정답 과 풀이
01 이차곡선
유제
본문 5~11쪽1 ② 2 ① 3 ③ 4 9 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ②
포물선 yÛ`=6x=4_;2#;x에서 F{;2#;, 0}이고 준선은 직선 x=-;2#;이다.
점 P의 x좌표를 a라 하고 점 P에서 준선에 내린 수선의 발 을 Q, x축에 내린 수선의 발을 H라 하자.
0 1
' )
2
D Z
Y
Y
Z Y
포물선의 정의에 의하여 PQÓ=PFÓ이므로 a-{-;2#;}=6에서 a=;2(;
즉, H{;2(;, 0}이므로 FHÓ=;2(;-;2#;=3 따라서 cos`h= FHÓ
PFÓ=;6#;=;2!;
②
1
xÛ`-4x+8y-4=0에서 xÛ`-4x=-8y+4 (x-2)Û`=-8y+8 (x-2)Û`=-8(y-1)
포물선 xÛ`=-8y의 초점의 좌표는 (0, -2)이고 포물선 (x-2)Û`=-8(y-1)은 포물선 xÛ`=-8y를 x축의 방향 으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 포 물선 (x-2)Û`=-8(y-1)의 초점의 좌표는
(0+2, -2+1), 즉 (2, -1)이다.
따라서 a+b=2+(-1)=1
①
2
OFÓ`:`OAÓ=3`:`4이므로 OFÓ=3k, OAÓ=4k (k>0)이라 하자.
OFÓ Û`=OAÓ Û`-OBÓ Û`이므로 OBÓ Û` =OAÓ Û`-OFÓ Û`
=(4k)Û`-(3k)Û`=7kÛ`
ABÓ Û` =OBÓ Û`+OAÓ Û`
=7kÛ`+(4k)Û`=23kÛ`
BFÓ Û` =OBÓ Û`+OFÓ Û`
=7kÛ`+(3k)Û`=16kÛ`
따라서 ABÓ Û`
BFÓ Û`= 23kÛ`
16kÛ`=;1@6#;
③
3
타원 xÛ`
k +yÛ`
10 =1`(0<k<10)의 초점의 y좌표를 c라 하 면 c=Ñ'Ä10-k이므로 타원 xÛ`k +yÛ`
10=1의 두 초점의 좌 표는 (0, -'Ä10-k), (0, 'Ä10-k)
타원 (x+1)Û`
k + (y-2)Û`10 =1은 타원 xÛ`k+ yÛ`10=1을 x축 의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것 이므로 타원 (x+1)Û`
k + (y-2)Û`10 =1의 두 초점의 좌표는 (-1, -'Ä10-k+2), (-1, 'Ä10-k+2)
타원 (x+1)Û`
k + (y-2)Û`10 =1의 두 초점의 좌표가 (a, 0), (a, b)이고 'Ä10-k+2>0이므로 a=-1, 0=-'Ä10-k+2, b='Ä10-k+2 따라서 a=-1, k=6, b=4이므로 a+b+k=-1+4+6=9
9
4
쌍곡선 xÛ`
aÛ`- yÛ`8=1`(a>0)의 두 꼭짓점 중 x좌표가 음수 인 점을 B라 하면 A(a, 0), B(-a, 0)
0 Z
' Y
"
' #
1
Y
B
Z
5
1 ⑤ 2 ② 3 4 4 42 5 ②
Level
1 기초 연습
본문 12쪽yÛ`=12x=4_3x에서 F(3, 0), 준선의 방정식은 x=-3
0
Z Z Y
Y
Y
) '
" 1
포물선의 준선이 x축과 만나는 점을 H라 하면 두 점 H, P는 중심이 F인 원 위의 점이므로 PFÓ=HFÓ=6 yy`㉠
1
쌍곡선의 정의에 의하여
PF'Ó-PFÓ=ABÓ=2a yy`㉠
F'BÓ=AFÓ이므로
F'AÓ-AFÓ=ABÓ=2a yy`㉡
㉠, ㉡에서
lÁ-lª =(PF'Ó+F'AÓ+PAÓ)-(PAÓ+AFÓ+PFÓ)
=(PF'Ó-PFÓ)+(F'AÓ-AFÓ)
=2a+2a=4a lÁ-lª=12이므로 4a=12 따라서 a=3
②
쌍곡선 xÛ`
4- yÛ`k=1의 주축의 길이는 2_'4=4 PFÓ=a, PF'Ó=b라 하면
쌍곡선의 정의에 의하여
b-a=4 yy`㉠
삼각형 PF'F의 넓이가 6이므로
;2!;_ab=6, 즉 ab=12 yy`㉡
㉠, ㉡에서
a(a+4)=12, aÛ`+4a-12=0 (a+6)(a-2)=0이고 a>0이므로 a=2, b=6
한편, c='Ä4+k이므로 FF'Ó=2'Ä4+k
∠FPF'= p2 이므로 FF'Ó Û`=aÛ`+bÛ`에서 4(4+k)=2Û`+6Û`
따라서 k=6
③
6
쌍곡선 위의 점 A(3, 3'6 )이 한 점근선 y='3x의 위쪽에 있으므로 주어진 쌍곡선의 초점은 y축 위에 있다.
따라서 쌍곡선의 방정식은 xÛ`
aÛ`- yÛ`
bÛ`=-1`(a>0, b>0)으로 놓을 수 있다.
이 쌍곡선의 점근선의 방정식이 y=Ñ'3x이므로
;aB;='3 yy`㉠
이 쌍곡선이 점 A(3, 3'6 )을 지나므로 3Û`
aÛ`-(3'6 )Û`
bÛ` =-1 yy`㉡
㉠에서 bÛ`=3aÛ`을 ㉡에 대입하면
7
9 aÛ`- 54
3aÛ`=-1, - 9
aÛ`=-1에서 a=3, b=3'3 따라서 주어진 쌍곡선의 방정식은 xÛ`
9 - yÛ`27=-1이므로 구하는 주축의 길이는 2_3'3=6'3
④
4xÛ`+16x-yÛ`+2ky+79=0`(k>0)에서 4(x+2)Û`-(y-k)Û`=-kÛ`-63
-kÛ`-63<0이므로 이 쌍곡선의 주축은 직선 x=-2 위 에 있다.
x=-2일 때 쌍곡선이 지나는 점의 y좌표는 4(-2+2)Û`-(y-k)Û`=-kÛ`-63에서 (y-k)Û`=kÛ`+63
y=kÑ"ÃkÛ`+63
쌍곡선의 주축의 길이가 16이므로 (k+"ÃkÛ`+63)-(k-"ÃkÛ`+63)=16에서
"ÃkÛ`+63=8, kÛ`+63=64 k>0이므로 k=1
②
8
포물선 (y-2)Û`=4(x+1)은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방 향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이고, 포물선 yÛ`=4x의 초점의 좌표는 (1, 0), 준선은 직선 x=-1이므로 포물선 (y-2)Û`=4(x+1)의 초점은 F(0, 2), 준선은 직선 x=-2이다.
0 Z
Y
) "
'
#
점 A(5, 3)을 지나고 x축에 평행한 직선이 포물선 (y-2)Û`=4(x+1)의 준선인 직선 x=-2와 만나는 점을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여 BFÓ=BHÓ이므로 ABÓ+BFÓ =ABÓ+BHÓ
=AHÓ
=5-(-2)=7
②
2
점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 A라 하면 포물선의 정의에 의하여
PFÓ=PAÓ yy`㉡
㉠, ㉡에서 HFÓ=PFÓ=PAÓ이고, ∠AHF=∠HAP=;2Ò;
이므로 사각형 AHFP는 정사각형이다.
따라서 삼각형 POF는 직각삼각형이고 그 넓이는
;2!;_OFÓ_PFÓ=;2!;_3_6=9
⑤
xÛ`a+ yÛ`9=1에서
c='Ä9-a이므로 F(0, 'Ä9-a), F'(0, -'Ä9-a) 타원의 장축의 길이는 2_'9=6이므로
PFÓ+PF'Ó=6
PFÓ=2이므로 PF'Ó=6-2=4
∠FPF'=;2Ò;이므로 FF'Ó Û`=PFÓ Û`+PF'Ó Û`에서
3
cÛ`=4+aÛ`, cÛ`=25-bÛ`이므로 4+aÛ`=25-bÛ`에서 aÛ`+bÛ`=21 한편, 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'Ó-PFÓ=2_'4=4 yy`㉠
타원의 정의에 의하여
PF'Ó+PFÓ=2_'25=10 yy`㉡
㉠, ㉡에서 PF'Ó=7, PFÓ=3 따라서
aÛ`+bÛ`+PFÓ_PF'Ó =21+3_7
=42
42
4
쌍곡선 xÛ`-yÛ`
3=1의 초점 F의 x좌표를 c라 하면 c='Ä1+3=2이므로 F(2, 0)
쌍곡선 xÛ`-yÛ`
3=1의 점근선의 방정식은 y=Ñ'3x 초점 F(2, 0)에서 한 점근선 '3x-y=0까지의 거리는
|2'3-0|
"Ã('3)Û`+(-1)Û`='3
따라서 원의 반지름의 길이는 '3이므로 구하는 원의 넓이는 p_('3 )Û`=3p
②
5
(2'Ä9-a)Û`=2Û`+4Û`
4(9-a)=20이므로 a=4
4
1 18 2 ② 3 ④ 4 20 5 ④ 6 ② 7 ④ 8 24
Level
2 기본 연습
본문 13~14쪽점 P가 직선 y=2x 위의 점이므로 점 P의 좌표를 (a, 2a) 로 놓고, 포물선의 방정식을 yÛ`=4px`(p>0)이라 하면
1
타원 xÛ`
100+ yÛ`k=1`(0<k<100)의 장축의 길이는 2_'1§00=20이므로 타원의 정의에 의하여
PFÓ+PF'Ó=20 yy`㉠
6
포물선 yÛ`=4x의 초점은 F(1, 0), 준선은 직선 x=-1이 다.
두 점 P, Q의 x좌표를 각각 p, q라 하면 포물선의 정의에 의하여
PFÓ=p-(-1)=p+1, QFÓ=q-(-1)=q+1이므로 PFÓ+QFÓ =(p+1)+(q+1)
=p+q+2
PFÓ+QFÓ=11이므로 p+q+2=11에서 p+q=9 따라서 삼각형 PFQ의 무게중심의 x좌표는
p+q+1
3 = 9+13 = 103
②
2
yÛ`=8x=4_2x에서 초점은 F(2, 0)이고, 준선은 직선 x=-2이다.
두 점 A, C에서 x축에 내린 수선의 발이 각각 P(p, 0), Q(q, 0)이므로 두 점 A, C의 x좌표는 각각 p, q이다.
따라서 두 점 A, C에서 준선 x=-2까지의 거리는 각각 p+2, q+2이므로 포물선의 정의에 의하여
AFÓ=a=p+2, CFÓ=c=q+2 yy`㉠
한편, AFÓ=a, BFÓ=b, CFÓ=c에 대하여 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로
b= a+c2 yy`㉡
a+b+c=11.1에 ㉡을 대입하면
(a+c)+;2!;(a+c)=;2#;(a+c)=11.1에서
a+c=7.4 yy`㉢
㉠, ㉢에서
a+c=p+q+4=7.4이므로 p+q=3.4
④
3
AFÓ=p, BFÓ=q, BF'Ó=r라 하자.
AF'Ó=6이므로 타원의 정의에 의하여
6+p=q+r yy`㉠
AFÓ
BF'Ó=;1¤1;에서 ;rP;=;1¤1;이므로 r=:Á6Á:p yy`㉡
ABÓ
BF'Ó=;1!1);에서 p+q
r =;1!1);이므로
p+q=;1!1);r yy`㉢
㉡을 ㉢에 대입하면
p+q=;1!1);_:Á6Á:p에서 q=;3@;p yy`㉣
㉡, ㉣을 ㉠에 대입하면 6+p=;3@;p+:Á6Á:p에서 p=4 따라서 삼각형 AF'B의 둘레의 길이는
(AF'Ó+AFÓ)+(BFÓ+BF'Ó) =(6+p)+(q+r)
=2(6+p)
=2(6+4)=20
20
4
25xÛ`+ yÛ`12=1의 장축의 길이는 2_'25=10, c='Ä25-12='13이므로 F('13, 0), F'(-'13, 0) PFÓ=a, PF'Ó=b라 하면
타원의 정의에 의하여 a+b=10 yy`㉠
∠F'PF=;2Ò;이므로 F'FÓ Û`=aÛ`+bÛ`에서 (2'13)Û`=aÛ`+bÛ`, aÛ`+bÛ`=52 yy`㉡
㉠에서 b=10-a를 ㉡에 대입하면 aÛ`+(10-a)Û`=52
aÛ`-10a+24=0 (a-4)(a-6)=0 a<b이므로 a=4, b=6 따라서 tan`h=;bA;=;6$;=;3@;
④
5
점 P(a, 2a)는 포물선 yÛ`=4px 위의 점이므로 (2a)Û`=4pa, 즉 a=p에서 점 P의 좌표는 (p, 2p)이다.
한편, 포물선의 준선은 직선 x=-p이므로 PHÓ=6에서 p-(-p)=6, 즉 p=3 따라서 P(3, 6)이므로 삼각형 HOP의 넓이는
;2!;_6_6=18
18
쌍곡선의 정의에 의하여 PF'Ó-PFÓ=QFÓ-QF'Ó (PQÓ+QF'Ó)-PFÓ=QFÓ-QF'Ó
PQÓ=9이므로 9+QF'Ó-PFÓ=QFÓ-QF'Ó 9+2 QF'Ó=PFÓ+QFÓ yy`㉠
조건으로부터 QFÓ-PFÓ=6이므로 PFÓ=QFÓ-6을 ㉠에 대입하면 9+2 QF'Ó=(QFÓ-6)+QFÓ QFÓ-QF'Ó=:Á2°:
따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 :Á2°:이다.
④
7
쌍곡선 xÛ`
4 - yÛ`12=1의 주축의 길이는 2_'4=4, c='Ä4+12=4이므로 F(4, 0), F'(-4, 0)
직선 PC는 ∠F'PF의 이등분선이므로 점 (1, 0)을 Q라 하 면
PF'Ó`:`PFÓ=F'QÓ`:`QFÓ PF'Ó`:`PFÓ=5`:`3 yy`㉠
쌍곡선의 정의에 의하여 PF'Ó-PFÓ=4이므로 PF'Ó=PFÓ+4를 ㉠에 대입하면
(PFÓ+4)`:`PFÓ=5`:`3 3(PFÓ+4)=5 PFÓ에서 PFÓ=6
따라서 PF'Ó=6+4=10, FF'Ó=8이므로 삼각형 PF'F의 둘레의 길이는 6+10+8=24
24
8
1 ① 2 12 3 ④
Level
3 실력 완성
본문 15쪽포물선 yÛ`=4px의 초점은 F(p, 0)이고 준선은 직선 x=-p이다.
포물선의 정의에 의하여 점 A에서 준선까지의 거리와 초점 까지의 거리가 같고 AFÓ=10, ACÓ=8이므로
8+p=10에서 p=2
초점 F(2, 0)에서 직선 AC에 내린 수선의 발을 P라 하면
' Z QY 0
% #
"
$ Z
Y 1
APÓ=6, PFÓ="Ã10Û`-6Û`=8이므로
초점 F(2, 0)을 지나는 직선 AB의 기울기는 ;6*;=;3$;
따라서 직선 AB의 방정식은 y=;3$;(x-2)
yÛ`=8x와 y=;3$;(x-2)를 연립하여 풀면 :Á9¤:(x-2)Û`=8x, 2xÛ`-17x+8=0 (x-8)(2x-1)=0에서 x=8 또는 x=;2!;
따라서 점 B의 x좌표가 ;2!;이므로 yÛ`=8x에 대입하면 yÛ`=8_;2!;에서 y=Ñ2
그러므로 점 B의 좌표는 B{;2!;, -2}이고, D(0, -2)이므 로 DBÓ=;2!;, CDÓ=8+2=10
따라서 사다리꼴 CDBA의 넓이는
;2!;_{8+;2!;}_10=:¥2°:
①
포물선 yÛ`=4px의 초점은 F(p, 0)이고 준선은 직선 x=-p이다.
1
0 Z
Y
M
' '
) 1
Y L Z
OFÓ=OF'Ó이므로 직선 l은 포물선의 준선이다.
포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ=9 yy`㉡
㉠, ㉡에서 PF'Ó=11
따라서 HF'Ó="Ã11Û`-9Û`=2'10이므로 삼각형 PHF'의 넓이는
;2!;_9_2'10=9'10
②
BFÓ=a, BF'Ó=b라 하자.
타원의 장축의 길이는 2_'16=8이므로 타원의 정의에 의하여
a+b=8에서 b=8-a yy`㉠
2
쌍곡선 xÛ`
8- yÛ`4=1의 두 초점 중 x좌표가 음수인 점을 F' 이라 하자.
0 1
1
Z
' Y '
"
Y Z
쌍곡선 xÛ`
8 - yÛ`4=1의 주축의 길이는 2_'8=4'2
초점 F의 x좌표를 c라 하면 c='Ä8+4=2'3이므로 F(2'3, 0), F'(-2'3, 0)
쌍곡선의 정의에 의하여 PFÓ-PF'Ó=4'2이므로 선분 AF'이 쌍곡선과 만나는 점을 P'이라 하면 APÓ+PFÓ =APÓ+(PF'Ó+4'2 )
=(APÓ+PF'Ó)+4'2
¾(AP'Ó+P'F'Ó)+4'2
=AF'Ó+4'2
="Ã(2'3 )Û`+(2'5 )Û`+4'2
=4'2+4'2=8'2
따라서 APÓ+PFÓ의 최솟값은 8'2이다.
④
3
OFÓ=OF'Ó=c이고 사각형 AF'FB의 둘레의 길이가 14이 므로
2a+4c=14에서 2c=7-a yy`㉡
직각삼각형 BF'F에서 bÛ`=aÛ`+(2c)Û` yy`㉢
㉠, ㉡을 ㉢에 대입하면 (8-a)Û`=aÛ`+(7-a)Û`
aÛ`+2a-15=0 (a+5)(a-3)=0 a>0이므로 a=3 a=3을 ㉡에 대입하면 c=2 따라서 사각형 AF'FB의 넓이는 2c_a=(2_2)_3=12
12 포물선의 정의에 의하여 점 A에서 준선까지의 거리와 초점
까지의 거리가 같고 AFÓ=10, ACÓ=8이므로 8+p=10에서 p=2
초점 F(2, 0)에서 직선 AC에 내린 수선의 발을 P, 점 B에 서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하자.
' Z QY 0 2
% #
"
$ Z
Y 1
ACÓ=8, CPÓ=2이므로 APÓ=6이고 PFÓ="Ã10Û`-6Û`=8
따라서 사다리꼴 COFA의 넓이는
;2!;_(8+2)_8=40 yy ㉠
삼각형 PFA와 삼각형 QBF는 닮은 도형이므로 PFÓ`:`FAÓ`:`APÓ=QBÓ`:`BFÓ`:`FQÓ
PFÓ=8, FAÓ=10, APÓ=6이므로 QBÓ`:`BFÓ`:`FQÓ=8`:`10`:`6=4`:`5`:`3 QBÓ=4k, BFÓ=5k, FQÓ=3k (k>0)이라 하면 DBÓ=OQÓ=OFÓ-QFÓ=2-3k이므로
점 B에서 준선까지의 거리는 (2-3k)+2=4-3k 포물선의 정의에 의하여
BFÓ=4-3k, 즉 5k=4-3k에서 k=;2!;
따라서 ODÓ=QBÓ=4k=4_;2!;=2,
DBÓ=2-3k=2-3_;2!;=;2!;, OFÓ=2이므로 사다리꼴 ODBF의 넓이는
;2!;_{2+;2!;}_2=;2%; yy ㉡
㉠, ㉡에 의하여 사다리꼴 CDBA의 넓이는 40+;2%;=;;¥2°;;
평면 곡선의 접선
02
유제
본문 19~23쪽1 ⑤ 2 ③ 3 ① 4 24 5 ② 6 ②
음함수 xÛ`+yÛ`-xy=3의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+2y dydx-y-x dydx=0
(x-2y) dydx=2x-y dy
dx= 2x-yx-2y (단, x-2y+0) 따라서 a=2
⑤
1
곡선 eÅ`+e-y=e+;3!;이 점 (1, k)를 지나므로 e+e-k=e+;3!;에서
e-k=;3!;, 즉 ek=3이므로 k=ln`3
eÅ`+e-y=e+;3!;의 양변을 x에 대하여 미분하면 eÅ`-e-ydy
dx=0 dy
dx= ex
e-y=exey yy`㉠
곡선 eÅ`+e-y=e+;3!; 위의 점 (1, ln`3)에서의 접선의 기 울기 m은 ㉠에 x=1, y=ln`3을 대입한 값과 같으므로 m=e_eln`3=e_3ln`e=3e
따라서 mk=3e`ln`3
③
2
xÛ`y+xyÛ`=6의 양변을 x에 대하여 미분하면 2xy+xÛ` dydx+yÛ`+2xy dydx=0
3
(xÛ`+2xy) dydx=-yÛ`-2xy dy
dx=- yÛ`+2xy
xÛ`+2xy (단, xÛ`+2xy+0) yy`㉠
곡선 xÛ`y+xyÛ`=6 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는
㉠에 x=1, y=2를 대입한 값과 같으므로 - 2Û`+2_1_2
1Û`+2_1_2=-;5*;
점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 y-2=-;5*;(x-1), y=-;5*;x+;;Á5¥;;
따라서 구하는 접선의 y절편은 ;;Á5¥;;이다.
①
xÛ`8 + yÛ`2=1의 양변을 x에 대하여 미분하면
2x8 + 2y2 ` dydx=0, dydx=- x4y (단, y+0) yy`㉠
타원 xÛ`
8 + yÛ`2=1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는
㉠에 x=2, y=1을 대입한 값과 같으므로
- 24_1=-;2!; yy`㉡
yÛ`=12x의 양변을 x에 대하여 미분하면
2y dydx=12, dydx=;]^; (단, y+0) yy`㉢
포물선 yÛ`=12x 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기는
㉢에 y=b를 대입한 값과 같으므로
;b^; yy`㉣
두 접선이 서로 평행하므로 ㉡, ㉣에서 -;2!;=;b^;, b=-12
점 P(a, b)가 포물선 yÛ`=12x 위의 점이므로 bÛ`=12a
b=-12이므로 a=12
따라서 a-b=12-(-12)=24
24
4
x=e^` cos`t, y=e^` sin`t에서
dxdt=e^` cos`t-e^` sin`t, dydt=e^` sin`t+e^` cos`t
5
dy dx=
dydt dxdt
= e^` sin`t+e^` cos`t e^` cos`t-e^` sin`t
= sin`t+cos`tcos`t-sin`t yy`㉠
t=;2Ò;에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는 ㉠에 t=;2Ò;를 대입한 값과 같으므로
1+00-1=-1
②
x=tÛ`-t, y=tÛ`+2t에서 dxdt=2t-1, dydt=2t+2
dy dx=
dydt dxdt
= 2t+22t-1 yy`㉠
t=2에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는 ㉠에 t=2를 대 입한 값과 같으므로
2_2+2 2_2-1=2
또 곡선 x=tÛ`-t, y=tÛ`+2t 위의 t=2에 대응하는 점은 (2, 8)이므로 점 (2, 8)에서의 접선의 방정식은
y-8=2(x-2), y=2x+4
직선 y=2x+4의 x절편은 -2, y절편은 4이므로 구하는 삼각형의 넓이는
;2!;_2_4=4
②
6
1 ② 2 ③ 3 8 4 ④ 5 ②
Level
1 기초 연습
본문 24쪽2xy+ 2xy =5의 양변을 x에 대하여 미분하면
1
yÛ`=8x의 양변을 x에 대하여 미분하면
2y dydx=8에서 dydx=;]$; (단, y+0) yy`㉠
포물선 yÛ`=8x 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 기울기는 ㉠에 y=4를 대입한 값과 같으므로 ;4$;=1 yy`㉡
한편, 쌍곡선 xÛ`
aÛ`- yÛ`
bÛ`=1의 점근선의 방정식은
y=Ñ;aB;x yy`㉢
포물선의 접선과 쌍곡선의 한 점근선이 서로 수직이므로
㉡, ㉢에서
1_;aB;=-1 또는 1_{-;aB;}=-1 a>0, b>0이므로
;aB;=1
③
2
yÛ`+axy-2x+b=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 2ydy
dx +ay+axdy dx -2=0 (ax+2y)dy
dx =2-ay dy
dx = 2-ay
ax+2y (단, ax+2y+0) 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기가 3이므로
3
2y+2x dydx+;]@;- 2xyÛ` ` dydx=0 {2x- 2xyÛ` }
dy
dx=-2y-;]@;
2x(yÛ`-1)
yÛ` ` dydx=- 2(yÛ`+1)y dy
dx=- y(yÛ`+1)
x(yÛ`-1) (단, x(yÛ`-1)+0) yy`㉠
따라서 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 ㉠에 x=1, y=2 를 대입한 값과 같으므로
- 2_(2Û`+1)
1_(2Û`-1)=-:Á3¼:
②
두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)가 포물선 yÛ`=6x 위에 있으므 로 yÁÛ`=6xÁ, yªÛ`=6xª
yÁ>0, yª>0이므로 yÁ='¶6xÁ, yª='¶6xª
xÁ, xª가 이차방정식 xÛ`-8x+4=0의 서로 다른 두 근이 므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
xÁ+xª=8, xÁxª=4
yÛ`=6x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y dydx=6에서 dydx=;]#; (y+0)이므로 mÁ= 3yÁ , mª= 3yª
2
2-2a
a+4 =3, 즉 5a=-10에서 a=-2
또한 점 (1, 2)는 곡선 yÛ`-2xy-2x+b=0 위의 점이므로 4-4-2+b=0에서
b=2
따라서 aÛ`+bÛ`=(-2)Û`+2Û`=8
8
x=2t+cos`t, y=2`sin`t에서 dxdt=2-sin`t, dydt=2`cos`t이므로
dy dx=
dydt dxdt
= 2`cos`t2-sin`t
따라서 t=;6Ò;일 때 dy dx 의 값은 2`cos`;6Ò;
2-sin`;6Ò;=2_ '3 2 2-;2!; =2'3
3
④
4
x=e^`, y=t-2`ln`t에서 dxdt=e^`, dydt=1- 2t
dy dx=
dydt dxdt
=1-;;t@;
e^` yy`㉠
t=1에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는 ㉠에 t=1을 대 입한 값과 같으므로
1-;1@;
e =-;e!;
또 곡선 x=e^`, y=t-2`ln`t의 t=1에 대응하는 점의 좌표 는 (e, 1)이므로 점 (e, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=-;e!;(x-e), y=-;e!;x+2
따라서 구하는 접선의 y절편은 2이다.
②
5
1 ⑤ 2 11 3 ③ 4 ⑤
Level
2 기본 연습
본문 25쪽xÛ`-yÜ`=k의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-3yÛ` dydx=0에서 dydx= 2x
3yÛ` (y+0)이므로 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기는 2a
3bÛ`
xy=2의 양변을 x에 대하여 미분하면 y+x dy
dx=0에서 dydx=-;[}; (x+0)이므로 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기는 -;aB;
점 P(a, b)에서의 두 접선이 서로 수직이므로 2a
3bÛ`_{-;aB;}=-1에서 b=;3@; yy`㉠
한편, 두 곡선 xÛ`-yÜ`=k와 xy=2가 점 P(a, b)를 지나므로 aÛ`-bÜ`=k yy`㉡
ab=2 yy`㉢
㉠을 ㉢에 대입하면 a=3 a=3, b=;3@;를 ㉡에 대입하면 3Û`-{;3@;}Ü`=k에서
k=:ª2£7°:
⑤
1
xÛ`2-yÛ`=1의 양변을 x에 대하여 미분하면
2x2 -2y dydx=0에서 dydx= x2y (y+0)이므로 쌍곡선 xÛ`2-yÛ`=1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는 2_12 =1
점 (2, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=x-2, y=x-1
타원 xÛ`
aÛ`+ yÛ`
bÛ`=1 (a>b>0)의 초점은 x축 위에, 꼭짓점 은 x축과 y축 위에 있고, 직선 y=x-1이 x축, y축과 만나 는 점의 좌표는 각각 (1, 0), (0, -1)이므로 타원의 한 초 점의 좌표는 (1, 0)이고 한 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)이다.
점 (1, 0)이 타원 xÛ`
aÛ`+ yÛ`
bÛ`=1`(a>b>0)의 초점이므로 aÛ`-bÛ`=1 yy`㉠
점 (0, -1)이 타원 xÛ`
aÛ`+ yÛ`
bÛ`=1의 꼭짓점이므로 bÛ`=1
bÛ`=1을 ㉠에 대입하면 aÛ`=2 따라서 aÛ`+bÛ`=2+1=3
③
3
x=h-sin`h, y=1-cos`h에서 dxdh=1-cos`h, dydh=sin`h이므로
4
(mÁ+mª)Û`={ 3yÁ + 3 yª }Û`
= 9yÁÛ`+ 9
yªÛ`+ 18yÁyª
= 96xÁ+ 96xª+ 18 '¶6xÁ '¶6xª
=;2#;_xÁ+xª xÁxª + 3
'¶xÁxª
=;2#;_;4*;+ 3'4
=3+;2#;=;2(;
따라서 p=2, q=9이므로 p+q=2+9=11
11
1 ④ 2 8 3 16 4 ⑤
Level
3 실력 완성
본문 26쪽타원 xÛ`
16+ yÛ`12=1의 초점 F의 x좌표를 c`(c>0)이라 하 면 cÛ`=16-12에서 c=2이므로 F(2, 0), F'(-2, 0) 타원의 정의에 의하여 FÕ'PÓ+PFÓ=2'16=8
PQÓ=PFÓ이므로 FÕ'PÓ+PQÓ=8, 즉 FÕ'QÓ=8
따라서 도형 C는 중심이 F'(-2, 0)이고 반지름의 길이가 8인 원이다.
한편, xÛ`
16+ yÛ`12=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x16+ 2y12` dydx=0에서 dydx=- 3x4y`(y+0)
이므로 타원 위의 점 A(-2, 3)에서의 접선의 방정식은 y-3=- 3_(-2)4_3 (x+2)에서 x-2y+8=0
원 C의 중심 F'(-2, 0)에서 직선 x-2y+8=0에 내린 수선의 발을 H라 하면
F'HÓ= |(-2)-2_0+8|
"Ã1Û`+(-2)Û` = 6 '5
1
dy dx=
dydh dxdh
= sin`h1-cos`h
점 P(a, b)가 h=a에 대응되는 점이라 할 때 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기가 '3이므로
sin`a 1-cos`a ='3 sin`a='3(1-cos`a) sinÛ``a=3(1-cos`a)Û`
1-cosÛ``a=3-6`cos`a+3`cosÛ``a 2`cosÛ``a-3`cos`a+1=0 (2`cos`a-1)(cos`a-1)=0 0<a<p일 때 -1<cos`a<1이므로 cos`a=;2!;
따라서 b=1-cos`a=1-;2!;=;2!;
⑤
yÛ`=8x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y dydx=8에서 dydx=;]$; (단, y+0)
따라서 포물선 yÛ`=8x 위의 점 (xÇ, yÇ)에서의 접선의 방정 식은
y-yÇ= 4
yÇ(x-xÇ) (단, yÇ+0) 이 접선의 y절편이 yn+1이므로 yn+1-yn= 4
yÇ(0-xÇ) yn+1-yÇ=-4xÇ
yÇ yÇÛ`=8xÇ에서 xÇ=ynÛ`
8 이므로
yn+1-yÇ=-4_yÇÛ`
yÇ8
yn+1=yÇ-;2!;yÇ yn+1=;2!;yÇ
따라서 수열 {yÇ}은 yÁ=4이고 공비가 ;2!;인 등비수열이므로
;N'+! yÇ= 4 1-;2!;=8
8
2
4xÛ`3 - yÛ`3=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 8x3 - 2y3 ` dydx=0에서 dydx= 4xy `(y+0)
이므로 쌍곡선 위의 점 A(1, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=4(x-1)에서 y=4x-3
직선 y=4x-3이 y축과 만나는 점이 B이므로 B(0, -3) 한편, 포물선 C의 준선을 l이라 하고 포물선 C 위의 두 점
3
이고, F'MÓ=F'NÓ=8이므로 MNÓ=2MHÓ=2¿µF'MÓ Û`-F'HÓ Û`
=2¾¨8Û`-{ 6'5 }Û`= 4'§71 '5 따라서 삼각형 F'MN의 넓이는
;2!;_4'§71 '5 _ 6
'5=12'§71 5
④
A, B에서 준선 l에 내린 수선의 발을 각각 HÁ, Hª라 하면 MZ ZY
Y
$
L 0 ' )
)m Y Z
"
#
포물선의 정의에 의하여 FAÓ=AHÁÓ, FBÓ=BHªÓ이므로
FAÓ+FBÓ=AHÁÓ+BHªÓ yy`㉠
이때 초점 F는 선분 AB 위에 있으므로
FAÓ+FBÓ=ABÓ="Ã1Û`+(1+3)Û`='¶17 yy`㉡
이고, 준선 l의 방정식이 x=k`(k<0)이므로 AHÁÓ+BHªÓ=(1-k)+(-k)=1-2k yy`㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 '¶17=1-2k이므로 k=;2!;- '§17
2
따라서 a=;2!;, b=-;2!;이므로 1
aÛ`bÛ`=16
16
x=2+cosÛ``h, y=cos`h-8`sin`h에서 dxdh=2(cos`h)(-sin`h)=-2`sin`h`cos`h, dy
dh=-sin`h-8`cos`h이므로 dydx=
dhdy dxdh
= -sin`h-8`cos`h-2`sin`h`cos`h
= sin`h+8`cos`h2`sin`h`cos`h =;2!; { 1 cos`h + 8
sin`h } f(h)=;2!; { 1cos`h + 8
sin`h }이라 하면 f '(h)
=;2!; { sin`hcosÛ``h+ -8`cos`h sinÛ``h }
=;2!;_ sinÜ``h-8`cosÜ``hcosÛ``h`sinÛ``h
=;2!;_(sin`h-2`cos`h)(sinÛ``h+2`sin`h`cos`h+4`cosÛ``h) cosÛ``h`sinÛ``h
4
0<h<;2Ò;일 때, 0<sin`h<1, 0<cos`h<1이므로 f '(h)=0에서 sin`h=2`cos`h
방정식 sin`h=2`cos`h의 해를 h=a {0<a<;2Ò;}라 하면 sin`a=2`cos`a에서
sinÛ``a=4`cosÛ``a, sinÛ``a=4(1-sinÛ``a) 5`sinÛ``a=4이므로
sin`a=2'5
5 , cos`a='5 5
0<h<;2Ò;에서 함수 f(h)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
h (0) y a y {;2Ò;}
f '(h) - 0 +
f(h) ↘ 극소 ↗
따라서 0<h<;2Ò;에서 함수 f(h)는 h=a일 때 극소이면서 최소이므로 주어진 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기 dy dx 의 최솟값은
f(a)=;2!;_» 1 '55
+ 82'5 5 ¼
=5'5 2
⑤
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벡터의 연산
03
유제
본문 29~33쪽1 ① 2 ③ 3 ① 4 4 5 ③ 6 ④
점 M은 선분 BC의 중점이므로 정삼각형 ABC의 무게중 심 G는 선분 AM 위에 있다.
MGÓ=;3!; AMÓ=;3!;_ '3 2 _6='3 MÕG³=BP³이고 MGÓ⊥BCÓ이므로
|BP³|=|MÕG³|=MGÓ='3, BPÓ⊥BCÓ 직각삼각형 PBC에서
|CP³|=CPÓ=¿¹ BPÓ Û`+BCÓ Û`
="Ã('3 )Û`+6Û`='¶39
①
1
두 삼각형 AHD와 ABC는 서로 닮음이므로 AHÓ`:`ABÓ=ADÓ`:`ACÓ
즉, AHÓ`:`5=2`:`5이므로 AHÓ=2 HBÓ=5-AHÓ=3
)
%
#
$
"
|CH³|=CHÓ=2'3이므로 직각삼각형 CHB에서
BCÓ=¿¹ CHÓ Û`-HBÓ Û`="Ã(2'3 )Û`-3Û`='3 직각삼각형 ABC에서
ACÓ=¿¹ ABÓ Û`+BCÓ Û`="Ã5Û`+('3 )Û`=2'7 따라서 |AC³|=ACÓ=2'7
③
2
|AD³+OC³|=1에서
3
마름모 ABCD의 넓이가 2'3이므로 2_{;2!;_ADÓ_ABÓ`sin`;3Ò;}=2'3 따라서 ADÓ=ABÓ=2
|DÕA³+DB³-CD³| =|DÕA³+DB³+DC³|
=|(DÕA³+DC³)+DB³|
=|DB³+DB³|=2|DB³|
삼각형 ABD는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로
|DÕA³+DB³-CD³| =2|DB³|=2_DBÓ
=2_2=4
4
4
m(2aø-bø)=(3+n)aø+2nbø에서 2maø-mbø=(3+n)aø+2nbø
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않으므로 2m=3+n, -m=2n
n=2m-3이므로 -m=2(2m-3), 5m=6 따라서 m=;5^;, n=-;5#;이므로 m+n=;5^;+{-;5#;}=;5#;
③
5
AB³=OB³-OA³=3aø+4bø-aø=2aø+4bø AC³=OC³-OA³=2aø+kbø-aø=aø+kbø
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 AC³=tAB³를 만 족시키는 0이 아닌 실수 t가 존재한다.
6
|AD³+OC³| =|OD³-OA³+OC³|
=|OD³+OB³+OC³|
=|OD³+(OB³+OC³)|
두 삼각형 COD, DOB는 모두 정삼각형이므로 사각형 COBD는 평행사변형이다.
OB³+OC³=OD³이므로
|AD³+OC³|=|OD³+OD³|=2|OD³|=1
따라서 반원의 반지름의 길이가 ;2!;이므로 구하는 넓이는
;2!;_p_{;2!;}Û`=;8Ò;
①
aø+kbø=t(2aø+4bø)=2taø+4tbø에서 두 벡터 aø, bø는 영벡 터가 아니고 서로 평행하지 않으므로
2t=1, 4t=k 따라서 t=;2!;, k=2
④
1 ② 2 ⑤ 3 ④ 4 ③ 5 5
Level
1 기초 연습
본문 34쪽삼각형 ABC의 넓이가 3'2이므로
;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`;4Ò;=3'2에서
;2!;_|AB³|_|BC³|_sin`;4Ò;=3'2
;2!;_4_|BC³|_ '2 2 =3'2 따라서 |BC³|=3
②
1
두 점 M, N이 각각 두 선분 AD, BC의 중점이므로 BN³=AÕM³에서
BN³-CÕM³=AÕM³-CÕM³=AÕM³+MÕC³=AC³ 따라서
|BN³-CÕM³|=|AC³|=ACÓ
=¿¹ ABÓ Û`+BCÓ Û`='13
⑤
2
# B 1
"
$
%
그림과 같이 정사각형 ABCD에서 점 P는 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점이므로
PB³=2AP³
3
|2PA³+PB³+PC³| =|2PA³+2AP³+PC³|
=|0ø+PC³|=|PC³|
='13
정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면
|PC³|=PCÓ=¾Ð{;3@;a}Û`+aÛ`= '13 3 a 이때 '13
3 a='13이므로 a=3 따라서 |AB³|=ABÓ=a=3
④
w
0 " $ )
# %
그림과 같이 OC³=2OA³인 점 C에 대하여 OC³=BD³인 점 D를 잡으면
OP³=2 OA³+OB³=OC³+OB³=OD³
점 D에서 선분 OC의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 DCÓ=2,∠DCH=;3Ò;이므로
CHÓ=2`cos`;3Ò;=1, DHÓ=2`sin`;3Ò;='3 직각삼각형 DOH에서
ODÓ=¿¹ OHÓ Û`+DHÓ Û`="Ã5Û`+('3 )Û`=2'7 따라서 |OP³|=|OD³|=ODÓ=2'7
③
4
AC³ =AF³+FC³=AF³+2AB³=bø+2aø 두 선분 AD와 FC가 만나는 점을 O라 하면 AD³ =2AO³=2(AB³+AF³)
=2(aø+bø)=2aø+2bø
3AC³-AD³ =3(bø+2aø)-(2aø+2bø)
=3bø+6aø-2aø-2bø
=4aø+bø=maø+nbø
영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않으므로 m=4, n=1
따라서 m+n=4+1=5
5
5
1 ③ 2 ⑤ 3 ② 4 ③
Level
2 기본 연습
본문 35쪽PA³=-2AB³에서 AP³=2AB³이므로 두 벡터 AP³, AB³는 서로 같은 방향이고
|AP³|=2|AB³|=2_2=4
따라서 점 P는 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점이다.
BQ³=;2!; CQ³에서 BQ³=;2!;(BQ³-BC³)
;2!; BQ³=-;2!; BC³, BQ³=-BC³이므로 두 벡터 BQ³, BC³는 서로 반대 방향이고, |BQ³|=|-BC³|=|BC³|=2이다.
따라서 점 Q는 선분 BC를 1`:`2로 외분하는 점이다.
$
2
" # 1
이때 사각형 AQPC는 직사각형이므로 구하는 사각형 AQPC의 넓이는
ACÓ_AQÓ=ACÓ_APÓcos`;6Ò;
=2_4_ '3 2 =4'3
③
1
PA³+PB³=PD³-PC³=CD³ CD³=BÕA³이므로
PA³+PB³=BÕA³=PA³-PB³ 2PB³=0ø
즉, PB³=0ø이므로 점 P는 점 B와 일치한다.
ABÓ=3a라 하면 ADÓ=4a
직사각형 ABCD의 넓이가 24이므로 3a_4a=24, 12aÛ`=24, a='2 따라서
|PC³-DC³| =|PC³+CD³|=|PD³|
=|BD³|=BDÓ
="Ã(3'2 )Û`+(4'2 )Û`=5'2
⑤
2
)
" 0 ' 1
Z Z Y
Y
yÛ`=8x=4_2x에서 초점의 좌표는 F(2, 0)이고 준선의 방정식은 x=-2이다.
점 P에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 H라 하자.
점 P의 x좌표를 a라 하면 P(a, '8a)
|PA³|=PAÓ=7이고 A(-2, 0)이므로 직각삼각형 PHA 에서
PHÓ Û`+HAÓ Û`=PAÓ Û`, (a+2)Û`+('8a)Û`=7Û`
aÛ`+12a-45=0, (a+15)(a-3)=0 a>0이므로 a=3
즉, P(3, 2'6 ) 따라서
|PA³-2FO³| =|PA³+2OF³|
=|PA³+2AO³|
=|PA³+AF³|
=|PF³|=PFÓ
=PHÓ=3+2=5
②
3
(3t-2)DÕA³+tDB³=(3t-2)DC³+tDP³에서 (3t-2)(DÕA³-DC³)=t(DP³-DB³) (3t-2)CA³=tBP³
BP³= 3t-2t CA³={3- 2t }CA³ 직각삼각형 ABC에서
CAÓ=¿¹ ABÓ Û`+BCÓ Û`
="Ã4Û`+(2'5 )Û`
='36=6
2ÉtÉ4에서 2É3- 2t É;2%;
|BP³|={3- 2t }|CA³|
={3- 2t } CAÓ
=6_{3- 2t }
4
1 ③ 2 ④ 3 ④
Level
3 실력 완성
본문 36쪽원 C는 중심의 좌표가 (2, 2)이고 반지름의 길이가 2인 원 이므로
C`:`(x-2)Û`+(y-2)Û`=4
실수 k에 대하여 |OÕPk³+OÕQk³|=0이 되도록 하는 원 C 위 의 한 점을 Pk, 직선 y=k 위의 한 점을 Qk라 하자.
|OÕPk³+OÕQk³|=0이므로 OÕPk³+OÕQk³=0ø OÕQk³=-OÕPk³
따라서 직선 y=k 위의 점 Qk는 점 Pk를 원점에 대하여 대 칭이동시킨 점이므로 원 C를 원점에 대하여 대칭이동시킨 원 C'`:`(x+2)Û`+(y+2)Û`=4 위의 점이어야 한다.
즉, 점 Qk는 원 C'과 직선 y=k가 만나는 점이므로 점 Qk
가 존재하도록 하는 실수 k의 값의 범위는 -4ÉkÉ0이다.
따라서 구하는 정수 k는 -4, -3, -2, -1, 0으로 5개 이다.
0
Z
ZL Y
$
$
③
1
점 B의 좌표를 (6, 0)이라 하면 OB³=2OA³
OP³=BX³인 점 X는 원 (x-1)Û`+(y-1)Û`=2를 x축의 방향으로 6만큼 평행이동한 원 C`:`(x-7)Û`+(y-1)Û`=2 위의 점이다.
원 C의 중심을 C라 하면 점 C의 좌표는 C(7, 1)이다.
$
0
. #
"
9
$ /
Z
Y
3
DÕA³=aø, DC³=bø라 하면 5AE³=2AC³, AE³=;5@; AC³에서 DE³=DÕA³+AE³
=DÕA³+;5@; AC³
=DÕA³+;5@;(DC³-DÕA³)
=aø+;5@;(bø-aø)
=;5#;aø+;5@;bø yy`㉠
5AF³=2AB³, AF³=;5@; AB³에서 DF³=DÕA³+AF³
=DÕA³+;5@; AB³
=DÕA³+;5@; DC³
=aø+;5@;bø 따라서
DG³=sDF³+(1-s)DC³
=s{aø+;5@;bø`}+(1-s)bø
=saø+{1-;5#;s}bø yy`㉡
서로 다른 세 점 D, E, G가 한 직선 위에 있으므로 DG³=kDE³인 0이 아닌 실수 k가 존재한다.
㉠, ㉡에서 ;5#;k=s, ;5@;k=1-;5#;s이므로
;3@;s=1-;5#;s, ;1!5(;s=1 따라서 s=;1!9%;
④
# $
"
'
( &
B° %
C°
2
6_2É|BP³|É6_;2%;이므로 |BP³|의 최댓값은 t=4일 때 15, 최솟값은 t=2일 때 12이다.
따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 15+12=27
③
OP³+2OÕA³ =OP³+OB³
=OB³+OP³
=OB³+BX³=OX³
이므로 직선 OC가 원 C와 만나는 두 점을 점 O에 가까운 점부터 차례로 M, N이라 하면 점 X가 점 N에 있을 때
|OX³|의 값이 최대이고 최댓값은 OCÓ+CNÓ ="Ã7Û`+1Û`+'2
=5'2+'2=6'2
점 X가 점 M에 있을 때 |OX³|의 값이 최소이고 최솟값은 OCÓ-CMÓ ="Ã7Û`+1Û`-'2
=5'2-'2=4'2
따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 곱은 6'2_4'2=48
④
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기출의 미래
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평면벡터의 성분과 내적
04
유제
본문 39~45쪽1 ③ 2 24 3 ⑤ 4 ③ 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 12
5BP³+3 CP³=0ø에서 5BP³=-3 CP³=3 PC³ 즉, BPÓ`:`PCÓ=3`:`5
점 P는 선분 BC를 3`:`5로 내분하는 점이므로 AP³= 3AC³+5AB³3+5
=;8%; AB³+;8#; AC³ 따라서 a=;8%;, b=;8#;이므로 a-b=;8%;-;8#;=;4!;
③
1
점 G가 삼각형 ABC의 무게중심이므로 GAÓ`:`GQÓ=2`:`1
또한 GA³는 GQ³와 방향이 서로 반대이므로 GA³=-2GQ³에서
AB³ =2AP³
=2(GP³-GA³)
=2{pø-(-2qø)}
=2pø+4qø
따라서 m=2, n=4이므로 10m+n=10_2+4=24
24
2
2aø+bø=3(aø-2bø)에서 2aø+bø=3aø-6bø, aø=7bø
aø=(14, 3m-1), bø=(n, 2)이므로 (14, 3m-1)=7(n, 2)
14=7n, 3m-1=14 따라서 m=5, n=2이므로
3
m+n=5+2=7
⑤
원점 O에 대하여
AB³=OB³-OÕA³=(5, -3)-(2, 1)=(3, -4)
|AB³|="Ã3Û`+(-4)Û`=5
벡터 AB³와 방향이 같은 단위벡터는
;5!; AB³=;5!;(3, -4)
벡터 pø는 벡터 AB³와 방향이 반대이고 |pø|=3이므로 pø=-;5#; AB³=-;5#;(3, -4)={-;5(;, :Á5ª:}
따라서 벡터 pø의 모든 성분의 합은 -;5(;+:Á5ª:=;5#;
③
4
A(2, -x), B(x, 3), C(-1, 2x)와 원점 O에 대하여 AB³ =OB³-OA³
=(x, 3)-(2, -x)=(x-2, 3+x) AC³ =OC³-OA³
=(-1, 2x)-(2, -x)=(-3, 3x) AB³•AC³ =(x-2, 3+x)•(-3, 3x)
=-3x+6+9x+3xÛ`
=3(xÛ`+2x+1)+3
=3(x+1)Û`+3
따라서 AB³•AC³의 값은 x=-1일 때 최소이다.
②
5
원 C`:`(x-4)Û`+(y-3)Û`=4는 중심이 C(4, 3)이고 반지 름의 길이가 2이다.
OCÓ="Ã4Û`+3Û`=5이므로
|OA³|=OAÓ=OCÓ-ACÓ=5-2=3
점 B는 점 O에서 원 C에 그은 한 접선의 접점이므로
∠OBC=;2Ò;
직각삼각형 OBC에서
|OB³|=OBÓ=¿¹ OCÓ Û`-BCÓ Û`="Ã5Û`-2Û`='21 이고 ∠BOA=∠BOC=h라 하면
6
cos`h= '21 5 따라서
OÕA³•OB³=|OÕA³||OB³|cos`h
=3_'21_ '21 5
=:¤5£:
③
두 벡터 2aø+3bø, aø-bø가 서로 수직이므로 (2aø+3bø)•(aø-bø)=0에서
2|aø|Û`+aø•bø-3|bø|Û`=0 이때 |aø|=1, |bø|=2이므로 2_1Û`+aø•bø-3_2Û`=0 따라서 aø•bø=10
④
7
OÕA³•OP³=OB³•OP³에서 OB³•OP³-OÕA³•OP³=0 (OB³-OÕA³)•OP³=0 AB³•OP³=0
즉, 영벡터가 아닌 두 벡터 AB³, OP³가 서로 수직이므로 삼 각형 OAB의 넓이는
;2!;_ABÓ_OPÓ=;2!;_|AB³|_|OP³|
=;2!;_6_|OP³|=36 따라서 |OP³|=12
12
8
aø=(-4, 6), bø=(2, 1), cø=(0, 1)에 대하여 bø+cø=(2, 1)+(0, 1)=(2, 2)
bø-cø=(2, 1)-(0, 1)=(2, 0) aø =m(2, 2)+n(2, 0)
=(2m+2n, 2m)
=(-4, 6)
2m+2n=-4, 2m=6에서 m=3, n=-5
따라서 m-n=3-(-5)=8
8
aø =m(bø+cø)+n(bø-cø)
=(m+n)bø+(m-n)cø
=(m+n)(2, 1)+(m-n)(0, 1)
=(2m+2n, 2m)
=(-4, 6)
2m+2n=-4, 2m=6에서 m=3, n=-5
따라서 m-n=3-(-5)=8
2
두 점 C, D의 위치벡터를 각각 cø, dø라 하면 cø= bø+2aø
1+2 = 2aø+bø3
1
1 ④ 2 8 3 ④ 4 ② 5 ①
Level
1 기초 연습
본문 46쪽dø= bø-2aø
1-2 =2aø-bø 이므로
CD³=dø-cø
=2aø-bø- 2aø+bø3
= 6aø-3bø-2aø-bø3
=;3$;aø-;3$;bø
따라서 m=;3$;, n=-;3$;이므로 m-n=;3$;-{-;3$;}=;3*;
④
|2aø-bø|='5에서
|2aø-bø|Û` =4|aø|Û`-4aø•bø+|bø|Û`
=4|aø|Û`-4|aø||bø|cos`h+|bø|Û`이므로 ('5 )Û`=4_1Û`-4_1_3`cos`h+3Û`
3
세 점 A(1, a), B(3, 1), C(4, -1)에 대하여 AB³ =OB³-OA³
=(3, 1)-(1, a)=(2, 1-a) OC³=(4, -1)
AB³•OC³=11에서
(2, 1-a)•(4, -1) =2_4+(1-a)_(-1)
=8+a-1=11 따라서 a=4
②
4
aø=(4, 2), bø=(-1, 3), cø=(m, -2)에 대하여 aø-2bø=(4, 2)-2(-1, 3)=(6, -4)
bø+cø=(-1, 3)+(m, -2)=(m-1, 1)
두 벡터 aø-2bø와 bø+cø가 서로 평행하므로 0이 아닌 실수 k 에 대하여
(6, -4)=k(m-1, 1) k(m-1)=6, k=-4에서 -4(m-1)=6, m-1=-;2#;
따라서 m=-;2!;
①
5
영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø가 서로 평행하므로aø=kbø`(k는 0이 아닌 실수) 로 놓을 수 있다.
aø•bø=k|bø|Û`=4 yy`㉠
(aø+bø)•(aø-bø) =|aø|Û`-|bø|Û`
=(kÛ`-1)|bø|Û`=-6 yy`㉡
㉠, ㉡에서 kÛ`-1
k =-;4^;=-;2#;
2kÛ`+3k-2=0, (k+2)(2k-1)=0 k=-2 또는 k=;2!;
㉠, ㉡에서 0<k<1이므로 k=;2!;
따라서 |bø|Û`=;k$;=4_2=8이므로 (3aø+bø)•bø =3aø•bø+|bø|Û`
=3_4+8=20
20
2
조건 (가)에서 2BP³=-CP³=PC³이므로 점 P는 선분 BC 를 1`:`2로 내분하는 점이다.
따라서 AP³=;3@; AB³+;3!; AC³ 조건 (나)에서
1
1 ⑤ 2 20 3 ④ 4 ②
Level
2 기본 연습
본문 47쪽AB³=aø, AC³=bø라 하면
|aø|=2, |bø|=1, aø•bø=;4#;
선분 AD가 ∠BAC의 이등분선이고 ABÓ`:`ACÓ=2`:`1이 므로
3
12`cos`h=8
따라서 cos`h=;1¥2;=;3@;
④
9AQ³+2BQ³+CQ³
=9AQ³+2(AQ³-AB³)+(AQ³-AC³)
=12AQ³-2AB³-AC³
=0ø 따라서 AQ³
=;1ª2; AB³+;1Á2; AC³
=;4!;{;3@; AB³+;3!; AC³ }
=;4!; AP³
따라서 점 Q는 선분 AP를 1`:`3으로 내분하는 점이므로
|PQ³|
|AÕQ³|=PQÓ AQÓ=3
⑤
"
# 1 $
2
A(1, 2), B(3, 1)에 대하여 AB³ =OB³-OA³
=(3, 1)-(1, 2)
=(2, -1)
반지름의 길이가 '5인 원 C의 중심을 C라 하면 C(1, 1), OC³=(1, 1)
OP³=OC³+CP³이므로 OP³•AB³ =(OC³+CP³)•AB³
=OC³•AB³+CP³•AB³
=(1, 1)•(2, -1)+CP³•AB³
=1_2+1_(-1)+CP³•AB³
=1+CP³•AB³
두 벡터 CP³, AB³가 이루는 각의 크기를 h (0ÉhÉp)라 하 면
CP³•AB³ =|CP³||(2, -1)| cos`h
='5_'5_cos`h
=5`cos`h 이고 -1Écos`hÉ1이므로
h=0일 때 CP³•AB³의 최댓값은 5이다.
따라서 OP³•AB³의 최댓값은 1+5=6이다.
②
4
"
w
0
#
OAÓ=2, OBÓ='3, ABÓ=1이므로
|aø|=2,|bø|='3이고 ∠AOB=;6Ò;이다.
aø•bø=|aø||bø| cos`;6Ò;=2_'3_ '3 2 =3 조건 (가)에서 OP³•OQ³=0
(3aø-bø)•(maø-nbø)=0 3m|aø|Û`-(3n+m)aø•bø+n|bø|Û`
=12m-3(3n+m)+3n=0 따라서 9m-6n=0이므로 n=;2#;m
m, n은 자연수이므로 m은 짝수인 자연수이어야 한다.
|OQ³|¾7에서 |OQ³|Û`¾49
|OQ³|Û` =mÛ`|aø|Û`-2mn(aø•bø)+nÛ`|bø|Û`
=4mÛ`-6mn+3nÛ` yy`㉠
㉠에 n=;2#;m을 대입하면
|OQ³|Û`=4mÛ`-6m_;2#;m+3{;2#;m}Û`=;4&;mÛ`¾49, mÛ`¾28 m은 짝수인 자연수이므로 m의 최솟값은 6이고 이때의 n=;2#;_6=9이다.
따라서 구하는 m+n의 최솟값은 m=6, n=9일 때이므로 6+9=15이다.
①
1
AB³=aø, AC³=bø로 놓으면
|BC³|Û` =|bø-aø|Û`
=|bø|Û`-2aø•bø+|aø|Û`
=5Û`-2aø•bø+4Û`
=41-2aø•bø 이때 |BC³|Û`=6Û`=36이므로 aø•bø=;2%;
AF³=kAB³+lAC³이므로 CF³ =AF³-AC³
=(kaø+lbø)-bø
=kaø+(l-1)bø
2
1 ① 2 ③ 3 ④ 4 12
Level
3 실력 완성
본문 48쪽BDÓ`:`DCÓ=2`:`1
따라서 점 D는 선분 BC를 2`:`1로 내분하는 점이므로 AD³=;3!; AB³+;3@; AC³=;3!;aø+;3@;bø
또한 CB³=AB³-AC³=aø-bø이므로 AD³•CB³={;3!;aø+;3@;bø }•(aø-bø)
=;3!;aø•aø-;3!;aø•bø+;3@;aø•bø-;3@;bø•bø
=;3!;|aø|Û`+;3!;aø•bø-;3@;|bø|Û`
=;3$;+;4!;-;3@;=;1!2!;
④
"
# . $
1
MÕP³=tAP³`(0<t<1)에서 점 P는 직선 AM 위의 점이고 APÓ>MPÓ이므로 점 P의 위치는 그림과 같다.
또한 APÓ : MPÓ=1 : t이므로 점 P는 선분 AM을 1 : t로 외분하는 점이다.
CP³= CÕM³-t CA³1-t
= tt-1 CA³+ 11-t CÕM³
= tt-1 CA³+ 11-t_;2!; CB³
=m CA³+;2#; CB³
에서 두 벡터 CA³, CB³는 영벡터가 아니고 서로 평행하지
3
|aø|='2, |bø|=1, aø•bø=0이므로
|xaø+ybø|=2에서
|xaø+ybø|Û` =(xaø+ybø)•(xaø+ybø)
=xÛ`|aø|Û`+2xy(aø•bø)+yÛ`|bø|Û`
=2xÛ`+yÛ`=4 따라서 점 P(x, y)는 곡선 C`:`2xÛ`+yÛ`-4=0 yy`㉠
위의 점이다.
OA³•OP³=(1, 1)•(x, y)=x+y에서
x+y=k`(k는 실수)라 하면 점 P(x, y)는 직선 x+y=k, 즉 y=k-x 위의 점이다.
y=k-x를 ㉠에 대입하면 2xÛ`+(k-x)Û`-4=0
3xÛ`-2kx+kÛ`-4=0 yy`㉡
점 P(x, y)가 존재하려면 x에 대한 이차방정식 ㉡의 판별 식을 D라 할 때 D¾0이어야 한다.
D4 =kÛ`-3(kÛ`-4)=-2kÛ`+12¾0 kÛ`-6É0, -'6ÉkÉ'6
따라서 OA³•OP³=k의 최댓값 M과 최솟값 m은 M='6, m=-'6이므로
MÛ`+mÛ`=('6)Û`+(-'6)Û`=12
12
4
AB³⊥CF³이므로 AB³•CF³=0에서 aø•{kaø+(l-1)bø}=0
k|aø|Û`+(l-1)aø•bø=0 16k+(l-1)_;2%;=0 32k+5l-5=0 yy`㉠
BF³ =AF³-AB³
=(kaø+lbø)-aø
=(k-1)aø+lbø
AC³⊥BF³이므로 AC³•BF³=0에서 bø•{(k-1)aø+lbø}=0
(k-1)aø•bø+l|bø|Û`=0 (k-1)_;2%;+25l=0 k+10l-1=0 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=;7!;, l=;3£5;
따라서 k+l=;7!;+;3£5;=;3¥5;
③
않으므로 m= tt-1 , 1
2(1-t)=;2#;
1
2(1-t)=;2#;에서 1-t=;3!;, t=;3@;
따라서 m= ;3@;
;3@;-1=-2이므로 CP³=-2CA³+;2#; CB³
|CP³|Û`=5에서
|CP³|Û`={-2CA³+;2#; CB³}•{-2 CA³+;2#; CB³}
=4|CA³|Û`-6 CA³•CB³+;4(;|CB³|Û`
=4_1-6 CA³•CB³+;4(;_2Û`=5 따라서 CA³•CB³=13-5
6 =;3$;
④
평면 곡선과 평면 운동
05
유제
본문 51~55쪽1 ③ 2 ⑤ 3 ② 4 13 5 ④ 6 55
f(x)=xÛ`+x+2에 대하여 f(-1)=2, f(1)=4이므로 P(-1, 2), Q(1, 4) 원점 O에 대하여 PQ³ =OQ³-OP³
=(1, 4)-(-1, 2)=(2, 2) 두 벡터 uø와 PQ³는 서로 평행하므로 uø=k(2, 2)=(2k, 2k) (k는 양수) 로 놓을 수 있다.
|uø|=4'2에서
4kÛ`+4kÛ`=(4'2)Û`, 8kÛ`=32, kÛ`=4 k>0이므로 k=2
즉, uø=(4, 4)
따라서 a=4, b=4이므로 a+b=4+4=8
③
1
두 직선 lÁ, lª의 방향벡터를 각각 uÁ²=(2, 1), uª²=(4, -3)이라 하면 uÁ²•uª²=(2, 1)•(4, -3)=8+(-3)=5
|uÁ²|="Ã2Û`+1Û`='5
|uª²|="Ã4Û`+(-3)Û`='25=5 따라서
cos`h= |uÁ²•uª²|
|uÁ²||uª²|
= 5 '5_5= 1
'5= '5 5
⑤
2
점 P의 시각 t에서의 속도를 vø라 하면 dxdt=2t+1, dydt=2t+2에서
3
|vø|="Ã(2t+1)Û`+(2t+2)Û`
따라서 시각 t=1에서의 점 P의 속력은
"Ã(2_1+1)Û`+(2_1+2)Û`=5
②
점 P의 시각 t에서의 가속도를 aø라 하면 dxdt=1-2`sin`t, dydt=2`cos`2t dÛ`x
dtÛ`=-2`cos`t, dÛ`y
dtÛ`=-4`sin`2t에서
|aø|="Ã(-2`cos`t)Û`+(-4`sin`2t)Û`이므로 점 P의 시각 t=;3Ò;에서의 가속도의 크기는 k=®É4 cosÛ``;3Ò;+16 sinÛ`` 2p3
=¾Ð4_{;2!;}Û`+16_{ '3 2 }Û`='13 따라서 kÛ`=13
13
4
x=et`cos`t에서 dxdt=et(cos`t-sin`t) y=et`sin`t에서 dydt=et(sin`t+cos`t)이므로 { dxdt }Û`+{ dydt }Û`
=e2t(cos`t-sin`t)Û`+e2t(sin`t+cos`t)Û`
=e2t{(cos`t-sin`t)Û`+(sin`t+cos`t)Û`}
=e2t_2(sinÛ``t+cosÛ``t)=2e2t
따라서 시각 t=0에서 시각 t=ln`5까지 점 P가 움직인 거 리를 s라 하면
s=:) ln`5¾Ð{ dxdt }Û`+{ dydt }Û``dt
=:) ln`5"2e2tdt
=:) ln`5'2etdt
='2`[et])ln`5
='2(eln`5-e0)
='2(5-1)
=4'2
④
5
f(x)=;3@;x'x=;3@;x;2#;이라 하면 f '(x)=x;2!;
0ÉxÉ8에서 곡선 y=f(x)의 길이를 l이라 하면 l=:)8 "Ã1+{`f '(x)}Û``dx
=:)8 ¿¹1+
(
x;2!;)
Û``dx=:)8 'Ä1+x`dx 이때 'Ä1+x=t라 하면 1+x=tÛ`, dxdt=2t이고
x=0일 때 t=1, x=8일 때 t=3이므로 l=:!3 2tÛ` dt=[;3@;tÜ`]3!=18-;3@;=:°3ª:
따라서 p=3, q=52이므로 p+q=3+52=55
55
6
1 ④ 2 ⑤ 3 ⑤ 4 ③ 5 ④
Level
1 기초 연습
본문 56쪽3x=-4(y-2)의 양변을 12로 나누면
;4{;=y-2
-3 이므로 uÁ²=(4, -3)을 직선 lÁ의 방향벡터라 하자.
2x-6= y+1a 의 양변을 2로 나누면
x-3=y+1
2a 이므로 uª²=(1, 2a)를 직선 lª의 방향벡터라 하자.
두 직선 lÁ, lª가 서로 수직이므로 두 직선의 방향벡터 uÁ², uª²도 서로 수직이다.
uÁ²•uª²=0에서 (4, -3)•(1, 2a)=0 4-6a=0
따라서 a=;3@;
④
1
|pø-aø|=5에서
|pø-aø|Û` =(pø-aø)•(pø-aø)
=(x-3, y-4)•(x-3, y-4)=25 (x-3)Û`+(y-4)Û`=25 yy`㉠
㉠을 만족시키는 점 (x, y)는 중심의 좌표가 (3, 4)이고 반 지름의 길이가 5인 원 위의 점이다.
pø•aøÉ25에서
(x, y)•(3, 4)É25, 3x+4yÉ25
3x+4y-25É0 yy`㉡
㉡을 만족시키는 점 (x, y)는 직선 3x+4y-25=0의 아 래 부분(경계선 포함)에 속하는 점이다.
㉠, ㉡의 공통부분에 속하는 점 (x, y)가 나타내는 도형은 원의 중심 (3, 4)가 직선 3x+4y-25=0 위의 점이므로 그림과 같은 반원의 호이다.
Y
YZ
Z
0
따라서 구하는 도형의 길이는
;2!;_(2p_5)=5p
⑤
2
dxdt=et`cos`2t-2et`sin`2t dy
dt=et`sin`2t+2et`cos`2t에서 점 P의 시각 t=;4Ò;에서의 속도는
{e;4Ò;`cos`;2Ò;-2e;4Ò;`sin`;2Ò;, e;4Ò;`sin`;2Ò;+2e;4Ò;`cos`;2Ò;}
즉, (-2e;4Ò;, e;4Ò;)이므로 점 P의 시각 t=;4Ò;에서의 속력은
¿¹(-2e;4Ò;)Û`+(e;4Ò;)Û`='5e;4Ò;
따라서 k='5
⑤
3
dxdt=3tÛ`+1
4
f(x)= e2x+e-2x
4 이라 하면 f '(x)= 2e2x-2e-2x
4 = e2x-e-2x 2
0ÉxÉ1에서 곡선 y=f(x)의 길이를 l이라 하면 l=:)1 "Ã1+{`f '(x)}Û``dx
=:)1 ¾Ð1+{ e2x-e-2x 2 }Û``dx
=:)1 ¾Ð1+ e4x-2+e-4x
4 `dx
=:)1 ¾Ð e4x+2+e-4x 4 `dx
=:)1 ¾Ð{ e2x+e-2x 2 }Û``dx
=:)1 e2x+e-2x 2 `dx
=;4!; [e2x-e-2x]1)
=;4!;{(eÛ`-e-2)-(e0-e0)}
= eÝ`-1 4eÛ`
④
5
1 8 2 ② 3 31 4 ②
Level
2 기본 연습
본문 57쪽점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면
|OP³|=5'2에서 |OP³|Û`=50이므로 xÛ`+yÛ`=50
따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 원점 O이고 반지름 의 길이가 5'2인 원이다.
두 점 A(5, -5), B(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=50 위의 점이므로
|OA³|=|OB³|=5'2 aÛ`+bÛ`=50 yy`㉠
OA³•OB³=(5, -5)•(a, b)=5a-5b
원 위의 점 A(5, -5)에서의 접선과 수직인 벡터를 OA³=(5, -5)라 하고, 원 위의 점 B(a, b)에서의 접선과 수직인 벡터를 OB³=(a, b)라 하자.
원 위의 두 점 A(5, -5), B(a, b)에서의 두 접선이 이루 는 예각의 크기가 h이므로 두 벡터 OA³, OB³가 이루는 각의 크기는 p-h 또는 h이다.
|cos (p-h)|=|cos`h|
=|OA³•OB³|
|OA³||OB³|
=cos`h=;5#;
에서
|5a-5b|
5'2_5'2=;5#;, |a-b|=6 a>b이므로 a-b=6 b=a-6을 ㉠에 대입하면
aÛ`+aÛ`-12a+36=50, aÛ`-6a-7=0 (a-7)(a+1)=0
a>0이므로 a=7 b=7-6=1
따라서 a+b=7+1=8
8
1
dy
dt=ln`t+t_ 1t-1=ln`t dÛ`x
dtÛ`=6t, dÛ`y
dtÛ`= 1t 이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도를 aø라 하면
|aø|=®É(6t)Û`+{ 1t }Û`
=®É36tÛ`+ 1tÛ`
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 36tÛ`+ 1
tÛ`¾2®É36tÛ`_ 1tÛ`=12
{등호는 t= '66 일 때 성립한다.}
이므로
|aø|¾'12=2'3
따라서 점 P의 가속도의 크기의 최솟값은 2'3 이다.
③
x=sin`t+'3`cos`t, y=cos`t+'3`sin`t이므로 dxdt=cos`t-'3`sin`t, dy
dt=-sin`t+'3`cos`t vø=(cos`t-'3`sin`t, -sin`t+'3`cos`t)
dÛ`x
dtÛ`=-sin`t-'3`cos`t, dÛ`y
dtÛ`=-cos`t-'3`sin`t
2
x=;3$;tÜ`-t에서 dxdt=4tÛ`-1 y=2tÛ`에서 dy
dt=4t이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은
¾Ð{ dxdt }Û`+{ dydt }Û`="Ã(4tÛ`-1)Û`+(4t)Û`
="Ã16tÝ`-8tÛ`+1+16tÛ`
="Ã16tÝ`+8tÛ`+1
="Ã(4tÛ`+1)Û`
=4tÛ`+1
시각 t=a (a>0)에서 점 P의 속력이 17이므로 4aÛ`+1=17
aÛ`=4
a>0이므로 a=2
따라서 시각 t=1에서 시각 t=2까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=:!2 ¾Ð{ dxdt }Û`+{ dydt }Û`dt
=:!2 (4tÛ`+1) dt
=[;3$;tÜ`+t]2!
={:£3ª:+2}-{;3$;+1}
=:£3Á:
따라서 3s=3_:£3Á:=31
31
3
f(x)=;6!;xÜ`+;2Á[;에서 f '(x)=;2!; {xÛ`- 1xÛ` }
4
1 ② 2 ④ 3 ③
Level
3 실력 완성
본문 58쪽직선 l은 점 A(2, -1)을 지나고 방향벡터가 uø=(a, 2)이 므로 직선 l의 방정식은
x-2a = y+12
1
aø=(-sin`t-'3`cos`t, -cos`t-'3`sin`t) vø•aø
=(cos`t-'3`sin`t)(-sin`t-'3`cos`t)
+(-sin`t+'3`cos`t)(-cos`t-'3`sin`t)
=2'3 (sinÛ``t-cosÛ``t)
=2'3 {sinÛ``t-(1-sinÛ``t)}
=2'3(2`sinÛ``t-1)
0ÉsinÛ``tÉ1이므로 vø•aø의 최댓값은 2'3
②
f '(x)=0에서 xÛ`- 1
xÛ`=0, xÝ`-1=0, x=-1 또는 x=1 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y -1 y (0) y 1 y
f '(x) + 0 - - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ ↘ 극소 ↗
x>1에서 f '(x)>0이므로 f(x)는 구간 [ 1, ¦)에서 증 가한다.
a의 최솟값은 1이므로 m=1
따라서 1ÉxÉ3에서 곡선의 길이를 l이라 하면 l=:!3 "Ã1+{`f '(x)}Û``dx
=:!3 ¾Ð1+;4!; {xÛ`- 1xÛ` }Û``dx
=:!3 ®É1+;4!;xÝ`-;2!;+ 14xÝ``dx
=:!3 ®É;4!;xÝ`+;2!;+ 14xÝ``dx
=:!3 ¾Ð;4!; {xÛ`+ 1xÛ` }Û``dx
=:!3 ;2!; {xÛ`+ 1xÛ` }`dx
=;2!; [;3!;xÜ`-;[!;]3!
=;2!;[{9-;3!;}-{;3!;-1}]
=:Á3¢:
②
원의 반지름의 길이가 1이므로 점 P가 점 A를 출발한 후 t`{t¾;2Ò;}초일 때의 동경 OP와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 t, 동경 OQ와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 -2{t-;2Ò;}=p-2t이다.
따라서 시각 t`{t¾;2Ò;}에서의 두 점 P, Q의 위치는
2
P(cos`t, sin`t)
Q(cos`(p-2t), sin`(p-2t)), 즉 Q(-cos`2t, sin`2t) 선분 PQ의 중점 R의 위치는
R{;2!;(cos`t-cos`2t), ;2!;(sin`t+sin`2t)}
점 R의 좌표를(x, y)라 하면
x=;2!;(cos`t-cos`2t), y=;2!;(sin`t+sin`2t) dxdt=;2!;(-sin`t+2`sin`2t), dy
dt=;2!;(cos`t+2`cos`2t) 이므로 점 R의 시각 t에서의 속도를 vø라 하면
vø={;2!;(-sin`t+2 sin`2t), ;2!;(cos`t+2`cos`2t)}
이때
{ dxdt }Û`+{ dydt }Û`
=[;2!;(-sin`t+2 sin`2t)]Û`+[;2!;(cos`t+2`cos`2t)]Û`
=;4!;(sinÛ``t+4`sinÛ``2t-4 sin`t`sin`2t)
+;4!;(cosÛ``t+4`cosÛ``2t+4 cos`t`cos`2t)
=;4!;(sinÛ``t+cosÛ``t)+(sinÛ``2t+cosÛ``2t)
+(cos`t`cos`2t-sin`t`sin`2t)
=;4!;+1+cos (t+2t)
=;4%;+cos`3 t 이므로
|vø|=®É;4%;+cos`3 t
따라서 점 P가 점 A를 출발한 지 :°9É:초 후의 점 R의 속력은
¾Ð;4%;+cos`{3_:°9É:}=®É;4%;+cos`:°3É:
=¾Ð;4%;+cos`{2p-;3Ò;}
=®É;4%;+cos`;3Ò;
=®É;4%;+;2!;= '7 2
④ 점 P는 직선 x-2
a = y+12 위의 점이므로 x-2a = y+12 =t (t는 실수)
에서 점 P의 좌표를 (at+2, 2t-1)로 놓을 수 있다.
이때 점 Q의 좌표는 (at+2, 0), 점 R의 좌표는 (0, 2t-1) 이므로 vø=QR³=(-at-2, 2t-1)이라 하면
벡터 vø는 두 점 Q, R를 지나는 직선 QR의 방향벡터이다.
직선 l과 직선 QR가 서로 수직이므로 두 직선의 방향벡터 도 서로 수직이다. 즉, uø•vø=0이므로
(a, 2)•(-at-2, 2t-1)=-aÛ`t-2a+4t-2=0에서 t= 2a+2
4-aÛ` yy`㉠
두 벡터 OP³, OÕA³가 서로 수직이므로 OP³•OÕA³=0에서
(at+2, 2t-1)•(2, -1)=2at+4-2t+1=0 t(2a-2)=-5
t= -52a-2 yy`㉡
㉠, ㉡에서 2a+2
4-aÛ` = -52a-2 , 4aÛ`-4=5aÛ`-20, aÛ`=16 a>2이므로 a=4
㉡에서 t= -5
2_4-2=-;6%;
점 P의 x좌표는 4_{-;6%;}+2=-;3$;
점 P의 y좌표는 2_{-;6%;}-1=-;3*;
따라서 P{-;3$;, -;3*;}이므로
|OP³|=¾Ð{-;3$;}Û`+{-;3*;}Û`=4'5 3
②
x=cos`t+sin`t, y=;2!;`sinÛ``t를 각각 t에 대하여 미분하면