• 검색 결과가 없습니다.

정답 과 풀이

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "정답 과 풀이"

Copied!
56
0
0

로드 중.... (전체 텍스트 보기)

전체 글

(1)

정답 풀이

01 이차곡선

유제

본문 5~11쪽

1 ② 2 ① 3 ③ 4 9 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ②

포물선 yÛ`=6x=4_;2#;x에서 F{;2#;, 0}이고 준선은 직선 x=-;2#;이다.

점 P의 x좌표를 a라 하고 점 P에서 준선에 내린 수선의 발 을 Q, x축에 내린 수선의 발을 H라 하자.

0 1

' )

2

D Z

Y

Y

Z™ Y

포물선의 정의에 의하여 PQÓ=PFÓ이므로 a-{-;2#;}=6에서 a=;2(;

즉, H{;2(;, 0}이므로 FHÓ=;2(;-;2#;=3 따라서 cos`h= FHÓ

PFÓ=;6#;=;2!;

 ②

1

xÛ`-4x+8y-4=0에서 xÛ`-4x=-8y+4 (x-2)Û`=-8y+8 (x-2)Û`=-8(y-1)

포물선 xÛ`=-8y의 초점의 좌표는 (0, -2)이고 포물선 (x-2)Û`=-8(y-1)은 포물선 xÛ`=-8y를 x축의 방향 으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 포 물선 (x-2)Û`=-8(y-1)의 초점의 좌표는

(0+2, -2+1), 즉 (2, -1)이다.

따라서 a+b=2+(-1)=1

 ①

2

OFÓ`:`OAÓ=3`:`4이므로 OFÓ=3k, OAÓ=4k (k>0)이라 하자.

OFÓ Û`=OAÓ Û`-OBÓ Û`이므로 OBÓ Û` =OAÓ Û`-OFÓ Û`

=(4k)Û`-(3k)Û`=7kÛ`

ABÓ Û` =OBÓ Û`+OAÓ Û`

=7kÛ`+(4k)Û`=23kÛ`

BFÓ Û` =OBÓ Û`+OFÓ Û`

=7kÛ`+(3k)Û`=16kÛ`

따라서 ABÓ Û`

BFÓ Û`= 23kÛ`

16kÛ`=;1@6#;

 ③

3

타원 xÛ`

k +yÛ`

10 =1`(0<k<10)의 초점의 y좌표를 c라 하 면 c=Ñ'Ä10-k이므로 타원 xÛ`k +yÛ`

10=1의 두 초점의 좌 표는 (0, -'Ä10-k), (0, 'Ä10-k)

타원 (x+1)Û`

k + (y-2)Û`10 =1은 타원 xÛ`k+ yÛ`10=1을 x축 의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것 이므로 타원 (x+1)Û`

k + (y-2)Û`10 =1의 두 초점의 좌표는 (-1, -'Ä10-k+2), (-1, 'Ä10-k+2)

타원 (x+1)Û`

k + (y-2)Û`10 =1의 두 초점의 좌표가 (a, 0), (a, b)이고 'Ä10-k+2>0이므로 a=-1, 0=-'Ä10-k+2, b='Ä10-k+2 따라서 a=-1, k=6, b=4이므로 a+b+k=-1+4+6=9

 9

4

쌍곡선 xÛ`

aÛ`- yÛ`8=1`(a>0)의 두 꼭짓점 중 x좌표가 음수 인 점을 B라 하면 A(a, 0), B(-a, 0)

0 Z

' Y

"

' #

1

Y™

5

(2)

1 ⑤ 2 ② 3 4 4 42 5 ②

Level

1 기초 연습

본문 12쪽

yÛ`=12x=4_3x에서 F(3, 0), 준선의 방정식은 x=-3

0

Z Z™ Y

Y

Y

) '

" 1

포물선의 준선이 x축과 만나는 점을 H라 하면 두 점 H, P는 중심이 F인 원 위의 점이므로 PFÓ=HFÓ=6 yy`㉠

1

쌍곡선의 정의에 의하여

PF'Ó-PFÓ=ABÓ=2a yy`㉠

F'BÓ=AFÓ이므로 

F'AÓ-AFÓ=ABÓ=2a yy`㉡

㉠, ㉡에서

lÁ-lª =(PF'Ó+F'AÓ+PAÓ)-(PAÓ+AFÓ+PFÓ)

=(PF'Ó-PFÓ)+(F'AÓ-AFÓ)

=2a+2a=4a lÁ-lª=12이므로 4a=12 따라서 a=3

 ②

쌍곡선 xÛ`

4- yÛ`k=1의 주축의 길이는 2_'4=4 PFÓ=a, PF'Ó=b라 하면

쌍곡선의 정의에 의하여

b-a=4 yy`㉠

삼각형 PF'F의 넓이가 6이므로

;2!;_ab=6, 즉 ab=12 yy`㉡

㉠, ㉡에서

a(a+4)=12, aÛ`+4a-12=0 (a+6)(a-2)=0이고 a>0이므로 a=2, b=6

한편, c='Ä4+k이므로 FF'Ó=2'Ä4+k

∠FPF'= p2 이므로 FF'Ó Û`=aÛ`+bÛ`에서 4(4+k)=2Û`+6Û`

따라서 k=6

 ③

6

쌍곡선 위의 점 A(3, 3'6 )이 한 점근선 y='3x의 위쪽에 있으므로 주어진 쌍곡선의 초점은 y축 위에 있다.

따라서 쌍곡선의 방정식은 xÛ`

aÛ`- yÛ`

bÛ`=-1`(a>0, b>0)으로 놓을 수 있다.

이 쌍곡선의 점근선의 방정식이 y=Ñ'3x이므로

;aB;='3 yy`㉠

이 쌍곡선이 점 A(3, 3'6 )을 지나므로 3Û`

aÛ`-(3'6 )Û`

bÛ` =-1 yy`㉡

㉠에서 bÛ`=3aÛ`을 ㉡에 대입하면

7

9 aÛ`- 54

3aÛ`=-1, - 9

aÛ`=-1에서 a=3, b=3'3 따라서 주어진 쌍곡선의 방정식은 xÛ`

9 - yÛ`27=-1이므로 구하는 주축의 길이는 2_3'3=6'3

 ④

4xÛ`+16x-yÛ`+2ky+79=0`(k>0)에서 4(x+2)Û`-(y-k)Û`=-kÛ`-63

-kÛ`-63<0이므로 이 쌍곡선의 주축은 직선 x=-2 위 에 있다.

x=-2일 때 쌍곡선이 지나는 점의 y좌표는 4(-2+2)Û`-(y-k)Û`=-kÛ`-63에서 (y-k)Û`=kÛ`+63

y=kÑ"ÃkÛ`+63

쌍곡선의 주축의 길이가 16이므로 (k+"ÃkÛ`+63)-(k-"ÃkÛ`+63)=16에서

"ÃkÛ`+63=8, kÛ`+63=64 k>0이므로 k=1

 ②

8

(3)

포물선 (y-2)Û`=4(x+1)은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방 향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이고, 포물선 yÛ`=4x의 초점의 좌표는 (1, 0), 준선은 직선 x=-1이므로 포물선 (y-2)Û`=4(x+1)의 초점은 F(0, 2), 준선은 직선 x=-2이다.

0 Z

 Y



) "  

'  

#

점 A(5, 3)을 지나고 x축에 평행한 직선이 포물선 (y-2)Û`=4(x+1)의 준선인 직선 x=-2와 만나는 점을 H라 하면 포물선의 정의에 의하여 BFÓ=BHÓ이므로 ABÓ+BFÓ =ABÓ+BHÓ

=AHÓ

=5-(-2)=7

 ②

2

점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 A라 하면 포물선의 정의에 의하여

PFÓ=PAÓ yy`㉡

㉠, ㉡에서 HFÓ=PFÓ=PAÓ이고, ∠AHF=∠HAP=;2Ò;

이므로 사각형 AHFP는 정사각형이다.

따라서 삼각형 POF는 직각삼각형이고 그 넓이는

;2!;_OFÓ_PFÓ=;2!;_3_6=9

 ⑤

xÛ`a+ yÛ`9=1에서

c='Ä9-a이므로 F(0, 'Ä9-a), F'(0, -'Ä9-a) 타원의 장축의 길이는 2_'9=6이므로

PFÓ+PF'Ó=6

PFÓ=2이므로 PF'Ó=6-2=4

∠FPF'=;2Ò;이므로 FF'Ó Û`=PFÓ Û`+PF'Ó Û`에서

3

cÛ`=4+aÛ`, cÛ`=25-bÛ`이므로 4+aÛ`=25-bÛ`에서 aÛ`+bÛ`=21 한편, 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'Ó-PFÓ=2_'4=4 yy`㉠

타원의 정의에 의하여

PF'Ó+PFÓ=2_'2Œ5=10 yy`㉡

㉠, ㉡에서 PF'Ó=7, PFÓ=3 따라서

aÛ`+bÛ`+PFÓ_PF'Ó =21+3_7

=42

 42

4

쌍곡선 xÛ`-yÛ`

3=1의 초점 F의 x좌표를 c라 하면 c='Ä1+3=2이므로 F(2, 0)

쌍곡선 xÛ`-yÛ`

3=1의 점근선의 방정식은 y=Ñ'3x 초점 F(2, 0)에서 한 점근선 '3x-y=0까지의 거리는

|2'3-0|

"Ã('3)Û`+(-1)Û`='3

따라서 원의 반지름의 길이는 '3이므로 구하는 원의 넓이는 p_('3 )Û`=3p

 ②

5

(2'Ä9-a)Û`=2Û`+4Û`

4(9-a)=20이므로 a=4

 4

1 18 2 ② 3 ④ 4 20 5 ④ 6 ② 7 ④ 8 24

Level

2 기본 연습

본문 13~14쪽

점 P가 직선 y=2x 위의 점이므로 점 P의 좌표를 (a, 2a) 로 놓고, 포물선의 방정식을 yÛ`=4px`(p>0)이라 하면

1

(4)

타원 xÛ`

100+ yÛ`k=1`(0<k<100)의 장축의 길이는 2_'1§00=20이므로 타원의 정의에 의하여 

PFÓ+PF'Ó=20 yy`㉠

6

포물선 yÛ`=4x의 초점은 F(1, 0), 준선은 직선 x=-1이 다.

두 점 P, Q의 x좌표를 각각 p, q라 하면 포물선의 정의에 의하여

PFÓ=p-(-1)=p+1, QFÓ=q-(-1)=q+1이므로 PFÓ+QFÓ =(p+1)+(q+1)

=p+q+2

PFÓ+QFÓ=11이므로 p+q+2=11에서 p+q=9 따라서 삼각형 PFQ의 무게중심의 x좌표는

p+q+1

3 = 9+13 = 103

 ②

2

yÛ`=8x=4_2x에서 초점은 F(2, 0)이고, 준선은 직선 x=-2이다.

두 점 A, C에서 x축에 내린 수선의 발이 각각 P(p, 0), Q(q, 0)이므로 두 점 A, C의 x좌표는 각각 p, q이다.

따라서 두 점 A, C에서 준선 x=-2까지의 거리는 각각 p+2, q+2이므로 포물선의 정의에 의하여

AFÓ=a=p+2, CFÓ=c=q+2 yy`㉠

한편, AFÓ=a, BFÓ=b, CFÓ=c에 대하여 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

b= a+c2 yy`㉡

a+b+c=11.1에 ㉡을 대입하면

(a+c)+;2!;(a+c)=;2#;(a+c)=11.1에서

a+c=7.4 yy`㉢

㉠, ㉢에서

a+c=p+q+4=7.4이므로 p+q=3.4

 ④

3

AFÓ=p, BFÓ=q, BF'Ó=r라 하자.

AF'Ó=6이므로 타원의 정의에 의하여

6+p=q+r yy`㉠

AFÓ

BF'Ó=;1¤1;에서 ;rP;=;1¤1;이므로 r=:Á6Á:p yy`㉡

ABÓ

BF'Ó=;1!1);에서 p+q

r =;1!1);이므로

p+q=;1!1);r yy`㉢

㉡을 ㉢에 대입하면

p+q=;1!1);_:Á6Á:p에서 q=;3@;p yy`㉣

㉡, ㉣을 ㉠에 대입하면 6+p=;3@;p+:Á6Á:p에서 p=4 따라서 삼각형 AF'B의 둘레의 길이는

(AF'Ó+AFÓ)+(BFÓ+BF'Ó) =(6+p)+(q+r)

=2(6+p)

=2(6+4)=20

 20

4

25xÛ`+ yÛ`12=1의 장축의 길이는 2_'2Œ5=10, c='Ä25-12='1Œ3이므로 F('1Œ3, 0), F'(-'1Œ3, 0) PFÓ=a, PF'Ó=b라 하면

타원의 정의에 의하여 a+b=10 yy`㉠

∠F'PF=;2Ò;이므로 F'FÓ Û`=aÛ`+bÛ`에서 (2'1Œ3)Û`=aÛ`+bÛ`, aÛ`+bÛ`=52 yy`㉡

㉠에서 b=10-a를 ㉡에 대입하면 aÛ`+(10-a)Û`=52

aÛ`-10a+24=0 (a-4)(a-6)=0 a<b이므로 a=4, b=6 따라서 tan`h=;bA;=;6$;=;3@;

 ④

5

점 P(a, 2a)는 포물선 yÛ`=4px 위의 점이므로 (2a)Û`=4pa, 즉 a=p에서 점 P의 좌표는 (p, 2p)이다.

한편, 포물선의 준선은 직선 x=-p이므로 PHÓ=6에서 p-(-p)=6, 즉 p=3 따라서 P(3, 6)이므로 삼각형 HOP의 넓이는

;2!;_6_6=18

 18

(5)

쌍곡선의 정의에 의하여 PF'Ó-PFÓ=QFÓ-QF'Ó (PQÓ+QF'Ó)-PFÓ=QFÓ-QF'Ó

PQÓ=9이므로 9+QF'Ó-PFÓ=QFÓ-QF'Ó 9+2 QF'Ó=PFÓ+QFÓ yy`㉠

조건으로부터 QFÓ-PFÓ=6이므로 PFÓ=QFÓ-6을 ㉠에 대입하면 9+2 QF'Ó=(QFÓ-6)+QFÓ QFÓ-QF'Ó=:Á2°:

따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 :Á2°:이다.

 ④

7

쌍곡선 xÛ`

4 - yÛ`12=1의 주축의 길이는 2_'4=4, c='Ä4+12=4이므로 F(4, 0), F'(-4, 0)

직선 PC는 ∠F'PF의 이등분선이므로 점 (1, 0)을 Q라 하 면

PF'Ó`:`PFÓ=F'QÓ`:`QFÓ PF'Ó`:`PFÓ=5`:`3 yy`㉠

쌍곡선의 정의에 의하여 PF'Ó-PFÓ=4이므로 PF'Ó=PFÓ+4를 ㉠에 대입하면

(PFÓ+4)`:`PFÓ=5`:`3 3(PFÓ+4)=5 PFÓ에서 PFÓ=6

따라서 PF'Ó=6+4=10, FF'Ó=8이므로 삼각형 PF'F의 둘레의 길이는 6+10+8=24

 24

8

1 ① 2 12 3 ④

Level

3 실력 완성

본문 15쪽

포물선 yÛ`=4px의 초점은 F(p, 0)이고 준선은 직선 x=-p이다.

포물선의 정의에 의하여 점 A에서 준선까지의 거리와 초점 까지의 거리가 같고 AFÓ=10, ACÓ=8이므로

8+p=10에서 p=2

초점 F(2, 0)에서 직선 AC에 내린 수선의 발을 P라 하면

'   Z™ QY 0

% #

"

$ Z

Y 1

APÓ=6, PFÓ="Ã10Û`-6Û`=8이므로

초점 F(2, 0)을 지나는 직선 AB의 기울기는 ;6*;=;3$;

따라서 직선 AB의 방정식은 y=;3$;(x-2)

yÛ`=8x와 y=;3$;(x-2)를 연립하여 풀면 :Á9¤:(x-2)Û`=8x, 2xÛ`-17x+8=0 (x-8)(2x-1)=0에서 x=8 또는 x=;2!;

따라서 점 B의 x좌표가 ;2!;이므로 yÛ`=8x에 대입하면 yÛ`=8_;2!;에서 y=Ñ2

그러므로 점 B의 좌표는 B{;2!;, -2}이고, D(0, -2)이므 로 DBÓ=;2!;, CDÓ=8+2=10

따라서 사다리꼴 CDBA의 넓이는

;2!;_{8+;2!;}_10=:¥2°:

 ①

포물선 yÛ`=4px의 초점은 F(p, 0)이고 준선은 직선 x=-p이다.

1

0 Z

Y

M

' '

) 1



 L

OFÓ=OF'Ó이므로 직선 l은 포물선의 준선이다.

포물선의 정의에 의하여 PFÓ=PHÓ=9 yy`㉡

㉠, ㉡에서 PF'Ó=11

따라서 HF'Ó="Ã11Û`-9Û`=2'1Œ0이므로 삼각형 PHF'의 넓이는

;2!;_9_2'1Œ0=9'1Œ0

 ②

(6)

BFÓ=a, BF'Ó=b라 하자.

타원의 장축의 길이는 2_'1Œ6=8이므로 타원의 정의에 의하여

a+b=8에서 b=8-a yy`㉠

2

쌍곡선 xÛ`

8- yÛ`4=1의 두 초점 중 x좌표가 음수인 점을 F' 이라 하자.

0 1

1

Z

' Y '

"  



Y™



쌍곡선 xÛ`

8 - yÛ`4=1의 주축의 길이는 2_'8=4'2

초점 F의 x좌표를 c라 하면 c='Ä8+4=2'3이므로 F(2'3, 0), F'(-2'3, 0)

쌍곡선의 정의에 의하여 PFÓ-PF'Ó=4'2이므로 선분 AF'이 쌍곡선과 만나는 점을 P'이라 하면 APÓ+PFÓ =APÓ+(PF'Ó+4'2 )

=(APÓ+PF'Ó)+4'2

¾(AP'Ó+P'F'Ó)+4'2

=AF'Ó+4'2

="Ã(2'3 )Û`+(2'5 )Û`+4'2

=4'2+4'2=8'2

따라서 APÓ+PFÓ의 최솟값은 8'2이다.

 ④

3

OFÓ=OF'Ó=c이고 사각형 AF'FB의 둘레의 길이가 14이 므로

2a+4c=14에서 2c=7-a yy`㉡

직각삼각형 BF'F에서 bÛ`=aÛ`+(2c)Û` yy`㉢

㉠, ㉡을 ㉢에 대입하면 (8-a)Û`=aÛ`+(7-a)Û`

aÛ`+2a-15=0 (a+5)(a-3)=0 a>0이므로 a=3 a=3을 ㉡에 대입하면 c=2 따라서 사각형 AF'FB의 넓이는 2c_a=(2_2)_3=12

 12 포물선의 정의에 의하여 점 A에서 준선까지의 거리와 초점

까지의 거리가 같고 AFÓ=10, ACÓ=8이므로 8+p=10에서 p=2

초점 F(2, 0)에서 직선 AC에 내린 수선의 발을 P, 점 B에 서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하자.

'   Z™ QY 0 2

% #

"

$ Z

Y 1

ACÓ=8, CPÓ=2이므로 APÓ=6이고 PFÓ="Ã10Û`-6Û`=8

따라서 사다리꼴 COFA의 넓이는

;2!;_(8+2)_8=40 yy ㉠

삼각형 PFA와 삼각형 QBF는 닮은 도형이므로 PFÓ`:`FAÓ`:`APÓ=QBÓ`:`BFÓ`:`FQÓ

PFÓ=8, FAÓ=10, APÓ=6이므로 QBÓ`:`BFÓ`:`FQÓ=8`:`10`:`6=4`:`5`:`3 QBÓ=4k, BFÓ=5k, FQÓ=3k (k>0)이라 하면 DBÓ=OQÓ=OFÓ-QFÓ=2-3k이므로

점 B에서 준선까지의 거리는 (2-3k)+2=4-3k 포물선의 정의에 의하여

BFÓ=4-3k, 즉 5k=4-3k에서 k=;2!;

따라서 ODÓ=QBÓ=4k=4_;2!;=2,

DBÓ=2-3k=2-3_;2!;=;2!;, OFÓ=2이므로 사다리꼴 ODBF의 넓이는

;2!;_{2+;2!;}_2=;2%; yy ㉡

㉠, ㉡에 의하여 사다리꼴 CDBA의 넓이는 40+;2%;=;;¥2°;;

(7)

평면 곡선의 접선

02

유제

본문 19~23쪽

1 ⑤ 2 ③ 3 ① 4 24 5 ② 6 ②

음함수 xÛ`+yÛ`-xy=3의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x+2y dydx-y-x dydx=0

(x-2y) dydx=2x-y dy

dx= 2x-yx-2y (단, x-2y+0) 따라서 a=2

 ⑤

1

곡선 eÅ`+e-y=e+;3!;이 점 (1, k)를 지나므로 e+e-k=e+;3!;에서

e-k=;3!;, 즉 ek=3이므로 k=ln`3

eÅ`+e-y=e+;3!;의 양변을 x에 대하여 미분하면 eÅ`-e-ydy

dx=0 dy

dx= ex

e-y=exey yy`㉠

곡선 eÅ`+e-y=e+;3!; 위의 점 (1, ln`3)에서의 접선의 기 울기 m은 ㉠에 x=1, y=ln`3을 대입한 값과 같으므로 m=e_eln`3=e_3ln`e=3e

따라서 mk=3e`ln`3

 ③

2

xÛ`y+xyÛ`=6의 양변을 x에 대하여 미분하면 2xy+xÛ` dydx+yÛ`+2xy dydx=0

3

(xÛ`+2xy) dydx=-yÛ`-2xy dy

dx=- yÛ`+2xy

xÛ`+2xy (단, xÛ`+2xy+0) yy`㉠

곡선 xÛ`y+xyÛ`=6 위의 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는

㉠에 x=1, y=2를 대입한 값과 같으므로 - 2Û`+2_1_2

1Û`+2_1_2=-;5*;

점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 y-2=-;5*;(x-1), y=-;5*;x+;;Á5¥;;

따라서 구하는 접선의 y절편은 ;;Á5¥;;이다.

 ①

xÛ`8 + yÛ`2=1의 양변을 x에 대하여 미분하면

2x8 + 2y2 ` dydx=0, dydx=- x4y (단, y+0) yy`㉠

타원 xÛ`

8 + yÛ`2=1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는

㉠에 x=2, y=1을 대입한 값과 같으므로

- 24_1=-;2!; yy`㉡

yÛ`=12x의 양변을 x에 대하여 미분하면

2y dydx=12, dydx=;]^; (단, y+0) yy`㉢

포물선 yÛ`=12x 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기는

㉢에 y=b를 대입한 값과 같으므로

;b^; yy`㉣

두 접선이 서로 평행하므로 ㉡, ㉣에서 -;2!;=;b^;, b=-12

점 P(a, b)가 포물선 yÛ`=12x 위의 점이므로 bÛ`=12a

b=-12이므로 a=12

따라서 a-b=12-(-12)=24

 24

4

x=e^` cos`t, y=e^` sin`t에서

dxdt=e^` cos`t-e^` sin`t, dydt=e^` sin`t+e^` cos`t

5

(8)

dy dx=

dydt dxdt

= e^` sin`t+e^` cos`t e^` cos`t-e^` sin`t

= sin`t+cos`tcos`t-sin`t yy`㉠

t=;2Ò;에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는 ㉠에 t=;2Ò;를 대입한 값과 같으므로

1+00-1=-1

 ②

x=tÛ`-t, y=tÛ`+2t에서 dxdt=2t-1, dydt=2t+2

dy dx=

dydt dxdt

= 2t+22t-1 yy`㉠

t=2에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는 ㉠에 t=2를 대 입한 값과 같으므로

2_2+2 2_2-1=2

또 곡선 x=tÛ`-t, y=tÛ`+2t 위의 t=2에 대응하는 점은 (2, 8)이므로 점 (2, 8)에서의 접선의 방정식은

y-8=2(x-2), y=2x+4

직선 y=2x+4의 x절편은 -2, y절편은 4이므로 구하는 삼각형의 넓이는

;2!;_2_4=4

 ②

6

1 ② 2 ③ 3 8 4 ④ 5 ②

Level

1 기초 연습

본문 24쪽

2xy+ 2xy =5의 양변을 x에 대하여 미분하면

1

yÛ`=8x의 양변을 x에 대하여 미분하면

2y dydx=8에서 dydx=;]$; (단, y+0) yy`㉠

포물선 yÛ`=8x 위의 점 (2, 4)에서의 접선의 기울기는 ㉠에 y=4를 대입한 값과 같으므로 ;4$;=1 yy`㉡

한편, 쌍곡선 xÛ`

aÛ`- yÛ`

bÛ`=1의 점근선의 방정식은

y=Ñ;aB;x yy`㉢

포물선의 접선과 쌍곡선의 한 점근선이 서로 수직이므로

㉡, ㉢에서

1_;aB;=-1 또는 1_{-;aB;}=-1 a>0, b>0이므로

;aB;=1

 ③

2

yÛ`+axy-2x+b=0의 양변을 x에 대하여 미분하면 2ydy

dx +ay+axdy dx -2=0 (ax+2y)dy

dx =2-ay dy

dx = 2-ay

ax+2y (단, ax+2y+0) 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기가 3이므로

3

2y+2x dydx+;]@;- 2xyÛ` ` dydx=0 {2x- 2xyÛ` }

dy

dx=-2y-;]@;

2x(yÛ`-1)

yÛ` ` dydx=- 2(yÛ`+1)y dy

dx=- y(yÛ`+1)

x(yÛ`-1) (단, x(yÛ`-1)+0) yy`㉠

따라서 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 ㉠에 x=1, y=2 를 대입한 값과 같으므로

- 2_(2Û`+1)

1_(2Û`-1)=-:Á3¼:

 ②

(9)

두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)가 포물선 yÛ`=6x 위에 있으므 로 yÁÛ`=6xÁ, yªÛ`=6xª

yÁ>0, yª>0이므로 yÁ='¶6xÁ, yª='¶6xª

xÁ, xª가 이차방정식 xÛ`-8x+4=0의 서로 다른 두 근이 므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

xÁ+xª=8, xÁxª=4

yÛ`=6x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y dydx=6에서 dydx=;]#; (y+0)이므로 mÁ= 3yÁ , mª= 3yª

2

2-2a

a+4 =3, 즉 5a=-10에서 a=-2

또한 점 (1, 2)는 곡선 yÛ`-2xy-2x+b=0 위의 점이므로 4-4-2+b=0에서

b=2

따라서 aÛ`+bÛ`=(-2)Û`+2Û`=8

 8

x=2t+cos`t, y=2`sin`t에서 dxdt=2-sin`t, dydt=2`cos`t이므로

dy dx=

dydt dxdt

= 2`cos`t2-sin`t

따라서 t=;6Ò;일 때 dy dx 의 값은 2`cos`;6Ò;

2-sin`;6Ò;=2_ '3 2 2-;2!; =2'3

3

 ④

4

x=e^`, y=t-2`ln`t에서 dxdt=e^`, dydt=1- 2t

dy dx=

dydt dxdt

=1-;;t@;

e^` yy`㉠

t=1에 대응하는 점에서의 접선의 기울기는 ㉠에 t=1을 대 입한 값과 같으므로

1-;1@;

e =-;e!;

또 곡선 x=e^`, y=t-2`ln`t의 t=1에 대응하는 점의 좌표 는 (e, 1)이므로 점 (e, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=-;e!;(x-e), y=-;e!;x+2

따라서 구하는 접선의 y절편은 2이다.

 ②

5

1 ⑤ 2 11 3 ③ 4 ⑤

Level

2 기본 연습

본문 25쪽

xÛ`-yÜ`=k의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-3yÛ` dydx=0에서 dydx= 2x

3yÛ` (y+0)이므로 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기는 2a

3bÛ`

xy=2의 양변을 x에 대하여 미분하면 y+x dy

dx=0에서 dydx=-;[}; (x+0)이므로 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기는 -;aB;

점 P(a, b)에서의 두 접선이 서로 수직이므로 2a

3bÛ`_{-;aB;}=-1에서 b=;3@; yy`㉠

한편, 두 곡선 xÛ`-yÜ`=k와 xy=2가 점 P(a, b)를 지나므로 aÛ`-bÜ`=k yy`㉡

ab=2 yy`㉢

㉠을 ㉢에 대입하면 a=3 a=3, b=;3@;를 ㉡에 대입하면 3Û`-{;3@;}Ü`=k에서

k=:ª2£7°:

 ⑤

1

(10)

xÛ`2-yÛ`=1의 양변을 x에 대하여 미분하면

2x2 -2y dydx=0에서 dydx= x2y (y+0)이므로 쌍곡선 xÛ`2-yÛ`=1 위의 점 (2, 1)에서의 접선의 기울기는 2_12 =1

점 (2, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=x-2, y=x-1

타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (a>b>0)의 초점은 x축 위에, 꼭짓점 은 x축과 y축 위에 있고, 직선 y=x-1이 x축, y축과 만나 는 점의 좌표는 각각 (1, 0), (0, -1)이므로 타원의 한 초 점의 좌표는 (1, 0)이고 한 꼭짓점의 좌표는 (0, -1)이다.

점 (1, 0)이 타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1`(a>b>0)의 초점이므로 aÛ`-bÛ`=1 yy`㉠

점 (0, -1)이 타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1의 꼭짓점이므로 bÛ`=1

bÛ`=1을 ㉠에 대입하면 aÛ`=2 따라서 aÛ`+bÛ`=2+1=3

 ③

3

x=h-sin`h, y=1-cos`h에서 dxdh=1-cos`h, dydh=sin`h이므로

4

(mÁ+mª)Û`={ 3yÁ + 3 yª }Û`

= 9yÁÛ`+ 9

yªÛ`+ 18yÁyª

= 96xÁ+ 96xª+ 18 '¶6xÁ '¶6xª 

=;2#;_xÁ+xª xÁxª + 3

'¶xÁxª 

=;2#;_;4*;+ 3'4

=3+;2#;=;2(;

따라서 p=2, q=9이므로 p+q=2+9=11

 11

1 ④ 2 8 3 16 4 ⑤

Level

3 실력 완성

본문 26쪽

타원 xÛ`

16+ yÛ`12=1의 초점 F의 x좌표를 c`(c>0)이라 하 면 cÛ`=16-12에서 c=2이므로 F(2, 0), F'(-2, 0) 타원의 정의에 의하여 FÕ'PÓ+PFÓ=2'Œ1Œ6=8

PQÓ=PFÓ이므로 FÕ'PÓ+PQÓ=8, 즉 FÕ'QÓ=8

따라서 도형 C는 중심이 F'(-2, 0)이고 반지름의 길이가 8인 원이다.

한편, xÛ`

16+ yÛ`12=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 2x16+ 2y12` dydx=0에서 dydx=- 3x4y`(y+0)

이므로 타원 위의 점 A(-2, 3)에서의 접선의 방정식은 y-3=- 3_(-2)4_3 (x+2)에서 x-2y+8=0

원 C의 중심 F'(-2, 0)에서 직선 x-2y+8=0에 내린 수선의 발을 H라 하면

F'HÓ= |(-2)-2_0+8|

"Ã1Û`+(-2)Û` = 6 '5

1

dy dx=

dydh dxdh

= sin`h1-cos`h

점 P(a, b)가 h=a에 대응되는 점이라 할 때 점 P(a, b)에서의 접선의 기울기가 '3이므로

sin`a 1-cos`a ='3 sin`a='3(1-cos`a) sinÛ``a=3(1-cos`a)Û`

1-cosÛ``a=3-6`cos`a+3`cosÛ``a 2`cosÛ``a-3`cos`a+1=0 (2`cos`a-1)(cos`a-1)=0 0<a<p일 때 -1<cos`a<1이므로 cos`a=;2!;

따라서 b=1-cos`a=1-;2!;=;2!;

 ⑤

(11)

yÛ`=8x의 양변을 x에 대하여 미분하면 2y dydx=8에서 dydx=;]$; (단, y+0)

따라서 포물선 yÛ`=8x 위의 점 (xÇ, yÇ)에서의 접선의 방정 식은

y-yÇ= 4

yÇ(x-xÇ) (단, yÇ+0) 이 접선의 y절편이 yn+1이므로 yn+1-yn= 4

yÇ(0-xÇ) yn+1-yÇ=-4xÇ

yÇÛ`=8xÇ에서 xÇ=ynÛ`

8 이므로

yn+1-yÇ=-4_yÇÛ`

yÇ8

yn+1=yÇ-;2!;yÇ yn+1=;2!;yÇ

따라서 수열 {yÇ}은 yÁ=4이고 공비가 ;2!;인 등비수열이므로

;N'+! yÇ= 4 1-;2!;=8

 8

2

4xÛ`3 - yÛ`3=1의 양변을 x에 대하여 미분하면 8x3 - 2y3 ` dydx=0에서 dydx= 4xy `(y+0)

이므로 쌍곡선 위의 점 A(1, 1)에서의 접선의 방정식은 y-1=4(x-1)에서 y=4x-3

직선 y=4x-3이 y축과 만나는 점이 B이므로 B(0, -3) 한편, 포물선 C의 준선을 l이라 하고 포물선 C 위의 두 점

3

이고, F'MÓ=F'NÓ=8이므로 MNÓ=2MHÓ=2¿µF'MÓ Û`-F'HÓ Û`

=2¾¨8Û`-{ 6'5 }Û`= 4'§71 '5 따라서 삼각형 F'MN의 넓이는

;2!;_4'§71 '5 _ 6

'5=12'§71 5

 ④

A, B에서 준선 l에 내린 수선의 발을 각각 HÁ, Hª라 하면 MZ ZY

Y

$

L 0 '

)m Y™

"  

#  

포물선의 정의에 의하여 FAÓ=AHÁÓ, FBÓ=BHªÓ이므로

FAÓ+FBÓ=AHÁÓ+BHªÓ yy`㉠

이때 초점 F는 선분 AB 위에 있으므로

FAÓ+FBÓ=ABÓ="Ã1Û`+(1+3)Û`='¶17 yy`㉡

이고, 준선 l의 방정식이 x=k`(k<0)이므로 AHÁÓ+BHªÓ=(1-k)+(-k)=1-2k yy`㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 '¶17=1-2k이므로 k=;2!;- '§17

2

따라서 a=;2!;, b=-;2!;이므로 1

aÛ`bÛ`=16

 16

x=2+cosÛ``h, y=cos`h-8`sin`h에서 dxdh=2(cos`h)(-sin`h)=-2`sin`h`cos`h, dy

dh=-sin`h-8`cos`h이므로 dydx=

dhdy dxdh

= -sin`h-8`cos`h-2`sin`h`cos`h

= sin`h+8`cos`h2`sin`h`cos`h =;2!; { 1 cos`h + 8

sin`h } f(h)=;2!; { 1cos`h + 8

sin`h }이라 하면 f '(h)

=;2!; { sin`hcosÛ``h+ -8`cos`h sinÛ``h }

=;2!;_ sinÜ``h-8`cosÜ``hcosÛ``h`sinÛ``h

=;2!;_(sin`h-2`cos`h)(sinÛ``h+2`sin`h`cos`h+4`cosÛ``h) cosÛ``h`sinÛ``h

4

(12)

0<h<;2Ò;일 때, 0<sin`h<1, 0<cos`h<1이므로 f '(h)=0에서 sin`h=2`cos`h

방정식 sin`h=2`cos`h의 해를 h=a {0<a<;2Ò;}라 하면 sin`a=2`cos`a에서

sinÛ``a=4`cosÛ``a, sinÛ``a=4(1-sinÛ``a) 5`sinÛ``a=4이므로

sin`a=2'5

5 , cos`a='5 5

0<h<;2Ò;에서 함수 f(h)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

h (0) y a y {;2Ò;}

f '(h) - 0 +

f(h) ↘ 극소 ↗

따라서 0<h<;2Ò;에서 함수 f(h)는 h=a일 때 극소이면서 최소이므로 주어진 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기 dy dx 의 최솟값은

f(a)=;2!;_» 1 '55

+ 82'5 5 ¼

=5'5 2

 ⑤

수능특강 지문·자료 분석 능력을 단번에 올리는 [수능특강 사용설명서]

수능특강 사용설명서

QR코드 앱을 사용해 추가 정보를 확인하세요.

(13)

벡터의 연산

03

유제

본문 29~33쪽

1 ① 2 ③ 3 ① 4 4 5 ③ 6 ④

점 M은 선분 BC의 중점이므로 정삼각형 ABC의 무게중 심 G는 선분 AM 위에 있다.

MGÓ=;3!; AMÓ=;3!;_ '3 2 _6='3 MÕG³=BP³이고 MGÓ⊥BCÓ이므로

|BP³|=|MÕG³|=MGÓ='3, BPÓ⊥BCÓ 직각삼각형 PBC에서

|CP³|=CPÓ=¿¹ BPÓ Û`+BCÓ Û`

="Ã('3 )Û`+6Û`='¶39

 ①

1

두 삼각형 AHD와 ABC는 서로 닮음이므로 AHÓ`:`ABÓ=ADÓ`:`ACÓ

즉, AHÓ`:`5=2`:`5이므로 AHÓ=2 HBÓ=5-AHÓ=3

)

%

#

$

"

|CH³|=CHÓ=2'3이므로 직각삼각형 CHB에서

BCÓ=¿¹ CHÓ Û`-HBÓ Û`="Ã(2'3 )Û`-3Û`='3 직각삼각형 ABC에서

ACÓ=¿¹ ABÓ Û`+BCÓ Û`="Ã5Û`+('3 )Û`=2'7 따라서 |AC³|=ACÓ=2'7

 ③

2

|AD³+OC³|=1에서

3

마름모 ABCD의 넓이가 2'3이므로 2_{;2!;_ADÓ_ABÓ`sin`;3Ò;}=2'3 따라서 ADÓ=ABÓ=2

|DÕA³+DB³-CD³| =|DÕA³+DB³+DC³|

=|(DÕA³+DC³)+DB³|

=|DB³+DB³|=2|DB³|

삼각형 ABD는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이므로

|DÕA³+DB³-CD³| =2|DB³|=2_DBÓ

=2_2=4

 4

4

m(2aø-bø)=(3+n)aø+2nbø에서 2maø-mbø=(3+n)aø+2nbø

영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않으므로 2m=3+n, -m=2n

n=2m-3이므로 -m=2(2m-3), 5m=6 따라서 m=;5^;, n=-;5#;이므로 m+n=;5^;+{-;5#;}=;5#;

 ③

5

AB³=OB³-OA³=3aø+4bø-aø=2aø+4bø AC³=OC³-OA³=2aø+kbø-aø=aø+kbø

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로 AC³=tAB³를 만 족시키는 0이 아닌 실수 t가 존재한다.

6

|AD³+OC³| =|OD³-OA³+OC³|

=|OD³+OB³+OC³|

=|OD³+(OB³+OC³)|

두 삼각형 COD, DOB는 모두 정삼각형이므로 사각형 COBD는 평행사변형이다.

OB³+OC³=OD³이므로

|AD³+OC³|=|OD³+OD³|=2|OD³|=1

따라서 반원의 반지름의 길이가 ;2!;이므로 구하는 넓이는

;2!;_p_{;2!;}Û`=;8Ò;

 ①

(14)

aø+kbø=t(2aø+4bø)=2taø+4tbø에서 두 벡터 aø, bø는 영벡 터가 아니고 서로 평행하지 않으므로

2t=1, 4t=k 따라서 t=;2!;, k=2

 ④

1 ② 2 ⑤ 3 ④ 4 ③ 5 5

Level

1 기초 연습

본문 34쪽

삼각형 ABC의 넓이가 3'2이므로

;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`;4Ò;=3'2에서

;2!;_|AB³|_|BC³|_sin`;4Ò;=3'2

;2!;_4_|BC³|_ '2 2 =3'2 따라서 |BC³|=3

 ②

1

두 점 M, N이 각각 두 선분 AD, BC의 중점이므로 BN³=AÕM³에서

BN³-CÕM³=AÕM³-CÕM³=AÕM³+MÕC³=AC³ 따라서

|BN³-CÕM³|=|AC³|=ACÓ

=¿¹ ABÓ Û`+BCÓ Û`='1Œ3

 ⑤

2

# B 1

"

$

%

그림과 같이 정사각형 ABCD에서 점 P는 선분 AB를 1`:`2로 내분하는 점이므로

PB³=2AP³

3

|2PA³+PB³+PC³| =|2PA³+2AP³+PC³|

=|0ø+PC³|=|PC³|

='1Œ3

정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 a라 하면

|PC³|=PCÓ=¾Ð{;3@;a}Û`+aÛ`= '1Œ3 3 a 이때 '1Œ3

3 a='1Œ3이므로 a=3 따라서 |AB³|=ABÓ=a=3

 ④

w

0 " $ )

# %

그림과 같이 OC³=2OA³인 점 C에 대하여 OC³=BD³인 점 D를 잡으면

OP³=2 OA³+OB³=OC³+OB³=OD³

점 D에서 선분 OC의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 DCÓ=2,∠DCH=;3Ò;이므로

CHÓ=2`cos`;3Ò;=1, DHÓ=2`sin`;3Ò;='3 직각삼각형 DOH에서

ODÓ=¿¹ OHÓ Û`+DHÓ Û`="Ã5Û`+('3 )Û`=2'7 따라서 |OP³|=|OD³|=ODÓ=2'7

 ③

4

AC³ =AF³+FC³=AF³+2AB³=bø+2aø 두 선분 AD와 FC가 만나는 점을 O라 하면 AD³ =2AO³=2(AB³+AF³)

=2(aø+bø)=2aø+2bø

3AC³-AD³ =3(bø+2aø)-(2aø+2bø)

=3bø+6aø-2aø-2bø

=4aø+bø=maø+nbø

영벡터가 아닌 두 벡터 aø, bø가 서로 평행하지 않으므로 m=4, n=1

따라서 m+n=4+1=5

 5

5

(15)

1 ③ 2 ⑤ 3 ② 4 ③

Level

2 기본 연습

본문 35쪽

PA³=-2AB³에서 AP³=2AB³이므로 두 벡터 AP³, AB³는 서로 같은 방향이고

|AP³|=2|AB³|=2_2=4

따라서 점 P는 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점이다.

BQ³=;2!; CQ³에서 BQ³=;2!;(BQ³-BC³)

;2!; BQ³=-;2!; BC³, BQ³=-BC³이므로 두 벡터 BQ³, BC³는 서로 반대 방향이고, |BQ³|=|-BC³|=|BC³|=2이다.

따라서 점 Q는 선분 BC를 1`:`2로 외분하는 점이다.

$

2

" # 1

이때 사각형 AQPC는 직사각형이므로 구하는 사각형 AQPC의 넓이는

ACÓ_AQÓ=ACÓ_APÓcos`;6Ò;

=2_4_ '3 2 =4'3

 ③

1

PA³+PB³=PD³-PC³=CD³ CD³=BÕA³이므로

PA³+PB³=BÕA³=PA³-PB³ 2PB³=0ø

즉, PB³=0ø이므로 점 P는 점 B와 일치한다.

ABÓ=3a라 하면 ADÓ=4a

직사각형 ABCD의 넓이가 24이므로 3a_4a=24, 12aÛ`=24, a='2 따라서

|PC³-DC³| =|PC³+CD³|=|PD³|

=|BD³|=BDÓ

="Ã(3'2 )Û`+(4'2 )Û`=5'2

 ⑤

2

)

" 0 ' 1

Z Z™ Y

Y

yÛ`=8x=4_2x에서 초점의 좌표는 F(2, 0)이고 준선의 방정식은 x=-2이다.

점 P에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 H라 하자.

점 P의 x좌표를 a라 하면 P(a, '8Œa)

|PA³|=PAÓ=7이고 A(-2, 0)이므로 직각삼각형 PHA 에서

PHÓ Û`+HAÓ Û`=PAÓ Û`, (a+2)Û`+('8Œa)Û`=7Û`

aÛ`+12a-45=0, (a+15)(a-3)=0 a>0이므로 a=3

즉, P(3, 2'6 ) 따라서

|PA³-2FO³| =|PA³+2OF³|

=|PA³+2AO³|

=|PA³+AF³|

=|PF³|=PFÓ

=PHÓ=3+2=5

 ②

3

(3t-2)DÕA³+tDB³=(3t-2)DC³+tDP³에서 (3t-2)(DÕA³-DC³)=t(DP³-DB³) (3t-2)CA³=tBP³

BP³= 3t-2t CA³={3- 2t }CA³ 직각삼각형 ABC에서

CAÓ=¿¹ ABÓ Û`+BCÓ Û`

="Ã4Û`+(2'5 )Û`

='3Œ6=6

2ÉtÉ4에서 2É3- 2t É;2%;

|BP³|={3- 2t }|CA³|

={3- 2t } CAÓ

=6_{3- 2t }

4

(16)

1 ③ 2 ④ 3 ④

Level

3 실력 완성

본문 36쪽

원 C는 중심의 좌표가 (2, 2)이고 반지름의 길이가 2인 원 이므로

C`:`(x-2)Û`+(y-2)Û`=4

실수 k에 대하여 |OÕPk³+OÕQk³|=0이 되도록 하는 원 C 위 의 한 점을 Pk, 직선 y=k 위의 한 점을 Qk라 하자.

|OÕPk³+OÕQk³|=0이므로 OÕPk³+OÕQk³=0ø OÕQk³=-OÕPk³

따라서 직선 y=k 위의 점 Qk는 점 Pk를 원점에 대하여 대 칭이동시킨 점이므로 원 C를 원점에 대하여 대칭이동시킨 원 C'`:`(x+2)Û`+(y+2)Û`=4 위의 점이어야 한다.

즉, 점 Qk는 원 C'과 직선 y=k가 만나는 점이므로 점 Qk

가 존재하도록 하는 실수 k의 값의 범위는 -4ÉkÉ0이다.

따라서 구하는 정수 k는 -4, -3, -2, -1, 0으로 5개 이다.

0 









Z

ZL Y

$

$

 ③

1

점 B의 좌표를 (6, 0)이라 하면 OB³=2OA³

OP³=BX³인 점 X는 원 (x-1)Û`+(y-1)Û`=2를 x축의 방향으로 6만큼 평행이동한 원 C`:`(x-7)Û`+(y-1)Û`=2 위의 점이다.

원 C의 중심을 C라 하면 점 C의 좌표는 C(7, 1)이다.

$

0



. #

"

9

$ /

 Z

Y

3

DÕA³=aø, DC³=bø라 하면 5AE³=2AC³, AE³=;5@; AC³에서 DE³=DÕA³+AE³

=DÕA³+;5@; AC³

=DÕA³+;5@;(DC³-DÕA³)

=aø+;5@;(bø-aø)

=;5#;aø+;5@;bø yy`㉠

5AF³=2AB³, AF³=;5@; AB³에서 DF³=DÕA³+AF³

=DÕA³+;5@; AB³

=DÕA³+;5@; DC³

=aø+;5@;bø 따라서

DG³=sDF³+(1-s)DC³

=s{aø+;5@;bø`}+(1-s)bø

=saø+{1-;5#;s}bø yy`㉡

서로 다른 세 점 D, E, G가 한 직선 위에 있으므로 DG³=kDE³인 0이 아닌 실수 k가 존재한다.

㉠, ㉡에서 ;5#;k=s, ;5@;k=1-;5#;s이므로

;3@;s=1-;5#;s, ;1!5(;s=1 따라서 s=;1!9%;

 ④

# $

"

'

( &

%

2

6_2É|BP³|É6_;2%;이므로 |BP³|의 최댓값은 t=4일 때 15, 최솟값은 t=2일 때 12이다.

따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 15+12=27

 ③

(17)

OP³+2OÕA³ =OP³+OB³

=OB³+OP³

=OB³+BX³=OX³

이므로 직선 OC가 원 C와 만나는 두 점을 점 O에 가까운 점부터 차례로 M, N이라 하면 점 X가 점 N에 있을 때

|OX³|의 값이 최대이고 최댓값은 OCÓ+CNÓ ="Ã7Û`+1Û`+'2

=5'2+'2=6'2

점 X가 점 M에 있을 때 |OX³|의 값이 최소이고 최솟값은 OCÓ-CMÓ ="Ã7Û`+1Û`-'2

=5'2-'2=4'2

따라서 구하는 최댓값과 최솟값의 곱은 6'2_4'2=48

 ④

EBS 수능 기출을 제대로 풀면 수능을 보는 눈이 열린다.

기출의 미래

QR코드 앱을 사용해 추가 정보를 확인하세요.

(18)

평면벡터의 성분과 내적

04

유제

본문 39~45쪽

1 ③ 2 24 3 ⑤ 4 ③ 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 12

5BP³+3 CP³=0ø에서 5BP³=-3 CP³=3 PC³ 즉, BPÓ`:`PCÓ=3`:`5

점 P는 선분 BC를 3`:`5로 내분하는 점이므로 AP³= 3AC³+5AB³3+5

=;8%; AB³+;8#; AC³ 따라서 a=;8%;, b=;8#;이므로 a-b=;8%;-;8#;=;4!;

 ③

1

점 G가 삼각형 ABC의 무게중심이므로 GAÓ`:`GQÓ=2`:`1

또한 GA³는 GQ³와 방향이 서로 반대이므로 GA³=-2GQ³에서

AB³ =2AP³

=2(GP³-GA³)

=2{pø-(-2qø)}

=2pø+4qø

따라서 m=2, n=4이므로 10m+n=10_2+4=24

 24

2

2aø+bø=3(aø-2bø)에서 2aø+bø=3aø-6bø, aø=7bø

aø=(14, 3m-1), bø=(n, 2)이므로 (14, 3m-1)=7(n, 2)

14=7n, 3m-1=14 따라서 m=5, n=2이므로

3

m+n=5+2=7

 ⑤

원점 O에 대하여

AB³=OB³-OÕA³=(5, -3)-(2, 1)=(3, -4)

|AB³|="Ã3Û`+(-4)Û`=5

벡터 AB³와 방향이 같은 단위벡터는

;5!; AB³=;5!;(3, -4)

벡터 pø는 벡터 AB³와 방향이 반대이고 |pø|=3이므로 pø=-;5#; AB³=-;5#;(3, -4)={-;5(;, :Á5ª:}

따라서 벡터 pø의 모든 성분의 합은 -;5(;+:Á5ª:=;5#;

 ③

4

A(2, -x), B(x, 3), C(-1, 2x)와 원점 O에 대하여 AB³ =OB³-OA³

=(x, 3)-(2, -x)=(x-2, 3+x) AC³ =OC³-OA³

=(-1, 2x)-(2, -x)=(-3, 3x) AB³•AC³ =(x-2, 3+x)•(-3, 3x)

=-3x+6+9x+3xÛ`

=3(xÛ`+2x+1)+3

=3(x+1)Û`+3

따라서 AB³•AC³의 값은 x=-1일 때 최소이다.

 ②

5

원 C`:`(x-4)Û`+(y-3)Û`=4는 중심이 C(4, 3)이고 반지 름의 길이가 2이다.

OCÓ="Ã4Û`+3Û`=5이므로

|OA³|=OAÓ=OCÓ-ACÓ=5-2=3

점 B는 점 O에서 원 C에 그은 한 접선의 접점이므로

∠OBC=;2Ò;

직각삼각형 OBC에서

|OB³|=OBÓ=¿¹ OCÓ Û`-BCÓ Û`="Ã5Û`-2Û`='2Œ1 이고 ∠BOA=∠BOC=h라 하면

6

(19)

cos`h= '2Œ1 5 따라서

OÕA³•OB³=|OÕA³||OB³|cos`h

=3_'2Œ1_ '2Œ1 5

=:¤5£:

 ③

두 벡터 2aø+3bø, aø-bø가 서로 수직이므로 (2aø+3bø)•(aø-bø)=0에서

2|aø|Û`+aø•bø-3|bø|Û`=0 이때 |aø|=1, |bø|=2이므로 2_1Û`+aø•bø-3_2Û`=0 따라서 aø•bø=10

 ④

7

OÕA³•OP³=OB³•OP³에서 OB³•OP³-OÕA³•OP³=0 (OB³-OÕA³)•OP³=0 AB³•OP³=0

즉, 영벡터가 아닌 두 벡터 AB³, OP³가 서로 수직이므로 삼 각형 OAB의 넓이는

;2!;_ABÓ_OPÓ=;2!;_|AB³|_|OP³|

=;2!;_6_|OP³|=36 따라서 |OP³|=12

 12

8

aø=(-4, 6), bø=(2, 1), cø=(0, 1)에 대하여 bø+cø=(2, 1)+(0, 1)=(2, 2)

bø-cø=(2, 1)-(0, 1)=(2, 0) aø =m(2, 2)+n(2, 0)

=(2m+2n, 2m)

=(-4, 6)

2m+2n=-4, 2m=6에서 m=3, n=-5

따라서 m-n=3-(-5)=8

 8

aø =m(bø+cø)+n(bø-cø)

=(m+n)bø+(m-n)cø

=(m+n)(2, 1)+(m-n)(0, 1)

=(2m+2n, 2m)

=(-4, 6)

2m+2n=-4, 2m=6에서 m=3, n=-5

따라서 m-n=3-(-5)=8

2

두 점 C, D의 위치벡터를 각각 cø, dø라 하면 cø= bø+2aø

1+2 = 2aø+bø3

1

1 ④ 2 8 3 ④ 4 ② 5 ①

Level

1 기초 연습

본문 46쪽

dø= bø-2aø

1-2 =2aø-bø 이므로

CD³=dø-cø

=2aø-bø- 2aø+bø3

= 6aø-3bø-2aø-bø3

=;3$;aø-;3$;bø

따라서 m=;3$;, n=-;3$;이므로 m-n=;3$;-{-;3$;}=;3*;

 ④

|2aø-bø|='5에서

|2aø-bø|Û` =4|aø|Û`-4aø•bø+|bø|Û`

=4|aø|Û`-4|aø||bø|cos`h+|bø|Û`이므로 ('5 )Û`=4_1Û`-4_1_3`cos`h+3Û`

3

(20)

세 점 A(1, a), B(3, 1), C(4, -1)에 대하여 AB³ =OB³-OA³

=(3, 1)-(1, a)=(2, 1-a) OC³=(4, -1)

AB³•OC³=11에서

(2, 1-a)•(4, -1) =2_4+(1-a)_(-1)

=8+a-1=11 따라서 a=4

 ②

4

aø=(4, 2), bø=(-1, 3), cø=(m, -2)에 대하여 aø-2bø=(4, 2)-2(-1, 3)=(6, -4)

bø+cø=(-1, 3)+(m, -2)=(m-1, 1)

두 벡터 aø-2bø와 bø+cø가 서로 평행하므로 0이 아닌 실수 k 에 대하여

(6, -4)=k(m-1, 1) k(m-1)=6, k=-4에서 -4(m-1)=6, m-1=-;2#;

따라서 m=-;2!;

 ①

5

영벡터가 아닌 두 평면벡터 aø, bø가 서로 평행하므로

aø=kbø`(k는 0이 아닌 실수) 로 놓을 수 있다.

aø•bø=k|bø|Û`=4 yy`㉠

(aø+bø)•(aø-bø) =|aø|Û`-|bø|Û`

=(kÛ`-1)|bø|Û`=-6 yy`㉡

㉠, ㉡에서 kÛ`-1

k =-;4^;=-;2#;

2kÛ`+3k-2=0, (k+2)(2k-1)=0 k=-2 또는 k=;2!;

㉠, ㉡에서 0<k<1이므로 k=;2!;

따라서 |bø|Û`=;k$;=4_2=8이므로 (3aø+bø)•bø =3aø•bø+|bø|Û`

=3_4+8=20

 20

2

조건 (가)에서 2BP³=-CP³=PC³이므로 점 P는 선분 BC 를 1`:`2로 내분하는 점이다.

따라서 AP³=;3@; AB³+;3!; AC³ 조건 (나)에서

1

1 ⑤ 2 20 3 ④ 4 ②

Level

2 기본 연습

본문 47쪽

AB³=aø, AC³=bø라 하면

|aø|=2, |bø|=1, aø•bø=;4#;

선분 AD가 ∠BAC의 이등분선이고 ABÓ`:`ACÓ=2`:`1이 므로

3

12`cos`h=8

따라서 cos`h=;1¥2;=;3@;

 ④

9AQ³+2BQ³+CQ³

=9AQ³+2(AQ³-AB³)+(AQ³-AC³)

=12AQ³-2AB³-AC³

=0ø 따라서 AQ³

=;1ª2; AB³+;1Á2; AC³

=;4!;{;3@; AB³+;3!; AC³ }

=;4!; AP³

따라서 점 Q는 선분 AP를 1`:`3으로 내분하는 점이므로

|PQ³|

|AÕQ³|=PQÓ AQÓ=3

 ⑤

"

# 1 $

2

(21)

A(1, 2), B(3, 1)에 대하여 AB³ =OB³-OA³

=(3, 1)-(1, 2)

=(2, -1)

반지름의 길이가 '5인 원 C의 중심을 C라 하면 C(1, 1), OC³=(1, 1)

OP³=OC³+CP³이므로 OP³•AB³ =(OC³+CP³)•AB³

=OC³•AB³+CP³•AB³

=(1, 1)•(2, -1)+CP³•AB³

=1_2+1_(-1)+CP³•AB³

=1+CP³•AB³

두 벡터 CP³, AB³가 이루는 각의 크기를 h (0ÉhÉp)라 하 면

CP³•AB³ =|CP³||(2, -1)| cos`h

='5_'5_cos`h

=5`cos`h 이고 -1Écos`hÉ1이므로

h=0일 때 CP³•AB³의 최댓값은 5이다.

따라서 OP³•AB³의 최댓값은 1+5=6이다.

 ②

4

"

w

0

 

 #

OAÓ=2, OBÓ='3, ABÓ=1이므로

|aø|=2,|bø|='3이고 ∠AOB=;6Ò;이다.

aø•bø=|aø||bø| cos`;6Ò;=2_'3_ '3 2 =3 조건 (가)에서 OP³•OQ³=0

(3aø-bø)•(maø-nbø)=0 3m|aø|Û`-(3n+m)aø•bø+n|bø|Û`

=12m-3(3n+m)+3n=0 따라서 9m-6n=0이므로 n=;2#;m

m, n은 자연수이므로 m은 짝수인 자연수이어야 한다.

|OQ³|¾7에서 |OQ³|Û`¾49

|OQ³|Û` =mÛ`|aø|Û`-2mn(aø•bø)+nÛ`|bø|Û`

=4mÛ`-6mn+3nÛ` yy`㉠

㉠에 n=;2#;m을 대입하면

|OQ³|Û`=4mÛ`-6m_;2#;m+3{;2#;m}Û`=;4&;mÛ`¾49, mÛ`¾28 m은 짝수인 자연수이므로 m의 최솟값은 6이고 이때의 n=;2#;_6=9이다.

따라서 구하는 m+n의 최솟값은 m=6, n=9일 때이므로 6+9=15이다.

 ①

1

AB³=aø, AC³=bø로 놓으면

|BC³|Û` =|bø-aø|Û`

=|bø|Û`-2aø•bø+|aø|Û`

=5Û`-2aø•bø+4Û`

=41-2aø•bø 이때 |BC³|Û`=6Û`=36이므로 aø•bø=;2%;

AF³=kAB³+lAC³이므로 CF³ =AF³-AC³

=(kaø+lbø)-bø

=kaø+(l-1)bø

2

1 ① 2 ③ 3 ④ 4 12

Level

3 실력 완성

본문 48쪽

BDÓ`:`DCÓ=2`:`1

따라서 점 D는 선분 BC를 2`:`1로 내분하는 점이므로 AD³=;3!; AB³+;3@; AC³=;3!;aø+;3@;bø

또한 CB³=AB³-AC³=aø-bø이므로 AD³•CB³={;3!;aø+;3@;bø }•(aø-bø)

=;3!;aø•aø-;3!;aø•bø+;3@;aø•bø-;3@;bø•bø

=;3!;|aø|Û`+;3!;aø•bø-;3@;|bø|Û`

=;3$;+;4!;-;3@;=;1!2!;

 ④

(22)

"

# . $

1

MÕP³=tAP³`(0<t<1)에서 점 P는 직선 AM 위의 점이고 APÓ>MPÓ이므로 점 P의 위치는 그림과 같다.

또한 APÓ : MPÓ=1 : t이므로 점 P는 선분 AM을 1 : t로 외분하는 점이다.

CP³= CÕM³-t CA³1-t

= tt-1 CA³+ 11-t CÕM³

= tt-1 CA³+ 11-t_;2!; CB³

=m CA³+;2#; CB³

에서 두 벡터 CA³, CB³는 영벡터가 아니고 서로 평행하지

3

|aø|='2, |bø|=1, aø•bø=0이므로

|xaø+ybø|=2에서

|xaø+ybø|Û` =(xaø+ybø)•(xaø+ybø)

=xÛ`|aø|Û`+2xy(aø•bø)+yÛ`|bø|Û`

=2xÛ`+yÛ`=4 따라서 점 P(x, y)는 곡선 C`:`2xÛ`+yÛ`-4=0 yy`㉠

위의 점이다.

OA³•OP³=(1, 1)•(x, y)=x+y에서

x+y=k`(k는 실수)라 하면 점 P(x, y)는 직선 x+y=k, 즉 y=k-x 위의 점이다.

y=k-x를 ㉠에 대입하면 2xÛ`+(k-x)Û`-4=0

3xÛ`-2kx+kÛ`-4=0 yy`㉡

점 P(x, y)가 존재하려면 x에 대한 이차방정식 ㉡의 판별 식을 D라 할 때 D¾0이어야 한다.

D4 =kÛ`-3(kÛ`-4)=-2kÛ`+12¾0 kÛ`-6É0, -'6ÉkÉ'6

따라서 OA³•OP³=k의 최댓값 M과 최솟값 m은 M='6, m=-'6이므로

MÛ`+mÛ`=('6)Û`+(-'6)Û`=12

 12

4

AB³⊥CF³이므로 AB³•CF³=0에서 aø•{kaø+(l-1)bø}=0

k|aø|Û`+(l-1)aø•bø=0 16k+(l-1)_;2%;=0 32k+5l-5=0 yy`㉠

BF³ =AF³-AB³

=(kaø+lbø)-aø

=(k-1)aø+lbø

AC³⊥BF³이므로 AC³•BF³=0에서 bø•{(k-1)aø+lbø}=0

(k-1)aø•bø+l|bø|Û`=0 (k-1)_;2%;+25l=0 k+10l-1=0 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=;7!;, l=;3£5;

따라서 k+l=;7!;+;3£5;=;3¥5;

 ③

않으므로 m= tt-1 , 1

2(1-t)=;2#;

1

2(1-t)=;2#;에서 1-t=;3!;, t=;3@;

따라서 m= ;3@;

;3@;-1=-2이므로 CP³=-2CA³+;2#; CB³

|CP³|Û`=5에서

|CP³|Û`={-2CA³+;2#; CB³}•{-2 CA³+;2#; CB³}

=4|CA³|Û`-6 CA³•CB³+;4(;|CB³|Û`

=4_1-6 CA³•CB³+;4(;_2Û`=5 따라서 CA³•CB³=13-5

6 =;3$;

 ④

(23)

평면 곡선과 평면 운동

05

유제

본문 51~55쪽

1 ③ 2 ⑤ 3 ② 4 13 5 ④ 6 55

f(x)=xÛ`+x+2에 대하여 f(-1)=2, f(1)=4이므로 P(-1, 2), Q(1, 4) 원점 O에 대하여 PQ³ =OQ³-OP³

=(1, 4)-(-1, 2)=(2, 2) 두 벡터 uø와 PQ³는 서로 평행하므로 uø=k(2, 2)=(2k, 2k) (k는 양수) 로 놓을 수 있다.

|uø|=4'2에서

4kÛ`+4kÛ`=(4'2)Û`, 8kÛ`=32, kÛ`=4 k>0이므로 k=2

즉, uø=(4, 4)

따라서 a=4, b=4이므로 a+b=4+4=8

 ③

1

두 직선 lÁ, lª의 방향벡터를 각각 uÁ²=(2, 1), uª²=(4, -3)이라 하면 uÁ²•uª²=(2, 1)•(4, -3)=8+(-3)=5

|uÁ²|="Ã2Û`+1Û`='5

|uª²|="Ã4Û`+(-3)Û`='2Œ5=5 따라서

cos`h= |uÁ²•uª²|

|uÁ²||uª²|

= 5 '5_5= 1

'5= '5 5

 ⑤

2

점 P의 시각 t에서의 속도를 vø라 하면 dxdt=2t+1, dydt=2t+2에서

3

|vø|="Ã(2t+1)Û`+(2t+2)Û`

따라서 시각 t=1에서의 점 P의 속력은

"Ã(2_1+1)Û`+(2_1+2)Û`=5

 ②

점 P의 시각 t에서의 가속도를 aø라 하면 dxdt=1-2`sin`t, dydt=2`cos`2t dÛ`x

dtÛ`=-2`cos`t, dÛ`y

dtÛ`=-4`sin`2t에서

|aø|="Ã(-2`cos`t)Û`+(-4`sin`2t)Û`이므로 점 P의 시각 t=;3Ò;에서의 가속도의 크기는 k=®É4 cosÛ``;3Ò;+16 sinÛ`` 2p3

=¾Ð4_{;2!;}Û`+16_{ '3 2 }Û`='1Œ3 따라서 kÛ`=13

 13

4

x=et`cos`t에서 dxdt=et(cos`t-sin`t) y=et`sin`t에서 dydt=et(sin`t+cos`t)이므로 { dxdt }Û`+{ dydt }Û`

=e2t(cos`t-sin`t)Û`+e2t(sin`t+cos`t)Û`

=e2t{(cos`t-sin`t)Û`+(sin`t+cos`t)Û`}

=e2t_2(sinÛ``t+cosÛ``t)=2e2t

따라서 시각 t=0에서 시각 t=ln`5까지 점 P가 움직인 거 리를 s라 하면

s=:) ln`5¾Ð{ dxdt }Û`+{ dydt }Û``dt

=:) ln`5"2e2tdt

=:) ln`5'2etdt

='2`[et])ln`5

='2(eln`5-e0)

='2(5-1)

=4'2

 ④

5

(24)

f(x)=;3@;x'x=;3@;x;2#;이라 하면 f '(x)=x;2!;

0ÉxÉ8에서 곡선 y=f(x)의 길이를 l이라 하면 l=:)8 "Ã1+{`f '(x)}Û``dx

=:)8 ¿¹1+

(

x;2!;

)

Û``dx

=:)8 'Ä1+x`dx 이때 'Ä1+x=t라 하면 1+x=tÛ`, dxdt=2t이고

x=0일 때 t=1, x=8일 때 t=3이므로 l=:!3 2tÛ` dt=[;3@;tÜ`]3!=18-;3@;=:°3ª:

따라서 p=3, q=52이므로 p+q=3+52=55

 55

6

1 ④ 2 ⑤ 3 ⑤ 4 ③ 5 ④

Level

1 기초 연습

본문 56쪽

3x=-4(y-2)의 양변을 12로 나누면

;4{;=y-2

-3 이므로 uÁ²=(4, -3)을 직선 lÁ의 방향벡터라 하자.

2x-6= y+1a 의 양변을 2로 나누면

x-3=y+1

2a 이므로 uª²=(1, 2a)를 직선 lª의 방향벡터라 하자.

두 직선 lÁ, lª가 서로 수직이므로 두 직선의 방향벡터 uÁ², uª²도 서로 수직이다.

uÁ²•uª²=0에서 (4, -3)•(1, 2a)=0 4-6a=0

따라서 a=;3@;

 ④

1

|pø-aø|=5에서

|pø-aø|Û` =(pø-aø)•(pø-aø)

=(x-3, y-4)•(x-3, y-4)=25 (x-3)Û`+(y-4)Û`=25 yy`㉠

㉠을 만족시키는 점 (x, y)는 중심의 좌표가 (3, 4)이고 반 지름의 길이가 5인 원 위의 점이다.

pø•aøÉ25에서

(x, y)•(3, 4)É25, 3x+4yÉ25

3x+4y-25É0 yy`㉡

㉡을 만족시키는 점 (x, y)는 직선 3x+4y-25=0의 아 래 부분(경계선 포함)에 속하는 점이다.

㉠, ㉡의 공통부분에 속하는 점 (x, y)가 나타내는 도형은 원의 중심 (3, 4)가 직선 3x+4y-25=0 위의 점이므로 그림과 같은 반원의 호이다.

Y

Y Z

Z

0





따라서 구하는 도형의 길이는

;2!;_(2p_5)=5p

 ⑤

2

dxdt=et`cos`2t-2et`sin`2t dy

dt=et`sin`2t+2et`cos`2t에서 점 P의 시각 t=;4Ò;에서의 속도는

{e;4Ò;`cos`;2Ò;-2e;4Ò;`sin`;2Ò;, e;4Ò;`sin`;2Ò;+2e;4Ò;`cos`;2Ò;}

즉, (-2e;4Ò;, e;4Ò;)이므로 점 P의 시각 t=;4Ò;에서의 속력은

¿¹(-2e;4Ò;)Û`+(e;4Ò;)Û`='5e;4Ò;

따라서 k='5

 ⑤

3

dxdt=3tÛ`+1

4

(25)

f(x)= e2x+e-2x

4 이라 하면 f '(x)= 2e2x-2e-2x

4 = e2x-e-2x 2

0ÉxÉ1에서 곡선 y=f(x)의 길이를 l이라 하면 l=:)1 "Ã1+{`f '(x)}Û``dx

=:)1 ¾Ð1+{ e2x-e-2x 2 }Û``dx

=:)1 ¾Ð1+ e4x-2+e-4x

4 `dx

=:)1 ¾Ð e4x+2+e-4x 4 `dx

=:)1 ¾Ð{ e2x+e-2x 2 }Û``dx

=:)1  e2x+e-2x 2 `dx

=;4!; [e2x-e-2x]1)

=;4!;{(eÛ`-e-2)-(e0-e0)}

= eÝ`-1 4eÛ`

 ④

5

1 8 2 ② 3 31 4 ②

Level

2 기본 연습

본문 57쪽

점 P의 좌표를 P(x, y)라 하면

|OP³|=5'2에서 |OP³|Û`=50이므로 xÛ`+yÛ`=50

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 원점 O이고 반지름 의 길이가 5'2인 원이다.

두 점 A(5, -5), B(a, b)는 원 xÛ`+yÛ`=50 위의 점이므로

|OA³|=|OB³|=5'2 aÛ`+bÛ`=50 yy`㉠

OA³•OB³=(5, -5)•(a, b)=5a-5b

원 위의 점 A(5, -5)에서의 접선과 수직인 벡터를 OA³=(5, -5)라 하고, 원 위의 점 B(a, b)에서의 접선과 수직인 벡터를 OB³=(a, b)라 하자.

원 위의 두 점 A(5, -5), B(a, b)에서의 두 접선이 이루 는 예각의 크기가 h이므로 두 벡터 OA³, OB³가 이루는 각의 크기는 p-h 또는 h이다.

|cos (p-h)|=|cos`h|

=|OA³•OB³|

|OA³||OB³|

=cos`h=;5#;

에서

|5a-5b|

5'2_5'2=;5#;, |a-b|=6 a>b이므로 a-b=6 b=a-6을 ㉠에 대입하면

aÛ`+aÛ`-12a+36=50, aÛ`-6a-7=0 (a-7)(a+1)=0

a>0이므로 a=7 b=7-6=1

따라서 a+b=7+1=8

 8

1

dy

dt=ln`t+t_ 1t-1=ln`t dÛ`x

dtÛ`=6t, dÛ`y

dtÛ`= 1t 이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도를 aø라 하면

|aø|=®É(6t)Û`+{ 1t }Û`

=®É36tÛ`+ 1tÛ`

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 36tÛ`+ 1

tÛ`¾2®É36tÛ`_ 1tÛ`=12

{등호는 t= '66 일 때 성립한다.}

이므로

|aø|¾'1Œ2=2'3

따라서 점 P의 가속도의 크기의 최솟값은 2'3 이다.

 ③

x=sin`t+'3`cos`t, y=cos`t+'3`sin`t이므로 dxdt=cos`t-'3`sin`t, dy

dt=-sin`t+'3`cos`t vø=(cos`t-'3`sin`t, -sin`t+'3`cos`t)

dÛ`x

dtÛ`=-sin`t-'3`cos`t, dÛ`y

dtÛ`=-cos`t-'3`sin`t

2

(26)

x=;3$;tÜ`-t에서 dxdt=4tÛ`-1 y=2tÛ`에서 dy

dt=4t이므로 시각 t에서의 점 P의 속력은

¾Ð{ dxdt }Û`+{ dydt }Û`="Ã(4tÛ`-1)Û`+(4t)Û`

="Ã16tÝ`-8tÛ`+1+16tÛ`

="Ã16tÝ`+8tÛ`+1

="Ã(4tÛ`+1)Û`

=4tÛ`+1

시각 t=a (a>0)에서 점 P의 속력이 17이므로 4aÛ`+1=17

aÛ`=4

a>0이므로 a=2

따라서 시각 t=1에서 시각 t=2까지 점 P가 움직인 거리 s는

s=:!2 ¾Ð{ dxdt }Û`+{ dydt }Û`dt

=:!2 (4tÛ`+1) dt

=[;3$;tÜ`+t]2!

={:£3ª:+2}-{;3$;+1}

=:£3Á:

따라서 3s=3_:£3Á:=31

 31

3

f(x)=;6!;xÜ`+;2Á[;에서 f '(x)=;2!; {xÛ`- 1xÛ` }

4

1 ② 2 ④ 3 ③

Level

3 실력 완성

본문 58쪽

직선 l은 점 A(2, -1)을 지나고 방향벡터가 uø=(a, 2)이 므로 직선 l의 방정식은

x-2a = y+12

1

aø=(-sin`t-'3`cos`t, -cos`t-'3`sin`t) vø•aø

=(cos`t-'3`sin`t)(-sin`t-'3`cos`t)

+(-sin`t+'3`cos`t)(-cos`t-'3`sin`t)

=2'3 (sinÛ``t-cosÛ``t)

=2'3 {sinÛ``t-(1-sinÛ``t)}

=2'3(2`sinÛ``t-1)

0ÉsinÛ``tÉ1이므로 vø•aø의 최댓값은 2'3

 ②

f '(x)=0에서 xÛ`- 1

xÛ`=0, xÝ`-1=0, x=-1 또는 x=1 f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x y -1 y (0) y 1 y

f '(x) + 0 - - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ ↘ 극소 ↗

x>1에서  f '(x)>0이므로  f(x)는 구간 [ 1, ¦)에서 증 가한다.

a의 최솟값은 1이므로 m=1

따라서 1ÉxÉ3에서 곡선의 길이를 l이라 하면 l=:!3 "Ã1+{`f '(x)}Û``dx

=:!3 ¾Ð1+;4!; {xÛ`- 1xÛ` }Û``dx

=:!3 ®É1+;4!;xÝ`-;2!;+ 14xÝ``dx

=:!3 ®É;4!;xÝ`+;2!;+ 14xÝ``dx

=:!3 ¾Ð;4!; {xÛ`+ 1xÛ` }Û``dx

=:!3 ;2!; {xÛ`+ 1xÛ` }`dx

=;2!; [;3!;xÜ`-;[!;]3!

=;2!;[{9-;3!;}-{;3!;-1}]

=:Á3¢:

 ②

(27)

원의 반지름의 길이가 1이므로 점 P가 점 A를 출발한 후 t`{t¾;2Ò;}초일 때의 동경 OP와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 t, 동경 OQ와 x축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 -2{t-;2Ò;}=p-2t이다.

따라서 시각 t`{t¾;2Ò;}에서의 두 점 P, Q의 위치는

2

P(cos`t, sin`t)

Q(cos`(p-2t), sin`(p-2t)), 즉 Q(-cos`2t, sin`2t) 선분 PQ의 중점 R의 위치는

R{;2!;(cos`t-cos`2t), ;2!;(sin`t+sin`2t)}

점 R의 좌표를(x, y)라 하면

x=;2!;(cos`t-cos`2t), y=;2!;(sin`t+sin`2t) dxdt=;2!;(-sin`t+2`sin`2t), dy

dt=;2!;(cos`t+2`cos`2t) 이므로 점 R의 시각 t에서의 속도를 vø라 하면

vø={;2!;(-sin`t+2 sin`2t), ;2!;(cos`t+2`cos`2t)}

이때

{ dxdt }Û`+{ dydt }Û`

=[;2!;(-sin`t+2 sin`2t)]Û`+[;2!;(cos`t+2`cos`2t)]Û`

=;4!;(sinÛ``t+4`sinÛ``2t-4 sin`t`sin`2t)

+;4!;(cosÛ``t+4`cosÛ``2t+4 cos`t`cos`2t)

=;4!;(sinÛ``t+cosÛ``t)+(sinÛ``2t+cosÛ``2t)

+(cos`t`cos`2t-sin`t`sin`2t)

=;4!;+1+cos (t+2t)

=;4%;+cos`3 t 이므로

|vø|=®É;4%;+cos`3 t

따라서 점 P가 점 A를 출발한 지 :°9É:초 후의 점 R의 속력은

¾Ð;4%;+cos`{3_:°9É:}=®É;4%;+cos`:°3É:

=¾Ð;4%;+cos`{2p-;3Ò;}

=®É;4%;+cos`;3Ò;

=®É;4%;+;2!;= '7 2

 ④ 점 P는 직선 x-2

a = y+12 위의 점이므로 x-2a = y+12 =t (t는 실수)

에서 점 P의 좌표를 (at+2, 2t-1)로 놓을 수 있다.

이때 점 Q의 좌표는 (at+2, 0), 점 R의 좌표는 (0, 2t-1) 이므로 vø=QR³=(-at-2, 2t-1)이라 하면

벡터 vø는 두 점 Q, R를 지나는 직선 QR의 방향벡터이다.

직선 l과 직선 QR가 서로 수직이므로 두 직선의 방향벡터 도 서로 수직이다. 즉, uø•vø=0이므로

(a, 2)•(-at-2, 2t-1)=-aÛ`t-2a+4t-2=0에서 t= 2a+2

4-aÛ` yy`㉠

두 벡터 OP³, OÕA³가 서로 수직이므로 OP³•OÕA³=0에서

(at+2, 2t-1)•(2, -1)=2at+4-2t+1=0 t(2a-2)=-5

t= -52a-2 yy`㉡

㉠, ㉡에서 2a+2

4-aÛ` = -52a-2 , 4aÛ`-4=5aÛ`-20, aÛ`=16 a>2이므로 a=4

㉡에서 t= -5

2_4-2=-;6%;

점 P의 x좌표는 4_{-;6%;}+2=-;3$;

점 P의 y좌표는 2_{-;6%;}-1=-;3*;

따라서 P{-;3$;, -;3*;}이므로

|OP³|=¾Ð{-;3$;}Û`+{-;3*;}Û`=4'5 3

 ②

x=cos`t+sin`t, y=;2!;`sinÛ``t를 각각 t에 대하여 미분하면

3

참조

관련 문서

따라서 주어진 연립방정식의 해를

이후 물통에 물이 가득 찰 때까지 높이가 다시 일정하게 증가하는 데 처음보다 서서히 오른다.. 따라서 상황을 나타낸 그래프로

따라서 주어진 연립방정식의 해를

므로 Y축의 방향으로 만큼, Z축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다... 따라서 축이 Z축의 오른쪽에

근호를 포함한

신입 회원의 기록이 나타내는 그래프가 기존 회원의 기록을 나타내는 그래프보다 왼쪽으로 치우쳐 있으므로 신입 회원 의 기록이

이차함수의

신입 회원의 기록이 나타내는 그래프가 기존 회원의 기록을 나타내는 그래프보다 왼쪽으로 치우쳐 있으므로 신입 회원 의 기록이