAB 2-3

보간법 : interp1 함수

화학물에서 발생하는 거품 반응을 화학적 센서를 이용하여 전력으로 변환시켜

측정하려고 한다. 거품 발생 후 30초~4분까지 전력을 측정한 결과가 다음 표와 같이 주어져 있다. 표를 이용하여 2분 경과 후, 3분 30초 경과 후 발생하는 전력을 보간법을 이용하여 각각 추정하라.

Tip !

 30초는 0.5분으로 변환하여 벡터 x에 입력

(32)

2.3.1 선형 보간법: interp 함수

2.3 보간법

interp2 함수

 변수가 두 개인 함수를 내삽할 때 사용

 함수가 z = f(x, y)이고 x = x_i 와 y = y_i 에 대한 변수 z를 추정

 기본 형태

 벡터 x와 y는 독립변수 자료점들

 벡터 z는 x와 y값에 의존하는 자료점들

 인수 x_int는 추정하려는 z 값에 상응하는 x 값을 지정하여 사용

 인수 y_int는 추정하려는 z 값에 상응하는 y 값을 지정하여 사용

(33)

2.3.2 스플라인 보간법: spline 함수

2.3 보간법

스플라인(spline) 보간법

 일반적으로 3차 다항식에 많이 사용

 인접한 자료점들의 각 쌍을 좀 더 세밀하게 추정

 interp1이나 interp2 함수보다 좀 더 곡선 형태의 그래프를 생성

 spline 함수의 기본 형태

(34)

2.3.2 스플라인 보간법: spline 함수

2.3 보간법

MATLAB 2-4

스플라인 보간법 : spline 함수

[MATLAB 2-3]에서 주어진 문제를 spline 함수를 이용하여 구하라.

Tip !

 인수 x_int는 입력 자료점 0.5~4까지의 값을 0.01씩 증가시키면서 추정

(35)

2.4.1 사다리꼴 적분법: trapz 함수

2.4 수치 적분법

적분의 기본

 x축에 놓여있는 점 a와 b 사이에서 함수 f(x)의 아래쪽 면적 A를 계산

 x는 적분 변수, f(x)는 피적분함수, a와 b는 적분의 하한과 상한 표시

사다리꼴 적분법

 직사각형 조각을 이용하면 곡선 아래쪽 면적을 가장 간단하게 구함

 정해진 구간 안의 여러 개로 나누어진 각각의 직사각형의 면적을 더함

 직사각형 너비가 충분히 작은 값이면 식 (2.6)의 결과와 거의 근사한 값

 사다리꼴 조각을 이용하는 방법이 직사각형보다 더욱 정교한 결과 생성

 여러 조각으로 나눈 각각의 사다리꼴을 판이라 부름

(36)

2.4.1 사다리꼴 적분법: trapz 함수

2.4 수치 적분법

trapz 함수

 매트랩에서 사다리꼴 적분법을 실행하기 위한 함수

 기본 구문

 x는 미리 정한 판들 사이의 간격을 나타내는 배열

 y는 적분을 계산하는 함수

 배열 x에 y대한 의 각 열을 적분

(37)

2.4.1 사다리꼴 적분법: trapz 함수

2.4 수치 적분법

MATLAB 2-5

trapz 함수

수학적으로 피적분함수 sin(x)의 0 ~

p

구간을 적분한 값은 2이다. trapz 함수를 이용하여 적분을 실행하라.

Tip !

 0 ~

p

구간의 배열 지정에 linspace 함수 사용이 편리

(38)

2.4.2 구적법: quad 함수

2.4 수치 적분법

quad 함수

 매트랩에서 제공하는 구적법 함수는 quad와 quadl

 수치해석에서 적분을 계산하기 위해 자주 사용하는 심슨(Simpson) 공식을 응용

 기본 구문

 integrand는 피적분 함수

 a는 적분의 하한, b는 적분의 상한 표시

 허용 오차를 표시하는 매개변수 error tolerance는 선택적으로 사용

 quadl 함수는 로바토(Lobatto) 적분 알고리즘을 기초로 만든 함수

 quad 함수에 로바토의 첫 글자 l을 붙임

 기본 구문은 quad 함수와 동일

(39)

2.4.2 구적법: quad 함수

2.4 수치 적분법

[그림 2-20] quad와 quadl 함수를 이용한 적분 계산

 [MATLAB 2-5]에서 사용한 trapz 함수보다 더 정확한 결과를 얻음 (장점)

 피적분함수가 적분의 상한값과 하한값 사이에 일정한 간격으로 지정된 모든 점의 집합에 대한 적분에는 사용할 수 없음 (단점)

(40)

2.4.3 심볼릭 적분: int 함수

2.4 수치 적분법

심볼릭(Symbolic) 수학 도구상자

 이용하기 전에 매트랩의 설치 여부 확인 필요

 기본 매트랩 프로그램에서는 제공하지 않음

 기호로 표현되는 식을 간편하게 풀어주고 수치로 평가하는 것을 도와줌

 적분 계산하는 함수명은 int이고 기본 구문은 다음과 같다.

 f(x)는 피적분 함수

 a는 적분의 하한, b는 적분의 상한 표시

(41)

2.4.3 심볼릭 적분: int 함수

2.4 수치 적분법

[그림 2-21] int 함수를 이용한 적분 계산

 syms 명령어로 사용할 변수들을 반드시 미리 지정

 사용할 변수와 지정한 변수는 일치시킴

 clear 명령어의 지정

 이미 지정한 명령어와 새롭게 지정한 명령어 사이의 충돌 발생을 방지

(42)

2.5.1 오일러 방법

2.5 수치 미분법

미분의 기본

연속적이고 지속적인 변화량에 대한 순간 변화율 표시

 적분과 상호보완적 작용

 합쳐져 있는 것을 잘게 쪼개는 과정

함수 그래프의 특정 지점에서 나타나는 접선의 기울기

 함수를 미분하여 생성되는 함수를 도함수라 부름

 식 (2.6)은 다음과 같이 표현 가능

 x에 대한 함수 g(x)의 도함수가 f(x)

(43)

2.5.1 오일러 방법

2.5 수치 미분법

오일러 방법

 미분방정식을 풀 수 있는 가장 기본적인 방법

 복잡한 미분방정식을 계차방정식으로 변환

 테일러(Taylor) 급수에서 유도된 방법으로 가장 간단한 알고리즘을 제시 (장점)

 시간상수의 작은 변화에도 급격한 영향을 받아서 오차가 크게 발생 (단점)

 1차 상미분방정식

 오일러 방법으로 표시한 식 (2.9)

(44)

2.5.1 오일러 방법

2.5 수치 미분법

 처음 시간 t_k에서 시작하여 Dt만큼 증가한 새로운 시간

 Dt는 아주 조금씩 증가하는 시간의 증분량

수정된 오일러 방법

 오일러 방법의 결과로 나타난 오차를 더 줄이는데 사용

 시간 간격 t_k와 t_k+1에서 식 (2.10)의 우항 중 f[t_k, y(t_k)]Dt에 평균을 치환

 f_k =

f[t

_k

, y(t

_k

)]Dt

(45)

2.5.1 오일러 방법

2.5 수치 미분법

MATLAB 2-6

오일러 방법 : 상미분방정식 풀이

0 ~ 4

p

까지 시간이 0.1p씩 증가하고, 초깃값이 1인 1차 상미분방정식 y = cost의 해답을 오일러 방법을 이용하여 찾으려고 한다. 상미분방정식의 실제 풀이는 y = 1 + sint이다.

실제 결과와 오일러 방법을 이용한 결과를 그래프로 비교할 수 있는 스크립트 파일을 작성하라

Tip !

 배열의 제일 처음 자리의 색인은 0으로 시작할 수 없으므로 y(1) = 1로 표시

 for 순환문 반복을 위해서 상수 k의 초깃값은 0으로 지정

(46)

2.5.1 오일러 방법

2.5 수치 미분법

MATLAB 2-7

수정된 오일러 방법 : 상미분방정식 풀이

수정된 오일러 방법을 이용하여 [MATLAB 2-6]의 그래프를 다시 그려라.

Tip !

 오일러 방법보다 많이 오차를 줄여주지만, 여전히 오차가 존재

 이러한 단점을 보완하기 위해서 9.3절에서 룬게쿠타(Runge-Kutta) 방법을 설명

(47)

2.5.2 심볼릭 미분

2.45수치 미분법

 독립변수의 이름과 무관하게 항상 t를 미분 변수로 사용

 2차 상미분방정식은 독립변수 t에 대하여 1차 상미분 를 한 번 더 미분

 미분 계산하는 함수명은 dsolve이고 기본 구문은 다음과 같다.

 equation은 상미분방정식의 심볼릭 식 표시

 y(0)은 1차 상미분방정식의 초깃값 표시

 dsolve 함수를 이용하여 두 개 이상의 상미분방정식에 대한 기본 구문

(48)

2.5.2 심볼릭 미분

2.45수치 미분법

[그림 2-25] 설명

 ①번은 1차 상미분방정식 의 실제 풀이 y = 1 + sint를 구할 때 사용

 기호 D는 독립변수에 대한 미분 표시 를 대치

 ②번은 두 개의 1차 상미분방정식에 주어진 각각의 초깃값에 대한 풀이 과정

 의존변수 y와 z를 동시에 표시하도록 지정 연산자 왼쪽에 설정

 ③번은 2차 상미분방정식에 대한 풀이 과정

 미분 차수가 , 과 같이 올라가는 경우는 D2, D3 형태로 대치

 2차 상미분방정식에는 초기 조건인 초깃값과 1차 미분 초깃값을 제시

(49)

2.5.2 심볼릭 미분

2.5 수치 미분법

[그림 2-26] 심볼릭 함수 dsolve를 이용한 미분 계산

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