1 집합의 뜻과 표현
집합의 연산 01
1.1.두 집합 , 에 대하여 ∩ 는?
[2점][2015(나) 3월/교육청(고2) 1]
① ② ③
④ ⑤
2.2.두 집합 , 에 대하여
∪의 값은?
[2점][2017(나) 수능 2]
① ② ③
④ ⑤
3.3.두 집합 , 에 대하여 일 때, 의 값은?
[3점][2015(가) 3월/교육청(고2) 5]
① ② ③
④ ⑤
4.4.두 집합 , 에 대하여 집합 ∪ 의 모든 원 소의 합은?
[2점][2015(나) 11월/교육청(고2) 1]
① ② ③
④ ⑤
5.5.두 집합 , 에 대하여
∩ 의 값은?
[2점][2016(나) 9월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
6.6.두 집합 , 에 대하여 집합 ∩
의 모든 원소의 합은?
[2점][2014년 11월/교육청(고1) 3]
① ② ③
④ ⑤
7.7.전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여
,
일 때, 집합 ∩ 의 모든 원소의 합을 구하시오.
[2점][2012 11월/교육청(고1) 22]
8.8.전체집합 는 이하의 자연수의 두 부분집합
,
에 대하여 ∩ 이다. 자연수 의 값을 구하시오.
[3점][2017(나) 수능 24]
9.9.두 집합 , 에 대하여 ∩ 의 모 든 원소의 합은?
[2점][2016(나) 7월/교육청 2]
① ② ③
④ ⑤
10.10.두 집합 , 에 대하여 집합
의 원소의 개수는?
[2점][2016(나) 4월/교육청 2]
① ② ③
④ ⑤
11.11.두 집합 , 에 대하여 집합 의 모든 원소의 합은?
[2점][2016(나) 10월/교육청 2]
① ② ③
④ ⑤
12.12.두 집합 , 에 대하여 집합 의 모든 원소의 합은?
[2점][2015(나) 6월/교육청(고2) 2]
① ② ③
④ ⑤
13.13.전체집합 는 이하의 자연수의 두 부분집합 에 대하여
∩ , , C∩ , , , C∩C , 를 만족시키는 집합 의 모든 원소의 합은?
[3점][2015(나) 9월/교육청(고2) 5]
① ② ③
④ ⑤
14.14.전체집합 는 이하의 자연수의 두 부분집합
,
에 대하여 ∩C∪C∩ 일 때, 상수 의 값은?
[3점][2015년 11월/교육청(고1) 11]
① ② ③
④ ⑤
15.15.두 집합 , 에 대하여
∪의 값은?
[2점][2016(나) 6월/평가원 2]
① ② ③
④ ⑤
16.16.전체집합 는 이하의 자연수의 두 부분집합
, 에 대하여 집합 c c의 모든 원소의 합은?
[3점][2016(나) 6월/평가원 7]
① ② ③
④ ⑤
17.17.전체집합 의 두 부분집합 ,
에 대하여 집합 C∪ 의 원소의 개수는?
[2점][2015(가) 6월/교육청(고2) 2]
① ② ③
④ ⑤
18.18.실수 전체의 집합 의 두 부분집합
≤ , 또는
가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ∪
(나) ≤ ≤
두 상수 , 에 대하여 의 값을 구하시오.
[3점][2016(나) 3월/교육청 25]
19.19.그림과 같이 에서 까지 개의 전등의 점등을 이용하여 입력값 을 나타내는 고정된 숫자판이 있다.
입력값의 전체집합 에 대하여, 다음은 입력값에 따른 숫자판의 점등상태를 나타낸 것으로 어둡게 색칠된 부분은 점등된 전등 이다.
입력값
점등 상태
전체집합 의 두 부분집합 가
는 소수 , 는 홀수
일 때, 전등이 점등되는 모든 입력값의 집합을 옳게 나타낸 것은?
[3점][2013년 9월/교육청(고1) 9]
① ② ③ ∪
④ ∪ ⑤ ∩
20.20.전체집합 는 이하의 자연수의 세 부분집합
, , 에 대하여 ⊂ 이고 ∪ 이다.
, , 일 때, 집합 ∩∪는?
[4점][2016(나) 4월/교육청 19]
① ② ③
④ ⑤
21.21.실수 전체의 집합 의 두 부분집합 , 에 대하여
∈
이다. 두 집합 , 가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 의 값을 구하 시오.
[4점][2015(나) 6월/교육청(고2) 27]
(가) 집합 의 모든 원소의 합은 이다.
(나) 집합 ∪ 의 모든 원소의 합은 이다.
(다) ∩
집합의 표현 방법 02
22.22.두 집합 , 에 대하여 집합
│ ∈ ∈ 라 할 때, 이 되도록 하는 자연수 의 최댓값을 구하시오.
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 26]
23.23.두 집합
은 자연수, 은 자연수
에 대하여 집합 ∩ 의 모든 원소를 작은 수부터 순서대로 모두 나열 하여 만든 수열을 이라 하자. 의 값을 구하시오.
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 27]
24.24.두 집합 은 자연수 , 은 자연수가 있 다. 집합 의 원소 에 대하여 집합 의 원소 중 의 약수의 최댓값 을 라 하자.
예를 들어, , 이다.
수열 을
( , , , ⋯)라 할 때,
→ ∞lim ×
의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 30]
25.25. 이상 이하의 자연수 에 대하여 집합
log 는 자연수 ≤ ≤
의 원소 중 유리수의 개수를 이라 하자. 예를 들어 ,
이다. ≥ 가 되는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.
[4점][2015(나) 6월/교육청(고2) 29]
2 집합의 포함 관계
서로소인 집합 01
26.26.집합 의 부분집합 중에서 집합 와 서로 소인 집합의 개수는?
[3점][2012 6월/교육청(고1) 4]
① ② ③
④ ⑤
27.27.두 집합
, ≤ 에 대하여 ∩ ∅이 되도록 하는 정수 의 개수는?
[3점][2012 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
부분집합의 성질 02
28.28.두 집합 , 에 대하 여 집합 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ∩ (나) ∅
(다) 집합 의 모든 원소의 합은 이다.
집합 의 모든 원소의 곱을 구하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 29]
29.29.두 집합 , 에 대하여
∪ 를 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은?
[4점][2012 3월/교육청(고2) 12]
①
② ③
④ ⑤
부분집합의 개수 03
30.30.전체집합 는 자연수의 두 부분집합 , 에 대하여
는 의 약수, 는 의 약수
일 때, ⊂ ⊂ 를 만족시키는 집합 의 개수를 구하시오.
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 23]
31.31.집합 의 부분집합 중에서 홀수가 한 개 이상 속 해 있는 집합의 개수는?
[3점][2013년 6월/교육청(고1) 7]
① ② ③
④ ⑤
32.32.전체집합 의 두 부분집합
에 대하여
∪ ∩c 를 만족시키는 의 모든 부분집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(나) 9월/평가원 27]
33.33.집합 의 부분집합 중 원소의 개수가 개 이 상인 모든 집합에 대하여 각 집합의 가장 작은 원소를 모두 더한 값은?
[3점][2012 9월/교육청(고1) 12]
① ② ③
④ ⑤
34.34.전체집합 의 두 부분집합 ,
에 대하여 ∪ 를 만족시키는 집합 의 부 분집합 의 개수는?
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 15]
① ② ③
④ ⑤
35.35.집합 는 이하의 자연수 의 원소 에 대하여 의 부분집합 중 을 최소의 원소로 갖는 모든 집합의 개수를 이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 20]
ㄱ.
ㄴ. ∈ , ∈ 일 때, 이면 ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
36.36.수열 을 다음과 같이 정의하자.
집합 ≤ 에 대하여
∈이면 이고, ∉ 이면 이다.
을 만족시키는 자연수 의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 3월/교육청(고2) 29]
37.37.두 집합
는 이하의 자연수
는 과 서로소인 자연수
에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2015(나) 3월/교육청(고2) 30]
(가) ⊂ , ≠ ∅ (나) ∩ ∅
(다) 집합 의 모든 원소는 와 서로소이다.
3 집합의 연산법칙
집합의 연산법칙 01
38.38.전체집합 의 두 부분집합
, 에 대하여 집합 ∩C∪의 모든 원소의 합은?
[3점][2012 6월/교육청(고1) 6]
① ② ③
④ ⑤
39.39.전체집합 는 이하의 자연수 의 두 부분집합
, 에 대하여 집합 ∩의 원소의 개수는?
[3점][2016(나) 3월/교육청 4]
① ② ③
④ ⑤
색칠한 부분이 나타내는 집합 02
40.40.그림은 전체집합 의 서로 다른 두 부분집합 , 사이의 관계 를 벤 다이어그램으로 나타낸 것이다.
다음 중 어두운 부분을 나타낸 집합과 같은 것은?
[3점][2015(나) 3월/교육청(고2) 11]
① ∩
② ∩ ∪
③ ∩∪
④ ∪ ∩∩
⑤ ∪∩
41.41.그림은 전체집합 의 세 부분집합 사이의 포함관계를 나타낸 벤 다이어그램이다.
공집합이 아닌 집합 ∪ ∁∩ 의 원소인 에 대하여 가 속하 는 집합으로 알맞은 것은?
[3점][2013(A) 3월/교육청(고2) 6]
① ② ∩ ③ ∩
④ ⑤
약수와 배수의 집합에서의 연산 03
42.42.자연수 에 대하여
는 이하의 소수
는 의 양의 약수
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2013년 6월/교육청(고1) 12]
ㄱ. ∩
ㄴ. 모든 자연수 에 대하여 ⊂ 이다.
ㄷ. 두 자연수 , 에 대하여 ⊂이면 은 의 배수 이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
집합의 원소의 개수 04
43.43.전체집합 의 두 부분집합 , 에 대하여
, ∩ , ∩ 일 때, ∪ 의 값은?
[3점][2015년 9월/교육청(고1) 6]
① ② ③
④ ⑤
44.44.어느 회사의 전체 신입사원 명 중에서 소방안전 교육을 받은 사 원은 명, 심폐소생술 교육을 받은 사원은 명, 두 교육을 모두 받 지 않은 사원은 명이다. 이 회사의 전체 신입사원 명 중에서 심 폐소생술 교육만을 받은 사원의 수는?
[3점][2014년 11월/교육청(고1) 8]
① ② ③
④ ⑤
45.45.어느 학급 학생 명을 대상으로 지난 토요일과 일요일에 축구 경 기를 시청한 학생 수를 조사하였다. 그 결과 토요일에 시청한 학생은
명, 일요일에 시청한 학생은 명이었다. 토요일과 일요일 모두 시 청한 학생 수의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 의 값은?
[3점][2013년 6월/교육청(고1) 9]
① ② ③
④ ⑤
46.46.어느 고등학교 학년 반 학생 명을 대상으로 책 A , 책 B 를 읽었는지 조사하였다. 책 A 를 읽지 않고 책 B 만 읽은 학생이 명일 때, 책 A 와 책 B 를 모두 읽은 학생 수의 최댓값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
47.47.전체집합 의 두 부분집합 에 대하여
, ∩ 일 때, ∪의 값을 구하시오.
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 24]
48.48.어느 고등학교의 학년 학생 명을 대상으로 문학 체험, 역사 체험, 과학 체험의 신청자 수를 조사한 결과 다음과 같은 사실을 알게 되었다.
(가) 문학 체험을 신청한 학생은 명, 역사 체험을 신청한 학 생은 명이다.
(나) 문학 체험과 역사 체험을 모두 신청한 학생은 명이다.
(다) 세 가지 체험 중 어느 것도 신청하지 않은 학생은 명이 다.
과학 체험만 신청한 학생의 수를 구하시오.
[4점][2015(가) 3월/교육청(고2) 26]
49.49. 명의 학생을 대상으로 세 문제 , , 를 풀게 하였다. 문제
를 맞힌 학생의 집합을 , 문제 를 맞힌 학생의 집합을 , 문제 를 맞힌 학생의 집합을 라 할 때,
, , , ∩ ,
∩ , C∩C∩C 이다. 세 문제 중 두 문제 이상을 맞힌 학생 수의 최솟값은?
[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 17]
① ② ③
④ ⑤
1 명제와 조건
명제가 참이 되도록 하는 미지수 구하기 01
50.50.명제 ‘ 이면 이다.’가 참이 되도록 하는 상수 의 값은?
[2점][2015(가) 9월/교육청(고2) 2]
① ② ③
④ ⑤
51.51.명제 ‘ ≠ 이면 ≠ 이다.’ 가 참일 때, 상수 의 값 은?
[3점][2015(나) 11월/교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
52.52.명제 ‘ ≠ 이면 ≠ 이다.’가 참이 되기 위한 모 든 상수 의 값의 합은?
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 6]
① ② ③
④ ⑤
53.53.정수 에 대한 조건
≥ 에 대하여 조건 ～의 진리집합의 원소의 개수는?
[3점][2016(나) 9월/평가원 12]
① ② ③
④ ⑤
54.54.실수 전체의 집합 의 두 부분집합 는
≤ ≤ ≤ ≤
이다. 두 집합 가 각각 두 조건 의 진리집합일 때, 명제
→ 가 참이 되게 하는 실수 의 최솟값을 구하시오.
[3점][2013(A) 3월/교육청(고2) 22]
55.55.전체집합 가 실수 전체의 집합일 때, 실수 에 대한 두 조건 ,
가
,
이다. 두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 할 때, 옳은 것만을
<보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, , 는 실수이다.)
[3점][2015(가) 6월/교육청(고2) 11]
ㄱ. 일 때, ∅ 이다.
ㄴ. , 일 때, ⊂ 이다.
ㄷ. , 일 때, 명제 ‘∼ 이면 이다.’는 참이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
56.56.실수 에 대하여 두 조건 , 가
≥
≤ ≤ 또는 ≥
이다. 명제 → 가 참이 되도록 하는 상수 의 최솟값은?
[3점][2016(나) 7월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
57.57.자연수 에 대한 조건
‘모든 양의 실수 에 대하여 이다.’
가 참인 명제가 되도록 하는 의 개수는?
[3점][2016(나) 6월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
58.58.실수 에 대하여 두 조건 , 가 ≥
또는 ≥
일 때, 명제 → 가 참이 되도록 하는 양수 의 최솟값은?
[3점][2015년 9월/교육청(고1) 10]
① ② ③
④ ⑤
59.59.두 조건 , 의 진리집합을 각각 , 라 하고
≤ , 일 때, 명제 ∼ → 가 참이기 위한 자연수 의 개수는?
[3점][2015(나) 9월/교육청(고2) 11]
① ② ③
④ ⑤
명제의 참과 집합의 포함 관계 02
60.60.전체집합 에 대하여 세 조건 , , 의 진리집합 , , 의 포함 관계를 벤 다이어그램으로 나타내면 그림과 같을 때, 다음 명제 중 항상 참인 것은?
[3점][2012 9월/교육청(고1) 5]
① → ② → ③ → ∼
④ ∼ → ∼ ⑤ ∼ → ∼
61.61.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이라 하자. ∩ , ∪ 일 때, 참인 명제만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 17]
ㄱ. → ㄴ. → ㄷ. → ∼
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
62.62.실수 에 대한 세 조건
, ≤ , ≤ 에 대하여 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(나) 6월/평가원 16]
ㄱ. → ㄴ. → ∼ ㄷ. → ∼
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
2 명제의 역과 대우
명제의 역, 대우의 참 거짓 01
명제의 대우와 삼단논법 02
63.63.세 조건 , , 에 대하여 두 명제 → ∼ 와 → 가 모두 참일 때, 다음 명제 중 항상 참인 것은?
[3점][2016(나) 4월/교육청 8]
① → ∼ ② → ③ →
④ → ∼ ⑤ ∼ →
64.64.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이라 하자. 세 명제
∼ → , → ∼ , ∼ →
가 모두 참일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015년 11월/교육청(고1) 17]
ㄱ. ⊂ ㄴ. ⊂ ㄷ. ∩
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
65.65.전체집합 의 공집합이 아닌 세 부분집합 , , 가 각각 세 조건 , , 의 진리집합이고, 세 명제 → , ∼ → , ∼ → 가 모두 참일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2012 11월/교육청(고1) 14]
ㄱ. ⊂ ㄴ. ∅ ㄷ. ∪⊂
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
66.66.전체집합 는 이하의 자연수 에 대하여 조건
‘ ≤ ’의 진리집합을 , 두 조건 , 의 진리집합을 각각
, 라 하자. 두 명제 → 와 ∼ → 가 모두 참일 때, 두 집합
, 의 순서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 27]
｢모든｣과 ｢어떤｣을 포함한 명제 03
67.67.집합 의 공집합이 아닌 부분집합 에 대하여 명 제 ‘집합 의 어떤 원소 에 대하여 는 의 배수이다.’가 참이 되도 록 하는 집합 의 개수를 구하시오.
[3점][2015년 9월/교육청(고1) 25]
68.68.두 실수 , 에 대하여 조건 , 가
≤
≤
일 때, 명제 ‘어떤 , 에 대하여 이면 이다.’가 참이 되도록 하는 정수 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 29]
69.69.명제 ‘ ≤ ≤ 인 어떤 실수 에 대하여 ≤ ≤ 이 다.’가 참이 되게 하는 정수 의 개수는?
[4점][2012 6월/교육청(고1) 16]
① ② ③
④ ⑤
3 필요조건과 충분조건
필요조건과 충분조건 01
70.70.정수 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 필요조건이지만 충분 조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2012 6월/교육청(고1) 9]
ㄱ. : : ㄴ. : 는 의 양의 약수 : 는 의 양의 약수 ㄷ. : :
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
71.71.실수 , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[3점][2012 9월/교육청(고1) 11]
ㄱ. ㄴ. ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
72.72.두 실수 에 대하여 세 조건 , , 는
이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2013년 9월/교육청(고1) 13]
ㄱ. 는 이기 위한 충분조건이다.
ㄴ. ∼ 는 ∼ 이기 위한 필요조건이다.
ㄷ. 이고 은 이기 위한 필요충분조건이다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
73.73.두 실수 , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 17]
ㄱ.
ㄴ. 또는 ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
필요조건, 충분조건과 방정식․부등식 02
74.74.실수 에 대하여 두 조건 , 가 다음과 같다.
≥
가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은?
[3점][2015(가) 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
75.75.실수 에 대하여 두 조건 , 가
≤ ≤
또는
이다. ∼ 는 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 모든 정수 의 값의 합은?
[3점][2016(나) 4월/교육청 12]
① ② ③
④ ⑤
76.76.실수 에 대한 두 조건
≤
≤
에 대하여 가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 자연수 의 최솟값 은?
[3점][2017(나) 수능 7]
① ② ③
④ ⑤
77.77.실수 에 대하여 두 조건 , 가 다음과 같다.
≥
가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 의 최댓값은?
[3점][2015(나) 3월/교육청(고2) 9]
① ② ③
④ ⑤
78.78.두 조건
≤
에 대하여 가 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 정수 의 개수는?
[3점][2013년 6월/교육청(고1) 11]
① ② ③
④ ⑤
4 절대부등식
절대부등식 01
산술평균과 기하평균 02
79.79.두 실수 , 에 대하여 , 일 때,
의 최솟 값은?
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 7]
① ②
③
④ ⑤
80.80. 일 때,
의 최솟값을 구하시오.
[4점][2012 9월/교육청(고1) 26]
81.81. , 일 때,
의 최솟값은?4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 16]
① ② ③
④ ⑤
82.82.[그림1]과 같이 세 모서리의 길이가 각각 , , 인 직육면체 모 양의 나무토막이 있다.
[그림1]
[그림1]의 나무토막의 한 모퉁이에서 모서리의 길이가 인 정육면체 모 양의 나무토막을 잘라내었더니 [그림2]와 같이 나무토막 와 나무토막
로 나누어졌다.
[그림2]
의 부피가 일 때, 의 겉넓이의 최솟값을 구하시오. (단, ,
)
[4점][2012 11월/교육청(고1) 28]
83.83.두 양수 , 에 대하여 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 의 네 변 AB , BC , D C , D A 를 각각 로 내분하는 점을 E , F , G , H 라 하고, 선분 FH 의 중점을 M 이라 하자. 그림은 위의 설명과 같이 그린 한 예이다.
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2016(나) 3월/교육청 17]
ㄱ. FM G M ㄴ. ∆EFM ≥ ∆FG M
ㄷ. FH
일 때, 삼각형 FG M 의 넓이의 최댓값은 이다.< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1 대응과 함수
여러 가지 함수 01
84.84.두 집합 , 에 대하여 함수 는
에서 로의 일대일 대응이다.
, 일 때, 의 값은?
[3점][2015(가) 3월/교육청(고2) 10]
① ② ③
④ ⑤
85.85.두 집합 , 에 대하여 집합 에 서 집합 로의 일대일함수를 라 하자. 일 때,
의 최댓값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 6]
① ② ③
④ ⑤
일대일 대응이 되기 위한 조건 02
86.86.실수 전체의 집합 에 대하여 함수 → 가
로 정의될 때, 이 함수가 일대일대응이 되도록 하는 정수 의 개수를 구하시오.
[4점][2015년 11월/교육청(고1) 28]
함수의 개수 구하기 03
함수방정식의 함숫값 구하기 04
87.87.양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을 만족 시킬 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 29]
(가) ≤ ≤
(나) 모든 양의 실수 에 대하여 이다.
2 합성함수와 역함수
01 합성함수
88.88.함수 에 대하여 ∘ 의 값은?
[2점][2015년 11월/교육청(고1) 2]
① ② ③
④ ⑤
89.89.두 함수
, 가 있다. 모든 실수 에 대하여 함수 가 ∘ 를 만족시킬 때, 의 값은?
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 6]
① ② ③
④ ⑤
90.90.두 함수 ,
에 대하여 ∘
의 값을 구하시오.[3점][2015(가) 6월/교육청(고2) 22]
91.91.두 함수 , 에 대하여 ∘ 의 값은?
[3점][2014년 11월/교육청(고1) 4]
① ② ③
④ ⑤
92.92.그림은 두 함수 → , → 를 나타낸 것이다.
∘ 의 값은?
[3점][2016(나) 9월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
93.93.두 함수 ,
에 대하여 ∘ 의 값은?
[3점][2015(나) 3월/교육청(고2) 8]
① ② ③
④ ⑤
94.94.보다 큰 모든 실수의 집합에서 정의된 두 함수
,
에 대하여 ∘ 의 값을 구하시오.[3점][2016(나) 4월/교육청 24]
95.95.두 함수 , 에 대하여 ∘ 의 값 을 구하시오.
[3점][2015(나) 9월/교육청(고2) 22]
96.96.그림은 함수 → 를 나타낸 것이다. ∘ 의 값 은?
[3점][2016(나) 6월/평가원 5]
① ② ③
④ ⑤
97.97.함수 의 그래프가 그림과 같다. ∘ 의 값은?
[3점][2015(나) 11월/교육청(고2) 13]
O
① ② ③
④ ⑤
98.98.집합 의 모든 원소 에 대하여 에서 로의 함수 는 ‘를 로 나눈 나머지’로 정의하고, 에서 로의 함수
는 ∘ ∘ 를 만족시킨다.
일 때, 의 값은?
[4점][2016(나) 4월/교육청 17]
① ② ③
④ ⑤
99.99.두 집합 는 자연수 , 에 대하여 두 함수 → , → 가
를 로 나눈 나머지
이다. 합성함수 ∘ 의 치역의 원소의 개수가 이 되도록 하는 자연수 의 최솟값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 11]
① ② ③
④ ⑤
100.100.두 함수
≥ ,
에 대하여 합성함수 ∘ 의 치역이 ≥ 일 때, 상수 의 값을 구하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 28]
101.101.이차함수 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나) 이차방정식 의 실근의 개수는 이다.
방정식 ∘ 의 서로 다른 실근을 모두 곱한 값은?
[4점][2016(나) 3월/교육청 19]
①
②
③
④
⑤
합성함수의 그래프 02
합성함수의 추정 03
102.102.함수 에 대하여 의 값은?
[3점][2016(나) 6월/평가원 4]
① ② ③
④ ⑤
역함수의 계산 04
103.103.그림은 함수 → 를 나타낸 것이다.
의 값은?
[3점][2017(나) 수능 6]
① ② ③
④ ⑤
104.104.함수 의 역함수를 라 할 때, 의 값은?
[3점][2015(가) 3월/교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
105.105.함수 에 대하여 의 값을 구하시오.
[3점][2016(나) 9월/평가원 24]
106.106.일차함수 가 을 만족시킬 때,
의 값은?
[3점][2016(나) 10월/교육청 7]
① ② ③
④ ⑤
107.107.집합 에 대하여 함수 → 가 다음 조건 을 만족시킨다.
(가) 함수 는 일대일대응이다.
(나) 집합 의 모든 원소 에 대하여 ≠ 이다.
일 때, 의 값은?
[3점][2016(나) 7월/교육청 10]
① ② ③
④ ⑤
108.108.두 일차함수 , 에 대하여
∘ 의 값은?
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
109.109.자연수 에 대하여 좌표가 인 점을 P, 함수
≥ 이라 하자. 점 P을 지나고 축과 평행한 직선이 곡선 와 만나는 점을 Q이라 할 때, 점 Q의 좌표를 이라 할 때, ⋅ 의 값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 13]
①
② ③
④
⑤ 110.110.집합 에 대하여 에서 로의 함수 가
는 상수 이고, 함수 의 역함수 가 존재한다.
, ( ⋯ )라 할 때,
의 값은?
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 19]
① ② ③
④ ⑤
111.111.집합 , , , , 에 대하여 집합 에서 집합 로의 두 함수 , 가 있다. 두 함수 , ∘ 의 그래프가 각각 그림과 같을 때, ∘ 의 값은?
[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 16]
O
∘
O
① ② ③
④ ⑤
그래프를 이용한 역함수의 함숫값 05
112.112.집합 에 대하여 두 함수 → ,
→ 가 있다. 함수 는 를 만족시키고 함수
의 그래프는 그림과 같다.
O
두 함수 , 에 대하여 함수 → 를
≥ 라 정의하자. 함수 가 일대일대응일 때, 의 값을 구 하시오.
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 28]
113.113.함수 ≥ 의 역함수를 라 하고, 두 곡선
와 가 직선 와 만나는 점을 각각 P , Q 라 하자. 선분 P Q 의 길이를 라 할 때, lim
→
의 값은?
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 20]
O
P
Q
①
②
③
④
⑤
114.114.실수 전체의 집합에서 연속인 함수
≥
의 역함수가 존재하도록 하는 두 실수 , 에 대하여 의 최댓 값을 구하시오.
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 29]
115.115.그림과 같이 점 을 지나는 함수 의 그래프와
의 그래프가 두 점 , 에서 만나고 그 외의 점에 서 만나지 않는다. 를 만족시키는 모든 실수 의 값의 합은? (단, 는 의 역함수이다.)
[3점][2012 3월/교육청(고2) 16]
O
① ② ③
④ ⑤
116.116.정의역이 ≤ ≤ 인 두 함수 , 는 일대일 대응이고 그래프는 그림과 같다.
등식 를 만족시키는 두 자연수 , 의 순서쌍 의 개수는? (단, 두 함수의 그래프는 각각 세 선분으로 되어 있다.)
[4점][2015(나) 3월/교육청(고2) 19]
① ② ③
④ ⑤
1 유리함수
01 유리함수
117.117.자연수 에 대하여 함수 가 다음과 같다.
일 때, 곡선 의 점근선의 방정식이 , 이다.
의 값은?
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 13]
① ② ③
④ ⑤
118.118.세 상수 에 대하여 분수함수
의 그래프가 점 을 지나고 점근선이 두 직선 일 때, 의 값은?
[3점][2013(B) 3월/교육청(고2) 5]
① ② ③
④ ⑤
119.119. 는 상수이고, 유리함수
에 대하여 직선
가 곡선 의 두 점근선의 교점을 지날 때, 상수 의 값 은?
[3점][2015(가) 6월/교육청(고2) 13]
O
①
②
③
④
⑤
120.120.유리함수
의 그래프의 점근선의 방정식이 ,
일 때, 두 상수 , 에 대하여 의 값은?
[3점][2015(나) 11월/교육청(고2) 5]
① ② ③
④ ⑤
121.121.함수
의 그래프의 점근선은 두 직선 , 이다. 두 상수 의 곱 의 값을 구하시오.
[4점][2016(나) 6월/평가원 26]
122.122.유리함수
의 그래프에서 점근선의 방정식이 ,
일 때, 의 값은?
[3점][2015(나) 3월 교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
123.123.유리함수
의 그래프가 제 사분면을 지나지 않도록 하는 정수 의 최솟값은?
[3점][2016(나) 3월/교육청 9]
① ② ③
④ ⑤
124.124.유리함수
≠ 의 그래프의 점근선은 두 직선
, 이다. 의 값은? (단, , 은 상수이다.)
[3점][2014년 11월/교육청(고1) 9]
①
②
③
④
⑤
유리함수의 평행이동과 대칭이동 02
125.125.유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행 이동한 그래프가 원점을 지날 때, 상수 의 값은?
[3점][2015(가) 6월/교육청(고2) 4]
① ② ③
④ ⑤
126.126.유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방 향으로 만큼 평행이동한 그래프가 점 를 지날 때, 상수 의 값 은?
[3점][2015(나) 6월/교육청(고2) 8]
① ② ③
④ ⑤
127.127.분수함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동하면
의 그래프와 일치한 다. 의 값은?
[3점][2012 3월/교육청(고2) 7]
① ② ③
④ ⑤
128.128.유리함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 곡선을 라 하자. 곡선
의 두 점근선의 교점이 곡선 위의 점일 때, 상수 의 값은?
[4점][2015(가) 3월 교육청(고2) 16]
① ② ③
④ ⑤
129.129.유리함수
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[3점][2016(나) 10월/교육청 10]
ㄱ. 함수 의 정의역과 치역이 서로 같다.
ㄴ. 함수 의 그래프는
의 그래프를 평행이동한 것이다.
ㄷ. 함수 의 그래프는 제 사분면을 지나지 않는다.
< 보 기 >
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
유리함수의 그래프의 대칭성 03
130.130.좌표평면에서 함수
의 그래프가 직선 에 대하 여 대칭일 때, 상수 의 값은?
[3점][2017(나) 수능 10]
① ② ③
④ ⑤
유리함수의 역함수 04
131.131.유리함수
의 그래프와 그 역함수의 그래프가 일치할 때, 상수 의 값은?
[3점][2015년 11월/교육청(고1) 12]
① ② ③
④ ⑤
유리함수의 산술평균과 기하평균 05
132.132.그림과 같이 곡선
위의 점 중에서 제 사분면에 있는 점 을 P , 제 사분면에 있는 점을 Q 라 하자. 점 P 에서 축, 축에 내린 수선의 발을 각각 A , B 라 하고, 점 Q 에서 축, 축에 내린 수선의 발을 각각 C , D 라 할 때, 육각형 AP BCQ D 의 넓이의 최솟값은?
[4점][2014(B) 3월/교육청(고2) 15]
① ② ③
④ ⑤
133.133.그림과 같이 함수
의 그래프 위의 한 점 P 에서 이 함수의 그래프의 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 Q , R 라 하고, 두 점근선의 교점을 S라 하자. 사각형 P RSQ 의 둘레의 길이의 최솟값 은? (단, 점 P 는 제사분면 위의 점이다.)
[4점][2013년 11월/교육청(고1) 16]
O
P R
Q S
①
② ③
④ ⑤
134.134. 는 상수이고, 유리함수
에 대하여
일 때, 유리함수 의 그래프 위를 움직이는 점 P 와 직선
사이의 거리의 최솟값은?
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 14]
O
① ②
③
135.135.그림과 같이 함수
＞
의 그래프와 직선 가 있다. 함수 의 그래프 위의 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 직선 와 만나는 점을 Q 라 하자. 선분 P Q 의 길이의 최솟값은?
[4점][2014년 11월/교육청(고1) 18]
O
P
Q
①
② ③
④ ⑤
136.136.좌표평면 위에
함수
의 그래프와 직선 가 있다.
함수 의 그래프 위의 점 P 를 지나고 축에 수직인 직선이 직 선 와 만나는 점을 Q , 점 Q 를 지나고 축에 수직인 직선이
와 만나는 점을 R 라 할 때, 선분 P Q 와 선분 Q R 의 길이의 곱 P Q × Q R 의 최솟값을 구하시오.
[4점][2016(나) 4월/교육청 27]
유리함수의 활용 06
137.137.유리함수
의 그래프 위의 점 P 와 직선
사이의 거리가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2016(나) 10월/교육청 26]
138.138.자연수 에 대하여 함수 가 다음과 같다.
, , ⋯ 일 때, 곡선 의 제사분면 위의 점 중에서 축, 축까지의 거리가 같게 되는 점을 P라 하고, 점 P에서
축, 축에 내린 수선의 발을 각각 Q, R라 하자. 사각형 O QPR의 넓이를 라 할 때,
의 값은?
[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 14]
P
O Q
R
① ② ③
④ ⑤
139.139.AB BC CD , AD 인 등변사다리꼴 ABCD 에서 선 분 BC 위를 움직이는 점을 E , 직선 AE 와 직선 CD 의 교점을 F 라 하자. 점 C 와 점 E 사이의 거리를 ≤ ≤ , 점 C 와 점 F 사 이의 거리를 라 할 때, 함수 의 그래프의 모양으로 알맞 은 것은?
[4점][2015(나) 9월/교육청 15]
A
B
D
C E
F
①
O
②
O
③
O
④
O
⑤
O
140.140.함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ≤ ≤ 에서 이다.
(나) 모든 실수 에 대하여 이다.
두 함수 ,
의 그래프가 무수히 많은 점에서 만나도 록 하는 정수 의 값의 합은?
[4점][2014(A) 3월/교육청(고2) 21]
① ② ③
④ ⑤
141.141.유리함수
와 수열 에 대하여
이다.
≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구 하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 30]
142.142.그림과 같이 점 A 와 곡선
위의 두 점 B , C 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 B 와 점 C 는 직선 에 대하여 대칭이다.
(나) 삼각형 ABC 의 넓이는
이다.점 B 의 좌표를 라 할 때, 의 값은? (단,
) [4점][2015(나) 3월 교육청(고2) 21]① ② ③
④ ⑤
2 무리함수
무리함수의 그래프 01
143.143. ≤ ≤ 에서 무리함수
의 최솟값이 일 때, 상 수 의 값은?[3점][2015년 11월/교육청(고1) 4]
① ② ③
④ ⑤
144.144.그림과 같이 무리함수
의 그래프가 두 점 , 을 지날 때, 두 상수 , 의 합 의 값은?
[3점][2014년 11월/교육청(고1) 6]
O
① ② ③
④ ⑤
145.145.세 함수
,
, 의 그 래프가 그림과 같다. 함수 의 그래프는 함수 의 그래 프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의 방향으로 만큼, 축의 방향 으로 만큼 평행이동한 것이다. 두 상수 , 의 합 의 값은?[3점][2016(나) 4월/교육청 13]
O
① ② ③
④ ⑤
146.146.함수
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동하였더니 함수
의 그래프와 일 치하였다. 의 값은? (단, 은 상수이다.)[4점][2016(나) 6월/평가원 15]
① ② ③
④ ⑤
무리함수의 그래프와 미정계수 구하기 02
147.147.무리함수
의 그래프가 그림과 같다.
O
이때 의 값을 구하시오. (단, 는 실수이다.)
[3점][2013(A) 3월/교육청(고2) 23]
무리함수와 역함수의 교점 03
148.148.그림은 무리함수
의 그래프이다.
O
함수 의 그래프와 그 역함수 의 그래프의 교점이
일 때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[3점][2012 11월/교육청(고1) 10]
①
②
③
④
