기하학입문의 강좌 소개
집합과 함수
행렬 행렬식
연립방정식
선형함수
선형사상
고유치 고유벡터 좌표계
해석 기하학
평면상의 점과 직선
여러가지 2차 곡선
2차곡선의 성질과 분류 공간의 점과 직선과 평면
여러가지 2차 곡면
2차곡면의 성질과 분류 여러가지 좌표계와 주축변환
1. 기하학의 역사
탈레스의 업적
실용기하 => 이론기하, 논증기하로의 첫발
개개의 구체적인 도형을 벗어 나서 추상적, 일반적인 도형에 대한 성질을 연구
탈레스는 피라밋의 높이를 측정하기도 하 고 해안에서 배까지의 거리를 측정하기도 하 였다.
탈레스의 업적
“맞꼭지 각은 같다”,
“이등변 삼각형의 양 밑각은 같다”,
“두 각과 그 사이의 변이 각각 같은 두 삼각형 은 합동이다 ”,
“닮은 삼각형의 대응하는 변의 길이의 비는 같 다.” ...
피타고라스
(Pythagoras; B.C.
582? ~ 497?)
- 피타고라스학파를 만들고 수학과 종교 에 대한 연구
‘만물은 수 이다’
- 기하와 수론과 의 연관을 연구
피타고라스 학파의 업적
피타고라스의 정리 - 직각 삼각형의 변의 길이를 나타내 는 정수(피타고라스의 수)를 찾아 냄 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
- 수론에서의 단위 1 과
기하에서의 점을 대응시키는 방법을 제시 -> 수직선
- 정사각형의 대각선에 대한 연구로 부터 무리수 𝑎 발견
- 5개의 정다면체의 발견
- 정4면체, 정6면체, 정8면체, 정12면체, 정20면체
그리이스의 수학
소피스트(Sophsist)들을 중심으로 3대 작도문제 가 연구되다.
1. (눈금없는 자와 컴퍼스를 가지고) 임의의 각을 3 등분하는 것,
2. 주어진 정육면체의 두 배의 체적을 갖는 정6면체 를 만드는 것,
3. 원과 면적이 같은 정사각형을 만드는 것.
철학자 플라톤(Platon; B.C.
427?~347)이나
논리학자 아리스토텔레스 (Aristoteles; B.C.384~322) 에 의하여
추론의 형식, 정의, 공리에 대한 연구가 추진되고
그 연역적 전개 방법이 확 립되어 갔다.
유클리드
B. C. 300년 경
알렉산드리아(Alexandria) 에서 활약한 대 수학자
톨레미(Ptolemy)왕이 유클리드 에게 유클리
드 원론 보다 더 가까운 방법으로 기하학을 할 수 없겠느냐고 물었을 때, 유클리드는 ‘기하학 에는 왕도가 없읍니다.”
라고 대답하였다.
유크리드의 업적
• 프로클러스(Proclus; A.D. 410~485)의 저서에 다음의 기록이 남아 있다
• “유클리드는 유독소스(Eudoxus)의 많은 정리 를 편집하였고 테아테토스(Theaetetus)의 많 은 정리를 완전하게 만들었다. 또 그 이전 사 람들이 엄밀하게 증명할 수 없었던 것에 반대 의 여지가 없는 완전한 증명을 주었다.
수학자의 필독서 - 원론
원론의 규모의 크기, 연역적 체계의 엄밀성 등은 그 이후의 수 학에 큰 영향을 주었다. 즉 수학이라는 학문의 방법론(정의, 공리 에서 올바른 추론을 되풀이해서 정리를 증명해 나가는 방법론)은 이 원론에 의하여 확정 되었다고 해도 과언이 아니다.
그것은 직관적 진리, 경험적 진리, 수학적 진리 사이의 차이를 결정적으로 확정해 나아갔다. 곧 직관적으로 옳은 것으로 판정되 었다 하더라도 그 증명이 이루어지지 않는다면 아직 수학적 진리 라고 말할 수 없다는 수학의 성격이 여기에서 확정 되었다고 볼 수 있다. 원론은 말하자면 과학으로서의 수학으로 알려진 처음의 서적이라 할 수 있다.
유크리드 원론의 내용
• 제 1 권에는 처음에 23 개의 정의(defination)가 나와 있고 이어서 5 개의 공준(postulate)과 5 개의 공통 개념
(common notion)이 실려 있다. 공준은 기하학적인 내용을 가진 것이고 공통개념은 일반적으로 통용하는 내용을 가진 것이다. 이들은 모두 명제를 증명할 때 근거가 되는 것으로 오늘날 말하는 공리(Axiom)에 해당한다.
• 유클리드는 이와 같은 정의, 공준, 공통 개념에만 근거를 두 고 기하학의 모든 명제를 연역적 추론에 의하여 유도해 나아 갔다. 제 1 권에서는 48개의 명제가 증명되어 있고 13권을 모두 합치면 그 명제의 수는 무려 465개에 달한다.
유크리드 원론은 모두 13 권으로 되어 있다.
제 1 권은 직선, 평행선, 평면도형,
제 2 권은 직 4 각형, 정 4 각형의 면적, 제 3 권은 원,
제 4 권은 원에 내접, 외접하는 다각형, 제 5 권은 비교론,
제 6 권은 상사도형,
제 7, 8, 9 권은 정수론, 제 10 권은 무리수론,
제 11, 12, 13 권은 입체 기하를 취급하고 있다.
뉴톤(Newton;
1642 ~ 1727) 의 프린키피아
(Philosophiae Naturalis
Principia
Mathematica)
미분 적분학이론의 정립
미분적분학의 응용
자연현상 => 함수로 표현 복소함수 실함수 유리함수 정함수 무리함수
초월함수
(삼각함수 역삼각함수 쌍곡선함수 역쌍곡선함수 대수함수 로그함수…)
미분적분학의 응용
미분 - 최대, 최소- 그래프 – 모양( Shape) 근사값
수열과 급수를 이용한 테일러, 매클로린의 정리
적분 – 길이, 면적, 체적 – 양(volume)
평행선의 문제
중세에서 근세에 이르는 동안 수학사의 흐 름에서 가장 긴 기간 동안 수학자를 괴롭힌 것은 ‘평행선의 문제’라고 볼 수 있다.
유클리드 원론의 ‘제 5 공준’ 을 살펴보자.
평행선 문제란 ?
• 이 제 5 공준을 나머지 공준을 사용하여 증명하려고 하는 문제이다.
• 오랫동안 제 5 공준의 증명에 성공했다는 수학자가 많았으나 증명을 자세히 검토해 보면 거의가 제 5 공준과 동치인 명제를 암암리에 사용하는 잘못을 저지르고 있었 다.
삭케리(Saccheri; 1667 ~ 1733)는
이탈리아신부로 ‘제 5 공준’의 증명에 열심 히 몰두한 사람이다. 그는 귀류법 을 써서 이 것을 증명하려고 했다. 곧 제 5 공준 을 부정
하고 거기에서 모순을 유도하려고 한 것이다.
결과적으로는 이러한 시도가 실패로 그쳤 으나 그 과정에서 그는 비 유클리드기하학 의 기초적인 부분을 이루는 일련의 명제를 얻는 데 성공한 셈이다.
러시아의 로바체프스키 (Lobachevskii; 1793 ~ 1856)도 귀류법 으로 제 5 공준 을 증명하려고 시 도한 사람이다.
그도 삭케리 처럼 성공하지는 못하였으나 공준 1 ~ 4 에 공준 5의 부정
“ 직선 밖의 한 점을 지나고 이 직선에 평행한 직선은 2 개 이상 존재한다 ”
를 첨가한 공리계 에서 다음과 같은 기묘한 명제 가 증명되었다.
삭케리의 방법이나 로바체프스키 의 방법에 수학적 모순이 일어나
지 않았다
“... 지금까지의 많은 수학자가 제 5 공준 을 증명하려고 노력한 끝에 제 5 공준 의 부정에서 여러 가지 명제를 유 도해 내었다. 그러나 이와 같은 명제에서는 구하고자 했 던 모순도 끝내 나타나지 못했다. 따라서 일련의 명제 가 운데서 모순이 나타나지 않는다면 여기서 생각을 바꾸어 이것을 한 수학, 곧 유클리드기하학 과는 다른 내용을 가 진 새로운 기하학이라고 생각해도 무방하지 않을까? ... ”
비 유클리드 기하학의 탄생
로바체프스키는 이상과 같은 내용을 1826 년에 발표하였으나 당시의 사람들은 이것을 수용하지 않았다.
그러나 이후의 자신의 계속된 연구와 더불어 볼리야이(Bolyai; 1802 ~ 1900)등의 연구로
평행선의 문제는 부정적인 형태로 완전히 해 결되고 여기에서
비유클리드기하학의 탄생 을 보게 되었다.
리만의 구면기하학
그 후 리이만(Riemann; 1826 ~ 1866)은 직선의 길이가 유한이고 평행선이 하나도 존재하지 않 는다는 내용을 갖는 기하학을 발표하였다.
그 후에 클라인(Kliein; 1849 ~ 1935)은 유클리 드, 로바체프스키, 리이만의 세 종류의 기하학 을 각각 포물선적, 쌍곡적, 타원적 기하학이라 고 명명하였다. 이들 세 종류의 기하학의 몇 가 지 성질을 비교해 보면 다음과 같다.
평행선 공리에 따른 기하학의 분류
“수학은 현상 세계에서의 진리를 추 구하는 과학인가?.”
• 힐버트는 이 문제에 대하여 다음과 같은 결론을 내리게 되었다.
• “수학은 본질적으로 현상세계와는 아 무런 관계도 갖지 않는 학문이고, 수학의 과제는 현상세계에서의 진리를 추구하는 것이 아니고 다만 가정으로 설정한 공리계 에서 연역적으로 명제를 설명해나가는 것 뿐이다“
힐버트의 공리주의
• 힐버트는 수학을 현상세계에 대한 학문과 는 별개의 것으로 규정하도록 주장하였다.
이 같은 수학관을 일반적으로 공리주의라 고 부르고 있다.
• 이 공리주의 수학관은 그 후 서서히 수 학자사이에서 찬동을 얻었고 오늘날에는 대다수 수학자가 이를 지지하기에 이르렀 다.
힐버트
수학 기초론
(Grundlagen der Geometrie; 1899)
이 책은 괴팅겐대학에 서의 그의 강의 내용을 토대로 하여 1899년에 그 초판이 발간되었다.
이 책은 공리주의적 입 장에 선 수학을 유크리 드기하학의 재구성이라 는 형태로 실현시켜 낸 반면 그렇게 함으로써 유클리드원론의 논리적 결함을 완전히 보완시 킨 것으로 그 후의 수 학에 큰 영향을 주고 높은 평가를 받았다.
힐버트의 업적
힐버트는 무정의 용어(공리)로서
‘점’, ‘직선’, ‘위에 있다’, ‘사이에 있다’, ‘합동 이다’를 선택하여
이들에 대한 공리를
결합, 순서, 합동, 평행, 연결
의 5 군으로 나누어 제시해 나갔다.
기하학의 분류 ?
19C 전반에 탄생한 비유크리드기하학에 이어 퐁스레 (Poncelet,J. V.; 1788 ~ 1867), 뫼비우스, 슈타이너, 케일 리 등의 수학자에 의해 선분의 길이, 각의 크기를 다루는 유클리드기하학과는 다른 입장에 선 사영기하학이 탄생 하였다.
그 밖에 다른 이름으로 불리는 기하학도 생겨나게 되 어 이들 여러 가지 기하학을 통일하거나 또 분류할 수 있 는 어떤 좋은 원리가 없을까?하고 생각하게 되었다.
클라인(Klein, F.;
1849 ~ 1925)
‘엘랑겐 프로그램
(Erlangen program; 1872)
엘랑겐대학 교수 취임에서 발표한 그의 논문제목
’새로운 기하학적 연구에 대한 비교 고찰‘
그 내용은 ’한 변환군에 대하여 불변인 성질을 연구하는 것이 기하 학이다. 여러 가지 변환군 을 줌으 로써 대응하는 여러 가지 기하학이 생긴다‘와 같이 생각하는 방법이 다. 이로서 사영변환, 아핀변환, 상 사변환, 합동변환등에 의하여 기하 학이 분류되었다
변환에 의한 기하학의 분류
합동변환 닮음변환 사영변환 공형변환 위상변환
합동변환
길이와 면적이 보존 된다.
닮음변환
대응변의 길이의 비가 일정하다.
아핀변환
같은 변상의 길이의 비와 점의 순서, 연속성이 보존된다.
사영변환
같은 변상의 점의 순서와 연속성이 보존된다.
위상변환
점의 연속성이 보존된다.
