0393 4c¤ =a¤ +b¤에서

25=a¤ +16 ∴ a¤ =9

∴ - =-1

즉, `16x¤ -9y¤ =-144이므로 a=16, `b=-144

∴ a+b=-128 ^답 ①

y¤

16 x¤

9

두 점 `A, B에서의 거리의 차가 일정하므로 점 P의 자 취는 두 점 A, B를 초점으로 하는 쌍곡선이다. 이때 두 초점 A, B가 x축 위에 있으므로` - =1에서

|PA”-PB”|=8, 즉 `2a=8이므로` a=4 또한, 초점이 (—5,` 0)이므로 b¤ =5¤ -4¤ =9

∴ a¤ -b¤ =16-9=7 답 7

y¤

b¤

x¤

a¤

0395

y¤ =8x=4¥2x에서 포물선의 초점의 좌표는 (2, 0)

쌍곡선` - =1의 초점의 좌표는 ("√a¤ +b¤ , 0), (-"√a¤ +b¤ , 0)

이때 포물선의 초점과 쌍곡선의 한 초점이 일치하므로

"√a¤ +b¤ =2 ∴ a¤ +b¤ =4

답 4 y¤

b¤

x¤

a¤

0394

단계 채점요소 배점

포물선 y¤ =8x의 초점의 좌표 구하기 40%

쌍곡선 ` -y¤ =1의 초점의 좌표 구하기 40%

b¤

x¤

a¤

a¤ +b¤의 값 구하기 20%

타원 + =1에서

2a=2'6이므로 a='6 2b=2'3이므로 b='3 y¤

b¤

x¤

0396

a¤

점 `P의 좌표를 (0, y)라고 하면 AP”="√1¤ +y¤ , PQ”=|x|

AP”=PQ”에서 AP”¤ =PQ”¤ 이므로 1+y¤ =x¤

따라서 점 `Q의 자취의 방정식은 x¤ -y¤ =1

즉, `a=1, b=-1이므로

ab=-1 답 ②

0398

타원 + =1에서 'ƒ36-16=2'5이므로 초점 의 좌표는 (2'5, `0), `(-2'5, `0)

구하는 쌍곡선의 방정식을 - =1로 놓으면 초점의 좌 표가 (2'5, 0), (-2'5, 0)이므로

"√a¤ +b¤ =2'5에서 a¤ +b¤ =20 yy㉠ 점근선의 방정식이 y=—2x이므로

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

16 x¤

0401

36

쌍곡선 x¤ -9y¤ =9, 즉 -y¤ =1에서'ƒ9+1='1å0 이므로 초점의 좌표는 ('1å0, `0), `(-'1å0, `0)

또, 점근선의 방정식은 y=— x이므로 점 ('1å0, `0)과 직선 x+3y=0사이의 거리는

=1 ^답 1

|'1å0|

"√1¤ +3¤

1 3

x¤

0399

9

쌍곡선` - =1에서 점근선의 방정식은 y=— x이므로 ='2 ∴ b='2a

또, 쌍곡선이 점 (3, 4)를 지나므로 - =1 yy㉠ b='2a를 ㉠에 대입하면 a¤ =1, b¤ =2

∴ a¤ +b¤ =3 답 ②

16 b¤

9 a¤

b a b

a

y¤

b¤

x¤

0400

a¤

점 `P(x, `y)에서 직선 `x= 에 내린 수선의 발을 H 라고 하면` PF” : PH”=3 : 2이므로 2PF”=3PH”

2"√(x-3)¤ +y¤ =|3x-4|

양변을 제곱하여 정리하면 5x¤ -4y¤ =20

따라서 a=5, b=-4이므로

a+b=1 ^답 ④

4

0397

3

따라서 쌍곡선 - =1의 주축의 길이는

2¥'6=2'6 ^답 ③

y¤

3 x¤

6

PF'”+PF”

="√(2+2)¤ +1+1

='1å7+1

이므로 타원의 장축의 길이는 BD”='1å7+1

PF'”-PF”='1å7-1이므로 쌍곡선의 주축의 길이는

AC”='1å7-1

∴ AB”= (BD”-AC”)

=1{('1å7+1)-('1å7-1)}=1 ^답 1 2

1 2

0409

x y

O A F P(2,`1)

B D F' C

쌍곡선 x¤ -y¤ = 의 점근선의 방정식은 y=—x 쌍곡선 위의 점 `P의 좌표를 (a, `b)라고 하면 점 `P(a, `b)와 직선 x-y=0 사이의 거리는

PQ”=

또, 점 `P(a, b)와 직선 x+y=0 사이의 거리는 PR”=

한편, 점` P(a, b)는 쌍곡선 위의 점이므로 a¤ -b¤ =

따라서 사각형 `PQOR의 넓이는

PQ”¥PR”= =1 답 ①

4

|a¤ -b¤ | 2 1 2

|a+b|

'2

|a-b|

'2

1

0406

2

- =1에서 'ƒ9+7=4이므로 두 점 `C, `F는 주 어진 쌍곡선의 초점이다. 또, 주축의 길이가 6이므로 쌍곡선의 정의에 의하여

AC”-AF”=6 yy ㉠, BC”-BF”=6 yy ㉡

㉠+㉡을 하면

AC”+BC”-(AF”+BF”)=12

∴ AC”+BC”-AB”=12 yy㉢ 또, △ABC의 둘레의 길이가 `30이므로

AB”+BC”+CA”=30 yy㉣

㉣-㉢을 하면

2AB”=18 ∴ AB”=9 답 ③

y¤

7 x¤

0407

9

쌍곡선 - =1에서 주축의 길이는 2¥3=6 또, 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'”-PF”=6, QF'”-QF”=6이 므로

PF'”=6+1=7, QF'”=6+4=10

∴ PF'”+QF'”=7+10=17 답 17 y¤

6 x¤

0408

9

=2에서 b=2a yy㉡

㉠, ㉡에서 a¤ =4, b¤ =16

따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 - =1

답 -y¤ =1 16 x¤

4 y¤

16 x¤

4 b

a

쌍곡선` - =1의 점근선의 방정식은 y=— x

두 점근선이 서로 수직으로 만나므로

¥{- }=-1 ∴ a¤ =b¤

또, 쌍곡선이 점 (6, 4)를 지나므로 - =1 ∴ a¤ =20

∴ a¤ +b¤ =20+20=40 답 40

16 b¤

36 a¤

b a b a

b a

y¤

b¤

x¤

0402

a¤

두 쌍곡선의 점근선의 방정식이 y=—2x이므로

=2 ∴ b=2a

두 쌍곡선의 꼭짓점 (a, `0), `(-a, `0), (0, `b), `(0, -b)를 연결하여 만든 사각형의 넓이가 20이므로

2ab=20 ∴ ab=10

이때 b=2a이므로 a¥2a=10 ∴ a¤ =5 a= b이므로 b¥b=10 ∴ b¤ =20

∴ a¤ +b¤ =25 ^답 25

1 2 1

2 b a

0405

쌍곡선 x¤ -3y¤ =-6에서 - =-1

쌍곡선 - =-1의 점근선의 방정식은

y=— x=— x

tan 30˘= 이므로 두 점근선이 이루는 예각의 크기는 60˘

이다. 답 60˘

1 '3

1 '3 '2

'6 y¤

2 x¤

6

y¤

2 x¤

0403

6

원점을 O라고 할 때, ∠OAF=∠OBF=90˘이므로 네 점 `O, A, F, B는 `OF”를 지름으로 하는 원 위에 있다.

따라서 구하는 원의 넓이는 p¥{ }2 =p¥

이때 c¤ =a¤ +b¤ =9+4=13이므로

p¥ =13p ^답 ③

4 13

4

c¤

4 OF”

2

0404

●본문

061~063

쪽

쌍곡선의 정의에 의하여

F'P«”-FP«”=6 (n=1, `2, `3, `4, `5) 이므로 F'P«”=FP«”+6

∴ F'P˚”=F'P¡”+F'P™”+F'P£”+F'P¢”+F'P∞”

=¡⁵ (FP˚”+6)=20+30=50 ^답 50

k=1

¡5 k=1

0410

- =1에서 'ƒ9+7=4이므로 두 초점은 F(4,` 0), `F'(-4, 0)이다.

또, 주축의 길이는 2¥3=6이므로 `PF'”=a, PF”=b라고 하면 쌍곡선의 정의에 의하여

a-b=6 yy㉠

또, 직각삼각형` FPF'에서 피타고라스의 정리에 의하여 a¤ +b¤ =8¤ yy㉡

㉠의 양변을 제곱하면 (a-b)¤ =36 a¤ +b¤ -2ab=36

-2ab=-28 (∵ ㉡) ∴ ab=14

∴ △FPF'= ab=1¥14=7 답 7 2

1 2 y¤

7 x¤

0413

9

쌍곡선 - =1에서 'ƒ4+12=4이므로 두 초점 은 `F(4, `0), `F'(-4, 0)이다.

타원의 정의에 의하여

PF'”+PF”=10 yy㉠ 쌍곡선의 정의에 의하여

PF'”-PF”=4 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 PF'”=7, PF”=3

∴ cos h= =-1 답 ②

7 7¤ +3¤ -8¤

2¥7¥3 y¤

12 x¤

0411

4

쌍곡선 - =1의 초점의 좌표는 F(2, `0), F'(-2, `0) ∴ F’F'”=4 PF'”=a, PF”=b라고 하면

a¤ +b¤ =16

쌍곡선의 정의에 의하여 a-b=2'2 양변을 제곱하면

a¤ -2ab+b¤ =8, -2ab=-8

∴ ab=4

∴ △PF'F=1ab=2 ^답 2

2 y¤

2 x¤

0412

2

쌍곡선 2x¤ -5y¤ +12x+10y+3=0에서 2(x¤ +6x+9)-5(y¤ -2y+1)=10

∴ -(y-1)¤ =1 yy㉠

2 (x+3)¤

5

0414

쌍곡선의 방정식을 - =1로 놓으면 주축의 길 이가` 4이므로`

2a=4 ∴ a=2

또, 초점의 좌표가 (-4, `0), `(4,` 0)이므로 c¤ =a¤ +b¤에서 16=4+b¤

∴ b¤ =12

∴ - =1 yy㉠

초점의 좌표가 (2,` 0),` (10,` 0)이고 주축의 길이가 `4인 쌍곡 선은 ㉠을 x축의 방향으로 `6만큼 평행이동한 것이므로

- =1 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=—'1å5

∴ AB”=2'1å5

답 2'1å5 y¤

12 (x-6)¤

4 y¤

12 x¤

4

y¤

b¤

x¤

0415

a¤

주축이 x축과 평행하고 두 점근선의 방정식이 y=2x-1, y=-2x+7이므로 구하는 쌍곡선의 방정식을

- =1로 놓으면 주축의 길이가 4이므로

2a=4 ∴ a=2

또, 점근선의 기울기가 2이므로 =2에서 b=2a=4

한편, 두 점근선의 방정식 y=2x-1, y=-2x+7을 연립하 여 풀면

x=2, y=3

이므로 구하는 쌍곡선의 중심의 좌표는 (2, 3)이다.

따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은

- =1

답 - (y-3)¤ =1 16 (x-2)¤

4 (y-3)¤

16 (x-2)¤

4

b a (y-q)¤

b¤

(x-p)¤

a¤

0416

PF”=2PH”이므로 "√(x-3)¤ +y¤ =2|x|

양변을 제곱하면

(x-3)¤ +y¤ =4x¤, 3(x+1)¤ -y¤ =12

∴ -y¤ =1 답 ④

12 (x+1)¤

4

0417

㉠은 쌍곡선 - =1을` x축의 방향으로 -3만큼,` y축의 방향으로` 1만큼 평행이동한 것이다.

따라서 a¤ =5, b¤ =2, m=-3, n=1이므로 a¤ +b¤ +m+n=5

답 5 y¤

2 x¤

5

따라서'1å3-2, -'1å3-2를 두 실근으로 하는 이차방정식은 x¤ -{('1å3-2)+(-'1å3-2)}x+('1å3-2)(-'1å3-2)

=0

∴ x¤ +4x-9=0 ^답 ①

y=mx+2를 2x¤ -3y¤ =1에 대입하면 2x¤ -3(mx+2)¤ =1

∴ (2-3m¤ )x¤ -12mx-13=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(-6m)¤ +13(2-3m¤ )>0, `3m¤ -26<0

∴ - <m<

따라서 정수` m의 개수는 `-2, -1, `0, `1, `2로 `5이다.

답 ④ '7å8

3 '7å8

3 D

4

0422

y=3x+k를 - =1, 즉` 9x¤ -4y¤ =36에 대입 하면

9x¤ -4(3x+k)¤ =36

∴ 27x¤ +24kx+4k¤ +36=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=144k¤ -27(4k¤ +36)<0 36k¤ -972<0, `k¤ <27 `

∴ -3'3<k<3'3

답 -3'3<k<3'3 D

4

y¤

9 x¤

0423

4

직선 y=x를 x축의 방향으로 a만큼 평행이동하면 y=x-a

이를 - =1, 즉 `2x¤ -3y¤ =6에 대입하면 2x¤ -3(x-a)¤ =6

∴ x¤ -6ax+3a¤ +6=0

직선과 쌍곡선이 만나려면 이 이차방정식의 실근이 존재해야 하므로 판별식을 D라고 할 때

=9a¤ -(3a¤ +6)æ0, `6a¤ -6æ0 a¤ æ1 ∴ a…-1 또는` aæ1

답 a…-1 또는` aæ1 D

4 y¤

2 x¤

3

0424

y=3x+k를 x¤ - =1, 즉` 6x¤ -y¤ =6에 대입하면 6x¤ -(3x+k)¤ =6

∴ 3x¤ +6kx+k¤ +6=0

M;N+Δ이려면 위의 이차방정식이 실근을 가져야 한다.

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 y¤

0425

6 점 `P의 좌표를 (x, y)라고 하면 |PO”-PA”|=3에서

PO”-PA”=—3, 즉 PO”=PA”—3이므로

"√x¤ +y¤ ="√(x-6)¤ +y¤ —3 양변을 제곱하여 정리하면

4x-15=—2"√(x-6)¤ +y¤

다시 양변을 제곱하여 정리하면 12x¤ -4y¤ -72x+81=0

따라서 a=12, b=-4, c=-72이므로

a+b+c=-64 답 ④

0418

x¤ -(y¤ -2y+1)+a+1=0에서 x¤ -(y-1)¤ =-a-1

여기서 x축에 평행한 주축을 가지려면 -a-1>0

∴ a<-1 답 ①

0419

쌍곡선 9x¤ -4y¤ -36x-8y+68=0에서 9(x¤ -4x+4)-4(y¤ +2y+1)=-36

∴ - =-1 yy㉠

㉠은 쌍곡선 - =-1을 x축의 방향으로` 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.

한편, 쌍곡선 - =-1의 점근선의 방정식은 y=— x 이므로 ㉠의 점근선의 방정식은

y+1=— (x-2)

∴ y= x-4, y=- x+2

답 y= x-4, y=-3x+2 2 3

2 3

2 3

2 3 2

3 2 y¤

9 x¤

4 y¤

9 x¤

4

(y+1)¤

9 (x-2)¤

4

0420

단계 채점요소 배점

쌍곡선의 방정식을 표준형으로 고치기 30%

점근선의 방정식 구하기 70%

쌍곡선 9x¤ -4y¤ -16y-52=0에서 9x¤ -4(y¤ +4y+4)=36

∴ - =1 yy㉠

㉠은 쌍곡선 - =1을 y축의 방향으로 -2만큼 평행이 동한 것이므로 ㉠의 두 초점의 좌표는 ('1å3, -2),

(-'1å3, -2)이다.

∴ a+b='1å3-2, c+d=-'1å3-2 y¤

9 x¤

4 (y+2)¤

9 x¤

4

0421

●본문

063~065

쪽

=9k¤ -3(k¤ +6)æ0, 6k¤ -18æ0 k¤ æ3 ∴ k…-'3 `또는` kæ'3 따라서 구하는 양수 k의 값의 범위는

kæ'3 ^답 ②

D 4

기울기가 `2이고 쌍곡선 x¤ -y¤ =4, 즉 - =1에 접하는 직선의 방정식은

y=2x—"√4¥2¤ -4=2x—2'3

따라서 직선 y=2x—2'3이 직선 y=2x+k와 일치해야 하 므로

k=—2'3 ^답 —2'3

y¤

4 x¤

0427

4

기울기가 `2이고 쌍곡선 - =1에 접하는 직선 의 방정식은

y=2x—"√a¥2¤ -3=2x—'ƒ4a-3

따라서 직선 y=2x+'ƒ4a-3이 직선 y=2x+3과 일치해야 하므로

'ƒ4a-3=3, 4a-3=9

∴ a=3

따라서 쌍곡선의 두 초점의 좌표는 (—'6, 0)이므로 구하는

두 초점 사이의 거리는` 2'6이다. ^답 ④

y¤

3 x¤

0426

a

기울기가 -1이고 쌍곡선 x¤ -4y¤ =4, 즉 -y¤ =1 에 접하는 직선의 방정식은

y=-x—"√4¥(-1)¤ -1=-x—'3

답 y=-x—'3 x¤

0428

4

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 30˘인 직선의 기울기는 `tan 30˘= 이다.

쌍곡선 5x¤ -3y¤ =-15, 즉 - =-1에 접하고 기울기가 인 직선의 방정식은

y= x—æ≠5-3 { }2 = x—2

따라서 m= , `n=2이므로` mn=2'3 답 ④ 3

'3 3

'3 3 '3

3 '3

3 '3

3

y¤

5 x¤

3 '3

3

0429

쌍곡선 x¤ -y¤ =3 위의 점 (2,` 1)에서의 접선의 방정 식은` 2x-y=3 yy㉠

쌍곡선 x¤ -y¤ =3에서 - =1이므로 점근선의 방정식은

y=—x yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=3, y=3 또는` x=1, y=-1 y¤

3 x¤

3

0430

쌍곡선 x¤ -4y¤ =12 위의 점 (4,` 1)에서의 접선의 방 정식은 4x-4y=12

∴ y=x-3

두 점의 좌표가 (3, `0), `(0, -3)이므로

PQ”="√3¤ +3¤ =3'2 ^답 ④

0431

쌍곡선 4x¤ -y¤ =3 위의 점 (1, -1)에서의 접선의 방정식은 4x+y=3

∴ y=-4x+3

이 접선에 수직이고 점 (1, -1)을 지나는 직선의 방정식은 y+1= (x-1)

∴ y=

x-이 직선x-이 점 (2, `a)를 지나므로

a= - =-3 답 ④

4 5 4 2 4

5 4 1 4 1 4

0432

쌍곡선 ax¤ -by¤ =8 위의 점 (3,` 5)에서의 접선의 방 정식은

3ax-5by=8

이때 접선의 기울기는 이므로

=3 ∴ a=5b

또, 점 (3,` `5)는 쌍곡선 위의 점이므로 9a-25b=8

a=5b를 위의 식에 대입하면

a=2, b= ∴ a-b=8 답 ④

5 2

5 3a

5b

3a 5b

0433

접점의 좌표를 (x¡, y¡)로 놓으면 접선의 방정식은 x¡x-y¡y=4

이 직선이 점 (2, `1)을 지나므로 2x¡-y¡=4 yy㉠

또한, 점 (x¡, y¡)은 쌍곡선 x¤ -y¤ =4 위의 점이므로 x¡¤ -y¡¤ =4 yy㉡

㉠, ㉡에서

3x¡¤ -16x¡+20=0,` (3x¡-10)(x¡-2)=0

0434

따라서 두 점 `A, `B의 좌표를 각각 (3, 3), (1, -1)이라고 하면 OA”⊥OB”

이므로

△OAB= ¥OA”¥OB”

= ¥3'2¥'2

=3 답 ③

1 2 1

2 ^x

y

O B

A

-1 1

3 3

쌍곡선 - =1에서 "√5¤ +12¤ =13이므로 초점의 좌표는 (13, 0), (-13, 0) ∴ a=13 또, 주축의 길이는

b=2_5=10

∴ a+b=13+10=23 답 23

y¤

12¤

x¤

0439

5¤

y=x-k를 2x¤ -5y¤ =10에 대입하면 2x¤ -5(x-k)¤ =10

∴ 3x¤ -10kx+5(k¤ +2)=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=25k¤ -15(k¤ +2)…0 k¤ -3…0 ∴ -'3…k…'3 따라서 M='3, m=-'3이므로

M-m='3-(-'3)=2'3 ^답 2'3

D 4

0441

쌍곡선 3x¤ -2y¤ =6, 즉 - =1에 접하고 기울 기가 2인 직선의 방정식은

y=2x—"√2¥2¤ -3

∴ `y=2x—'5 ^답 y=2x—'5

y¤

3 x¤

0440

2

쌍곡선 3x¤ -y¤ =2 위의 점 `A(1, 1)에서의 접선의 방정식은

3x-y=2

접선 `3x-y=2에 수직인 직선의 기울기는 - 이므로 기울 기가 - 이고 점 A(1, `1)을 지나는 직선의 방정식은

y-1=- (x-1) ∴ y=- x+

따라서 직선의 x절편은 4이다. 답 ⑤

4 3 1 3 1

3 1 3

1 3

0442

④ 주축의 길이는 2¥3=6이다. 답 ④

0438

이 직선이 점 P(0, `1)을 지나므로 b=-1

이때 접점 `T(a,` b)는 쌍곡선 위의 점이므로 a¤ -3b¤ =3

b=-1을 대입하면` a=—'6 따라서 두 접선의 접점은

A(-'6, -1), `B('6, -1)

이므로 △PAB의 넓이는` 1_2'6_2=2'6 ^답 2'6 2

∴ x¡= ` 또는 `x¡=2

이것을 ㉠에 대입하면 구하는 두 접점의 좌표는 { , }, `(2,` 0)

이므로 두 접점 사이의 거리는

æ≠{ -2}2 +{ }2 = ^답 4'5

3 4'5

3 8 3 10

3 8 3 10

3 10

3

쌍곡선 - =1에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y=mx—"√3m¤ -2

이 직선이 점 `P(a, b)를 지나므로

b=am—"√3m¤ -2 ∴ b-am=—"√3m¤ -2 양변을 제곱하여 정리하면

(a¤ -3)m¤ -2abm+b¤ +2=0

이 이차방정식의 두 근의 곱이 -1이므로 근과 계수의 관계에 의하여

=-1 ∴ a¤ +b¤ =1

따라서 점 `P(a, b)가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 `1인 원이므로 원의 둘레의 길이는

2p¥1=2p 답 2p

b¤ +2 a¤ -3

y¤

2 x¤

0436

3

쌍곡선 y¤ -4x¤ =4, 즉 x¤ - =-1에 접하고 기울 기가` m인 접선의 방정식은

y=mx—"√4-m¤

이 직선이 점 `(0, a)를 지나므로 a=—"√4-m¤

양변을 제곱하여 정리하면 m¤ +a¤ -4=0

이때 두 접선이 수직이므로 이 이차방정식의 두 실근의 곱이 -1이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여

=-1, a¤ =3 ∴ a='3 (∵ a>0)

답 '3 a¤ -4

1

y¤

0435

4

단계 채점요소 배점

기울기가 m인 접선의 방정식 구하기 30%

a의 값 구하기 70%

쌍곡선 -y¤ =1에서 x¤ -3y¤ =3 접점을 `T(a, `b)라고 하면 접선의 방정식은

ax-3by=3 x¤

0437

3

●본문

065~067

쪽

타원 + =1에서 `'ƒ36-9=3'3이므로 두 초점 의 좌표는

(3'3, 0), (-3'3, 0) 쌍곡선 - =1에서

주축의 길이는 `6이므로 2a=6 ∴ a=3 또, 초점의 좌표가 (3'3, 0), (-3'3, 0)이므로

27=9+b¤ ∴ b¤ =18

∴ a¤ -b¤ =9-18=-9 ^답 -9

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

9 x¤

0443

36

쌍곡선 x¤ -y¤ =1의 점근선의 방정식은 y=—x이므 로 직선 y=mx+n과 쌍곡선이` n의 값에 관계없이 항상 만 나려면` |m|<1, 즉 -1<m<1이어야 한다.

따라서 `m의 값이 될 수 있는 것은 - ,` 0, ` 이다.

답 - ,` 0, `1 2 1 2 1 2 1 2

0445

2x¤ +y¤ -1+k(x¤ +y¤ -1)=0에서 (k+2)x¤ +(k+1)y¤ -(k+1)=0

(k+2)(k+1)<0일 때, 주어진 도형은 쌍곡선이 된다.

∴ -2<k<-1 답 ③

0444

구하는 쌍곡선의 방정식을 - =1로 놓으면 점 근선의 방정식이 y=— x이므로

=2 ∴ b=2a

한편, 점 A(2, 2)가 쌍곡선 위의 점이므로 - =1

b=2a를 대입하면

- =1 ∴ a¤ =3, b¤ =12

따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 - =1이므로 주축의

길이는 2¥'3=2'3 ^답 2'3

y¤

12 x¤

3 4

4a¤

4 a¤

4 b¤

4 a¤

b a

b a

y¤

b¤

x¤

0447

a¤

구하는 쌍곡선의 방정식을 - =1 (a>0, `b>0) 로 놓으면 점근선의 방정식이 y=—3x이므로

=3 ∴ b=3a yy㉠ 또, c¤ =a¤ +b¤ 에서

a¤ +b¤ =10 yy㉡

㉠, ㉡에서 a¤ =1, b¤ =9

∴ |PF”-PF'”|=2a=2 ^답 ②

b a

y¤

b¤

x¤

0446

a¤

점 P(x, y)에서 직선 x=1에 내린 수선의 발을` H라 고 하면

PH”=|x-1|, `PA”="√(x-4)¤ +y¤

PA” : PH”=2 : 1이므로 PA”=2PH”, `즉

"√(x-4)¤ +y¤ =2|x-1|

양변을 제곱하면

(x-4)¤ +y¤ =4(x-1)¤ ∴ - =1 따라서 쌍곡선의 주축의 길이는`

2¥2=4 답 ②

y¤

12 x¤

4

0449

ㄱ. 쌍곡선 3x¤ -4y¤ =12, 즉 - =1에서 점근 선의 방정식은 y=— x

직선 `'3x-2y=0은 주어진 쌍곡선의 점근선이므로 쌍곡 선과 만나지 않는다.

ㄴ.'3x+2y-2=0, 즉 `y=- x+1을 `3x¤ -4y¤ =12에 대입하면

3x¤ -4{- x+1}2 =12, `4'3x=16

∴ x= , y=-1

이므로 쌍곡선과 직선은 한 점에서 만난다.

ㄷ. y= x- 을 `3x¤ -4y¤ =12에 대입하면 3x¤ -4{ x- }2 =12

∴ 2x¤ +2x-13=0

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 1

2 1 2 1 2 1 2

4'3 3

'3 2

'3 2 '3

2

y¤

3 x¤

0450

4

구하는 쌍곡선의 방정식을 - =-1로 놓으면 초점의 좌표가 (0, 4), (0, -4)이므로

a¤ +b¤ =4¤ yy㉠

쌍곡선 - =-1이 점 (2,` 2'6)을 지나므로

- =-1 yy㉡

㉠, ㉡에서 b¤ 을 소거하여 정리하면

a› +12a¤ -64=0, (a¤ +16)(a¤ -4)=0

∴ a¤ =4, b¤ =12 (∵ ㉠) 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은

- =-1, 즉 `-12x¤ +4y¤ =48 이므로 a=-12, b=4

∴ a+b=-8 ^답 ③

y¤

12 x¤

4 24 b¤

4 a¤

y¤

b¤

x¤

a¤

y¤

b¤

x¤

0448

a¤

쌍곡선 9x¤ -16y¤ =144, 즉 ` - =1의 점근선의 방정식은 y=— x

이 점근선이 직선 x=4와 만나는 두 점

` A, B의 좌표는 각각 `(4, 3), (4, -3)이다.

이때 두 점` A, `B는 `x축에 대하여 대 칭이고 OA”=OB”=5이므로 오른쪽 그 림에서

cos =4 답 ⑤

5 h 2

3 4

y¤

9 x¤

0456

16

B(4,`-3) A(4,`3)

x y

O 5

5 Ω

쌍곡선 - =1에서 'ƒ16+9=5이므로 두 초점 의 좌표를 `P(5, `0), Q(-5, `0)이라고 하면 주축의 길이는 2¥4=8이다.

오른쪽 그림과 같이 PR”=a,

`QR”=b라고 하면 쌍곡선의 정의에 의하여

a-b=8 ∴ `b=a-8

△PQR에서 제이 코사인법칙에 의하여

PR”¤ =PQ”¤ +QR”¤ -2PQ”¥QR”¥cos p

∴ a¤ =b¤ +10b+100 b=a-8을 대입하면

a¤ =(a-8)¤ +10(a-8)+100 6a=84

∴ PR”=a=14 ^답 14

2 3 y¤

9 x¤

0457

16

P(5,`0) Q(-5,`0)

32 π x

y

b a

O R

-4 4

쌍곡선 x¤ -2y¤ =8, 즉 - =1에 접하고 기울기 가 `m인 직선의 방정식은

y=mx—"√8m¤ -4 이 직선이 점 (0, 2)를 지나므로

2=—"√8m¤ -4 ∴ m=—1

따라서 두 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 , p이므로

|h¡-h™|= 답 p

2 p

2 3

4

p 4 y¤

4 x¤

0455

8

4x¤ -y¤ -24x+4y+28=0에서 4(x-3)¤ -(y-2)¤ =4

∴ (x-3)¤ -(y-2)¤ =1 4

0458

쌍곡선 x¤ -4y¤ =4에서 -y¤ =1이므로 점근선의 방정식은

y=— x

따라서 a의 값이 한없이 커지면 직선 `AP의 기울기는 점근선 y= x의 기울기에 한없이 가까워진다.

답 ③ 1

2 1 2

x¤

0453

4

쌍곡선 - =1에서 주축의 길이는 2¥4=8이다.

PF”-PF'”=8에서

PF”=PF'”+8=1+8=9 QF'”-QF”=8에서

QF'”=QF”+8=2+8=10 QP”=QF'”-PF'”=10-1=9 따라서 △FQP의 둘레의 길이는

QF”+PF”+PQ”=2+9+9=20 ^답 20 y¤

9 x¤

0454

16

=1+2¥13=27>0

이므로 쌍곡선과 직선은 서로 다른 두 점에서 만난다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤

D 4

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 `60˘인 직선의 기울기는 `

tan 60˘='3

쌍곡선 - =1에 접하고 기울기가'3인 직선의 방정식은 y='3x—"√4¥('3)¤ -3, 즉 y='3x—3

따라서 두 직선 y='3x+3과 y='3x-3 사이의 거리는 직 선 y='3x+3 위의 점 (0, 3)과 직선 `y='3x-3, 즉 '3x-y-3=0 사이의 거리와 같으므로 구하는 두 직선 사이 의 거리는

=3 ^답 ④

|-3-3|

'ƒ3+1 y¤

3 x¤

4

0451

쌍곡선 x¤ -2y¤ =-2 위의 점 (4,` 3)에서의 접선의 방정식은

4x-6y=-2 ∴ 2x-3y=-1

이 직선의 x절편은 - , y절편은 이므로 구하는 삼각형 의 넓이는

_ _ = 1 답 ⑤

12 1 3 1 2 1 2

1 3 1

2

0452

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