0220 4포물선 (x-1)¤ =4(y+2)는 포물선 x¤ =4y를 x축의

방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다.

그런데 포물선 x¤ =4y의 초점의 좌표가 (0, 1)이므로 포물선 (x-1)¤ =4(y+2)의 초점의 좌표는 (0+1, 1-2), 즉

(1, -1)

따라서 a=1, b=-2, c=-1이므로

a+b+c=-2 답 -2

0215

y=x¤ +2px+q에서 (x+p)¤ =y+p¤ -q이므로 이 포물선은 포물선 x¤ =y를 x축의 방향으로 -p만큼, y축의 방 향으로 q-p¤ 만큼 평행이동한 것이다.

0216

포물선 x¤ =-6(y+a)는 포물선 x¤ =-6y를 y축의 방향으로 -a만큼 평행이동한 것이므로 준선의 방정식은

y= -a ```yy ㉠

또한, 포물선 x¤ =20(y-b)는 포물선 x¤ =20y를 y축의 방향 으로 b만큼 평행이동한 것이므로 준선의 방정식은

y=-5+b yy㉡

㉠, ㉡에서 -a=-5+b이므로

a+b= 답 13

2 13

2 3 2 3 2

0217

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 l에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 PF”=PH”이므로

AP”+PF”=AP”+PH”

즉, 세 점 A, P, H가 한 직선 위에 있 을 때, AP”+PF”의 값이 최소가 되므 로 점 P의 좌표를 (2, b)로 놓으면

4= b ∴ b=8

∴ a+b=2+8=10 ^답 ③

1 2

0218

^x@=-y₂¹

x l y

O P H F

A(2,`15)

y@=4x x

x=1 y

O H P

A(6,`2) F(1,`0)

-,`04 B

(

³

)

-4 -3

y@=3x H P

x y

O

A(5,`3)

x=--43

●본문

037~039

쪽

PB”=PH”이므로

AP”+PB”=AP”+PH”

즉, 세 점 A, P, H가 한 직선 위에 있을 때, AP”+PB”의 값이 최소가 되므로 점 P의 좌표를 (a, 3)으로 놓으면

9=3a ∴ a=3

∴ △ABP= ¥AP”¥3

=1¥2¥3=3 답 ②

2 1 2

초점이 (3, n), 준선의 방정식이 x=-2인 포물선 위 의 점을 P(x, y)라고 하면 포물선의 정의에 의하여

øπ(x-3)¤ +(y-n)¤ =|x+2|

위의 식의 양변을 제곱하여 정리하면 (y-n)¤ =10x-5

이 포물선이 직선 x+y-1=0과 접하므로 x=1-y를 위의 식에 대입하면

(y-n)¤ =10(1-y)-5

∴ y¤ -2(n-5)y+n¤ -5=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(n-5)¤ -(n¤ -5)=0 -10n+30=0

∴ n=3 답 3

D 4

0221

기울기가 m이고 점 (3, 0)을 지나는 직선의 방정식은 y=m(x-3)

y=m(x-3)을 x¤ -2y-5=0에 대입하면 x¤ -2(mx-3m)-5=0

∴ x¤ -2mx+6m-5=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=m¤ -6m+5<0 (m-1)(m-5)<0

∴ 1<m<5 답 ①

D 4

0222

n(A;B)=2이므로 포물선과 직선은 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

2x-y=k, 즉 y=2x-k를 y¤ =2x에 대입하면 (2x-k)¤ =2x

∴ 4x¤ -2(2k+1)x+k¤ =0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(2k+1)¤ -4k¤ >0 4k+1>0

∴ k>-1 답 ③

4 D

4

0223

y=-2x+5를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동한 직 선의 방정식은 y=-2(x-m)+5

∴ y=-2x+2m+5 yy㉠

포물선 y¤ =8x에 접하고 기울기가 -2인 접선의 방정식은 y=-2x+ ,즉 y=-2x-1 yy㉡

㉠, ㉡이 일치해야 하므로 2m+5=-1

∴ m=-3

답 -3 2

-2

0228

y=x+k를 y¤ =4x에 대입하여 정리하면 x¤ +2(k-2)x+k¤ =0 yy㉠

두 점 A, B의 x좌표를 각각 a, b라고 하면 A(a, a+k), B(b, b+k)이고

a+b=4-2k, ab=k¤ (∵ ㉠) AB”="√(a-b)¤ +{(a+k)√-(b+k)}¤

="√2(a-b)¤ =8

위의 식의 양변을 제곱하면 2(a-b)¤ =64, 즉 (a-b)¤ =32이 므로

(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=-16k+16=32

∴ k=-1 답 -1

0224

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 60˘이므로 직 선의 기울기는

m=tan 60˘='3

한편, y¤ =12x=4¥3x에서 p=3이므로 구하는 접선의 방정식 은 y='3x+ , 즉 y='3x+'3

따라서 m='3, n='3이므로 mn=3 ^답 ⑤ 3

'3

0225

y¤ =4x에서 p=1이므로 구하는 접선의 방정식은 y=-1¥x+ , 즉 y=-x-1

따라서 접선의 y절편은 -1이다. 답 -1

1 -1

0226

초점이 (p, 0)이고 준선의 방정식이 x=-p인 포물선 의 방정식은 y¤ =4px

이 포물선에 접하고 기울기가 2인 직선의 방정식은 y=2x+

따라서 y=2x+ 와 y=2x-3이 일치해야 하므로

=-3 ∴ p=-6 ^답 ④

p 2

p 2 p 2

0227

y=mx+n이 점 (0, 2)를 지나므로 y=mx+2 y=mx+2를 y¤ =8x에 대입하면

(mx+2)¤ =8x

∴ m¤ x¤ +2(2m-4)x+4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(2m-4)¤ -4m¤ =0 -16m+16=0

∴ m=1

따라서 접선의 방정식은 y=x+2이므로

m=1, n=2 ∴ m-n=-1 ^답 ②

D 4

0233

점 A(a, 0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y=m(x-a)`(m+0)

y=m(x-a), 즉 x= +a를 y¤ -2y+4x-3=0에 대입하면 y¤ -2y+4{ +a}-3=0

∴ y¤ +2{ -1}y+4a-3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

={ -1}¤ -(4a-3)=0

∴ (1-a)m¤ -m+1=0 2

m D

4

2 m

y m

y m

0236

점 (-1, -1)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식 은 y=m(x+1)-1

y=m(x+1)-1을 x¤ =8y에 대입하면 x¤ =8m(x+1)-8

∴ x¤ -8mx-8m+8=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(-4m)¤ -(-8m+8)=0

∴ 2m¤ +m-1=0

이 이차방정식의 두 실근이 두 접선의 기울기와 같으므로 근과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의 곱은 - 이다.

답 ① 1

2 D

4

0234

접점의 좌표를 (y¡¤`, y¡)로 놓으면 접선의 방정식은 y¡y=2¥ (x+y¡¤ )

이 직선이 점 (-2, 0)을 지나므로

0=2¥ (-2+y¡¤ ), y¡¤ =2 ∴ y¡=—'2 따라서 접점의 좌표는 (2, '2), (2, -'2)이므로

PQ”='2-(-'2)=2'2 ^답 2'2

1 4 1 4

0235

y¤ =16px위의 점 (p, q)에서의 접선의 방정식은 qy=8p(x+p)

이 직선이 점 (2, 6)을 지나므로

6q=8p(2+p) `yy ㉠

또,점 (p, q)는 포물선 위의 점이므로

q¤ =16p¤ ∴ q=4p`(∵ p>0) yy㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

24p=8p(2+p), p¤ -p=0, p(p-1)=0

∴ p=1(∵ p>0)

따라서 p=1, q=4이므로 p+q=5

답 5

0231

y¤ =12x=4¥3x에서 p=3이므로 점 A(3, -6)에서 의 접선의 방정식은 -6y=2¥3(x+3)

∴ y=-x-3

또, 포물선 y¤ =12x의 초점 F의 좌표는 (3, 0)이므로 점 (3, 0)과 직선 y=-x-3, 즉 x+y+3=0 사이의 거리는

= 6 =3'2 ^답 ⑤

'2

|3+3|

"√1¤ +1¤

0229

포물선 y¤ =4px의 준선의 방정식은 x=-p이므로 점 A(p, 2p)에서 이 준선까지의 거리는

p-(-p)=2p=4 ∴ p=2

따라서 포물선의 방정식은 y¤ =8x이고 이 포물선 위의 점 A(2, 4)에서의 접선의 방정식은 4y=2¥2(x+2)

∴ y=x+2 ^답 ②

0230

점 P의 좌표를 (x¡, y¡)로 놓으면 점 P에서의 접선의 방정식은 y¡y=p(x+x¡)

y=0일 때, x=-x¡이므로 Q(-x¡, 0)

이때 H(x¡, 0)이므로 =2x¡=2 답 2 x¡

QH”

OH”

0232

단계 채점요소 배점

y=-2x+5를 x축의 방향으로 m만큼 평행이동한

직선의 방정식 구하기 40%

포물선 y¤ =8x에 접하고 기울기가 -2인 접선의

방정식 구하기 40%

m의 값 구하기 20%

단계 채점요소 배점

접선의 방정식 구하기 30%

p+q의 값 구하기 70%

●본문

040~041

쪽

이 이차방정식의 두 근을 m¡, m™라고 하면 점 A를 지나는 두 접선이 서로 수직이므로

m¡m™= =-1

∴ a=2 답 ④

1 1-a

직선 y=x+2와 평행하고 포물선 y¤ =4(x-1)에 접 하는 직선의 방정식은 y=x

따라서 직선 y=x 위의 점 (0, 0)과 직선 y=x+2, 즉 x-y+2=0사이의 거리는

='2 ^답 ③

|2|

"√1¤ +(-1)¤

0237

두 점 P, Q의 좌표는 각각 (k-2, k), (k¤ , k)이므로 PQ”=k¤ -k+2

k¤ -k+2={k- }¤ + 이므로 k= 일 때, PQ”의 최솟값

은 7이다. 답 ③

4

1 2 7

4 1 2

0238

점 P와 직선 y=x+3 사이의 거리가 최소이려면 점 P 에서의 접선이 직선 y=x+3과 평행해야 한다.

포물선 y¤ =x 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은 by=2¥ (x+a)

∴ y= (x+a)

=1에서 b=

이때 점 P{a, }은 포물선 위의 점이므로

{ }¤ =a ∴ a=

∴ ab= ¥ =1 ^답 ⑤

8 1 2 1 4

1 4 1

2 1 2

1 2 1

2b

1 2b

1 4

0239

△ABP에서 밑변의 길이 AB”=10'2이므로 높이가 최소일 때, △ABP의 넓이는 최소이다.

즉, 오른쪽 그림과 같이 포물선 y¤ =-8x 위의 점 P를 지나는 직 선이 직선 AB에 평행할 때,

△ABP의 넓이는 최소가 된다. 따라서 두 점 A(10, 0), B(0, 10)을 지나는 직선의 기울기는 -1이므로 포물선 y¤ =4¥(-2)x에 접하고 기울기가 -1인 접선의 방정식은

y=-x+-2 ∴ y=-x+2 -1

0240

P

x y

y@=-8x O

B(0,`10) A(10,`0)

y=x+k를 x¤ =4y에 대입하면 x¤ =4(x+k)

∴ x¤ -4x-4k=0 yy㉠ 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(-2)¤ +4k=0 ∴ k=-1 D

4

0243

기울기가 1이고 포물선 y¤ =-4x에 접하는 직선의 방 정식은

y=1¥x+ =x-1

이때 포물선 y¤ =2x+k와 직선 y=x-1이 접하면 되므로 y=x-1을 y¤ =2x+k에 대입하면

(x-1)¤ =2x+k

∴ x¤ -4x-k+1=0

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(-2)¤ -(-k+1)=4+k-1=0

∴ k=-3 답 ③

D 4

-1 1

0241

y=ax+b를 x¤ =4y에 대입하면 x¤ =4(ax+b)

∴ x¤ -4ax-4b=0

이 이차방정식의 판별식을 D¡이라고 하면

=(-2a)¤ -(-4b)=0

∴ b=-a¤` yy㉠ 즉, y=ax-a¤ 에서 x= +a 이것을 y¤ =4x에 대입하면

y¤ =4{ +a}

∴ ay¤ -4y-4a¤ =0

이 이차방정식의 판별식을 D™라고 하면

=(-2)¤ -a(-4a¤ )=0 a‹ =-1 ∴ a=-1

a=-1을 ㉠에 대입하면 b=-1이므로

a+b=-2 답 -2

D™

4 y a

y a D¡

4

0242

직선 y=-x+2 위의 점 (2, 0)과 직선 AB, 즉 x+y-10=0사이의 거리는

= =4'2

따라서 구하는 △ABP의 넓이의 최솟값은

_10'2_4'2=40 ^답 40

1 2

8 '2

|2+0-10|

"√1¤ +1¤

직선 y=mx-1과 포물선 y¤ =4x가 접하므로 (mx-1)¤ =4x

∴ m¤ x¤ -2(m+2)x+1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(m+2)¤ -m¤ =0

m¤ +4m+4-m¤ =0 ∴ m=-1

따라서 직선의 기울기는 -1이므로 접선의 방정식은 y=-x-1이다.

y=-x-1에서 x=-y-1이므로 이것을 (y-n)¤ =4x-8 에 대입하면

(y-n)¤ =4(-y-1)-8

∴ y¤ -2(n-2)y+n¤ +12=0 yy㉠

직선 y=-x-1이 포물선 (y-n)¤ =4x-8에 접하므로 ㉠의 판별식을 D'이라고 하면

=(n-2)¤ -(n¤ +12)=0, -4n-8=0

∴ n=-2

∴ m+n=-1-2=-3 ^답 -3

D' 4 D 4

0244

점 P에서 직선 x=-2에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 PA”=PH”이므로

"√(x-1)¤ +(y-2)¤ =|x+2|

위의 식의 양변을 제곱하면

x¤ -2x+1+y¤ -4y+4=x¤ +4x+4

∴ y¤ -6x-4y+1=0 ^답 ①

0247

오른쪽 그림과 같이 포물선의 정의에 의하여 AP”=FP”를 만족하는 직선 l은 포물선 x¤ =16y의 준선이다.

따라서 포물선 x¤ =16y=4¥4y에서 준 선 l의 방정식은 y=-4이다.

답 ③

0248

^x@=16y

x l y

O P

A F

y¤ =3x=4¥ x에 접하고 기울기가 tan ='3인 접 선의 방정식은

y='3x+ ∴ a='3 ^답 ③

4 '3

4

p 3 3

0245

4

포물선 y¤ =4x의 초점의 좌표는 (1, 0)이고 준선의 방 정식은 x=-1이므로 원의 반지름의 길이는 1+1=2 따라서 구하는 원의 넓이는

p¥2¤ =4p 답 4p

0246

x¤ -4x-2y-2=0에서 (x-2)¤ =2(y+3)이므로 주 어진 포물선은 포물선 x¤ =2y를 x축의 방향으로 2만큼, y축 의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.

그런데 포물선 x¤ =2y의 초점의 좌표는{0, }, 준선의 방정식 은 y=- 이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는{2, - }, 준선의 방정식은 y=- 이므로

a=2, b=- , c=- ∴ a+b+c=-4

답 ② 7

2 5

2 7 2

5 2 1

2

1 2

0249

점 A(1, -2)에서의 접선의 방정식은 -2y=2(x+1)

∴ y=-x-1 yy㉠

또, 점 B(4, -4)에서의 접선의 방정식은

-4y=2(x+4) ∴ y=- -2 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=-3

따라서 점 (2, -3)과 포물선의 준선 x=-1 사이의 거리는 3

이다. ^답 ④

x 2

0250

접선의 방정식을 y=x+n으로 놓고 x¤ =y에 대입하면 x¤ =x+n ∴ x¤ -x-n=0

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D=(-1)¤ -4¥(-n)=0 4n=-1 ∴

n=-즉, y=x- 이므로 구하는 x절편은 이다. 답 1 4 1

4 1

4

1 4

0251

k=-1을 ㉠에 대입하면

x¤ -4x+4=0, (x-2)¤ =0 ∴ x=2 따라서 접점 A의 좌표는 (2, 1)이다.

또, y=x-1을 x¤ +3x+y+5=0에 대입하면 x¤ +3x+x-1+5=0, x¤ +4x+4=0 (x+2)¤ =0 ∴ x=-2

따라서 접점 B의 좌표는 (-2, -3)이므로

AB”=øπ(-2-2)¤ +π(-3-1)¤ =4'2 ^답 4'2

포물선 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라고 하면 b¤ =8a yy㉠

PF”의 중점 M의 좌표를 (x, y)라고 하면 포물선의 초점의 좌 표는 F(2, 0)이므로

x= , y=

따라서 a=2x-2, b=2y이고 이것을 ㉠에 대입하면 (2y)¤ =8(2x-2)

∴ y¤ =4x-4 답 ①

b 2 2+a

2

0252

●본문

041~044

쪽

오른쪽 그림과 같이 EF”를 연 장하여 DC”와 만나는 점을 G라고 하 면 EG”=EF”이므로 직선 DC는 포물 선의 준선이다. 따라서 포물선의 정의 에 의하여 BC”=BF”이므로

BC”=30 ^답 ⑤

y=m(x-2)-3을 x¤ =4y에 대입하면 x¤ =4m(x-2)-12

∴ x¤ -4mx+8m+12=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=4m¤ -8m-12=0 ∴ m¤ -2m-3=0

따라서 이 이차방정식의 두 실근이 두 접선의 기울기와 같으므로 근과 계수의 관계에 의하여 두 접선의 기울기의 곱은 -3이다.

답 ⑤ D

4

0253

A

D C

B F 60 E

G

y=2x+k를 y¤ =4x에 대입하면 (2x+k)¤ =4x

∴ 4x¤ +4(k-1)x+k¤ =0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=4(k-1)¤ -4k¤ >0

-8k+4>0 ∴ k<1 답 ①

2 D

4

0254

포물선 x¤ =-y+2에 접하고 직선 y=-x+3에 수직 인 직선의 방정식을 y=x+k로 놓고 x¤ =-y+2에 대입하면

x¤ =-(-x+3)+2 ∴ x¤ +x+k-2=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

D=1-4(k-2)=0

∴ k=

따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x+ , 즉 4x-4y+9=0 이므로

a=4, b=-4 ∴ a¤ +b¤ =32 ^답 ④

9 4 9

4

0255

원의 중심 P의 좌표를 (x, y)라 하고 원과 x축과의 접 점을 H라고 하면 PH”=|y|

또, 원의 중심 P(x, y)에서 점 A(0, 2)까지의 거리는 PA”="√x¤ +(y-2)¤

그런데 PH”=PA”이므로 |y|="√x¤ +(y-2)¤

위의 식의 양변을 제곱하면 y¤ =x¤ +(y-2)¤

∴ x¤ =4y-4 답 ①

0256

점 (2, -3)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y=m(x-2)-3

0258

접점의 좌표를 (-y¡¤ , y¡)로 놓으면 접선의 방정식은 y¡y=2¥{- }¥(x-y¡¤ )

이 직선이 점 (4, 0)을 지나므로 0={- }¥(4-y¡¤ ) y¡¤ =4 ∴ y¡=—2

따라서 접점의 좌표는 (-4, 2), (-4, -2)

∴ BC”=2-(-2)=4 답 ⑤

1 2

1 4

0257

포물선의 방정식은 y¤ =4x이므로 y¤ =4x를 (x-a)¤ +y¤ =16에 대입하면

x¤ -2 (a-2)x+a¤ -16=0 이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=(a-2)¤ -(a¤ -16)=0

-4a+20=0 ∴ a=5 ^답 ②

D 4

0259

y¤ =ax=4¥ x에서 초점 F의 좌표는{ , 0}, 준선의 방정식은 x=- 이다. 점 P에서 준선 l에 내린 수선의 발을 H, x축에 내린 수선의 발 을 E, 준선과 x축의 교점을 G라고 하면

PF”=PH”=EG”

=FG”+FE”

=2¥ +1¥cos 60˘

=

PF”=1이므로 =1

∴ a=1 답 1

a+1 2 a+1

2 a 4 a 4 a 4

a

0261

4

G H l

F E P 1 60æ

x y

y@=ax

O

오른쪽 그림과 같이 포물선의 꼭짓점이 원점에 오도록 안테나의 단면 을 좌표평면 위에 나타내면 단면의 반 지름의 길이가 2 m, 깊이가 0.4 m이므 로 점 A의 좌표는 (0.4, 2)가 된다.

또한, 포물선의 방정식을

y¤ =4px (p>0)로 놓으면 점 A는 포물선 위의 점이므로 2¤ =4p_0.4 ∴ p=2.5

따라서 포물선의 초점 F의 좌표는 (2.5, 0)이므로 접시 안테 나의 수신기는 포물선의 꼭짓점으로부터 2.5 m 떨어져 있다.

답 ⑤

0260

x y

O

A(0.4,`2)

F(p,`0)

y¤ =4x의 초점 F의 좌표는 (1, 0)이고 준선의 방정식 은 x=-1이다. 점 P의 좌표를 (x¡, y¡)이라고 하면

H(-1, y¡)

PH”=HF”에서 x¡+1="√(1+1)¤ +y¡¤ yy㉠ 또, 점 P(x¡, y¡)은 포물선 y¤ =4x 위의 점이므로

y¡¤ =4x¡

y¡¤ =4x¡을 ㉠에 대입하면 x¡+1="√(1+1)¤ +4x¡

양변을 제곱하면 x¡¤ -2x¡-3=0, (x¡-3)(x¡+1)=0

∴ x¡=3 (∵ x¡>0) ∴ PH”=x¡+1=4

따라서 △PHF의 한 변의 길이는 4이다. 답 ③

0262

8x=y¤ +4cy에서 (y+2c)¤ =8{x+ }이므로 주어 진 포물선은 포물선 y¤ =8x를 x축의 방향으로 - 만큼, y축 의 방향으로 -2c만큼 평행이동한 것이다.

그런데 포물선 y¤ =8x의 초점의 좌표가 (2, 0)이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 {2- , -2c}이고, 이 점이 직선 y=x-2위에 있으므로

-2c=2- -2, c¤ -4c=0, c(c-4)=0

∴ c=4 (∵ c>0) ^답 ④

c¤

2

c¤

2

c¤

2 c¤

0263

2

포물선 y¤ =4x의 초점 F의 좌표는 (1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1이다.

두 점 A, B의 좌표를 각각 (x¡, y¡), (x™, y™)라고 하면 선분 AB의 중점의 좌표가 { , -1}이므로 =

즉, x¡+x™=5

두 점 A, B에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라고 하면

AF”+BF”=AA'”+BB'”=(x¡+1)+(x™+1)

=x¡+x™+2=7 답 ③

5 2 x¡+x™

2 5

2

0264

y¤ =8x=4¥2x에서 초점 F의 좌표는 (2, 0)이고 준선 l의 방정식은 x=-2이다.

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 PF”=PH”이므로

AP”+PF”=AP”+PH”

즉, 세 점 A, P, H가 한 직선 위에 있을 때, AP”+PF”의 값이 최소가 되므로

AP”+PF”æ3+2=5

따라서 구하는 최솟값은 5이다. ^답 5

0265

P

x

x=-2 -2

y

O H

F(2,`0) A(3,`1)

포물선 x¤ =8y 위의 점 P(-4, 2)에서의 접선의 방정 식은

-4x=2¥2(y+2)

∴ y=-x-2 yy㉠

직선 l은 ㉠에 수직이고 점 P(-4, 2)를 지나므로 직선 l의 방 정식은 y-2=x+4

∴ y=x+6

따라서 점 A의 좌표는 (-6, 0)이다.

∴ PA”="√(-6+4)¤ +(-2)¤ =2'2

답 ④

0266

x¤ =4y에서 점 A(0, 1)은 이 포물선의 초점이고, 준선의 방정식은 y=-1이다.

한편, 점 P에서 준선 y=-1에 내린 수선의 발을 H라고 하면

BP”+AP”=BP”+PH”

즉, 세 점 B, P, H가 한 직선 위에 있을 때, BP”+AP”의 값이 최소가 되므로 BP”+AP”æ5+1=6

따라서 △ABP의 둘레의 길이의 최솟값은 AB”+BP”+AP”æ"√3¤ +(5-1)¤ +6

=5+6

=11 ^답 ③

0267

x x@=4y

y

y=-1 -1 O

H P B(3,`5)

A(0,`1)

포물선 y¤ =2x=4¥ x의 초점의 좌표는{ , 0}이고 준선의 방정식은 x=- 이다.

점 P«에서 준선에 내린 수선의 발을 H«이라고 하면 1

2

1 2 1

0269

2

두 포물선의 교점을 지나는 도형의 방정식은 x¤ +x-y-1+k(x¤ -ax+y-1)=0

(단, k는 실수) yy㉠ 이때 교점을 지나는 직선의 방정식은 x, y에 대한 일차식이므 로

k=-k=- 을 ㉠에 대입하면

x¤ +x-y-1- (x¤ -ax+y-1)=0

∴ (a+2)x-3y-1=0 이 직선이 점 (2, 3)을 지나므로

(a+2)_2-3_3-1=0

∴ a=3

답 3 1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

0268

●본문

044~045

쪽

FP«”=H«P«”= +a«

= +1+(n-1)¥

= +1

∴ FP«”= { +1}

= ¥20¥21+20=125 답 ②

2 1 2

n 2

¡20 n=1

¡20 n=1

n 2

1 2 1

2 1

2 "√x¤ +(y+2)¤ =|y-4|

위의 식의 양변을 제곱하면 x¤ +y¤ +4y+4=y¤ -8y+16

∴ x¤ +12y-12=0

㉠에 x=-6을 대입하면

(-6)¤ +12y-12=0 ∴ y=-2 따라서 교점의 좌표는 (-6, -2)이므로

a=-6, b=-2 ∴ ab=12

답 12 점 A의 좌표를 (a, 'ƒ4pa )라 하고, AB”와 x축이 만

나는 점을 H라고 하면 점 H의 좌표는 (a, 0)이다.

초점 F의 좌표를 (p, 0)이라고 하면 초점 F는 △OAB의 무 게중심이므로

(p, 0)={ a, 0}

∴ p= a yy㉠ 또, △OAB의 넓이가 6'6이므로

△OAB= ¥OH”¥AB”

="√4pa‹ =6'6

∴ pa‹ =54 yy㉡

㉠에서 a= p이므로 ㉡에 대입하면

p› =54, p› =16 ∴ p=2 (∵ p>0) 답 ① 27

8 3 2

1 2 2 3

2 3

0270

포물선 y¤ =4px 위의 점 P(x¡, y¡)에서의 접선의 방 정식은

y¡y=2p(x+x¡)

∴ Q(-x¡, 0), A{0, } (∵ y¡¤ =4px¡)

ㄱ. PQ”의 중점의 좌표는{0, }이므로 QA”=PA”이다. (참) ㄴ. 점 P(x¡, y¡)에서 초점 F(p, 0)까지의 거리는 점 P에서

준선 x=-p까지의 거리와 같으므로 PF”=x¡-(-p)=x¡+p

또한, 두 점 Q(-x¡, 0), F(p, 0)에 대하여 QF”=p-(-x¡)=x¡+p

∴ QF”=PF” (참)

ㄷ. △FPA™△FQA (SSS 합동)이므로

∠PFA=∠QFA (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤

y¡

2 y¡

2

0271

점 (0, -2)와 직선 y=4로부터 같은 거리에 있는 점 P의 좌표를 (x, y)라고 하면

0272

단계 채점요소 배점

포물선의 정의 이해하기 30%

교점의 좌표 구하기 50%

ab의 값 구하기 20%

y=ax-2를 x¤ =4ay에 대입하면 x¤ =4a(ax-2) ∴ x¤ -4a¤ x+8a=0

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

=4a› -8a=0, 4a (a‹ -2)=0

∴ a=‹'2 (∵ a>0)

답 ‹ '2 D

4

0273

단계 채점요소 배점

y=ax-2를 x¤ =4ay에 대입하기 40%

a의 값 구하기 60%

y¤ +4x-4y-4=0에서 (y-2)¤ =-4(x-2)

따라서 이 포물선은 포물선 y¤ =-4x를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 포물선 y¤ =-4x의 초점의 좌표는 (-1, 0)이므로 포물선 (y-2)¤ =-4(x-2) 의 초점의 좌표는

(-1+2, 0+2), 즉 (1, 2)

따라서 포물선 x¤ -2x-4y+a=0의 초점의 좌표가 (1, 2)이 고, 이것은 포물선 x¤ =4y를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방 향으로 1만큼 평행이동한 것이므로

(x-1)¤ =4(y-1) ∴ x¤ -2x-4y+5=0

∴ a=5

답 5

0274

문서에서 정답 및 풀이 (페이지 32-53)