계산 알고리듬

계산 알고리듬

박성선

춘천교육대학교

ⓒ Chunchon National University of Education

서론

• 알고리듬 – 지필 계산 과정에 의한 계산기능, 아동들의 수학 성취의 필수적 요소

• 교사가 단순히 알고리듬의 흐름을 제시하고 아동들이 단계적으로 무 엇을 해야 하는지를 보여주는 대신, 아동들이 그들 자신들 스스로 구 성, 발전

• 계산은 제시된 알고리듬을 기억하기보다는 자신의 방식을 추론하게 하는 문제해결 과정.

• 정확한 답이 필요한지 아니면 근사적인 답이 필요한지에 따라 적절

한 계산 과정을 선택하도록 가르칠 필요

NCTM의 계산 지도 개선 지침

• 간단한 계산의 명확한 이해와 숙달의 육성

• 보다 나은 수학 탐구를 위해 지루한 계산 지도의 지양

• 서로 다른 수학적 상황에 적합한 여러가지 계산과 어림 기법 사용의 촉진

• 적절한 테크놀로지 활용에 필요한 기능 및 계산 결과를 문제 상황에 적용하는 능력의 개발

• 학생들에게 계산의 타당성 여부의 확인 방법 제공(수와 알고리듬 감 각, 어림기능).

* 세 자리 수 이상의 수들에 대한 지필 계산의 수행은 점점 덜 강조되

어야 한다고 제안

이해를 통한 알고리듬 지도

• 교구의 역할

ex) 유니픽스 큐브(Unifix Cubes), 십진 블록, 막대, 아이스크림 막대, 콩깍지와 깐 콩, 단추 등.

-교구를 활용함으로써 기호로 이행할 수 있는 충분한 시간을 주어야 한다.

• 자릿값 개념의 중요성

-달리 이름 붙이기 : 받아올림이나 받아내림의 과정이 포함된 활동을 말함 각 연산에 대한 알고리듬이 탐구되고 개발 되는데 필수적인 단계

덧셈

• 달리 이름붙이기를 복습하기 위한 간단한 활동 후 문제제시

“52는 십이 5이고 일이 2”

“52는 십이 ?이고 일이 ?”

• 두 자리 수 + 두 자리 수 문제 : 27+35 학생들의 답변 :

2조 -열장씩 2묶음 나머지7장 + 열장 3묶음 나머지 5장 3조 –자리 수끼리 세기

4조 -오빠가 그녀에게 가르쳐 준 방법대로 5조 -4조와 비슷, 약간의 차이가 있음

6조 -십의 자리수로 계산 결정, 그 다음에 보충, 자신들의 답 확인

• 각 조의 아동들이 서로 다른 방법으로 계산한 내용을 공유함으로써, 아동들은 서로 가르치고 배우게 된다.

-> 모든 아동들이 동일한 알고리듬으로 계산해야 할 이유는 없다.

덧셈의 표준 알고리듬

• 표준 알고리듬 1

27 생각하기 : 7+5=12 , 일의 자리에 2 +35 십의 자리에 1, 2+3+1=6 --- (10이 6)

62

-어떤 아동은 왼쪽에서 오른쪽으로 계산

-새로 이름 붙이기 활동은 덧셈 알고리듬을 취급하기 위한 바탕 -두 자리 이상의 수에 대한 계산 경험을 충분히 해야 함

-계산이 대략적으로 맞는지 확인하기 위해 어림을 하도록 권장

덧셈의 표준 알고리듬

뺄셈

• 대부분의 아동들은 뺄셈을 약간 더 어려워 한다.

• 기본구구와 자리값, 받아내림을 위한 새로 이름붙이기가 중요함

• 뺄셈의 표준 알고리듬

-동수 첨가 알고리듬

-두 가지 방법 모두 속도와 정확성에서 효과가 있다고 입증됨.

뺄셈

• 분해 알고리듬

• 피감수를 “분해하기” 또는 고쳐묶기 하는 논리적 과정을 포함

뺄셈

• 동수 첨가 알고리듬

• 피감수와 감수 모두에 일정 수를 더하는 과정

뺄셈의 표준 알고리듬

뺄셈의 표준 알고리듬

0이 있는 경우의 받아내림

• 피감수에 0이 있는 경우의 뺄셈에서는 특별한 주의가 요구

-십의 자리에 0이 있고, 일의 자리에 고쳐 묶을 필요까지 있는 경우

• 가장 어려운 경우 : 피감수가 0을 두 개 이상 포함하는 뺄셈

-자리값에 대한 경험 : 아동들이 위의 문제를 대처하기 위한 준비 단계에서 중요한 활동

-거듭 고쳐 묶기에 대한 필요성 – 한 번에 고쳐 묶기

ex) 500 : 백이 4, 십이 10인 수 or 백이 4, 십이 9, 일이 10인 수

곱셈

• 곱셈구구, 자릿값, 전개된 표현, 분배법칙에 대한 이해가 선행

• 표준 알고리듬을 익히기 전에 자신의 방법, 머리셈, 어림셈이 중요

• 아동이 생각할 수 있는 알고리듬

덧셈으로 바꾸어 계산하기 14x2 = 14+14

배분법칙(분배법칙)

14x2 = (10+4)x2 = (10x2) + (4x2) = 20+8 =28

전개식에 의한 알고리듬

14 x 2 → 십이 1 일이 4 x 2 = 십이 2 일이 8 = 28

곱셈의 표준 알고리듬

부분-곱 알고리듬

한자리 수의 곱셈

• 격자 곱셈 알고리듬(lattice method)

37 x 54 =

1.대각선으로 나누어 십의 자리와 일의 자리가 분리되도록 각각 대응하는 수끼리의 곱을 쓴다..

2.곱한 결과 십의 자리의 수가 없으면 그 자리는 비워 둔 채로 계속한다.

3.곱을 구하기 위해 오른쪽 아래부터 대각선의 아래쪽으로 더해 나간다.

곱셈을 어려워 하는 아이들에게 도움을 줄 수 있고 아동들이 계산과정을 설명할 수 있는가 알아보는데도 도움을 준다.

1 9 9 8

두자릿 수의 곱셈

• 승수가 2자리 수가 되면 조작자료는 아동들에게 성가신 것이 된다.

• 모눈종이의 활용

조작자료와 기호사이의 다리역할을 한다.

15 x 19 = 10x10 + 5x10 + 10x9 + 5x9 =

• 기호를 사용하는

방법으로 점진적으로 강조 37 x 54 =

10x10 5x10

10x9 5x9

천 백 십 일

x 3

5 7 4

1 1 3 5

2 2 5

8

1 9 9 8

37 x 54 28 120 350 1500

37 x 54 148 185_

10의 곱과 10의 배수

• 아동들은 10의 곱과 10의 배수를 쉽게 이해하며 100과 1000으로 곱하는 것으로도 쉽게 이해한다.

20, 30, 200, 300 등으로 곱하는 것은 10으로 곱하는 것의 개념을 확장시킨 것이다.

3 x 50

3 x 5(십이 5) = 15(십이 15) =150 3 x 50 =150

4 x 50

4 x 5(십이 5) = 20(십이20) = 200

4 x 50 = 200

0의 곱

• 학생들은 0을 무시하는 경우가 있다.

306 X 9 = 324

• 자리값도표의 이용

천 백 십 일

X

3 0 6 9 2 7 5 4 X

3 0 6 9

2

5 7

4

3 2 4

큰 수의 곱셈

• 계산기 사용 불가

– 계산기와 어림을 통하여 해결

– 어림하기

4000 x 2000000 = 8000000000

– 계산기를 이용하기

2345678 x 4003 = ?

4 X 2345678 = 9382712(계산기 이용) 9382712 X 1000 = 9382712000(암산) 3 X 2345678 =7037034(계산기 이용) 더하기 9382712000 + 7037034

나눗셈

• 나눗셈 알고리듬이 어려운 이유

– 다른 연산은 오른쪽에서부터 시작하는 반면, 나눗셈은 왼쪽에서 시작한다.

– 나눗셈 알고리듬에는 나눗셈 구구뿐만 아니라 뺄셈과 곱셈도 포함된다.

– 알고리듬에는 많은 상호작용이 있으며, 계산이 규칙 및 위치가 일정하지 않다.

– 어림을 통한 가정몫을 설정해야 하는데, 꼭 성공하는 것이 아니다.

나눗셈을 배우기 위한 NCTM의 제안

• 제수가 한자리 수인 나눗셈을 지도하고 그 후 제수가 두 자리 수인 나눗셈을 지도

• 계산기의 활용하는 방안

– “과학기술의 시대는 우리로 하여금 오늘날 계산이 어떻게 행해지고 있는지 재고 해 보기를 요구하고 있다.”

– 지필계산으로 해결하는 것은 이미 어른들의 과거사에 지나지 않는 것이다.

– 어림기능을 사용하여 몫의 범위를 정하고 그럼으로써 계산기에 의한 답의 타당 성을 판단하여야 한다. 어림은 실제로 덧셈 뺄셈 곱셈에 모두 사용되어야 한다.

나눗셈의 알고리듬

- 분배 알고리듬

379 /4 37에 4가 몇 개 포함되는가? 19에 4가 몇 개 포함되는가?

나눗셈의 알고리듬

- 누감 알고리듬

아동들이 배우기에 쉽다. (몫의 수정이 필요없기 때문)

379 /4 379 – (4x50) – (4x40) – (4x4) 나머지 3 몫은 50+40+4 = 94

두자리 수의 나눗셈

• 큰 수의 나눗셈을 하는 데에는 크게 두 가지 방법이 있고, 가상 제수 로 어림하기를 포함한다.

– 버리기 방법 : 제수의 첫(왼쪽) 수 만을 가상제수로 사용하여 가정 몫을 어림하는 방법이다.

876/34 → 8에 3이 몇번 포함되는가?

472/57 → 47에 5가 몇 번 포함되는가?

– 반올림 방법 : 두 자리 수인 제수의 왼쪽으로부터 둘째 자리의 수가 4 이하인 경우에 는 버리기 방법과 동일하여, 5이상의 수일 때는 이를 반올림하여 십의

자리가 1 증가된 수를 가상제수로 사용한다.

876/34 → 8에 3이 몇번 포함되는가?

472/57 → 47에 6이 몇번 포함되는가?

검산

• 다양한 방법의 검산

– 문제 한번 더 풀기(똑같은 실수를 반복할 수 있다.)

– 역산을 통한 검산(나눗셈과 곱셈은 서로를 검산하기 위해 사용된다.) – 계산기의 활용(먼저 어림을 하고 난 후에 계산할 때만 사용한다.)

격자방법 응용

덧셈에서의 격자방법

37 + 45

37은 가로 첫째열에 순서대로 쓰고 45는 세로에 거꾸로 쓴다.

일의 자리는 일의 자리가 만나는 곳에 셈을 하고 자리수가 바뀔경우 앞칸에 10을 쓴다.

십의 자리는 십의 자리가 만나는 곳에 셈을한다.

계산이 다 끝났으면 세로로 더해준다.

두자리 수의 곱셈

• 계산기의 활용

알고리듬 의미의 강화

387 x 264 1548 23220 77400 102168

387 x 60 =

264 x 7 =

200 x 387 =

264 x 80 =

264 x 300 =